時間：2022-07-30 00:17:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1. “[tanα=34]”是“[sinα=-35]”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
2. 已知[cos（π2+α）=35]，且[α∈（π2，3π2）]，則[tanα=]（ ）
A. [43] B. [34]
C. [-34] D. [±34]
3. 已知[tanθ=2]，則[sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ][=]（ ）
A. [-43] B. [54]
C. [-34] D. [45]
4. 已知[sin（π+θ）=45]，則[θ]角的終邊在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第一、四象限 D. 第三、四象限
5. 已知[α∈（0，2π）]，且[α]的終邊上一點的坐標為[（sinπ6，cos5π6）]，則[α]等于（ ）
A. [2π3] B. [5π3]
C. [5π6] D. [7π6]
6. 若[0
A. [sinx3xπ]
C. [sinx4x2π2]
7. [sin256π+cos253π-tan（-254）π=]（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. -2
8. 若[α]是第四象限角，[tanα=-512]，則[sinα=]（ ）
A. [15] B. [-15]
C. [513] D. [-513]
9. 已知sin[（76π+α）=13]，則sin[（2α-76π）=]（ ）
A. [79] B. [-79]
C. [19] D. [-19]
10. 已知點[P（sinα-cosα，tanα）]在第一象限，則在[0，2π]內[α]的取值范圍是（ ）
A. （[π4]，[π2]） B. （π，[54]π）
C. （[3π4]，[54]π） D. （[π4]，[π2]）[?]（π，[54]π）
二、填空題（每小題4分，共16分）
11. 若角[β]的終邊與[60°]角的終邊相同，則在[[0°]，[360°）]內，終邊與角[β3]的終邊相同的角為 .
12. 若角[α]的終邊落在直線[y=-x]上，則[sinα1-sin2α+1-cos2αcosα]的值等于 .
13. 若[α]是第一象限角，則[sin2α]，[cos2α]，[sinα2]，[cosα2]，[tanα2]中一定為正值的有 個.
14. 若[α]是銳角，且[sin（α-π6）=13]，則[cosα]的值是 .
三、解答題（共4小題，44分）
15. （10分）設[α]為第四象限角，其終邊上的一個點是[P（x，-5）]，且[cosα=24x]，求[sinα]和[tanα].
16. （10分）已知扇形[OAB]的圓心角[α]為[120°]，半徑長為6，求：
（1）求[AB]的弧長；
（2）求弓形[OAB]的面積.
17. （12分）[A，B]是單位圓[O]上的動點，且[A，B]分別在第一、二象限. [C]是圓[O]與[x]軸正半軸的交點，[AOB]為正三角形. 記[∠AOC=α].
（1）若[A]點的坐標為（[35]，[45]）. 求[sin2α+sin2αcos2α+cos2α]的值；
（2）求[|BC|2]的取值范圍.
18. （12分）求值：
1、三角函數是基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。
2、常見的三角函數包括正弦函數（SinX）、余弦函數（Cosx）和正切函數（tanx）.在航海學、測繪學、工程學等其他學科中,還會用到如余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、半正矢函數等其他的三角函數.不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恒等式.
（來源：文章屋網 ）
早期對于三角函數的研究可以追溯到古代。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現代的弧度制不同）。對于給定的弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這個記法和現代的正弦函數是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。
然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰
（來源：文章屋網 ）
命題者常常結合其他知識點來考查三角函數，運用多個知識點之間的交叉、滲透和組合出題，具有基礎性和綜合性，題型可大可小，難易程度忽高忽低.
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解答這種類型的綜合題不僅需要同學們熟練掌握好三角函數中的基礎知識、基本技能和基本方法，而且還要熟練掌握相關結合知識點的內容，然后分別考慮題目中三角函數的特點與其他知識點，采取各個突破的策略.
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■ 命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是（ ）
A. 若α≠■，則tanα≠1
B. 若α=■，則tanα≠1
C. 若tanα≠1，則α≠■
D. 若tanα≠1，則α=■
破解思路 本題屬于容易題，命題“若p，則q”的逆否命題的格式是“若？劭q，則？劭p”，故可寫出命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題.
經典答案 因為“若p，則q”的逆否命題為“若？劭p，則？劭q”，所以“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠■”. 選C.
■ 某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數.
①sin213°-sin13°cos17°+cos217°；
②sin215°-sin15°cos15°+cos215°；
③sin218°-sin18°cos12°+cos212°；
④sin2（-18°）-sin2（-18°）cos48°+cos248°；
⑤sin2（-25°）-sin2（-25°）cos55°+cos255°.
（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；
（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.
破解思路 （1）選擇一個容易求解的式子求出常數即可.
（2）推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結果.
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為■+■-sinα?（cos30°cosα+sin30°sinα），即1-■+■cos2α+■sin2α-■sin2α-■，化簡可得結果.
經典答案 選擇②，計算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■?sin30°=■，故這個常數為■.
（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發現推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
法1：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=sin2α+■cosα+■sinα■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+■cos2α+■sin2α+■sinαcosα-■sinα?cosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.
法2：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1-■+■cos2α+■sin2α-■?sin2α-■= 1-■-■+■=■.
■
運用物理中矢量運算及向量坐標表示與運算，我們知道：若兩點等分單位圓時，有相應關系為：sinα+sin（π+α）=0，cosα+cos（π+α）=0. 由此可以推知：
【授課年級】高一年級
【教學目標】
知識目標：使學生在理解任意角三角函數定義和銳角三角函數的基本關系式的基礎上，能夠類推――發現――猜想――推導同角三角函數的基本關系式，并能夠靈活運用同角三角函數的基本關系式解決三角函數中已知一個角的某一三角函數值求其余三角函數值的問題。
能力目標：啟發學生主動參與，培養學生類推、發現、歸納、猜想、推導、整理的能力
情感目標：讓學生獲得發現的成就感，培養學生勇于探索、善于研究的求知精神及嚴謹的科學態度。
【教學重點】同角三角函數的基本關系式的理解與在同角三角函數的基本關系式求值問題中的靈活應用
【教學難點】同角三角函數的基本關系式在求值問題中的靈活應用
【教學方法】引導發現法
【教具準備】三角板
【課堂構思】課堂結構分為三部分，其一，創設情景，以實例引出已知一個角的某一個三角函數值，求其余五個三角函數值的問題，發現這六個三角函數值之間具有某種關系，激發學生興趣；其二、引導學生通過觀察任意角三角函數的定義，尋找同角三角函數之間的關系式，這是主體部分；其三，實際應用。
【教學過程】
I.引入新課
（1）引例：已知α為銳角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，
（2）學生活動：學生回憶所學方法探求。
（3）預期成果：學生構造直角三角形用定義求出。
（4）問題1：請學生觀察它們之間的關系。
（5）預期答案：
（6）問題2：判斷上述關系是否對任意銳角成立
（7）預期答案：利用勾股定理證明
（8）復習任意角的三角函數的定義
II.講授新課
（1）學生類推探求公式：等
（2）學生類比證明公式：等
（3）師生共同歸納整理所求公式：平方關系、倒數關系、商數關系
（4）教師指出所用公式的注意事項：同角的含義、角的范圍、公式的變形
①注意“同角”，至于角的形式無關重要，如sin24α+cos24α=1等；
②注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如沒有意義
③對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：，等
（5）同角三角函數的基本關系式的簡單應用
例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.
（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.
分析：
問題（3）：例1中兩問有沒有區別？
預期答案：第（1）問中的角α給出了范圍，而第（2）問沒有。
問題（4）：這些問題與α的范圍有無關系？若有，在什么時候用到這個關系？怎么處理這個問題？
預期答案：有，在用平方關系時開方用到，要分類討論。
III 課堂練習
教材P29 1（1），（2）
IV 課堂小結
四個公式（）
一種題型（運用同角三角函數的基本關系式解決三角函數中已知一個角的某一三角函數值求其余三角函數值的問題）
V 課后作業
教材習題4.4 1（1），（2），（3），
Ⅵ 板書設計
同角三角函數的基本關系式
同角三角函數基本關系式
注意： 例1 學生板演
【教學后記】
在本節學習中，課堂上學生整體配合很好，課后作業學生完成較好，但在課堂教學中反映出了三個問題：
（1）學生探索發現的公式很多超出了要求，如：
關鍵詞：初中數學；銳角三角函數；分析
當前階段，我國相關教育部門對初中數學中的銳角三角函數這一部分內容作出了全面的要求，要求初中生需要具備熟練掌控在銳角范圍內的正、余弦以及正切函數的相關數學概念及其特殊性質，對于一些30°、45°以及60°等一系列特殊角的三角函數，必須可以對其進行熟練的解析；在此基礎上可以運用銳角三角函數來進行直角三角形的求解問題等。
一、江蘇鳳凰科學技術出版社初中數學“銳角三角函數”教材內容
初中教育階段數學學科的教學活動中，有關“銳角三角函數”的數學定義是建立于直角三角形的基礎上的。為此，在初中教育階段，銳角的函數值的解答方法大多數都是由直角三角形的計算得出的。教材的主要教學內容包括：首先，細致的講解了與“銳角三角函數”相關的數學知識概念，如：余切的定義、正弦的定義、正切的定義等；其次，以一個特殊角為實際案例，如30°或45°或60°，充分展示了三角函數的具體計算流程與解析技巧；最后，對直角三角形的邊角關系進行了深入的探討。
二、深入探究初中教育階段數學銳角三角函數的內容
當前階段，大多數有關銳角三角函數的內容，都是被應用于解決實際問題的。例如，銳角三角函數其中的一條性質為：在其銳角的范圍內，同角或者等角的三角函數數值是完全相同的。”教師需要利用這一特殊性質，解決實際數學學習問題。為此，筆者針對上面所提出的銳角三角函數特殊性質，列舉出一道典型的教學例題進行充分論述。
如圖1，在平面直角坐標系內，以點O為原點，以A點為圓心的圓與坐標軸交與點E（0，4）和點C（6，0），點B為弧EOC上一動點，求tan∠OBE=？
顯而易見，此題的主要考點為：學生面對三角函數中有關同角或等角的三角函數值相等的問題。經過分析學生的答案后，得知大部分的學生被題目的表層數學條件所迷惑，進一步導致學生不會解答或者解答錯誤的問題。此題目充分表現了上文中提及的三角函數的數學性質。其實，此題目是完全可以借助數學學習條件的轉化來解決。此題的解答方法僅僅需要將EC進行連接即可，如圖2所示。
這樣進行連接后就很接近最終的答案了。在實際解題過程中，學生在分析問題時要對學生進行一定的引導，因為三角形OBE并不是直角三角形，不利于問題的解決，因此應當將所求的問題放在直角三角形中來解決。而實際學生自己進行解題時，由于對三角函數的內涵還理解得不夠深刻，導致不能將三角函數中的這一性質進行靈活應用，所以在實際三角函數的教學中對于其內涵的掌握是極其重要的。
三、科學進行延伸其學習內容
從全局性的角度進行分析，教師有必要在教學課堂中對三角函數這一教學內容進行延伸。由于其內容在高中教育階段及學生日后的諸多學習探索中都有所涉及，為此，教師需要在初中教育這一階段為其后續發展進行良好的教學鋪墊。但是，在進行實際教學的過程中，尤其需要注意的是，教師要著重指出其學習問題是建立在學生自身已經學習過的知識上的。只有這樣，才可以更為高效地進行擴展學生數學學習思維，為學生日后的學習奠定堅實的物質基礎。為此，筆者在文中借助一個教學事例，進行具體闡述如何有效地進行知識拓展。
根據數學定理“等腰三角形頂角角平分線三線合一”，我們可以推出兩腰之比等于兩底邊線段的比，那么一個普通的三角形是否也適用這一內容呢？如圖3所示：AD平分∠A，問此時AB/AC=BD/DC是否真正成立。
對于這一數學問題，大量的教學專家對其進行研究調查，要求九年級的學生自主進行解答其問題，但是其結果卻顯示班級中多一半的學生表示無法解答出答案。在進行解答過程中，對于班級中一些有解題思路的學生而言，普遍都會運用角平分線的性質，通過連接輔助線結合角平分線的相關特性，與三角形其他的數據結果進行科學的對比，進而得出最終的答案。但是，此種解題思路對初中生而言復雜繁瑣。教師可以嘗試性地對三角函數進行一部分相關知識的擴展，但是需要注意把握好尺度，適當地進行教學擴展，不僅可以有效激發學生的學習興趣，同時還有助于開發學生的學習潛力。
綜上所述，初中數學教師在進行實際教學過程中，不僅需要時刻注意對學生進行數學學習方法方面的教學，還需要在潛移默化中培養學生良好的學習習慣。初中數學“銳角三角函數”這一教學內容則是一個比較好的教學切入點，對于培養學生的數學幾何學習能力具有很大的幫助。為此，教師必須要教好“銳角三角函數”這一內容。
參考文獻：
一、構造函數表達式
利用函數自身的特性，及函數的奇偶性、增減性等來解題。
例1.已知x、y∈［-，］，a∈R，且x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）
思路分析：由x3+sinx與2（4y3+sinycosy）這兩部分形式完全類似，由此可構造函數形式.設f（t）=t3+sint，t∈［-，］，易證f（t）在［-，］上為單調遞增。又題中條件變為f（x）-2a=0f（-2y）-2a=0，得f（x）=f（-2y），x=-2y。所以cos（x+2y）=0.
二、構造一元二次方程
利用一元二次方程解的特點及根的判別式來解題。
例2.已知A、B、C是ABC的三個內角，sinA≠sinB，且（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0.求證：0
思路分析：題中所給等式是b2-4ac的形式，故可構造一元二次方程。又sinA－sinB≠0，故可構造方程（sinC-sinA）x2+（sinA-sinB）x+（sinB-sinC）=0.方程各項的系數之和為0，所以1是方程的一個根。由已知b2-4ac＝0，知此方程加一個根也是1，根據韋達定理得，=1，2sincos=sincos，cos=sin≠0，
2sin=cos≤1，sin≤，0
三、構造二元一次方程
利用方程解的特點來解題。
例3.已知f（x）=asinx+bcosx，a、b為常數，又存在x1、x2，使f（x1）=f（x2）=0，且x1-x2≠kπ，k∈Z，求證：對一切實數x，f（x）恒等于0.
思路分析：由題設可得asinx1+bcosx1=0asinx2+bcosx2=0，視a、b為未知數，則構造出一個二元一次方程，再利用方程組特點去證之.由消元法得sinx1cosx2-sinx2cosx1=sin（x1-x2）≠0，故方程組只有零解，即a=b=0，f（x）=0?sinx+0?cosx=0.所以對一切實數x，f（x）恒等于0.
四、構造直角三角形
三角函數來自三角形，回到三角形中去，利用三角形的性質來解題。
例4.設x∈［，］，求證：cscx-cotx≥-1.
思路分析：由、1聯想等腰直角三角形，不仿構造一個等腰直角三角形來研究。作RtABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點D，記∠CDB＝x，則BD＝cscx，CD＝cotx，AD＝1-cotx，利用AD＋DB≥AB＝，可得cscx-cotx≥-1，等號僅在x＝時成立.
五、構造單位圓
利用三角函數的特點，構造單位圓，用正弦線、余弦線、正切線的大小來解題。
例5.若0
思路分析：構造單位圓，借助三角函數線與三角函數式的關系，把數的比較轉化為幾何圖形面積的比較。作單位圓O，AP1=β，AP2=α，P1P2=α-β，
AT1=tanβ，AT2=tanα，SATO=tanα，SAPO=tanβ，由于S扇形OAP=α，S扇形OAP =β。S扇形OPP=（α-β），SOTT=tanα－tanβ。則SOTT>S扇形OPP，即（α-β）
六、構造長方體
利用立體幾何中長方形的基本性質來解題。
例6.若銳角α、β、γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值.
思路分析：銳角α、β、γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1形式滿足長方體的三度平方和等于對角線的平方，故可構造長方體。使三棱長分別為a、b、c，對角線為1，對角線與三條棱所成的角分別為α、β、γ，
則tanα＝，tanβ＝，tanγ＝所以tanαtanβtanγ≥＝2，故tanαtanβtanγ的最小值是2.
構造數學模型是一種比較重要、靈活的思維方式，它沒有固定的模式。在解題中要想用好它，需要有敏銳的觀察、豐富的聯想、靈活的構思、創造性的思維等能力。上述所列舉的各類思維構造，僅是就構造形式的區分，旨在方便通過揭示構造法思維方式教會學生如何去構造。
關鍵詞：直角三角形；邊角關系
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的邊角關系，在現實世界中應用非常廣泛。而銳角的三角函數在解決實際問題中有著重要的作用，如測量距離、角度、高度等問題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數值也是經常用到的，但許多學生在應用這些特殊角的三角函數值解決問題時，卻總是出現記憶不牢靠或者張冠李戴的現象，如何讓學生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數值呢？我覺得可以從以下幾個方面去加強。
一、引入圖形，讓學生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關系，因此，教學時為了便于學生理解和記憶，可以根據含這些特殊角的三角形的邊角之間的關系，畫出相應的圖形，如30度角所對的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學生自己獨立完成這幾個特殊角的三角函數值的求值過程，學生根據定義，便可得到各角的三角函數值，學生經歷了特殊角的三角函數值的求值過程，由于圖形的直觀作用，必然會產生清晰的第一印象，方便了記憶。
二、利用三角函數的增減規律進行記憶
在直角三角形中，當銳角的度數一旦確定，它對應的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當銳角的度數發生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發生變化，為了幫助學生探索并理解隨著銳角度數的增大或減小，它對應的正弦值、余弦值、正切值變化的規律，可設計有公共銳角頂點且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過圖形，學生會直觀的感受到，當銳角的度數逐漸增大，它所對的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會很自然地得出結論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數的增減性，學生記憶這幾個特殊角的三角函數值就會容易許多。
三、尋找數字規律巧妙記憶
在記憶30度、45度、60度角的三角函數值時，可引導學生通過比較，尋找數字規律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對應為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關系，及同角三角函數之間的關系，通過比較與聯系記憶。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值
策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發，將α的某一三角函數值求出，即可獲解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26
cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)
1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26
2.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數。
例1
求值：sec50°+tan10°
解析：sec50°+tan10°
=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°
=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°
=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°
=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3
總結評述：本題的解題思路是：變角切割化弦化異角為同角轉化為特殊角約去非特殊角的三角函數。
解此類問題的方法是，轉化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數。
3.給值求角
給出三角函數值求角的關鍵有二：
（1）求出要求角的某一三角函數值（通常以正弦或余弦為目標函數）。
（2）確定所求角在（已求該角的函數值）相應函數的哪一個單調區間上（注意已知條件和中間所求函數值的正負符號）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關鍵是準確判斷α+2β的范圍。
cosα=－750且α∈（0，π）
sinα=150,tanα=－17
又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34
tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα
=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)
β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)
2β∈（π,2π），tan2β=－34<0
3π2<2β<2π
α+2β∈（2π，3π）.
而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4
關鍵詞:三角函數;典型題型;解題應用
中圖分類號:G630 文獻標識碼:A 文章編號:1003-2851(2012)-08-0128-02
一、高考三角函數考點分析
近幾年高考對三角函數部分的考查主要有兩個方面:一是三角函數的變換,二是三角函數圖像和性質。考查的知識點:
1.三角函數的圖象和性質是考查的重點。2.三角函數的化簡求值是常考題型。3.考應用,建立三角模型。4.考綜合,突出三角的函數性質。
二、高考三角函數典型題型解析
1.三角函數圖像變換
圖像變換是三角函數的考察的重要內容,解決此類問題的關鍵是理解A,?棕,?漬的意義,特別是?棕的判定,以及伸縮變換對?漬的影響。
例如:將函數y=sin4x的圖象向左平移■個單位,得到y=sin(4x+φ)的圖象,則φ等于( )
A、-■ B、-■ C、■ D、■
考點:函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換
分析:利用函數圖象的平移,求出函數的解析式,與已知解析式比較,即可得到φ的值.
解答:解:函數y=sin4x的圖象向左平移■個單位,得到y=sin4(?仔+■)的圖象,就是y=sin(4x+φ)的圖象,故選C
2.常見的幾種三角函數求值題型。
(1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型
基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必須注意字母a的符號對最值的影響。
例:求函數y=asinx+b(a≤0)的最大值。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,從而函數 y=asinx+b(a≤0)的最大值為-a+b。
(2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型
基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化歸為閉區間上的二次函數的最值問題。
例:求函數y=sin2x+2cosx-3的值域。
分析:此類題目可以轉化為型y=cos2x+cosx+c的三角函數的最值問題。
解:由于y=sin2x+2cosx-3
=1-cos2x+2cosx-3
=-cos2x+2cosx-2,
令t=cosx t≤1則原式轉化為:y=-t2+2t-2 t≤1
對上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1
從而當t=-1時,ymin=-5;當時t=1時,ymax=-1。
所求函數的值域為[-5,-1]。
(3)y=■(或y=■)型
基本思路:可化歸為sin(x+?漬)=g(y)去處理;或用萬能公式換元后利用判別式法去處理,特別a=c時,還可以利用數形結合法去處理。
例:求y=■的值域。
分析:此題我們采用化歸為sin(x+?漬)=g(y)去處理。
解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,
■sin(x+?漬)=-2-3y,
sin(x+?漬)=-■
又由于csin(x+?漬)=■≤1
解得:y∈[■,■]。
(4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函數最值問題
基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■將sinxcosx轉化為t的關系式,從而化歸為二次函數的最值問題。
例:求函數y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
分析:由于上式展開后為:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好為上述形式的三角函數的最值問題。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。
解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展開得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,
設t=sinx+cosx,t≤■,則sinxcosx=■,
此時:y=■+t+■=■(t+1)2
y∈[0,■]。
(5)含參數型的三角函數的最值問題
基本思路:需要對參數進行討論。
例:求函數yasinx+b的最大值。
分析:由于a的符號不確定,所以要對參數a的符號加以討論。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,
當a≥0時,函數y=asinx+b(a≤0)的最大值為a+b;
當a
3.三角函數的單調性綜合運用
三角函數是中學數學的七類基本初等函數之一,具有比較完備的函數性質,又因系統的三角公式及其變換,使三角函數問題豐富多彩、層次分明、變化多端,常與函數、三角、數列、解析幾何等結合考查。
例:已知函數f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值;
命題意圖:本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數等知識,還考查計算變形能力,綜合運用知識的能力。
知識依托:熟知三角函數公式以及三角函數的性質、反函數等知識。
技巧與方法:等價轉化,逆向思維。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)
f(x)的最小正周期T=π
方法歸納:
本難點所涉及的問題及解決的方法主要有:
1.考查三角函數的圖象和性質的基礎題目,此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用。
2.三角函數與其他知識相結合的綜合題目,此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力。在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點,并可以逐漸加強。
3.三角函數與實際問題的綜合應用
此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數學建模能力,要注意數形結合思想在解題中的應用。
(2)當2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)時,f(x)取得最小值-2.
三、高考中三角函數的解題應用
高考試題中的三角函數題注重三角知識的基礎性,突出三角函數的圖象、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質。
(一)知識整合
1.熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個公式的意義,應用特點,常規使用方法等。2.熟練掌握正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的性質,并能用它研究復合函數的性質。
(二)方法技巧
1.三角函數恒等變形的基本策略
(1)常值代換.(2)項的分拆與角的配湊。(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。
2.證明三角等式的思路和方法
(1)思路:利用三角公式進行化名,化角,改變運算結構,使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數的單調性,利用正、余弦函數的有界性,利用單位圓三角函數線及判別法等。
1、初三上冊（9年級上冊）,介紹銳角三角函數,以及簡單的計算。
2、然后是高中，高一下冊（10年級下冊）,介紹任意角三角函數,并提供大量三角函數公式和正余弦定理，高三時總復習自然會復習到,但高三的課本上沒有三角函數。
3、三角函數是基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。
（來源：文章屋網 ）
關鍵詞：三角函數最值 配方轉化 有界性轉化 單調性轉化
三角函數這一章節，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現，難度不大.
下面介紹幾種常見的三角函數最值的求解策略.
1.配方轉化
經轉化，最后化歸為二次函數的三角函數最值問題，稱為二次函數型.閉區間上的二次函數一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數型三角最值得主要依據.對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數最值問題，常常利用配方轉化策略來解決.
二次函數的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內，且二次項系數a>0，其圖象開口向上，結合二次函數的圖象可知當t=-1，ymin=-6；當t=1，ymax=4.
感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數準確變形為sinx或cosx的二次函數的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數，如本題中二次項系數是-2，對應二次函數開口向下，配方過程中要先提出負號；其三要把握三角函數sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數對稱軸與換元后變量的范圍的關系.值得注意的是，當變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.
2.有界性轉化
三角函數尤其正弦、余弦是一種有界函數，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數能夠通過三角恒等變換，結合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函數的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數最值問題常用的策略之一.
感悟：求解這類問題的關鍵是先將所給的三角函數化為一個角的三角函數問題，然后利用三角函數的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個角的三角函數關系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數的有界性，能使問題的求解直接明了！
