時間：2023-06-02 09:59:00
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平行線分線段成比例定理，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
知識結構
，全國公務員共同天地
重難點分析
本節的重點是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，它一方面可以直接判定線段成比例，另一方面，當不能直接證明要證的比例成立時，常用這個定理把兩條線段的比“轉移”成另兩條線段的比.
本節的難點也是平行線分線段成比例定理.平行線分線段成比例定理變式較多，學生在找對應線段時常常出現錯誤；另外在研究平行線分線段成比例時，常用到代數中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出關于未知數的方程，求出未知數，這種運用代數方法研究幾何問題，學生接觸不多，也常常出現錯誤.
教法建議
1.平行線分線段成比例定理的引入可考慮從舊知識引入，先復習平行線等分線段定理，再改變其中的條件引出平行線分線段成比例定理
2.也可考慮探究式引入，對給定幾組圖形由學生測量得出各直線與線段的關系，從而得到平行線分線段成比例定理，并加以證明，較附和學生的認知規律
（第一課時）
一、教學目標
1．使學生在理解的基礎上掌握平行線分線段成比例定理及其推論，并會靈活應用.
2．使學生掌握三角形一邊平行線的判定定理.
3．已知線的成已知比的作圖問題.
4．通過應用，培養識圖能力和推理論證能力.
5．通過定理的教學，進一步培養學生類比的數學思想.
二、教學設計
觀察、猜想、歸納、講解
三、重點、難點
l．教學重點：是平行線分線段成比例定理和推論及其應用．
2．教學難點：是平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應用．
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、常用畫圖工具．
六、教學步驟
【復習提問】
找學生敘述平行線等分線段定理．
【講解新課】
在四邊形一章里，我們學過平行線等分線段定理，今天，在此基礎上，我們來研究平行線平分線段成比例定理．首先復習一下平行線等分線段定理，如圖：
，且，
由于
問題：如果，那么是否還與相等呢？
教師可帶領學生閱讀教材P211的說明，然后強調：
（該定理是用舉例的方法引入的，沒有給出證明，嚴格的證明要用到我們還未學到的知識，通過舉例證明，讓同學們承認這個定理就可以了，重要的是要求同學們正確地使用它）
因此：對于是任何正實數，當時，都可得到：
由比例性質，還可得到：
為了便于記憶，上述6個比例可使用一些簡單的形象化的語言
“”.
另外，根據比例性質，還可得到，即同一比中的兩條線段不在同一直線上，也就是“”，這里不要讓學生死記硬背，要讓學生會看圖，達到根據圖作出正確的比例即可，可多找幾個同學口答練習.
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.平行線等分線段定理可看作是這個定理的特例.
根據此定理，我們可以寫出六個比例，為了便于應用，在以后的論證和計算中，可根據情況選用其中任何一個，參見下圖.
，
.
其中后兩種情況，為下一節學習推論作了準備.
例1已知：如圖所示，.
求：BC.
解：讓學生來完成.
注：在列比例式求某線段長時，盡可能將要求的線段寫成比例的第一項，以減少錯誤，如例1可列比例式為：，全國公務員共同天地
例2已知：如圖所示，
求證：.
有了5.1節例4的教學，學生作此例題不會有困難，建議讓學生來完成.
【小結】
1．平行線分線段成比例定理正確性的的說明.
2．熟練掌握由定理得出的六個比例式.（對照圖形，并注意變化）
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。
*12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等于同一線段的兩條線段相等。
2、證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。
10.等于同一角的兩個角相等。
3、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。
2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
4、證明兩直線平行
1.垂直于同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行于第三邊。
5.梯形的中位線平行于兩底。
6.平行于同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。
5、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
6、證明 角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
7、證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
8、證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
9、證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
10、證明四點共圓
1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
2.外角等于內對角的四邊形內接于圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。
4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。
關鍵詞 相似三角形 問答式教學 定理
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A
相似三角形的判定是在學生認識相似圖形，了解相似多邊形的性質及判定的基礎上才開始進行學習的，是教材上本章的重點內容。對學生的能力培養與訓練，有著重要的地位。同時，新的課改教材綜合性增強，實踐、操作性的內容增多，教師們也要隨之開始注重培養學生的創新思維。應用新教材，如何引導學生學習成為關鍵。新課程改革要求我們的課堂教學模式要有所改進，充分考慮學生的好奇心和榮譽感，鼓勵學生多討論多參與，讓學生有機會講述自己的見解，教師有“度”的進行課堂管理。
基于這種情況，筆者對相似三角形判定這章內容的教學效果進行了一定的總結歸納。從中發現了我們目前數學教學中存在的一些問題和不足。同時，也總結出了一些可以提高數學課堂效率的有效方法。
1相似三角形判定的教學中存在的弊端
對于數學教學，從導入部分開始到中間的講解、討論，再到最后的總結、練習，需要我們教師一氣呵成的完成。但是目前在數學相似三角形判定這一環節的教學上，我們許多教師還是存在一些問題。第一，在時間的安排上有所欠缺。第二，教師在課件教案的制作上還是不夠精練完美，甚至有的教師還不能夠完全掌握制作課件的技能。第三，很多教師在本章節中制定的自己的教學設計超出了學生的認知接受能力。以上都是存在于我們課堂中的一些問題，其中課堂氣氛的調動方面是我們最需要注意的一個因素，許多教師在講課的時候，只顧自己講解一些判定理論，并沒有將學生真正的帶入到數學世界中去，沒有讓所有的學生沉浸在數學的思考中，使部分學生有所顧忌，而被事物影響。
2提高教學效率的策略
教學環節中新的教育理念是：“教師要由過去單一的指導者變成了引導者、參與者、組織者、合作者”，所以教師不僅要注重培養學生的學習興趣，更要尊重學生的學習興趣，不能扼殺學生的學習熱情。通過對相似三角形判定本章內容的教學的分析，以下從四方面進行闡述反思的總結以及對教學工作提出的要求和目標：
2.1教師教案課件設計要精細
拿相似三角形的判定一來說，對于本節課的教案課件部分，教師應該在實際設計過中非常用心。我們可以從“利用練習本分線段成比例”的問題切入，看似平常卻另有深意。拿它作為情境引入時可以緩解學生上課的緊張感，幫忙他們快速進行學習狀態，而且還可以讓他們帶著疑問學習，同時它貼合生活實際，來源于生活。然后讓學生通過小組合作交流，實驗操作探究得出“平行線分線段成比例”的定理。接著，教師可以通過多媒體放映改變平行線的位置，讓學生了解“平行線分線段成比例”的定理在實際解題過程中可能出現的變化的。同時發現兩種特殊的位置關系，進一步探究得到“平行線分線段成比例”的推論。最后用課后練習讓學生鞏固所學的定理，為學生后邊進行相似三角形判定的學習打下堅實的基礎。
2.2考慮學生的個別差異性
處于初中階段的學生，思維與表達都各有差異，教師在課堂上應該允許思維慢的學生有更多思考的空間，允許表達不清晰不流暢的學生有重復和改過的時間，教師應該充分關注學生的個別差異性，做到因材施教。教師應該使學生處在民主、平等、寬容的教學環境中，確保他們擁有自由支配的時間和主動探究的心態，常常品嘗到成功的喜悅，從而使產生他們創新的欲望。
2.3在教學過程中善用情境
很多人會認為，教學情境只有在語文、歷史那類學科中使用才會有效果，數學沒多大效果。其實這種觀點是錯誤的，數學的教學過程中，也可以很好地運用教學情境。為什么要創設一定的教學情境呢？引用德國一位學者的話：“將15克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽。但當將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你早就在享用佳肴時將15克鹽全部吸收了。情境之于知識，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。”
因此，在進行相似三角形的判定教學時，教師有必要根據學生的特點、知識內容的特點和教學目的，多方面創設形象、生動、感人、直觀的教學情境，使學生身臨其境或如臨其境，做到以境導情、情境交融。
2.4尊重學生的意愿，挖掘學生潛力
教師要把學生從知識為中心的傳統教學的體系中解放出來，讓學生參與生活實踐，在課堂上將數學知識與學生生活中的認知結合起來，不妨講講一些課外知識，比如歷史、時事、自然、科學等等方面的知識，與學生共同討論分享，增長學生的知識。又或者說教師可以和學生一起進行討論研究發現問題，比如在探究“平行線分線段成比例的定理和推論”的時候，教師可以與學生們一起在發現問題和解決問題的細節上，比如請學生利用合比、等比、更比、反比的性質得出所有的比例式，又比如移動L1、L2時候的比例式是怎樣？這樣有節奏的教學，我們數學的課堂教學效率自然會提高上去。
參考文獻
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[3] 錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學教學[M].北京：北京師范大學出版社，1999：54.
課堂教學中，教師根據教材內容，設計一種“問題情境”，使學生感到神秘、好奇、疑惑，點燃起思維火花，激起學生對學習目標的認識需要，產生急不可待想獲得有關知識或嘗試一下自己能力的愿望，調動了學生的學習積極性，活躍了課堂氣氛，在教學中可以得到事半功倍的效果。數學教學中創設“問題情境”、是激發學生學習興趣的有效做法。
一、 置懸設境
思維從疑問中來，古人云：“學起于思，思源于疑。”學習中如果有疑問，就會引起學生的求知欲望。因此，在教學中要有意識地設置一些與本節有關的懸念，創設“情境問題”，使學生產生疑問，有效地激發起學生在獲取知識過程中，強烈地探求問題奧妙的積極性。
如講相似三角形判定定理一節時，授課前，先給同學們講一個故事：古希臘有一個哲學家泰勒斯旅行到埃及，在一個晴朗的日子里，埃及伊西達神殿的司祭長陪同他去參觀胡夫金字塔，泰勒斯問司祭長：“有誰知道金字塔有多高嗎？”司祭長告訴他：“沒有，我的孩子，古代草片文字沒有告訴這個，而我們今天的知識使我們甚至不可能大概地判定這金字塔究竟有多高。”泰勒斯說：“可是，這是馬上可以測出來的，我可以根據我的身高測得金字塔的高度。”說完，泰勒斯隨即從白長袍下取出一條結繩，在他的助手幫助下，測得塔高是131米。古事講完了，在學生們還沉浸在故事之中時，問：“誰能說出泰勒斯是如何測出塔高的？”學生們面面向視，回答不出，我告訴學生：“下面將要學習的相似三角形的判定定理就能幫助你回答。”這一懸念的設置，使學生產生好奇心和濃厚的興趣，急于釋疑，很自然地把學生引入到生機盎然的學習情況中去。
二、 猜想設境
在習題的教學中，一些習題難度較大學生思路受阻，往往喪失學習興趣。如果能在教學中引導學生通過對比、觀察、分析和綜合，對問題產生猜想，則能開通學生的思路，激發起學生的學習興趣。
要對
a4+a2b2+b4分解因式，學生感到困難，可先讓學生用兩種方法將a6-b6分解因式：
略解1
a6-b6=（a2）3-（b2）3
=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）
略解2
a6-b6=（a3）2-（b3）2
=（a+b）（a-b）
（a2+ab+b2）
（a2-ab+b2）
兩種方法，解出兩種結果，學生通過對比、觀察便可自然產生猜想：
a4+a2b2+b4=(a2-ab+b2)(a2+ab+b2).
至此，學生情緒激昂，信心十足，就象發現了新大陸，幾乎不費力地得出拆項法分解++的方法。
三、 觀直設境
初中學生處于形象思維向抽象思維過渡的階段，過分抽象的內容他們往往會感到枯燥乏味，難于理解。如果能把抽象的內容通過直觀教具來演示，加強直觀教學，則有助于興趣的激發。
垂徑定理及其推論是平幾中的一個重要定理，在講授這一節時，教師用硬紙板做了一個如圖所示的教具。白教具沿對稱軸折疊演示，使學生從直觀上了解到：當直徑CD與弦AB垂直時，直徑CD就平分弦AB所對的兩段弧。在感性認識的基礎上，再從理論上加以證明，這樣有助于學生理解掌握。
四、 實驗設計
“愛動”是初中生的一大心理特征，在教學中如果想方法設計，順應其心理需要，使學生通過實際操作，動手動腦，自己發現真理和論證思路，則會活躍課堂氣氛，發展學生的數學思維，促進智力的開發。
在學習勾股定理時，先讓學生做出紙正方形（如圖）模型（6*6），并回答下列問題：圖上陰影部分的面積是多少？學生通過品拼拼湊湊，發現了勾股定理，撥動起學生探求新知識的心弦，激起了濃厚的學習興趣。
五、 類比設境
不少數學知識在內容和形式上有類似之處，它們之間既有聯系又有區別。對于這樣的教學內容，如果能引導學生對新舊知識進行比較，以期觸類旁通，則能把學生已獲得的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，促使他們迫不及待地學習和研究。
學習三角形內角平分線性質定理時，為了證明線段成比例，必須添輔助，創造平行條見，在三角形的外部作內角平分線的平行線。及至要證明三角形的外角平分線性質定理，對比三角形內角平分線性質定理的處理，提出問題：
1 如何創造線段平行的條件，從而推出線段在比例的結論呢？
2 在三角形的內部還是外部作平行線？如何作？
這樣通過對比提問，學生會類比已證題目順利添上輔助線。這兩題做完后，還可引導學生思考這一類題添輔助線的規律：根據平行線分線段成比例定理，添上輔助平行線，作出第四比例線段。
六、 變異設境
初中生往往只能集中精力學習30分鐘，在這以后的時間里，如果題目沒有吸引力，注意力就容易分散。因此，我們可以采取一題多問，一題多變，一題多解以及變換問題的條件或結論等形式，改變問題的情趣，創設出問題的情境，來集中學生的注意力。
初二學生學過全等三角形后，對解下題可能滿不在乎：
已知（如圖）AD與BC相交于E,BE=EC,AE=ED。求證：ABEDCE。
【關鍵詞】多媒體技術 優化 數學 幾何教學
【中圖分類號】G427 【文獻標識碼】A 【文章編號l 1006-5962（2012）12（a）-0246-01
下面把本人的心得體會總結為以下幾個方面：
1 演示圖形運動過程。降低理論教學難度，使學生易于接受。
許多概念化教學都比較抽象，學生難以更好理解，不少教師會借助于小黑板或投影儀，試圖降低對概念理解難度，但借助干這些東西過于靜態，不能詳細講清其演變過程，學生接受上仍會死記硬背，而借助多媒體則可讓這一靜止過程動起來。
例如，在講授平行線分線段成比例定理過程中，
我先由平行線等分線段講起，（見圖1）
在復習這一定理后，我拖動鼠標，移動c
為了便于講授，我特地使b、c之間距離（圖1）
擴大2倍，（見圖2）
告訴AB：BC=I：2，讓學生去猜測DE：EF的值，由于過程比較明顯，學生很容易回答出DE：EF=I：2，而后帶領學生去證明這一定理。為了便于讓學生更好理解對應線段成比例這一問題，由圖2變動DF位置，使DF發生平移，運動過程讓學生看到，但用虛線表示（見圖3、圖4、圖5）
在圖2中，學生已經了解了對應線段，在具體的演變過程中，他們知道了對應線段是如何得到的，對于圖3、圖4、圖5的對應線段有了深刻印象。接下來的練習也驗證了這一點。這樣，在運動中化解了死記硬背或呆板教學的難度，學生很愉快的掌握了這一概念。
2 運用多媒體演示圖形的分離。拼接。閃爍。培養空間想象能力
初二的學生在學習幾何時一個很大障礙就是沒有形成良好的抽象思維能力，當把幾個基本圖形疊加在一起時，他便無從入手，不知相關的等量關系在哪里，證明思路在哪里。而用多媒體進行圖形的分解、拼接會使隱藏的條件明顯，復雜的圖形簡化。
3 節省時間，提高課堂效率，培養一題多解思想，開發思維訓練
初中幾何是初中數學的重要組成部分，它對于培養學生的觀察能力、分析能力以及邏輯思維能力和推理論證能力都是十分重要的。而在它的學習中，一直是大多數學生的難題，那么學習幾何到底有沒有捷徑呢？我們又該怎樣學習呢？這里我就如何學好初中幾何談一點看法。
一、牢固掌握幾何基礎知識是學好幾何的前提
定義、定理、公理等幾何基礎知識是進行幾何證明的理論依據，務必切實掌握。學生在學習過程中不僅要記住定義、定理、公理等幾何知識，而且還要揭示獲取這些知識的思維過程，要立足于把自己的思維活動展開，輔之以必要的探討，啟發和總結，使自己從幾何定義、定理、公理等的產生、發展、推出的過程中認識、理解它，從而達到能應用定義、定理、公理等，發展了自己的能力，培養自己的品質。比如：我們在證三角形全等的問題上，你連三角形全等的判定定理都不記得，又或者記得而不會找邊、角，那又如何下手分析呢？再比如：解決平行四邊形的問題上，已知平行四邊形ABCD中…..，而你記得平行四邊形的性質，但不會與圖形聯系，題也無從分析了。所以平時要牢固識記并理解基礎知識，只有這樣才是學好幾何的前提。
二、善于歸納總結
歸納總結是為了條理知識，發現、掌握規律，積累解題經驗，分析解題的能力有所提高。如：在中位線學習時有這樣一個問題，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。變式：①當AC=BD時求證：四邊形EFGH是菱形。②當ACBD時四邊形EFGH是矩形。通過這一問題的解決總結歸納出以下結論：①順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形②順次連接對角線相等的四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形③順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到的四邊形是矩形，有了以上這些結論在解決有關填空題、選擇題時可達到事半功倍的效果。因此善于歸納總結也是學好幾何的一大捷徑。
三、熟悉解題的常做輔助線
在初中數學幾何學習中，正確分析和判斷是學會解題的關鍵，添加輔助線是解題的鑰匙。解決幾何題如何添加輔助線是許多同學感到頭疼的問題，許多同學常因輔助線的添加方法不當，造成解題困難。所以熟悉解題的常做輔助線可以解決這一難題。如：遇到中點時常常使用“倍長中線”法或構造中位線；證明兩線段之和等于第三條線段時，常使用“截長”或“補短”的輔助線方法；遇到梯形問題時可作腰的平行線，對角線的平行線，作高等。
現將做輔助線的部分口訣與你分享：題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線，可向兩端把線連。三角形中兩中點，連結則成中位線。三角形中有中線，延長中線同樣長。成比例，證相似，經常要作平行線。圓外若有一切線，切點圓心把線連。如果兩圓內外切，經過切點作切線。兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。是直徑，成半圓，想做直角把線連。作等角，添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
四、富于聯想，全面考慮問題
富于聯想，全面考慮問題也是幾何學習的重要方法之一。如：在正方形ABCD中，以AB邊作等邊三角形ABE，求∠EDC的度數。在這個問題上若沒給定圖形時ABE就有兩種情況，一是在正方形內部，另一種在正方形外部。若不全面考慮問題就得不到完美解決。再比如：解決等腰三角形問題中，說到角就要考慮是頂角還是底角，說到邊就要考慮是腰還是底邊。象這樣的問題在幾何的學習中是非常多見的，你要做到全面考慮就得平時富于聯想、多積累，問題自然就迎刃而解了。
五、學會幾何題的分析方法
幾何題的方法猶如語文中的散文，散文雖散但它形散而神不散，所以不管幾何題有多靈活都有一般分析方法。平時許多同學感到幾何題不好做，把有關定理都能背下來，這就是我們常說的在老師那兒拿“幾袋干糧”，題上的已知條件都放在那里，但往往用不上，主要是分析方法不對。當我們拿到一道題后，一般有三個思路：一是從結論入手，看要得到這結論需要知道什么，然后逐步向已知靠攏，這就是數學中的分析法。二是發展已知，由已知聯想得到的結論，逐步推向求證；三是前兩個方法一起用，當兩個思路在中間“接通”時，便可找到證題的思路。這就是數學中的綜合法。
例如，如圖已知AB∥CD，∠DAB=∠BCD，
求證：AD∥BC
分析欲證AD∥BC，需證∠1=∠2
要證∠1=∠2，因為∠DAB=∠BCD（已知）
故需證∠3=∠4
要證∠3=∠4，就要證AB∥CD，
而這正是已知條件，至此，思路已通，再用綜合法書寫證明過程。
證明：AB∥CD（已知）
∠3=∠4（兩直線平行，內錯角相等）
又∠DAB=∠BCD（已知）
∠1=∠2（等式的性質）
例1 如圖1，已知∠1=∠2=∠3=59°，則∠4=_______.
【考點與要求】會找出同位角、內錯角、同旁內角、對頂角、鄰補角，掌握平行線的判定和性質.
【解析】因為∠1=∠3，所以圖中l1與l2平行，所以∠2=∠5=59°，因為∠4+∠5=180°，得∠4=121°.
例2 等腰三角形的兩邊長是3和5，它的周長是 _______.
【考點與要求】理解等腰三角形的概念和三角形的三邊關系，會用分類討論解答問題.
【解析】題中給出了等腰三角形的兩邊長，因沒給出具體哪邊是底，故需分類討論：① 當3是底邊長時，周長為5+5+3=13；② 當5是底邊長時，周長為3+3+5=11.本題難點是求出答案后要用“三角形的任意兩邊和大于第三邊”作檢查看是否符合題意.如果將條件中的兩邊長改為2和5，答案又是多少呢？
例3 如圖2，在ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是_______.
【考點與要求】會用三角形內角和定理、平行線的性質，并體會轉化的思想.
【解析】要求∠CED的大小先求出∠C的度數，即∠C=180°-∠A-∠B=40°.再利用“兩直線平行，同旁內角互補”求出∠CED=180°-40°=140°. 思考的重點是確定∠CED與哪一個角有數量上的關系.
例4 如圖3，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D. 若ED=5，則CE的長為_______.
【考點與要求】會用線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質，能熟練找相等線段作代換.
【解析】根據線段垂直平分線性質得出BE=CE，再根據“直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半”求出BE的長（BE=2DE=10），即求出CE的長.當然也可以證出∠DCE=30°后，在DCE中直接求CE的長.
例5 已知平行四邊形ABCD中，∠B=4∠A，則∠C=_______.
【考點與要求】要掌握平行四邊形的性質和平行線的性質，也要熟練運用等量代換的方法.
【解析】根據平行四邊形性質求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度數，即可求出∠C. ∠C=∠A=36°.
例6 如圖4，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點.若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于_______.
【考點與要求】能靈活運用三角形中位線定理、勾股定理逆定理； 熟悉銳角三角函數的定義，能用幾何直觀的思想去探索問題.
【解析】要求tanC就需獲得∠C所在的三角形（如果直接得到直角三角形那就更好），同時使用三角形中位線定理需要一個三角形，基于以上兩點思考，可作輔助線連接BD. 在例7 如圖5，在ABC中，EF∥BC，交AB、AC于點E、F，AE ∶ EB=3∶2，則AF ∶ FC=_______；SAEF ∶ SABC=_______.
【考點與要求】會用平行線分線段成比例性質；掌握相似三角形的判定、性質.
【解析】EF∥BC，直接可推得AF∶FC=AE∶EB=3∶2.EF∥BC，AEF∽ABC，AF∶AC=AE∶AB. AE∶EB=3∶2，AE∶AB=3∶5.又相似三角形面積的比等于相似比的平方，SAEF ∶SABC=AE2∶AB2=9∶25.
例8 如圖6，當寬為3 cm的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀數如圖所示（單位：cm），那么該圓的半徑為_______cm.
【考點與要求】能靈活運用垂徑定理、勾股定理；會建方程模型去解決問題.
例9 如圖7，若AB是O的直徑，CD是O的弦，∠ABD=55°，則∠BCD的度數為_______.
【考點與要求】能熟練運用圓周角定理的推論、直徑所對圓周角為直角、直角三角形兩銳角互余，并能用轉化的思想解題.
【解析】連接AC，得∠ACD =∠ABD=55°，AB是O的直徑，∠ACB=90°，∠BCD=90°-∠ACD=35°.
例10 O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO=2，則直線l與O的位置關系是（ ）.
A. 相切 B. 相離 C. 相離或相切 D. 相切或相交
【考點與要求】會利用圓心到直線距離d與圓半徑大小關系判定直線與圓的3種位置關系，能用分類討論的思想解題.
【解析】分OP垂直于直線l、OP不垂直直線l兩種情況討論.
當OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d=2=r，O與l相切；
當OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d
故直線l與O的位置關系是相切或相交.故選D.難點是理解“PO”不一定是垂線段.
例11 如圖8，O中，半徑OA=4，∠AOB=120°，用陰影部分的扇形圍成的圓錐底面圓的半徑長為_______.
【考點與要求】掌握扇形弧長公式，理解陰影部分的扇形弧長等于圍成圓錐底面圓的周長，能用列方程的思想求出半徑長.
二、 圖形證明
例12 如圖9，已知點E、C在線段BF上，BE=CF，請在下列4個等式中，① AB=DE，② ∠ACB=∠F，③ ∠A=∠D，④ AC=DF選出兩個作為條件，推出ABC≌DEF.并予以證明.（寫出一種即可）
已知：_______，_______.求證：ABC≌DEF.
【考點與要求】掌握各種判定全等三角形的方法，會舉適當的反例判定一個命題為假命題.
【解析】①④或②③或②④（選一種情況自己完成證明過程）.難點是對條件進行組合時不能遺漏.
例13 如圖10，D為BC上的一點，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC. 求證：AB=AC.
【考點與要求】 能靈活運用全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定，并會利用中間等量解答問題.
【解析】要證AB=AC，只要證∠B=∠C，由于∠E=∠B，而∠C和∠E是AED和ACD的對應角（易證AED≌ACD），經過代換得∠B=∠C，AB=AC.
例14 如圖11，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上.（1） 求證：CE=CF；（2） 若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長.
【考點與要求】能靈活運用正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質和勾股定理，能選擇適當的未知數x，列出方程解決問題，體會如何借“數”來解決“形”的問題.
【解析】（1） 要證CE=CF，需證出∠CEF =∠CFE，再用“等角對等邊”證出，或先證明BE=DF，后利用等式性質證出.
RtABE≌RtADF（HL），BE=DF，∠AEB =∠AFD，接下去可以選擇兩條思路去解決問題.
第一種思路：BC=CD ，利用等式性質得CE=CF；
第二種思路：∠AEB =∠AFD，又∠AEF =∠AFE=60°，∠CEF =∠CFE，利用等角對等邊得CE=CF.
（2） 要求正方形ABCD的周長，只要求出它的邊長.
第（2）小題的難點在于選擇好未知量以后，如何用含x的代數式表示其他線段的長.（如果設BE為x，那么你又該如何去解答？）
例15 如圖12，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF.
求證：AE=AF.
【考點與要求】本題以常用的2種證明方法解說考點和要求：
（1） 在三角形中，掌握等腰三角形的判定和“三線合一”性質；
（2） 在四邊形中掌握平行四邊形的判定及菱形的判定和性質，在三角形中掌握全等三角形的判定和性質，學會從不同的角度去思考論證，體會證明方法的靈活性.
【解析】（1） 如果在AEF中證明AE=AF，那么只要證出∠AEF =∠AFE，再利用等角對等邊就可證出結論.AD∥BC，∠AEF=∠CFE.又EF垂直平分線段AC， AF=FC.
EFAC，∠AFE=∠CFE（三線合一）.∠AEF=∠AFE， AE=AF.
（2） 如果在四邊形AECF中證出AE=AF，那么只要證明四邊形AECF是菱形.
連接CE，AD∥BC，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
又AO=CO，AEO≌CFO（AAS）.
AE=CF，四邊形AECF是平行四邊形.
又EFAC，平行四邊形AECF是菱形.AE=AF.
本題的難點是對“過點O作AC的垂直平分線”這句話的理解，只表示EF垂直平分線AC，不表示AC平分線EF，垂直一定是互相的，平分不一定是互相的.
例16 如圖13，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，將BCE繞點C順時針旋轉到DCF的位置，并延長BE交DF于點G.
（1） 求證：BDG∽DEG；
（2） 若EG·BG=4，求BE的長.
【考點與要求】掌握相似三角形的判定及性質，理解圖形旋轉的性質，能運用轉化思想.
【解析】（1） 由旋轉得BE=DF，∠EBC=∠CDF，∠DGE=90°.
因為∠DGE為公共角，BE平分∠DBC，所以∠CBG=∠DBG，代換得∠DBG=∠CDF. 所以BDG∽DEG.
（2） 用第（1） 小題的結論可得DG2=EG·BG，得DG=2.又因為∠DGE=90°，BE平分∠DBC，可得DF=2DG=4，所以BE=4.本題難點是將要求的BE長轉化到DF長.
例17 如圖14，在ABC中，點D是AC邊上一點，AD=10，DC=4.以AD為直徑的O與邊BC切于點E，且AB=BE.
（1） 求證：AB是O的切線；
（2） 過D點作DF∥BC交O與點F ，求線段DF的長.
【關鍵詞】教學；轉化；培養；總結
著名數學家笛卡爾說，要善于把“所考察的每一個難題，都盡可能地分成細小的部分，直到可以圓滿解決的程度為止”。因此，教師在自己的教學活動中應充分運用由簡到繁，由易到難，由已知到未知，由特殊到一般，由具體到抽象的原則來組織和講解教材。把大問題變成小問題，把新問題變成舊問題，一個接一個，步步為營。
我們在平時的教學中，應該重視培養學生自我反思自我總結的良好習慣，提高學習的自覺性。初中數學概括性較強，題目靈活多變，只靠課上聽懂是不夠的，需要課后進行認真消化，認真總結歸納，這就要求學生具備善于自我反思和自我總結的能力。為此，我們在教學中，抓住時機積極培養。在單元結束時，幫助學生進行自我章節小結，在解題后，積極引導學生反思：思解題思路和步驟，思一題多解和一題多變，思解題方法和解題規律的總結。由此培養學生善于進行自我反思的習慣，擴大知識和方法的應用范圍，提高學習效率。
我們還應該重視專題教學。利用專題教學，集中精力攻克難點，強化重點和彌補弱點，系統歸納某一類問題的前后知識、應用形式、解題方法和解題規律。并借此機會對學生進行學法的指點，有意滲透數學思想方法。
記得在上三角形相似時，我們會想到平行線分線段成比例，它是研究相似三角形的最重要最基本的理論，它一方面可以直接判斷線段是否成比例，另一方面，當它不能直接判斷要證的比例成立時，常用這個定理把兩條線段的比轉化為另外兩條線段的比。對于沒出現線段比的等式，利用等式的性質進行轉化。
現在我們就來看看這理論在證明題中的應用。
我想，我們應該在課前認認真真備課，備學生，努力做到精講精練，提高課堂教學質量，減輕學生學業負擔，不搞題海戰術。給予學生更多的自由支配時間，閱讀課外書籍，讓學生全面發展。
參考文獻：
[1]毛永聰.中學數學創新教法—45分鐘優化設計[M].學苑出版社出版，1999.
[2]五年中考三年模擬[M].科學教育出版社.
[3]《初中數學教與學》.
【關鍵詞】數（式）中 幾何圖形中 數學定理中 解題中
對稱的含義比較廣泛，從狹義上說，是指通常意義上的幾何對稱和代數對稱；在廣義上講，還包括對偶、勻稱、均衡、平衡、不變性、和諧統一等方面的內容。從這樣的角度認識對稱，才能領悟數學的美――它是高度嚴謹和合理而達到的和諧，那是一種令人神怡的內在和諧――這種合理與和諧，是作為數學科學的廣義對稱。
在中學數學教學內容中，體現了豐富的形與數的形象對稱與抽象對稱。中學數學解題方法中也滲透了對稱的思想。對稱性是數學美的最重要的特征。在教學中，如果能提高學生的數學審美能力，必能進一步激發他們學習數學的興趣，變苦學為樂學，達到事半功倍的效果。下面簡要談一談對稱性在中學數學中的體現和應用。
1.數（式）中體現出的對稱美
數（式）中體現出的對稱美，主要體現在數（式）的結構上。例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），（a±b）2 = a2±2ab+ b2 ，a3+b3 = （a+b）（a2-ab+b2） a與b的位置都具有對稱關系，它們在公式中的地位是一樣的，公式顯得對稱而美觀。如果學生能領悟到這點，則有助于他們記憶和運用公式，降低學習難度。再比如輪換對稱式a3+b3+c3-3abc中，a、b、c是對稱的，并不是說它們各占30%，也是指它們的地位是平等的，但如果改為a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再對稱，但a和c仍是對稱的，這些需要我們仔細體會才能領悟。
2.幾何圖形中的對稱美
中學數學中學習的兩個圖形關于某一條直線成軸對稱以及軸對稱圖形、中心對稱圖形等，是數學對稱美的一種極富特色的表現形式。這些圖形勻稱美觀，所以在日常生活中用途非常廣泛。中外許多著名的建筑物，如北京中國美術館、廣州中山紀念堂、克里姆林宮、吉隆坡石油雙塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等，都是建筑師根據數學上軸對稱圖形的特點設計出來的。通過向學生介紹這些中外著名的對稱建筑，使學生拉近生活與數學的距離，讓學生感受數學中的美在生活中的指導作用，從而激發他們學習數學的熱情。
3.對稱在中學數學定理中有充分體現
從廣義的角度來說，中學數學中許多定理都蘊藏了對稱的思想。比如三角形內角平分線性質定理與三角形外角平分線性質定理及其證明就是這樣：
三角形內角平分線性質定理：三角形內角平分線內分對邊所得兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。這個性質定理的證明用符號語言可譯為：如圖1，ABC中，AD平分∠BAC， 求證：DBDC=ABAC
圖1
事實上，在圖1中過點D作DE∥AC交AB于E，可得DBDC=BEEA，易證ED=EA， BEED=BAAC，于是得到BDDC=ABAC
三角形外角平分線性質定理：三角形一個外角的平分線如果與對邊的延長線相交，那么該交點外分對邊所得兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。這個性質定理的證明用符號語言可譯為：如圖2，∠EAC為ABC的外角，AD′平分∠EAC交BC延長線于D′，求證：D′BD′C= ABAC
圖2
分析：如圖1中，如果稱D為BC的內分點的話，從廣義對稱的角度，則可稱圖2中的D′為BC的外分點。從對稱的思想來看，同一頂點A處的內、外角平分線地位平等，因此得出的結論也應相同。事實上，與三角形內角平分線性質定理的證法完全一樣，在圖2中過點D′引AC的平行線即可得證。
從上可看到，由“內”到“外”對稱地思考問題，給我們帶來的意外驚喜和發現。
4.對稱思想也是我們解題時探索思路，發現解法的一個源泉
在中學數學習題中，有很大一部分題目是從對稱性的角度提出來的，如等式兩邊成分相同，式中已知元素的地位等同等等。善于發現已知條件的對稱性，由此獲得解題思路，并迅速做出工整、正確的解答，是中學數學習題解答中經常使用且行之有效的方法。
例1：分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）
解：該題給出的多項式對a、b、c循環對稱。若將a替換為b，則式子為0，故式
子有因式（a-b）。同理，式子也有因式（b-c）和（c-a），因此可設
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a），
k為待定系數，易算得k=-1
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）
例2：如圖3，AH是銳角ABC的高，AB+BH=HC。求證：∠B=2∠C。
證明：作線段AB關于AH的對稱線段AB′，得AB=AB′，
等腰ABB′中，AHBB′，BH= B′H
AB+BH=HC， AB= B′C
∠C=∠B′AC
又∠A B′B=∠B， 且∠A B′B=∠C+∠B′AC
∠A B′B=2∠C， 即∠B=2∠C。
一、平面圖形的翻折問題
所謂平面圖形翻折問題，就是沿著平面圖形中的某條或幾條線段將平面圖形翻折，使之成為空間幾何體，再以此為載體考查線線、線面、面面等位置關系或數量關系的問題。平面圖形翻折前后，有些元素之間的關系已經發生了變化，有些則沒有發生任何變化，因此圖形翻折前后相關元素之間的關系的變與不變則成為解題的關鍵。一般的規律是這樣的：翻折后還在同一個平面上的元素，性質不發生變化；不在同一個平面上的，性質可能會發生變化。研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和幾何量的度量值，成為解決這類問題的關鍵性依據，這也是解決翻折問題的通性通法。
在圖形的折疊過程中，平面圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質或位置關系不變，這些定值問題是立體幾何中的重要問題，同時更是我們容易忽視的地方，因此應重視分析不變的關系。在解決這類問題的過程中，常常會因為解題的方法選擇不當，再加上不斷變化的圖形，幾何元素間的關系錯綜復雜，使得解題過程變得繁難，增大了運算量，甚至于半途而廢。如果借助坐標，能在變化莫測的圖形中，運用代數方法加以解決。
二、立體幾何的綜合問題
立體幾何綜合問題（解答題）一般考查元素間的位置關系和數量，如證明線線平行或垂直、線面平行或垂直、面面所成角等，以此來考查學生對立體幾何的掌握情況。綜合試題的解答一般有兩種思路：傳統法和向量法。
傳統法是借助立體幾何的相關定義、定理（判定和性質）、公理，通過嚴格的邏輯推理來完成。線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的相互轉化是解決與平行（垂直）有關證明題的指導思想，解題中既要注意一般的轉化規律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉化方向。平面幾何中一些平行（垂直）的判斷和性質的靈活應用，如中點、中位線（有中點就予以考慮）、平行線分線段成比例、勾股定理證明直角等，這些性質也是空間線面平行（垂直）關系證明的基礎。
向量法是通過建立空間直角坐標系，求出相關的坐標，結合有關公式，利用向量的計算完成證明或求解，主要解決角和距離及其相關的問題，如線線角、線面角、面面角、點到面的距離、多面體的體積等。
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.
解：（1）如圖2，取MC中點R，AC中點S，則RQ∥SM，因為SM//CD，所以RQ//CD，
又因為PR是MBC的中位線，所以PR//BC，又因為PR∩RQ=R，BC∩CD=C，從而平面PQR//平面BCD，因為PQ？奐平面PQR，所以PQ//平面BCD.
（2）如圖3，作CGBD于點G，作GHBM于點H，聯結CH.因為AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，AD∩BD=D，故CG平面ABD，BM？奐平面ABD，所以CGBM。又GHBM，CG∩GH=-G，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.故∠CHG為二面角C-BM-D的平面角，即∠CHG=60°。
著名教育家陶行知說：“興趣是最好的老師.”如何在數學教學中激發學生的學習興趣，提高學習成績呢？筆者從巧編數學口訣入手，談談粗淺的認識.
優美的語言表達無疑能激起人們的愉悅之感，朗朗上口的口訣或歌謠，妙趣橫生，更使人記憶深刻.數學教師在教學過程中，除了規范而又準確，流暢而又不失優美，生動而又風趣的語言表達外，對枯燥乏味、深奧難學的數學內容編出一些七言詩形式的口訣或歌謠，會韻味十足，能創造出一種愉快的教學情景，激發學生的學習興趣.
在教學列方程解應用題時，一般有以下步驟：畫草圖審題、設未知數、找等量關系、列方程、解方程、檢驗、作答等.為了使學生加深理解，編口訣如下：“數形結合畫草圖，一審二設三找量，四列五解六檢驗，七寫答案不能忘.”這樣一來，學生興趣大增，解題步驟非常明確，丟掉解題步驟的現象大大減少.
在教學一元一次不等式組和它的解法時，學生常常對求各個不等式解集的公共部分感到困惑，經常寫錯解集，關鍵是抓不住公共部分.于是編一段求不等式組解集的口訣：“數形結合畫數軸，各個解集排排座.大于大于取大的，小于小于取小的.大小小大取中間，沒有公共是無解.”通過數軸形象直觀地畫出各個不等式的解集，求出各解集的公共部分，并把公共部分畫上陰影，抽象的不等式解集很快就確定下來了，學生學起來也就不感到吃力了.
在教學梯形的有關內容時，學生對梯形的的常用輔助線難以把握.于是編一段口訣：“有時應該平移腰，有時應該作出高.有時平移對角線，有時延腰到相交.”這段口訣起到先聲奪人的作用，學生聽得有滋有味，用起來得心應手，增強了學習梯形的興趣.
在教學直角三角形中四種三角函數時，特殊角的三角函數值是重點內容，然而有時卻會突然忘記.這就要求學生對三角函數定義要理解準確，那么在關鍵時候可臨時推導，即sinα＝α對邊／斜邊，cosα＝α鄰邊／斜邊，tanα＝α對邊/鄰邊，cotα＝α鄰邊/對邊.先讓學生在一副三角板上做上標記，即在30度角對邊刻上單位長1，斜邊為2，根據勾股定理，60度角對邊為；45度角對邊各為1，斜邊為.通過三角函數定義再化簡即可導出特殊值.編口訣一首：“正弦余弦正余切，對鄰斜邊要分清.四大定義特殊值，牢記心上不放松！”學生對枯燥無味的數據頓時來了興趣.
在教學函數內容時，涉及到四種初等函數，即一次函數、正比例函數、二次函數、反比例函數.很多情況下要通過函數圖象去解題，分清楚各個字母的含義，用待定系數法求解析式，學生對函數這一章內容深感抽象，乏味得很.于是編一段口訣概括如下：“一正二反四函數，升降增減坐標圖.待定系數解析式，字母范圍分清楚.”口訣簡單明了，學生通過函數圖象去分析，收到良好的效果.
在初中幾何總復習時，學生常常對如何添輔助線感到頭痛.一旦遇到要作輔助線，便感到束手無策，不知如何下手.于是，編一段常用輔助線口訣，立即吊起了學生的胃口，學習興趣大增.“輔助線兒如何添，找出規律有幾點：題中有角平分線，可向兩邊作垂線；線段垂直平分線，可向兩側把線連；三角形有邊中點，連結即成中位線；三角形中有中線，延長中線一樣長；成比例時證相似，經常要作平行線；作線原則有一條，證題線段別割斷；圓中如有一切線，切點圓心把線連；如果兩圓內外切，經過切點作切線；兩圓相交得兩點，一般作它公共弦；直徑或者是半圓，想得直角把線連；弦心距兒不可忘，連心線兒也常添；輔助線兒是虛線，畫圖時候注意點.”這一段輔助線口訣，概括了初中幾何的一些常用輔助線，寓教于樂，同學們在潛移默化中既得到了美的享受，又對幾何知識加深了理解.抽象枯燥的幾何圖形一下子變得生動活潑起來，這比干巴巴的定理法則好記多了.同學們也就樂于去讀，樂于去記.有時同學們自己也編出一些口訣或順口溜，真有些熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟的味道. 轉貼于
語言是思維的窗口，數學語言要求文字簡煉，含義確切，邏輯性強.這就要求我們平時要多觀察，多思考，多總結，用通俗易懂的語言去教學，使學生在掌握知識的同時，培養學生的思維能力，開發學生的智力，形成一定的技能技巧，提高解題能力.把重要的數學思想數學方法傳授給學生，教學需要勇于創新.“創新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力.”創新對于一個國家和民族的發展 有巨大意義，歷史悠久的中華民族正需要創新的動力煥發青春活力去全面建設小康社會.
一、滲透“數形結合”思想，培養學生的形象性、創造性
幾何問題可以用代數方法來求解，一些代數問題也可以化為幾何問題加以研究，這就是數形結合思想。
“數”和“形”是數學研究中既有區別又有聯系的兩個對象，突出數形結合思想，有利于學生從不同的側面加深對問題的理解。數形結合能使抽象復雜的數量關系通過圖形直觀形象地表現出來以幫助問題簡捷獲解，還能使圖形性質通過數量計算、處理和分析達到更完整、嚴密、準確，從而自然地展現著數學的和諧美。如教材中在列方程（組）解應用題的分析中利用了直線型、圓型示意圖；在線段和角的計算中利用了方程；將勾股定理的內容放到代數中講，黃金分割內容卻運用代數知識等。此外，還借助數軸這數形結合的良好載體，在“有理數”一節形象生動地介紹了相反數、絕對值、有理數等。前者減少了概念引入的困難，后者把抽象問題變得容易理解。這正是數形結合的玄妙之處。
二、滲透“分類思想”，培養學生思維的條理性、目的性
數學中的分類思想是根據數學對象本質屬性的異同把數學對象分為不同種類的思想。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間內在的規律，有助于學生總結、歸納數學知識，使所學知識條理性。分類時應保證分類對象既不重復又不遺漏，每次分類都保持同一分類標準。如“整數和分數統稱有理數”這是根據“整”和“不整”對有理數的外延進行分類的定義方法。事實上有理數還可以采用別的標準分類。如按數的性質分，有理數包括正有理數、負有理數、零；按“整”和“不整”及數的性質分，有理數包括正整數、正分數、零、負整數、負分數。這樣學生懂得研究問題時，應根據問題的需要采取不同的標準，將討論的對象不重復、不遺漏地分成若干情況，逐一加以研究，從
而使復雜問題簡單化、條理化。
三、培養學生思維的靈活性、辯證性
化歸思想是根據主體已有的知識經驗，通過觀察、類比、聯想等手段把問題進行變換、轉化直至化為已經解決或容易解決的問題的思想。“轉化與變換”是化歸思想的實質。如解方程（組）、解不等式就體現了化歸思想：高次方程、分式方程、無理方程等各自使用不同的方法（因式分解、恒等變形、變量代換）使之降次、消元、整式化、有理化最后歸結為一元一次方程或一元二次方程求解。為實現轉化，相應地產生了許多方法如消元法、降次法、換元法、圖像法、待定系數法、配方法等。通過這些數學思想方法的使用，使學生的辯證思維能力大大加強。
四、滲透“類比思想”，培養學生思維的廣闊性、邏輯性
類比思想是通過聯想遷移由一個事務的性質和變化規律去研究和發現另一事物相關內容的思想，類比是一種重要的推理方法，它具有猜想的性質，類比思想有助于發現創新、解決問題。當遇到一個數學命題時，我們往往聯想起于它類似的問題、類似的條件、類似的形式、類似的解法……并聯想到與它相關的概念、定理、公式、法則，從而開闊思路，啟迪思維，起到由此及彼、由表及里、舉一反三、觸類旁通的作用。如整式的除法與整數的除法類比；分式的定義、性質、運算與分數的相應內容類比；平行線分線段成比例定理與平行線等分線段定理類比等，使學生順利理解新知識，發展思維的廣闊性。
五、滲透“函數思想”，培養學生思維的指向性、深刻性
函數思想是指用運動、變化的觀點去觀察、分析和處理問題的思想。變量變換、數形結合及用函數觀點解題都是函數思想的表現形式。在教學過程中要全方位地用運動、變化的觀點揭示知識的內在聯系引入解釋數學概念，使函數融進學生的認知機構，并引導學生用函數思想看待數學知識。如讓學生明確一次二項ax+b可看作是以x為自變量的一次函數式；求代數式ax+b的值就是求函數ax+b的函數值；一元一次方程ax+b=0的解就是一次函數y=ax+b的圖象與x軸交點的橫坐標；不等式ax+b＞0的解集就是直線y=ax+b之圖形在x軸上方時x取值范圍等。函數思想牽動著數學思維線路的條條神經，但函數思想的建立非一日之功，須在實踐中挖掘、提煉、領悟。教學中要激勵學生在解題時隨時啟動這根“杠桿”，增強學生思維的深刻性。
