時間：2022-03-18 12:41:15
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形內角和教學設計，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
（一）教學內容的地位
本節課是在研究了三角形的有關概念和學生在對“三角形的內角和等于1800”有感性認識的基礎上，對該定理進行推理論證。它是進一步研究三角形及其它圖形的重要基礎，此外，在它的證明中引入了輔助線，而輔助線又是解決幾何問題的一種重要工具，因此本節是本章的一個重點。
（二）教學重點、難點：
三角形內角和等于180度，是三角形的一條重要性質，有著廣泛的應用。雖然學生在小學已經知道這一結論，但沒有從理論的角度進行推理論證，因此三角形內角和等于180度的證明及應用是本節課的重點。
另外，由于學生還沒有正式學習幾何證明，而三角形內角和等于180度的證明難度又較大，因此證明三角形內角和等于180度也是本節課的難點。
突破難點的關鍵：讓學生通過動手實踐獲得感性認識，將實物圖形抽象轉化為幾何圖形得出所需輔助線。
二.教學目標
基于以上分析和數學課程標準的要求，我制定了本節課的教學目標，下面我從以下三個方面進行說明。
（一）知識與技能目標：
會用平行線的性質與平角的定義證明三角形的內角和等于1800，并初步學會利用輔助線解決問題，體會轉化思想在解決問題中的應用。
（二）過程與方法目標：
經歷拼圖試驗、合作交流、推理論證的過程，發展學生的合情推理能力和邏輯思維能力。
（三）情感、態度價值觀目標：
通過操作、交流、探究、表述、推理等活動培養學生的合作精神，體會數學知識內在的聯系與嚴謹性，鼓勵學生大膽質疑，敢于提出不同見解，培養學生良好的學習習慣。
三、學情分析
七年級學生的特點是模仿力強，喜歡動手，思維活躍，但思維往往依賴于直觀具體的形象，而學生在小學已通過量、拼、折等實驗的方法得出了用三角形內角和等于180度這一結論，只是沒有從理論的角度去研究它，學生通過前面的學習已經具備了簡單說理的能力，同時已學習了平行線的性質和判定及平角的定義，這就為學生自主探究，動手實驗，討論交流，嘗試說理做好了準備。
四、教學方法與學法指導：
根據新課程標準的要求，學習活動應體現學生身心發展特點，應有利于引導學生主動探索和發現，因此，我采用了動手操作―觀察實驗―猜想論證的探究式教學方法，整個探究學習的過程充滿了師生之間，生生之間的交流和互動，體現了教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體。我將教給學生通過動手實驗、觀察思考、抽象概括從而獲得知識的學習方法，培養他們利用舊知識獲取新知識的能力。
五.教學評價：
1、關注學生探索結論、分析思路和方法的過程。
2、關注學生說理的能力和水平。
3、關注學生參與教學活動的程度。
六.教學活動程序：（設計為四個環節：）
1、糾錯 、鞏固
2、探索 、交流
3、應用、 提高
4、反思 、總結
一、學生糾錯，復習鞏固：
找出下面一道題目證明過程中的錯誤。
已知：如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND.
求證：MG∥NH
證明：AB∥CD
∠1=∠2
MG∥NH
提問：這個證明過程中存在哪些問題？
在糾錯中，引導學生回憶證明的一般步驟是什么.
【設計意圖】：通過對命題證明過程的糾錯，起到復習鞏固知識的作用，明晰了證明命題的一般步驟及注意點；又調動了學生的積極性，激發他們的興趣。
二、探索交流：
問題1：我們已經知道了“三角形的內角和等于180°”這個結論，如何證明這個命題呢？
一般步驟是什么？
【設計意圖】：文字命題的證明是初中幾何教學中的難點，通過問題1可使學生進一步掌握證明的一般步驟。
引導學生根據題意畫出圖形，寫出已知、求證。
問題2、小學里我們已經通過“測量法”“剪紙法”等實驗的方法，得到了“三角形的內角和等于180°”這個結論.通過前面的學習，我們知道實驗得到的結論并不一定正確，必須進行數學證明，那么如何證明呢？
這就是我們本節課要研究的主要問題，由此導入新課。
【設計意圖】：通過 問題2及追問導入本節課研究的課題，學生進一步明確了證明的必要性，滲透了研究幾何圖形的一般套路（觀察―猜想―驗證），幫助學生積累研究問題的基本經驗。
1、演示：用課件演示“剪紙法”把三角形的三個角拼在一起形成平角的過程。
提問：同學們能否從剛才的演示的過程中受到啟發，用所學的數學知識證明“三角形的內角和等于180°”這個結論。請同學們先獨立思考，再各小組交流討論，看哪個組想的方法多。
2、學生小組交流，教師巡視指導。
【設計意圖】：通過直觀演示，給學生以直觀體驗，能夠激起學生的求知熱情，開闊學生的思維，激發學生的聯想，促進學生主動思維。同時以小組合作交流的方式，通過生生互動，激發學生的探究欲望。由于方法較多，故學生討論中又可以互相借鑒，極大地開闊了學生的視野。
3、小組匯報，教師板演，進一步規范證明的格式。在學生回答過程中，教師適時追問：你解決問題時作輔助線的目的是什么？你是怎么想的？
4、提問：這些方法是把三個角聚在了三角形的哪個位置？還可聚在哪個位置呢？如何證明請同學們課后繼續研討。
【設計意圖】：通過追問，充分展示學生的思維過程。促進學生理解輔助線的作用，對證明方法做到“知其然更知其所以然”。正因為學生的激情被點燃，所以學生的思維不斷閃光，因此會出現很多證明方法，“一題多解”得到了深化。
5、教師總結：（1）、通過證明，我們知道“三角形的內角和等于180°”是一個真命題，所以我們把這個真命題稱為三角形內角和定理。
（2）、通過上面的研究發現，可以把三角形的三個角湊在三角形的邊上、三角形的內部或三角形的外部，從而形成平角，來證明內角和定理；也可把三角形湊成一組平行線的同旁內角，形成互補關系。在這期間我們用到了一個非常重要的“工具”――輔助線。那么輔助線是怎么畫的、它有什么作用呢？（1）輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.（輔助線通常畫成虛線）（2）它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現出來，起到牽線搭橋的作用.（3）添加輔助線，可構造新圖形，形成新關系，找到聯系已知與未知的橋梁，把問題轉化，但輔助線的添法沒有一定的規律，要根據需要而定，平時做題時要注意總結.
【設計意圖】：通過教師總結，進一步讓學生體會到：不同的添輔助線方法，實質是相同的――就是把一個我們不會解的新問題轉化為我們會解的問題，于潛移默化中培養了學生的轉化思想
6、小試身手：
（1）、如圖，在ABC中，∠ACD是它的一個外角，請你完成下面的表格。
∠A=35°∠B=40°∠ACD= °∠A+∠B=75°∠ACD= °∠A+∠B= °∠ACD=131°∠A=37°∠B= °∠ACD=125°
（2）、你有什么發現？三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和【設計意圖】：通過以上練習，對三角形內角和定理及時鞏固，同時通過表格的填寫讓學生一目了然地發現三角形的外角與它不相鄰的兩個內角之間的數量關系，為證明該定理作鋪墊。還滲透了從“特殊”到“一般”的歸納思想。起到了承上啟下的作用。
7、問題1：你會證明這個結論嗎？（先請學生板演，再讓學生評點。）
【設計意圖】：通過學生板演，及時反饋，可充分暴露學生證明過程中存在的問題，及時糾正，通過學生點評，讓學生當“小老師”，培養學生的語言表達能力，提高了學生課堂參與的主動性和積極性，活躍了課堂氣氛。進一步規范證明的步驟和格式。
問題2：你還有其他證明方法嗎？（教師出示圖形，學生課后完成證明過程。）
【設計意圖】：使學生了解到解決問題時可以從不同的角度思考，有不同的證明方法，通過問題的解決進一步滲透了轉化的數學思想。
8、總結：像這樣，由一個定理直接推出的正確結論，叫做這個定理的推論。它和定理一樣，可以作為進一步證明的依據。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和就叫做三角形內角和定理的推論。
三角形內角和定理的幾何表述：
ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
三角形內角和定理推論的幾何表述：
∠ACD是ABC的一個外角，∠ACD= ∠A+∠B
【設計意圖】：通過教師總結，使學生了解定理和推論之間的邏輯關系。對定理運用時的符號語言進行規范。同時將“圖形”進行適當變化，在圖形的變化中促使學生認識定理的本質。
三：應用、提高
9、剛才，我們一起研究了三角形的內角和定理及推論的證明，發現了很多的證明方法，并且在相互學習、互相合作中加深了理解，得到了提升，那么三角形內角和定理及推論在解決數學問題時有哪些應用呢？
例、已知：如圖，AC、BD相交于點O
求證：∠A+∠B=∠C+∠D
①、 請同學獨立思考、分析。
②、 追問：你是怎樣想到這種方法的？
③、 （小結：這是三角形內角和定理的簡單應用，同時這也是一個基本圖形：當兩個三角形的一組角互為對頂角時，剩余的兩個角的和相等。）
【設計意圖】：通過學生獨立思考、分析、解答，培養學生獨立結題的能力，同時教師通過追問。促使學生的思維進一步深化。
練一練：
1、搶答：（1）、三角形的一個內角一定小于180°嗎？一定小于90°嗎？
（2）、一個三角形中最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？最多有幾個銳角？
（3）、一個三角形中最大角不會小于60°嗎？最小角不會大于多少度？
（4）、直角三角形兩銳角之和是多少度？
（5）、一個三角形不在同一個頂點的三個外角中，最多有幾個鈍角？至少有幾個鈍角？
【設計意圖】：通過搶答這種形式，能充分調動學生的積極性。同時教師在學生搶答的過程中適時追問、總結，如問題（3）你是怎么想到的？滲透說明一個命題是假命題的方法（舉反例），為下節課作鋪墊。如通過問題（5），引導學生總結出化歸思想，即將外角的問題轉化為內角的問題來解決。
2、已知：如圖，AD是ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC=∠B.
求證：∠ADE=∠DAE
（1） 讓學生獨立思考。
（2）教師引導，出示問題：你會將要證的相等的兩個角
與已知條件中相等的角聯系起來嗎？
（3）學生板演。
（4）追問：比較這道題目的解題思路與例題的解題思路有什么異同點。
【設計意圖】：為體現學生的主體地位，先讓學生獨立思考。如果學生能夠獨立解決，教師追問：你是怎么想到的？通過追問幫助學生總結幾何證明的一般策略：將未知與已知聯系起來思考，積累解題經驗；若學生感到困難，教師通過問題：“你會將要證的相等的兩個角
與已知條件中相等的角聯系起來嗎？”啟發學生思考。通過將該題的解題思路與例題相比較，進一步優化學生的思維。使學生學會“同中求異，異中求同”的比較策略。
3、延伸與拓展：
求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和
你能想到幾種方法？
【設計意圖】：通過拓展題，體現分層，讓學有余力的學生進行更深入的學習，尊重學生的個性化發展。同時通過一題多解，培養學生思維的靈活性。
四、總結收獲 暢談體會
反思小結：
通過本節課的學習，你取得了哪些成果，說出來與大家分享。
本節課我們學習了三角形內角和定理及推論的證明和應用，并且在研究證明的過程中掌握了很多的數學思想、方法。而且還提高了一題多解的能力。
與此相呼應，在“課程設計思路”“課程目標”等都明確提出了“體驗”、“實踐”、“探究”等行為動詞界定的過程性目標，因此關注學生活動性學習的教學研究也備受重視。
一、對數學活動性學習的認識
數學的活動性教學，就是讓學生身歷其境，直接參與、思考、再發現和再創造的學習過程。學生是過程中的主體，是實踐者、研究者、探索者，而教師著重于在實踐活動的基礎上引導學生思考、討論和尋找數學規律及思想，從而達到學生對數學知識的自主學習。
可以看出，數學活動性學習包括如下方面：經驗的獲得；概念和規律的來龍去脈；隱含在數學知識形成過程中的思想方法。
二、基于數學活動性學習的教學設計課例
數學活動性學習是指學生建立在實踐活動基礎上的學習?；顒有詫W習不僅有助于完善學生已有的知識結構網絡，更利于新知識在已有知識結構上的同化。實踐活動不僅讓新舊知識聯系在一起，而且創建了一個更為豐富的、整合的知識結構。重要的是數學知識只有經過實踐活動，才真正具有遷移與應用的活性，這對學生未來的發展是十分重要的。
下面我以初中“多邊形內角和”（第二課時）的教學為例，通過教學過程簡介及設計說明來談談自己在教學設計和實踐中對以數學活動性學習的方式發展學生自主學習的探索與體會。
1.數學活動性學習的教學設計圖
2.教學過程簡介和設計意圖
（1）學生活動，感知數學
活動情境：讓學生用準備好的三角形紙片折疊產生出四邊形，問四邊形的內角和多少度？（提示：可先考慮特殊的四邊形：矩形、正方形）
學生：矩形、正方形每個角都是90°，內角和為360°。
學生：猜想任意四邊形的內角和可能也是360°。
教師：如何說明你的猜想是正確的呢？請每個人動手試試。
動手活動：
活動1：度量。用量角器量下列各多邊形的內角和。
活動2：拼圖。將《實驗手冊》（七年級下冊）附錄6中標有①②③④號碼的四個三角形揭下，拼圖
1）將標為①號、②號的三角形拼成四邊形，如圖1；
2）將③號三角形與圖1拼成五變形，如圖2；
3）將④號三角形與圖2拼成六邊形，如圖3。
通過拼圖，同學們能得到四邊形、五邊形、六邊形內角和嗎？
設計意圖：通過測量活動，學生直觀得到四邊形、五邊形、六邊形的內角和，認識到多邊形內角和變化的規律是邊數每增加1，內角和就增加180°。拼圖活動既驗證了測量的正確，又讓學生經歷了從特殊到一般的研究過程，使學生在已有的認知結構（三角形內角和）上發展同化了新知識（多邊形內角和）。這是個理解、轉換、提煉的過程。
（2）自主探究，構建數學
活動情境：拼圖活動中拼成的圖1可以看作把四邊形分割為①、②嗎？
學生：可以。教師：怎么分割？學生：容易，連一條對角線即可。
由學生敘述，教師板書，附圖
∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+（∠ABD+∠DBC）+∠C+（∠ADC+∠BDC）=（∠A+∠ABD+∠ADC）+（∠C+∠DBC+∠BDC）=180°+180°
∠B分割成∠ABD與∠DBC
∠D分割成∠ADC與∠BDC
設計意圖：以三角形內角和作為學生新認知的生長點，構建了學生對多邊形內角和的主動探究過程。發展了學生的數學化歸思維，體現出數學活動的探究因素。
活動情境：同學們記得三角形內角和是怎么集中起來化為平角的嗎？四邊形的四個內角如果集中起來會是什么角呢？（學生答：周角）你們有辦法也把四邊形的四個角集中起來拼成周角嗎？
教師：先請大家畫圖來回憶三角形內角和是怎么拼成平角的？
學生畫圖：圖1 圖2
教師：大家能否用圖1、圖2類比來探索四邊形內角和360°呢？
通過生生討論、師生交流，圖3、4就動態生成了。
設計意圖：讓學生進一步體會圖形的分割、轉移、合并思想。從圖1圖2到圖3圖4（DE∥AB，DF∥BC）學生又會產生類比聯想。要留給學生充足的思考時間，讓學生大膽發表見解，錯是可以的，可以不斷糾正和完善嘛，活動過程體現出了釋放性因素。
（3）深化理解，應用數學
活動1：（多媒體展示）測一側誰的推理能力強，小麗采用補圖形的辦法，設計了下列表格，填表：
活動2：（多媒體展示）小麗采用補圖形的辦法，計了如下的表格填表：
設計意圖：將“多邊形內角和”化歸為“三角形內角和”是本節內容重要的思想方法，通過填表活動，進一步鞏固了該思想，并拓展了數形結合思維，體現數學活動的應用與拓展因素。
活動情境：拿出我們用三角形紙片折疊出四邊形紙片，折疊活動告訴我們大三角形（EAB）中截去一個小三角形（ECD）會產生四邊形。那反過來如何把四邊形拓展成三角形呢？
學生：可延長AD、BC交于點E，得兩三角形。
教師：如何說明∠A+∠B+∠BCD+∠CDA=360°呢？（分小組討論）
板演：∠A+∠B+∠3+∠4=∠A+∠B+（∠2+∠E）（∠1+∠E）=（∠A+∠B+∠E）+（∠1+∠2+∠E）=180°+180°=360°
設計意圖：通過角的分割、轉移與合并，產生求和式的拆項、交換、合并，凸顯出學生探索、歸納、演繹的活動能力的提高，發散了學生思維，再次體現了數學活動的拓展因素。
三、對數學活動性學習教學設計的幾點體會
1.“活動情境”是數學活動性學習的前提
課堂是師生學習活動的生態環境，創設應情應景的課堂活動情境，能讓學生經歷新知識發生發展的過程，會使學習過程真正成為學生在教師引導下的再發現再創造過程?？梢哉f教師創設了符合“國情”的數學活動情境會讓學生迅速適應知識的萌發和應用。
2.“活動體驗”是數學活動性學習的過程
課堂教學設計應該以把握教材為前提。把握教材主要是把握教材內容、編者意圖，把握知識生長點和教學重點。在此基礎上，教學設計時教師應著重關注以下兩點。
1.明確教學目標
教學目標是教學設計的依據。把握了教材內容、編者意圖、知識生長點和教學的重點后，教師應據此確定教學目標。確定教學目標時，教師應特別注意具體、全面。具體，就是教師在確定教學目標時，要從數學基礎知識、基本技能和數學思維等方面考慮，提出層次清晰、易于把握、可操作性強的目標要求。有的學校要求教師根據“雙基”和數學思維，從記憶、理解、探索和發展層面制定具體的目標要求，收效甚好。
2.抓準教學重點
課堂教學設計抓準教學重點是關鍵之一。教學設計時，教師要防止只關注課堂形式的熱熱鬧鬧和課件畫面的漂漂亮亮；要通過鉆研教材，抓準教學的重點，并且在設計中突出重點。教師應注意一堂課的知識點可能有幾個，但教學重點一般只有一個。重點應根據教學內容和目標確定；重點應通過時間安排、過程設計來突出。
事實上，除了在教學例題（新授課）中可以看出是否抓準了重點，突出了重點，在練習課中也能看出。例如，四年級（下冊）“三角形的內角和”的想想做做第2題：一塊三角尺的內角和是180°。用兩塊完全一樣的三角尺拼成一個三角形，這個三角形的內角和是多少度？（圖略）第3題：用一張正方形紙折一折（斜對折，再對折），填一填內角和的度數。（圖略）一般教師組織學生練習這兩題時，只要求學生說出內角和是180°就可以了，而有的教師卻在得出內角和是180°的基礎上，由第2題引導學生發現：拼成的三角形，不管是鈍角三角形、銳角三角形，還是直角三角形，內角和都是180°；由第3題引導學生發現：不管三角形是大還是小，內角和都是180°。顯然，這樣做，不是為解題而解題，而是在練習中也突出了全課的教學重點，發展了學生的數學思維。
二、課堂教學設計與熟悉學生
1.注重學習策略
教師要注重怎樣教，也要注重學生怎樣學。根據學生已有的知識經驗、年齡特征和學習方法來設計教學過程，能大大提高課堂教學效率。例如，一年級（下冊）教學求兩數相差多少的實際問題，教學的重點是讓學生理解并學會求兩數相差多少的實際問題的算理和算法。要讓一年級學生理解算理、學會算法，符合他們學習策略的教學設計應該注意的要點是：通過直觀操作明示數量關系，緊扣減法含義理解算理、學會算法。
2.注重突破難點
課堂教學的重點一般根據教學內容和教學目標確定。而教學難點既要根據教學內容、目標確定，又要根據學生的具體情況確定。許多時候，重點即難點，但也有重點非難點，難點非重點的情況。把握教學難點可以靠鉆研教材，靠教學經驗的積累。例如，五年級（上冊）教學“小數的性質”，教材呈現了情境圖“學生甲：我買1枝鉛筆用了0.3元。學生乙：我買1塊橡皮用了0.30元。橡皮和鉛筆的單價相等嗎？為什么？”顯然，這節課的難點是探索、理解并歸納出小數的性質。怎樣來突破這個難點呢？有的教師根據教材編排采用創設情境、引導觀察、直觀理解的方法來突破難點，收到了較好的效果。
（1）創設情境。呈現學生購物情境，讓學生根據自己的知
識經驗、認知策略說明橡皮和鉛筆的單價相等，0.3元和0.30元都是3角。
（2）引導觀察。引導學生觀察0.3和0.30這兩個小數有什么不同，從左往右看，小數的末尾有什么變化，小數的大小有什么變化，讓學生初步感知小數末尾添0，小數的大小不變。
（3）直觀理解。借助直觀圖（略），啟發學生從每個小數所包含的計數單位的個數中理解0.3是3個0.1，0.30是30個0.01，也可看作3個0.1，3個0.1與30個0.01相等。
（4）再次觀察。結合直觀圖，通過比較0.100米、0.10米和0.1米的實際長短（結合計量單位的改寫），說明這三個小數的大小相等，然后引導學生觀察這三個小數，讓學生初步感知小數末尾去掉0，小數的大小也不變。
（5）引導歸納。引導學生歸納剛才兩方面的觀察和發現，總結出小數的性質，也可引導學生從右往左看剛才的兩組等式，進一步領悟小數的性質。
（6）練習深化。為了使學生真正理解小數的性質，除了教材上的練習題外，教師還可以設計一些練習題。
三、課堂教學設計與教學生成
1.調節課堂氣氛
有效的課堂教學必須有良好的課堂教學氣氛。教師要善于營造師生互動、活潑和諧的課堂氛圍，組織有效的學習活動，以促進教學設計高質量地生成。教師在課堂教學中一般會遇到兩種情況：一是學生緊張，太拘謹；二是學生注意力分散、不集中。遇到學生緊張、太拘謹時，教師可選擇適當的方式，如生動的語言、精彩的游戲、真誠的鼓勵、熱情的啟發，發揚教學民主，調節學習氣氛。一些名師在上課前精心設計的師生交流，都能收到創設良好學習氛圍的目的，他們的做法給我們以多方面的啟示。
一、目標確定：忌泛化，倡明確
〔描述〕某教師將“探索三角形內角和等于多少度”片段教學目標擬定為：認知目標――引導學生經歷探索和發現三角形內角和等于180°的過程；能力目標――發展動手操作、觀察比較、抽象概括的能力和初步的空間想象力；情感目標――在實踐活動中體驗探索的樂趣，體驗轉化遷移的思想方法。該教師就上述片段教學目標的擬定背景作了闡述：“數學課程標準強調，數學教學要重視三維目標的統一，片段教學作為常態課堂教學的縮影，同樣也要注意教學目標的多元化……”
〔分析〕片段教學受特定教學內容、教學時間的制約，其目標應比課時目標更加精簡、具體。然而上述片段教學目標看似全面，但指向不明。究其原因，是教師在常態教學中受“數學教學應倡導知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等三維目標統一”的禁錮，習慣教學目標面面俱到，導致教學目標形式化，缺乏可操作性、可檢測性。事實上，教學目標是教學活動的指南，不必面面俱到。教學目標只有具體、鮮明、精練、可及，才能成為教學活動的引路標。就上述片段教學而言，針對特定的片段教學內容，可將教學目標擬定為：“通過測量、剪拼、折疊等方法，引導學生經歷探索和發現三角形內角和等于180°的過程，培養學生的探究意識?！边@樣，教學目標變得簡約、具體、明確，教學活動才具有方向性、針對性。
二、內容選擇：忌臃腫，倡精練
〔描述〕某教師就上述片段教學設計了以下四個活動：1?郾讓學生猜一猜三角形的內角和是多少度，引出課題。2?郾讓學生畫出幾個三角形，量一量、算一算這些三角形的內角度數和，得出“大小、形狀不同的三角形的內角和為180°”的猜想。3?郾讓學生將三角形三個內角剪下來，拼成一個平角，得到三角形內角和是180°。4?郾讓學生把同一個三角形的三個內角折疊在一起，組成一個平角，得到三角形的內角和是180°。受到片段教學時間15分鐘的限制，教師“教色”匆匆，雖然教得飛快，但最終還是沒有完成預設內容，使本片段教學因殘缺而遺憾。
〔分析〕該教師的片段教學之所以“上不完”，從表面上看，是時間太短，但其深層次的原因是，教師在常態教學中習慣了追求教學資源“多”、“全”、“新”，而不是追求資源內容精當和綜合運用。數學教學講究時效性，教學內容不在多，而在于精，尤其注重教學內容能否引發學生對數學本質的積極思考。上述教學，前兩個活動可以整合，后兩個活動有重復之嫌。據此，教師可對教學內容進行優化，使教學活動變得精練：1?郾組織學生通過測量、計算三角形的內角和引發猜想。2?郾啟發學生不用量，自己探究用剪或折的方法驗證猜想。這樣精選教學內容，就能讓學生的探究活動充分而深刻，讓數學課堂更富有實效。
三、教學調控：忌盲從，倡預設
〔描述〕學生動手測量、計算三角形的內角和，答案各不相同：有的說179°，有的說180°，還有的說181°……大家爭相辯解，相持不下。教師見狀，忙加引導：“認為內角和是179°的同學是怎樣量的？”教師讓測量結果不是180°的學生一一上臺在實物投影儀上展示測量過程，再由其他學生評價、糾正。結果在測量計算這一環節花了近10分鐘，而動手拼角、折角等活動只能蜻蜓點水，匆匆而過。教學活動“頭重腳輕”，重心失衡。
〔分析〕三角形的內角和為180°這一結論并非完全靠測量、計算得出，因為受測量工具、測量方法的制約，學生動手測量不一定能得到一個精確的結果，只要獲得一定的體驗、知道三個內角之和接近或等于180°就行了。從這個意義上說，教師盲目隨著學生的思路對三角形內角和的“近似值”進行細致測量計算是沒有意義的。上述片段教學中教師被學生的思路引著走，折射出教師沒有對教材進行深入研究，對學生學習活動中可能出現的動態生成缺少精心預設。數學教學要重視課堂現場生成，更要強調課前精心預設，從教學目標達成的高度對課堂生成信息提出取或舍的對策；既要尊重學生解決問題的思路，給他們個性化的思考提供空間，也要正確引導他們將精力和思維集中在學習的核心處、知識的本質處。當學生測量、計算出三角形內角和大約為180°后，教師不必糾纏于此，而應通過“剛才大家通過測量、計算，猜測出三角形的內角和在180°左右，到底是多少呢？接下來我們動手驗證”的過渡語，引導學生轉入剪、拼、折等驗證環節，直指教學目標，確保教學任務的完成。
四、方法選擇：忌花哨，倡實在
〔描述〕在讓學生動手折、剪、拼角的活動中，教師是這樣組織的：同桌兩人一組，每組發一張三角形紙片，同桌合作，將三角形的三個角組合在一起，看看它們的內角和是多少度。學生合作的效果并不盡如人意：有的組一人做，一人看；有的同桌兩人重復操作，浪費時間；還有的為誰先誰后操作而爭論不休……課后，教師在反思中提到，這里之所以要設計同桌兩人共同操作的活動，意在體現新課改倡導的合作學習方式。
〔分析〕把一個三角形的三個角先剪下來，再拼在一起，對四年級的學生而言，沒有多大難度；將一個三角形的三個角折在一起，變成一個平角，僅憑同桌兩人合作則很難完成，需要教師點撥?？梢?，這里的合作探究沒有多少合作的必要。教師為了體現合作學習，組織同桌學生合作操作紙片，是追求時髦、故弄花哨的表面形式，簡單地把動手操作、合作學習、探究學習當成“新課堂”的展現點，而沒有從學生“學”的角度對各種學法的實效進行評估，更沒有選擇有針對性的學習活動形式。因此，教師要從提高實效出發，對各種學習方法進行比較，并作出選擇。如，通過剪、拼活動，驗證三角形的內角和這一操作活動，可讓學生獨立完成，獲取豐富而深刻的數學體驗；通過折角驗證內角和的活動，可由教師演示，學生觀察、描述操作過程，并分析結果。這樣的課堂教學盡管沒了花哨的形式，卻因能讓學生積極參與而更富有實效。
因此，我在教學中以“巧設疑問，引發思索”為主線，以“大膽猜想，積極實驗，細心觀察，樂于探索，勇于創新”為途徑，以“培養和提高學生的思維能力”為宗旨，收到了較好的效果。具體做法如下：
一、巧設疑問，引發思索
1、（1）巧鋪墊：課件展示圖①問∠A、∠B、∠C是ABC的什么元素？
∠A+∠B+∠C=_________。
在證明三角形內角和定理時曾作輔助線
（2）細猜想：上圖中新構成的∠ACD叫ABC的什么角？。
學生猜想并展示結果，教師肯定并揭示課題――三角形外角及其性質。
（3）再追問：是不是在ABC外部的角就是它的外角？（學生討論：七嘴八舌議論紛紛）
為了弄清上述問題，我們應對“外角”作進一步的研究，看它有哪些特征？
2.探究：分步閃爍圖①中∠ACD的兩邊及頂點的位置，由學生揭示三角形外角的特征（課件逐一展示）即：
三角形外角特征：
①頂點在三角形頂點上
②一邊是三角形一邊（缺一不可）
③另一邊是三角形一邊的延長線
古人云：“樂思方有思泉涌”，課例以“設疑”而引入，①讓學生既回憶舊知識，又為新知識巧作鋪墊，銜接緊密；②使學生心理產生困惑，形成認知沖突，從而撥動思維之弦；③恰當而又耐人尋味的追問，激起學生陣陣思維漣漪，學生無拘無束，暢所欲言，不僅展示了數學魅力，而且能將學生帶入深入探究的境界。
二、巧設錯例，強化新知
課件演變展示錯例，讓學生評判：如圖②―④，∠1、∠2都是ABC的外角，你認為是否正確？為什么？
通過直觀演示，使學生對外角不僅有了感性認識，更重要的是把握了外角的內涵，從而優化學生的思維品質。
三、引導探索，加強實踐。
1. 探究活動：讓學生動手畫三角形所有的外角，討論：
①一共能畫幾個？②每個頂點處有幾個，它們有何關系？③若每個頂點處只取一個，三角形共有幾個外角？
2.展示探究成果：讓學生根據自己的體驗并結合圖⑥（課件展示），探究發現――三角形外角性質：
推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。即：∠ACD=∠1+∠2――證有關角相等關系
推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。即：∠ACD>∠1（或∠ACD>∠2）――證有關角不等關系
3.引申探究――“推論2”的應用（課件展示）：
己知：如圖⑦：D是AB上一點，E是AC上一點，BE、CD交于F?！螦=620、∠ACD=350、∠ABE=200。求：（1）∠BDC的度數；（2）∠BFD的度數。
引導學生審題，在圖中標示“己知”與“未知”條件，課件閃爍聯系“己知”與“未知”的三角形，用“推論2”即可得解。
① 學生口頭完成證明過程。
② 對例題的條件、結論加以變換，課件展示如下：
己知：如圖⑧，∠ABC=660，∠ACB=540，BE.CD是ABC的高且交于F。
求∠ABE、∠ACD及∠BFC的度數。
讓學生探究并展示成果（注意滲透多種解法）
學生甲：可用三角形內角和來解，先求∠A，再求∠ABE、∠ACD，然后用減法求∠1與∠2，最后求∠BFC。
師：很好，你對三角形內角和定理及“推論1”運用自如，此解法可因你而命名為“×××解法”。
學生乙：我認為∠BFC是BFD的一個外角，用“推論2”簡單些。
師（依學生乙的意圖，課件閃爍∠BFD及∠BFC）：你能學以致用，勇于創新，就定為“解法”。
學生丙：∠BFC也是FEC的外角，用“推論2”右邊也可入手求解。
師：當然可以，――解法。
生?。骸螧FC是∠EFD的對頂角，而∠EFD=3600-900-900-∠A，從而求得∠EFD=1200 。
師：（稍遲疑，馬上豎起大姆指）：你還用上了后面將要學到的“四邊形內角和為3600”的知識，有獨特性，稱之為“解法”。
四、強化變式，勇于創新
在探究圖⑥中，∠ACD+∠EBC+∠BAF=3600（即三角形外角和為3600）。
再用課件，變換圖⑥――圖⑨――圖⑩――圖13，讓學生交流求解方法。
（1）如圖⑨中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______。
（2）如圖⑩―12中有 個三角形，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______。
（3）如圖13中，∠A=600，∠B=350，∠C=200。D是∠BAC內一點。①求∠BDC=_______；②探究∠D>∠A的方法。
案例中留這幾題的意圖是讓學生會把“外角”轉化成“內角”，滲透“轉化思想”。同時還可通過“一題多解”和“有趣味圖案”激發學生學習數學的興趣，掌握數學學習的思想和方法，強化變式，促進知識的掌握和運用，鼓勵學生主動探究的意識，培養學生勇于創新的意志。
【關鍵詞】 數學；三角形；教學設計
1 教學內容
北京師范大學出版社《義務教育課程標準實驗教科書》(數學七年級下冊)5.1.1《認識三角形》(第一課時)。
2 教學目標
知識目標：①理解三角形的定義以及三角形的頂點、邊、內角、等概念，并會用符號語言來表示；②動手操作，確認三角形中任何兩邊的和大于第三邊，角形中任何兩邊的差小于第三邊，及其在題目中的簡單應用。③能夠在具體情況中準確數出三角形個數做到“不重”和“不漏”。
能力目標：①通過觀察三角形、測量三角形的邊長等操，經過想象、推理、交流等活動，發展空間觀念，推理能力和有條理地表達能力.②結合具體生活實例，進一步認識三角形的概念，掌握三角形三條邊的關系。
情感目標：聯系生活環境、創設情景，使學生通過觀察、操作、交流和反思，獲得必需的數學知識。通過介紹三角形在繪畫中的意義，激發學生研究三角形在數學中意義的興趣。
3 教學重難點
教學重點：三角形三邊關系的探究和歸納。
教學難點：三角形三邊關系在題目中的應用。
4 教材的地位與作用
本節課是在學生初步了解過三角形，學習過兩點之間線段最短的基礎上設置的，為本章后面要講解的三角形三線，三角形全等等知識做鋪墊。
5 教學方法與教學手段
教學方法：導學生充分動手操作從實際生活中得到對一般結論的猜想，滲透數形結合的數學思想，再尋找理論依據，進而利用所得結論解決實際問題.
學法：自主、合作、探索的學習方式
教學流程：課前比興例題引入明確概念概念鞏固合作探究歸納猜想
6 教學過程
6.1 課前比興。
教學內容：①生活中的三角形。②在繪畫中三角形的應用。
學生活動：學生觀察感受。
設計意圖：通過課前比興激發學生興趣，從而更好進入學習狀態
6.2 例題引入。
教學內容：①你能從圖中找出幾個不同的三角形?②先要知道什么是三角形?
學生活動：引起對概念的思考。
設計意圖：深化概念使學生更好掌握數學語言。
6.3 明確概念。
教學內容：①三角形的定義及用符號表示。②三角形要素。
學生活動：用數學用語給三角形下一個更嚴格的定義。
設計意圖：發展學生表達能力。
6.4 概念鞏固。
教學內容：①找房梁上的三角形并用符號表示。②用符號記錄下來。③方法：分類查找。
學生活動：邊思考邊鞏固概念練習三角形的符號表示。
設計意圖。加深對三角形的認識，鞏固符號表示法。
6.5 合作探究：
(1)小組活動：利用材料袋中的教具完成表格(表格略)
學生活動：動手操作合作交流。
設計意圖：啟發學生從生活實物出發，體會三角形三邊的關系，通過合作交流針對問題引發思考。
(2)活動思考：① 為什么能擺成三角形?有什么發現?② 從能擺成三角形的一組中任選兩邊做差與第三邊比較你有什么發現?
學生活動：學生合作探究后回答，不完整處由其他同學補充，教師給予鼓勵評價。
設計意圖：形成數學活動經驗，定理得來自然而然，課堂氣氛輕松活躍。
(3)作為活動的補充，可以由學生上黑板演示拼擺過程。
學生活動：通過實踐大膽猜想。
設計意圖：有利于發展思維能力及歸納總結表達交流的能力。
7 教學反思
北師大版《5.1認識三角形》課時安排一共四課時，本教學設計是第一課時。先通過結合具體實例進一步認識三角形概念及要素等基礎知識進行鋪墊。再進行“小組活動一”：用小紙條擺三角形，感受三角形三邊的關系。通過“小組活動一”大膽猜想到結論三角形任意兩邊之和大于第三邊。啟發學生用兩點間線段最短來證實猜想。再對活動進行思考，回答“活動思考問題2”，從活動中發現三角形任意兩邊之差小于第三邊。至此學生已經掌握三角形三邊的關系。接下來的教師啟發學生回答“例1”，使學生能夠對三角形三邊關系進行簡單應用。
對教材的處理有：①教材上的引入只是在房梁上找出4個三角形，學生在小學的時候學習過三角形，單純的找三角形過于簡單。于是本設計在這里加大難度，把房梁結構改得簡單一些，要求學生找到所有三角形，體會分類思想。②認識三角形三邊關系的過程也改變了教材上彩燈長度的簡單問答，采用了小組活動，親自動手在4根不同長度的小紙條中選取3條進行拼擺。③教材中的“例1”要求學生充分討論，本設計在前面已經做了大量鋪墊，學生對三角形三邊關系有了較為深刻的認識所以此處水到渠成不需贅余。
教學過程中的活動安排有以下特點：①時間充裕，使得所有學生都有時間參與活動親自動手操作；②切入口淺，問題設置合理有效，使學生能從平淡有所發現；③兩次活動分別是發現三角形三邊關系和對該發現的應用，第二個活動是小組成員每人任意想一個數，從中任選三個數判斷能否組成三角形，這是對第一個活動的深化理解和進一步對三角形三邊關系的具體化研究。
【關鍵詞】活動經驗；數學思想；問題意識；探索規律
【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者簡介】杜建軍，江蘇省沭陽縣第二實驗小學（江蘇沭陽，223600）教科室主任，高級教師，宿遷市數學學科帶頭人，江蘇省教育科研先進個人。
“探索規律”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的基本課程內容之一。蘇教版教材從三年級起，在每一冊教材里都安排一次有明確主題和內容的探索規律專題活動，其教學目標不是指向規律本身的理解和掌握，而是注重引導學生經歷探究規律的過程，主要目的是讓學生在探索規律的過程中初步學會用數學的眼光去觀察世界，用數學的語言去解釋現象，用數學的方式思考問題，不斷積累數學學習的經驗，發展數學素養。下面，筆者以蘇教版四下《多邊形的內角和》教學為例，談談對探索規律教學的一些思考與實踐。
一、揭示課題，提出問題
出示課題：多邊形的內角和。
提問：對于多邊形及內角和，你們已經知道些什么？還想再研究些什么？
引導：你們對這些問題打算怎樣進行研究呢？
談話：這種從簡單入手、有序思考的研究策略是一種很好的學習方法。我國古代思想家老子這樣說過：“天下難事，必作于易?！彼囊馑季褪钦f，比較困難的事情，都要從簡單的事情做起。今天就讓咱們從比較簡單的圖形――四邊形開始研究。
課始的提問喚醒了學生原有的知識經驗，架起新舊知識間的橋梁，通過“你們打算怎樣進行研究”引導學生自己去尋找研究方法，初步滲透由簡單到復雜的探究策略。
二、選擇策略，研究個案
1.探究四邊形的內角和。
提問：在我們學過的圖形中，有哪些是四邊形？在這些圖形中，你能一眼看出哪個圖形的內角和呢？你是怎樣知道的？
引導：猜一猜，任意四邊形的內角和是多少度？數學學習離不開大膽的猜想，同時也得進行科學驗證。請同學們拿出課前發放的紅色四邊形圖片（圖1），想辦法求出它的內角和。
這里選擇直角梯形作為學具，其中有兩個角是直角，另兩個角分別是120°和60°，便于有些學生用測量的辦法求出其內角和。這里把直角梯形當作一般的四邊形讓學生進行度量和計算，得出360°為一般四邊形的內角和。
操作：W生用不同方法進行驗證。
匯報：請用不同方法驗證的同學到講臺前來匯報，明確測量的方法有時會產生誤差，重點引導學生理解為什么可以用分割法。
追問：像這樣將四邊形分割為兩個三角形以后，原來四邊形的四個角都“躲”到哪去了呢？
引導學生發現分割后兩個三角形的內角的總和就是原來四邊形的內角和。
談話：我們把四邊形的內角和轉化為兩個三角形的內角總和。原來，不用量也能求出四邊形的內角和。
比較：剛才我們用測量法、分割法分別求出了四邊形的內角和，現在你覺得哪種方法更為簡單呢？
追問：任意一個四邊形是否都能轉化成兩個三角形呢？
演示：利用幾何畫板課件演示四邊形的變化情況，讓學生發現任意四邊形都可以分割為兩個三角形。
小結：從特殊的四邊形――長方形、正方形的內角和引發猜想，并舉例驗證，從而得出一般的結論。由特殊到一般，是獲取結論的重要方法。
對四邊形內角和的探究是本節課探究活動的重點，讓學生在課堂上通過對不同驗證方法的比較，感受分割法的簡便，初步體會可以將四邊形轉化成兩個三角形來計算其內角和。同時讓學生通過回顧對四邊形內角和的研究，體會從特殊到一般的研究方法。
2.探究五邊形、六邊形的內角和。
提問：接下來，你想研究幾邊形的內角和？
引導：要求五邊形、六邊形的內角和，你能運用研究四邊形內角和的方法也來試一試嗎？請同學們拿出畫有五邊形和六邊形的操作紙，想一想，分一分，并算出每個圖形的內角和。
匯報：讓兩名學生到臺前匯報。
引導：我發現大多數同學都是從同一個頂點出發向其他頂點連線，這樣分割有什么好處呢？
小結：有序操作和思考也是數學學習的重要方法。
通過觀察比較，讓學生體會到從一個頂點出發，向與它不相鄰的頂點連線分割最為有序方便，引導學生學會更加合理的分割方法。
三、發現規律，建立模型
1.任意多邊形的內角和。
提問：對于其他多邊形，是否也能像剛才那樣將它們分割成一些三角形呢？
小組合作，任意畫一些多邊形，試一試。
小結：任意一個多邊形都能分割成一些三角形。
2.探索多邊形內角和的計算方法。
提問：如果要求一百邊形或邊數更多的多邊形內角和，要不要將這樣的多邊形畫出來進行研究？多邊形的內角和還有什么奧秘呢？
引導：觀察剛才的研究記錄，你有什么發現？你能通過剛才的研究找出多邊形內角和的秘密嗎？在小組里說一說。
提問：多邊形的內角和與什么有關？你能用一個式子表示多邊形的內角和嗎？
匯報得出：多邊形的內角和=（多邊形的邊數-2）×180°。
談話：同學們真了不起！人類經過多年的探究才發現的規律，我們僅在短短一節課中就發現了其中的秘密。
通過讓學生求一百邊形的內角和激發學生的探究欲望，抓住“多邊形的內角和與什么有關？”這一核心問題，引導學生發現多邊形的內角和與多邊形邊數的關系，將學生的思維引向更深處。通過談話讓學生感受數學探究的樂趣，獲得快樂的情感體驗，增強其數學學習的信心。
四、回顧反思，積累經驗
提問：回顧我們剛才探索和發現規律的過程，你有哪些收獲和體會？
總結：這節課，我們從特殊到一般，把復雜的問題轉化為簡單的問題，讓我們在今后的學習中，自覺運用這樣的思想方法，更加智慧地去學習數學，相信你一定會發現數學中更多的奧秘！
在回顧反思環節，引導學生從知識本身、探究過程中的思考方法及數學思想等三個不同層面進行反思，激發學生的學習興趣，感受運用轉化思想解決問題的價值，為學生今后的數學學習埋下數學思想的種子。
【教后反思】
《多邊形的內角和》是蘇教版四下“探究規律”專題活動內容，是在學生已經認識了三角形、平行四邊形和梯形，知道三角形的內角和是180°、平行四邊形的內角和是360°等知識的基礎上進行的教學。在教學設計的理念上，筆者力求體現以下三點：
1.關注探究過程，積累活動經驗。
本節課作為探索規律的專題內容，教學中不是直接將方法呈現給學生，而是引導學生自己找到解決問題的方法。課中讓學生通過觀察、操作、歸納、類比等一系列活動，引導學生充分經歷從特殊到一般、從簡單到復雜的探究過程，自主發現多邊形的內角和與邊數之間的關系，從而獲得計算多邊形內角和的一般方法，積累數學活動經驗。
通過活動，不僅要讓學生計算出多邊形的內角和，還要讓學生概括求多邊形內角和的計算方法，并初步用數學模型來表示。在試教的過程中筆者發現，學生雖然能計算出多邊形的內角和是多少度，但讓他們總結出求多邊形內角和的算法還具有一定困難。為了克服這一困難，我讓學生分別把四邊形、五邊形、六邊形……的“邊數”“分成三角形的個數”“內角和”等數據依次填入表中，這樣容易得出以下結論：圖形的邊數越多，分成三角形的個數就越多，內角和的度數也就越大；多邊形分成三角形的個數總是比它的邊數少2；多邊形的內角和一定是180°的倍數。這些發現都是概括多邊形內角和計算方法的感性認識，讓學生在活動的過程中，不斷積累活動經驗。
2.培養問題意識，提升思維品質。
“問題”是建構課堂的“腳手架”，決定了學生思維的方向。本節課不僅要讓學生經歷分析問題、解決問題的過程，還要鼓勵學生用心發現問題，大膽提出問題。本節課教學的生長點是“三角形的內角和”，基于學生對三角形內角和的認識，可以讓學生自主質疑，提出問題。因此，筆者在課始采取開門見山的方式，直接出示課題，讓學生說一說已經知道些什么，還想研究些什么，培養學生的問題意識。當學生得出長方形、正方形和平行四邊形等特殊的四邊形內角和是360°時，引導學生猜想并提出“其他任意四邊形的內角和也是360°嗎”“其他多邊形的內角和是多少度”等問題。通過“一百邊形的內角和是多少度”這一具有挑戰性的問題，激發學生的探究欲望，進而引導學生觀察已有數，分析存在的規律，得出任意多邊形內角和的計算方法。通過問題引領，激發學生的學習興趣，引發學生進行數學思考，提高學生的數學思維能力。
3.滲透數學思想，彰顯數學魅力。
本節課設計注重轉化、類比、歸納等思想方法的滲透。由長方形、正方形的內角和是360°入手，引導學生進行猜想，通過舉例驗證得到一般四邊形的內角和；由對四邊形內角和的探究類比到對其他多邊形內角和的探究；通過對四邊形、五邊形、六邊形等圖形內角和的探究，歸納出任意多邊形內角和的計算方法；將多邊形分割轉化為若干個三角形來計算其內角和，將新的問題轉化為學過的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題。
《三角形內角和》教材以引導學生對三角形內角和的探究為主線,精心設計了一些符合學生年齡特點,適合學生參與的數學活動,較好地落實了新課標的理念。我找來了其他版本的教材和一些教學參考資料認真研讀起來,更充分地準備了我的教學設計。隨著思考的深入,一些問題越發讓我不能自拔――通過這樣的幾個活動(準確地說教材預設了三個活動,而這樣的三個活動學生未必都能夠想到)就真能說明三角形的內角和是180度嗎?操作中出現的誤差怎么解決?學生能理解誤差嗎?能不能回避誤差,用課件演示呢?學生有尋找其他方法的基礎和可能嗎?通過一段時間的思索,我做出了下面的教學案例……
學生情況分析:
學生在學習本節教學內容之前已經有了平角的概念,知道一個平角的度數是180度,同時也會使用量角器測量一個角的大小。另外學生還知道長方形或正方形有四個直角,也就是說他們間接地知道長方形的內角和是360度,以上的知識為學生計算三角形的內角和奠定了一定的基礎。此外,我們預測學生最容易想到的探究或是證明的方法就是用量角器直接測量,然后加總求和;剪下三角形的內角把它們拼起來部分學生也可能會想到,但是用一個三角形直接折疊起來學生不太容易想到,因為就小學生而言還沒有三角形的中位線這個概念,找不到中位線就很難把三角形折疊成一個長方形,這種方法對學生是有困難的。我們還應該注意到,學生在操作的過程中,可能會主觀地將誤差忽略,造成這種現象的原因,一方面可能是學生已經被180度牢牢禁錮了自己的思想,對于細小的誤差直截了當地根本就不去管它了;另一方面,可能有學生會注意到這些方法造成了結論的不準確,但就自己的知識和經驗而言確實又沒有辦法來解釋這樣的困惑,所以也就不去管它了。但是,不論我們在教學中遇到什么樣的學生,我們可以不去分析他到底是屬于上述哪一類的情況,但我們必須要挑起這樣的認知沖突,讓學生在矛盾的沖突中認識誤差,并尋求更具科學性的方法來解決面臨的問題。
課堂教學片段:
(教師揭示課題,講解了三角形“內角”的概念之后)
師:同學們,三角形的內角和究竟是多少度呢?(教師的話音剛落,大家都異口同聲地說出是180度)
(教師只好順勢問了一句)師:你們是怎么知道的呢?
生1:我爸爸給我說過。
生2:我在一本書里看到過。
生3:我在學習這節課之前看過書了。……
師:那你們能不能用數學的方法來證明這個結論呢?想一想可以用什么辦法來解決?有辦法的同學可以把你的想法和小組里的伙伴們交流交流。
(學生們立即分小組行動起來。利用教師準備的三角形紙片和量角器、剪刀等剪的剪,拼的拼,量的量。還時時交頭接耳,忙得不亦樂乎。沒過多久教室里安靜了許多,大家好像都有自己的主意了)
師:那誰愿意代表你們小組來發表一下意見呀?
(話音剛落,一個男孩子立刻舉起了他的小手。教師請他來發言)
生:我們是用剪和拼的辦法來解決的。我們先把三角形的三個內角剪下來,然后把它們拼在一起。我們發現正好拼成了一個平角,一個平角是180度,所以三角形的內角和也是180度。(這個孩子滔滔不絕地表達著自己小組的意見,思路非常清晰)
師:那你能不能把剛才操作的過程上臺給大家演示一下。
(小男孩拿著三個剪下的三角形內角走到實物展示臺前,開始了演示的過程。不一會的工夫就把三個內角拼在了一塊,最后還專門強調了一下:“我拼成了一個平角?！?
(教師看了看他拼成的“平角”――三塊紙片零散地堆積在一起,縫隙、錯位相當明顯)
師:這就是那個平角?
生:對,就是。
(教師有意識地要征求一下大家的意見)師:大家都看見了吧,他們拼成的是一個平角嗎?
(幾乎是全體學生都異常洪亮地回答)生:是一個平角。
師:大家再好好看看,這真是一個平角嗎?大家再想一想。
(附和的人少了些,但仍有部分學生還是堅定不移地重復著剛才的回答……教室里出現了瞬間的安靜,好象有學生出現了思想斗爭。這時有一個女孩子舉起了手,好像有什么要說。老師請她來發言)
生:這個圖形好像不是平角,平角像一條直線,而這個(邊)不是一條直線。(女生的發言一結束,臺上的孩子趕緊又用小手將三塊紙片擺放了一下,可是仍然有一些缺陷)
師:大家覺得這個同學的意見如何?
(大家有一些猶豫,但還是有人說話了)生:好像是這樣的。(其他的學生也有隨聲附和的)
(教師又轉過頭去問了問站在臺上的那個男孩)師:你覺得呢?(他有些尷尬的點了點頭)
師:用這種方法的小組是不是也遇到了同樣的情況呀?可是你們就沒有看出這里面的問題。(教師笑了笑)看來這樣的方法是有一些問題的――出現了誤差,它還不能準確地表明三角形的內角和就等于180度。還有用別的方法的嗎?
生:我們是用量角器量出每個角的度數,然后加起來。
師:那你們的結果是多少?
生:是180度。
(他的話音剛落,馬上有人說)生:我們也是這樣量的,可是加起來發現內角和不是180度,但是很接近180度。
師:大家都聽到了吧,他們遇到的這種情況說明了什么呢?
生:測量角度的時候仍然會遇到誤差,測得的結果本身就不準確,加起來的和當然就會不一樣了。
師:這位同學說得非常好,測量是會產生誤差的,這是不可避免的。我們只能盡量保證這個誤差盡可能的小。這說明了我們用量、剪、拼的方法都是有局限性,是不準確的,但是這些方法也幫了我們一個大忙――至少我們知道了三角形的內角和是180度左右,對吧。
那就沒有別的辦法了嗎?……請大家想一想,我們能不能利用以前學過的某個圖形來找到新的辦法呢?哪些圖形的內角和我們是可以知道的?
生:長方形和正方形的內角和我們是可以知道的,是360度?！?/p>
(在教師的引導和學生的積極思考中,大家在一起尋找著另一種方法――計算,來解決三角形內角和的問題)(教學片段結束)
案例反思:
1.學生已經知道了怎么辦?
在開課的時候我本來想利用一個疑問句――三角形的內角和究竟是多少度――來吊一吊學生的胃口,從而讓學生充滿疑惑地開始下面的學習?？墒窃捯魟偮?學生便馬上說出了我后面要講的內容,而且是直奔要害!這樣的情況也許還有不少。我不禁問自己:“學生知道的到底是什么?究竟知道多少?”答案很快就找到了,學生知道的是這個結論,而結論產生的過程未必知道,或知之甚少,正是知其然,而不知其所以然。要獲得一個數學的結論,探究的過程是必不可少的。在過程中學生感悟到數學的思考、邏輯的美妙,體會到發現的愉悅,這是當前數學教學的核心思想。可是,學生已經有了一個現成的結論,再去探詢未必可行。為了達到“知其所以然”的目的,于是我將課堂的進程作出了改變,變探索為證明,讓學生通過自己的方法去證明這個結論,證明的方法其實也正好是探索的過程。同時,在這個階段讓學生接觸到更加理性的數學證明,本身就是數學教學應該起到的作用,這對形成學生嚴密的數學邏輯,培養學生的邏輯思考能力都是很有幫助的。
2.如果忽略了誤差就等于180度了嗎?
這節課在以前的教材中是選學的內容,在新課程標準出臺后,它已經變成了必學的內容。換言之,以前的數學教師可以想都不想或講都不講,因為是選學嘛?？墒?現在我們就得好好研究一下這節課究竟可以怎么上了。這節課我在設計的時候,無法回避地和“誤差”撞上了。誤差在測量的時候是無法避免的,這是不爭的事實。雖然在小學階段,學生學習幾何知識主要以經驗幾何、實驗幾何為主,在先前的學習中學生借助測量工具量一量,折一折、比一比等活動來探詢數學真理的情形比比皆是,但這是由學生的年齡特征來決定的。我們還經常看到,教師運用多媒體課件來證明長方形對邊相等、正方形四條邊相等等結論,這是因為其實我們都知道,僅僅憑借一些簡單的活動還不能說明那些結論。但是,隨著學生年齡的增長,數學學習經驗的不斷豐富,在高段的學習中應該出現一些變化,也就是說,我們可以根據教學的內容適當滲透一些論證幾何的思想和方法。這也正是上這節課的初衷?；氐綐祟}中涉及的話題吧。我在以前的聽課中也聽到有老師講:“為什么不是180度呢?那是因為測量的誤差造成的,如果我們忽略了這些誤差就等于180度了?！辈徊m大家說,我自己以前也是這樣講的,現在想想覺得好笑。為什么忽略了這些誤差就等于180度,而不是179度或是別的什么度數呢?其實我和學生一樣也被180度先入為主了,課堂中不論發生了什么,我們總要繞到180度上面去,甚至不惜去尋找一些牽強的理由。因為探究或證明的過程明擺著的,無論如何也得不到180度。(也許有人會說,那多媒體一演示不就解決了嗎?――別急,下面的話題我要說到)但我們還擲地有聲地把學生硬拽到180度那里去,豈不真成了笑話?？陀^地講,這些過程只能得出三角形的內角和是180度左右,在這個基礎上我們又去引導學生采取別(下轉19頁)(上接54頁)的方法,也就是計算的方法去探詢三角形的內角和,從而算出是180度。這才是一個完整而富有邏輯的數學學習過程,在過程中學生獲得的可能比我們想象的要多得多。
3.明明有誤差為什么還要讓學生親自實踐?
在上面的贅述中,我強調了一個很重要的問題,那就是誤差是不能刻意回避的。怎樣才能讓學生充分感受到誤差的存在,同時誤差又無法避免呢?這正是我在本節教學內容中安排學生動手操作的主要目的所在。數學新課程標準中明確指出要讓學生經歷動手“做數學”的全過程,只有學生親自動手實踐了,他的體驗才可能深刻,對數學問題的認識和把握才更加準確。在做的過程中,通過教師的積極引導,他們也許會發現不論怎么加都加不出180度,這并不是加的過程有問題,而是相加的數據本身就是不準確的;他們也許還會發現,不論自己怎么小心翼翼地拼,總有些縫隙是擺在那里的。這樣就不能說拼成了一個平角,還需要去尋求更好的方法。在活動中學生有了對數學本質問題的更進一步的思考。當然,這樣的活動還有一個重要的價值,那就是它至少能夠幫助我們認識到三角形的內角和是在180度左右,有了這樣的認識,它距離我們的目標不就更進一步了嗎?進而再來探求計算的辦法,這就能讓科學的探索過程更加明晰,學生會更好的受益。
關鍵詞:小學數學教學 探究式教學 蘇教版
作為教材來說它是根據學科教學的任務編排組織起來的,具有一定范圍的深度以及廣度。小學的數學教材可以說是課程目標的一種具體體現,是小學教學課程內容的一個重要的載體。
可以說,江蘇教育出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書“數學”就做了非常有益的嘗試。并且在其他地區的小學數學教材當中是并不多見的。研究蘇教版的教材對于落實數學課程的目標,以及提高解決問題的策略有著非常積極的作用。
一、探究式教學――游戲教學
作為一名一線教師來說,不僅應當去深入地鉆研教材,還應當充分的尊重教材的編寫的目的,要提高教材的利用率,并且在處理教材的時候不應當只給那些既定的內容以及結構一種按部就班的教學,應當根據實際的情況整合教學的內容,以此來凸顯出材料資源的有限性。就拿筆者在教授四年級下冊的“三角形內角和”
這一課時來說,教材當中的“想想做做”的第三題如果說能夠進行適當的開發利用,那么就必定會是一個非常難得的能夠激發學生學習欲望的好素材。所以說,筆者就將其轉化成為了一個小的課堂游戲,下文就進行簡單介紹:
1.游戲導入
首先用游戲進行導入,從而引發學生們的猜想,可以先展示出一張正方形的紙片,介紹出它的內角的含義。下面師生之間可以進行這樣的對話:(1)它的內角和是多少度?(2)如果說將這樣的一個正方形進行對折,那么對折之后圖形的內角和又是多少呢?(3)再將折出的等腰直角三角形進行對折,所得到的小三角形的內角和是多少度?(4)若再將其對折呢?(5)通過這個游戲我們能夠發現到什么?
2.進行動手驗證
老師:通過游戲我們知道了等腰直角三角形的內角和是180度,那么如果其他直角三角形的內角也是180呢?接下來就讓學生自己想方設法來進行驗證。
3.再次的驗證
老師:普通的三角形的內角是否也是180度?接下來讓學生自己通過自己的方式來進行驗證:比如讓學生用銳角三角形和鈍角三角形進行自主的實驗。
這樣一節課就是通過一個簡單的小游戲展開來的?？梢哉f這樣的一個習題能夠讓學生進行充分的開發和利用,不僅能夠激發學生的求知欲望,而且提高了解決實際問題的能力。
二、探究式教學――勇于表達自我
在蘇教版的新教材當中,很多的例題、習題選擇的素材都和學生的生活實際是非常接近的。所以,在教學的過程當中,學生更容易理解題目,所以在蘇教版教材當中,題目的價值已經遠遠地超過了解題的作用,它的更大的價值在于在學生生活當中的使用,在這樣的教材當中,不僅能夠讓學生全力地投入到真實的教學活動環境中去,而且還能夠加強實際的體驗感,使得他們能夠切身的感受到教學的奧妙與生活化。
舉例完畢之后,我們可以讓學生各抒己見,發表自己在生活當中的關于負數存在的舉例。通過這樣的探究式的情境創造能夠讓學生在實際生活當中充分了解到負數的真正內涵,從而能讓學生吸收知識更快,更充分。
三、結束語
在使用教材的過程當中,不僅應當尊重教材,還應當不僅僅局限于教材,要靈活運用,發揮出教材的作用,這樣才能夠真正的培養出我們21世紀的接班人。
參考文獻
[1]邵瑞珍.教育心理學[M].上海:上海教育出版社,1996.
[2]喻平.數學教育心理學[M].南寧:廣西教育出版社,2004.
[3]龐維國.數學學習與教學設計[M].上海:上海教育出版社,2005.
關鍵詞： 先學后教 靈動課堂 教學主體
“教師講，學生聽”是小學教學的基本模式。在課堂上，教師的教學占用大部分時間，教師的教學設計大多著眼于將問題一講到底，學生在課上只是被動接受，很少有提出問題和困惑的機會。這種傳統教學模式不僅教學質量不高，還容易挫傷學生學習的積極性和創造性。
在提倡“學生為教學主體”的時代，教師應改變自己的教學理念和教學方法，在教學過程中充分體現學生的主體地位。學生通過自學、討論等活動發現問題，讓學生帶著目標和問題參與到學習中，激發學生學習和探究的興趣，將被動學習化轉為主動學習，使課堂教學變得更有生成性?！跋葘W后教”這一課堂教學模式正是適應了這種轉變。“先學”，需要學生積極主動的學習意識和態度，學生通過自主探究、交流合作等學習方式，建構課堂教學平臺；“后教”，則需要教師轉變課堂角色，以組織者和引導者的身份參與到學生學習中，打破教師教、學生學的傳統教學模式。
一、課前“先學”，交給學生打開課堂的“鑰匙”
“先學”不僅要求學生預習教材，更重要的是引導學生對即將學習的內容進行積極主動的思考。因此課前準備一份“導學案”尤為重要。“導學案”的設計不僅讓學生獲得答案，更要引導學生自主思考、發現問題，使其成為學生進入課堂的“鑰匙”。
例如，教學四年級下冊《三角形內角和》這一課時，我設計了這樣一份“導學案”，內容如下：
1.復習反饋
（1）三角形有（ ）條邊，（ ）個角。
（2）一個三角形中最多有（ ）個直角、（ ）個鈍角。
（3）動手量一量，算一算，每塊三角尺的三個內角的度數和都是（ ）。
2.探究學習
（1）猜想：其他三角形的三個內角的度數和也都是180°嗎？
（2）準備：剪下教材第113頁的3個三角形；準備好剪刀、量角器等工具。
（3）操作驗證：
我是這樣驗證的：
我覺得還可以這樣驗證：
我的發現：
我的困惑：
學生通過自主探究發現：可以通過測量三角形每個內角的度數，然后計算驗證三角形的內角和是180°；也可以把三角形三個內角剪下來，拼成一個平角從而得到三角形三個內角的度數和是180°。學生以小組合作的形式，通過動手操作得到結果驗證了猜想，經歷了從一般到特殊的探究過程，最后匯報探究結果和發現，并提出存在的問題。學生在交流小組驗證結果時，閃現出了很多思維的火花：“我們組量出來的三個內角的度數和不到180°?！薄拔覀兘M量出來的三個內角的度數和要比180°大一些?！薄拔覀兘M是把三個內角剪下來拼成一個角，這個角的度數也超過了180°?！边@些都是孩子們的驗證結果，也是他們的困惑。學生在“導學案”中呈現的想法和困惑，我們應該及時收集和反饋信息，讓學生意識到測量數據的誤差，剪拼時操作不當都會影響最終的驗證結果。教師只有關注學生的想法和困惑，才能彰顯學生的學習主體地位。
“導學案”要把例題生活化、細化，使其引導學生發現問題，引起學生積極主動的思考，并針對問題提出自己的問題。“先學”可以是復習舊知，滲透新知；可以是搜集整理相關材料；還可以是學生自己探究遇到的困惑。讓學生通過“先學”提出質疑，形成相應的問題，并嘗試找尋解決方法，得到適合自己的策略，從而激發學生的學習愿望和探究興趣，讓孩子體會到“有價值”的數學。
二、課上“后教”，引發學生思維的碰撞
“導學案”客觀呈現了學生探究成果及存在的問題，我們應從中收集有代表性的信息，將其整合成有價值的材料，然后把這些生成性材料轉換成課堂教學過程中的互動性資源。
如三年級的一道練習題：把一根木條鋸成4段，每鋸一段用時3分鐘，多少分鐘可以鋸完這根木條？學生給出了兩種不同的答案：4×3=12（分）；（4-1）×3=9（分），我讓學生把兩種答案都寫在黑板上，并提問：“你認為哪種結果是正確的，你是怎么想的？”讓學生自己判斷，嘗試著將兩種算法進行分析，發現其中的錯誤。通過畫圖和擺小棒的方法很快就有學生發現“一根木條鋸成4段，只要鋸3次就能得到4段，因此這道題目正確答案是（4-1）×3=9（分鐘）。學生從操作過程中知道“鋸的次數等于鋸成的段數減1”。通過學生的獨立思考結合小組間交流討論，產生思維碰撞，明確正確的結果，從而加深對知識的理解。
在收集學生的“先學”資源時，我們不僅要關注學生正確的結果，而且要明晰學生不同的思維過程，更要分析學生出錯的原因。只有掌握學生真實的學習信息，才能把握好課堂教學的中心點，教學中預設的活動才能得到落實；只有明確學生的不足和所需，課堂教學才能貼近學生，教學內容才更具有針對性，學生才能更好地得到發展。
三、交流釋疑，“教學相長”
“通過自己的研究，你有哪些收獲，又有哪些困惑？”這是“導學案”的最后環節，目的是掌握學生真實的學情，調整教學預設，使其更有針對性。雖然學生的收獲、困惑可能是零碎的，但將其梳理整合起來就能成為新的課堂教學資源。
關鍵詞：探究活動;實效性;情境;課堂生成
【中國分類號】G633.6
1、探究活動是什么
美國國家科學教育標準對探究定義為：“探究是多層面的活動，包括觀察；提出問題；通過瀏覽書籍和其他信息資源發現什么是已經知道的結論，制定調查研究計劃；根據實驗證據對已有的結論作出評價；用工具收集、分析、解釋數據；提出解答，解釋和預測；以及交流結果。探究要求確定假設，進行批判的和邏輯的思考，并且考慮其他可以替代的解釋。”[1]
探究性學習（inquiry learning）是一種積極的學習過程，指的是學生在科學課中自己探索問題的學習方式。北京師范大學李亦菲博士認為，探究性學習是學生從問題或任務出發，通過形式多樣的探究活動，以獲得知識和技能、發展能力、培養情感體驗為目的的學習方式。
2、為什么要開展探究性學習
（1）弗氏的“再創造”理論
荷蘭數學教育家弗賴登塔爾強調：學習數學唯一正確的方法就是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學習的東西自己去發現或創造出來。而教師的任務是引導和幫助學生進行“再創造”工作，充分放手讓學生去自主探究。[2]
（2）新《課標》對于有效數學學習活動的指導
《全日制義務教育數學課程標準》指出“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”。在數學教學改革中引入“探究性學習”的理念是學生學習方式和教師教學方式的重大變革。它是一種積極的學習過程，學生在學科領域或現實生活的情境中，通過發現問題、調查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態度的學習方式和學習過程。[3]
3、如何加強探究活動的實效性
（1）創設合理有效的探究情境
情境創設的目的是根據學生的身心特點、認知規律，幫助他們建立一個利于學習的心理環境和認知環境。使其產生數學學習的需要，激發其學習探究的熱情，調動其參與學習的興趣。
激發探究欲望，促使學生積極主動的進行探究是教師的主要任務。教師要創設諸如生活情境、故事情境、游戲情境……把學生引入到情境中來，形成認知沖突，激起他們探求知識的欲望，主動開展探究。例如，在教學“一次函數”時，我設置了童話故事情境引入學習內容：“比如說龜兔賽跑的故事……”情境畫面的形成，不但滿足了學生參與學習的表現欲，而且鍛煉、培養了他們的語言表達能力，激發了他們參與學習的積極性。
愛因斯坦說：提出問題比解決問題更重要。教師開發一個探索問題的空間，讓學生自己通過觀察、比較、實驗、調查、研究等方法發現問題、提出問題，更能鍛煉學生各方面的能力。因此，教學起始，教師創設一個發現問題的空間，鼓勵學生大膽質疑，誘發學生感受問題、發現問題、提出問題。例如在教學“全等三角形”時，我出示了一個測量河寬的問題，引發學生認識到解決全等三角形才能求出河寬，從而激發了學生去想辦法解決問題。
（2）探索目的的有效性
學生探究活動的實效性首先取決于學生探究目標制定的有效性。這必須多從學生已有的知識基礎、生活經驗、認知規律和心理特征設計教學。找準教學起點、突出教學重點、突破教學難點、捕捉教學生長點。使教學目標切合實際。合理的探究目的可以使學生在活動中，培養能力，發展智力?？梢允箤W生各各方面能力都得到良好的發展。如果學生探究活動的目的設計的不好，會影響學生探究活動的開展。
可用課前測試的方法合理設計學生探究活動。教師可以根據前測中學生反映出來的問題，調整教學設計，使探究活動的目的更接近于學生現有的發展水平。從而找到學生知識的“最近發展區”，使探究活動的價值更趨合理，更加具有實效性。
（3）抓住課堂生成的實效性
“生成性”是新課程改革的核心理念之一。所謂“生成性”指教師在教學中不是機械的執行預設方案，而是注重學生的發展，突出學生在課堂上的能動性、創造性和差異性，尊重學生的獨立人格，在課堂特定的生態環境中，根據師生、生生互動的情況，教師因勢利導，創造性地組織適合學生參與、自主、創新的教學活動。自主探究的實效性來自探究問題的質量。問題是數學學習的核心，是學生探究的出發點。
教師應根據教材的特點、學生的實際，提出適當的探究問題。再通過觀察、操作、實驗進行科學的論證，得出正確結論。并在解決問題的過程中學會反思、調整，使解決問題策略得到提升。[4]例如進行“三角形內角和”教學時，讓學生看屏幕上的運動的三角形的形狀變化過程中，引發學生思考，讓學生猜測三角形的內角和沒有變。然后再讓學生動手測量三角形的內角和，發現三角形內角和接近180°，教師適時提出一個問題：“通過測量發現三角形內角和接近180°說明什么？”接著追問：“那現在我們能說三角形內角和是180°？有沒有更好的方法來驗證呢？”使得學生進一步想出更科學的辦法來證明三角形內角和等于180°，從而培養學生嚴謹的探究態度。
課堂生成來自兩個方面，一是課前精心的預設。問題是數學學習的心臟，有價值的問題是重要的生成資源。教師要善于根據學生的實際問題和教學內容提出具有挑戰性且有價值的問題資源，引發學生的發現探索，使生成的問題成為學生研究數學問題的重要資源。二是通過師生、生生之間思維的碰撞，產生的新的問題與思考。這種新問題、新思考與教師的課前預設不可分割。
教師要以真誠寬容地態度接納課堂生成，為課堂生成創造良好的環境氛圍。教師要尊重學生的個性、學生的經驗基礎、尊重不同學生的選擇，允許學生從自我個性多角度觀察來發現問題。教師要在短時間做出理性的判斷，發現“生成”的價值所在，機智的篩選來提高課堂的教學實效性。如何篩選生成并巧妙地利用生成，這的確對教師是個重要的挑戰?！吧少Y源”用好了，可使課堂教學妙筆生花，用的不當會畫蛇添足，影響學習效果。這種取舍與教師的專業知識、教學經驗是分不開的，只有恰當的利用課堂生成才能檢驗教師是否是一位真正的“伯樂”。
參考文獻
[1]National Research Council. (1996). The National Science Education Standards. Washington DC: National Academy Press. p.23
一、教學背景
《鑲嵌》是義務教育教材人教版七年級（下冊）第七章第四節的學習內容，這節課內容安排了一課時對正多邊形的鑲嵌實驗，要求完成對正多邊形鑲嵌條件的探索過程。
二、教學目標
1.通過學生欣賞圖片，動手拼，動腦想，相互交流，展示成果等活動，引導學生解決使用一種或兩種正多邊形鑲嵌的問題，讓學生理解正多邊形鑲嵌的原理。
2.經歷探索正多邊形鑲嵌條件的過程，進一步發展學生的推理能力、合作交流意識和一定的審美情趣，進一步體會平面圖形在現實生活中的廣泛應用。
三、教學重點及難點
正多邊形鑲嵌的條件；運用任意三角形、四邊形進行簡單的鑲嵌設計。
四、教學方法及教具、學具準備
采用動手實踐、自主探索與合作交流的方法；教具主要準備彩紙，剪刀，糨糊，各式各樣的正多邊形硬紙片若干，投影機，多媒體課件。
五、教學過程
1.創設情境
師：我們在人行道上、廣場上、學校的墻壁上或者自己家的客廳，衛生間里往往見到各式各樣的瓷磚或地磚。這些圖案是由哪些幾何圖形拼成的？（演示課件）
生：正方形，長方形，正六邊形。
生：平行四邊形，直角三角形。
師：同學們，你們知道為什么這些幾何圖形能將地面鋪得如此美觀？工人鋪地磚時，都有哪些要求呢？這就是我們在這一節課要學習的內容，下面我們共同探究學習。
2.探究活動
活動1：用一種正多邊形的鑲嵌教學設計。
師：電腦提供給學生五種正多邊形（正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形），請同學們移動和旋轉每種正多邊形拼一拼。
（同學們分組討論設計圖案，用剪子剪紙條拼一拼，每個小組完成任務之后，派小組代表到前面展示作品，師生共同點評。）
生：用正三角形、正方形、正六邊形進行鑲嵌。
師：為什么？它們有什么共同的特征？請同學們思考后，說說自己的看法。
生1：因為正三角形、正方形、正六邊形的內角分別是60°、90°、120°，所以我們可知，6個60°能拼成360°，4個90°能拼成360°，3個120°能拼成360°。
生2：都是用同一種形狀、大小全相同的正多邊形拼接，都拼得無空隙、不重疊。
生3：拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°。
師：說得非常正確。通過剛才的拼圖，同學們知道哪些正多邊形不能鋪地面？為什么？
生：正五邊形和正八邊形。用它們鋪地面時有空隙，也有重疊現象。
師：這是為什么呢？
生：因為它們的內角都不是360的約數。
師：回答得很好。
評析：由于學生的參與，他們的方案有多種。課堂上給學生展示的機會，滿足了學生表現自己的心理要求，激發了他們的學習興趣。
活動2：用兩種正多邊形的鑲嵌。
師：剛才我們研究了用一種正多邊形鋪地的情況，同學們通過操作實驗，思考和討論找到了規律。下面我們共同研究用兩種正多邊形鑲嵌的問題。（用正三角形、正方形、正六邊形等三種圖形中任意選兩種圖形進行拼接。）試一試，它們為什么可以鑲嵌？
（學生分組進行討論，拼一拼，互相交流。）
生1：用4個正三角形和1個正六邊形可以鑲嵌。因為4×60°+120°=360°。
生2：用3個正三角形和2個正方形可以鑲嵌。因為3×60°+2×90°=360°。
生3：用2個正六邊形和2個正三角形可以鑲嵌。因為2×120°+2×60°=360°。
師：回答正確。
（教師用實物投影演示學生的作品，演示教師提前做好的多媒體課件。）
評析：充分發揮每個學生的聰明才智，進行探索與創意，使不同的學生得到不同的發展，獲得成功的體驗。
活動3：利用形狀、大小相同的任意三角形或四邊形的鑲嵌。
師：我們下面研究形狀、大小相同的任意三角形或四邊形鑲嵌？動手做一做。
觀察每個拼接點處有幾個角？它們與這種圖形的幾個內角有什么關系？
生：用形狀和大小相同的三角形可以鋪地面。
生：用形狀和大小相同的四邊形可以鋪地面。
（學生在實驗臺上展示自己的作品。）
師：通過學習，我們得到密鋪的條件是什么？
生：條件是保證每個拼接點處各角之和為360°，且將相等的邊重合。
評析：培養學生合作交流的意識和動手實踐的能力。在學習嘗試密鋪的過程中，教師深入到學生中進行適當引導，發揮引導者和合作者的作用，讓學生體驗成功的喜悅。
3.小結
師：這節課你有哪些收獲？
生：這節課我知道了用正多邊形鑲嵌地面時，只有正三角形、正四方形、正六邊形三種。
生：我知道鑲嵌時，應該把相等的邊拼在一起，拼接點處應組成一個周角。
生：我知道了任意三角形和四邊形能進行鑲嵌。
師：今天我們學習了正多邊形的平面鑲嵌，在活動中發現了能夠鑲嵌的條件。
4.作業
試一試：用邊長相同的三種多邊形能否進行鑲嵌？畫出你所得到的圖案。
六、教學反思
1.給學生提供了活動空間。充分利用了學生的生活經驗，生動、直觀地開展了教學活動，激發了學生學習興趣，學生從實際生活中學到了數學知識。其中，教學活動時間不足是因為有的學生剪切紙圖案誤差太大，有的學生分工協作能力差，有的學生動手能力差。
