時(shí)間：2023-06-02 09:21:47
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數(shù)值，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：直角三角形；邊角關(guān)系
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的邊角關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用非常廣泛。而銳角的三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的作用，如測(cè)量距離、角度、高度等問(wèn)題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數(shù)值也是經(jīng)常用到的，但許多學(xué)生在應(yīng)用這些特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題時(shí)，卻總是出現(xiàn)記憶不牢靠或者張冠李戴的現(xiàn)象，如何讓學(xué)生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數(shù)值呢？我覺得可以從以下幾個(gè)方面去加強(qiáng)。
一、引入圖形，讓學(xué)生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關(guān)系，因此，教學(xué)時(shí)為了便于學(xué)生理解和記憶，可以根據(jù)含這些特殊角的三角形的邊角之間的關(guān)系，畫出相應(yīng)的圖形，如30度角所對(duì)的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學(xué)生自己獨(dú)立完成這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，學(xué)生根據(jù)定義，便可得到各角的三角函數(shù)值，學(xué)生經(jīng)歷了特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，由于圖形的直觀作用，必然會(huì)產(chǎn)生清晰的第一印象，方便了記憶。
二、利用三角函數(shù)的增減規(guī)律進(jìn)行記憶
在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一旦確定，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當(dāng)銳角的度數(shù)發(fā)生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發(fā)生變化，為了幫助學(xué)生探索并理解隨著銳角度數(shù)的增大或減小，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值變化的規(guī)律，可設(shè)計(jì)有公共銳角頂點(diǎn)且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過(guò)圖形，學(xué)生會(huì)直觀的感受到，當(dāng)銳角的度數(shù)逐漸增大，它所對(duì)的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會(huì)很自然地得出結(jié)論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數(shù)的增減性，學(xué)生記憶這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值就會(huì)容易許多。
三、尋找數(shù)字規(guī)律巧妙記憶
在記憶30度、45度、60度角的三角函數(shù)值時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較，尋找數(shù)字規(guī)律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對(duì)應(yīng)為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關(guān)系，及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)比較與聯(lián)系記憶。
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式；推導(dǎo)；口訣
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是高二數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容：通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，學(xué)生可以領(lǐng)悟三角函數(shù)變化的周期性規(guī)律，并且掌握由特殊推導(dǎo)一般的知識(shí)發(fā)現(xiàn)模式以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，了解在數(shù)學(xué)中圖像的重要性；在高考題中，屢見三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式問(wèn)題，在實(shí)際中，尤其是對(duì)一些物理現(xiàn)象的解答，也常常運(yùn)用到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.因此，學(xué)生必須能夠掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式并且能夠巧妙應(yīng)用于解題中.然而，在目前的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)中，卻存在學(xué)生記錯(cuò)公式或者是記得公式卻不能解題兩種問(wèn)題.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)有效性的提高勢(shì)在必行.經(jīng)過(guò)實(shí)踐，找到一些行之有效的方法.
一、明確三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的思維主線
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可以求任意角的三角函數(shù)值，超越銳角到任意角，是特殊到一般的知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程.那么，如何求得任意角的三角函數(shù)呢？是需要把任意角轉(zhuǎn)化為銳角，通過(guò)銳角三角函數(shù)值求得任意三角函數(shù)值，利用特殊來(lái)求得一般，這是知識(shí)解答的一般思維.繼之而來(lái)的，是把任意角轉(zhuǎn)化為銳角的方式與過(guò)程.方式為探究任意角的終邊與銳角的終邊的對(duì)稱關(guān)系，過(guò)程為由圓周的360°以內(nèi)推廣到360°之外.
二、推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
在了解了任意角與銳角的關(guān)系之后，便可以根據(jù)銳角三角函數(shù)值推導(dǎo)任意角三角函數(shù)值.在高中數(shù)學(xué)課上，推導(dǎo)過(guò)程是常常被忽視的，教師要求學(xué)生死記硬背公式，這樣做的結(jié)果是張冠李戴、混亂不堪，記憶錯(cuò)誤進(jìn)一步導(dǎo)致了學(xué)生實(shí)際應(yīng)用的錯(cuò)誤.鑒于理解之于記憶和應(yīng)用的巨大功能，推導(dǎo)過(guò)程是不能省略掉的.
以正切值為例，演示一下推導(dǎo)過(guò)程.假設(shè)α終點(diǎn)與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），tanα=ba；-α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（a，-b），tan（-α）=-ba=-tanα；π+α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（-a，-b），tan（π+α）=-b-a=ba=tanα；π-α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（-a，b），tan（π-α）=b-a=-ba=-tanα；π2-α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（b，a），tanπ2-α=ab=1tanα=cotα；π2+α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（-b，a），tanπ2+α=-ba=-1tanα=-cotα；2kπ+α對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（a，b），tan（2kπ+α）=ba=tanα.由此，得出正切的任意角三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.至于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可以設(shè)α的終邊與單位圓相較于一點(diǎn)（a，b），在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他相對(duì)應(yīng)的五個(gè)誘導(dǎo)公式.
三、巧用口訣進(jìn)行記憶和解題
理解了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式后，便要進(jìn)行穩(wěn)固地記憶與靈活應(yīng)用.想要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，可以使用一些口訣.先利用耳熟能詳?shù)目谠E“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，確定等式右邊的三角函數(shù)的名稱；而在不同象限的等式右邊三角函數(shù)的符號(hào)，則采用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口訣進(jìn)行明確.
這兩句口訣很多學(xué)生會(huì)說(shuō)，但并不會(huì)用，在操作時(shí)頻繁出錯(cuò)，這是因?yàn)楦叨雀爬▌t會(huì)形成理解的困境.下面，闡釋一些這兩句口訣的理解問(wèn)題：首先，是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，奇與偶，說(shuō)的不是奇函數(shù)與偶函數(shù)，也不是π前面的數(shù)值與π的關(guān)系，而是kπ這個(gè)數(shù)值與π2的倍數(shù)關(guān)系，如果是奇數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊進(jìn)行名稱變化，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，如果是偶數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊依然保持原來(lái)的名稱，正弦依然是正弦，余弦依然是余弦，正切依然是正切；其次，是右邊等式的符號(hào)問(wèn)題，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即在第一象限的角的三角函數(shù)值全為正值，在第二象限的角的三角函數(shù)值只有正弦為正值，在第三象限的角的三角函數(shù)值只有正切是正值，在第四象限的角的三角函數(shù)值只有余弦是正值，象限角指的是nπ2±α是第幾象限的角，這里的α總是銳角，而α前的正負(fù)可以忽略，當(dāng)然，如果n是負(fù)值，則另當(dāng)別論.
理解了這兩句口訣后，可以先用教材上誘導(dǎo)公式來(lái)實(shí)踐一下，加深印象：sin（π+α）=-sinα，因?yàn)棣惺铅?的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因?yàn)棣?α是第三象限的角，第三象限的角正弦值為負(fù)，所以等式右邊為-sinα；sin（π-α）=sinα，因?yàn)棣惺铅?的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因?yàn)棣?α是第二象限的角，第二象限的角正弦值為正，所以等式右邊為sinα；sinπ2+α=cosα，因?yàn)棣?是π2的1倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因?yàn)棣?+α在第二象限，第二象限的正弦值為正，所以等式右邊為cosα；sin32π-α=-cosα，因?yàn)?2π是π2的奇數(shù)倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因?yàn)?2π-α是第三象限的角，第三象限的角的正弦值楦海所以等式右邊為-cosα……
【參考文獻(xiàn)】
三角函數(shù)中的求值問(wèn)題主要有：已知某三角函數(shù)，求另外某些三角函數(shù)值或三角式的值；已知某三角函數(shù)式的值，求某些三角函數(shù)或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等幾類，解決這類問(wèn)題不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖像以及三角函數(shù)的恒等變化，還常涉及到函數(shù)、不等式、方程及幾何計(jì)算等眾多知識(shí)，這類問(wèn)題往往概念性強(qiáng)，具有一定的綜合性和靈活性。我以為就三角函數(shù)的求值與計(jì)算應(yīng)注重以下問(wèn)題：
一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)：
（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)
二、三角函數(shù)的求值類型有三類：
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；
（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。
三、三角等式的證明：
（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”；
（2）三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。
例題（1）若 ，化簡(jiǎn)
主要口訣：化異分母為同分母，脫去根式符號(hào)化簡(jiǎn)
解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。
原式=
= =
=
例題（2）已知函數(shù)f（x）=- sin2x+sinxcosx.
（Ⅰ） 求f（ ）的值；
（Ⅱ） 設(shè) ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.
例題（3）求證：tan x - tan x =
思路分析：本題的關(guān)鍵是角度關(guān)系：x= x - x，
右式= =
= tan x - tan x。
=
思路分析：將左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替換，
左邊= = = =右邊
1.有利于理解三角函數(shù)的定義。
采用“單位圓定義法”，對(duì)于任意角a，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y――正弦，角a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x――余弦，可以得到非常清楚、明確的表示。而“終邊定義法”需要經(jīng)過(guò)“取點(diǎn)――求距離――求比值”等步驟，對(duì)應(yīng)關(guān)系不夠簡(jiǎn)潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； "從角的集合到比值的集合"的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)）也需要證明。以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對(duì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚明白，與“終邊定義法”的這些問(wèn)題不無(wú)關(guān)系。
2.有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。例如：
（1）P(x，y)在單位圓上 |x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域?yàn)閇－1，1]；
（2）|OP|2=1 sin2a+cos2a=1；
（3）對(duì)于圓心的中心對(duì)稱性 sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；
（4）對(duì)于x軸的軸對(duì)稱性 sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；
（5）對(duì)于y軸的軸對(duì)稱性 sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；
（6）對(duì)于直線y=x的軸對(duì)稱性 sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；……
3.有利于理解弧度制。
學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對(duì)于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解?！皢挝粓A定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來(lái)度量角，這時(shí)角度和半徑長(zhǎng)度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來(lái)理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）a被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cosa，sina)。
4.符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史。
任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”。所以，采用“單位圓定義法”能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程。
一、引言
三角函數(shù)是一門較重要的科學(xué)知識(shí)，它往往會(huì)與理工科的其他科目有聯(lián)系，我們不僅會(huì)在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到三角知識(shí)，而且這一知識(shí)也與物理方面的相關(guān)知識(shí)掛鉤，如在電學(xué)中，有不少波的相關(guān)公式，以及得出的物理現(xiàn)象就是用三角函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的，所得到的圖形是三角函數(shù)圖。所以，三角函數(shù)不僅僅是一門對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有幫助，同時(shí)對(duì)于工學(xué)類的其他科目也有用途的科學(xué)，在實(shí)際工作和生活中有廣泛的應(yīng)用。
二、三角函數(shù)問(wèn)題概述
1三角函數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)接觸過(guò)了不少問(wèn)題，這些三角問(wèn)題大多數(shù)是通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變換來(lái)求解的。如我們要計(jì)算三角函數(shù)值某個(gè)角的大小，就往往是采用計(jì)算該角的某一種三角函數(shù)值，再依據(jù)我們學(xué)過(guò)的三角函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定象限得出來(lái)的。我們要判斷三角函數(shù)的單調(diào)性，或者確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往可以通過(guò)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)求解。所以說(shuō)，三角函數(shù)的一切問(wèn)題的求解還在于二方面：一是對(duì)性質(zhì)的把握，二是熟悉掌握三角恒等變換公式，并在具體的問(wèn)題中學(xué)會(huì)靈活自如地加以應(yīng)用。
三、考題分析
1考題
例題：在 中，角A，B，C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，b，c，
，求A，B及b，c
2考題求解過(guò)程分析
3總體分析
上面這道題是以三角形為主要的參考模型來(lái)考查三角函數(shù)知識(shí)的，這是三角函數(shù)大題的一大常用考試思路，主要是借助三角形，給出一些已知的參數(shù)（可以是邊，可以是角，從而來(lái)求其他三角參數(shù)的值，如可以是面積，也可以是邊角，這是三角函數(shù)的一種基本的考查形式。
3.2.2本題分析
先看考題第一問(wèn)，要求的是A，B的值，通常情況下，要求出角的大小，我們往往是要求一下角所在的三角函數(shù)值的大小，所以根據(jù)這一思路，我們要求出B，C的三角函數(shù)值，題中給出了三個(gè)已知條件，其中第一個(gè)邊的大小對(duì)于求解第一問(wèn)起不到幫助，我們只能從后面的二個(gè)條件入手，很明顯，從條件2，可以求出C角的三角函數(shù)值，其中 ，這很容易看出來(lái)，而根據(jù)這一點(diǎn)，我們可以求解出C角的三角函數(shù)值， ，角C是30或150度，再根據(jù)后面的第三個(gè)條件，仍然是把A換成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三個(gè)角的大小，是一個(gè)等腰三角形。
3.3考題求解
下面，我們按照先前確定的分析過(guò)程，理一下思路，求解二問(wèn)，具體如下：
解：由 得
，又
由 得
即
由正弦定理 得
四、考題總結(jié)
根據(jù)上面的這道題，我們不難發(fā)現(xiàn)，從結(jié)論開始進(jìn)行分析和展開聯(lián)想是有必要的。上面的這一題的要求解的內(nèi)容，將會(huì)直接決定我們分析的走向，如第一問(wèn)要求三角函數(shù)，我們就要考慮采用三角和差公式，第二問(wèn)要計(jì)算邊長(zhǎng)，我們就要聯(lián)想到正、余弦定理。這都是我們?cè)谏厦孢@道題中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
4.倒推法求解三角恒等變換問(wèn)題的基本思路
4.1以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)
在前面，我們就已經(jīng)明確指出，倒推法是以問(wèn)題為中心而展開的。所以，來(lái)了三角函數(shù)類問(wèn)題，我們必須要對(duì)將要求解的問(wèn)題做一個(gè)全面的了解，看一下該問(wèn)題到底是要求什么，要求邊，還是求角，還是求面積，或者是單調(diào)性等。在明確了問(wèn)題以后，我們就要對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行定性的分析。問(wèn)題不僅僅是決定我們求解的方向所在，也是我們求解的關(guān)鍵突破口。由此看來(lái)，對(duì)于問(wèn)題的性質(zhì)進(jìn)行全面的分析是極其重要的，它為后面的解答問(wèn)題起到了鋪墊的作用。
1 注意條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系
在搞清楚問(wèn)題以后，我們就要開始進(jìn)行推理和想象，如上面的那一個(gè)實(shí)例，我們要調(diào)動(dòng)一切因素，使我們要解決的問(wèn)題和已經(jīng)存在的條件無(wú)限接近。如第二問(wèn)，為了使邊和面積之間建立聯(lián)系，又是在三角形中，我們唯一想到的思路就是三角面積計(jì)算公式，通過(guò)公式，我們就可以得到二條邊的乘積。此外，還有一點(diǎn)也是重要的，那就是給出了角的正弦值，就等同于給出了邊的比例關(guān)系。如果沒有突破這一點(diǎn)，也無(wú)法得以求解。
2 大膽推理和聯(lián)想
在倒推法解決問(wèn)題時(shí)，一定的聯(lián)想是有必要的。而且由于我們高考題在情境上會(huì)不斷發(fā)生變化，但是只是形式上的變化，仍然存在換湯不換藥，新瓶裝老酒的做法。所以，我們要根據(jù)相關(guān)的情況大膽進(jìn)行推理和猜想，如有這樣一個(gè)問(wèn)題。
例2：若 則 a=B
（A） （B）2 （C） （D）
此題按常規(guī)做法是要計(jì)算的，而用倒推法，我們只要分析該角的大小，或者說(shuō)所處象限就行了，根據(jù)公式有 sin （a+A）= 而A很明顯是一個(gè)銳角，（a+A）=270度，意味著 處于第三象限，排除A與B選項(xiàng)，再根據(jù)sinA= 是一個(gè)小于30度的角，所以a必須要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接鎖定答案D。根據(jù)此題，我們可以發(fā)現(xiàn)倒推法無(wú)法是用于解答小題還是解答綜合題，都可以起到一定的作用。
五、結(jié)束語(yǔ)
根據(jù)本文的分析，倒推法不失是一種用來(lái)求解三角函數(shù)問(wèn)題的基本方法。通過(guò)以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，可以進(jìn)一步理出學(xué)過(guò)的知識(shí)，求解的問(wèn)題，以及我們現(xiàn)有的條件的關(guān)系，使我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，打開思路，自由發(fā)揮。更為重要的是，它是一種解決問(wèn)題的思路，尤其是對(duì)于解決難度較大的綜合型問(wèn)題中更可以看到這一點(diǎn)。值得一提的是，倒推法不僅僅適用于解決三角函數(shù)問(wèn)題，它在解析幾何，立體幾何以及數(shù)列等綜合性問(wèn)題中仍然有較大的用途，這一切都有待于我們?cè)谝院蟮慕忸}過(guò)程中，多加總結(jié)，以便使其能夠發(fā)揮更大的作用。
參考文獻(xiàn)
[1] 周加付. 三角變換的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是利用對(duì)稱性來(lái)探究角的終邊分別關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，常用的方法就是把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，還反映了知識(shí)的學(xué)習(xí)是從特殊到一般的思維模式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力也起到了非常重要的作用。
學(xué)習(xí)這節(jié)課，重點(diǎn)就是要讓學(xué)生們對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行探究，借助單位圓來(lái)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值，難點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與任意角終邊的坐標(biāo)之間的聯(lián)系以及合理運(yùn)用誘導(dǎo)公式。下面是我對(duì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的探究和學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些方法，旨在通過(guò)引導(dǎo)探究的方式，讓學(xué)生們能夠掌握公式的推導(dǎo)方式以及學(xué)會(huì)對(duì)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，突破重點(diǎn)難點(diǎn)。課堂過(guò)程主要是采用探究的方式進(jìn)行的。教師設(shè)置一定的情境，組織相應(yīng)的探究活動(dòng)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行公式的探究并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的運(yùn)用。探究的過(guò)程主要有以下幾步：
一、明確課堂目標(biāo)
這一步是要讓學(xué)生們明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)目的，讓學(xué)生們明確這節(jié)課所要學(xué)習(xí)和探究的究竟是什么。教師可以準(zhǔn)備活動(dòng)如：1.思考并寫出sin， cos， tan的三角函數(shù)值，給學(xué)生一定的思考時(shí)間，可以請(qǐng)兩位學(xué)生到黑板上寫出解答結(jié)果，并讓學(xué)生們口述三角函數(shù)的單位圓定義：sin=y，cos=x，tan= （x≠0），三角函數(shù)的定義是學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生們回憶和復(fù)習(xí)可以更好地聯(lián)系新知識(shí)的學(xué)習(xí)。在這個(gè)過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生們的疑惑，抓住學(xué)生們?cè)诮馊呛瘮?shù)值的時(shí)候產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)主題和學(xué)習(xí)目標(biāo)。為學(xué)生們?cè)O(shè)置這樣的情境，可以讓學(xué)生們引發(fā)思考，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，要解決這樣的認(rèn)知沖突就一定程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生們學(xué)習(xí)和探究的積極性，為上好新課做好了準(zhǔn)備。
二、組織探究過(guò)程
返回剛才的例子，并評(píng)價(jià)學(xué)生們?cè)诤诎迳系耐瓿汕闆r，根據(jù)學(xué)生們利用定義求角的三角函數(shù)值的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生們思考角與的終邊有什么關(guān)系。學(xué)生們經(jīng)過(guò)思考以及畫圖，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角在數(shù)量上是相差π，在坐標(biāo)系中這兩個(gè)角的終邊在同一條直線上，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
再把這兩個(gè)角放在坐標(biāo)中的單位圓上來(lái)考慮，設(shè)角與的終邊分別交單位圓于點(diǎn)P1、P2，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為P1（x，y） ，讓學(xué)生思考，點(diǎn) P2的坐標(biāo)如何表示？學(xué)生們可以根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的的位置關(guān)系來(lái)得出P2 的坐標(biāo)為（-x，-y）。再進(jìn)一步概括得出，終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相反數(shù)。教師再引導(dǎo)學(xué)生們概括出有這樣的數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值會(huì)有什么關(guān)系。讓學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，概括出任意角α與角π+α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，三角函數(shù)值滿足公式sin（π+α）=-sinα，學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)用正確的方法進(jìn)行探究和學(xué)習(xí)，并共同得出結(jié)論。再根據(jù)特殊角到一般角的變化，歸納出公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα。
通過(guò)以上公式的探究過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生們總結(jié)出探究的方法和思路，再讓學(xué)生們根據(jù)方法的指導(dǎo)自主探究其他的公式。首先可以引導(dǎo)學(xué)生們回顧剛才的探究過(guò)程并概括出來(lái)。通過(guò)這樣的方法和思維的概括，為學(xué)生的自主探究指明了方向。接下來(lái)可以給出如下的探究任務(wù)：給定一個(gè)角α，探究角π-α和角α的終邊有什么關(guān)系？角-α和角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？組織學(xué)生們進(jìn)行自主探究與討論、合作交流等方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過(guò)使用正確的方法進(jìn)行探究，最終得出公式三和公式四。在探索與合作交流的過(guò)程中，不但提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，還加強(qiáng)了他們的合作交流能力。
三、公式的運(yùn)用
公式的運(yùn)用是建立在對(duì)公式的正確理解的基礎(chǔ)上的。為加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)公式的理解和掌握以及檢查學(xué)生們對(duì)公式的運(yùn)用能力，教師可以設(shè)置一些練習(xí)來(lái)提高學(xué)生們運(yùn)用知識(shí)的能力，但這節(jié)課主要的目的是讓學(xué)生們掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程和方法，公式的運(yùn)用并不是重點(diǎn)。因此，在設(shè)置練習(xí)的時(shí)候，不要太難，只給一些簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)的練習(xí)即可。讓學(xué)生們自己在草稿紙上解答，也可以讓個(gè)別學(xué)生到黑板上去寫，再組織學(xué)生一起進(jìn)行評(píng)講。讓學(xué)生們進(jìn)一步體會(huì)和明確用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)的一般步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0～2π的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)。通過(guò)公式的實(shí)際運(yùn)用及方法的鞏固，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)公式的理解和掌握。
四、小結(jié)
這節(jié)課的內(nèi)容是公式的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)和難點(diǎn)都是公式的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生既要能夠理解，也要能夠?qū)W會(huì)這種公式推導(dǎo)過(guò)程中所運(yùn)用的一般思路和一般方法。公式的推導(dǎo)本身就是一個(gè)探究的過(guò)程，因此，采用探究的方式進(jìn)行教學(xué)是一種不錯(cuò)的方法。值得注意的是，如果教師在探究的過(guò)程中指導(dǎo)過(guò)多，那也達(dá)不到鍛煉學(xué)生的效果，如果完全放手讓學(xué)生自主探究，又容易因方法不正確而浪費(fèi)課堂時(shí)間。最好的方式就是教師先帶領(lǐng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，讓學(xué)生們體驗(yàn)并感悟到探究的思路和方法，再讓學(xué)生進(jìn)行自主的探究，相信這樣一定可以取得很好的課堂效果，突破教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
【參考文獻(xiàn)】
[1]雷曉莉，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2012年7期
[2]萬(wàn)錕，“正弦、余弦的誘導(dǎo)公式”教學(xué)反思，當(dāng)代教育，2012年2期
摘要： 三角函數(shù)與反三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，在光學(xué)條紋圖像分析中有著廣泛的應(yīng)用。在某些特定情況下，如硬件計(jì)算或要求快速計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)逼近函數(shù)來(lái)計(jì)算其近似值?，F(xiàn)討論三角函數(shù)及反三角函數(shù)的最佳逼近方法?；凇薹稊?shù)，選擇特定區(qū)間推導(dǎo)函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，給出了多項(xiàng)式的系數(shù)與最大逼近誤差；再利用三角恒等式將其推廣至函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間，得到了各三角函數(shù)與反三角函數(shù)的分段逼近多項(xiàng)式。并且將其結(jié)果用于條紋圖像的分析，以實(shí)驗(yàn)證明了所述方法的有效性。
關(guān)鍵詞： 三角函數(shù)； 反三角函數(shù)； 多項(xiàng)式逼近； 條紋圖像分析
中圖分類號(hào)： TP 301.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2013.01.005
引言三角函數(shù)與反三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，在工程技術(shù)與科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用，但在某些特定情況下則需通過(guò)逼近函數(shù)來(lái)計(jì)算其近似值。例如，在工業(yè)中常采用單片機(jī)、硬件計(jì)算設(shè)備或各種小型系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)程的控制[1]，然而這些系統(tǒng)可能并不支持三角函數(shù)的庫(kù)函數(shù)計(jì)算，那么就需要尋找替代的逼近方法來(lái)計(jì)算其數(shù)值。另外，相對(duì)于一般算術(shù)運(yùn)算，三角函數(shù)與反三角函數(shù)計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，計(jì)算耗時(shí)，難以滿足各種實(shí)時(shí)性要求。例如，在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)[2]方程的快速計(jì)算中，三角函數(shù)的計(jì)算也占很大的比例[3]。另外，在計(jì)算機(jī)三維建模與三維游戲中，三維模型的空間坐標(biāo)變換也涉及到大量連續(xù)的三角函數(shù)運(yùn)算[4]。GPU[5]作為一種可編程的圖形處理器，利用Vertex Shader計(jì)算反三角函數(shù)也很浪費(fèi)時(shí)間。在這些情況下，采用三角函數(shù)的快速近似計(jì)算可以大大提高計(jì)算效率[67]，滿足各類實(shí)時(shí)性要求。同樣，在光學(xué)檢測(cè)技術(shù)中，也涉及到大量的三角函數(shù)運(yùn)算。例如，傅里葉變換位相分析方法[89]中，大量的復(fù)指數(shù)運(yùn)算需通過(guò)正余弦函數(shù)的計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)；相移步距未知情況下的相移算法中，需使用反余弦函數(shù)來(lái)求解相對(duì)相移量[10]；各種位相分析方法一般需通過(guò)四象限反正切函數(shù)逐像素計(jì)算條紋圖像上的位相分布[11]；而在多視角（口徑）測(cè)量[1213]中，則需利用坐標(biāo)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)各視角測(cè)量結(jié)果的配準(zhǔn)與拼接，也要用到大量的三角函數(shù)計(jì)算。這些計(jì)算消耗大量時(shí)間，已成為快速測(cè)量或?qū)崟r(shí)測(cè)量的一個(gè)瓶頸問(wèn)題，同時(shí)也使得測(cè)量數(shù)據(jù)的硬件或固件計(jì)算處理難以實(shí)現(xiàn)。三角函數(shù)與反三角函數(shù)的快速近似計(jì)算可采用多種方法實(shí)現(xiàn)。其中，查表法首先對(duì)函數(shù)特定區(qū)間按特定分辨率進(jìn)行采樣并計(jì)算其數(shù)值，并建表存儲(chǔ)在內(nèi)存中。使用時(shí)，直接訪問(wèn)相應(yīng)地址即可獲得需要的三角函數(shù)值。查表法簡(jiǎn)便易行，效率很高，但需要占用一定的內(nèi)存空間。特別是當(dāng)精度要求提高時(shí)，所需內(nèi)存的大小也需相應(yīng)地增大。泰勒級(jí)數(shù)也常被用來(lái)計(jì)算函數(shù)的近似值。根據(jù)泰勒定理，一個(gè)無(wú)限可微函數(shù)可由其泰勒展開式無(wú)限逼近。但泰勒級(jí)數(shù)收斂較為緩慢，無(wú)法實(shí)現(xiàn)低階高精度的逼近。例如在區(qū)間[-1，1]上用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算反正切函數(shù)值時(shí)，若要精度達(dá)到10-3數(shù)量級(jí)，需將其展開至49階；若要精度達(dá)到10-4數(shù)量級(jí)，則需將其展開至499階。這一現(xiàn)象說(shuō)明，當(dāng)精度要求較高時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)并不是一種實(shí)用有效的函數(shù)逼近方法。另一種方法是采用最小二乘多項(xiàng)式逼近三角函數(shù)，該多項(xiàng)式與目標(biāo)函數(shù)之間的平方距離可達(dá)到極小值。由于最小二乘多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算十分簡(jiǎn)單，該方法較易于實(shí)現(xiàn)。采用這種方法，僅需5階和7階多項(xiàng)式即可分別使上述區(qū)間內(nèi)的反正切函數(shù)的求解精度達(dá)到10-3和10-4數(shù)量級(jí)，其逼近效率遠(yuǎn)高于泰勒級(jí)數(shù)法。但是，這種最小二乘多項(xiàng)式并非是最優(yōu)的。換言之，存在階數(shù)更低的多項(xiàng)式可達(dá)到相同的精度。不同于上述方法，本文討論三角函數(shù)及反三角函數(shù)的最佳逼近方法，推導(dǎo)了基于無(wú)窮范數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式。光學(xué)儀器第35卷
關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；誘導(dǎo)公式；逆用公式
一、重視三角函數(shù)的定義，注意兩種定義的教學(xué)順序
在教學(xué)過(guò)程中，我在兩個(gè)班的教學(xué)中用了不同的教學(xué)順序：甲班先從銳角三角函數(shù)的定義過(guò)渡到任意角三角函數(shù)的定義：若任意α的終邊上一點(diǎn)P（x，y）（x≠0）；令r=OP，則sinα=■，cosα=■，tanα=■。再?gòu)腜為特殊位置即P為∠α的終邊與單位圓交點(diǎn)時(shí)，引入三角函數(shù)的第二種定義，學(xué)生學(xué)得較為自然，在應(yīng)用如“角α終邊經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P（3，-4），求角α的三個(gè)三角函數(shù)值”時(shí)正確率較高。
而乙班則嚴(yán)格按照課本要求：先引入單位圓定義任意角三角函數(shù)：若任意α的終邊與單位圓交于一點(diǎn)Q（x，y）（x≠0）；則sinα=y，cosα=x，tanα=■，通過(guò)課本12頁(yè)的例1求出■的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（■，-■） ，再求三角函數(shù)值。這個(gè)例題學(xué)生還好理解，而在例2的教學(xué)中利用教材中的方法：利用三角形相似去解決，然后才給出與銳角三角形相類似的定義，最后在用一道習(xí)題“已知∠α的終邊與射線y=-2x（x≤0）重合，求α的三角函數(shù)值”鞏固時(shí)卻出現(xiàn)了問(wèn)題：作業(yè)格式混亂，錯(cuò)誤很多。課后與學(xué)生交流時(shí)，都有兩個(gè)疑問(wèn)：一是能否用省事的方法，即用終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)直接求解？二是單位圓學(xué)來(lái)做什么用，用它來(lái)求三角函數(shù)值這不是擾亂我們的思維嗎？通過(guò)這兩個(gè)班的教學(xué)對(duì)比，我進(jìn)行了深刻的反思。
二、進(jìn)行誘導(dǎo)公式口訣的微小改變，注重?cái)?shù)形結(jié)合記憶和運(yùn)用公式
三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式很多，學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的記憶非常頭痛，且經(jīng)常混淆，這塊內(nèi)容是教學(xué)中的重中之重。在教學(xué)中大多數(shù)教師是教給學(xué)生“奇變偶不變、符號(hào)看象限”的記憶口訣，但學(xué)生在運(yùn)用過(guò)程中還是記憶不清。后來(lái)我把這種口訣更改為“符號(hào)看象限，縱變橫不變?！逼淅斫鉃椋喊薛量闯射J角后，看■±α，■±α，kπ±α等角是屬于哪個(gè)象限的角，利用“符號(hào)看象限”確定變化后的函數(shù)符號(hào)，由于kπ的終邊在橫軸上，±■，±■，±■等的終邊在縱軸上，利用“縱變橫不變”確定函數(shù)名。
三、重視三角函數(shù)的性質(zhì)，注重性質(zhì)學(xué)習(xí)上的微小改變
學(xué)生在學(xué)習(xí)y=sinx與y=Asin（？棕x+？漬）的圖象性質(zhì)時(shí)會(huì)混為一談，會(huì)把y=sinx中的x與y=Asin（？棕x+？漬）中的x當(dāng)成是同一個(gè)，在求單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。因而我在教學(xué)中做了一個(gè)改變：學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，把三角函數(shù)寫成了：y=sinα，y=cosα與y=tanα，這樣建立的關(guān)系是α與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在橫軸上也寫成α 軸。這樣我們?cè)谘芯縴=Asin（？棕x+？漬）的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，把？棕x+？漬看作 α來(lái)研究，然后再求出x的值或范圍。
四、重視正弦函數(shù)的五個(gè)相位與y=Asin（？棕x+？漬）和x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系
三角函數(shù)y=sinα的圖象中，在一個(gè)周期內(nèi)把第一個(gè)上升的零點(diǎn)作為第一相位點(diǎn)0，以此類推，分別得出第二到第五相位點(diǎn)■， π，■，2π。
在y=Asin（？棕x+？漬）（A>0）的一個(gè)周期內(nèi)的圖象和上述相比較可得出如下結(jié)論：
利用這些關(guān)系能夠很快從圖象中求出？棕和？漬的值。
五、重視三角公式中和、差、倍角公式的逆用
許多三角習(xí)題都要進(jìn)行公式的逆用，而公式的逆用又是學(xué)生最不擅長(zhǎng)的，從而給學(xué)習(xí)造成了許多困難。公式的逆用主要有：
（1）由和差角公式得出的輔助角公式：asinx+bcosx=■sin（x+？漬），其中？漬角的確定是學(xué)生最容易出錯(cuò)的，因而在教學(xué)中要求學(xué)生不能貪快，在書面表達(dá)上要寫出：asinx+bcosx=■（■sinx+■cosx）=■sin（x+？漬），這樣利用cos？漬=■，或sin？漬=■或tan？漬=■從而求出銳角？漬的值。還要要求學(xué)生熟記■，■，■的正、余弦值。
（2）由倍角公式得出的降冪公式：sinxcosx=■sin2x，sin2x=■，cos2x=■。這些公式的正確運(yùn)用是做好三角化簡(jiǎn)題的前題，在三角復(fù)習(xí)中要多加強(qiáng)調(diào)與練習(xí)。
一、 “給角求值”
一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察則非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系。解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊角，并且求出特殊角的三角函數(shù)而得解。
點(diǎn)評(píng)本題中“切化弦”是解題的關(guān)鍵，它為逆用
和角公式鋪平了道路，然后通過(guò)對(duì)角的合理變換，將其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問(wèn)題。
二、 “給值求值”
給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)式的值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)化未知角為已知角的思考，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)是函數(shù)值與自變量之間的最基本的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是“變角”技巧。同時(shí)，在求解三角函數(shù)值時(shí)，一方面要注意角的取值情況，切勿出現(xiàn)增根，另一方面要關(guān)注角與角之間的關(guān)系。通過(guò)應(yīng)用整體法來(lái)處理各個(gè)角，以減少問(wèn)題的運(yùn)算量。
三、 “給值求角”
實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該自變量的取值范圍求得角。
求“動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程”是解析幾何部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)，我們要求學(xué)生在解答時(shí)要注意完備性與純粹性。完備性即軌跡上一個(gè)點(diǎn)也不能漏掉；純粹性即軌跡上一個(gè)點(diǎn)也不能增加。讓很多學(xué)生頭疼的是，最后求出來(lái)的曲線方程是否符合完備性和純粹性？方程后面有沒有附加條件？怎樣做可以避免這類問(wèn)題的錯(cuò)誤？我們就學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題來(lái)談一談如何有效地去掉動(dòng)點(diǎn)軌跡中多余的點(diǎn)。
下面是兩道學(xué)生作業(yè)題中出現(xiàn)的問(wèn)題：求出一個(gè)軌跡方程便結(jié)束，以為完成了所有解答，卻不知還有多余的點(diǎn)要去除。
例1 蘇教版選修2-1第64頁(yè)第3題：
已知?jiǎng)訏佄锞€的準(zhǔn)線為y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），求拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程。
學(xué)生解
設(shè)焦點(diǎn)為F（x，y），
由拋物線定義得AF=d=1，
代入坐標(biāo)得（x-1）2+y2=1。
分析 本題的題設(shè)描述的是拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和拋物線上一點(diǎn)的關(guān)系，使用定義可以建立幾何等式，進(jìn)一步得到代數(shù)等式，但是在使用拋物線定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，所以本題還需要添加如下過(guò)程：
因?yàn)榻裹c(diǎn)F不在準(zhǔn)線y軸上，所以x≠0，
所以焦點(diǎn)的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，其中x≠0。
例2 蘇教版選修2-1第64頁(yè)第4題：
在求軌跡方程時(shí)，很多往往算出一個(gè)方程便結(jié)束，出現(xiàn)作業(yè)題“對(duì)而不全”的情況，求動(dòng)點(diǎn)軌跡如何去掉多余的點(diǎn)，總結(jié)起來(lái)應(yīng)注意以下幾種情況：
1. 有些題目中含有已知曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，它們的定義中都有附加條件，解題時(shí)要根據(jù)曲線的定義來(lái)考慮完備性和純粹性，如例1；
2. 利用三角形的三點(diǎn)不共線，去掉多余的點(diǎn)，如例2；
1.《三角函數(shù)》在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位
《三角函數(shù)》是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究的方法主要是代數(shù)的研究方法，因此，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)已經(jīng)初步把代數(shù)和幾何聯(lián)系起來(lái)了.《三角函數(shù)》知識(shí)是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后進(jìn)行研究學(xué)習(xí)的，而對(duì)于人教版數(shù)學(xué)必修一第一章的內(nèi)容，學(xué)生因?yàn)闆]有適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)環(huán)境，對(duì)新的知識(shí)、新的學(xué)習(xí)方法掌握得不是很好，《三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生進(jìn)一步理解研究函數(shù)的思想和方法.
2.《三角函數(shù)》的教材編排
中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)內(nèi)容分成兩個(gè)部分，第一部分放在義務(wù)教育第三學(xué)段，第二部分放在高中階段.在義務(wù)教育第三學(xué)段，主要研究《銳角三角函數(shù)》和《解直角三角形》的內(nèi)容.在高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分，包括解斜三角形、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和簡(jiǎn)單的三角方程.
3三角函數(shù)重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)討論
“三角函數(shù)”的內(nèi)容，主要是任意角三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)三方面的知識(shí)，掌握好這些基礎(chǔ)知識(shí)，是三角函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)其它知識(shí)的奠基.
3.1“任意角的三角函數(shù)”的概念教學(xué)
任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義.它是本節(jié)乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其它與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要作用.解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù).
在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生回顧初中時(shí)學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義，從原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，來(lái)認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)的定義.引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中討論，用坐標(biāo)法研究銳角三角函數(shù)，進(jìn)一步討論改變終邊上的點(diǎn)的位置是否改變其比值.在得出結(jié)果之后，再引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步引入單位圓，利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，此時(shí)再結(jié)合"任意角和弧度制"中的相關(guān)知識(shí).正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).在給出三角函數(shù)的定義之后，使學(xué)生明確sinα是一個(gè)整體，不是sin與α的乘積，它是“正弦函數(shù)”的一個(gè)記號(hào)，就如f（x）表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開自變量的“sin”“cos”“tan”等式是沒有意義的.根據(jù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生討論函數(shù)的定義域、函數(shù)值等問(wèn)題，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義，利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào).利用單位圓以及三角函數(shù)線知識(shí)，推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：.
任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn).無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等，都具有重要的意義.
3.2“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的應(yīng)用教學(xué)
3.3“三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的重點(diǎn)教學(xué)
三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性）是三角函數(shù)的重點(diǎn).教材中主要學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)圖像的形狀特征，并能在圖像直觀下研究函數(shù)的性質(zhì).教師在教學(xué)過(guò)程中利用信息技術(shù)工具（如幾何畫板），快捷地作出三角函數(shù)的圖像，利用動(dòng)態(tài)演示功能，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像的特點(diǎn)，觀察函數(shù)變化的過(guò)程，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，反過(guò)來(lái)再根據(jù)性質(zhì)進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)函數(shù)的圖像，使學(xué)生認(rèn)識(shí)及運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì).
在討論過(guò)正弦函數(shù)的圖像之后，再結(jié)合圖像總結(jié)正弦函數(shù)的性質(zhì).由于在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，因此可以根據(jù)類似的思想討論正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其最小正周期是2π，及其奇偶性、單調(diào)性.
其次是余弦函數(shù)圖象與性質(zhì).如同正弦函數(shù)圖像，利用余弦線作余弦函數(shù)圖像比較復(fù)雜，因此根據(jù)教材的建議，在作出正弦曲線的基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式六，通過(guò)圖像變換得出余弦曲線.使學(xué)生加強(qiáng)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的聯(lián)系，為學(xué)生提供通過(guò)圖像變換作出函數(shù)圖像的機(jī)會(huì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想.接下來(lái)的討論可以根據(jù)研究正弦函數(shù)圖像的方法，包括對(duì)余弦函數(shù)性質(zhì)的探討.
《銳角三角函數(shù)》是浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第一章的首節(jié)內(nèi)容。銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它在解決實(shí)際問(wèn)題中起著重要的作用。這節(jié)課的教學(xué)要使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)比和比例、圖形的相似、推理證明等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，經(jīng)歷從特殊到一般的探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法，為學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。
二、學(xué)情分析
從學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特征來(lái)看，九年級(jí)學(xué)生的思維活躍，接受能力較強(qiáng)，具備了一定的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)歷和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。
從學(xué)生已具備的知識(shí)和技能來(lái)看，九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)掌握直角三角形中各邊和各角的關(guān)系，能靈活運(yùn)用相似圖形的性質(zhì)及判定方法解決問(wèn)題，有較強(qiáng)的推理證明能力。在這節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了較深的了解。
三、教學(xué)目標(biāo)
這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：經(jīng)歷銳角的正弦、余弦和正切的探索過(guò)程，了解三角函數(shù)的概念；掌握正弦、余弦和正切的符號(hào)，會(huì)用符號(hào)表示一個(gè)銳角的三角函數(shù)；掌握在直角三角形中，銳角三角函數(shù)與邊之比的關(guān)系；了解銳角的三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，會(huì)根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值。
四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：銳角的正弦、余弦、正切和銳角三角函數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)是：銳角三角函數(shù)的概念。
五、教學(xué)過(guò)程
（一）情景引入
問(wèn)題一：甲、乙兩個(gè)登山隊(duì)在兩個(gè)傾斜角不同的斜坡上都步行了150米（如圖1），請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)隊(duì)登得高？它與什么有關(guān)？
問(wèn)題二：沿同一斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，在斜面上所經(jīng)過(guò)的距離和水平方向、鉛直方向經(jīng)過(guò)的距離與斜面的傾斜角之間有什么關(guān)系？
問(wèn)題三：如圖2，在上述過(guò)程中，請(qǐng)計(jì)算BC∶AB的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？
【結(jié)論】在直角三角形中，當(dāng)∠A=30°時(shí)，BC∶AB是一個(gè)確定的值，與點(diǎn)B在角的邊上的位置無(wú)關(guān)。
（二）實(shí)施任務(wù)一：探索新知
1.如圖3，在邊AM上任意取一點(diǎn)B，作BCAN于點(diǎn)C。用刻度尺先量出AB、AC、BC的長(zhǎng)度（精確到1毫米），再計(jì)算、、的值，與你的同伴交流，你發(fā)現(xiàn)了什么？（結(jié)果保留2 個(gè)有效數(shù)字）
2.如圖4，B，B1是∠α一邊上的任意兩點(diǎn)，作BCAC于點(diǎn)C，B1C1AC1于點(diǎn)C1. 判斷比值與，與，與是否相等，并說(shuō)明理由。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)6分鐘；小組合作交流3分鐘；學(xué)生展示；教師點(diǎn)評(píng)總結(jié)，并舉例示范。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)情景中的三個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過(guò)程，從而引出三角函數(shù)的定義。舉例示范可以幫助學(xué)生及時(shí)得出三角函數(shù)的定義。
（三）實(shí)施任務(wù)二：應(yīng)用新知
如圖5，在RtABC中，∠C=Rt∠，AC=2，BC=3. 求：
（1）sinA，cosB；
（2）cosA，sinB；
（3）觀察（1）（2）中的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)說(shuō)明理由。
（4）請(qǐng)?zhí)剿鱰anA，tanB之間的關(guān)系。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)5分鐘；學(xué)生展示。
【設(shè)計(jì)意圖】課堂檢測(cè)三角函數(shù)的定義掌握情況，由定義發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并學(xué)會(huì)用定義去證明新的結(jié)論。
（四）實(shí)施任務(wù)三：拓展提升
如圖6，在RtABC中，∠C=Rt∠，CDAB，sinA=，求cosA和tan∠BCD。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)5分鐘；學(xué)生展示。
【設(shè)計(jì)意圖】拓展提升，活化能力，能理解三角函數(shù)的定義，并運(yùn)用定義求三角函數(shù)的值。
（五）課堂小結(jié)
在本節(jié)課中，我們――
1.學(xué)習(xí)了一個(gè)重要概念：銳角三角函數(shù)；
關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;三角函數(shù);數(shù)學(xué)模式
數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合就是指把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，是抽象思維和形象思維的結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。
高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)這一章節(jié)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，公式太多、計(jì)算結(jié)果正負(fù)號(hào)的確認(rèn)、比較三角函數(shù)值大小等均是學(xué)生頭疼的地方。很多學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)處于模糊狀態(tài)，做題幾乎靠蒙。究其原因，因?yàn)閷W(xué)生不會(huì)畫或者沒記住三角函數(shù)的圖像。下面我們利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)三角函數(shù)的圖像解決這節(jié)知識(shí)所包含的一些問(wèn)題。
一、三角函數(shù)公式的記憶（以正弦函數(shù)舉例）
下面是正弦函數(shù)的幾個(gè)相關(guān)公式：
sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（1） sin（-α）=-sinα（2）
sin（π-α）=sinα （3） sin（π+α）=-sinα（4）
我們通過(guò)圖像來(lái)幫助記憶，y=sinx x∈[0，2π]的圖像如下：
圖1 圖2
通過(guò)圖1可知，函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，且周期T=2π，所以公式（1）就可以理解了。
通過(guò)圖2可知，若α為第一象限角，則sinα>0;此時(shí)-α為第四象限角，由圖像可知對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值為負(fù)。
即sin（-α）<0。要實(shí)現(xiàn)等式“sin（-α）=？sinα”，顯然可知等式左邊為正，右邊為負(fù)，為了滿足等式成立的要求，“？”處只能為“-”，即公式（2）sin（-α）=-sinα。
同理可知，π-α為第二象限角，且由圖像可知sin（π-α）>0，要實(shí)現(xiàn)“sin（π-α）=？sinα”，“？”處只能為“+”，即公式（3）sin（π-α）=sinα;π+α為第三象限角，且由圖像可知sin（π+α）=
？sinα，要實(shí)現(xiàn)，“？”處只能為“-”。
二、三角函數(shù)值正負(fù)號(hào)的確認(rèn)（以正弦函數(shù)舉例）
圖3 圖4
三、不求值比較三角函數(shù)的大小（以正弦函數(shù)舉例）
在三角函數(shù)這一章節(jié)中，經(jīng)常出現(xiàn)這樣一類問(wèn)題：“不求值比較三角函數(shù)的大小”。這類問(wèn)題是本章節(jié)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生一直在“>”與“<”之間隨機(jī)選擇，找不到解題的切入點(diǎn)。
