時(shí)間：2023-05-30 10:07:28
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇圖形的變換，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
課件《圖形的變換》具有導(dǎo)航清晰、目標(biāo)明確、主體突出、講解細(xì)致、反饋及時(shí)、內(nèi)容豐富的特點(diǎn)。
制作背景
課件《圖形的變換》是根據(jù)人教版《小學(xué)數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第一單元的內(nèi)容設(shè)計(jì)制作的。在日常教學(xué)中，對(duì)于有作圖要求的知識(shí)點(diǎn)，作業(yè)批改對(duì)教師來說是一項(xiàng)較為繁重的工作，一方面課本上相關(guān)的練習(xí)較少，且學(xué)生的繪圖能力有限，像畫對(duì)稱軸、畫對(duì)稱圖形等都需要在方格紙上完成，這就為教師給學(xué)生準(zhǔn)備練習(xí)題帶來了困難——每次做練習(xí)都要為學(xué)生準(zhǔn)備方格紙。而對(duì)于學(xué)生來說，課本上相關(guān)知識(shí)的講解不精細(xì)、練習(xí)內(nèi)容單一、枯燥、乏味，不愿意多練習(xí)。為此，我設(shè)計(jì)制作了這個(gè)課件，既減輕了教師批改作業(yè)的工作量，又可以讓學(xué)生在電腦上自學(xué)新知和鞏固練習(xí)，還可以接觸到課本以外的相關(guān)知識(shí)，拓寬視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和情感。
教學(xué)策略
通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的講解、知識(shí)點(diǎn)與生活的聯(lián)系、對(duì)知識(shí)點(diǎn)的強(qiáng)化練習(xí)等措施，讓學(xué)生觀察對(duì)比圖形、現(xiàn)象，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行猜測、驗(yàn)證等，讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過程，并感覺數(shù)學(xué)的思想方法。以多種形式的練習(xí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的積極性、主動(dòng)性，突顯學(xué)生的主體地位。尤其在設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供動(dòng)手動(dòng)腦的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象，利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，既使學(xué)生體會(huì)到學(xué)為所用，又培養(yǎng)了學(xué)生的審美情趣。
設(shè)計(jì)思路及內(nèi)容結(jié)構(gòu)
1.設(shè)計(jì)思路
（1）導(dǎo)航清晰
本課件設(shè)置了多個(gè)導(dǎo)航路徑，既可通過“上頁”、“下頁”兩個(gè)按鈕進(jìn)行翻頁，也可通過一級(jí)和二級(jí)菜單隨時(shí)進(jìn)入課件的各個(gè)環(huán)節(jié)（如圖1）。
為便于使用者了解課件的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、工具使用、各環(huán)節(jié)的操作方法等，本課件還設(shè)計(jì)了工具使用說明和操作指南。
（2）目標(biāo)明確
本課件中的每一課時(shí)都有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，便于教師和學(xué)生把握學(xué)習(xí)內(nèi)容要求、學(xué)習(xí)的方法等。
（3）主體突出
本課件注重學(xué)生的主體地位，為了更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課件在呈現(xiàn)內(nèi)容、色彩搭配等方面考慮到了小學(xué)生的審美需求和生活化、情境化的特點(diǎn)，盡量選擇艷麗的色彩、以學(xué)生作品作為學(xué)習(xí)內(nèi)容。
在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，課件還注重引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生對(duì)不同情況進(jìn)行觀察、對(duì)比，然后得出結(jié)論。例如，在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)時(shí)（如下頁圖2），我引導(dǎo)學(xué)生觀察一組利用軸對(duì)稱繪制的圖形，并讓他們進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圖形的相同之處，從而初步建立軸對(duì)稱的概念（如圖3）。在這一基礎(chǔ)上再給出軸對(duì)稱的概念，符合“先學(xué)后教”的教學(xué)理念，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位得到了充分的體現(xiàn)。
為了讓學(xué)生親歷探究旋轉(zhuǎn)的結(jié)果與哪些因素有關(guān)的過程，本課件設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)（如圖4）。引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角度”、“旋轉(zhuǎn)中心”這三個(gè)因素的異同，點(diǎn)擊“播放”按鈕，得到相關(guān)的圖形。通過這個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅得出了“旋轉(zhuǎn)的結(jié)果與旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)中心都有關(guān)系”的結(jié)論，而且體會(huì)到探究數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法和過程，即提出假設(shè)、操作探究、得出結(jié)論。
為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及創(chuàng)新能力，課件還設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生自己利用課件提供的圖形根據(jù)旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、平移等圖形變換的方法設(shè)計(jì)圖畫的環(huán)節(jié)——設(shè)計(jì)，這不僅培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的審美情趣（如圖5）。
（4）講解細(xì)致
本課件在對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解的過程中，對(duì)于每種類型的例題都給出了詳細(xì)的步驟，只要點(diǎn)擊右下方的“步驟”及“繼續(xù)”按鈕，即可逐步出示作圖步驟。這既方便了教師課堂教學(xué)時(shí)進(jìn)行演示，也方便了學(xué)生課下自學(xué)，并自覺養(yǎng)成規(guī)范作圖的良好習(xí)慣（如圖6）。
（5）反饋及時(shí)
本課件設(shè)計(jì)了內(nèi)容豐富、形式多樣的練習(xí)，并能及時(shí)對(duì)學(xué)生的答案做出反饋，這不僅增加了學(xué)生練習(xí)的積極性，也減輕了教師批改作業(yè)的工作量。課件的練習(xí)題分為涂色題、填空題、連線題、繪圖題、拖拽題、設(shè)計(jì)題等題型。涂色題可以通過給正確的答案涂色來完成練習(xí)。連線題可以通過把相關(guān)的信息連線，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。繪圖題可以通過尺子或格子來把握旋轉(zhuǎn)的角度和線段的長度，完成后把相應(yīng)圖標(biāo)拖到相應(yīng)的點(diǎn)上，再點(diǎn)擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。拖拽題是把拖動(dòng)的對(duì)象拖到相應(yīng)的位置，也可旋轉(zhuǎn)對(duì)象到相應(yīng)的位置，再點(diǎn)擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。在設(shè)計(jì)題中，學(xué)生可以把屏幕下方的幾種圖形拖到操作區(qū)，把這些圖形進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)，還可以改變大小，來組成一幅圖畫。
（6）內(nèi)容豐富
本課件注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，不僅對(duì)本單元的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)講解，給出了多種形式的練習(xí)題，而且通過介紹本節(jié)內(nèi)容在生活中的應(yīng)用及與軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的科學(xué)知識(shí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美，并產(chǎn)生了對(duì)科學(xué)知識(shí)的向往之情。
2.內(nèi)容結(jié)構(gòu)
（1）軸對(duì)稱
通過軸對(duì)稱圖形展示激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生回憶有關(guān)軸對(duì)稱的知識(shí)，為深入探究軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)做好鋪墊。通過數(shù)一數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，概括軸對(duì)稱的性質(zhì)，從而使學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論。借助學(xué)生已經(jīng)掌握的關(guān)于軸對(duì)稱的知識(shí)，使學(xué)生在能夠畫出三角形的對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步能畫出長方形的對(duì)稱軸。通過五道關(guān)于軸對(duì)稱的練習(xí)題，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)和理解；同時(shí)讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中，進(jìn)行空間想象，體會(huì)軸對(duì)稱變換的特點(diǎn)。
（2）旋轉(zhuǎn)
由學(xué)生生活中熟悉的事物引入，使學(xué)生感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，建立旋轉(zhuǎn)的表象。體驗(yàn)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，初步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)。通過展示同一線段繞不同的中心點(diǎn)、不同的方向、不同的角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，引出與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的幾個(gè)因素，進(jìn)一步觀察、探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。通過五道關(guān)于旋轉(zhuǎn)的練習(xí)題，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)和理解。
（3）欣賞與設(shè)計(jì)
通過展示與生活相關(guān)的軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，讓學(xué)生體會(huì)軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)存在于生活之中，欣賞數(shù)學(xué)帶給生活的美，以及學(xué)習(xí)生活中對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的科學(xué)知識(shí)。通過兩個(gè)設(shè)計(jì)題目，讓學(xué)生自由發(fā)揮，充分想象，根據(jù)自己的需要繪制圖形。本題目主要是拓展學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
關(guān)鍵技術(shù)
1.涂色題的制作
（1）涂色原理
設(shè)色板上的每一個(gè)顏料盤都是一個(gè)影片剪輯，影片剪輯內(nèi)嵌一個(gè)按鈕，當(dāng)點(diǎn)擊按鈕時(shí)，賦予變量ii1一個(gè)值，如點(diǎn)擊綠色顏料盤時(shí)變量ii1＝2，代碼如下。
on （release） {
_root.ii1=2；
_parent.tsp.gotoAndStop（3）；
_root.youtong_1.gotoAndStop（3）；
_root.youtong_1.Mouse.hide（）；
_root.youtong_1.startDrag（）；
gotoAndStop（2）；
_parent.gotoAndStop（2）； }
題目中的每個(gè)圖形也是一個(gè)影片剪輯，內(nèi)嵌一個(gè)按鈕，當(dāng)點(diǎn)擊按鈕時(shí)，如果剛才點(diǎn)擊的是綠色顏料盤即變量ii1＝2，則這個(gè)圖形就變?yōu)榫G色，代碼如下。
on （release） {
if （_root.ii1 == 9） {
_root.m1.gotoAndStop（4）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=153；
change_color.gb=153；
change_color.bb=153；
colorA.setTransform（change_color）；
}
if （_root.ii1 == 1） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=255；
change_color.gb=0；
change_color.bb=0；
colorA.setTransform（change_color）；
}
if （_root.ii1 == 2） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=0；
change_color.gb=204；
change_color.bb=0；
colorA.setTransform（change_color）；
}
}
注意：用這種方法涂色時(shí)，圖形必須做成黑色的，在運(yùn)行時(shí)進(jìn)入這一幀時(shí)讓它成為白色，代碼如下。
for（var i = 1；i
if（_root.ii1==0）{
colorA=new Color（_root. ["tuxing"+i].yidong ）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=255；
change_color.gb=255；
change_color.bb=255；
colorA.setTransform（change_color）；
}
}
（2）判斷對(duì)錯(cuò)的原理
影片剪輯m1有3個(gè)關(guān)鍵幀，第一個(gè)關(guān)鍵幀是空白的，第二個(gè)關(guān)鍵幀是對(duì)號(hào)，第三個(gè)關(guān)鍵幀是錯(cuò)號(hào)。當(dāng)點(diǎn)擊圖形為圖形涂色時(shí)，如果變量ii1的值符合要求，影片剪輯m1跳轉(zhuǎn)到第二個(gè)關(guān)鍵幀，即出現(xiàn)對(duì)號(hào)；如果變量ii1的值不符合要求，則影片剪輯m1跳轉(zhuǎn)到第三個(gè)關(guān)鍵幀，即出現(xiàn)錯(cuò)號(hào)。
2.拖拽題的制作
（1）拖拽與旋轉(zhuǎn)的實(shí)現(xiàn)
圖中的對(duì)稱軸是一個(gè)影片剪輯，影片剪輯內(nèi)嵌入三個(gè)按鈕，用鼠標(biāo)按住線段中部時(shí)可拖動(dòng)線段，按住線段的兩端時(shí)可使線段旋轉(zhuǎn)。為了便于操作，影片剪輯設(shè)有自動(dòng)吸附功能，即線段的位置接近正確的對(duì)稱軸的位置時(shí)，它將被吸附到正確的對(duì)稱軸的位置。因?yàn)榫€段的平移和旋轉(zhuǎn)可以通過鍵盤控制，所以界面上其他可用鍵盤控制的影片剪輯都應(yīng)停留在第一幀，而操作對(duì)稱停留在第二幀。代碼如下。
on （press） {
startDrag（this）；
gotoAndStop（2）；
_root.duichen_3.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_2.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_4.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_5.gotoAndStop（1）；
}
on （release， releaseOutside） {
stopDrag（）；
if （this.dian3.hitTest（_root.duichen1.yu03）） {
this._x = _root.duichen1._x；
this._y = _root.duichen1._y；
}
if （（this._rotation > 54 and this._rotation < 62） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {
this._rotation = 58；
}
if （（this._rotation > -126 and this._rotation < -118 ） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {
this._rotation = -122；
}
}
（2）判斷對(duì)錯(cuò)的原理
放置好線段后，點(diǎn)擊下面的“確定”按鈕，如果線段的縱、橫坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角度都正確，則判斷對(duì)錯(cuò)的影片剪輯顯示對(duì)號(hào)，如果不正確則顯示錯(cuò)號(hào)。代碼如下。
on （release） {
if （（_root.duichen_1._rotation == 58
and _root.duichen_1._x == _root.duichen1._x
and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）
or （_root.duichen_1._rotation == -122 and
_root.duichen_1._x == _root.duichen1._x
and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.m1.gotoAndStop（4）；
}
}
3.繪圖題的制作
學(xué)生可利用格子和尺子確定線段的長度和方向，本課件的繪圖工具是下載的模板。畫完圖后，拖動(dòng)標(biāo)識(shí)A’、B’到畫好的三角形的兩個(gè)頂?shù)奈恢茫c(diǎn)擊下面的“確定”按鈕，即可查看結(jié)果是否正確。
on （press） {
if （（_root.fz1.aa1._x == _root.fz1.dian_a._x）
and （_root.fz1.aa1._y == _root.fz1.dian_a._y）） {
_root.fz1.m1.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.fz1.m1.gotoAndStop（3）；
}
if （（_root.fz1.bb1._x == _root.fz1.dian_b._x）
and （_root.fz1.bb1._y == _root.fz1.dian_b._y）） {
_root.fz1.m2.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.fz1.m2.gotoAndStop（3）；
}
}
4.填空題的制作
在判斷旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，為了便于學(xué)生填寫旋轉(zhuǎn)的方向，點(diǎn)擊括號(hào)右下角的“”，可出現(xiàn)“逆”、“順”兩個(gè)選項(xiàng)，點(diǎn)擊這兩個(gè)選項(xiàng)，括號(hào)里便填上相應(yīng)的字。
“”的代碼on （release） {
gotoAndPlay（10）；
}
“順”字的代碼on （release） {
_root.jiaodu001.text ="順"；
gotoAndPlay（1）；
}
“逆”字的代碼on （release） {
_root.jiaodu001.text ="逆"；
gotoAndPlay（1）；
}
填完括號(hào)后，點(diǎn)擊“確定”按鈕，課件即可判斷答題是否正確。
“確定”按鈕的代碼：on （press） {
if（_root.jiaodu003.text == "順"）{
_root.m3.gotoAndStop（2）；
}else{
_root.m3.gotoAndStop（4）；
}
if（_root.jiaodu004.text == "180"）{
_root.m4.gotoAndStop（2）；
}else{
_root.m4.gotoAndStop（4）；
}
}
評(píng)價(jià)與反思
多年的制作經(jīng)歷，使我深刻地體會(huì)到，一個(gè)優(yōu)秀的課件應(yīng)融教育性、科學(xué)性、藝術(shù)性、技術(shù)性于一體，既美觀又實(shí)用，既有利于教師的課堂教學(xué)，也有利于學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)，最大限度地發(fā)掘?qū)W生的潛能，強(qiáng)化教學(xué)效果， 提高教學(xué)質(zhì)量。
因此在制作這個(gè)課件時(shí)，我以Flash軟件為平臺(tái)，集圖、文、聲、像等多種媒體為一體，構(gòu)建了具有多個(gè)路徑的導(dǎo)航系統(tǒng)，可以輕松自如地在各個(gè)頁面間切換，以便使用者隨時(shí)進(jìn)入不同的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，而且提供鍵盤和鼠標(biāo)兩種操作方式，較好地實(shí)現(xiàn)了人機(jī)交互，能讓使用者更好把握使用課件的主動(dòng)權(quán)，而不會(huì)被課件所制約。
同時(shí)，我深入研究了教材，從深度和廣度兩方面進(jìn)行挖掘，力求使學(xué)生通過這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅學(xué)到新知識(shí)，還能學(xué)到獲取知識(shí)、解決問題的方法，并了解所學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)和生活中的廣泛應(yīng)用，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、拓寬學(xué)生的視野。
幕前幕后
我從1999年開始學(xué)習(xí)多媒體課件的制作，最初是用PowerPoint軟件制作簡單的演示課件，那時(shí)這個(gè)軟件還不像現(xiàn)在這樣功能強(qiáng)大，記得為了呈現(xiàn)小朋友玩蹺蹺板的動(dòng)態(tài)過程，我用了好多張幻燈片才實(shí)現(xiàn)，那時(shí)我就非常渴望掌握一個(gè)能輕松實(shí)現(xiàn)這一動(dòng)態(tài)過程的軟件，做出一大批能很好地為教學(xué)服務(wù)的課件。
2002年我開始學(xué)習(xí)用Flash軟件制作課件，在掌握了基本的制作方法和流程之后，我已經(jīng)不滿足制作那些只用鼠標(biāo)來點(diǎn)擊播放的課件，而是嘗試著在課件中加入一些智能化的因素，這時(shí)我開始學(xué)習(xí)寫一些簡單的代碼。2006年我在制作課件《長方形面積計(jì)算》時(shí)開始嘗試用鍵盤輸入長方形的長和寬的值，讓計(jì)算機(jī)呈現(xiàn)出相應(yīng)的長方形，這對(duì)于從未學(xué)習(xí)過計(jì)算機(jī)編程知識(shí)的我來說實(shí)在是太難了，但是在培訓(xùn)班老師的精心指導(dǎo)下我做到了，這使我信心大增。同時(shí)我也在把課件的操作權(quán)交給學(xué)生這方面邁開了第一步，讓學(xué)生用課件提供的小正方形拼成一個(gè)大長方形，統(tǒng)計(jì)出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析對(duì)比，得出結(jié)論。那時(shí)我們學(xué)校的學(xué)生還很少有機(jī)會(huì)自己上機(jī)操作課件，我的這一課讓學(xué)生體會(huì)到了一種別樣的來自于學(xué)習(xí)的成功感、快樂感。由此，我認(rèn)識(shí)到一個(gè)好的課件不僅是給教師用的，也是給學(xué)生用的。
2007年，我做的課件已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了能讓學(xué)生自主練習(xí)并能及時(shí)對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行批閱了，但這些練習(xí)只能使用一次，總不能讓學(xué)生一次次地做同樣的練習(xí)吧。于是，我又想做出能不斷出更新題目的課件。于是在2009年，我開始嘗試用隨機(jī)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)出題，并能對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行批閱，我選擇的課題是《認(rèn)識(shí)鐘表》，我又一次實(shí)現(xiàn)了突破，這個(gè)課件不僅能讓學(xué)生反復(fù)地進(jìn)行練習(xí)，而且教師在課堂教學(xué)時(shí)可以在鍵盤上輸入一個(gè)時(shí)刻，這時(shí)課件上的鐘面就會(huì)顯示相應(yīng)的時(shí)刻，這比用實(shí)物鐘既方便又準(zhǔn)確，而與以往的課件相比，練習(xí)內(nèi)容的主動(dòng)權(quán)交到了任課老師和學(xué)生的手上，而不是課件制作者來控制練習(xí)的具體內(nèi)容。
繪圖題一直以來都是學(xué)生難以掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而作業(yè)的設(shè)計(jì)與批改對(duì)教師來說也是一項(xiàng)繁重的工作，能不能制作出一個(gè)既能出題，又能批閱繪圖題的課件，就成為我的一個(gè)新目標(biāo)。于是，2010年我精心制作了課件《位置與方向》，學(xué)生利用課件提供的繪圖和測量工具，繪制行動(dòng)路線圖，然后把圖標(biāo)拖到相應(yīng)的位置，全部完成后，再點(diǎn)擊確定按鈕，課件自動(dòng)判斷對(duì)錯(cuò)。點(diǎn)擊“出題”按鈕，課件還能夠隨機(jī)出題，這既能滿足學(xué)生反復(fù)練習(xí)的要求，又不增加教師批改作業(yè)的負(fù)擔(dān)，可謂一舉兩得。就連一些家長也產(chǎn)生了興趣，通過郵件告訴我：“這個(gè)練習(xí)很有趣，我也在做。”
2009年，我開始接觸游澤清教授的《多媒體畫面藝術(shù)》理論，并在這一理論的指導(dǎo)下力求使自己的課件美觀、精致、實(shí)用。兩年多來，我不僅在課件制作水平方面有所提高，而且掌握了一些課件制作的理論知識(shí)，欣賞課件的水平也在不斷提高。
在不斷進(jìn)步的過程中，我認(rèn)可了這樣一個(gè)真理：幫別人就是幫自己。2012年，我開始帶徒弟，在第十屆NOC活動(dòng)多媒體學(xué)習(xí)工具評(píng)優(yōu)賽項(xiàng)中我的兩個(gè)徒弟分別獲得一、二等獎(jiǎng)。我認(rèn)可的另一個(gè)真理是：大家好才是真的好。這學(xué)期我承擔(dān)了學(xué)校課件制作小組首席教師的工作，把我多年來積累的經(jīng)驗(yàn)教給大家。因?yàn)槲疑钌畹刂溃粋€(gè)強(qiáng)有力的團(tuán)隊(duì)，對(duì)于一個(gè)人的成長是多么重要。十幾年來，我接受過很多老師的指導(dǎo)和幫助，我今天所取得的成績都應(yīng)歸功于我有這樣一個(gè)既專業(yè)又熱情的團(tuán)隊(duì)。
評(píng)委印象
課件《圖形的變換》的制作很豐富，知識(shí)點(diǎn)涵蓋了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第一單元的內(nèi)容。知識(shí)量很多，是一個(gè)綜合性的課件。制作技術(shù)也很專業(yè)。
印象一：課件的知識(shí)量豐富，包括了一個(gè)單元的內(nèi)容。里面的演示和工具，有助于教師在教學(xué)中突破重、難點(diǎn)，使學(xué)生很直觀地進(jìn)行學(xué)習(xí)，提高了教學(xué)的質(zhì)量和實(shí)效性。
印象二：課件的界面設(shè)計(jì)很方便，可以通過多種路徑進(jìn)入。方便了教師教學(xué)時(shí)的演示，也方便了學(xué)生自學(xué)時(shí)的使用。大大提高了課件的使用性。
印象三：課件中每節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)很明確，便于教師和學(xué)生把握學(xué)習(xí)內(nèi)容要求、學(xué)習(xí)的方法等。課件中還有大量的練習(xí)題型，而且每個(gè)題型都能夠及時(shí)對(duì)學(xué)生答題做出反饋。這不僅增加學(xué)生練習(xí)的積極性，也增加了學(xué)生的挑戰(zhàn)問題的能力。
教師對(duì)Flash軟件的使用和制作課件的水平非常高，代碼應(yīng)用很準(zhǔn)確。而且有不錯(cuò)的團(tuán)隊(duì)。希望保持下去，制作出更多實(shí)用的課件。
印象四：所有練習(xí)題的反饋都是針對(duì)學(xué)生的答題給出對(duì)錯(cuò)，而教師不能夠知道全班學(xué)生有多少人在一道練習(xí)題答對(duì)或是答錯(cuò)，缺少全面學(xué)生的反饋。希望今后能考慮網(wǎng)絡(luò)型課件的制作，學(xué)生做完題，就能夠讓老師知道這道題，全班有多少人答對(duì)，得到第一手反饋信息。
一、建立直角坐標(biāo)系xOy與水平放置的直角坐標(biāo)系x′O′y′
單擊“繪圖”菜單中的“定義坐標(biāo)系”。單擊文字工具，小手放到原點(diǎn)處，當(dāng)小手變黑時(shí)，雙擊鼠標(biāo)左鍵，標(biāo)簽輸入O，單擊“確定”。用同樣方法將數(shù)軸分別標(biāo)為x、y。單擊點(diǎn)工具，點(diǎn)放到x軸上，單擊鼠標(biāo)左鍵，將得到的點(diǎn)標(biāo)為O′。選中點(diǎn)O′，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記中心”，將點(diǎn)O′設(shè)置為中心。選中x軸，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“確定”。將旋轉(zhuǎn)后的直線標(biāo)記為y′.x′軸與x軸重合。
二、創(chuàng)建“斜二測畫法”變換
單擊點(diǎn)工具，點(diǎn)放到任意位置，單擊鼠標(biāo)左鍵，將得到的點(diǎn)標(biāo)為A1.選中點(diǎn)A1、x軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“垂線”。箭頭放到垂線與x軸的交點(diǎn)處，當(dāng)箭頭變?yōu)闄M向箭頭時(shí)，單擊鼠標(biāo)左鍵，得到垂線與x軸的交點(diǎn)，標(biāo)記為B1.將點(diǎn)B1設(shè)置為中心。選中點(diǎn)A1，單擊“變換”菜單中的“縮放”，系統(tǒng)默認(rèn)縮放1/2，單擊“縮放”，將縮放后的點(diǎn)標(biāo)為C1.選中點(diǎn)C1，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“- 45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為D1.依次選中點(diǎn)O、O′，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”，將OO′設(shè)置為平移向量。選中點(diǎn)D1，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”。將平移后的點(diǎn)標(biāo)為A1′.點(diǎn)A1′就是利用斜二測畫法點(diǎn)A1的直觀圖。依次選中點(diǎn)A1、A1′，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“斜二測畫法”，單擊“確定”。選中點(diǎn)A1、B1、C1、D1、A1′，x軸的垂線，單擊“顯示”菜單中的“隱藏對(duì)象”。
三、創(chuàng)建“反斜二測畫法”變換
構(gòu)造任意點(diǎn)A2′.選中點(diǎn)A2′、y′軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“平行線”。作平行線與y′軸的交點(diǎn)，標(biāo)為B2′.將點(diǎn)B2′設(shè)置為中心。選中點(diǎn)A2′，單擊“變換”菜單中的“縮放”，分子輸入“2”，分母輸入“1”，單擊“縮放”，將縮放后的點(diǎn)標(biāo)為C2′.選中點(diǎn)C2′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)標(biāo)為D2′。依次選中點(diǎn)O′、O，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”。選中點(diǎn)D2′，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點(diǎn)標(biāo)為A2。點(diǎn)A2就是利用斜二測畫法，直觀圖為點(diǎn)A2′對(duì)應(yīng)的平面圖形。依次選中點(diǎn)A2′、A2，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“反斜二測畫法”，單擊“確定”。隱藏點(diǎn)A2′、B2′、C2′、D2′、A2，y′軸平行線。
四、通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀
以平行四邊形為例，作任意點(diǎn)A3、B3、C3，依次選中點(diǎn)B3、C3，單擊“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”。選中點(diǎn)A3，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點(diǎn)標(biāo)為D3.單擊線段直尺工具，連接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.選中平行四邊形A3B3C3D3，單擊“變換”菜單中的“斜二測畫法”，得到利用斜二測畫法平行四邊形的直觀圖，頂點(diǎn)分別標(biāo)為A3′、B3′、C3′、D3′.用箭頭分別拖動(dòng)點(diǎn)A3、B3、C3，任意改變平行四邊形A3B3C3D3的形狀，觀察平行四邊形直觀圖的形狀。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：利用斜二測畫法，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形（圖1）。觀察平行四邊形的對(duì)邊可以發(fā)現(xiàn)：相等的線段在直觀圖中仍然相等；若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行。觀察平行四邊形的對(duì)角可以發(fā)現(xiàn)：角的水平放置的直觀圖一定是角，相等的角在直觀圖中仍然相等。
五、通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀
1.1 位似圖形
定義1 位似圖形：兩個(gè)圖形相似，且一個(gè)圖形上的任意點(diǎn)A，B，…，P和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A′，B′，…，P′分別對(duì)應(yīng)，并且滿足：
①直線AA′，BB′，…，PP′ 都經(jīng)過同一點(diǎn)O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′=k.
點(diǎn)O叫做位似中心.
若位似形是多邊形，叫做位似多邊形.即有如下定義：
定義2 對(duì)于兩個(gè)多邊形，若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)A，B，…，P和另一個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)A′，B′，…，P′ 滿足：
①直線AA′，BB′，…，PP′都經(jīng)過同一點(diǎn)O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′.
則這兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形.
兩個(gè)位似圖形的各對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，都在位似中心的同旁，這兩個(gè)位似圖形叫做相互外位似，其位似中心叫做外位似中心.
兩個(gè)位似圖形的各對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)全部都在位似中心的兩旁，這兩個(gè)位似圖形叫做相互內(nèi)位似，其位似中心叫做內(nèi)位似中心.
位似多邊形有如下性質(zhì)：
①每個(gè)多邊形都可以位似于它本身(反身性)；
②若多邊形F位似于多邊形F′，則多邊形F′位似于多邊形F；
③兩個(gè)位似多邊形一定相似，它們的相似比等于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)與位似中心的距離的比；
④兩個(gè)位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊分別平行.
1.2 位似變換
定義3 位似變換：一種幾何變換.設(shè)O為平面上一定點(diǎn)，若某變換把平面上任意一點(diǎn)A變?yōu)橹本€OA上一點(diǎn)A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，則稱這種變換為平面到它自身的位似變換，O為位似中心，k為位似比或位似系數(shù).當(dāng)k>0時(shí)，點(diǎn)A和A′位于直線OA上點(diǎn)O的同側(cè)，稱這種變換為正向位似變換，或順位似變換，O為外位似中心(圖1)；當(dāng)k
圖1 圖2當(dāng)k=1時(shí)，位似變換為恒等變換，當(dāng)k=-1時(shí)，位似變換為以O(shè)為中心，旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)變換或中心對(duì)稱變換.
若圖形M上各點(diǎn)經(jīng)過位似變換后得圖形M′時(shí)，則稱圖形M位似于圖形M′，或圖形M與M′位似.當(dāng)|k|>1時(shí)，圖形被放大，當(dāng)|k|
位似變換是一種特殊位置的相似變換.
位似變換有如下性質(zhì)：
①位似變換把任意直線AB變?yōu)橹本€A′B′(過位似中心的直線變?yōu)樗旧?，并且AB∥A′B′，線段AB與A′B′滿足|A′B′|=k|AB|；
②位似變換把兩條相交直線變?yōu)橄嘟恢本€，交角不變，并且交角的方向也不變；
③任意多邊形變?yōu)榕c它相似的多邊形；
④任意兩個(gè)圓都是位似形.
圖3對(duì)于兩個(gè)同心圓來說，顯然圓心就是它們的位似中心，而半徑之比就是它們的位似系數(shù).對(duì)于任意兩圓，如圖3，設(shè)A的半徑為r，B的半徑為R，如果直線AB上的點(diǎn)O和O1滿足OAOB=rR，O1AO1B=rR，則O點(diǎn)是A和B的內(nèi)位似中心，點(diǎn)O1是兩圓的外位似中心.
2 課標(biāo)教材中的位似
2.1 定義
我們知道，在中小學(xué)教材中，為了使學(xué)生易于接受，本著科學(xué)性和量力性相結(jié)合的原則，常常要對(duì)一些本來嚴(yán)密的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行改寫，在某一個(gè)教學(xué)階段，有時(shí)會(huì)犧牲一些概念的嚴(yán)密性，僅給出一種描述性定義.位似的概念也是如此.不同版本的課標(biāo)教材對(duì)位似概念的處理雖不盡相同，但大多是結(jié)合多邊形的縮放給出了位似圖形的定義.大致有如下幾種說法：
(1)如果兩個(gè)相似圖形的每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)兩個(gè)圖形的相似比又叫做它們的位似比(山東教育出版社2007年7月第3版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)p.58).
青島出版社、泰山出版社《數(shù)學(xué)》2006年8月第1版九年級(jí)上冊(cè)p.64：每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線交于一點(diǎn)的相似圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.
顯然，這兩個(gè)版本的教材中關(guān)于位似的定義是一致的，浙教版九年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)課本也采用了這樣的方法來定義.
(2)圖27.3-2每幅圖中的兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心(人民教育出版社2006年6月第1版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)p.60).
顯然，和(1)中定義位似的方法不同，這里用“位似多邊形”作為位似圖形的重要示例，把“每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)”改為了“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)”，且注明了條件“對(duì)應(yīng)邊互相平行”.
(3)圖24.5.1中的兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的相似叫做位似，點(diǎn)O叫做位似中心(華東師范大學(xué)出版社2007年6月第三版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)p.71).
這是一個(gè)很不嚴(yán)密的定義.
2.2 性質(zhì)
教材中關(guān)于位似的性質(zhì)大都只涉及這么一條：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.
有的教材(如魯教版)還試圖讓學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)線段平行(或共線).
3 教學(xué)中的位似
3.1 位似的教學(xué)定位：放縮變換
義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)位似的要求是“了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小｡”可見，課標(biāo)讓學(xué)生了解位似，定位于讓學(xué)生知道位似是一種變換，一種可以將圖形放大或縮小的變換.
圖4和大綱教材不同，課標(biāo)教材強(qiáng)化了圖形變換的意識(shí)，在學(xué)習(xí)位似之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移、旋轉(zhuǎn)(含中心對(duì)稱)、軸對(duì)稱三種變換，它們都是合同變換，也就是能夠保持圖形上任意兩點(diǎn)間的距離不變，變換后的兩個(gè)圖形是全等形.在學(xué)習(xí)了相似形的知識(shí)后，還有必要讓學(xué)生了解：初等幾何變換還有相似變換，其中最簡單的是位似變換，它是可以把圖形放大縮小的一種變換.這種變換在生活中的例子除了在放映機(jī)、照相機(jī)等成像過程中常見外，課本還安排了諸如“對(duì)數(shù)視力表”等素材讓學(xué)生去主動(dòng)探究(北師大版、魯教版等)，有時(shí)，還可以用位似變換來設(shè)計(jì)藝術(shù)字(人教版)，如圖4.
3.2 關(guān)于位似的判定
(1)學(xué)習(xí)了位似的概念，似乎就繞不過對(duì)位似圖形的識(shí)別判定問題.由于課標(biāo)并未涉及位似的判定，教材中也未出現(xiàn)位似的判定定理，因而，定義就成了判定位似圖形的唯一依據(jù).
比如，魯教版教材中設(shè)計(jì)了一個(gè)例題和一組練習(xí)，其中的例題是判斷常見的基本圖形――“A型圖”中的兩個(gè)三角形是否是位似圖形.例題的解答中首先推導(dǎo)出ADE∽ABC，然后進(jìn)行了如下說明：
如圖5，又因?yàn)辄c(diǎn)A是ADE和ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線BD和CE相交于點(diǎn)A，所以ADE和ABC是位似圖形.
圖5這個(gè)結(jié)論無疑是正確的，然而，上述解答卻把教材上定義中的條件“每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線交于一點(diǎn)”中的關(guān)鍵詞“每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)”簡化成了“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)”，這種不嚴(yán)密的推理，很容易使人產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：“如果兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)多邊形就是位似的.”
本刊2008年第8期李孟堂老師的《一道位似圖形題引發(fā)的思考》一文中，李老師命制了如下題目：
如圖6，在梯形ABCD中，ABBC，∠ADC的平分線和∠BCD的平分線交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好落在AB上，則圖中和AED是位似圖形的是，位似中心是.
圖6 圖7李老師認(rèn)為“BCE與AED是位似圖形及中心點(diǎn)是E是確信無疑的”，但一些教師卻根據(jù)“任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比都等于位似比”得出了矛盾.其實(shí)，李老師“確信無疑”的是一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論，“任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比都等于位似比”本該是定義中的條件. 即使按魯教版的定義來分析，AED的三個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)并不能代表AED和BCE的“每對(duì)”對(duì)應(yīng)點(diǎn).事實(shí)上，相似三角形的每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)遠(yuǎn)不只是它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，還包括了對(duì)應(yīng)邊上的無數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn).如圖7，我們只要取AE的中點(diǎn)M和BC的中點(diǎn)N這樣一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的連線并不經(jīng)過E.
要避免此類錯(cuò)誤，關(guān)鍵是要對(duì)概念真正理解.作為一個(gè)教師或教研員，對(duì)概念的理解如果只局限于課本上的文本，則顯得有些高度不夠.這似乎又驗(yàn)證了那句老話：用教材教而不是教教材.
(2)由于位似圖形具有對(duì)應(yīng)線段平行、對(duì)應(yīng)線段之比等于位似比和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線過位似中心等性質(zhì)，因此，恰當(dāng)使用位似來解題往往會(huì)使解法顯得簡捷明了.但是，要使用位似的性質(zhì)都需要先進(jìn)行位似的判定，而初中教材上給出的定義大都難以直接用來證明位似，所以，筆者認(rèn)為用位似解復(fù)雜的證明和計(jì)算題，應(yīng)屬于競賽性質(zhì)的較高要求，不宜作為對(duì)一般學(xué)生的普遍要求，也不宜作為中考或模擬考試題使用.
參考文獻(xiàn)
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1 內(nèi)容安排
教材把變換的內(nèi)容分為三章逐步展開，第七章介紹平面上的剛體運(yùn)動(dòng)、反射、旋轉(zhuǎn)、變換與向量、滑移反射及合成、雕帶圖案，共6節(jié).第八章介紹比率與比例、比例的應(yīng)用、相似多邊形、相似三角形，相似三角形的證明、比例與相似三角形、放大，共7節(jié).有關(guān)矩陣變換內(nèi)容則放在代數(shù)部分.每一章的結(jié)構(gòu)分為問題情境、學(xué)習(xí)指導(dǎo)（復(fù)習(xí)，準(zhǔn)備，學(xué)習(xí)策略）、本章內(nèi)容、本章小結(jié)、本章回顧與評(píng)價(jià)（本章水平測試）、設(shè)計(jì)題.每一小節(jié)又分為活動(dòng)（拓展概念，信息技術(shù)應(yīng)用）、各節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容（圍繞你應(yīng)學(xué)到什么，你為什么學(xué)展開）、練習(xí)指導(dǎo).這種獨(dú)立成章的編排使內(nèi)容相對(duì)完整，力圖反映美國課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.同時(shí)，教材并不追求知識(shí)體系的嚴(yán)密性，而是讓學(xué)生通過案例認(rèn)識(shí)變換，理解變換的性質(zhì)并能運(yùn)用變換解決問題.
2 主要特點(diǎn)
2.1 密切聯(lián)系生活，注重變換應(yīng)用
教材從多角度、多層次編排了變換應(yīng)用的內(nèi)容，特別是在日常生活中的應(yīng)用.
首先，教材抓住日常生活中的建筑問題作為全章變換內(nèi)容的引入，并圍繞應(yīng)用展開（例1）.這種引入方式不僅有利于創(chuàng)設(shè)主動(dòng)的問題情境，而且有利于學(xué)生體會(huì)到變換就在你身邊，或者說你身邊的問題需要用變換知識(shí)來解決，從而吸引學(xué)生到學(xué)習(xí)中來.同時(shí)，這種結(jié)合操作引入變換概念，讓學(xué)生的思維從靜態(tài)的圖形轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)的變化，教材的這種做法無疑能讓學(xué)生體會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)或思想觀察和分析周圍的事物，并逐步內(nèi)化為學(xué)生認(rèn)識(shí)事物和解決問題的方法.
例1 建筑師怎樣運(yùn)用變換？
建筑師常常在建筑設(shè)計(jì)中添加一些裝飾圖案，這些裝飾給建筑增添了色彩，也體現(xiàn)了建筑的特征.依靠圖形以及圖形的變換可以進(jìn)行一些建筑設(shè)計(jì)，例如，可以經(jīng)過圖形的平移、反射、以及旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出新的圖案.
思考與討論：
①圖形A是經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)得到圖形B的？如圖：.
②討論一下設(shè)計(jì)中存在的其他變換.
學(xué)習(xí)更多：你將在練習(xí)35—37（p.435）中了解更多建筑中的圖形變換.
應(yīng)用鏈接：登錄 McDougal ，可查閱更多有關(guān)建筑中的圖形變換信息.應(yīng)用鏈接拓展了變換內(nèi)容極其應(yīng)用的空間，更進(jìn)一步拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.
其次，教材中有關(guān)變換應(yīng)用的例子和習(xí)題比比皆是，其內(nèi)容涉及建筑、航海、服裝等多方面，充分顯示了變換應(yīng)用的廣泛性.教材甚至單獨(dú)編排了雕帶圖案一節(jié)，進(jìn)一步加強(qiáng)了變換在日常生活中的應(yīng)用（例2）.這種利用變換設(shè)計(jì)圖案是十分有趣的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生自己動(dòng)手設(shè)計(jì)和創(chuàng)造優(yōu)美的圖案，不僅能熟悉各種變換的特征，而且可以更好地發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.
例2 用如下圖的瓷磚裝飾浴室墻壁 （如圖：），瓷磚邊緣的連接是典型的TR型（平移和旋轉(zhuǎn)180°），畫出符合條件的圖案.
解 首先把給定的瓷磚旋轉(zhuǎn)180°，然后把這塊瓷磚和原來的瓷磚輪流對(duì)稱設(shè)計(jì)出一種式樣，重復(fù)幾次制作出裝飾橫條.如圖：.
此外，教材在這一部分辟有不少小欄目，其中有些欄目是關(guān)于應(yīng)用的.如“聚焦職業(yè)”這一欄目，就介紹了商標(biāo)設(shè)計(jì)、建筑中應(yīng)用變換的事例.
2.2 滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，注重幾何直觀
教材在這一問題上作了一些有益探索，比較突出地表現(xiàn)在如下方面：
（1）具體的變換大多以直觀給以表示.如，建筑裝飾圖與平移、車輪與旋轉(zhuǎn)等等.這種結(jié)合實(shí)物圖來介紹具體變換比較直觀，學(xué)生容易理解；反過來，學(xué)生對(duì)相應(yīng)的幾何圖形性質(zhì)認(rèn)識(shí)也比較深刻.
（2）注意坐標(biāo)法的應(yīng)用.坐標(biāo)把幾何圖形和數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合.教材包含坐標(biāo)與圖形的位置，坐標(biāo)與圖形的運(yùn)動(dòng)，用坐標(biāo)的方法刻畫在圖形的變換中所熟知的軸對(duì)稱，圖形的平移，圖形的位似等等.如，學(xué)習(xí)滑行反射及合成時(shí)，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，畫出一個(gè)圖形經(jīng)過x軸，再經(jīng)過y軸反射的圖形；畫出一個(gè)圖形關(guān)于y軸反射后，又繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的圖形，等等.
（3）注重向量法的應(yīng)用.向量作為溝通數(shù)與形的重要工具，在變換中有著廣泛的應(yīng)用（如例3）.
例3 向量在平移中的應(yīng)用
GH的分量形式是〈4，2〉，把頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，-1）、B（1，1）、C（3，5）的三角形沿GH進(jìn)行平移.
2.3 呈現(xiàn)方式多樣化
注重圖文并茂是美國教材的一個(gè)傳統(tǒng)，教材中變換內(nèi)容的呈現(xiàn)并不是直接的羅列，而是大多以活動(dòng)的方式呈現(xiàn).平面的剛體運(yùn)動(dòng)圍繞平面運(yùn)動(dòng)活動(dòng)展開，反射圍繞平面的反射活動(dòng)展開，旋轉(zhuǎn)圍繞研究雙重反射活動(dòng)展開（例4），滑移反射及合成圍繞變換的合成活動(dòng)展開.在上述活動(dòng)中，教材并沒有把變換概念的定義作為重點(diǎn)，而是先讓學(xué)生獲取幾何圖形的感性認(rèn)識(shí)，然后讓學(xué)生通過實(shí)際操作探索變換的性質(zhì)，這有利于發(fā)展學(xué)生對(duì)具體變換內(nèi)容的深層次理解.圖形變換部分的設(shè)計(jì)題（研究鑲嵌）具有較強(qiáng)的探索性和探索空間.而且，解決它的路徑和方法多樣，有利于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面.
例4 研究雙重反射（幾何軟件應(yīng)用活動(dòng)課）
（你可以應(yīng)用幾何軟件觀察一個(gè)三角形在平面上反射兩次的變換類型.學(xué)習(xí)幫助：登錄 McDougal ，可查閱幾款軟件的使用說明）
作圖：① 如右圖，畫一個(gè)不等邊ABC.
②畫兩條相交直線 k 、m，確定它們不與ABC三邊相交.
③ 直線k 與直線m的交點(diǎn)為P.
研究：（1） ABC關(guān)于直線k反射得到A′B′C′， A′B′C′再關(guān)于直線m反射得到A″B″C″.那么，ABC和A″B″C″有什么關(guān)系呢？ 如下圖：
思考：（2）一個(gè)圖形經(jīng)過兩條相交直線兩次反射后，還可以怎樣考慮它的變換呢？
進(jìn)一步研究：⑶畫一條線段連結(jié)A和P、P和A″，測量∠APA″.這個(gè)角作為旋轉(zhuǎn)角的樣本.⑷測量直線k和直線m所成角的大小，并與∠APA″進(jìn)行比較.
（5）找出∠BPB″和∠CPC″，你得到了什么結(jié)論？
進(jìn)一步思考：（6）圖形關(guān)于兩條相交直線的反射變換中，兩條直線形成的角和旋轉(zhuǎn)角有什么關(guān)系？
拓展：畫不同的三角形重復(fù)（1）—（3）步驟，檢驗(yàn)步驟（6）中的猜測是否正確.
2.4 追求信息技術(shù)與變換內(nèi)容的有機(jī)整合
教材力圖反映信息技術(shù)與變換內(nèi)容的相互促進(jìn)與緊密結(jié)合，這部分內(nèi)容許多地方都涉及信息技術(shù)的運(yùn)用.這不僅給學(xué)生提供了豐富的學(xué)習(xí)環(huán)境和資源，而且有助于他們把精力集中在問題的思考和探究上，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，它主要包括以下兩方面：
⑴網(wǎng)絡(luò)鏈接.它是一種基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.這對(duì)于學(xué)生今后的發(fā)展和適應(yīng)學(xué)習(xí)化社會(huì)起著積極作用，并進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和空間.概括起來，教材中的網(wǎng)絡(luò)鏈接主要包括以下4種方式：應(yīng)用鏈接、學(xué)習(xí)幫助、職業(yè)鏈接和超越挑戰(zhàn)，以上有關(guān)信息都可在公眾網(wǎng)站（ McDougal ）進(jìn)行瀏覽、下載等.
⑵動(dòng)態(tài)幾何軟件（或幾何畫板）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用.比如，例4中用動(dòng)態(tài)幾何軟件畫的三角形.這既使圖形表示精確，而且也使它的動(dòng)態(tài)效果能加深學(xué)生對(duì)變換的理解和掌握.
3 啟示
從上述特點(diǎn)反觀我國的高中數(shù)學(xué)教材建設(shè)，美國高中教材中圖形變換的上述幾個(gè)特點(diǎn)是值得我們參考的.
（1）多角度編排圖形變換的內(nèi)容，明確圖形變換在課程中的地位，明確圖形變換不僅可以用于圖形性質(zhì)的探索，還可以在解題實(shí)踐中發(fā)揮作用.雖然我國高中數(shù)學(xué)教材在除立體幾何與平面解析幾何之外，從函數(shù)的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫等等都體現(xiàn)了變換的內(nèi)容與思想，甚至設(shè)立了“對(duì)稱與群、矩陣與變換”， 介紹群與矩陣的基本知識(shí)和思想. 但我國高中數(shù)學(xué)教材在例題、練習(xí)題中極少要求學(xué)生用變換的語言解答問題，還是要求學(xué)生能用教材中的定理、推論或性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的推理，以變換為依據(jù)的推理是不嚴(yán)格的，這樣的做法可能會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為變換思想僅僅是用來推導(dǎo)書本上的結(jié)論.因此，還應(yīng)考慮多角度配置一定數(shù)量的變換類問題，使變換的思想內(nèi)化為一種重要的思考問題的方法.
（2）信息技術(shù)與圖形變換的有機(jī)整合.利用信息技術(shù)工具，我們可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動(dòng)起來.許多計(jì)算機(jī)軟件還有測量的功能，這有利于我們?cè)趫D形的運(yùn)動(dòng)和變化過程中去發(fā)現(xiàn)其中不變的位置和性質(zhì).因此，我們不僅應(yīng)重視信息技術(shù)與圖形變換的有機(jī)整合，而且要讓學(xué)生利用信息技術(shù)進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.
（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)的選擇.活動(dòng)方式呈現(xiàn)變換內(nèi)容，具有直觀、具體和有趣等特點(diǎn).學(xué)生經(jīng)歷其中，通過思考、探索和交流等活動(dòng)，能形成良好的思維習(xí)慣，增進(jìn)應(yīng)用意識(shí)，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.因此，我國高中數(shù)學(xué)教材中活動(dòng)的恰當(dāng)選擇就顯得尤為重要.我們以為，它至少應(yīng)反映這樣兩方面：一是突出圖形變換的本質(zhì)和思想；二是利于學(xué)生觀測、探索、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理和交流等.
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關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；圖形變換；教學(xué)研究
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）01-0204-02
隨著我國素質(zhì)教育改革的不斷深入，我國越來越重視初中階段的義務(wù)教學(xué)，各中小學(xué)校紛紛響應(yīng)素質(zhì)教育改革的號(hào)召，一步一步地進(jìn)行探索和創(chuàng)新，以適應(yīng)新時(shí)期下的教育事業(yè)發(fā)展要求，滿足社會(huì)對(duì)人才的需求，突出素質(zhì)教育改革的重要作用初中數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育改革中的重要組成部分，必須予以高度重視，不容忽視在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形變換是數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)內(nèi)容，在幾十年的教學(xué)過程中，圖形變換這一內(nèi)容亙古不變，雖然不同版本教材中的圖形的變換這一內(nèi)容不盡相同，但是觀點(diǎn)卻保持一致，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的必學(xué)內(nèi)容為提高初中數(shù)學(xué)圖形變換這一課程的教學(xué)水平，必須突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，創(chuàng)新教學(xué)方式，以保障授課質(zhì)量，使學(xué)生們能參更好地理解和掌握?qǐng)D形變換的教學(xué)內(nèi)容。
1.圖形變換的相關(guān)概念
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，所渭圖形變換就是指許多點(diǎn)的集合，是某一個(gè)幾何圖形關(guān)于某一點(diǎn)的變換，這一點(diǎn)不僅存在于原來的圖形中，在變換后的圖形中也能找到相對(duì)應(yīng)的位置圖形變換可以分為兩種形式，一種是全等變換，一種則是相似變換所謂全等變換是指某一幾何圖形在變換之后所得到的新圖形與原圖形，無論是在大小上面還是形伏上面都未有所改變，而且在新的圖形中尋找任意的兩個(gè)點(diǎn)，其之間的距離與原圖形中對(duì)匣的兩點(diǎn)距離完全相等；相似變換則是指某一圖形在經(jīng)過變換后所得到的新圖形，雖然與原圖形基本相同，但是大小卻會(huì)有所變化，因而在原圖形和新圖形中分別選取兩個(gè)相對(duì)的點(diǎn)之間的距離也并不相等
圖形變換有三種形式，一種是平移變換，一種是旋轉(zhuǎn)變換，另一種則是軸對(duì)稱變換平移變換和旋轉(zhuǎn)變換具有相似性，平移變換是在圖形中選擇任意一點(diǎn)，然后尋找其變換圖形中的相對(duì)應(yīng)一點(diǎn)，然后將其連接起來，并且保證長度相等；旋轉(zhuǎn)變換則是指選擇圖形中的固定一點(diǎn)，以此肖、為基礎(chǔ)進(jìn)行全等變換軸對(duì)稱圖形則是指原圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都能以某一直線為對(duì)稱線來尋找新圖形中的每一個(gè)相對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
2.初中教學(xué)中圖形變換的教學(xué)建議
圖形變換能夠?qū)⒊踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的很多復(fù)雜的幾何問題進(jìn)行簡單化，學(xué)生在變換的過程中能夠找到最佳的解決問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖形變化的思想來看待生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，將理論聯(lián)系實(shí)際。對(duì)此，筆者關(guān)于初中教學(xué)中圖形變換的教學(xué)建議由以下幾方面：
2.1 聯(lián)系實(shí)際生活中圖形變換的實(shí)例。隨著新課改的不斷深入和發(fā)展，教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系的更加緊密，老師也應(yīng)該在教學(xué)活動(dòng)中為學(xué)生提供生活中的一些素材，激發(fā)學(xué)生在觀察生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)于初中教學(xué)中的圖形變換，在實(shí)際生活中能找到很多的實(shí)例，選擇典型的圖形變換案例，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)知圖形變換的理論知識(shí)，理解變換的具體過程。具體舉例：比如，可以讓學(xué)生觀察跳健美操的運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作，看看人的旋轉(zhuǎn)和變換，并說出是屬于哪一種圖形變換模式；又如，讓學(xué)生動(dòng)手操作，分別以鉛筆的鼻尖、中間的點(diǎn)和筆頭的點(diǎn)為固定點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來觀察圖形發(fā)生的變化有什么不同和相似的地方。
2.2 通過課件來向?qū)W生呈現(xiàn)課堂教學(xué)內(nèi)容和圖形的變換。我們可以應(yīng)用多媒體技術(shù)來進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)于學(xué)生而言，圖形是一種相對(duì)比較具象的符號(hào)，可以引起學(xué)生的興趣。因此，我們可以將新課程的內(nèi)容與之前學(xué)過的相關(guān)圖形知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并展示在課件上。例如，可以向?qū)W生呈現(xiàn)一個(gè)三角形，然后慢慢地從左向右移動(dòng)出一個(gè)完全一樣的三角形，并在這兩個(gè)三角形的中間畫一條虛線，最后將其中的一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)360°之后與之前的三角形重合。這個(gè)簡單的操作可以非常形象地向?qū)W生呈現(xiàn)了圖形變換的知識(shí)與內(nèi)容，讓學(xué)生更加形象地看到了圖形的變換過程，進(jìn)而對(duì)知識(shí)產(chǎn)生更深層次的理解。
2.3 教師可讓學(xué)生動(dòng)手繪制圖形變換的過程。在教師講解圖形變換課程的時(shí)候，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生繪制圖形變換的過程，了解圖形變換的特點(diǎn)，在繪制圖形變換過程的時(shí)候鞏固和梳理所學(xué)到知識(shí)，以發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，通過所繪制的圖形來尋找對(duì)稱軸的位置例如教師在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生在方格中先繪制一個(gè)三角形，然后再將三角形平移，重新繪制出一個(gè)新的三角形，然后可以讓學(xué)生數(shù)相隔的方格教量，以便掌握三角形平移的單位在初中數(shù)學(xué)圖形變換的過程中，既要幫助學(xué)生了解圖形變換的含義和慨念，也要注重學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維推理能力的培養(yǎng)。
2.4 引導(dǎo)學(xué)生在紙上畫出圖形變換的過程。在方格紙上畫出圖形變換的過程是一個(gè)特殊的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)學(xué)生對(duì)圖形變換的認(rèn)知起到了非常重要的作用，學(xué)生在繪制圖形變換的過程中能夠重新再梳理一遍圖形變換，對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)也會(huì)產(chǎn)生深入的思考。在實(shí)際教學(xué)過程中可以讓學(xué)生先觀察某一對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，以及原圖與新圖中各個(gè)點(diǎn)和對(duì)稱軸的位置關(guān)系，然后再讓學(xué)生自己動(dòng)手在方格紙上畫出圖形變換的過程。
3.結(jié)束語
綜上所述，圖形變換教學(xué)法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種十分重要的教學(xué)方法，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推進(jìn)具有重要的意義，筆者在對(duì)圖形變換概念論述的基礎(chǔ)上提出了實(shí)際的應(yīng)用方式，希望本文的論述對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來一定的啟示。
參考文獻(xiàn)：
[1] 王愛琴.淺析如何實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生活化[J].學(xué)周刊，2015，10：91.
梳理圖形變換問題時(shí)，應(yīng)盡量做到題型全面、方法系統(tǒng)化，尤其是：一要借助數(shù)形結(jié)合的方法理解題意；二要掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，能熟練用于解題；三要注意從運(yùn)動(dòng)過程中的特殊情況入手，找尋解題思路和解題方法，同時(shí)注意特殊情形與一般情形相結(jié)合.下面例談幾點(diǎn)體會(huì)：
一、關(guān)注圖形變換中的基本概念與基本性質(zhì)
圖形變換的基本性質(zhì)各具特色，通過設(shè)置單一的圖形變換，關(guān)注圖形變換中核心元素的變化規(guī)律，突顯基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用.
例如，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，將 ABP按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到了G點(diǎn).
（1）說出此時(shí) APB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)了多少度？
（2）連結(jié)PG，求PG的長；
（3）猜想 PGC的形狀，并說明理由；
（4）試求 APB的度數(shù).
解：（1） APB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)于90 .
（2）連結(jié)PG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BG=BP=2，且 PBG= ABC=90 ，由勾股定理得PG= .
（3） PGC為直角三角形.理由：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：GC=AP=1，由（2）可知：PG= ，又由已知得PC=3，故 ，所以 PGC為直角三角形，且 PGC=90 .
（4）由（2）可知： PBG為等腰直角三角形，所以 PGB=45 ，由（3）知： PGC=90 ，所以 BGC= BGP+ PGC=45 +90 =135 ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： APB= CGB=135 .
本題借助于幾何直觀分別凸顯了對(duì)圖形變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系等變換性質(zhì)中的核心元素的識(shí)別，體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)圖形的方向、角度，結(jié)合利用三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等，涉及到幾何的基礎(chǔ)知識(shí).
變式題：如圖，點(diǎn)P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10，若將 PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到 P′AB.求：
（1）點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；
（2）求 APB的度數(shù).
解析：（1）連PP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′A=PA=6， P′AB= PAC，
P′AP= BAC=60 ， P′AP為等邊三角形，PP′=AP′=AP=6.
（2）在 P′BP中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′B=PC=10，又PP′=6，PB=8，
P′P2+PB2=62+82=100=P′B2， P′PB為直角三角形，且 P′PB=90 ，
APB= APP′+ BPP′=60 +90 =150 .
二、突出圖形變換在構(gòu)造探索題中的作用
一些題目以圖形變換為問題，使幾何圖形由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，豐富了圖形間的位置關(guān)系
和數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過探索論證各種幾何關(guān)系，通過這類問題解答可以提高學(xué)生的綜合能力.
例如，已知 ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將 ABC沿CA方向平移CA長度得到 EFA.
（1）求 ABC掃過的圖形的面積S；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若 BEC=15 ，求AC的長.
解：（1）連結(jié)BF，易得BF=AE，BA=FE，所以四邊形BFEA為平行四邊形，且SABFE=2S EFA=2S ABC，故S= S ABC+SABFE=3+6=9.
（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，又AE=AC=AB，所以ABFE為菱形，所以AF與BE相互垂直.
（3）由 BEC=15 ，AE=AB得 BAC=2 BEC=30 ，過B點(diǎn)作BD AC于D點(diǎn)，則BD= AB= AC，又S ABC= AC·BD= AC· AC= AC2=3，所以AC2=12，所以AC= （負(fù)值舍去）.
本題利用圖形的平移探索基本數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了對(duì)觀察、猜測、驗(yàn)證、推理過程，由平移前后線段掃過的面積的形狀，利用特殊四邊形的性質(zhì)判斷直線的位置關(guān)系，利用三角形的面積公式求線段，在一定程度上可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
變式題：如圖1在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn).
（1）畫出 AOB平移后的三角形DEC，其平移方向?yàn)樯渚€AD的方向，平移的距離為線段AD的長；
（2）試判斷上題中四邊形CODE的形狀，并說明理由；
（3）當(dāng)四邊形ABCD是什么四邊形時(shí)，（2）中的四邊形CODE為正方形？
三、重視圖形變換在構(gòu)造綜合問題中的應(yīng)用
通過數(shù)學(xué)綜合題，設(shè)置探索圖形變換中的數(shù)量規(guī)律問題，或者研究圖形變換的全過
程來實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng).
例如，如圖正方形ABCD的邊長為5cm，在Rt EFG中， ，F(xiàn)G=4cm，EG=3cm，且點(diǎn)B、F、C、G都在直線 上， EFG由點(diǎn)F與點(diǎn)C重合的位置開始沿直線 以1cm/s的速度向左做勻速直線運(yùn)動(dòng).
（1）求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD上和運(yùn)動(dòng)到AB上的時(shí)間；
（2）設(shè) 秒后， EFG與正方形ABCD重疊部分的面積為 cm2，求 與 的函數(shù)關(guān)系式（其中 ）
解（1）因?yàn)镕G=4cm，BC=5cm，所以點(diǎn)E到CD上的時(shí)間為 （秒），點(diǎn)E到AB上的時(shí)間為： （秒）
（2）設(shè) 秒后，EF交CD于H點(diǎn)，則FC= cm，易知 FCH∽ FGE，所以 ， ， ， （ ）.
本單元教材在編排上突出的變化是，加強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，使學(xué)生得到較多的有關(guān)空間觀念的訓(xùn)練機(jī)會(huì)。首先，每種圖形面積計(jì)算方法的教學(xué)，均采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、自主探索得到。例如，平行四邊形的面積，是先借助數(shù)方格的方法得到；再引導(dǎo)學(xué)生通過剪、拼圖形，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算方法。其次，按照知識(shí)學(xué)習(xí)的先后順序，逐步提高探索的難度和要求。三角形的面積計(jì)算就直接讓學(xué)生試著將三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的圖形推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。到梯形面積的計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生綜合運(yùn)用學(xué)過的方法自己推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。第三，研究每一種圖形面積的計(jì)算方法時(shí)，教材均沒有給出推導(dǎo)的過程和計(jì)算公式，以便于學(xué)生從多種途徑探索、自己得出結(jié)論，從而給教師和學(xué)生都留有較大的創(chuàng)造空間。基于以上的編排思路，筆者對(duì)這個(gè)單元的教學(xué)作了深層次的思考。
一、注重前有孕伏，感受化歸思想
“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要思想方法，本單元面積公式的推導(dǎo)都采用了轉(zhuǎn)化的方法。教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生的探究活動(dòng)為主要形式，教師加強(qiáng)指導(dǎo)和引導(dǎo)。通過操作，引導(dǎo)學(xué)生去探究所研究的圖形與轉(zhuǎn)化后的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計(jì)算方法，滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法。
因此，在本單元的教學(xué)中，筆者補(bǔ)充了一節(jié)起始課：比較圖形的大小，讓學(xué)生借助方格紙，能直接判斷圖形面積的大小（如圖1）。同時(shí)通過交流，知道比較圖形面積大小的基本方法：割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)，體驗(yàn)圖形形狀的變化與面積大小變化的關(guān)系。本單元以“知識(shí)”與“思想”這一明暗兩條線索牽動(dòng)學(xué)生的思維。通過補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生自覺地嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí)，化歸思想統(tǒng)領(lǐng)了整個(gè)單元。
二、實(shí)踐幾何變換，發(fā)展空間觀念
等積變換是幾何學(xué)習(xí)中重要的思想方法，也是數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明的一種重要手段。本單元從平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，從三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形以及計(jì)算組合圖形的面積中都可以由等積變換中獲取成功。
（一）在探究中實(shí)行變換
在本單元的新課探究中，這種等積變換的思想應(yīng)成為探究過程的一條重要策略。
在三角形、梯形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中，除了倍積變換的思路，還可以引導(dǎo)學(xué)生采取割補(bǔ)的方法，深度探索等積變換獲得面積的計(jì)算公式方法。如在梯形面積計(jì)算教學(xué)中，運(yùn)用等積變換的思想來推導(dǎo)公式。
方法1：將梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形。
方法2：將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形。
方法3：還可以分割中位線把它轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者長方形。
無論是倍積變換還是等積變換，它們的本質(zhì)是一樣的，都運(yùn)用了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要的方法――轉(zhuǎn)化。對(duì)于平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)一般都采用轉(zhuǎn)化的方法，教師通過學(xué)生的操作活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生把所學(xué)的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形，落實(shí)轉(zhuǎn)化的思想方法；然后引導(dǎo)學(xué)生思考探究所學(xué)圖形與轉(zhuǎn)化成的圖形之間有什么聯(lián)系，從而找到面積的計(jì)算方法。而在實(shí)際操作中，似乎更多的學(xué)生喜歡用倍積變換的思想來推導(dǎo)計(jì)算公式，這可能與教師提供的探究材料和探究建議有關(guān)，因?yàn)榻處熗延幸庾R(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)圖形來拼組，如此看來，學(xué)生就“被探究了”，倍積變換確實(shí)是得到所求圖形面積計(jì)算公式比較簡單的方法，但如何進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的探究意識(shí)和能力需要在等積變換中實(shí)現(xiàn)。因此在教學(xué)中不妨這樣設(shè)計(jì)：
比如，在“三角形面積計(jì)算”教學(xué)中，出示問題：一個(gè)三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面積是多少？
將它放在方格紙中，數(shù)一數(shù)，它的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？
有了方格紙為背景，學(xué)生就有探究思考的基礎(chǔ)，也有利于等積變換思想方法的實(shí)施，并為后面梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)打好基礎(chǔ)。
（二）在練習(xí)中實(shí)行變換
運(yùn)用幾何變換，除了要求在新課的探究中，不把學(xué)生的思維限制在一種固定或簡單的途徑或方法上，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的途徑和角度去思考和探索解決問題外，還需要在練習(xí)中注重圖形的變式，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。通過加強(qiáng)從形的層面積累經(jīng)驗(yàn)，凸現(xiàn)等積變形思想，加強(qiáng)空間變換的應(yīng)用，積極創(chuàng)造本單元的新型習(xí)題，提供應(yīng)用機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念。
如在“三角形面積計(jì)算”的練習(xí)課中，筆者設(shè)計(jì)了這樣一道題：
一個(gè)長方形長4厘米，寬3厘米， A 為長方形內(nèi)任意一點(diǎn)，求陰影部分面積 。
對(duì)于幾何圖形的變換需要想象，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的能力。為此，對(duì)于此題筆者根據(jù)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)設(shè)計(jì)了三類題型，先讓學(xué)生觀察變化中的三角形，通過移動(dòng)A點(diǎn)，形成了不同的陰影部分，通過觀察這些三角形，發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點(diǎn)，溝通了它們之間的聯(lián)系。
進(jìn)一步，教師出示圖3（單位：米），計(jì)算陰影部分面積。由于求兩個(gè)陰影三角形的面積和缺少條件，學(xué)生或用代數(shù)的方法，把下底的長度用（a+b）來表示（如圖5），然后進(jìn)行推導(dǎo)。或利用等積變形的方法，轉(zhuǎn)化成如圖6的形式后，再計(jì)算陰影部分面積。
三、溝通知識(shí)聯(lián)系，提升思維品質(zhì)
知識(shí)的有效達(dá)成建構(gòu)，是學(xué)生掌握與應(yīng)用知識(shí)的重要手段。良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于學(xué)生的及時(shí)提取并解決問題。為此，教師一方面要在教學(xué)中通過滲透聯(lián)系的觀點(diǎn)，凸現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效建構(gòu)；另一方面要把握知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高教學(xué)的有效性。
（一）溝通圖形面積的推導(dǎo)過程
本單元的圖形之間有著密切的聯(lián)系，在整理復(fù)習(xí)課中，通過讓學(xué)生回憶各個(gè)圖形面積的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生體會(huì)到圖形之間是可以互相轉(zhuǎn)化的，通過構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，讓學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)聯(lián)系網(wǎng)，可以幫助學(xué)生更好地掌握和理解各個(gè)圖形的面積計(jì)算方法。
（二）溝通各種圖形求積公式之間的聯(lián)系
長方形、梯形、三角形和平行四邊形的面積公式有著密切的聯(lián)系，筆者在教學(xué)中進(jìn)行了這樣的課件演示：梯形的上底慢慢縮短變成一個(gè)三角形；梯形的上底慢慢延長變成一個(gè)平行四邊形；梯形的上底延長與下底相等且兩腰互相垂直變成一個(gè)長方形。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)梯形與三角形、平行四邊形、長方形之間也存在著密切的聯(lián)系，并指出它們的面積公式間也有著密切的聯(lián)系。例如通過梯形與各個(gè)圖形之間的聯(lián)系，我們發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、長方形的面積計(jì)算公式都可以聯(lián)系梯形的面積計(jì)算公式。
能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角．
例1如圖1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”證AOB≌DOC，還需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此題的考查要點(diǎn)是“SAS”定理.用“SAS”證全等要有三個(gè)獨(dú)立條件，已知OA = OD，顯然還差兩個(gè)，而AC與BD的相交可得∠ AOB與∠ DOC是一對(duì)對(duì)頂角，第三個(gè)條件應(yīng)該圍繞夾∠AOB、∠DOC的兩邊來找，顯然OB與OC應(yīng)是另一組夾邊.選B.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是找出對(duì)頂角，然后利用“邊角邊”定理找到另一組對(duì)應(yīng)邊.
考點(diǎn)2全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
例2如圖2，ABD≌CDB，且AB、CD是對(duì)應(yīng)邊. 下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是（）.
A.ABD和CDB的面積相等
B.ABD和CDB的周長相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于兩個(gè)三角形完全重合，故面積、周長相等.因?yàn)锳B和CD是對(duì)應(yīng)邊，則AD與BC是對(duì)應(yīng)邊，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合題意.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是要知道兩個(gè)全等三角形中，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣就不會(huì)找錯(cuò)對(duì)應(yīng)角.
考點(diǎn)3全等三角形的判定
選擇哪種判定方法必須根據(jù)已知條件而定，詳細(xì)內(nèi)容見下表：
例3在ABC中，AD為BC邊上的中線，求證：AD＜ （AB + AC）.
解析：通過構(gòu)造輔助線，利用全等三角形將線段AD，AB，AC轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，由三角形“兩邊之和大于第三邊”即可證，證明過程如下：
延長AD至G，使DG = AD，連結(jié)BG.
在ADC和GDB中，
點(diǎn)評(píng)：將中線加倍是常用的作輔助線方法.
考點(diǎn)4 變換
只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換．全等變換包括以下三種：
①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換. 如圖4，把ABC沿直線BC移動(dòng)到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移變換.
②對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180O，這種變換叫做對(duì)稱變換.如圖5，將ABC翻折180O到ABD的位置，就是對(duì)稱變換．
③旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換. 如圖6，將ABC繞過A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180O到AED的位置，就是旋轉(zhuǎn)變換.
我們知道，無論是平移變換、對(duì)稱變換還是旋轉(zhuǎn)變換，變換前后的兩個(gè)圖形全等，具有全等的所有性質(zhì)．
例4如圖7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并觀察，如圖7，將三角板的45O角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長的線段是否始終是EF？
寫出觀察結(jié)果.
（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，試加以證明.
解析：（1）只須旋轉(zhuǎn)∠ECF再用刻度尺量一量或觀察，即可得到.
（2）要判斷EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一個(gè)三角形中，通常有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，解答此題用翻折的方法，得到與AE、BF相等的線段，并且它們和EF在同一個(gè)三角形中.
解答過程如下：
（1）觀察結(jié)果是：當(dāng)45O角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE、EF、FB中最長的線段始終是EF.
（2）AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：
如圖在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
ACE≌GCE，
∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∠A + ∠B = 90O，
∠CGE + ∠CGF = 90O，
∠EGF = 90O，EF為斜邊.
點(diǎn)評(píng)：探索、猜測是整個(gè)題目的重點(diǎn)、難點(diǎn)，從操作中獲取信息是探索問題過程中最重要的.
反思
1.考綱要求
理解全等形的有關(guān)概念和性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算；掌握全等三角形的判定方法，會(huì)運(yùn)用定理進(jìn)行簡單的推理或計(jì)算；能夠運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)幾何計(jì)算和邏輯推理能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí).
2.構(gòu)造全等三角形的方法
圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象是“空間與圖形”中的重要組成部分，該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。結(jié)合本校“自能學(xué)習(xí)”的理念，讓學(xué)生主動(dòng)、積極地獲取知識(shí)，在教學(xué)“圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象”時(shí)處理好以下幾點(diǎn)，就能在發(fā)展學(xué)生空間觀念的同時(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。
課前預(yù)習(xí)，形成初步表象
現(xiàn)代教育認(rèn)為：“課堂教學(xué)，不應(yīng)把學(xué)生當(dāng)作‘收音機(jī)’，只接收信息。而應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)寬松氛圍，提供‘舞臺(tái)’，讓學(xué)生親身去體會(huì)、去觀察、去發(fā)現(xiàn)、去探索、去交流。這才是學(xué)生獲取知識(shí)的真諦。”
人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“空間與圖形”的學(xué)習(xí)提供了大量現(xiàn)實(shí)有趣的素材，特別是圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱知識(shí)大多可以聯(lián)系實(shí)際生活，在教學(xué)前可以讓學(xué)生獨(dú)立預(yù)習(xí)，并根據(jù)自己的理解搜集生活中的“圖形與變換”現(xiàn)象。讓課堂教學(xué)與學(xué)生生活實(shí)際緊密聯(lián)系，能夠使學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，更好地理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)，體會(huì)到生活離不開數(shù)學(xué)。作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，不能忽視學(xué)生的自學(xué)能力，如在教學(xué)《對(duì)稱圖形》時(shí)孩子們收集了許多漂亮的圖片，有小動(dòng)物，有生活中的物品，有數(shù)字卡片，有幾何圖形等，真是琳瑯滿目。課前孩子們已經(jīng)在觀察、比較這些圖形的特點(diǎn)，隨著你一言、我一語的交流中，模糊地知道了什么是對(duì)稱，什么樣的圖形是對(duì)稱圖形。這樣，在新課的導(dǎo)入階段避免了“注入”之嫌，讓學(xué)生以輕輕松松、簡簡單單的狀態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)，甚至提高了學(xué)生的審美情趣。
動(dòng)手操作，準(zhǔn)確理解現(xiàn)象
在學(xué)習(xí)新課之前，學(xué)生通過預(yù)習(xí)已經(jīng)對(duì)軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)有了初步的認(rèn)識(shí)。加上教材是結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境進(jìn)行安排的，學(xué)生完全可以通過觀察、想象、分析和推理等過程，獨(dú)立探究出結(jié)論。因此，教師要切實(shí)組織好學(xué)生的課堂活動(dòng)，為學(xué)生創(chuàng)造進(jìn)行“自能學(xué)習(xí)”的時(shí)間和空間。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的、富有個(gè)性的過程。教師作為組織者和參與者，應(yīng)該讓學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行探索學(xué)習(xí)。讓每一個(gè)學(xué)生都參與看一看、折一折、畫一畫等操作活動(dòng)，不要讓教師的演示或少數(shù)學(xué)生的回答代替每一位學(xué)生親自動(dòng)手、親自體驗(yàn)和獨(dú)立思考。這樣學(xué)生的空間想象力和思維能力才能得以鍛煉，空間觀念才能得到發(fā)展。
同時(shí)，教師作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)者和指導(dǎo)者，要在學(xué)生充分進(jìn)行“自能學(xué)習(xí)”的同時(shí)，適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象，正確解決實(shí)際問題。如：學(xué)生在形成了軸對(duì)稱的表象后不一定能說出軸對(duì)稱和對(duì)稱軸的概念，這就需要教師點(diǎn)撥，不需要說出準(zhǔn)確概念，但必須用“折疊”“完全重合”等詞語總結(jié)出軸對(duì)稱現(xiàn)象。又如，在理解了平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象后，在方格紙上畫出軸對(duì)稱圖形的另一半或圖形平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形是難點(diǎn)，光靠學(xué)生的“自能學(xué)習(xí)”是不夠的。
教師應(yīng)該在學(xué)生充分進(jìn)行動(dòng)手操作、總結(jié)后，用更加精煉、準(zhǔn)確的語言加以點(diǎn)撥。要說清平移，要素有三個(gè)：①基本圖形――是什么圖形發(fā)生了平移;②方向：向什么方向發(fā)生了平移;③距離：平移了多遠(yuǎn)。旋轉(zhuǎn)的要素有四個(gè)：①基本圖形――是什么圖形發(fā)生了旋轉(zhuǎn);②旋轉(zhuǎn)中心――是繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的;③方向：向什么方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，是順時(shí)針還是逆時(shí)針;④角度：旋轉(zhuǎn)了多大的角度？軸對(duì)稱的要素要有二個(gè)：①基本圖形――是以什么圖形為基本圖形進(jìn)行變換？②對(duì)稱軸――以哪條線為對(duì)稱軸作變換？這樣，學(xué)生的“自能學(xué)習(xí)”加上教師的適時(shí)指導(dǎo)，能使學(xué)生準(zhǔn)確理解現(xiàn)象，并靈活運(yùn)用。
課后拓展，發(fā)展空間觀念
圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象作為學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的初步認(rèn)識(shí)，這從本質(zhì)上就反映出了課程的目標(biāo)價(jià)值取向：除了掌握?qǐng)D形變化的特征外，還應(yīng)發(fā)展空間觀念、發(fā)展幾何直觀、發(fā)展推理能力等。
教學(xué)通過具體的實(shí)例來展示，使學(xué)生知道一個(gè)簡單的圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱能形成一個(gè)較復(fù)雜的圖形，并能運(yùn)用圖形的變換在方格之上設(shè)計(jì)出美麗圖案。
在教學(xué)這一課時(shí)，教師注重結(jié)合學(xué)生的直觀察看，動(dòng)手操作，充分想象，從這三個(gè)層面引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)。
一、觀察
教材呈現(xiàn)了多個(gè)有簡單圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱形成復(fù)雜圖形的情景。教師教學(xué)時(shí)通過鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比對(duì)來分析圖形變換的過程，并多次讓學(xué)生嘗試用自己的語言進(jìn)行表述圖形變換過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的空間想象力，發(fā)展空間觀念。
例如在教學(xué)“平行四邊形面積”中，教師在演示把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形的同時(shí)，適時(shí)設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生聯(lián)系生活中的事例進(jìn)行思考:（1）平行四邊形的面積和長方形的面積有何關(guān)系？（2）平行四邊形的底、高與長方形的長、寬分別有什么關(guān)系？（3）怎樣求平行四邊形的面積？在教學(xué)中落實(shí)“以學(xué)生為本”的教學(xué)理念，在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上要充分考慮到學(xué)生的生活實(shí)際和思維能量。
學(xué)生在熟悉的貼近自己生活實(shí)際的學(xué)習(xí)內(nèi)容上，通過自主探索、積極思維，解決問題、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)并找到規(guī)律。過程設(shè)計(jì)中以學(xué)生為主，把握住學(xué)生的思維空間，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主人，在和同學(xué)共同探討交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)中理解和掌握了學(xué)習(xí)內(nèi)容。滿足了學(xué)生發(fā)展需要。
二、實(shí)際操作
在學(xué)生會(huì)觀察的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用課前準(zhǔn)備的三角形等圖形在方格紙上進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等操作練習(xí)并同桌之間互相交流，再請(qǐng)幾位學(xué)生展示自己圖形變化的過程，并能用自己的語言有條理的表述設(shè)計(jì)圖行變化的過程。在操作中對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求到位，是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。即“先想一想，做一做，在說一說”在學(xué)生動(dòng)手操作中，注重讓學(xué)生結(jié)合操作思考問題，并把操作、思考和語言表述有機(jī)的結(jié)合起來，能有效的提高教學(xué)質(zhì)量。
三、充滿想象力
教學(xué)安排注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察展開想象。比如想一個(gè)等邊三角形的平移時(shí)的方向和距離，旋轉(zhuǎn)時(shí)去想圍繞哪個(gè)點(diǎn)，順時(shí)針還是逆時(shí)針方向，旋轉(zhuǎn)多少度。教學(xué)中通過各種方式，盡可能使更多學(xué)生參與交流討論。想像圖形的變化，怎樣變，變得過程是怎么樣的，得到什么樣的結(jié)果。
教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、想象，經(jīng)歷一個(gè)簡單圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱變換復(fù)雜圖形的過程，能條理清晰地表達(dá)圖形的變化過程，強(qiáng)化了學(xué)生的空間觀念。鼓勵(lì)學(xué)生充分想象，能在方格紙上設(shè)計(jì)出美麗的圖案。感受圖形世界的神奇。
四、鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑
質(zhì)疑問難是探求知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題的開始。因此，從兒童的好奇、好問，求知欲望盛等特點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考問題，善于發(fā)現(xiàn)問題，鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出問題，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要措施。例如在教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時(shí)，有意識(shí)讓學(xué)生計(jì)算7÷3，58.6÷11，學(xué)生在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)總是除不盡，而且商的各位上的數(shù)字總是不斷重復(fù)出現(xiàn)，于是心里充滿了好奇疑問。這時(shí)教師適時(shí)地問學(xué)生，你發(fā)現(xiàn)了?什么鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出心中的疑問:“為什么這兩道題總是除不盡？”“為什么商當(dāng)中總有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字？”教師指出這樣的小數(shù)叫循環(huán)小數(shù)。接著讓學(xué)生以小組為單位探討疑問，給循環(huán)小數(shù)下定義。在學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦過程中，學(xué)生的思維在不知不覺中得到發(fā)展。
五、注重學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)
中考命題規(guī)則中的基礎(chǔ)性、全面性原則中表明了要對(duì)學(xué)生的空間觀念進(jìn)行考察。在中考中通常有這樣的一些題型：空間想象，圖形變換，分解圖形，坐標(biāo)表示。這些題型所要考察的就是學(xué)生的空間觀念。如果學(xué)生具有較強(qiáng)的空間觀念，那么對(duì)這些題型完全不用擔(dān)心。
“認(rèn)識(shí)圖形，掌握它們的特征及周長、面積與體積的計(jì)算規(guī)則，進(jìn)而運(yùn)用它們解決問題”，這些曾是“幾何初步知識(shí)”領(lǐng)域重要甚至唯一的教學(xué)目標(biāo)。如今當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于人的發(fā)展的價(jià)值再一次被重新認(rèn)識(shí)和界定時(shí)，我們是否可以做出這樣的判斷：僅僅掌握一定的幾何知識(shí)、形成相關(guān)的解題技能，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法滿足個(gè)體對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值期待。空間觀念的積累，可以逐步形成空間想象力，這將為目前和以后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。有了空間觀念，學(xué)生才能建立沒有大小的點(diǎn)、沒有寬窄的線、沒有厚薄的面這樣的幾何概念。
二、對(duì)發(fā)展學(xué)生空間觀念的思考
（一）圖形分解與組合是學(xué)生能發(fā)展空間觀念的基本保證
分解圖形通常是指學(xué)生能從較復(fù)雜的幾何圖形中分解出基本的圖形，并分析其中的基本元素及其關(guān)系。組合則是學(xué)生能夠利用基本圖形的特性，將若干簡單的圖形組合成為符合條件的圖形。
這個(gè)題是將三角形作為載體，，通過角的變化來對(duì)變化過程（從特殊情況到一般情況）的不變量進(jìn)行探求。不僅僅考察了學(xué)生的閱讀理解、圖形觀察能力、歸納和思維發(fā)散的能力，還重點(diǎn)的考察了學(xué)生的圖形分解能力（解決本題的關(guān)鍵是找出基本圖形角，利用角的軸對(duì)稱性解題），特別是對(duì)類比過程中的變化問題進(jìn)行了重點(diǎn)考查。
（二）發(fā)展學(xué)生是空間觀念，圖形的變換與操作是必要途徑
圖形的變換與操作，在《標(biāo)準(zhǔn)》中主要涉及軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)與位似。這里主要就對(duì)2005年北京海淀區(qū)一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析。
該題中考查了圖形對(duì)稱性，而且圖形不是進(jìn)行一次對(duì)折，而是進(jìn)行兩次或多次的對(duì)折，這就要求學(xué)生在折疊過程中對(duì)折后圖形的性質(zhì)和狀態(tài)有正確的認(rèn)識(shí)。此過程是學(xué)生獲得對(duì)折運(yùn)動(dòng)表象和信息加工的過程。如果學(xué)生沒有良好的空間觀念作基礎(chǔ)，那么在做這個(gè)題的時(shí)候必然存在著很大的困難。從這個(gè)案例中可以得到這樣的結(jié)論：對(duì)于軸對(duì)稱圖形與對(duì)折次數(shù)超過兩次的圖形題，學(xué)生必須學(xué)會(huì)圖形變化，并通過圖形變換的方法來發(fā)展空間觀念。
（三）具備良好的幾何直觀能力是學(xué)生空間觀念成熟的標(biāo)志
一、巧用變換（平移、旋轉(zhuǎn)）化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形
例1 如圖1，P內(nèi)含于O，O的弦AB切P于點(diǎn)C，且AB∥OP.若陰影部分的面積為9π，則弦AB的長為（ ）
解析：兩圓內(nèi)含，陰影部分的面積為9π，如果將P向左平移，與O構(gòu)造同心圓，此時(shí)陰影部分的圖形為環(huán)形（如圖2），環(huán)形的面積為πR2-πr2=π（R2-r2）=π（OB2-OC2）=9π，則此時(shí)SCOB已構(gòu)造成直角三角形，借助數(shù)形結(jié)合巧妙構(gòu)建勾股定理求解，即弦AB=2BC=
2
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)弦長計(jì)算問題，常過圓心作弦的弦心距，利用半徑、弦長的一半及弦心距三邊勾股關(guān)系求解.在計(jì)算有關(guān)不規(guī)則圖形面積時(shí)，通常是將這些圖形通過割補(bǔ)、剪拼等方法，將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，這種化歸可以有效解決許多問題，往往會(huì)使所求問題化難為易.
例2 如圖3分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長為a，陰影部分的面積是.
解析：連AC、BD如圖4，則繞AD中點(diǎn)將圖中②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到圖中③，將圖中①繞AB中點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到圖中④，則原圖中陰影部分的面積就和DBC的面積相等，即圖中陰影部分的面積=SDCB=12
S正方形ABCD=12a2.
點(diǎn)評(píng)：有關(guān)圖形面積的計(jì)算，常直接運(yùn)用圖形面積計(jì)算公式與間接計(jì)算（相關(guān)圖形面積的加減拼湊）.本題解題關(guān)鍵是把握陰影部分的面積與整體圖形（或相關(guān)圖形）面積之間的關(guān)系，通過相關(guān)圖形的割補(bǔ)或等積變形等，實(shí)現(xiàn)不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)化，變換在解題中主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是題設(shè)條件和結(jié)論關(guān)系不明顯或條件不易集中利用的情形下，通過變換操作起到鋪路架橋的作用，二是圖形錯(cuò)綜復(fù)雜，但圖形中的量與量之間關(guān)系多，這時(shí)也可看能否使用變換法，改變部分圖形的位置，使題目中隱藏的關(guān)系明朗起來，從而找到解題途徑與策略.
二、巧用旋轉(zhuǎn)化分散為集中
例3 如圖5，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P.
點(diǎn)評(píng)： 在處理一些幾何問題時(shí)，有時(shí)不能直接解答，如果我們能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用旋轉(zhuǎn)，使分散、不相關(guān)的幾何圖形重新組合，進(jìn)而醞釀與構(gòu)建特殊圖形之間的位置、大小或形狀，從而使問題得到突破與解決.像本例一類題不但要注意正方形的四邊相等，還需要注意夾在平行線段間的平行線段也相等，思考時(shí)要仔細(xì)分析，觀察圖中線段之間，角之間的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，為解決問題積累素材，創(chuàng)造條件.
三、巧用對(duì)稱構(gòu)全等
例4 問題背景 在ABC中，∠B=2∠C，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD滿足某種條件時(shí)，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系.例如，在圖6（1）中，當(dāng)AB=AD時(shí)，可證得AB=DC，現(xiàn)在繼續(xù)探索：
任務(wù)要求：（1）當(dāng)ADBC時(shí)，如圖6（2），求證：AB+BD=DC；
點(diǎn)評(píng)：遇到角平分線或者垂線段時(shí)，并且證明結(jié)論中的線段是角平分線或者垂線段一旁的三角形的一條邊時(shí)，常借助相關(guān)圖形（等腰三角形、角、線段、特殊四邊形等）對(duì)稱思想，在另一旁構(gòu)造此三角形的全等三角形，實(shí)現(xiàn)相關(guān)圖形的翻折，化分散條件為集中，化一般圖形為特殊圖形.
四、巧用對(duì)稱破解最短距離
例5 （1）觀察發(fā)現(xiàn)
如圖8（1），若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小.
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P
再如圖8（2），在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小.
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連結(jié)CE交AD于一點(diǎn)，則這
點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為
如圖8（4），在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.
解析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CEAB，在直角BCE中，∠BEC=90°，BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE=3.
（2）如圖9，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E正好在圓周上，連結(jié)OA、OB、OE，連結(jié)AE交CD于一點(diǎn)P，AP+BP最短，因?yàn)锳D的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，所以∠AEB=15°，因?yàn)锽關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，所以∠BOE=60°，所以O(shè)BE為等邊三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因?yàn)镺A=OE，所以O(shè)AE為等腰直角三角形，所以AE=22.
