時(shí)間：2023-05-30 10:44:06
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889（2015）11A-0068-01
數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、系統(tǒng)性、邏輯性、復(fù)雜性等特點(diǎn)，讓很多學(xué)生學(xué)習(xí)起來都感覺很吃力。為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力，教師可以引入案例教學(xué)的策略，以案例的具體性、步驟性、思維性等特點(diǎn)，將抽象的知識(shí)、規(guī)律、方法、思想，應(yīng)用到具體的數(shù)學(xué)案例中，以此加強(qiáng)學(xué)生的理解、記憶，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和應(yīng)用。
一、引入分析案例，激發(fā)創(chuàng)新思維
分析是思維活動(dòng)的過程，也是學(xué)生之間、師生之間思維碰撞的過程。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)概念、理論、方法與規(guī)律，教師可以合理、有效地引入分析案例，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生在分析中理清思路，建構(gòu)較為完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并分析得出更為完善的知識(shí)與規(guī)律。
如在教學(xué)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《整式》時(shí)，為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生深入研究，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維與能力，筆者引入“楊輝三角”這一分析案例，鼓勵(lì)學(xué)生拓展整式的相關(guān)知識(shí)。結(jié)合“楊輝三角”這一案例，學(xué)生將楊輝三角的一部分畫出來，展開研究與分析，了解到楊輝三角第n行是（a+b）n展開式的系數(shù)，n行中的第i個(gè)數(shù)是斜行i-1中前n-1個(gè)數(shù)之和，第n行n個(gè)數(shù)之和為2n-1，還有其他很多規(guī)律，并且楊輝三角與斐波拉契數(shù)列有很緊密的關(guān)系。通過結(jié)合多媒體輔助課件，引導(dǎo)學(xué)生交流分析，探索數(shù)學(xué)的奧秘，激發(fā)其創(chuàng)新思維。
二、引入研究案例，強(qiáng)化合作交流
研究性和探索性學(xué)習(xí)方案是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較常用的兩種方式，針對(duì)某一課題或知識(shí)點(diǎn)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主研究與探索，發(fā)現(xiàn)它涉及哪些知識(shí)與方法，并查閱資料、理清思路、研究分析和總結(jié)歸納，在研究過程中，強(qiáng)化合作交流，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。研究性案例的引入，一般需要選取學(xué)生感興趣的研究性課題，與初中數(shù)學(xué)知識(shí)緊密相連，鼓勵(lì)學(xué)生研究理論知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和方法。
如在教學(xué)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《等腰三角形》相關(guān)知識(shí)以后，教師為了引導(dǎo)學(xué)生深入探究等腰三角形的應(yīng)用，了解三角形中邊與角的相關(guān)知識(shí)，引入了研究性課題“三角形中邊與角的關(guān)系”，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合等腰三角形知識(shí)，展開研究分析。學(xué)生通過查閱資料、動(dòng)手畫圖、交流合作，運(yùn)用辯證性思維方法，結(jié)合計(jì)算機(jī)軟件工具，得出三角形中大邊對(duì)大角、等邊對(duì)等角相關(guān)規(guī)律，邊與角的對(duì)等和不等關(guān)系可以互換。
三、引入探索案例，挖掘?qū)W生潛力
探索與發(fā)現(xiàn)是獲得知識(shí)、學(xué)習(xí)方法的關(guān)鍵途徑，沒有自主探索過程，學(xué)生就不可能真正地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的來源與發(fā)展，也就不可能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法，更不可能具備將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中的能力。因此，教師要引入探索案例，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)有知識(shí)與技術(shù)，進(jìn)一步探索分析，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法與思想來解決數(shù)學(xué)問題，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)奧秘。
如在教學(xué)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《多邊形及其內(nèi)角和》相關(guān)知識(shí)時(shí)，為引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)三角形與多邊形相關(guān)知識(shí)，教師以“多變形內(nèi)角和探究”為主題，展開問題探索過程。師問：結(jié)合面積計(jì)算的推導(dǎo)方法，四邊形可以分割成2個(gè)三角形，梯形可以分割為平行四邊形與三角形，那么多邊形是否也可以分割呢？由此，學(xué)生組成幾個(gè)小組展開探索分析，動(dòng)手畫圖、建模，結(jié)合已有知識(shí)，了解到多邊形可以劃分為（n-2）個(gè)三角形，由此，學(xué)生得出其內(nèi)角和為180（n-2）度。這樣，教師結(jié)合探索案例，引導(dǎo)學(xué)生自主思考與分析，挖掘了學(xué)生的潛力，完善了學(xué)生的能力。
四、引入實(shí)踐案例，提升應(yīng)用能力
為了提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與能力，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生參與實(shí)踐應(yīng)用，將知識(shí)應(yīng)用于生產(chǎn)、生活實(shí)踐，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，完善各方面的能力。引入實(shí)踐案例，將數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用實(shí)例相結(jié)合，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的奧秘和規(guī)律。
如在教學(xué)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《旋轉(zhuǎn)》時(shí)，教師引入實(shí)踐案例，借助多媒體展示世界上美輪美奐的一些圖案，并引導(dǎo)學(xué)生欣賞和交流這些圖案中圖形旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱的相關(guān)運(yùn)用。之后展開學(xué)生自主設(shè)計(jì)圖案的實(shí)踐活動(dòng)，以公益圖案、奧運(yùn)會(huì)圖案、學(xué)校標(biāo)志圖案等為主題，展開圖案設(shè)計(jì)的自主實(shí)踐過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力。
一、利用多媒體創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
多媒體教學(xué)能充分創(chuàng)造出一個(gè)圖文并茂、有聲有色、生動(dòng)逼真的教學(xué)環(huán)境。如在初二上冊(cè)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱這章時(shí)，光憑老師的嘴說生活中的圖形的美麗，顯得很蒼白無力。但如果利用多媒體課件來展示就會(huì)收到很好的效果，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，真正地改變傳統(tǒng)教育單調(diào)模式，使教學(xué)落到實(shí)處。俗話說：“興趣是最好的老師”。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，才是我們教育的根本。有些學(xué)生之所以對(duì)數(shù)學(xué)感到枯燥、無味、怕學(xué)，其原因之一是由于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性所決定的，再者就是受傳統(tǒng)教學(xué)手段和方法的局限，不能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用多媒體教學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富多彩的教學(xué)情境，增設(shè)疑問，巧設(shè)懸念，激發(fā)學(xué)生獲取知識(shí)的求知欲，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)興趣。＼1.應(yīng)用多媒體課堂導(dǎo)入更直觀
1.多媒體可以把文字、圖形、聲音、動(dòng)畫、視頻圖像等信息融為一體，快速有效讓學(xué)生集中注意力。如人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“有理數(shù)加法”的時(shí)候，利用多媒體創(chuàng)設(shè)了一個(gè)動(dòng)畫情境（教師播放事先準(zhǔn)備好的多媒體課件，大屏幕顯示蝸牛爬行的過程，并提問：）一只蝸牛延著一條直線爬行，向右爬行記為正數(shù)，向左爬行記為負(fù)數(shù)（1）先向右爬了8米，再向右爬了3米，問最后爬了多少米？（2）先向右爬了8米，再向左爬了3米，問最后爬了多少米？說話音剛落，一個(gè)個(gè)手舉起來了，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣調(diào)動(dòng)起來了。
2.利用多媒體可以增強(qiáng)課堂容量
傳統(tǒng)的教學(xué)教師在課堂上講授例題時(shí)，大多是抄到黑板上，得利用多媒體后就能大大的節(jié)省課堂時(shí)間。教師在課下備課時(shí)可以按照自己的授課思路做成課件。這樣使得課堂從容而且充實(shí)。
3.利用多媒體能更有效的實(shí)現(xiàn)分層次教學(xué)
班里的學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力參差不齊.這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)癥下藥。不同的學(xué)生要有不同的要求。如布置作業(yè)量上，作業(yè)的難度系數(shù)上。傳統(tǒng)的教學(xué)教師在課堂上分層次教學(xué)布置作業(yè)較麻煩，但多媒體教學(xué)就能很輕松實(shí)現(xiàn)。
二、通過多媒體與數(shù)學(xué)教學(xué)整合，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力
多媒體技術(shù)能使學(xué)生獲得極為豐富的、生動(dòng)形象的感性知識(shí)。例如，在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)中的“勾股定理”是數(shù)學(xué)教學(xué)中難以突破的問題，無論用傳統(tǒng)的教學(xué)方法如何講解、疏導(dǎo)，學(xué)生都很難將知識(shí)點(diǎn)理解并接受，若利用多媒體技術(shù)，難以突破的重點(diǎn)不再是師生頭痛的問題。首先，通過課件演示四個(gè)全等的直角三角形拼接、分割形成大小正方形的過程，引導(dǎo)學(xué)生有序地觀察演變過程，讓學(xué)生在觀察圖形面積的轉(zhuǎn)化過程中思考：怎樣用不同的方法表示邊長為c的大正方形的面積？從而得出勾股定理。整個(gè)過程演示與講解觀察、操作融為一體，從不同的角度豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，為學(xué)生準(zhǔn)確地理解和掌握“勾股定理”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
三、借用多媒體資源，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)
1 何謂基本圖形、特征圖形、成題
1.1 基本圖形
就是課本中的概念、公理、定理所涉及的且經(jīng)常作為題目模板的幾何圖形.如下圖1―6．
以等腰三角形為例,ABC為等腰三角形,即AB=AC,可以推出∠B=∠C,反之亦成立；還可得結(jié)論,點(diǎn)A在BC的垂直平分線上.過A點(diǎn)做高線AD,就構(gòu)成三線合一基本圖.
相應(yīng)的三角形全等、角相等、線段相等、線段垂直、角互余等結(jié)論就顯而易見了.
躍然紙上的還有AD所在直線是等腰ABC的對(duì)稱軸,∠B與∠C都是銳角.
再作AF平分∠EAC,極易得到AF∥BC,“角平分線+平行線――等腰三角形”常用的一個(gè)特征圖也出來了.
1.2 特征圖形就是在基本圖形基礎(chǔ)上延伸而來的能夠在題目中起橋梁作用的幾何圖形.如相似形一章中的下列圖形(圖7―12)：
以勾股六線圖為例,由∠ACB=90°,CDAB易知圖中有三個(gè)直角三角形,可以三次利用勾股定理；也可得出角相等：∠ACD=∠B,∠BCD=∠A；
角互余：∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°；
應(yīng)用 “兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似”得：ABC∽ACD∽CBD,再用性質(zhì)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”又得到：AC2=AD•AB,BC2=BD•AB,CD2=AD•BD；若利用面積法還可得：BC•AC=AB•CD.都是在解題中?？紤]的方法.
其他常用的還有在全等和相似中經(jīng)常用的平直型(如圖13)；在三角形全等判定中?？紤]的遇中點(diǎn),延倍長,構(gòu)造的中點(diǎn)倍長圖(如圖14)；遇角平分線,想翻折,構(gòu)造截長補(bǔ)短圖(如圖15).
1.3 成題就是出現(xiàn)在教材中的對(duì)提高解題能力能起到事半功倍效果的一些例題或課后習(xí)題.如人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P103第14題：
如圖16,AB為O的直徑,C為O上一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直,垂足為D,求證AC平分∠DAB．
可以總結(jié)出,在圓中涉及直徑、切線、垂直、角平分線中,由三個(gè)可推一個(gè)的規(guī)律.很多題目就以它為模板或者直接考查,很值得加以重視.
2 基本圖、特征圖、成題的應(yīng)用
明確了基本圖、特征圖、成題的意義之后,下面就結(jié)合2011年部分省市的中考數(shù)學(xué)試題來剖析它們的應(yīng)用.例1 (2011年南昌市中考數(shù)學(xué)試題中的壓軸題第26題中的活動(dòng)二)
某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng),過程如下：設(shè)∠BAC=θ(0°＜θ＜90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在射線AB,AC上．
活動(dòng)二：
如圖17所示,從點(diǎn)A1開始,用等長的小棒依次向右擺放,其中A1A2為第1根小棒,且A1A2=AA1．
數(shù)學(xué)思考：
(3)若已經(jīng)擺放了3根小棒,
θ1=_________,θ2=_________,θ3 =_________；(用含θ的式子表示)
通過審題,分析題中獲得的信息：AA1A2、A2A1A3、A3A2A4 為等腰三角形基本圖,可得結(jié)論兩底角相等,
∠A=∠A1A2A=θ;
∠A2A1 A3=∠A2 A3A1=θ1;
∠A3A2 A4=∠A3A4A2=θ2.
除等腰三角形基本圖外,中間還包含著外角基本圖(圖18,19)：
θ1=2θ;θ2=θ+∠A A3A2.
這樣(3)中的問題就迎刃而解了.第(4)問在(3)的基礎(chǔ)上加上等腰三角形兩底角均為銳角，由題意得4θ
5θ≥90°,所以18°＜θ＜22.5°.
審題過程中若能迅速的挖掘出題中包含的基本圖或者特征圖,對(duì)解決相應(yīng)的幾何問題往往會(huì)起到事半功倍的效果.
成題在幾何問題中大部分以模板形式出現(xiàn),其中也不乏直接考查的情形.
例2 (2011年遼寧大連)如圖20,AB是O的直徑,CD是O的切線,切點(diǎn)為C,BECD,垂足為E,連接AC、BC．
(1)ABC的形狀是_________,理由是_________；
(2)求證：BC平分∠ABE；
(3)若∠A=60°,OA=2,求CE的長．
(1)(2)問直接考查成題,(3)問在成題基礎(chǔ)上加入了相似.
無獨(dú)有偶,2011年青海省中考試題中的第25題也對(duì)此成題作了考查.[TPzyq-6.tif,BP][TS(][JZ]
已知：如圖21,AB是O的直徑,AC是弦,直線EF是過點(diǎn)C的O的切線,ADEF于點(diǎn)D．
(1)求證：∠BAC=∠CAD
(2)若∠B=30°,AB=12,求AC的長．
(1)直接考察成題,(2)在成題基礎(chǔ)上考查弧長公式.
總之,巧妙地借助基本圖、特征圖、成題來解決幾何問題,可以幫助我們快速地找到做題思路,提高做題效率,值得我們?cè)趯W(xué)習(xí)中加以重視.
關(guān)鍵詞：問題串；設(shè)計(jì)；教學(xué)質(zhì)量
問題串是指在一定的學(xué)習(xí)范圍或主題內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)，按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計(jì)的一組問題，使用問題串進(jìn)行教學(xué)，實(shí)質(zhì)上是引導(dǎo)學(xué)生帶著問題進(jìn)行積極的自主學(xué)習(xí)，由表及里，由淺入深地自我構(gòu)建知識(shí)的過程，有效的問題串能激發(fā)學(xué)生的積極主動(dòng)性，培養(yǎng)其思維能力，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。下面筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐談?wù)勼w會(huì)。
一、設(shè)計(jì)生活化問題串，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
把問題串與學(xué)生生活實(shí)際或?qū)W生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，為問題串提供生活背景，不僅能營造輕松活潑的課堂教學(xué)氣氛，而且有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生能盡快進(jìn)入課堂教學(xué)的主題，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。
案例1：筆者在講人教版八年級(jí)上冊(cè)“函數(shù)”一課時(shí)，設(shè)計(jì)了如下問題串：
問題1：如左圖，請(qǐng)觀察加油機(jī)為汽車加油過程，從中能給我們哪些信息呢？
加油站里加油，學(xué)生似乎司空見慣，沒想到數(shù)學(xué)與生活如此接近，學(xué)生的興趣驟然被提起，用多媒體演示加油時(shí)加油量、金額跳動(dòng)的情景。
問題2：在此次加油過程中，加油量確定時(shí)，金額能確定嗎？
問題3：觀察加油機(jī)為汽車加油過程中金額y（元）和加油量x（升）的變化，并填寫下表。
■
問題4：你能用含x的代數(shù)式來表示y的值嗎？
用學(xué)生比較感興趣的生活中的實(shí)際問題引入新課，既激起了學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣，又使學(xué)生在問題解決的過程中潛移默化學(xué)習(xí)了新知識(shí)。
二、設(shè)計(jì)梯度性問題串，引導(dǎo)學(xué)生積極探究新知
問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)梯度性，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)把教學(xué)內(nèi)容編織成一組彼此關(guān)聯(lián)的問題，使前一個(gè)問題作為后一個(gè)問題的前提，后一個(gè)問題是前一個(gè)問題的繼續(xù)或結(jié)論，這樣每個(gè)問題都成為學(xué)生思維的階梯，使學(xué)生在明確知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上獲得知識(shí)，提高思維能力。
案例2：多邊形的內(nèi)角和的探究
問題1：大家都知道三角形內(nèi)角和等于180°，你知道四邊形內(nèi)角和嗎？
問題2：四邊形的問題可否轉(zhuǎn)化為三角形的知識(shí)來解決呢？如何轉(zhuǎn)化？
學(xué)生動(dòng)手先以長方形、正方形為例進(jìn)行猜想，然后畫出一般四邊形，用量角器和尺子畫圖，在獨(dú)立探索的基礎(chǔ)上，分組交流與研討，并匯總解決問題的方法。如下圖：在教師指導(dǎo)下分類，將四邊形分割三角形，然后利用三角形內(nèi)角和研究四邊形內(nèi)角和。
■
問題3：同學(xué)們能用類似四邊形的方法得出五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和嗎？
問題4：任意n邊形的內(nèi)角和是多少？
從四邊形入手，先探索它與三角形的關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法，為問題3、問題4的解決奠定了方法上的基礎(chǔ)。在四邊形的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索五邊形、六邊形等，進(jìn)而探索整數(shù)邊的多邊形內(nèi)角和，又為問題4歸納n邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系準(zhǔn)備了素材，如此設(shè)計(jì)使學(xué)生找到數(shù)形之間的聯(lián)系，了解由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理過程和數(shù)學(xué)思維方法。通過鋪設(shè)這些問題串，讓學(xué)生逐步探索運(yùn)用舊知識(shí)解決新問題的方法，不僅活躍了學(xué)生的思維，積極調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅，而且解決了問題，收到了良好的效果。
三、設(shè)計(jì)精細(xì)性問題串，引導(dǎo)學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)
教學(xué)難點(diǎn)是學(xué)生在課堂上最容易疑惑不解的知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知矛盾的難點(diǎn)，因此要從培養(yǎng)學(xué)生能力的角度出發(fā)，精心設(shè)計(jì)讓學(xué)生在積極思考下跨越難點(diǎn)障礙。
案例3：在九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第24章“圓”的第一節(jié)課，本節(jié)內(nèi)容是圓的概念和圓的性質(zhì)。本節(jié)概念比較多，并且出現(xiàn)集合的定義，學(xué)生難于理解和概括，為了突破這個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中以游戲?yàn)橹骶€，設(shè)計(jì)了以下問題串：
問題1：活動(dòng)課上教師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行投擲沙包的游戲，為此需要在操場上畫了一個(gè)半徑2米的圓作為沙包投擲區(qū)域，你能幫助老師畫好這個(gè)圓嗎？說說你的做法。老師用多媒體演示畫圓的過程，請(qǐng)欣賞觀察并嘗試歸納圓的描述性定義。
問題2：在圓的描述性定義中，你認(rèn)為畫一個(gè)圓需要哪幾個(gè)要素？這些要素有什么作用？
問題3：老師畫好圓后，在圓心O處插上小紅旗，第一組8個(gè)同學(xué)投擲沙包的情況如左圖所示：設(shè)沙包的落點(diǎn)記為A、B、C、D、E、F、G、H，從圓中你能觀察出在平面內(nèi)點(diǎn)與圓有哪幾種位置關(guān)系？結(jié)合圖形分別指出點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H與O的關(guān)系。
問題4：在A、B、C、D、E、F、G、H八個(gè)點(diǎn)中，你認(rèn)為那些點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為2米？其余各點(diǎn)到圓心O的距離等于多少？為什么？
問題5：到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)在什么位置？平面內(nèi)還有其他地方存在這樣的點(diǎn)嗎？
問題6：你能運(yùn)用類比的方法和集合的觀點(diǎn)給圓的內(nèi)部和圓的外部下定義嗎？你是如何理解的？
問題7：你能根據(jù)圓、圓的內(nèi)部、圓的外部的集合性定義解決下列問題嗎？
如果O半徑為r，點(diǎn)p到圓心的距離為d，那么：
點(diǎn)p在圓內(nèi)？圯d__r
點(diǎn)p在圓上？圯d__r
點(diǎn)p在圓外？圯d__r
隨著上述問題串中的問題被一一解決，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容也有了一個(gè)全面深刻的理解，難點(diǎn)一步一步地被攻克，為高效的課堂奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
四、設(shè)計(jì)應(yīng)用型問題串，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界
教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)法為學(xué)生創(chuàng)造逼真的問題情境，喚起學(xué)生思考的欲望，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，品味用所學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象以及解決實(shí)際問題的樂趣。
案例4：直角三角形全等判定的應(yīng)用
如下圖：舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員都不知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但兩個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量，你能幫助他想辦法嗎？
■
問題1：若他帶了一個(gè)卷尺和量角器，你能告訴他測量哪些數(shù)據(jù)就可以判定全等？你的根據(jù)是什么？有多少種方法？
問題2：若他只帶了一個(gè)卷尺，他有辦法判定全等嗎？為什么？
問題3：通過以上方法設(shè)計(jì)，你認(rèn)為直角三角形的全等判定有幾種方法，應(yīng)用時(shí)與一般三角形的全等判定有什么不同？
案例5：軸對(duì)稱作圖應(yīng)用
問題1：如左圖，要在燃?xì)夤艿繿上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)送氣，泵站應(yīng)修建在何處，可使所用的管道最短？
教師啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生說出自己的想法，并在圖上畫出C點(diǎn)。
問題2：如果上述問題中，點(diǎn)B不在異側(cè)，而在同側(cè)（如右圖所示），泵站C又應(yīng)該建在何處？
學(xué)生小組討論，教師針對(duì)學(xué)生意見總結(jié)、歸納解題方法。
問題3：八年級(jí)（1）班的同學(xué)做游戲，在活動(dòng)區(qū)放了一些球（如右圖），則小明按怎樣的路線跑去撿哪個(gè)位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？
問題4：如果上述游戲中，改為小明要在兩處地方撿到球后再到回原地（如右圖），他又如何設(shè)計(jì)路線才能最快跑回原地？
這樣通過引入生活原型，無疑會(huì)使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在我們身邊，提高其解決實(shí)際問題的能力，明白所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，形成用數(shù)學(xué)的眼光看世界的意識(shí)。
五、設(shè)計(jì)探索型問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的再創(chuàng)造
數(shù)學(xué)家G.波利亞指出，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門小說的演繹科學(xué)。但另一方面，它是創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。南京大學(xué)教授、已故中科院院士戴安邦早在20世紀(jì)80年代就主動(dòng)把課堂變成“小型的科學(xué)實(shí)驗(yàn)室”。實(shí)驗(yàn)程序并非完全給定，而是開放式的，要求學(xué)生自己搜集資料，自己觀察分析、總結(jié)，從人類知識(shí)角度看這類實(shí)驗(yàn)并未提出新的見解，不過是一種重復(fù)，但是對(duì)學(xué)生而言卻是一種探索，是獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)，是知識(shí)的再創(chuàng)造。我們可以利用探索型問題使學(xué)生在操作、觀察、討論、歸納以及猜想的過程中理解數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得與驗(yàn)證。
案例6：探索規(guī)律
問題1：已知在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證四邊形EFGH是平行四邊形。
問題2：分別順次連結(jié)以下四邊形的四邊中點(diǎn)，所得的是什么四邊形？①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形；⑥等腰梯形。從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
問題3：反之，要得到以上圖形，只須四邊形的對(duì)角線滿足什么條件就可以得到？
問題4：順次連結(jié)正n邊形（n≥3）邊形的各邊中點(diǎn)得到的是什么多邊形？
