時間：2023-06-01 09:31:17
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分數的基本性質教學反思，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
東城第五小學（523129） 王金發
以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是一種合情推理，是我們發現新事物、探究新策略的有效途徑，但這種推理是一種似真推理。為了提高猜想的合理性，我們在應用這種不完全歸納推理時，應當注意盡量多地考察被歸納的對象，被考察的對象越多、范圍越廣，結論的可靠性就越大。如果有可能，我們還可以采用其他論證手段加以證明。對此，近期再次執教“分數的基本性質”一課，感悟特別深刻，現整理如下與大家分享。
教學案例：
一、巧設習題，復習鋪墊
12÷3＝（
）÷9
60÷15＝12÷（
）
192÷16＝（
）÷4
（
）÷23＝276÷46
二、故事引入，設疑激趣
師：同學們，今天老師給大家講一個唐僧師徒西天取經路上的小故事。“一天，唐僧拿出三個大小一樣的餅分給徒弟們吃，他先把第一個餅平均分成了2塊，分給豬八戒1塊；把第二個餅平均分成了4塊，分給孫悟空2塊；把第三個餅平均分成了8塊，分給沙和尚4塊。豬八戒一看，不高興了，說唐僧師傅偏心，他得到的餅最少。”請問是這樣嗎？豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個餅的幾分之幾？
生：豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個餅的1/2、2/4和4/8。
師：唐僧的三個徒弟誰分到的餅最多呢？
（學生的答案不一）
三、動手操作，提出猜想
師：唐僧的三個徒弟誰分到的餅最多？讓我們一起動手來分分看。
1．折紙感知
師：我們每位同學手上都有三張大小相同的圓片，我們用圓片紙來代替餅折一折，看看唐僧是怎樣分餅的。
出示操作要求：（1）請用折紙的方法分別表示出唐僧三次是怎樣分餅的；（2）請在折好的圓片紙上分別用陰影部分表示出唐僧分給豬八戒、孫悟空、沙僧的餅。
（通過折紙、涂色等活動，引導學生初步感知1/2、2/4和4/8這三個分數是相等的，即1/2＝2/4＝4/8）
2．觀察發現
師：請同學們觀察一下這三個分數，分子和分母都不相同，它們之間有著怎樣的關系呢？請與小組里的同學討論。
多媒體出示討論要求：（1）從左往右看，分子和分母是按照怎樣的規律變化的？（2）從右往左看，分子和分母又是按照怎樣的規律變化的？
3．大膽猜想
師：我們發現分數的分子、分母同時乘2或乘4，分數的大小都不變；反過來，分數的分子、分母同時除以2或除以4，分數的大小也不變。那么，這種規律在其他分數中也存在嗎？
生：存在。
師：這只是同學們的猜想，如果要確定我們的猜想是否正確，我們還需要進行驗證！
四、多維驗證，豐富猜想
1．數圖印證，直觀為憑
師（多媒體出示下圖）：請用畫圖的方法表示出相等的分數。
師：誰能告訴大家，在這兩個等式中，從左往右，分子和分母是怎樣變化的？反過來，從右往左看呢？
2．舉例擴充，計算驗證
師：還能再舉出一些這樣的例子嗎？
生：
師：你是怎樣驗證它們是相等的？
生1：我是通過畫圖來驗證的。
生2：我是用計算器把分數化成小數來驗證的。
……
五、初步歸納，發現規律
師：觀察剛才同學們所列舉的分數，你能不能用自己的話說一說，從這些例子中發現的變化規律？
學生歸納總結出結論：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數，分數的大小不變。
（這里師引導學生注意加入“0除外”）
【說明：教學至此，有不少教師可能就此罷手，進入新知鞏固階段。但我認為，教學到這里還不足以說明問題，為此我再次引入商不變的性質，讓學生進行驗證。】
六、演繹推理，深層驗證
師：同學們，我們課前復習了商不變的性質，上節課也剛剛學習了分數與除法的關系，你能不能利用這兩個知識對我們剛剛發現的這個規律進行再次驗證呢？
（給學生充分交流、討論的時間）
生3：因為分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號，所以我們可以把分數看成除法。如2/3和6/9，就是2÷3和6÷9，根據商不變的性質，可以知道2÷3＝6÷9，所以2/3＝6/9。
師：現在我們可以肯定剛才的推理是正確的，即“分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變”，這就是分數的基本性質。
……
反思：
以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是科學探究的催化劑，這樣的猜想往往意味著創新和發現。法國數學家拉普拉斯說過：“甚至在數學里發現真理的主要工具也是歸納和類比。”數學家高斯也說過：“一旦抓住真理，補充證明僅僅是時間問題。”由此，可以知道歸納推理對于發現真理的重要性。
數的認識教學設計
窗體底端
教學內容：義務教育課程標準實驗教科書第65頁
教學目標：
1、使學生通過復習加深對整數、小數、分數和百分數的理解，進一步明確有關數的意義和基本性質，體會整數與小數、小數與分數、分數與百分數的內在聯系。
2、讓學生體會到數在刻畫現實世界中數量關系與空間形式方面的價值。
3、發展學生對數學的積極情感。
教學重點：分數和小數的基本性質
教學難點：整數、小數和分數之間的聯系
設計理念：通過對學生已有認知的引入，呈現新的研究對象，激發學生的學習興趣和探究欲望。學生之間的討論交流，增強用數表達和交流信息的意識及能力，發展數感。提供有趣的教學內容，讓學生體會了數學知識的生動有趣，體驗數學的樂趣。
教學步驟
教師活動
學生活動
一、整理與反思
1、我們學過了哪些數？舉例說明
2、回顧整數的意義
（1）追問：-1、-2…是整數嗎？
判斷：
A、自然數都是整數
B、整數就是自然數
C、負數比0小
D、負數都是整數
（2）排出整數的數位順序表，個級、萬級、億級各包括哪幾個數位？每個數位上的計數單位各是多少？相鄰兩個計數單位之間的進率是多少？
填空：（）個一千是一萬；一億里面有（）個千萬；320000是由（）個萬組成的；49個億、49個萬個49一組成的數是（）。
3、回顧分數的意義個
（1）你能想到哪些用分數表示信息的例子？
（2）誰來說說分數的意義？你對單位“1”是怎樣理解的？
（3）什么是分數的基本性質？應用分數的基本性質可以解決哪些問題？
填空：（1）把8個桃平均分成4份，每份是（）個桃，每份是8個桃的（）（）?。（2）某班學生中，男生人數和女生人數的比是6：5，男生占全班人數的（）（）?，女生占全班人數的（）（）?。
4、回顧小數的意義
（1）舉例什么樣的數是小數？你認為小數與分數有怎樣的關系？
（2）小數的性質是什么？
5、回顧百分數的意義
（1）你能想到哪些用百分數表示信息的例子
（2）百分率、百分比
整數、小數、分數和百分數
負整數
說出錯在哪里，怎樣改正比較合理。
學生獨立完成
學生交流
二、練習與實踐
1、完成83頁的第1題
（1）學生填寫在書上
（2）你是怎么想思考的？
0．5=12
2、3．7元=（）元（）角
0．45時=（）分
4000千克=（）噸
200秒=（）分（）秒
3、完成84頁的第3題
先說說你能獲得哪些信息？
指出：“23：00”不表示數量的多少
3、課后完成84頁第4題
說說每題中兩個單位之間的進率是多少？是怎樣劃算的？
“1311”“08”“012”“A5128766”“06”“225548”“0523-3651193”等是編號，其余都是數。
[關鍵詞]認知過程；思維方式；數形結合
[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]2095-3712（2014）23-0055-02[作者簡介]慎立美（1972-），女，江蘇南京人，江蘇南京市揚子第三小學教師，一級教師。
“分數的基本性質”是小學階段有關分數知識的一個非常重要的內容。這部分內容以分數的意義為基礎，是學生學習約分、通分和異分母分數加減法及其他分數知識的重要前提。了解學生學習“分數的基本性質”的認知過程及思維方式，才能合理地進行教學設計，提高教與學的效果。以下是學生對該內容的三個認知階段。
一、感知和體會“分子、分母都各不相同的分數的大小可以相等”
學生在學習“分數的認識”的過程中，對分數的大小已經有了一些感性理解和簡單歸納，對“大小相等的分數”有初步的感知，但是還沒有形成清晰的認識。學習“分數的基本性質”，首先要進一步感知和體會“分子、分母都各不相同的分數，大小可以相等”。
這一目標可以通過學生充分的體驗感知達成。蘇教版教材首先引導學生發現一些分數的分子分母并不相同但大小卻相等的現象，讓學生形成“大小相等的分數”的直觀表象；接著引導學生利用折紙操作，找出幾個和1/2大小相等的分數，以親歷體驗的方式使學生對“分數等價類”思想獲得初步的感知。分數等價類中每一個表示，各有各的用處，都有特定的價值。分數的這個特點，既有學習難度，又有思想高度，是一個重要的數學思想方法[1]。這一思想方法需要在教學中進行滲透，以有利于它將來的發展。
首先，觀察能力的高低影響學生的水平。例如：學生發現分子分母并不相同但大小卻相等的分數的現象，不僅要注意到分數的大小相等，而且要注意到這些分數的分子分母并不相同，它們是不同的分數。教師要引導學生在形成整體印象的基礎上細致地觀察局部，通過比較來了解事物之間的聯系。
如學生在尋找和1/2大小相等的分數的過程中，不僅僅著眼于如何找到分數，還應該引導學生注意在折紙的過程中正方形的涂色部分分數所發生的變化，為抽象和驗證分數的基本性質建立直觀的表象基礎。
其次，學生親歷操作活動所獲得的經驗有利于思維活動的順利進行。例如：通過涂色來表示1/2這個操作步驟意義重大，學生在涂色的過程中，深化了分數與面積的對應關系，對所涂色區域形成強烈的認同感和很高的關注度，從而給學生留下深刻的印象。如果教師為了節約時間，提供事先已經涂好色的正方形紙片給學生，那是達不到上述效果的。
如折紙的操作讓學生在動手的過程中眼、手、腦都積極地參與到活動中來，使學生為將來形成“分數等價類”的思想做準備。
二、發現和歸納“分數的分子和分母怎樣變化，分數的大小不變”
通過第一階段的觀察和操作，學生發現等式中分子分母變化的規律是比較容易的，主要問題是語言表述的全面、準確與精煉。教師應該引導學生依據細致的觀察分析進行歸納，通過分享交流、比較反思得出明確的結論。
這個階段的教學以引導學生進行歸納推理，發展學生的抽象思維能力為主。
歸納推理是合情推理的一種，合情推理憑借的是經驗和直覺。在這里，僅僅依靠學生的行為操作活動經驗進行歸納推理是不夠的，還要依靠學生的思維操作活動經驗。因此，教材讓學生脫離具體的圖形，直接觀察和分析等式中分數的分子分母的變化情況。教師不能急于求成，應該讓學生具體說一說每個等式的變化情況，并將變化過程清晰地呈現出來，在此基礎上讓學生歸納，較為完整地經歷歸納推理的思維過程。
發現學習策略可能掌握許多重要的技巧，但是發現并不意味著掌握。[2]在歸納推理的過程結束之后，教材要求學生根據分數的基本性質，寫出一組相等的分數，這是“發現”后及時“掌握”所必需的環節，不能忽略。教師可以結合第一階段學生看到的和找到的兩組分數，讓學生再說一說其他和1/3或1/2相等的分數。這一方面達成了及時掌握的目標，同時讓學生清晰地感受到每組中大小相等的分數的個數是無限的，進一步滲透“分數等價類”的思想。
三、驗證和解釋“為什么分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變”
傳統的數學教學缺少兩樣東西：通過條件預測結果能力的培養和依據結論探究成因能力的培養。學生缺少這兩項能力，就無法完成一次真正的創造過程，也不利于創新型人才的成長[3]。通過上述兩個階段的學習，學生看到了現象，也歸納出了規律，學生的思維經歷了從直觀到抽象的過程，通過條件預測結果的能力也得到了提高。但是學生對規律內在成因的感知比較模糊，應該讓抽象的結論再回到直觀的經驗中，并與過去的知識建立聯系，幫助學生進一步理解規律，培養學生依據結論探究成因的能力。
這個階段的教學以指導學生分別運用“轉化”和“數形結合”的思想方法進行驗證和解釋，以滲透數學思想方法為主。
通過歸納推理得出分數大小不變的規律只能算是一種猜想，需要通過驗證才能真正稱為分數的基本性質。小學數學教學可以通過舉例加以驗證，但這并不是科學的驗證方法，充其量就是概念、定理外延的擴展罷了，當然，舉反例另當別論。鑒于小學生認知水平發展的階段性，教材試圖引導學生利用分數與除法內在的密切聯系，將分數的基本性質轉化為商不變的規律，用已有的知識來驗證新知，這是一個非常合理的選擇。實際教學時應該引導學生較為完整地經歷轉化的過程，不能一帶而過。
教材中練習十一的第一題讓學生在同一幅方格圖中尋找表示相同涂色部分的不同分數，教師可以利用這道題幫助學生通過“數形結合”來解釋分數的基本性質。當學生提到1/2=4/8時，腦海中既有兩個對應的圖形，也有分子分母同乘4的算式。但是由于整數認知對分數的干擾，學生會產生疑問：一個分子是1，一個分子是4，它們的大小怎么會相等呢？教師可以利用學生折紙時對1/2形成的深刻印象，將分子分母同乘4的過程通過課件在正方形中畫出來。通過畫圖讓學生直觀地認識到將正方形從平均分成2份變成平均分成8份，就是將其中的每一份都平均分成4份，4/8所表示的“4份”就是原來1/2所表示的“1份”，所以1/2=4/8。
綜上所述，學生學習“分數的基本性質”經歷了感知和體會、發現和歸納、驗證和解釋的認知過程，學生的思維活動由直觀到抽象，再回到直觀。教材的編寫遵循這樣的認知與思維過程，教師教學時應該充分利用教材，根據學生的認知過程和思維方式精心設計教學，切實提高教學的效果。
參考文獻：
[1] 張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
關鍵詞： 數學教學 自主探索 自主發展 教學模式
促進每一個學生發展是基礎教育課程改革的核心理念，而自主探索正是一種強調以“人的發展為本”，體現學生主體性的學習方式。基于以上理念，我在教學中遵循“以學生發展為本”的思想和“引導自主探索，促進主動發展”的教學改革思路，構建了“設疑激情—引導探索—實踐應用—反思體驗”的教學模式，引導學生在自主探索學習中獲得發展。
一、設疑激情，注入發展動力
教學初始，使學生“有疑”，乃是激起學生主動學習、勇于探究，推進學習過程即時進入有效情境的重要步驟。而“有疑”門道之一，即需教師的精心設計。
“疑”是探究的起點，有疑才能產生“認知沖突”。如教學《分數的基本性質》時，出示課題后，我就刻意設疑：“看到課題，同學們想到什么？有什么問題？”學生在靜默片刻之后“問題四出”。其中有一個學生說：“看到課題，我想到了分數與除法的關系，又想到了商不變性質，我猜想分數中也可能有類似的性質。”我驚喜萬分，立即順水推舟：“你說的‘可能有類似的性質’，那么你能先講講商不變性質嗎？”學生欣然圓滿作答。這里，不難看出，是學生自己聯系已知并進行了大膽推斷，這其實等于是學生自己找到并初步明確了學習的主要目標，初步搭建了一個自主發展平臺——嘗試完成了溫舊知新的意義建構。在得到了大多數學生的認可之后，探究新知的時機遂然而生。這樣設疑激情能喚起學生上課注意力的高度集中，誘發學生強烈的求知欲望和積極的學習動機，產生濃厚的學習興趣和高漲的學習熱情，思維處于活躍狀態，從“要我學”轉化為“我要學”。
二、引導探索，開發發展潛能
《數學課程標準》指出：有效的數學學習活動不能單純依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式。教學時，當學生產生探索欲望和興趣之后，教師所要考慮的應是如何提供適當的條件，即通過教師的引導，促進學生主動融入自主學習數學的生動場景之中，通過觀察、操作、思忖、交流等方法探索新知，并從中體會數學思想方法。
如教學《分數的基本性質》時，首先分給每個學生三張一樣大的長方形紙條（每張紙條上的陰影和空白部分各占一半），讓學生隨意將紙條折分成不同的若干等份再用分數表示出各張紙條的陰影部分。接著引導學生觀察、比較、交流、討論，從中有所發現。結果是鼓舞人心的——學生通過一陣沙沙的“手工活動”，得出了多樣化的答案：“三個分數雖然不同，但它們實際上是相等的”；“我從左往右看，三個分數的分子分母都在擴大，從右往左看，三個分數的分子和分母都在縮小”；“我發現分子和分母擴大和縮小的倍數都相同”；“我從左往右看，三個分數的分子分母同時乘上一個數，分數大小不變。”……我故作驚訝，隨機取來一學生的“作品”當場展示，果不其然，學生對分數基本性質的“奧秘”探索已是“唾手可得”了。他們一個個“其喜洋洋者矣”因為是他們自己用勤勞的雙手和聰明的才智感悟了抽象概念中所蘊含的奧秘。這就是自主探究的魅力所在。這樣，問題讓學生去揭示，知識讓學生去探索，規律讓學生去發現，結論讓學生去歸納，使學生學會了動手操作、觀察思考、演繹推理等學習方法，培養了學生抽象概括能力和語言表達能力。可見，將學生從被動接受知識的地位推向主動探索獲取知識的前臺，給予他們自利和探索時空，這才是真正的“有意義”學習。
三、重視應用，拓寬發展渠道
新的課程觀認為，學習數學知識不是最終目的，重要的是運用這些數學知識解決生活中的實際問題，從中體會數學學習的價值——掌握學習，并從中體驗到學習數學的樂趣，提高學習數學的興趣和信心，懂得運用有效方法探索新的問題，逐步形成獨立探索的習慣和大膽探索的精神。
實踐應用是數學學習的重要組成部分，當場的信息反饋，不但可以讓學生鞏固運用知識、形成技能技巧，還可發現學生存在的問題與差異，為后續學習提供策略依據。因此，我根據學情，有目的、有針對性地設計多層次的課堂練習，讓學生“皆大歡喜”，人人得到不同程度的發展。在《分數的基本性質》規律應用階段，我力求緊扣重點，精心設計新穎、多樣、層次分明、由淺入深的練習題。基本練習，旨在鞏固知識，認識學習分數基本性質的重要性，知道性質的用途；綜合練習，旨在了解學生對概念的理解程度，了解學生掌握新知識的情況，使學生所學的知識融會貫通；拓展練習，旨在拓寬思路，培養學生的發散思維能力和創新能力；選擇練習，旨在尊重差異，滿足不同學生的學習要求。但這還不夠，高品位的訓練應有創新的成分。我于是特意設計了一個緊貼學生認知水平和生活實際的訓練題：應用今天所學的新知編擬奇趣的童（神）話故事。結果，學生各自憑借已有知識和生活經驗之“雙翼”，編造了一個個“精妙的奇聞”。其中有個故事是這樣的：“猴山上的猴子最喜歡吃猴王做的餅。有一天，猴王做了四塊大小一樣的餅分給小猴們吃，它先把第一塊餅平均切成四塊，分給甲猴子一塊。乙猴子見到說：‘太少了，我要兩塊。’于是猴王就把第二塊餅平均切成八塊，分給了乙猴子兩塊。丙猴子更貪，硬說要三塊……”此時學生已進入了數學的樂園，遨游在創新的自由天地。
四、總結反思，體驗發展愉悅
當學生通過獨立思考、自主探索，終于通過自己的努力解決具體數學問題時，他能從中體驗到一種成功感，這是一種強有力而令人愉快的情緒體驗。學生一旦有了這樣的體驗，就會產生再體驗的情感、愿望。如果他能在以后的探索活動中繼續獲得成功的體驗，那么這種內在需求就會持續加強，“會探索”和“愛探索”雙翼齊飛，教學已達到“不需要教”的境界。
一、實施有效操作，感知概念還原
數學操作的過程實際上也可看成是概念的還原過程，即將概念還原到它的最初狀態、本質狀態，讓學生親歷發現并徹底感知概念的內涵和外延。因此，在數學概念教學中，必須精心設計促進學生自覺進行操作的教學情境，讓學生通過各種有效活動，達到內外合一，最終獲得概念的內化。如在教“長方體和正方體的認識”時，課前先布置學生尋找一些日常生活中常見的長方體和正方體，并動手自制一個長方體和正方體，通過動手、觀察、觸摸等方法感知長方體和正方體的面、棱、頂點，使他們直觀形象地認識和發現長方體和正方體的特征。這樣既為后面要學的長方體和正方體的表面積和體積概念教學奠定了一定基礎，又培養了學生的想象能力和邏輯思維能力。教師在學生有了直觀感知的基礎上，對定義進行科學、嚴謹的講解，使得學生的自學和教師的講授成為一個嚴密的整體，加深學生對數學概念的理解。在實際教學中，我們要杜絕各種脫離學生內部操作的虛假操作現象。
二、正確加工提取，建立概念表象
建立正確清晰的表象是由形象思維向抽象思維轉化的橋梁。根據小學生的思維特征，在概念教學中，必須遵循從具體到抽象的原則，利用學生的生活經驗，觀察比較——感知辨認——加工提取——建立表象。例如，在聽黃愛華老師教學“垂直”這個概念時，先讓學生感知什么是同一平面，繼而是互相，接著是直角。黃老師帶領學生清晰地認識了垂直的表象，把概念中重點詞的理解通過學生的語言描述及動手操作各個擊破。最后為學生建立清晰概念“當兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直”。
三、抽象升華定義，實現概念提煉
概念定義是概念從具體到抽象的升華與凝聚，是概念習得的高級階段，但不是最終階段。如果教師在概念教學中忽視操作與表象的建立，倉促引入定義，學生只能得到形式的定義語言敘述而已。同樣，只進行操作與表象的建立，而不適時的進行抽象升華，進入概念定義階段，也難以真正理解數學概念。
例如，對分數意義理解的三次飛躍。第一次是在學習小數以前，通過大量感性直觀的認識，結合具體事物描述什么樣的是分數，初步理解分數是平均分得到的，理解誰是誰的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分數來表示。從具體事物中抽象出來。然后概括分數的定義，這只是描述性地給出了分數的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對單位“1”的理解與擴展，單位“1”不僅可以表示一個物體、一個圖形、一個計量單位，還可以是一個群體等，最后抽象出，分誰，誰就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數“1”的區別就更加明確了。這樣三個層次不是一蹴而就的，要展現知識的發展過程，引導學生在知識的發生發展過程中去理解分數。
雖然如此，每一個教學階段，概念都應該是確定的，這樣才不至于造成概念混亂的現象。有些概念不嚴格下定義，但也要依據學生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語言揭示概念的本質特征，同時注意與將來的嚴格定義不矛盾。在此基礎上，應根據具體情況酌情指出概念是發展的，不斷變化的。如在三年級《認識分數》的練習中有這樣一題：在一條彩帶上寫了“1”，然后觀察其他的比較短的彩帶各占它的幾分之幾？雖然分數的初步認識教學不要求提煉單位“1”，但仍可讓學生說一說自己是怎樣理解這個“1”的，很多學生就會想到這個“1”不僅可以表示1條彩帶，1條電線，甚至是一塊蛋糕、一個西瓜……這樣的教學才是有發展性的。
四、不斷再現運用，理解概念本質
不斷再現、運用概念的價值不僅僅為了鞏固概念，最為重要的是理解概念，通過對概念本質屬性和規律的辨別選擇，通過與更多概念聯系、比較分辨，激活概念各種抽象屬性，讓學生真正獲得知識。因此，教學中教師要精心設計概念再現與運用的具體情境，使學生扎實、透徹地理解概念本質。如在學習了數的整除、倍數、約數等概念后，接著學習能被2、3、5整除的數的特征。在進行“能被2、3、5同時整除的數”的練習時，將其變式為（1）能被2、3、5同時整除的數；（2）既含有約數2、3，又有約數5的數；（3）既是2的倍數，又是3和5的倍數的數；（4）既是3的倍數，又含有約數2，還能被5整除的數。說法不同，而本質相同，表達的都是一個意思。這種“變式法”能激活學生的思維，拓寬學生的思路，使學生對所學概念理解得更透徹、掌握更牢固，而且還為后面學生學習利用最大公約數和最小公倍數的知識解決有關應用題打好基礎。
五、溝通激活聯系，形成概念體系
沒有孤立的數學概念，數學概念總是處于某一聯系的知識網絡中。在某一數學概念得到運用時，總是從相連的概念出發，進行溝通、激活，從而形成不同的動態的概念體系。
探索生活現象或數學現象中蘊含的規律，是數學學習的重要使命之一。因此，教學中要善于引導學生經歷發現規律的過程，促進學生理解部分與整體的內在聯系，通過有限去感悟無限，實現問題的有效解決。
一、聯系生活，感知規律
探索規律是學生挑戰自我的表現，也是展示學生才華與智慧的重要窗口。這是一個充滿情趣與驚喜的探索之旅，學生能充分激活自己的知識積累、經驗儲備，進而積極地探索。探索數學現象中的規律，其間有困惑，也有喜悅，這是矛盾的載體，它會抓住學生的獵奇心理，誘發學生探究的好奇心，促使他們積極思考、樂于思考、敢于嘗試。
如，在四年級上冊“找規律”教學中，就以學生非常熟悉的情境為教學切入點：今天是星期幾？明天呢？……通過司空見慣、極其熟悉的現象拉近規律與學生的距離，讓學生感知到生活有規律，要善于研究和發現它們。利用學生的生活味原型，讓學生在審視現實生活的同時，自發地感悟其中蘊藏的數學現象，從而激發學生學習數學的興趣，使學生感受到數學與生活的密切聯系。
再如，觀察排列“…”，猜想其中蘊含的規律，想一想第9個是（ ）。學生把圖形的規律弄清楚了，就很容易確定下一組圖形。利用具體的圖像提供的豐富表象，學生能夠感知規律，并以規律作為判斷的依據，順利突破思維瓶頸，迅速解決問題。
二、活動反思，探究規律
巧妙地組織活動，引導學生對活動進行反思，探究規律，發現周期，利用周期的確定性去探求解決的方法。
如，在“找規律”的教學中，首先，設計站隊活動游戲，讓學生按照“男生、女生、男生……”這一規律排成一列；其次，利用人數增減的活動，引發學生思考“在變化中你發現了什么？”由于活動的主體是學生，學生會在站隊中發現這種周而復始的規律。同時，在不同形式的變化中學生能夠清晰地發現“開始男生，最后也是男生，男生一定比女生多1個”的規律，從而非常輕松地突破問題的難點。
再次，引入教材的主題圖，引領學生進行觀察，學生會自覺地把圖中的信息進行梳理，也很直觀地感悟到：夾子與手帕的關系、兔子與蘑菇的聯系、籬笆與樁的關聯性……圖中的規律和站隊活動的規律有機融合，實現學習的整合，促進知識的提煉和升華，學生能看出物與物之間的內在聯系，悟出其中的周期性，從而能極其準確地把握規律。
三、靈活思索，發現規律
盡管生活現象、數學現象都紛繁復雜，但其中蘊含的規律是井然有序的。因此教師要促進學生從不同的角度去探索規律所在，讓學生能夠掌握其中的周期性，并進行科學合規的推理。例如，在具體的教學時組織畫一畫、想一想、算一算等自主學習活動，促使隱藏在現象中的規律逐步凸顯出來，進而再現周期規律的合情推理活動。
再如，在“教學100以內的加、減法”之后，組織競賽游戲。先指導學生在最里面的小正方形的4個角中，任意地寫出4個數；再組織學生計算出相鄰兩個數的差（大數減小數），并填在外圍的正方形中；接著讓學生自主探索規律……活動不僅能激發學生的探究興趣，也讓學生學會有序思考。當學生按照規律進行不斷拓展時，他們一定會發現：最外邊的正方形，四個角上的數最終都會變成0。
自主探索、小組合作，讓發現規律變得簡單輕松。學生在認真計算、分析后發現規律是那么的真實，從而充滿了成就感。
四、內化知識，應用規律
探索規律的最終目的是應用知識，讓其內化，達成學以致用的理想境界。所以在教學中教師不僅要努力創設適宜的情境，激活學生的認知積累，引領學生進行必要的探索研究活動，還要引導學生進行科學的歸納，使規律與數學知識學習更加緊密地結合，從而促進學生對新知的建構。
如，在“分數的基本性質”教學中，設計思考題 “一個分數的分子和分母都加上同一個數，這個新分數與原來的分數相比較，你認為符合分數的基本性質嗎？為什么？”學生會舉出不同的實例來驗證該說法的不科學性，有的學生會在特殊的舉例中獲得結論：如果這個分數是等于1的假分數，那么這個規律是可以用的。學生的不同例證有效地拓寬了學習視角，學生會在分析研究中逐步明白，分數的基本性質只適用于分子和分母的倍數關系，而不適用于和差關系。同時，還可以引導學生去探究特例“2 ／ 3的分子加10，分母加上幾，分數的大小不變？”使數學學習更具靈活性。
[關鍵詞]無痕教學；關注認知；促進生成
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）11-0075-01
教學是一門“隱蔽”的藝術。在教學中，教通過暗示、迂回或旁敲側擊等手段將教學意圖滲透在教學過程之中，能夠產生啟發、引導的功效。數學教學如果能夠達到“淡墨無痕”之境界，就能讓學生在不知不覺中完成對數學知識的主動建構。無痕教學是一種具有美學韻味的教學，春風化雨、潤物無聲。正如著名教育家蘇霍姆林斯基說的，“教學困難的原因在于把教學目的在學生面前以裸的形式進行。”數學教學是循序漸進、螺旋上升的，這就為實施“無痕教學”提供了可能。
一、把脈學生認知起點，追求“教”無痕
教學中，教師的“教”建基于對學生學情的精準把握。為此，教師要把脈學生的認知起點，讓學生在不知不覺中展開學習。因為數學知識具有結構性、系統性的特質，所以教師在教學中既要深謀遠慮，把握數學知識的邏輯關聯，又要融會貫通，幫助學生理解數學知識的本質。
例如，教學“比的基本性質”時，教師通過學情調查，了解學生對于比的基本性質的認識后，引導學生根據“比與分數和除法的關聯”，以及“商不變的規律”和“分數的基本性質”展開數學猜想：比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比的大小不變。然后，順著學生的思路，教師將教學重點定位于“化簡比”，并將其與“約分”有效對接。從化簡“整數比”到化簡“分數比”“小數比”“整數分數小數混合比”，學生在不知不覺中運用了舊知（約分），激活了經驗鏈接（化簡比與約分），直指新知的數學本質（將比轉化成最簡單的整數比，相當于最簡分數）。教學的最高境界就是追求“教”的無痕，在準確把握學生認知起點的基礎上，能夠讓學生的新知與舊知無縫對接。
二、關注學生的認知過程，追求“學”無痕
在學生對數學知識展開自主探索的過程中，教師要關注學生的認知過程，追求“學”的無痕境界，要明確學生通過“學”，能夠到達哪里，以及如何能夠到達那里。在這個過程中，教師要滲透數學思想方法，追求教學“潤物無聲”之境界。
例如，教學“圓的認識”時，教師創設了一個教學情境：在一片青青的草地上，一只羊被拴在一棵樹上，半個月過去了，會發生什么呢？教師給學生提供了一根細線（代表拴羊的繩子）、一支鉛筆（代表小羊）、一枚圖釘（代表樹），讓學生嘗試通過模擬實驗解決問題。在學生解決問題的過程中，教師相機點撥，使學生通過圖釘認識了圓的圓心，通過細線認識了圓的半徑，通過鉛筆認識了圓的周長和面積。不僅如此，在模擬實驗的過程中，教師巧妙地將圓心、半徑、直徑、周長和面積以及圓的畫法等諸多知識“熔于一爐”，并且不著痕跡地加以引導、點撥、放大，引發了學生的爭辯和反思。以具體的問題為載體，學生經歷了圓的“形成”過程，從中獲得了思想方法的啟迪。
三、直面課堂的意外生成，追求“智”無痕
華東師范大學葉瀾教授曾經深刻地指出，“課堂應是向未知挺進的旅程，我們隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景。”教學中，對于課堂上意外的、隨機的生成，教師要及時跟進，善于調控，追求“智”的無痕。
例如，教學“平均數”時，在通過條形統計圖、移多補少的方法探索出求平均數的數學模型后，教師讓學生質疑問難。
生1：為什么電視里面的唱歌比賽或體操比賽要去掉一個最高分和一個最低分后再取平均數呢？
師：是啊，為什么呢？
生2：我認為“去掉一個最高分和一個最低分”是為了讓最終分數更能表現一個人的實際水平。
生3：我覺得去掉一個最高分和一個最低分后，個別存有私心的評委所打的分數就沒有用了。
生4：我覺得應該用差不多的那些分數的平均數，將那些太高或太低的分數都去掉。（眾數意識的萌芽）
生5：我覺得可以先將所有評委打的分數從高到低或者從低到高排列，然后取中間數。（中位數的萌芽）
教師直面課堂生成，讓學生自省自悟、自悟自得，在不經意間，學生觸類旁通、豁然開朗。教師的機智退讓――“是啊，為什么呢？”換來的是學生靈動的思維，換來的是教學中未曾預約的精彩生成。
案例回放：
設計這節練習課之前，我對這部分知識進行了梳理，有以下這些知識。
1.在同一道題目中既要求化簡比，又要求求比值，可以選擇合適的方法求比值和化簡比，要求學生弄清楚化簡比和求比值的不同之處。
2.考查學生掌握比的基本性質、比和除法、分數的聯系。如15︰（ ）=（ ）︰15=3︰5。
3.比的基本性質的一些變式。如：4︰5的前項乘3，要使比值不變，后項應該乘（ ）或增加（ ）。
4.小數、分數與比的互化。如看到1.5要想到■或者3︰2。
5.比與上單元學習的分率句的轉換，如：男女生人數的比是5︰4可以轉化成男生是女生的■……
6.聯系以前學過的幾何圖形，找出比，如寫出兩個正方形的邊長的比，周長的比，面積的比，并能從中探索發現一些規律，會利用這些規律解決一些問題。
7.聯系生活寫比。如：寫出鹽和水、鹽水質量的比，以及行的路程和時間的比，路程不變時，時間比和速度比的關系……
針對以上知識點的簡要梳理，我設計了如下四個環節：
一、設計有效的訓練習題，選擇合理的解題方法
首先，是關于練習題的設計，好的設計是有效練習的首要條件，而實施的有效性卻是關鍵。必須將教學目標分解到各種練習的設計中，并在實施過程中層層落實。只有這樣，才能提高練習的有效性，才能讓學生從“會”過渡到“熟”，而通過綜合、拓展性練習，更進一步由“熟”過渡到“活”。
如第一環節：
1.化簡下面各比，并求比值。
18∶108 ■∶■ 2∶0.125 1.2米∶9分米
2. 15∶（ ）=（ ）∶15=0.6=（ ）∶（ ）
■ =■ =（ ）∶24=14∶6=（ ）∶18
3.（1）4∶5的前項乘3，要使比值不變，后項應該乘（ ）或增加（ ）。
（2）4∶5的前項加上16，后項應加上（ ），才能使比值不變。
（3）A∶B（B≠0）的前項乘5，要使比值不變，后項應加上（ ）。
設計意圖：通過第一題的練習主要讓學生弄清楚化簡比和求比值的區別，有的時候可以靈活選擇方法，比如：2∶0.125可以把0.125化成分數■，或者比的前項和后項同時乘8（乘4簡單），突破了常規的比的前項和后項同時乘100的方法，使化簡更為簡約。第二題的第1小題，略去了基礎題。學生可以根據比和除法的關系，15∶x=0.6求x來解答，也可以根據小數、分數、比三者的關系把0.6化成■或3∶5，然后利用比的基本性質來解。第2小題14∶6不是一個最簡整數比，而21正好是14的整倍數，要先把14∶6化簡，拓寬學生的思維。
二、構建有效的數學體系，進行深層的知識加工
一個好的教師善于發現知識的前后內在聯系，能夠對現有的題目進行“深度加工”，發揮題目的最大的效能。教師對題目進行“深層次加工”，首先要整體把握教材中知識之間本質的聯系，站在一個高的視角去審視，對題目進行開發挖掘、精心重組、適時補充。促進學生不斷思考；發展學生積極的情感、態度和價值觀。
第二環節：
1.分別寫出每組正方形邊長的比，再寫它們周長的比，面積的比，并化簡。
（1）
（2）
設計意圖：通過這道題的練習使學生發現長度比、面積比的規律，這道題目的練習分四個層次：第一，是書上提出的要求，寫出周長的比與面積的比，并應用比的基本性質進行化簡；第二，是根據寫出的比探索出周長比、面積比的規律，第三是應用這個規律解決類似的練習；第四將正方形的周長比、面積比的這個規律，推廣到其他圖形。
三、提供廣闊的拓展空間，夯牢堅實的數理根基
任何一門學科的教學都不能僅僅囿于課堂教學范圍內， 而應該學會給學生提供一個更廣闊的空間，讓學生去自由發揮自己的思維靈動性，我們知道數學課的教學不僅要讓學生動手做，還要讓學生動口說。一道題的設計具有開放性，給學生提供較為廣闊的創造時空，激發求異思維，培養學生數學語言表達能力。
第三環節：
課前我調查了咱們班男女生人數以及參加體育、藝術2+1自選項目的情況，下面我們一起來試著解決一些有關的數學問題。
1.我們班有男生30人，女生24人，你能說出男女生人數的比嗎？并化成最簡整數比。
2.用不同的方法說說每句話的含義。
我們班選擇參加軟式排球項目的同學是選擇參加乒乓球項目同學的■。
選擇參加耐久跑項目的同學是選擇參加仰臥起坐項目的同學1.5倍。
設計意圖：從學生比較熟悉的生活情境入手，把比和以前學習的分數聯系，能把分率轉化成比，比轉化成分率，小數轉化成比，為學習比的應用做好準備。
四、探尋典型的錯誤案例，培養明辨的判斷能力
判斷題是學生容易忽視的一種題型，練習的正確率不高，客觀原因是平時的練習中判斷題出現得比率比較少，學生練習的機會也比較少，主觀原因是學生思想比較松懈，對這類題目缺乏認真地思考，就匆匆下筆。鑒于此，教師也可以從平時學生的作業中搜集一些典型的錯例，引導學生從這些錯例中去反思錯誤產生的原因。
第四環節：
判斷題
（1）甲數是乙數的■，乙數與甲數的比是■。
（2）正方形的周長與邊長的比是4。
（3）今年小芳和媽媽年齡的比是1∶3，5年后小芳和媽媽年齡的比仍是1∶3。
（4）如果a∶b=5，那么■∶■=1。
（5）蘋果重量的■等于梨子重量的■，那么蘋果重量與梨子重量的比是3∶2。
【關鍵詞】小學數學 教材 教學 學生
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0123-02
當前，隨著新課改的深入推進和教學新情況的層出不窮，小學數學教學改革漸漸進入瓶頸期，對教師提出了更高的要求。面對新形勢，小學數學教師應以新課改理念為行動指針，進一步強化“生本”觀念，站在學生全面發展的全局高度，在正確把握教材、深入剖析教材的基礎上，大力推行小組合作學習模式，促進學生自主學習能力的提升，強力推動學生個性化發展，從而拉動學生的數學素養水漲船高。
一、正確審視教材
小學數學教材中的知識分布條理清晰、布局合理，對基本概念、公式及法則的講解深入淺出，教學節奏感適度，知識分布主次各得其所，系統性較強。小學數學教師在進行教學設計時，要正確審視教材，準確把握教材，對內容抽象，不易被學生理解的內容應著重講解，可以借助多種教學方法的相互穿插，聯合發力，放緩難點的理解坡度，將易混淆、易出錯的部分做簡單明晰的講授，教學學生區分領會技巧。由于學生個性化差異明顯，教師在施教中，可嘗試設計多種層次、不同梯度的教學形式，幫助學生準確把握教材，深入領會教材，找準學習的切入點。
小學數學教師在窺探、研究教材時，應從教材內容的“活”上做文章，找準教材“活”的引線，用力牽引，創設“活絡”有效的教學情境，激發學生的學習興趣，促使學生從感性思維向理性思維的過渡。此外，課后練習題也應引起足夠重視，因為課后練習題往往是與當堂教學內容最為貼切的“練兵”形式，小學數學教師在進行習題解析提醒時，應充分發揮教師主導作用，引導學生善于讀題，正確理解題意，從中抽取出用價值的解題信息，并進行整合統籌，從而梳理出正確的解題路徑，問題也就迎刃而解了。同時，通過對課后習題解題思路的正確領悟，學生對教材的編排意圖有了一定的了解，對教材知識的學習思路更加清晰了，整個小學知識體系架構在學生心中隱約可現，運用教材、分析處理教材的能力大大增強。
二、注重反思教育，讓反思成為學生學習的內驅力
小學數學學習不是簡單的“物流運動”，而是通過“知其所以然”的過程性探討，讓學生的數學素養得到一定程度的提高，形成自己獨具個性化的學習理念和學習方法，促進自身自主學習能力的躍升。小學數學知識體系雖然相對簡單易懂，但其抽象性仍不可小覷，小學生身心發展尚待完善，感性認知占據主體地位，對數學知識本質的領悟不可能一蹴而就，這決定了小學生必須要經過多次思考、反復探索才能達到特定學習目標。反觀當今小學數學課堂，反思的元素雖然星羅棋布，但未形成一定規律性，合力釋放不夠明顯，經過認真窺探，小學數學課堂的反思節點還是可以清楚羅列的：第一，在思維橫飛的小學數學課堂，小學生對問題的思考過程反思意識不強，教師可在一些解題思路、過程分析或運算過程表述中進行適度提醒，促使小學生反思意識覺醒，從而積極主動的進行大膽反思，讓反思成為小學生學習數學的方法利器;第二，在小學數學教學活動中，當學生對一些拔高應用題或思維拓展題百思不得其解時，教師可適當做一些啟發式的說明或點撥，引導學生對其解題思路進行重新梳理檢查，找出癥結所在，從而突破思維“桔梗”順利找出解題突破口，這對學生的成功經驗的收集總結具有積極的促進作用。如，在學習完“分數的基本性質”這一章節后，教師可創設一些針對性較強的習題供學生思考，為反思造勢：請簡述分數的基本性質推導衍生過程，你從中獲得何種啟示？通過對分數基本性質的學習，你覺得它的作用主要體現在哪些方面？這些帶有思維延伸和拓展意味的問題，霎時點燃了學生的思維運行欲望，促使學生沿著反思的方向馳往，學生的學習能力、思維能力大幅提升。
三、關注教學評價機制的優化
學生的學習過程需要教學評價機制的檢驗，教師根據教學評價機制的運行情況，從中窺探出學生學習狀態、學習效率等方面信息，既注重教學的過程性矯正，又對學生的學習水平作出了科學的判斷。評價方式種類繁多，檢測、階段知識小結、自我評價及提問反饋等多種形式次第上場，優勢各顯，甚至交互作用、聯合發力，科學、合理的評價機制甚囂塵上。學生在教學評價機制正常運行和加速推進中，分析問題、解決問題的能力有所見長，創新思維意識和實踐能力潛滋暗長，并且，隨著新課改被逐步引向深入，一些新的教學評價形式更是脫穎而出，為教學評價的長遠發展填注了新的動力。
總之，小學數學教學改革是一項長期而艱巨的任務，小學數學教師應在素質教育理念的正確指引下，以新課改為契機，強化教育發展觀念，以發展的眼光看教育，以發展的思維審視教育研究，做與時展同步的教育改革先鋒。
參考文獻：
一、 導入時猜想――活躍學生思維
猜想導入有其獨特的魅力，能很快吸引學生的注意力，使其情緒高漲、思維活躍，從而快速進入最佳的學習境地。
例如，在教學“分數的基本性質”時，筆者一開始就引導學生大膽猜想，猜猜在什么情況下分數的大小不變？幾分鐘后學生紛紛舉手回答。
生1：我認為分數的分子和分母都加上同一個數，分數的大小不變。
生2：我覺得分數的分子和分母都減去同一個數，分數的大小不變。
生3：我想分數的分子和分母都乘同一個數（0除外），分數的大小不變。
生4：我認為分數的分子和分母都除以同一個數（0除外），分數的大小不變。
每一種猜想都有學生認為是對的，甚至有學生認為四種猜想都是正確的，只有幾位思維靈活的學生判斷出了第三、四兩種猜想是正確的。可見，學生對“分數的基本性質”的認識已有一定的基礎，已自覺不自覺地把“商不變性質”遷移過來，部分學生的認識已接近知識的本質。對此，筆者并沒有直接否定前兩者的猜想，而是先肯定他們的大膽猜想，再鼓勵他們用舉例法來驗證自己的猜想。由于不管學生的猜想正確與否，筆者都給予他們積極評價，因此學生參與驗證的興趣非常濃厚，思維也變得異常活躍。
二、 展開時猜想――放飛學生思維
猜想并非是憑空臆構、胡思亂想，而是依據已有的材料或知識經驗，做出符合一定規律的推測性想象。在新知識展開時適時引導學生進行猜想，可幫助學生打開思維的通道，讓學生的思維自由飛翔，加速知識表象在大腦中形成的速度，從而突出知識的本質特征。
例如，在教學“整數除以分數”時，筆者經歷了如下的教學片斷：
師：一輛汽車■小時行了18千米，這輛汽車每小時行駛多少千米？
生：求每小時行駛多少千米？就是求汽車的速度。因為“速度＝路程÷時間”，所以算式是18÷■。
師：這就是今天要學習的新知識――整數除以分數，請同學們猜想一下，18÷■可以怎樣計算？（學生紛紛猜測并計算起來，筆者有意識地請用不同方法計算的學生上臺板演。）
生1：18÷■＝18÷0.4＝45（千米）
生2：18÷■＝18×■＝45（千米）
生3：18÷■＝18÷2×5＝45（千米）
生4：18÷■＝18÷2÷5＝1.8（千米）
生5：18÷■＝18÷5×2＝7.2（千米）
生6：18÷■＝■÷■＝18÷■÷5＝9÷0.2＝45（千米）
師：以上六種算式，到底哪一種是正確的呢？我們一起來驗證吧！
因為對自己班級的學情非常了解，所以筆者大膽放手，讓學生進行算法猜想。不同的猜想思路讓學生的思維得到充分拓展。最后通過合理驗證，不僅得到正確的答案，而且優化了計算方法。
三、 鞏固時猜想――提升學生思維
猜想是學生現有思維的真實展示。在教學進入知識的鞏固階段，適當引導學生展開猜想，可以讓學生再次暴露自己的思維狀態，促使他們調動自己已有的數學信息，開拓新思路，從而獲得突破性結論，實現知識與能力的有效提升。
例如，在教學“角的度量”時的鞏固環節，筆者引導學生經歷了如下的猜想片斷：
師：最后讓我們進入智力大考驗。（屏幕顯示：一個量角器擺放在一個角上，但這個角的始邊的具置學生看不到，已被一張紙遮蓋住，學生只能看到角的終邊和對應的刻度線。）
常規考驗：被覆蓋住的角的始邊都與右邊的零刻度線重合，讓學生看著角的終邊和對應的刻度來猜該角的度數。學生猜測后，把覆蓋著的紙拿掉，讓學生看到完整的角，來驗證自己的猜想是否正確。這種情況連續出現幾次，學生全部一次性猜中，所有學生都很高興，很有成就感。然后出現變式：
變式考驗1：角的始邊與左邊的零刻度線重合。（學生猜錯）
變式考驗2：角的始邊沒有與零刻度線重合。（學生猜錯）
變式考驗3：角的頂點沒有和量角器的中心點重合。（學生猜錯）
一、對話式結尾
在課堂的結尾處，教師一般采用談話的方式來結束新課，常見的問題有：這節課，我們學習了什么內容？通過這節課的學習，你有哪些收獲？你還有什么疑問？……這樣程序性的提問，是很難將課堂推向的。如果采用師生對話的方式，營造民主平等的交流氛圍，就可以收到意想不到的效果。
一位教師在執教“三角形的內角和”時，這樣設計結尾：
師：同學們，今天回家后，你們的爸爸媽媽一定會問，“你們在數學課上學了什么？”你會怎么回答呢？讓我們來做一個角色扮演——你是小芳，我做小芳的媽媽。
師：小芳，今天數學課上學了什么知識呀？
生：三角形的內角和是180度。
師：這個知識我也會耶，是老師告訴你的吧？
生：不是！我是用三角形紙片拼出來發現的。
師：自己發現知識，這個學習方法真好。這與老師告訴的有什么區別呢？
生：印象很深刻。
師：學這個真是有用嗎？舉個例子說說。
……
在這個案例中，教師用對話的方式，與學生展開了積極的交流。整個對話過程分為三個層次：第一層次，指向于知識與技能層面；第二層次，指向于過程與方法的層面；第三層次，指向于情感態度與價值觀層面。這種對話式的收口環節，課堂上洋溢著師生濃厚的情感，從而使數學課堂呈現豐富性。
二、歸納式結尾
數學知識往往呈現出一定的板塊效應，它是由一個個知識點串聯而成的。在數學學習過程中，為什么會出現一些學習困難的學生？其重要原因之一，就是在解題過程中，需要綜合運用很多知識點，只要有一個知識點掌握得不牢固，就會做錯題目。因此，有經驗的教師善于幫助學生將零散的知識點連成線，把線編成網，這樣就能完成知識點的網絡建構。
一位教師在教學完六年級下冊“確定位置”一課后，黑板上出現了這樣的板書：
師（指著板書）：在確定物置的時候，要說清觀測點、方向（角度）、距離。在這里，“方向”確定一個“面”，“角度”確定一條“線”，有了“距離”就能確定一個“點”了。
在這個案例中，教師的板書可謂簡潔、精練。第一行是舉例，第二行是概括確定位置的幾個要素，第三行是對應幾大要素，建構“面”“線”“點”的邏輯順序。這樣的總結，概括性強，方便記憶，有助于學生建構確定位置的知識體系。
三、反思式結尾
“學以致用”是學習知識的重要目的之一。在課堂教學中，教師可以巧妙地把學習內容與課尾自我反思有機結合起來，這樣既能鞏固新知，又能激發學生的情感。
教學“認識負數”一課的課尾部分，一位教師出示：如果用+10到-10之間的數來評價對這節課的滿意程度，你準備怎么打分呢？（+10表示最滿意，-10表示最不滿意，0表示一般）
生：+8，我對這節課最滿意，老師講的知識都會了。
師：不錯！不要驕傲，繼續努力！
生：-2，我上課時中途注意力分散了一下。
師：你很誠實！知錯就改，還是好孩子。
生：0，這節課我舉手好幾次，都沒有機會回答。
師：沒關系，老師相信你還會有機會的！對自己要有信心。
……
在這個案例中，教師引導學生通過反思后用“正負數”來評價自己本節課的表現，既有效地鞏固了 “正負數”的知識，又能在自我評價中充分認識自我。這樣的設計，既關注了學生的知識層面，又關注情感層面。
四、游戲式結尾
游戲是小學生喜歡的學習活動。課尾，學生感到疲倦，注意力不太集中了。如果把游戲活動引入進來，就可以激發學生的學習興趣，從而讓學生在興趣盎然的游戲情境中結束新課。
在教學“分數的基本性質”一課時，一位教師在課尾設計了一個游戲情境。
師：同學們，下課前，我們來玩一個“動腦筋離開課堂”的游戲。請大家拿出課前發到手中的卡片，翻開看一下，是什么分數。老師出示一張分數卡片，如果你手中卡片上分數的大小和老師一樣，你就可以走出教室。在走之前，要說出這兩個分數為什么是相等的。
（學生頓時興趣盎然。教師出示1/2，卡片上寫有1/2、2/4、3/6、4/8、5/10、6/12的學生站起來了。教師請一位學生說理由。）
師（指名回答）：你能說出6/12=1/2的理由嗎？
生：根據分數的基本性質，6/12的分子和分母同時除以6，就得到分數1/2。
（其他學生說出理由后，依次走出教室。接著，教師先后出示1/3、6/9、3/4，學生按要求依次走出教室。）
摘 要：培養學生數學思維能力是數學教學的重要任務，也是發展學生數學能力至關重要的途徑。教師要讓學生體驗學習過程，培養獨立思考探究的習慣。引導學生合作探究，發展學生的思維能力。加強語言表達訓練，提高學生的思維能力。
關鍵詞：小學數學 思維能力 獨立思考 合作探究 語言表達
《小學數學新課程標準》指出：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。”可見，數學知識雖然來源于生活，卻是對生活中數學的高度概括和總結。人們學習數學，不僅要善于收集、整理、描述相關信息，還要善于對這些信息進行綜合加工，并運用自己的思維結果去解決數學問題。數學是思維的體操，需要學生具有較強的抽象、邏輯思維能力，不但能夠搞清楚數學知識、數學原理中反映的自然現象，還能利用所學知識去認識自然、解決生活、生產中的問題。因此，教師要從小學階段開始著手培養、發展學生的數學思維能力，幫助學生樹立正確的數學學習觀。那么，我們該如何去培養學生的數學思維能力呢？
一、體驗學習過程，培養獨立思考的習慣
教師要徹底改變“只有教師講解清楚，學生才能明白數學原理”的陳舊教育理念，放手發動學生去主動思考，培養學生自主學習能力。在自學的過程中，讓學生體驗學習、思考、探究的過程，養成通過獨立思考將新知識構建到原有的知識體系之中的習慣，發展學生的思維能力，同時讓學生潛移默化地感悟形成和發展數學思維的方法。比如，學習“長方形和正方形的認識”時，教師就可以提出這樣的自學要求和思考問題：（1）自學課本第100頁例1（從順數第三行到倒數第五行），邊看邊思考；（2）例1中的兩個圖形各是什么形？它們各有幾條邊，幾個角？每個角是什么角？用三角板比比看：（3）長方形和正方形有什么相同點和不同點？讓學生先帶著問題自主閱讀課本，提取相關的信息，解決教師出示的預習題目，并標出自己有疑惑或認為值得探究的問題。然后，讓學生在小組內展示自己的學習成果，并進行合作與探究，一方面分享學習成果，一方面對自己的學習結果進行糾正或補充。整個學習過程，體現了學生在教師引導下，通過讀書、思考、輔以議論、質疑、操作，達到學習知識、培養思維、發展自學能力的目的，讓學生的思維能力伴隨著學生的整個學習過程。
二、注重合作探究，發展學生的思維能力
合作、探究是新課程理念提出的重要學習方法，旨在幫助學生樹立合作和研究性學習的意識，發展學生的合作探究能力。在合作探究過程中，學生的思維發生碰撞，迸發出智慧的火花，推動學生認識不斷提升、思維能力快速發展。但是，教師要對學生的合作探究活動進行科學的引導，重視對學生操作感知和知識遷移的指導，讓活動探究活動有層次、有啟發性、符合學生認識規律，讓學生經歷探索新知識的思維過程，引導學生自己想問題、尋方法、作結論，發現新知識的規律，從而培養學生學習能力，發展學生的數學思維能力。比如，在學習“比的基本性質”時，我徹底改變過多講解、分析和說明比的基本性質的教學方法，而是讓學生結合以前學過的“商不變的性質”和“分數的基本性質”知識，去探索理解并推導出“比的基本性質”的由來。在課堂教學活動中，教師引導學生通過自主學習、探索質疑、合作交流與學習實踐等多個環節，促使學生的認識、理解不斷加深。這樣學生不但能夠創造性地掌握“比的基本性質”，而且能夠讓學生掌握“比”、“除法”、“分數”三個知識點之間的不同與聯系，進而實現知識點之間的融會貫通，推進學生數學思維能力的快速發展，達到舉一反三、觸類旁通的學習目的，提高學生的數學實踐能力。
三、加強語言表達，促進學生思維能力發展
語言是思維的工具和外殼。語言表達既是對思維過程的表述，也是對思維過程的反思，對思維中存在的問題能盡早發現和糾正。因此，在數學教學過程中，教師也要安排語言表達活動，加強對學生的語言表達訓練，以語言表達促進學生的數學思維的發展。教師要養成讓學生說定義、定律、法則、公式、過程、算理、方法、規律、題意、思路、數量關系、式義等的習慣，讓學生通過語言表達來傳達自己對各個知識點的理解，通過說理中訓練和培養學生的語言表達能力，促使學生的數學思維與語言表達同步發展，達到以語言促進數學思維發展的目的。例如，在學習“梯形面積的計算”時，當學生通過動手操作把兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形后，教師啟發學生看圖用準確簡煉的數學語言，有條理、有根據地敘述公式的推導過程。即，兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，這個平形四邊形的底等于這兩個梯形的上底與下底的和，高等于梯形的高，每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。語言表達能夠徹底改變學生學習中存在的“只可意會不可言傳”的模糊境況，讓學生對知識的理解更深入、更透徹。這樣不僅可以訓練學生的語言表達能力，加深學生對知識的理解，也培養了學生思維的邏輯性，幫助學生將相關的知識點聯系起來，形成完整的知識和體系，對學生全面、靈活地思考問題有極大促進作用。
總之，對學生數學思維能力的培養，要立足于課堂教學，做到功夫在課內，將其靈活地把它貫穿于各個教學環節之中，并通過巧妙設計作業題將其延伸到課外學習過程之中，讓培養發展學生的數學思維成為數學活動的主線，這樣才能收到良好的教學效果。
