時間：2023-06-04 10:48:49
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分數除法的意義，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
2、會解答已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的實際問題。
3、理解比的意義，知道比與分數、除法的關系，并能類推出比的基本性質。能夠正確地化簡比和求比值。
4、能運用比的知識解決有關的實際問題。
單元重點：
一個數除以分數的意義以及計算方法，并會分數除法解決相關的問題。
單元難點：
一個數除以分數的計算法則的推導。
1、分數除法
（1）分數除法的意義和整數除以分數
教學目標：
1、通過實例，使學生知道分數除法的意義與整數除法的意義是相同的，并使學生掌握分數除以整數的計算法則。
2、動手操作，通過直觀認識使學生理解整數除以分數，引導學生正確地總結出計算法則，能運用法則正確地進行計算。
3、培養學生觀察、比較、分析的能力和語言表達能力，提高計算能力。
教學重點：
使學生理解算理，正確總結、應用計算法則。
教學難點：
使學生理解整數除以分數的算理。
教學過程：
一、復習
1、復習整數除法的意義
（1）引導學生回憶整數除法的計算法則：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
（2）根據已知的乘法算式：5×6＝30，寫出相關的兩個除法算式。（30÷5＝6，30÷6＝5）
2、口算下面各題
×3××××6×
二、新授
1、教學例1
（1）出示插圖及乘法應用題，學生列式計算：100×3＝300（克）
（2）學生把這道乘法應用題改編成兩道除法應用題，并解答。
A、3盒水果糖重300克，每盒有多重？300÷3＝100（克）
B、300克水果糖，每盒100克，可以裝幾盒？300÷100＝3（盒）
（3）將100克化成千克，300克化成千克，得出三道分數乘、除法算式。
×3＝（千克）÷3＝（千克）÷3＝3（盒）
（4）引導學生通過整數題組和分數題組的對照，小組討論后得出：分數除法的意義與整數除法相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另個一個因數。都是乘法的逆運算。
2、鞏固分數除法意義的練習：P28“做一做”
3、教學例2
（1）學生拿出課前準備好的紙，小組討論操作，如何把這張紙的平均分成2份，并通過操作得出每份是這張紙的幾分之幾。
（2）小組匯報操作過程，得出：將一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的。
4÷2
5
（3）引導學生數形結合，對照不同的折法，說出兩種不同的計算方法。
A、÷2＝＝，每份就是2個。
B、÷2＝×＝，每份就是的。
（4）如果把這張紙的平均分成3份呢？讓學生從上面兩種方法中選擇一種進行計算，通過操作對比，讓學生發現第二種方法適用的范圍更廣。
4、引導學生觀察÷2和÷3兩個算式，概括出分數除以整數的計算法則：分數除以整數，等于乘上這個整數的倒數。
三、練習
÷3÷3÷20÷5÷10÷6
四、總結
一、利用分數除以整數，開啟分數除法計算
在分數除法教學中我們首先利用分數除以整數作為教學的第一步。課堂開始我們拿出學生們熟悉的“蛋糕模型”，我們將蛋糕模型平均分為5份，然后隨機拿出3份，提問：“你們告訴老師我拿出來的蛋糕占整個蛋糕的幾分之幾？”學生異口同聲地回答：“占全部蛋糕的五分之三。”教師在黑板上寫下。之后教師將這三塊蛋糕分別分給前排的三個學生，教師提問：“每個學生拿到全部蛋糕的幾分之幾？”學生們異口同聲地回答：“每個學生拿到全部蛋糕的五分之一。”教師在的右側寫上。
教師提出探究性問題：“請同學們試用數學形式表示塊蛋糕的由來。”之后我們將全班學生分為若干討論小組進行討論。在一番討論之后，第一組學生說：“我們認為由于老師從五塊蛋糕中拿出來的三塊是大小相同的，所以將三塊蛋糕分為三個學生的過程可以看作平均分配，可以看做除法的過程，可以用除法表示。”第二組學生說：“我們的計算過程是這樣的，3÷3=1，每個學生得到一塊蛋糕，而每塊蛋糕占全部蛋糕的五分之一。所以得到。”第三組學生說：“我們進行了一次大膽的猜想，我們的計算過程為÷3=。因為在算式中每一個分子1都來自同一塊蛋糕，所以我們認為將三塊蛋糕平均分給三個學生的過程實際上是分子的變化過程，與分母無關。所以在計算中我們只需對分子進行計算，進而得到。”第三組學生說得有理有據，具有一定的說服力，我們給予該組學生表揚，并且以此為基礎引出“分數除以整數，分母不變，只做分子除法”的計算法則。
二、利用整數除以分數，引出顛倒相乘計算法
分數除法教學的第二個階段為整數除以分數。在這個教學階段我們首次將分數作為除數，做好這一階段的教學工作可以為“分數除以分數”的教學埋下一個良好的伏筆。對于整數除以分數的教學我們同樣采用由淺入深的教學設計。首先我們以最簡單的分數除法為敲門磚。我們在黑板上寫下：“1÷”讓學生進行計算，并且說出計算意義。仍以小組討論的方式。在約2分鐘的討論之后，第一組學生說：“我們采用‘蛋糕模型’，1作為一個蛋糕，代表將1個蛋糕分成2份，每1份為整體的二分之一。所以我組的計算結果為2。”第二學生說：“我們利用小數與分數的關系進行計算。=0.5，所以1÷=1÷0.5=2。”我們首先給予學生鼓勵。接下來我們在黑板上寫下：2÷，仍然讓學生分組討論，但這一次的討論結果正如我們所料，學生紛紛表示不會計算。這時我們介入引導，我們拿出教學道具：一根兩米長的繩子和一根一米長的繩子。進而引導學生思考：“現在只要利用這根繩子我就可以計算出答案。”一些學生率先想到了計算方法，舉起手來。教師請一名學生上臺，并且輔助其完成計算。學生先將一米長的繩子折成長度相等的三段，剪去其中一段，以剩下的繩長為單位測量兩米長的繩子。結果發現2米長的繩子中含有3個該繩長。所以2÷=3。
由此我們總結分數除法的意義為：在整體中包含多少個個體，與整數除法的意義相同，所以整數除法的運算法則同樣適用于整數除以分數的計算。在為學生打下分數除法的概念基礎后，接下來的教學任務就迎刃而解了。我們出題：4÷，這一次我們引導學生認識分數除法的一般規律。設4÷=x，根據除法的計算法則，我們可以將等號兩邊同時乘以變為4÷×=x×，所以4=x×。根據分數乘法的運算法則×=1，我們同時在的等號兩邊乘以，得到4×=x××，所以x=4×。我們將計算前后的算式整合到一起，得到4÷=4×。學生發現當÷變成了×，除數的分子與分母發生了對調，這一現象十分有趣。學生迫不及待地想要試一試自己解題，我們給出幾道例題：1÷，4÷，3÷在計算過程中我們發現學生在練習中的情緒十分積極，而且覺得這種變化十分好玩，形成興趣學習氛圍。之后我們又給出之前做過的分數除以整數的算式÷3，經過變形后得到×=，與之前的計算結果相符。根據除法的意義該該算式進行解釋：取分份蛋糕的，也與蛋糕分配過程相符，說明分數除法的計算公式通用。由此我們可以總結：整數除以分數時，計算法則為“顛倒相乘”。
三、利用分數除以分數，掌握分數除法一般性
分數除法的最后一個教學內容為分數除以分數。以分數除以整數、整數除以分數為基礎，分數除以分數也變得沒有那么難了。首先我們在教學中為學生證明在分數除以分數中分數除法的運算法則同樣有效。我們首先來舉一個小例子。例題：以一班總人數為標準，二班男生數量是一班總人數的，二班女生數量是一班總人數的，問二班男女學生比例為多少。解題：我們設一班總人數為“1”，那么二班男生人數為，女生人數為，那么男女生比例為：，即÷。
利用上文總結的分數除法運算法則得到÷=×==21：10。為了驗證這一結果是否正確我們假設一班總人數為70人，帶入得二班男生人數為42人，女生人數為20人，二班男女學生比為42：20=21：10。與分數除法計算結果相同，說明分數與分數的除法適用分數除法的運算法則，即顛倒相乘。為了進一步驗證分數除法法則的一般性，我們讓學生解析例題÷。除法意義：中含有幾個，因為×3=，所以結果顯然為3個。研究過程：設÷=x，÷×=x×，=x×，×4=x××4，結果為3=x，與結論相符，說明顛倒相乘在分數除法中具有一般性。最后我們開展習題訓練，練習中要加強學生對“顛倒相乘”的理解，復習分數乘法以及約分。
（延邊教育出版社理科編輯室，吉林延吉133000）
摘要：本文對人教版數學教科書中“分數與小數”部分在概念的教學以及教材結構方面存在的問題進行了分析，并在此基礎上，從數學學科知識和教材編寫的角度，對分數與小數的教學提出一些有針對性的建議，進而對教材中數學概念的教學提出一些想法，力求使“分數與小數”內容教學更加科學，并對進一步體現數學教科書的功能提供參考。
關鍵詞：小學；數學教科書；分數；小數
作者簡介：嚴今石（1971-），女，副編審，碩士，從事數學教材的翻譯、編寫和研究工作。
一、引言
分數歷來是在小學數學中既不易“教”也不易“學”的內容。盡管教科書中對分數的三種含義都提到了，但教育反饋的結果表明，大部分學生系統地學完分數之后，對分數的認識還停留在其“份數”定義，而且并不了解小數、分數、比的含義。這直接導致應用這些概念去解決問題帶來困難。因而，對目前教材中“分數與小數”內容的編寫以及教材中數學概念的教學進行反思，針對不足提出編寫建議，就顯得尤為迫切和必要。本文試從“分數與小數的意義”的教學和“教材編寫”兩個方面對小學數學教科書中概念教學進行探討。
二、問題的提出
1.在引入小數概念中存在的問題。人教版數學教科書中，對“小數”概念是通過十進制分數來建立的，通過舉例的方式，隨即進行歸納，直接提出概念。如通過例子[1]，“把1 米平均分成10份，每份是1分米。1分米是1/10米，還可以寫成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是1/100米，還可以寫成0.01米”，來說明小數的意義，使學生知道“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”的事實。這里又是借助長度單位，又是利用分數的意義，說的過于復雜。
實際意圖是想闡述“1/10還可以寫成0.1，1/100還可以寫成0.01”的規定，但最終還是沒有講清楚“十進分數為什么可以用小數來表示”的道理。這樣做，也許是因為考慮到這個年齡段孩子們的認知能力，但這樣的定義方法就導致學生可能僅僅知道小數概念的外延，而無法理解引入小數概念的必要性，不能深刻地認識概念的本質。教材除了在教學小數意義時，借助計量單位的十進關系（如長度單位）來幫助學生理解外，講小數的性質以及在練習中也安排了很多根據十進制計量單位理解小數的實際意義的練習。其實，小數意義的理解要涉及到十進分數，雖然教科書中在前面安排了“分數的初步認識”[2]，但是由于在初步認識階段，對這些知識的介紹如“蜻蜓點水”、“一帶而過”，學生實際上對“分數”的認識很模糊，對小數教學來說，對“什么叫分數”還沒弄清楚，所以對用它來定義的小數就不易理解了。
2.分數內容教學中存在的問題。分數是小學數學中的難點和重點，而分數內容的教學效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因為沒有幫助學生弄清基本概念，因為數學概念是數學中的核心問題，對它的理解和掌握，關系到學生解決實際問題的能力和邏輯思維能力的培養。事實上，概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。另一方面，概念作為人們反映客觀事物本質屬性的術語，也是由于人們認識的不斷深化而不斷發展變化的。例如，分數定義，按人們認識發展的順序，一般有四種情況。分別是份數定義、商定義、比定義和公理化定義[3]。研究發現，對“分數”內容，教科書上沒有處理好分數概念教學的發展性和階段性之間的矛盾。
考慮到小學生的接受能力，結合兒童認識事物的特點，小學教科書中側重從分數的“份數定義”[4]、“商定義”[4]、“比定義”[5]這三個層次，分階段引導學生認識分數，學習分數，運用分數。但是，教科書中存在從“份數定義”向“商定義”和“比定義”過渡過程中處理不夠到位、歸納不完整等一些問題，導致學生無法認識概念的本質。
如教科書中，通過樣例1和樣例2來總結出“分數與除法的互逆關系”，可是例1和例2都是關于等分物體的題，只能代表得出的結論對“等分除法”成立，而對除法的另一種實際應用“包含除法”能否成立還得經過驗證。然而，教材中不僅避開了這種情況的討論，在接下來講的例3（正好是“包含除法”題）里反而用上了此結論，而得出了另一個結論：“求一個量是另一個量的幾分之幾，可以用除法計算。[4]”對這樣的解釋，學生只能認可而無法理解。這直接導致學生對“分數與除法關系”的了解只是停留在表面，沒有從根本上知道其內涵，更不能作為分數意義的進一步擴展來理解。這不但局限了分數的價值，還給學生解決分數問題造成阻礙。
三、對“小數”與“分數”數學本質的分析
1“。 小數”的本質。目前，教材一般都從小數與分數的關系著手，利用分數來定義小數。從小數與分數的關系來看，小數確實是分數的一種，十進分數可以寫成小數形式，但它并不是小數的本質。從“數系的擴展”角度來看，小數和分數的引入都是計數單位的擴展，即測量和計算以及分物時不能得到整數的結果，就得用更小的計數單位來表示和測量。其中，從整數擴展成小數的具體依據是“十進位值制記數原則”。在整數學習中，計數單位的擴展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進制計數”，為在建立小數概念、小數大小比較以及小數的運算等方面進行知識遷移提供了基礎。因此，小數的本質在于“十進位值制記數法”。
2“。 分數”的本質。事實上，分數是從兩種實際意義中產生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測量而產生（對應的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產生（對應的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數學發展的需要而產生的（即除法運算得不到整數的結果時需要用新的數來表示）。分數的本質在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個結果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數，a≠0）時，其商是整數；不能整除時，其商就是新的數，我們稱它為分數。因此，分數的明確定義，就是兩個自然數相除（除數不為0）的商。因而，分數教學就需要盡快從“份數定義”過渡到“商定義”。所謂“份數”定義只是初步認識時的過渡說法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價值在于可用它來定量研究兩個以上事物在量方面的結構關系。
四、對“小數”定義的對策和對“分數”定義及其教學的建議
1.對“小數”定義的對策。基于前面所提到的問題和以上的探討，筆者認為可以將整數中十進制計數、位值概念的建立等基本構造思想和擴展長度單位時所用過的定義方法遷移過來定義小數。即當要表示不是整數的數值時，也可以用“把原來計數單位1平均分成10份后得到的每份”來計數。這個新的計數單位用“0.1”來表示，并讀作“零點一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數單位。
這樣，避開分數來定義小數對“分數”教學也有好處。因為教科書中將“分數”的初步認識安排在三年級上冊，其目的就是為了建立小數概念，然后分數的系統教學是安排在五年級下冊里。這樣由于兩個階段相距時間較長（正好兩年半），給學生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分數的“產生和含義”都放在了第二階段上，所以系統學習時出現了不必要的重復。對概念下定義的過程，是對概念本質特征的一種歸納鞏固過程。對于抽象的概念，過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義下得太遲，又使學生的已有知識呈現零亂狀態，不能及時地整理和總結，更不利于概念的定型化。
2.對“分數”定義及其教學的建議。筆者認為，關于“分數的認識”教學，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發展的連續性，要有計劃地發展概念的含義，按階段發展學生的抽象概括能力。因此，建議強調“分數與除法的等價性”，講解更透徹一點，使學生真正認識到“分數與除法可以互逆，可以看作同一種運算”。對上面提出的問題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個小題來，說明“分數與除法的等價性”對包含除法也成立，至于“求一個數是另一個數的幾分之幾，可以用除法計算”的道理，可以利用它們之間的對稱關系來解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個10，這里因為7比10小，不能把整個10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎上對除法的兩種情況進行全面地歸納，得出結論才符合邏輯，學生也可以接受。而對數學概念不注重引入，只是簡單舉個例子，找出規律，將概念直接提出來的做法是不科學的，不利于培養學生良好的思維品質。
五、結束語
在小學階段，分數與小數概念是非常重要的數概念，由于分數與自然數有著較大的差異，學生掌握分數概念比較困難，如果教科書中只是給出了抽象的定義，學生即便是了解了分數和小數的外延，也不一定懂它們的本質，對分數概念的產生、發展、延伸、變化，更沒有清楚的認識。因而，在編寫教材時，不妨去對潛藏在分數與小數概念中的思想作充分的分析，使得學生掌握概念最核心、最本質的特征。這樣，能通過概念教學，讓學生把握分數與小數的本質，體會其中的數學思想，從而使得分數與小數的教學取得更好的效果。
[1]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心。義務教育課程標準實驗教科書數學三年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心。義務教育課程標準實驗教科書數學三年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]張奠宙“。 談小學數學本質”[J].人民教育，2009，（2 ）。
[4]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心。義務教育課程標準實驗教科書數學五年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.
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申明:本網站內容僅用于學術交流，如有侵犯您的權益，請及時告知我們，本站將立即刪除有關內容。 【摘要】在小學數學教學過程中，分數以及除法均是其主要教學內容，同時也是教學過程中的難點所在，為了能夠對小學數學課堂教學有效性進行提高，必須要對分數以及除法的教學有效性進行提高。下面本文就對小學數學分數除法的教學進行探討。 【關鍵詞】小學數學分數除法教學 在小學數學教學過程中，分數以及除法均是其主要教學內容，同時也是教學過程中的難點所在。在小學數學教學工作中，不少小學生對分數除法的實質及運用理解不透，導致數學學習困難，拉大了數學成績的差距［1］。如何通過教學工作讓學生們真正理解并掌握分數除法的知識呢？下面本文就以分月餅為例對小學數學分數除法的教學進行探討。一、對小學數學分數除法的教學內容和目標進行明確
分數與除法是小學數學教學中的一個重點，同時也是較難為學生所理解的一個教學難點，這部分內容承接了之前有關分數的意義，分數單位等知識，進一步要求學生了解分數與除法的關系內涵，并能夠根據分數與除法的關系掌握如何計算一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題。學生在真正掌握了這部分內容后，能夠進一步了解分數的意義，也能夠為今后學習分數與小數的互化等知識做好鋪墊。根據具體教學內容，我們可以確定以下教學目標：（1）引導學生理解并掌握分數與除法的關系，了解一個數除以分數的計算法則，學會用分數表示兩個數相除的商［2］。（2）通過實際教學道具操作，使學生理解”3”的1/4就3/4。培養學生的分析、推理能力。教學重點和難點：“3”的“1/4”與“1”的“3/4”的含義。另外，還要準備相應的教學道具，如圓形紙板和繩子等，具體直觀的為學生演示除法計算的具體過程。二、重點對教學過程中的難點進行分析
（1）從簡入難的引入問題：利用課件出示一塊餅，提問：把這一個月餅平均分給四個人，每個人能分到多少？引導學生說出每份是四分之一塊，板書出“1÷4“和“1/4”，并讓學生重點了解除法算式和分數表示的區別。繼續提問：這里的“1/4”是把誰看做了那個整體“1”?小組討論，分析，回答問題。讓大家觀察板書，概括分數與除法的關系，分數的分子相當于除法中的被除數，分母相當于除法中的除數。明白除法是一種運算，分數則是具體的數量。
（2）提出進一步的問題：如果如果把3個月餅平均分成4份，每份是這些月餅的四分之一，每一份是多少塊？提問，板書出算式：“3÷4”。拿出圓形紙板，以小組為單位，每組四張，讓學生親自剪一剪，再拼到一起看一看，看看結果到底是什么？小組合作，交流，提問，幾種分法，每個人能分多少？學生回答并用紙板演示過程：第一種分法：按照3個月餅，均分4份，每人一份，把每個圓形紙板各分為4等份，然后每個紙板拿其中的一份，三份拼到一起，再與完整的紙板對比，是完整紙板的3/4。第二種分法：把三張圓形紙板疊放到一起，同時剪成4等份，拿出其中重疊的一份，拼到一起，再與完整的紙板對比，占完整紙板的3/4。對兩種方法做出比較，將兩種方法下的紙板拼接好，放到一起進行對比，發現是一樣大的，都是整塊紙板的3/4，也就是說，每人能分到3/4個餅。
（3）帶領學生一起歸納總結兩種分法的區別與聯系，概括分數與除法的關系。讓學生們明白，按照兩種不同的分法，3個月餅的1/4就是3/4個餅，而1個月餅的3/4也是3/4個餅，即：“3”的“1/4”與“1”的“3/4”相等。使學生體會到分數的表示具體數量的含義。
（4）提出問題，如：小明3/5小時走了1千米，計算他1小時走了多少千米？板書算式“1÷3/5”討論計算方法，總結計算法則。即：一個數除以分數，等于這個數乘以分數的倒數。
（5）課堂內容結束時進行總結，鞏固練習，課后拓展和延伸：利用實際生活中的各種分數和除法問題，帶領學生進行多個具體問題的分析計算，例如，可以利用班上的學生人數進行分組，讓大家自由提出問題并解決問題，增強學生的理解能力和解決問題的能力。課堂內容結束后，為學生布置適量的課后鞏固練習，并鼓勵大家思考一個數除以分數，如果這個數是分數而不是整數怎樣計算［3］。三、小學數學分數除法的教學總結
1 教學的方式方法方面：（1）從事教學工作的教師要具備足夠的耐心和責任心，認真進行備課及課堂教學。（2）在教學設計時盡可能多的增加直觀演示，利用各種教學道具，課件，圖片等直觀的對教學內容進行演示。（3）在進行新知識內容的講解時，要合理的提出疑問，巧妙的進行引導，結束講解時要及時全面的對所有知識點進行歸納總結，帶領學生梳理知識脈絡［4］。
一、教學目標：
1、理解比的意義，掌握比的讀法和寫法，認識比的各部分名稱。
2、掌握求比值的方法，并能正確求出比的比值。
3、培養學生抽象、概括能力。
二、教學重點：
理解比的意義，掌握求比值的方法。
三、教學難點：
理解比的意義，建立比的概念。
四、教學過程：
一、談話引入
在日常生活和和工農業生產中，常常需要對兩個數量進行比較。比較的方法我們已經學過兩種（比較兩個數量之間相差關系用減法；比較兩個數量之間的倍數關系用除法），今天我們學習一種新的比較方法，叫做比。（板書：比的意義）
二、講授新課
（一）比的意義
1、出示例題：一面紅旗，長3分米，寬2分米。長是寬的幾倍？寬是長的幾分之幾？
板書：3÷2＝ ＝
2÷3＝
（1）3÷2表示什么？長是寬的幾倍也可以說成誰和誰在比？是幾比幾？長和寬的比是3比2表示什么？
（2）2÷3表示什么？寬是長的幾分之幾也可以說成是誰和誰在比？是幾比幾？寬和長的比是2比3表示什么？
小結：
a、長是寬的幾倍，有時也可以說成長和寬的比是幾比幾；寬是長的幾分之幾，有時也可以說成寬和長的比是幾比幾。
b、3分米和2分米都表示長度，它們是同一種量，我們就說這兩個量的比是同類量的比。
（3）練習：有5個紅球和10個白球，求紅球是白球的幾分之幾，怎么算？也可以怎么說？求白球是紅球的幾倍，怎么算？也可以怎么說？
通過上面的例子，可以看出：比較兩個數量之間的倍數，可以用兩個數相除的方法，有時也可以說成這兩個數的比是幾比幾。
2、出示例題（擴展比的概念，進一步理解比的意義）
一輛汽車，2小時行駛100千米，每小時行駛多少千米？
（1）求的是什么？誰除以誰？也就是誰和誰進行比較？
（2）汽車行駛路程和時間的比是100比2表示什么？
（3）思考：單價可以說成是誰和誰的比？
工作效率可以說成是誰和誰的比？
商可以說成是誰和誰的比？
（4）小結：通過剛才的例子可以看出，用表示兩種數量的數相除，可以得到新的量，這個新的量也可以用兩個數的比來表示，我們就說這兩個量的比是不同類量的比。
3、歸納總結
板書：兩個數相除又叫做兩個數的比。
4、練習、
（1）學校里有10棵楊樹，7棵柳樹，楊樹和柳樹棵數的比是（
），柳樹和楊樹棵樹的比是（ ）
（2）小華用2分鐘口算了50道題，小華口算的題量和所用時間的比是（ ）。
（3）學校食堂買20千克青菜，用了10元錢；買了30千克蘿卜，用了42元錢；買蘿卜和青菜數量的比是（ ），青菜和蘿卜單價的比是（ ）。
（二）比的各部分名稱和求比值的方法（演示課件“比的意義”）下載
1、兩個數相除又叫做兩個數的比，說法變了，書寫格式和名稱也就變了。
例如： 3比2
記作：3∶2
2比3
記作：2∶3
100比2
記作：100 ∶ 2
“∶”叫做比號，讀作比（比號在兩個數中間，注意與語文中的冒號區別），比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
（三）、比、除法、分數之間的關系（演示課件“比、除法、分數的異同”）下載
提問：兩個數相除又叫做兩個數的比，比和除法到底有什么關系？
學生觀察板書，小組討論。
生：比的前項相當于除法中的被除數，比號相當于除法中的除號，比的后項相當于除法中的除數，比值相當于除法中的商
提問：（1）為什么要用“相當于”這個詞？能不能用“是”？（比與除法既有聯系，也有區別，除法是一種運算，比則表示兩個數之間相除的關系，所以只能用“相當于”這個詞）
（2）在除法中，除數不能是零，那比的后項呢？
師：比還有一種表示方法，就是分數形式。例如：
板書：3 ∶ 2可以寫成 ，仍讀作“3比2”
2 ∶ 3可以寫成 ，仍讀作“2比3”
提問：比和分數有什么關系？
生：：比的前項相當于分子，比號相當于分數線，比的后項相當于分母，比值相當于分數值。
三、鞏固練習
1、填空
兩輛汽車，甲車4小時行駛200千米，乙車3小時行駛180千米
甲車的速度可以說成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
乙車的速度可以說成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
甲、乙兩車所行路程的比是（ ）
甲、乙兩車所用時間的比是（ ）
甲、乙兩車所行速度的比是（ ）
2、選擇
(1) 大卡車載重量是5噸，小卡車載重量是2噸，大小卡車的載重量比是 。（ ）
（2）如果a是b的3倍，那么a和b的比是1∶3。（ ）
（3）小強的身高是1米，爸爸的身高是173厘米，小強和爸爸身高的比是1∶173。（ ）
3、思考題：
（1）甲乙兩隊比賽結果是3 ∶ 2，是指這節課所學的比嗎？
（2）根據男、女生人數的比是4∶5，你可以知道男女生的具體人數嗎？
4、一臺機器上有大小兩個齒輪，大齒輪有100個齒，每分鐘25轉；小齒輪有40個齒，每分鐘120轉。根據所給條件，你可以寫出哪些比？
四、課堂小結
今天這節課你學到了哪些知識？比和除法、分數之間的聯系是什么？區別呢？
五、課后作業：
一、動、靜交替，講、練結合，優化課堂教學
根據小學生的心理特點和認知水平，在教學中，通過動、靜交替，講、練結合，調動學生多種感官參于學習，使學生的大腦始終保持興奮狀態，這樣，有利于課堂教學的優化。
例如，在學習“分數的意義”這一內容時，可先讓學生把一張正方形的紙對折，平均分成2份、4份、8份；把一個蘋果平均分成2份、4份；把一個圓平均分成3份、6份；把一條線段平均分成5份，全國公務員共同天地、10份；……在操作中，教師引導學生體會“一個整體”、“平均分”、“每一份占總份數的幾分之幾”的意義。在以上操作的基礎上，讓學生結合自己的操作完成以下填空練習：
1、把一個蘋果平均分成2份，每份占這個蘋果的（），單位“1”是（）。
2、把一個圓平均分成3份、6份，每份分別是這個圓的（）、（）。
3、把一條線段平均分成5份、10份，每份分別是這條線段的（）、（），單位“1”是（）。
教師在教學中著重講清單位“1”和自然數“1”的不同之處：分數中的單位“1”可表示一個物品，也可表示一個整體，如一個蘋果、一堆沙子、一個班集體、一件工程等，被分的那個整體被看作單位“1”。再通過“平均分”和“不平均分”的比較，強調“平均分”的意義。通過以上操作、練習、講解，使學生對“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數，叫作分數”這一定義有較為深刻、準確的理解。，全國公務員共同天地
二、通過知識遷移，溝通新、舊知識間的聯系，培養學生靈活解答數學問題的能力
小學數學是一個多層次、多方面的知識體系。運用知識的遷移規律，有助于學生學習新知識、解決新問題。要做到這一點，教師必須深入鉆研教材，溝通新、舊知識間的聯系，對知識進行類化，使之有利于知識的遷移，培養學生應用知識靈活解答問題的能力。
例如，除法、分數、比是三個既有聯系、又有區別的概念。通過知識的遷移，既有利于學生掌握新知識，又使學生弄清這幾個概念之間的異同：雖然“比”的前項相當于除法中的被除數、分數中的分子，后項相當于除法中的除數、分數中的分母，“：”相當于除法中的除號、分數中的分數線，它們都可表示兩數相除的關系，但除法是一種運算，分數是一個數，“比”既可表示同類量之間的相除關系，也可表示不同類量之間的相除關系。根據三者之間的聯系，在解這三類應用題時，通過靈活轉換，化難為易，提高學生解答應用題的能力。例如，在教學“把一種農藥和水按照1∶2500配成藥水。在1000千克的水中，應放這種農藥多少千克”這道題時），可用比、分數、除法三種方法解答：
用比例方法解：1∶2500＝x∶1000x＝0．4
用分數方法解：1000×（12500）＝0．4（千克）
展
【中圖分類號】 G623.5 【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）02―0124―01
分數應用題是一個龐大的體系，而分數又是一個很抽象、很復雜的概念，學生理解起來比較困難。如果這部分內容就教材學教材，學生所掌握的知識是零散的，無法建構數學模型，解題時漏洞百出，以至于對后續“百分數的應用”以及“按比例分配”等知識的學習都會有一定的影響。筆者認為，針對教材編排特點和學生學習的實際情況，教學這部分內容時應在“梳理、建模、拓展”這三個方面下功夫。
一、梳理知識
學習分數乘法和分數除法的相關知識時，一定要讓學生養成及時梳理知識的習慣，要鼓勵他們把整單元知識中每一個課時中的內容聯系起來，串成一條知識鏈。例如，分數除法中第一課時“分數除以整數”圍繞平均除闡述了分數除法的意義和計算方法，第二課時，一個數除以分數。圍繞包含除闡述了分數除法的意義和計算方法。除法中不論平均除還是包含除都是乘法運算的逆運算，因此，學完這兩課時內容后，可以把分數除法的意義串成一條鏈，總結為“已知兩個乘數的積與其中的一個乘數，求另一個乘數的運算。”而分數除法計算方法可概括為“甲數除以乙數（乙數不為0），就等于甲數乘乙數的倒數。”分數乘除法的相關知識學完后，對分數乘除法應用題應該進行整理與復習，通過對比，找出分數乘法應用題和分數除法應用題的異同點，進而正確解答。教師可設計對比性練習題組，讓學生在解決問題的過程中對這部分內容進一步梳理。
例如，王大爺家養雞6只，鴨8只。（1）雞的只數是鴨的只數幾分之幾？（2）鴨的只數是雞只數的幾分之幾？學生得出答案后，可調換問題和條件改編成以下4道練習題：
（1）王大爺家養鴨8只，雞是鴨的，問雞有幾只？
（2）王大爺家養雞8只，雞是鴨的，問鴨有幾只？
（3）王大爺家養雞6只，鴨是雞的，問鴨有幾只？
（4）王大爺家養鴨6只，鴨是雞的，問雞有幾只？
二、建構模型
分數乘除法應用題都有固定的結構特點，學習后，讓學生樹立模型思想，理解此類問題的實質，找到解決問題的途徑。教材在分數乘法（二）的試一試中安排了這樣一道分數乘法應用題的例題：同學們植樹，女生植了20棵，男生植的棵樹比女生多，男生比女生多植樹多少棵？這種“比”字結構的分數乘法應用題對于初學分數乘法的學生來說有一定難度，教學時可進行調整，改成“是”字結構的問題：同學們植樹，女生植了20棵，男生植樹的棵樹是女生的，男生植樹多少棵？”然后讓學生直接利用分數乘法（二）中所學的“求一個數的幾分之幾是多少”解決問題。接著解決課本中的例題，“男生比女生多植樹多少棵”實質也是“求一個數的幾分之幾是多少”。在此基礎上，再把例題中的問題“男生比女生多植樹多少棵？”改成“男生植樹多少棵？”通過線段圖分析，使學生明白“男生植樹的棵數=女生植樹棵數×（1+）”，實質上還是求一個數的幾分之幾是多少。繼續改編，將例題中的“男生植樹的棵數比女生多”改成“男生植樹的棵數比女生少”，問題還是“男生植樹多少棵？”學生通過循序漸進地解決問題，分數乘法應用題的模型會一一儲存在大腦中，也能找到解決問題的途徑。
三、合理拓展
學生系統學習分數乘除法后，一定會理解分數問題的根源，即“求一個數的幾分之幾是多少”。具體解決問題時，學生也能準確進行判斷。如果整體“1”表示的數量已知，直接利用“求一個數的幾分之幾是多少”解決問題；如果整體“1”表示的數量未知，就用具體的數量除以它所對應的分數，求出整體“1”的量。但是到此為止，學生解決問題的能力還是停留在模仿階段，不能達到靈活運用所學知識解決問題的層面。因此，筆者認為，學生樹立模型思想的意識后，在模型基礎上適當拓展，能提高學生學以致用的能力和解決問題的能力。筆者設計了下面的拓展練習：
小紅讀一本360頁的故事書，第一天讀了全書的，第二天讀了全書的，第三天剛好讀完，第三天讀了多少頁？
【關鍵詞】分數；百分數；解決問題；教學
分數、百分數知識，在日常生活和生產建設中有著廣泛的應用，也是小學數學的一個重要內容，而這部分內容歷來又是小學教學的難點。如何改進并加強分數、百分數問題教學，提高教學效率，提高學生的分析能力，使學生能正確解決分數、百分數問題，是我們小學數學老師要直面的問題。
眾所周知，分數問題與百分數問題有著緊密的聯系，教學中如果我們抓住它們的聯系，可以使教學取得事半功倍的效果。在多年的教學實踐，使我對這一部分內容的教學，有著自己的理解，也積累了一些方法和經驗，現在我想就分數、百分數解決問題的教學談一下我的見解。
1重視分數乘法問題的教學
分數乘法中解決問題的分析方法，是分析分數除法以及百分數解決問題的重要基礎，由于分數乘法中的“求一個數的幾分之幾是多少”在乘法中屬于一種特殊的數量關系，又是分數問題的主要教學內容，抓好這種特殊數量關系的教學，可以大大提高學生分析、解決分數問題的能力，也為百分數問題的解決打好基礎。為此，我們應該做到以下幾點。
1.1抓好分數乘法意義的教學，是解決分數乘法問題的基礎。
分數乘法問題的解決依據是分數乘法的意義。分數乘法的意義有兩種：一種與整數乘法的意義相同，即求幾個相同加數的和的簡便運算，如：
1.2抓住分數乘法問題的關鍵句，強化學生對數量關系的分析。
分數乘法問題中“求一個數的幾分之幾是多少”的解決方法是后面解決分數除法、百分數問題的基礎，學生必須掌握它的分析方法及解題技巧。如何才能讓學生把“求一個數的幾分之幾是多少”這類問題的解題技巧掌握好呢？我的做法是：重點讓學生分析關鍵句，根據關鍵句訓練學生分析數量關系。學生學會正確分析一道題的數量關系，就能正確列出算式解決問題，而一道分數問題中的關鍵句往往是分析本題數量關系式的依據。
綜觀兩個例題的分析方法，不難看出共同點：第一，抓住了關鍵句進行數量關系分析，第二，根據“分數乘法的意義”得出等量關系式，從而解決分數乘法問題。經常進行這樣的訓練，學生就掌握了分數問題數量關系的分析方法，也就能正確解決分數問題了。
2突出分數乘法與除法問題分析方法的一致性
分數除法問題，實質上是分數乘法問題的逆運算，因此，分數除法問題的分析，可以借助分數乘法的分析方法。六年級上冊分數除法問題的教學，主要解決“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”和稍復雜的分數除法問題。它們分別與分數乘法中“求一個數的幾分之幾是多少”與稍復雜的分數乘法問題有著緊密的內在聯系，它們的數量關系相同，都可以同樣的分析方法來解決問題。所以分數除法問題的分析方法應與分數乘法問題的分析方法保持一致。
3百分數問題的教學要聯系分數問題的教學
我們知道百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾”，與分數中的“表示一個數是另一個數的幾分之幾”是一樣的。因此，百分數同分數有緊密的聯系。教學中我們要緊緊抓住學生已有的分數知識，從分數進入百分數，這樣學生的學習就有了依據。
這樣的教學，注重了知識結構和體系的整理，處理好了局部知識與整體知識的關系，使學生的知識得到有機整合，減輕了學生的學習負擔，大大提高了教學效率。
教無定法。希望老師們充分發揮自己的聰明才智，積極探索新課標下的教學改革，多動腦筋，勤于思考，善于總結反思，探索有利于學生學習的方法，這樣就能不斷提高教學效率，使自己逐步成為一位教學上的智者，甚至大師，在教學崗位上綻放出更耀眼的光芒！
參考文獻
[1]課程教材研究所、小學數學課程教材研究開發中心編著，六年級上冊教師教學用書[M]，人民教育出版社出版，2007
20xx年小學六年級數學期末復習計劃書一、復習內容
1. 分數乘除法。
分數乘、除法屬于分數的基本知識和技能，而且兩者關系密切，教材將這兩部分內容集中安排。教材首先通過一組題目，強調分數乘除法的關系，即分數除法是分數乘法的逆運算。同時對分數乘除法的計算方法進行了復習。比的相關概念、倒數的概念和計算、比的性質、比與分數及除法的關系等也是復習的重點，教材通過總復習的第2題和練十七的第3、4、5題進行了復習。
此外，用分數乘除法解決問題也是這部分的重點內容，主要包括求一個數的幾分之幾是多少的問題(含稍復雜的)、已知一個數的幾分之幾是多少求這個數的問題(含稍復雜的)等。教材把它們對照編排，便于學生弄清這幾類問題的聯系和區別，從而更好地掌握解決問題的思路，即先明確單位1，再看單位1是已知還是未知來確定解決問題的方法。為了讓學生更好地掌握分析方法，總復習的第5題和練十七的第7題還安排了需要兩次判斷單位1的練習。
2. 百分數。
百分數內容的復習重點放在百分數的應用，緊接在用分數乘除法解決問題后編排，這樣可以使學生看到它們在結構、解題思路上的一致性，便于加強知識間的聯系。百分數的概念沒有單獨復習，但它是百分數應用的基礎，因此要注意進行復習。總復習的第6題是求常見的百分率的問題，通過給出計算公式，既復習百分數的意義、百分數與分數及小數的互化，又可復習求烘干率等類似問題。第7題為稍復雜的百分數的應用問題。練十七的第13、14、15題安排的是有關百分數的習題，其中第15題涉及國債、納稅、利率等內容的復習。
3. 空間與圖形。
這部分內容包括位置與圓的復習。
在第一學段中，學生已經會用第幾組、第幾個來表示物體的位置，本學期進一步學習用數對表示物體的位置。教材通過總復習的第8題復習用數對表示物體的位置，練十七的第1題安排了相應的練習。
本學期圓的認識包括直徑、半徑、、軸對稱圖形等概念以及圓的周長和面積、圓的畫法等內容，教材重點復習了圓的周長、面積計算公式和軸對稱圖形。總復習的第9題通過讓學生復習計算公式的得出過程，加深學生對計算公式的理解和掌握，以使學生在解決具體問題時能根據不同條件和問題靈活地運用計算公式。第10題復習軸對稱圖形的概念，并運用概念判斷兩個圖形是否是軸對稱圖形，加深學生對概念的理解和整理。直徑、半徑及其它們之間的關系等知識在練十七的第11題進行復習。
4. 統計。
本學期統計的內容主要是認識扇形統計圖。教材通過總復習第11題使學生進一步體會扇形統計圖的特點，即能清楚地表明各部分數量同總數之間的關系，并根據給出的信息解決一些問題，以促使學生分析信息、解決問題能力的提高。
二、復習目標
通過總復習，系統、全面地復習和整理本學期所學知識，幫助學生構建合理的知識體系，以便學生更好地理解和掌握所學的概念、計算方法以及有關的規律性的知識，進一步發展學生的數概念、空間概念、統計概念，增強學生綜合運用知識的能力，全面達到本學期的教學目標。
1、理解分數乘、除法的運算意義，掌握分數乘、除法的計算方法和分數四則混合運算的運算順序;能正確計算分數乘、除法和分數四則混合運算(不超過三步)式題，能應用運算律和運算性質進行有關分數的簡便計算;能應用分數乘法解決求一個數的幾分之幾是多少的簡單實際問題，能列方程解決已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的簡單實際問題，能用分數乘法和加、減法解決稍復雜的實際問題(不超過兩步)。
2、理解比的意義和基本性質，能應用比的意義和基本性質求比值、化簡比，能正確解決按比例分配的實際問題。
3、理解百分數的意義，能正確進行百分數與分數、小數的互化，會解決求一個數是另一個數的百分之幾的簡單實際問題。
4、認識圓，掌握圓的基本特征，理解直徑與半徑的相互關系;會用圓規畫圓。
2. 理解圓周率的意義，掌握圓周率的近似值，理解和掌握圓的周長與面積的計算公式，并能正確地計算圓的周長與面積。
5、學生在整理與復習的過程中，進一步體會數學知識和方法的內在聯系，能綜合應用學過的數學知識和方法解釋日常生活現象、解決簡單實際問題，進一步發展數感、空間觀念和統計觀念，增強解決問題的策略意識和反思意識，提高解決問題的能力。
6、學生在整理與復習的過程中，進一步評價和反思自己在本學期的整體學習情況，體驗與同學交流和獲取知識的樂趣，感受數學的意義和價值，發展對數學的積極情感，增強學好數學的自信心。
三、復習重點
分數、百分數的計算(包括分數乘法、分數除法、分數四則混合運算)及應用題。圓的概念和周長、面積的計算。
四、復習難點
從學生平時的作業和單元檢測情況來看最大的問題是分數、百分數稍復雜的除法應用題，其次是分數和百分數、圓的概念。
五、復習原則
1、充分調動學生自主學習的積極性，鼓勵學生自覺地進行整理和復習，提高復習能力。
2、充分體現教師的指導作用，知識的重點和難點要適時講解點撥，保證復習效果。
3、充分體現因材施教分類推進的教育原則，針對不同層次的學生設計不同的教學內容和教學方法，查漏補缺，集中答疑，提高復習效果。
六、復習方法
1、帶領學生按單元整理復習，鞏固基礎知識。
教師要按單元抓準知識的重難點，進行相關知識的整合與鏈接，使之形成完整的知識網絡。例如應用題的復習，可由簡單的分數應用題鏈接到稍復雜的復合應用題，將知識整合鏈接起來，進一步理解數量之間的關系，提高分析解答應用題的能力。
2、加強計算能力的訓練
平時教學中發現學生的計算能力普遍較低，所以在復習的時候要特別加強計算能力的訓練。學生計算能力的訓練不只是機械重復的練習，而是要讓學生掌握正確的計算方法和策略。讓學生記住一看二想三算看清題目中的數、符號;想好計算的順序，什么地方可以口算什么地方要筆算，哪里可以簡便計算;最后動筆算。
3、加強與實際的聯系
適應新課標的精神加強知識的綜合應用以及與生活的聯系，提高學生解決實際問題的能力。
4、講練結合精心設計練習，把有營養的知識方法做成有味道的數學問題和練習吸引學生去探究
5、分層指導
針對學生的具體情況有針對性的進行復習，對于中差生和優生在復習上提出不同的要求，復習題分層，指導分層，充分體現問題練習的層次性，讓不同的學生在復習中都自己新的收獲。
6、后20%學生有針對性輔導。
七、注意的問題：
1、考慮到本冊是小學階段最后一次編排位置與方向內容，復習時應注意知識的綜合整理，讓學生對該內容形成較為完整和系統的認識。縱向來看，用數對確定物體的位置是一年級下冊按行、列確定位置的一個深化，把第幾行第幾列的具體描述抽象成數對的形式，更為簡潔明了;橫向來看，則與四年級下冊用方向和距離兩個要素來確定位置是互為補充的兩種方法，分別從不同角度出發來刻畫物體的位置關系。復習時要引導學生在綜合、對比的基礎上進行整理，從而全面掌握確定物置的方法。 綜合以前學過的平移、方位、路線圖等知識，可使學生在復習過程中加強對前后知識內在聯系的認識和把握，同時進一步鞏固了用數對確定位置的方法。
教學片段：
一、復習用分數乘法解決的問題
1.出示圖1。
師：從圖中你知道什么條件？要求什么問題？
師：你能根據圖中的條件和問題把它還原成一道文字表達的問題嗎？
生：求60的是多少？
生：把60平均分成3份，求兩份是多少？
師：怎么計算？
生：60×或60÷3×2
師：兩種算法有什么聯系？
生：計算60×時，把60和3約分就是60除以3。
[設計意圖：一是復習分數乘法的意義，二是學生可通過圖示，回憶三年級學過的“求一個數的幾分之幾是多少”，溝通分數乘法與整數除法之間的聯系，對分數的理解就更廣了。]
2.出示圖2。
師：這幅圖由兩條線段構成，知道為什么要畫兩條線段嗎？能不能說說圖示表達了什么意思？
學生列式計算：60×=40（人）
3.溝通與整數中“求一個數的幾倍是多少問題”的聯系。
師：其實，它跟我們以前學過的一種問題有聯系，你們還記得嗎？
生：是“求一個數的幾倍是多少”的問題。（動態變成圖3）
師：它們都有哪些聯系呢？
生1：都用乘法計算
生2：這里的3倍可以用來表示。
生3：都是同一個已知的數比，結果是整數就用倍來表示，不到1倍時就用分數幾分之幾來表示，所以求一個數的幾倍或幾分之幾都用乘法。
師：這個已知的數在分數中我們叫單位“1”，在幾倍問題中稱為一倍數，實際上它們都表示一個比較的標準。
[設計意圖：與“求一個數的幾倍是多少”比較，能促進學生對分數乘法意義的理解。通過直觀圖形的比較，使學生對“求一個數的幾分之幾可以用乘法計算”的理解有了一個生長點，實現了與已有知識之間的無縫對接。]
4.比較。（同時出示圖1和圖2。）
師：比一比第1題與第2題有什么相同之處？
生：單位“1”都是已知的。
生：都是求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法。
師：又有什么不同的地方？
生：第1題中的分數表示的是部分與整體的關系，第2題中的分數表示的是兩個量之間的關系。
生：第1題是已知整體求部分，第2題是已知標準求另一個量。
5.稍復雜的分數乘法問題。
出示圖4、圖5。
師：分別說說從圖中你知道了哪些信息？可以怎樣列式？
學生列出算式（第4題）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。
第5題算式略。
師：第①、②兩種方法有什么區別與聯系？
生：第一種方法是先求用去的，再用總數減用去的得到剩下的；第2種方法是先求出剩下的分率，再用單位“1”乘剩下的分率得到剩下的。
生：都要用單位“1”乘分率得到一個量。
6.比較。同時出示圖1、圖2、圖4、圖5。
師：這四道題有什么相同點？
生：單位“1”都是已知的，單位“1”乘分率等于所求問題。
師：為什么第1題和第4題乘的分率不同？
生：因為所求問題不同。所求問題不同，乘的分率也不同。
師：也就是問題跟分率要一致，在數學中我們稱之為對應。
二、復習用分數除法解決的問題
1.出示圖6。
師：從圖中你能知道哪些條件？
生：全長平均分成了4份，這樣的3份是120米，求全長是多少？
生：把全長看成是單位“1”，全長的是120米，求全長是多少？
師：怎樣列式？
生：120÷3×4。
師：也可以先除后乘。跟前面的一樣嗎？
生：這是通過部分先求一份，再求單位“1”的總份數，而分數乘法問題中是先把單位“1”平均分，再數其中的部分有這樣的幾份。
生：全長×=120米，所以全長=120÷。
生：這兩種算法還是有聯系的，120÷=120×=120÷3×4。
出示圖7，教學過程同上。
2.出示圖8、圖9。
師：說一說這兩幅圖分別表示什么意思？能根據圖中給出的條件和問題列出算式嗎？
3.比較。同時出示圖6、圖7、圖8、圖9。
師：這四道題有什么相同的地方？
生：都是求單位“1”。
生：用的都是除法，都是用具體數量除以分率。
師指第6、8兩題，為什么所除的分率不同？
生：因為具體數量不同。
生：分率要跟具體數量相對應。
三、分數乘除法問題的比較
同時出示圖1、圖2、圖6、圖7。
師：看圖比較，你能發現什么嗎？
生：第1、2題是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法；第6、7兩題是相反的，已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”，用除法。
生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求幾份或總數。
……
教學反思：
一、在比較中溝通聯系
本課教學，通過比較溝通了分數乘、除法問題之間的聯系；復雜問題與簡單問題之間的聯系。這里并沒有讓學生簡單地比較得出解決分數問題的一種套路，即單位“1”已知，用乘法，乘所求問題對應的分率；單位“1”未知，用除法或方程……如果學生在解決問題后就此終止，不對解決問題的過程進行回顧和反思，不對各種方法進行評價，那么數學活動就有可能停留在經驗水平上，事倍功半。教學中，把重點放在通過線段圖的直觀，引導學生進行交流與反思，在原有知識中溝通了學生對分數意義不同維度之間的聯系，獲得對分數問題的真正理解。
二、在直觀中感悟數學思想方法
以往教學分數乘、除法問題時也重視比較，即先通過文字表達的題組解決問題，最后比較異同，再歸結出分數乘、除法問題的解決思路，學生易形成分數問題的解題套路，它是一種以提高解題正確率為目的的比較。學生在掌握了套路后，往往不仔細地閱讀和理解題意就進行列式。而通過直觀的線段圖進行比較，抽去了情境，有利于學生發現問題的本質，有助于學生進行比較、交流與反思，從而促進對知識的深度理解，有利于學生感悟分數乘、除法問題中的量率對應思想。對于量率對應，雖然不要求對學生明確提出，但是學生自己在解決問題、交流的過程中有很好地感悟，這對分數意義的理解很有幫助。
一、 指導思想
嚴格遵循黨的教育方針，愛崗敬業，正確傳授學生知識，并對學生進行適當的思想教育，培養其成為新時期現代化建設的接班人和建設者。認真培養其數感，提高其計算能力，培養其空間觀念，并能把所學的知識應用到生活實際中去，解決實際生活中的問題。
二、基本情況分析
本班共有學生50多人，其中男生和女生大約各占一半。本班的大部分學生都是來自居峪管理區的各個村，其中有一大部分是在校住宿生。從去年一年的教學情況來看這個班的學習習慣較差，特別是作業習慣的自習習慣，困此必須對其進行培養。另外，還有少數學生的家長到外地打工或開飲食店等，孩子留在家里由爺爺、奶奶或親戚照看，這樣不利于對孩子的教育，兩極分化比較嚴重，因此對學生的關心和思想教育也十分重要。
三、教學目標
九年義務教育小學六年制數學第九冊數學的主要任務目標是：
1、使學生理解分數乘、除法的意義，掌握分數乘、除法的計算法則，比較熟練的計算分數乘、除法（簡單的能夠口算）。
2、使學生會進行分數四則混合運算。
3、使學生理解比的意義和性質，會求比值和化簡比。
4、使學生掌握圓的特征，會用工具畫圓；掌握圓周長和圓面積的計算公式，能夠正確計算圓的周長和面積。通過介召圓周率的史料，使學生受到愛國主義教育。
5使學生初步理解軸對稱的意義，初步認識軸對稱圖形。
6、使學生能夠解答比較容易的一到二步計算的分數應用題，能夠綜合運用所學知識解決比較簡單的實際問題，能夠根據應用題的具體情況，靈活的選用用算術解法和方程解法。
7、使學生理解百分數的意義，比較熟練地進行有關百分數的計算，能夠解決一些簡單的有關百分數的實際問題。
在完成本冊數學任務的同時還要注意以下問題
1、能結合具體情境，對有關的數學信息作出合理的解釋。
2、在探索物體的位置關系、圖形的特征、圖形的變換以及設計圖形的過程中，進一步發展空間觀念。
3、能根據解決問題的需要，收集有用的信息，進行歸納、類比與猜測。
4、在解決問題的過程中，能進行有條理的思考，能對結論的合理性作出有說服力的說明。
四、方法措施
1、認真備課，鉆研教材，作到課堂上能深入淺出進行教學，特別照顧到后進生。
2、平時的練習要有針對性，對于后進生和優秀的學生要分別出一些適合他們的練習。
3、加強操作、直觀的教學，例如教學圓和軸對稱圖形時，就要利用操作、直觀教學，以發展他們的空間觀念。
4、增加實踐活動，培養學生用數學知識解決實際問題的能力。
5、加強能力的培養。主要培養學生的分析、比較和綜合能力；抽象概括能力；判斷、推理能力；遷移類推能力；揭示知識間的聯系，探索規律，總結規律；培養學生思維的靈活性和敏捷性。
五、教學進度安排
周次
教學內容
課時
備注
1至4
分數乘除法意義和四則計算
5至8
簡單的分數應用題
9至13
圓的周長和面積公式與其應用
14至18
百分數的意義與簡單的百分數應用題
19至完
然而，對于這么多的教學內容怎么可能在一節課內完成呢？從意義上讓學生來理解分數與除法的關系就要花大量的時間，如果再加上真假分數和帶分數也要從意義上真正理解，40分鐘根本就不夠用，當時大家的想法也是如此。那如何將這些內容整合在一起呢？是單純知識的疊加整合還是有效的知識融合？筆者通過兩節同課同構的“分數與除法”來具體闡述說明。為達成教學目標，不同的教師的整合方式也有所不同。
一、A教師的方式：“疊加式”的教學整合
進行教學內容整合，首先要明確整合內容包含的知識點有哪些，然后將知識點按重難點的要求分別設計在教案中，再在課堂上一一呈現。下面這位教師就是將知識點有序地“疊加”，教學過程如下。
（一）復習引入新課
1. 我們已經學習了分數的意義，今天，我們繼續來學習有關分數的知識。
（1）把8個餅平均分給2個人，每人分得幾個？ （8÷2＝ 4）
（2）把4個餅平均分給2個人，每人分得幾個？ （4÷2＝ 2）
（3）把2個餅平均分給2個人，每人分得幾個？ （2÷2＝ 1）
師：以上式子為什么用除法？
2.現在只有1個餅，平均分給2個人，每人分得幾個？ （1 ÷2＝ 0.5= ）
如果把這一個餅，平均分給3個人，每人分得幾個？（1 ÷3＝ 0.3= ）
師（小結）：當得到的商不能用整數表示時，我們就可以用小數或者分數來表示。
3.師：如果把這一個餅，平均分給4個人，每人分得一個餅的，也可以說是個餅。
（二）探究除法與分數的關系，認識真假分數
1.連續分9個餅。
（1）一個餅平均分給4個人，每人分得多少個餅？（1 ÷4＝）
（2）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（2 ÷4＝ ）
（3）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（3 ÷4＝）
（4）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（4 ÷4＝ =1）
（5）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（5 ÷4＝ ）
（6）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（6 ÷4＝）
（7）再給一個繼續分，每人分得多少個餅？（7÷4＝）
（8）現在呢？（課件出示第8個餅）（ 8÷4＝=2）
（9）還想再來一個嗎？（9÷4＝）
2. 在分餅的過程中我們知道了平均分可以用除法來計算，商可以用分數表示。仔細觀察，除法算式和所得的分數之間有什么聯系？還有什么不同的地方？
聯系：被除數相當于分子， 除數相當于分母，除號相當于分數中的分數線。
用字母表示：a÷b=，并補充b≠0。
不同：除法是一種運算，分數就是一種數。
3.下面再請大家仔細觀察，這一次我們來看這一列分數，你有什么發現？
根據分子與分母的大小關系給出真分數和假分數的概念并舉例。
4.揭題：分數與除法。
（三）進一步探究除法與分數的關系，認識帶分數
1．三個餅平均分給4個人。
（1）學生操作，小組交流。
（2）反饋學生的三種不同方法：將每個餅平均分成4份，一個一個分；將兩個餅各自平均分成2份，第三個餅平均分成4份，再分；三個餅疊在一起平均分成4份，再分。
（3）深入認識除法與分數。得出：3個餅的就等于 1個餅的，就是個餅。
2. 五個餅平均分給4個人。
先一個一個分，最后一個分四份，引出1+=1（個），并呈現假分數和帶分數的概念。
從上述案例中我們可以看出這位教師的精心設計，通過“分餅”活動，將分數與除法的關系和真分數、假分數、帶分數整合在一起，串聯成一條主線。
第一次分餅：解決商是整數的分法，引出商可以是分數。
第二次分餅：一個一個分餅解決探究分數與除法的關系，引出真、假分數的概念。
第三次分餅：通過3個餅平均分給四個人的不同分法進一步理解兩者關系，并引出帶分數的概念。
三次分餅將這些知識點整合在一起，環節清晰。但是如果進一步思考就會發現，在這樣的教學安排下，學生對分數與除法的關系體驗會比較單薄，反而真、假分數成了學習的重點，這樣與這節課學習目標的達成就背道而馳了。雖然這位教師將這么多知識點都有序地“疊加”在一起，整體上完成了教學內容，但如果僅僅“疊加”知識整合，有時候會使知識間出現割裂或者重復，課堂效率也會降低。
二、 B教師的方式：“互含式”的教學整合
如果將知識點既能進行有序思考，又能讓各環節互相包含，緊緊相扣，融合成一個整體的設計，那么教學效率就會大大提高。如下面是B教師的教學設計。
（一）導入
師：這節課，我們一起來分一分餅，好嗎？那怎么分才公平呢？（平均分）
（二）展開
1.出示：把4個餅平均分給2個小朋友，每人分得幾個？（4÷2=2）
把2個餅平均分給2個小朋友，每人分得幾個？（2÷2=1）
出示：把1個餅平均分給2個小朋友，每人分得幾個？（1÷2= ）
把1個餅平均分給3個小朋友呢？（1÷3=）
現在要把1個餅平均分給4個小朋友，怎么分呢？ （1÷4=）
生：把1個餅平均分成4份，每人得到這個餅的，就是個。
2.出示：現在有3個餅，平均分給4個人，每人得到幾個呢？
（1）學生操作，小組交流。
（2）反饋學生的三種不同分法：將每個餅平均分成4份，一個一個分；將兩個餅各自平均分成2份，第三個餅平均分成4份，再分；三個餅疊在一起平均分成4份，再分。（結合課件理解）
得出：3個餅的就等于 1個餅的，就是個餅。
（3）那再給2個餅呢？每人得到幾個呢？（5個個，即個餅，還可以是1個加個餅）
（4）那再給一個餅呢？每人得到幾個呢？（6個個，即個餅，還可以是1個加個餅）
（5）我們再加一個呢？（7個個，即個餅，還可以是1個加個餅）
（6）再加一個呢？（8個個，即個餅，正好是2個餅）
（7）再加上1個呢？ （9個個，即個餅，還可以是2個加個餅）
3.探尋規律。
（1）通過分餅，我們得到了那么多的分數，現在來觀察一下這些分數的分子、分母，發現了什么？
生：有些分數的分子比分母小，有些分數的分子比分母大。
師：像這樣分子比分母小的分數，叫真分數。分子比分母大或者分子等于分母的分數叫假分數。這樣的假分數，比如個，就是1個加個，可以寫成1個。個就是1個……像這樣由整數和真分數組成的分數叫帶分數。
教師讓學生再舉例說說真分數、假分數、帶分數。
（2）總數與份數的關系。
師：在什么情況下是真分數？
生：被除數小于除數。
師：也就是總數小于份數。
師：在什么情況下會是假分數呢？
生：當總數大于或者等于份數。
（3）分數與除法算式的關系。
師：觀察好了分數，我們再來仔細觀察一下這些除法算式和分數，你又能發現什么？
生：被除數相當于分子，除數相當于分母。
師：那除號呢？
生：除號相當于分數線。
師：還能發現什么嗎？
師：這樣的等式你能說幾個嗎？
生：……
師：這樣的算式能說完嗎？
生：不能。
師：那你能用一個算式來表示嗎？
生：a÷b 。
師：同學們真不錯，通過觀察，了解了分數與除法有著這樣的聯系。（板書：分數與除法）
（四）練習
師出示：7÷（ ）=
師：在什么情況下會產生真分數？
生：除數比7大。
師：這樣的真分數能說完嗎？
生：很多，說不完。
師：在什么情況下會產生假分數？
生：除數等于7，或者小于7。
師小結。
同樣是“分餅”，B教師“分”得更緊湊一些。也可以看出幾個環節中知識點是相互融合的。尤其是3個餅平均分給4人時，教師先通過學生的動手操作、反饋交流，再結合課件理解不同的分法，都可以得到“3個餅的就等于 1個餅的，就是個餅”，既解決了本課的難點，同時也為后續分餅做了鋪墊。利用這個結果讓學生再次一個一個分餅，得出一些新的分數，再讓學生觀察。學生觀察分為三個層次：①觀察并給所得分數分類，引出真分數、假分數和帶分數的概念。②結合除法觀察分數的分子和分母的大小關系，引出總數與份數的比較。③觀察除法算式與分數，引出兩者的關系。所有的知識都是圍繞分數與除法的關系而得到的，也是讓學生通過感悟而體會的，從學生的回答中就可以看出。整節課條理清晰，環環互扣，將知識點有條不紊地整合在一起，并且能融合在一個情境中分層次地解決，互含互融，提高了課堂教學效率。
三、兩種教學整合的比較及思考
同樣的內容、同樣的知識結構，兩位教師進行了不同形式的整合，A教師是將知識點以“疊加”的形式整合在一起，B教師是將知識點“有序互含”的形式整合在一起。對此，筆者也結合自己的理解將兩種整合方式進行了比較。
疊加式：
第一次分餅 第二次分餅 第三次分餅
互含式：
從圖中可以看出，教學內容整合并不是單純知識的疊加，而是以知識間的邏輯關系和本節課的重點主題為基礎的，只有充分了解本課的知識群體關系，才能合理地安排好它們的整合關系，從而也會避免出現重復或者冗長的教學環節，將不可能完成的任務整合成可以高效率完成的任務，在課堂內扎實地完成。
從上述對比中可以發現，教師取得較高的教學效率，主要是其在整合中做到了以下亮點。
（一）教學內容的整合以對教材的整體理解為基礎
無論是一節課知識點的梳理，還是一個單元知識內容的整合，仍然要以教材的系統為基礎。教師在設計一堂課的時候要讀透教材的編排意圖，讀懂教材的前后聯系。從上述案例中，可以發現將真假分數和帶分數加入到分數與除法關系這節課中的想法還是可行的。因為這幾個知識點彼此有著緊密的聯系，在以往的教學中，教師都是讓學生通過觀察分子與分母的大小關系而得出來的，但在這節課里都融合在分數與除法的關系中得出，同時結合產生的意義來記憶和區分。并且通過總數與份數的關系與前面除法的知識結合起來理解，學生理解很深刻，既能貫穿前面所學知識，又能為后續知識打好扎實的基礎，讓這個不可能的任務不僅得以完成，還很有效地完成了。
（二）在學生已有知識結構的基礎上讓整合促進學生思維的發展
有了對教材的分析和學情的了解后，采取合適的教學策略也是非常有必要的，促使學生思維上的開發和轉變。就像本節課中，雖然A教師很順利地把課上完了，但在問到“學了今天這節課，你有什么收獲”的時候，絕大部分學生都是說真分數、假分數或者帶分數，很少有學生說是分數與除法的關系。轟轟烈烈地上了滿滿一堂課，學生印象最深的卻是分數的名稱，而本節課的主線應該是分數與除法的關系，為什么學生說不出呢？筆者認為這可能是學生對于兩者關系的體驗還不夠深刻，還比較單薄。如果教師一開始就給學生學習定位，明確今天學習的就是分數與除法的關系，然后通過分餅出現算式和計算結果，提煉成兩數相除，以前是大數除以小數得到整數，而現在是小數除以大數就可以用分數表示，再將所得結果（商的不同形式）分類，再取名真、假分數和帶分數。這樣的調整一定能加深學生對兩者關系的體驗，也明確本節課學習的重點，整合的不僅是知識點，還有知識結構和學習方法。
