時間：2023-05-30 09:26:18
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇二次函數，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高中數學里的函數在整個高中數學系統中占有重要的地位，進入高三復習以來，學生可以深刻感受到這一點，高考數學考點中，數列、立體幾何、解析幾何的很多題目都需要利用函數的觀點來解決。二次函數是函數中的一種基本形式，我們來了解它在高中階段的應用。
在初中階段，學生已經接觸了二次函數，也作了較詳細的學習、研究，由于初中學生理解能力較弱，知識系統的不完善，關于二次函數的內容的學習比較機械的，僅僅掌握了二次函數的圖像及二次函數幾種形式，但沒有從本質去理解它。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。
一、進一步深入理解函數概念。學生在初中階段已經學習了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，然后用映射觀點來理解函數，這時就可以用學生對函數就有了本質的把握。特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素 與集合A的元素X對應，記為 ）這里 表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識。
二、二次函數的單調性與圖象。在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數 在區間 及 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數有關的一些函數單調性。如：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。如： 等，這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象?；蛘呃米寣W生利用圖像的對稱變化、平移變化來畫出其圖像，對于圖像問題要強調，江西省自2005年高考數學自主命題以來，每年都會考查至少一道圖像題目。
三、二次函數的值域。對于二次函數值域的練習要分為不含參數、含參數兩種，而不含參數的二次函數值域練習又要分為全定義域和限制型定義域兩種。如： 在R上、在區間 、 、 、 上的值域。尤其要注意分析第三、五兩種，讓學生認識到單調性對解決函數值域的重要性，為利用導數方法解決函數值域問題打下伏筆。 在區間 上的值域，在教學實際中還可以將參數的位置進行調換，比如 ，對學生展開充分的訓練，加強他們的運算能力及對二次函數值域求法的理解。
四、二次函數與一元二次不等式、一元二次方程的關系。通過利用圖像的講解讓學生掌握三者之間的關系，尤其是一元二次不等式的解法，通過利用二次函數圖象能讓學生形象直觀的得到結論。關于這部分知識的題目難度就比較高，要求學生有很好的分析能力。如：已知函數 ， 為方程 的兩根，且 ，給出下列不等式，其中成立的是（ ）
① ② ③ ④
A.①④ B.③④ C.①② D.②④
五、二次函數在其他函數類型中的應用。掌握好了二次函數，對于其他函數求值域、單調性都有很好的幫助。比如：求三角函數 、 的值域，需要利用換元法將其轉化為二次函數求值域。（注意換元時范圍的變化）
二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。
【關鍵詞】二次函數；教學；探究
二次函數是中學數學中的教學重點、難點，在初中升高中考試中占據著非常重要的地位，同時，學好二次函數也為高中階段的學習打下了堅實的基礎.為此，在初中數學教學中，必須認真搞好二次函數教學，為學生以后的學習打下堅實的基礎.
一、掌握概念，區分方程和函數的關系
要想弄懂二次函數，學好二次函數，首先必須厘清二次函數的概念，并在厘清概念的基礎上，區分方程和函數的關系.為了幫助學生理解二次函數的概念，數學教師可以巧妙引入生活當中的問題.例如：圓桌桌面的半徑為R，其面積為S，請寫出圓桌桌面面積的表達式.其實這個式子學生們并不陌生，他們順手就可以寫出來：S=πr2.在這個式子的基礎上，教師就可以引申開來，引入二次函數的關系式：y=ax2+bx+c（a≠0），形如上面的式子就是二次函數，不是方程.這樣就將二次函數的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數不再神秘，同時也引發了學生學次函數的興趣.在學生完整掌握概念的基礎上，教師還要將二次函數的x范圍作出明確的界定，讓學生充分明白x和y之間的關系不單是方程式，它還表達了兩個未知數之間的變量關系，也就是說用一個未知數可以表達另一個未知數.在上面兩個式子中，R和x是自變量，S和y就是R和x的函數，S和R之間是函數關系，y和x之間也是函數關系.通過這樣的引導以及函數關系式的互相比較，學生就能夠清楚明白方程式與函數的本質區別.
二、畫好圖像，理解圖像和函數的關系
二次函數圖像也是學次函數的重點、難點之一，在學習的過程中，教師應該充分認識到二次函數圖像的作用，通過引導學生繪制二次函數圖像，加深對二次函數圖像和二次函數之間關系的理解，這樣不但能夠幫助學生理解二次函數的概念，而且可以培養學生的觀察能力.教師要引導學生建立清晰的二次函數坐標圖像，在遇到任何二次函數時，都能夠在頭腦中建立二次函數圖像，并且能夠準確描述二次函數圖像的頂點坐標、開口方向以及對稱軸等內容，只有這樣，學生才能夠真正做到掌握二次函數的本質特征.在學生建立二次函數和圖像之間的關系基礎上，數學教師還要引導學生對二次函數的變化進行認真的分析和研究，能夠從各種發生變化的二次函數圖像中發現蛛絲馬跡，從而緊緊抓住二次函數的主要特征，變換各種角度對二次函數進行仔細的觀察，找到解決問題的切入點，從而輕松解決問題.
三、巧用技術，提高推斷能力
初中階段是數學學習的關鍵時期，也是邏輯思維能力初步建立和不斷發展的關鍵時期，而數學又是學生發展邏輯思維能力的基礎學科，為此教師要在二次函數教學過程中努力培養鍛煉學生的推斷能力.但是教師要充分認識到，邏輯思維能力的培養是一個漫長的過程，是在各種教學手段綜合運用的基礎上慢慢培養的，而在各種教學手段當中，現代技術的巧妙利用無疑是當前教學中最好的教學手段.無論是二次函數的概念，還是二次函數的圖像，都是相當抽象的內容，特別是二次函數圖像的建立，更是難以靠數學教師描述和板書解決，而現代技術手段的利用就恰當地解決了這一難題，不但可以讓學生通過直觀的圖像理解概念，引發學生學次函數的興趣，同時還可以有效增加整個課堂的知識容量，從而不斷提高學生的推斷能力.例如：數學教師可以通過現代技術手段展示y=x2，y=x2-a，y=x2+a等二次函數圖像變化的情況，然后組織學生總結其中圖像變化的特點，總結變化的規律.然后在此基礎上加以引申，讓學生描述出其他二次函數圖像變化的特點，或者讓學生自己繪制不同的二次函數圖像.通過現代技術手段以及學生自己動手繪制不同二次函數圖像，可以幫助學生快速發現并掌握二次函數圖像變化的規律，促進學生抽象思維能力的發展，從而不斷培養學生的抽象思維能力.
四、多種合作，展示多樣化教學手法
一、進一步深入理解函數概念
初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為f(x)= ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
類型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)
這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。
類型Ⅱ：設f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)
這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。
令t=x+1，則x=t-1(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而f(x)= x2－6x+6
二、二次函數的單調性，最值與圖象。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，-]及[－，+∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數有關的一些函數單調性。
類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）y=x2+2|x|－1
這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。
類型Ⅳ設f(x)=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出y=g(t)的圖象
解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當t＞1時，g(t)=f(t)=t2－2t－1
當t＜0時，g(t)=f(t+1)=t2－2
t2－2, (t
g(t)=-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。
三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：
類型Ⅴ：設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0
(Ⅰ)當X∈(0,x1)時，證明X
(Ⅱ)設函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0
解題思路：
本題要證明的是x
(Ⅰ)先證明x
因為0
根據韋達定理,有x1x2= 0＜x1＜x2
(Ⅱ) f(x)=ax2+bx+c=a（x+）2+(c－),（a>0）
函數f(x)的圖象的對稱軸為直線x=－,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－ ，x2－
一、重視對基礎知識的考查
例1 據某氣象中心觀察和預測：發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v（km/h）與時間t（h）的函數圖像如圖1所示。過線段OC上一點T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t（h）內沙塵暴所經過的路程s（km）。
（1）當t=4時，求s的值；
（2）將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城。如果會，在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由。
略解：（1）s=24（km）。
（2）當0≤t≤10時，s=■t2；
當10
當20
（3）沙塵暴發生后30h將侵襲到N城。
二、關注社會和科技熱點
例2 某工藝廠為配合倫敦奧運會，設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷。經過調查，得到如下數據：
■
（1）把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中（圖2）描出相應的點，猜想y與x的函數關系，并求出函數關系式；
■
（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）
解：（1）如圖3，由圖可猜想y與x是一次函數關系，
■
設這個一次函數為y=kx+b（k≠0）。
這個一次函數的圖像經過（30，500）、（40，400）這兩點。
由500=30k+b，400=40k+b。解得k=-10，b=8000。
函數關系式是：y=-10x+800。
（2）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x2+1000-16000
=-10（x-50）2+9000。
當x=50時，W有最大值9000。
所以，當銷售單價定為50元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元。
三、建立模型，學以致用
例3 某專賣店專銷某種品牌的計算器，進價12元/只，售價20元/只。為了促銷，該專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低0.10元（例如，某人買20只計算器，于是每只降價0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只。
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）寫出當一次購買x只時（x>10），利潤y（元）與購買量x（只）之間的函數關系式；
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發現賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？為什么？
略解：（1）50只。
（2）當10
當x>50時，y=（20-16）x=4x。
3
o
-1
3
y
x
1．：函數的圖象如圖：那么函數解析式為〔
〕
〔A〕
〔B〕
〔C〕
〔D〕
D
Y
C
X
B
O
A
2．如圖：ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在X軸上，
點C在第一象限，AC與Y軸交于點D，點A的
坐標為〔-1，0〕
（1）
求
B、C、D三點的坐標；
（2）
拋物線經過
B、C、D三點，求它的解析式；
3．二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點〔1，0〕〔0，3〕，對稱軸x=
-1。
①
求函數解析式；
②
假設圖象與x軸交于A、B〔A在B左〕與y軸交于C,頂點D，求四邊形ABCD的面積。
4．：拋物線與X軸交于兩點A、B，與Y軸交于C點，假設ABC是等腰三角形，求拋物線的上解析式。
5．
知拋物線經過P〔-2，-2〕，且與X軸交于點A，與Y軸交于點B，點A的橫坐標是方程的根，點B的縱坐標是不等式組的整數解，求拋物線的解析式。
6．：拋物線與X軸分別交于A、B兩點〔點A在B的左邊〕，點P為拋物線的頂點，〔1〕假設拋物線的頂點在直線上，求拋物線的解析式；
〔2〕假設AP∶BP∶AB=1∶1∶，求拋物線的解析式。
7、二次函數的圖象經過點，頂點坐標為，這個二次函數的解析式是__________。
8、求以下二次函數或拋物線解析式：
①y是x的二次函數，當x=1時，y=6；當x= –1時，y=0；x=2時，y=12；
②過點〔0，3〕〔5，0〕〔–1，0〕；
③對稱軸為x=1，過點〔3，0〕，〔0，3〕；
④過點〔0，–5〕〔1，–8〕〔–1，0〕；
⑤頂點為〔–2，–4〕，過點〔5，2〕；
⑥與x軸交點橫坐標為–3，–1，在y軸上的截距為–6；
⑦過點〔2，4〕，且當x=1時，y有最值6。
9．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點〔A、B分別在原點左、右兩側〕，與y軸正半軸交于點C，OA：OB：OC=1：4：4，ABC的面積為20。
1.求A、B、C三點的坐標；
2.求拋物線的解析式；
3.假設以拋物線上一點P為圓心的圓恰與
直線BC相切于點C，求點P的坐標
10．：拋物線y=ax2+bx+c過點A〔-1，4〕，其頂點的橫坐標是1/2，與X軸分別交于B〔x1，0〕，C〔x2，0〕兩點〔其中x1
函數是一種重要的數學知識，同時還是一種重要的數學思想.它是貫串初中數學的一條主線.而二次函數是函數中的重點，也是初中數學的重點與難點，因此在中考中占有重要地位.它不僅分值所占比例高，而且題型也靈活多變，既有選擇題、填空題，又有解答題，而且常與其他知識結合在一起，出現在壓軸題中.
而在解答函數題目的時候，我們又經常利用圖像與系數的關系，巧用數形結合的思想來分析解決問題.
二、 圖像與系數的關系
二次函數的一般形式寫作y=ax+bx+c（a≠0），其中，a、b、c分別為二次項系數、一次項系數和常數項.
二次函數的圖像是對稱軸平行于y軸的一條拋物線.它的開口方向與系數a有關.當a > 0時，拋物線開口向上；a < 0時，拋物線開口向下.且當a越大時，拋物線的開口越大，反之越小.
系數b和a共同決定著拋物線的對稱軸（x=－）.
當a、b同號時，對稱軸在y軸的左側；當a、b異號時，對稱軸在y軸的右側.特別的，當b=0時，拋物線的對稱軸即為y軸.
當a > 0時，對稱軸左側（x－時），y隨x的增大而增大.
當a < 0時，對稱軸左側（x－時），y隨x的增大而減小.
系數c的正負決定著拋物線與y軸的交點.當c是正數時，拋物線與y軸交于正半軸；當c是負數時，拋物線與y軸交于負半軸.當c是0時，拋物線與y軸交于原點.
a、b、c三個系數共同決定了拋物線的頂點、最值以及與x軸的交點個數.一般形式的二次函數的圖像頂點可寫作(－,).當a > 0時，拋物線有最低點，二次函數有最小值.當x=－時，?搖y=?搖；反之，當a < 0時，拋物線有最高點，二次函數有最大值.當x=－時， y=.
二次函數與x軸的交點，即為一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的解（相同的解算作一個）.因此，我們有：當b-4ac>0時，與x軸有兩個交點；當b-4ac=0時，與x軸有一個交點；當b-4ac
三、 一次函數、反比例函數圖像與系數的關系
1. 一次函數的圖像與系數的關系
一次函數的一般形式是y=kx+b（k≠0）.特別的，當b=0，即y=kx時，稱為正比例函數.
一次函數的圖像是一條直線.
k的正負決定著直線的傾斜方向.當k > 0時，直線向右上方傾斜；當k < 0時，直線向右下方傾斜.
b的正負決定著直線與y軸的交點.當b>0時，直線與y軸交于正半軸；當b < 0時，直線與y軸交于負半軸.當b=0時，直線與y軸交于原點.
k和b共同決定著直線與x軸的交點，交點坐標為（－,0）.
2. 反比例函數的圖像與系數的關系
反比例函數的一般形式是 y=（k≠0）.
當k > 0時，反比例函數圖像在一、三像限；當k < 0時，反比例函數圖像在二、四像限.
四、 例題
利用以上三種函數的系數與圖像的關系，我們可以來解決一些圖形問題.
例1如圖，在同一坐標系中，二次函數y=ax+c與一次函數y=ax+c的圖像大致是（）
分析首先考慮系數a.
當a > 0時，二次函數開口向上，一次函數向右上方傾斜.反之，當a < 0時，二次函數開口向下，一次函數向右下方傾斜.所以可以排除A、B.
其次考慮系數c.
我們知道系數c決定的是圖像與y軸交點的位置.當c>0時，二次函數與一次函數與y軸均相交于正半軸.反之，當c
例2已知y=ax+bx的圖像如下圖所示，則y=ax－b的圖像一定過（）
A． 第一、二、三像限
B． 第一、二、四像限
C． 第二、三、四像限
D． 第一、三、四像限
分析由二次函數的圖像可得到如下性質：
1. 開口向下，所以a < 0；
2. 與y軸相交于負半軸，所以c < 0；
3. 對稱軸在y軸右方，所以由“左同右異”知，b>0；
在一次函數中，一次項系數和常數分別為a和-b（特別要注意常數項的正負），所以由a0，即b
例3函數y=ax－a與y=在同一直角坐標系中的圖像可能是（）
分析在二次函數y=ax－a中, 二次項系數a決定著圖像的開口方向.如果a>0，則二次函數開口向上；反之，a0時，圖像在一、三像限；當a
綜上所述，如果a>0，則二次函數y=ax－a的圖像開口向上，與y軸相交于負半軸，反比例函數y=的圖像在一、三像限.如果a
因此，此題應選擇A.
例4已知反比例函數y=的圖像如右圖所示，則二次函數y=2kx－x+k的圖像大致為（）
分析由反比例函數的圖像可得到：k
所以二次函數中，二次項系數2k
對稱軸為x=－=
例5已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如下圖所示，則下列5個代數式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的個數有（）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因為拋物線開口向上，所以a＞0.
因為對稱軸在y軸左側，所以a，b同號.又a＞0，故b＞0.
因為拋物線與y軸相交與負半軸，所以c
因此ab＞0，ac
取x=－1代入函數，則有y=a－b+c
因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2－4ac＞0.
因為對稱軸x=－=－1，故有b=2a>0，所以2a+b>0.
綜上所述，選擇C
1.1.理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；
2.2.通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；
3.3.通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對于數形結合思想認識。
教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。
教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯系。
教學過程設計：
一.一.創設情景、建模引入
我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：
1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式
答：S=πR2.①
2.寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數關系？
S是否是R、L的一次函數？
由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數，那么S是R、L的什么函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什么函數呢？
答：二次函數。
這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）
二.二.歸納抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函數.
注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數了.而b,c兩數可以是零.(2)由于二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數.
練習：1.舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。
2.出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。
（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；；的形式。）
（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）
由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。
（在這里指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養終身學習的能力。）
三.三.嘗試模仿、鞏固提高
讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究
1.1.嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那么二次函數的圖象是什么呢？
請同學們畫出函數y=x2的圖象。
（學生分別畫圖，教師巡視了解情況。）
2.2.模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描點、連線：按照表格，描出各點.然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結起來.
對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。
練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
畫好之后教師根據情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線。
（這里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）
三.三.運用新知、變式探究
畫出函數y=5x2圖象
學生在畫圖象的過程中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教師出示已畫好的圖象讓學生觀察
注意：1.畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。
2.自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。
3.對于不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。
四.四.歸納小結、延續探究
教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：
一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。
五.五.回顧反思、總結收獲
在這一環節中，教師請同學們回顧一節課的學習暢談自己的收獲或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數學上得到不同的發展。
（在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非常活躍，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）
二次函數的教學設計
馬玉寶
教學內容：人教版九年義務教育初中第三冊第108頁
教學目標：
1.1.理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；
2.2.通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；
3.3.通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對于數形結合思想認識。
教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。
教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯系。
教學過程設計：
一.一.創設情景、建模引入
我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：
1.寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式
答：S=πR2.①
2.寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數關系？
S是否是R、L的一次函數？
由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數，那么S是R、L的什么函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什么函數呢？
答：二次函數。
這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）
二.二.歸納抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函數.
注意：(1)必須a≠0,否則就不是二次函數了.而b,c兩數可以是零.(2)由于二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數.
練習：1.舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。
2.出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。
（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；；的形式。）
（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）
由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。
（在這里指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養終身學習的能力。）
三.三.嘗試模仿、鞏固提高
讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究
1.1.嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那么二次函數的圖象是什么呢？
請同學們畫出函數y=x2的圖象。
（學生分別畫圖，教師巡視了解情況。）
2.2.模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描點、連線：按照表格，描出各點.然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結起來.
對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。
練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
畫好之后教師根據情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線。
（這里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）
三.三.運用新知、變式探究
畫出函數y=5x2圖象
學生在畫圖象的過程中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教師出示已畫好的圖象讓學生觀察
注意：1.畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。
2.自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。
3.對于不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。
四.四.歸納小結、延續探究
教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：
一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。
五.五.回顧反思、總結收獲
一、掌握映射的角度來理解函數的概念
二次函數，顧名思義即指未知數的最高次冪為二次的多項式函數，我們通常表達為：y=ax2+bx+c(a≠0)。我們可以用集合的概念來描述二次函數：由集合定義域A到集合值域B上的映射，書寫為f：AB，也就是讓集合B中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一對應集合A中的元素X，記作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，該式中的ax2+bx+c為對應法則，亦即定義域中的X在值域y中的象。高一數學課上我們通過這樣闡述來銜接初高中函數知識，很容易引導學生對函數的概念產生新的理解和認識，為接下來繼續以二次函數為例引導學生從以下問題展開探究奠定基礎：
1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)
由以上概念學習我們可以這樣理解：f(x+1)即是自變量為x+1的函數值。所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+4
2.進一步探索，反過來研究：設若f(x+1)=x2－2x+3,怎樣求f(x)
這個問題實際是探討對應法則，我們可以用可逆思維理解在某對應法則f下，定義域范圍內元素x+1的象為x2－4x+1。于是我們可以悟出兩種解答方式：①把反應對應關系的表達式配成x+1的多項式，然后對號入座。f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，將x替換x+1得出f(x)=x2－4x+6。②設置代換：設x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6
二、用直觀的圖像來研究和表達函數性質
1、函數的單調性
探討函數單調性時我們必須要求學生參照定義對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調性結論展開嚴格論證，當然我們還可以借助比較直觀的函數圖象關系，將抽象理論知識轉化為學生的形象認識，再輔助科學的練習，大家就不難掌握圖解二次函數單調性的技巧。
比如，我們可以舉出比較典型或特殊的函數關系，讓學生自主探索并嘗試畫出其圖象，然后通過圖象進一步說明函數的單調性，諸如：
①y=x2-2|x－1|+4；②y=|x2－1|；③y= x2+4|x|－7
當然，以上特殊的舉例與我們常見的二次函數存在一定的差異和聯系，但是它們能更多的反應各種典型的函數單調性，有助于同學們從實際探索中摸索出采用分段函數來表達和描述帶有絕對值符號的函數的方法和技能，最終分別畫出其圖象，分析其性質。
2、函數的最值
同學們在初中階段就已經學習了二次函數在自變量x取任意實數時的最值情況：如果a>0時，函數滿足 時有最小值 ，沒有最大值；反過來a
我們可以通過圖像來形象地研究二次函數的最值問題。一元二次函數的最值問題主要是對函數圖像對稱軸與所在區間的相對位置關系的分析，一般存在對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況。我們可以通過以下例題來體會：
如果f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f（x）在x∈[m,n]上的最值
分析：我們可以將f（x）配方，得出其對稱軸方程
①當a>0時，拋物線開口向上
若 則在曲線頂點取得最小值，在離對稱軸最遠端點取得最大值
若 則在虛擬定點最近的點取得最小值，在離對稱軸最遠端點取得最大值
總之，當a>0時，拋物線開口向上，函數在[m,n]上有單調性，因此在距對稱軸 最遠端取最大值，最近處得最小值。
②反之當a
①當a>0時
②當a
一般來說二次函數在實數集合上只有最大或最小值，但如果定義域發生改變時，最值也會發生相應變化，有些情況比較繁瑣難于理解，我們可以讓大家多作圖，多觀察，多練習，來進行掌握。
概括地說，函數的值域即是其所有函數值的集合，在定義域范圍內，在固定的對應法則下，函數值也被確定在某個固定集合。鑒于此，我們在處理函數最值問題時，必須詳細分析函數的定義域。我們再通過以下案例來體驗這個數學過程：
例如：求函數y=4x-5+ 的值域。
該題如果依照常規解法：可以設t= ，則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
這樣算出函數值域為 ．
但是這樣得出結論卻是錯誤的，因為：這里包含了一個隱含條件：t≥0，而二次函數y=2t2+t+1在[0,+∞)上是單調遞增的，所以當t=0時，y有最小值1。所以該函數正確的值域應該是是[1, +∞）．
〔中圖分類號〕 G633.62 〔文獻標識碼〕 A
〔文章編號〕 1004—0463（2013）02—0089—01
我們知道，二次函數是一個極為重要的初等函數，在中學數學中，許多問題都可以借助于二次函數來解決.
根據二次函數的圖象可知它有這樣的性質：對于二次函數f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，則Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，則f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函數f（x）= ax2＋bx＋c與x軸有兩個交點，則Δ=b2－4ac>0.
下面應用上述性質來證明一些不等式.
一、用性質（Ⅰ）來證明不等式，就是設法構造一個二次項系數為正數的二次函數，并使得f（x）≥0，從而由Δ≤0推出所需證的不等式
例1：（柯西不等式）設a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為任意實數，求證（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），當且僅當==…=時，等號成立.
證明：作關于x的二次函數f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.
（1） 若a12+a22+…+an2=0，則a1=a2=…=an=0 ，顯然不等式成立；
（2） 若a12+a22+…+an2≠0，則有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.
當且僅當==…=時，等號成立.
二、應用性質（Ⅱ）來證明不等式，就是把要證明的不等式表示成關于某一字母的二次三項式（使二次項系數大于零），再推證其Δ≤0，由此判定所要證的不等式成立
例2：設x、y、z∈R，求證：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
證明： 設f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
例3：求證：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
證明：設f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是關于a的二次函數，且二次項系數大于零，則Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
例4：設x、y、z∈R，且＋＋＝，求證x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
證明： 設f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是關于x的二次函數，且二次項系數大于零.則Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =
-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
三、應用性質（Ⅲ）來證明不等式，就是構造一元二次函數，再推證其一元二次函數與x軸有兩個交點，由Δ=b2－4ac>0判定所要證的不等式成立
關鍵詞 二次函數 初中數學 教學
二次函數是中學數學中的教學重點、難點，在中考中也占據著非常重要的地位，同時，二次函數與高中階段的二次三項式、 一元二次方程 、一元二次不等式有著密切的聯系， 所以初中階段學好二次函數對高中的學習以及各種其他學科的學習都有著極其重要的作用。為此，在初中數學教學中，必須認真搞好二次函數教學，為學生以后的學習打下堅實的基礎。
一、理清概念，區分方程與函數的關系
要想弄懂二次函數，學好二次函數，首先，必須厘清二次函數的概念，并在厘清概念的基礎上，區分方程和函數的關系。為了幫助學生理解二次函數的概念，數學教師可以巧妙引入生活當中的問題。例如：圓桌桌面的半徑為 R，其面積為 s ，請寫出圓桌桌面面積的表達式。其實這個式子學生們并不陌生，他順手就可以寫出來 ：S=iR2 。在這個式子的基礎上，數學教師就可以引發開來，引入二次函數的關系式Y=ax2+ bx + c（ c≠0），并概括之處，說明上面的式子就是二次函數。這樣就將二次函數的概念和生活緊密相連，使原本非常神秘的二次函數不再神秘，同時也引發了學生學次函數的興趣。在學生完整掌握概念的基礎上 ，數學教師還要將二次函數的定義域做出明確的界定 ，讓學生充分明白x 和 Y之間的關系.同時，還要讓學生明白這樣一個等式不僅僅是一個方程式，是兩個未知數的一種變化關系， 即用含一個未知數的式子表示另一個未知數， 前面的未知數叫做自變量，后面的未知數就是前者的函數， 兩者之間是一種函數關系，讓學生做到由方程式向函數概念的轉變。
二、結合圖像，培養學生觀察能力
數形結合是一種十分重要的數學思想，也是函數的本質特點在教學中，充分運用圖象，在學和教的過程中始終把對圖象的觀察和理解放在重要的位置，就等于掌握了進入函數之門的鑰匙。
二次函數圖象也是學次函數的重點、難點之一，在學習的過程中，數學教師應該充分認識函數圖象的作用，通過引導學生繪制二次函數圖像，加深二次函數圖象和二次函數之間關系的理解，這樣不但能夠幫助學生理解二次函數的概念，而且可以培養學生的觀察能力。在教學中，我嘗試利用一些圖像的直觀性，培養學生觀察能力。以下面的例題為例：
例當-3≤x≤3時，求函數 y= x2-2x-8 的最大值和最小值。
分析：解這道題時，我就先指導學生畫出函數圖像，當然要根據給定的范圍和對稱軸作圖，然后引導學生去觀察圖像的最高點和最低點，由此得出函數的最大值和最小值以及函數取到最值時相應的 x 的值。
數學教師要引導學生建立清晰的二次函數坐標影像，在遇到任何二次函數時，都能夠在頭腦中建立二次函數圖像，并且能夠準確描述二次函數圖象的頂點坐標、開口方向以及對稱軸 等內容，只有這樣，學生才能夠真正做到掌握二次函數的本質特征，從而緊緊抓住二次函數的主要特征，變換各種角度對二次函數進行仔細的觀察，找到解決問題的切人點，從而輕松解決問題。
三、運用現代教育技術，鍛煉學生判斷推理能力
心理學及生理學的研究表明，初中階段是人的邏輯思維能力發展的關鍵時期，由于數學的函數思想又是邏輯思維方式中較常用的思維方式，因而在初中數學中函數教學對學生的邏輯思維發展有重要的作用。但是，因為函數是比較抽象的知識，教學中僅僅靠教師的口頭講解和板書，不僅讓學生沒有直觀的感受，久而久之還會使得學生產生厭惡的情緒。而現代技術手段的利用就恰當地解決了這一 難題，不但可以讓學生通過直觀的圖像理解概念，引發學生學次函數的興趣，同時還可以有效增加整個課堂的知識容量，從而不斷提高學生的推斷能力。例如：數學教師可以通過現代技術手段展 示y=x2，y=x2、y=x2+a等二次函數圖像變化的情況，然后組織學 生總結其中圖像變化的特點，總結變化的規律。然后在此基礎上加 以引申，讓學生描述出其他二次函數圖像變化的特點，或者讓學生自己繪制不同的二次函數圖像。通過現代技術手段以及學生自己動手繪制不同二次函數圖象，可以幫助學生快速發現并掌握二次函數圖像變化的規律，促進學生抽象思維能力的發展，從而不斷培養學生的抽象思維能力。
四、激發學生興趣，提高學習效率
厭學是長期困擾教育界的一個問題，也是目前中學生普遍存在的現象，尤其是在數學學科的學習中尤為突出，這給數學學科的教學帶來了巨大的困難，正所謂興趣事最好的老師，激發學生的學習興趣是提高學習效率的有效方法 在初中函數教學中，教師可采用多媒體教學手段結合分層教學方法來對函數中基本概念進行理解和學習； 采用理論結合實際的方法，在備課過程中將數學問題變為實際生活中的問題，將函數與具體情境相結合等辦法對一些較難理解的解題方法加以闡述； 同時在課后適當的根據作業難度，培養學生的學習動機，讓學生在輕松愉快的氛圍中進行學習以此來提高學生對于知識的理解和鞏固，提高學習效率。
五、小結
步驟：把二次項系數提出來；在括號內，加上一次項系數一半的平方，來同時減去，以保證值不變。這時就能找到完全平方了。然后自再把二次項系數乘進來即可。
二次函數（quadraticfunction）的基本表示形式為y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函數最高次必須為二次，二次函數的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。
（來源：文章屋網 ）
關鍵詞：二次函數；區間二次函數；值域；值域求法
所謂的區間二次函數就是其函數表達式是某個二次函數，但其定義域不再是一般二次函數定義域R，而只是其一個子區間，其根據定義域區間的類型可分為“單界型”和“雙界型”.
一、雙界型區間二次函數及值域求法
1.概念
定義域區間既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的函數，稱為雙界型區間二次函數.
2.值域的求法
例1.求函數y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.
解法1.對稱軸為x=-■=2∈[0，5]，且有當x=2時，y=-3；當x=0時，y=1；當x=5時，y=6；
ymin=-3，ymax=6.
原函數的值域為[-3，6].
點評：當對稱軸在定義區間上時，函數有三個關鍵點，即頂點和兩個區間端點，這三個關鍵點的函數值中最大者一定是函數的最大值，最小者一定是函數的最小值，因此，可以利用已知函數的解析式直接求出三個關鍵點的函數值，然后比較大小，求出兩個極值（最大值和最小值），進而確定值域，此種方法可稱為比較大小法，是求雙界型區間二次函數值域的有效通法。
解法2.對稱軸為x=-■=2∈[0，5]，
原函數在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.
又a=1>0，
y在[2，5]上為單調遞增函數.
當x=2時，ymin=-3；當x=5時，ymax=6.
原函數的值域為[-3，6].
點評：一般來說，若二次函數的對稱軸x0∈[a，b]，此時函數在定義區間不是單調函數，但其值域等價于在單調區間[x0，c]（其中c為a、b中的較大者）上的值域，于是可利用函數的單調性來求解問題，這種辦法不妨稱之為“單調性法”，也是求雙界型區間二次函數值域的一種有效方法.
解法3：對稱軸為x=-■=2，
5-2>2-0>2-2.
當x=2時，ymin=-3；當x=5時，ymax=6.
原函數的值域為[-3，6].
點評：一般的，對于二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有當a>0時，離對稱軸越遠函數值越大；當a
例2.求函數y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].
解法1.對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且a=-1
y在[-1，1]上單調遞增.
當t=-1時，ymin=-3；當t=1時，ymax=5.
原函數的值域為[-3，5].
點評：這里用了“單調性法”，但是直接使用而不需要先等價轉化.
解法2.對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且當t=-1時，y=-3；當t=1時，y=5.
ymin=-3，ymax=5.
原函數的值域為[-3，5].
點評：這里用了“比較大小法”，但無需頂點參與.
解法3.對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，
當t=-1時，ymin=-3；當t=1時，ymax=5.
原函數的值域為[-3，5].
點評：這里用了“對稱距法”，但無需頂點參與.
小結：
（1）雙界型區間二次函數的值域問題可分為兩種類型：一種是對稱軸屬于定義區間，另一種是對稱軸不屬于定義區間.
（2）雙界型區間二次函數值域的求解有三種通法，分別是“單調性法”“對稱距法”“比較大小法”.但不管哪一種方法都是從求對稱軸和判斷對稱軸與定義區間的關系入手，以便確定頂點是否參與比較.
（3）雙界型區間二次函數的值域也一定是雙界型區間.
二、單界型區間二次函數及值域求法
1.概念
定義域區間只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的函數，稱為單界型區間二次函數.
2.值域的求法
例3.求函數y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.
解：對稱軸x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，
y在（-∞，-1]上為單調遞減函數.
y≥（-1）2-2?（-1）-3=0.
函數值域為[0，+∞）.
點評：一般來說，若二次函數對稱軸x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）時，此時函數在定義區間是單調函數，于是可直接用“單調性法”來求解問題.
例4.求函數y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.
解：對稱軸=-■=1∈（-1，3]，
原函數在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.
a=-1
y在（-∞，1]上為單調遞增函數.
y≤3+2?1-12=4.
函數值域為（-∞，4].
點評：一般來說，若二次函數對稱軸x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）時，此時函數在定義區間不是單調函數，但其值域等價于在單調區間[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“單調性法”來求解問題.
小結：
（1）單界型區間二次函數值域問題可分為兩種類型：一種是對稱軸屬于定義區間，另一種是對稱軸不屬于定義區間.
（2）單界型區間二次函數值域的求法，只有“單調性法”，同樣必須從求對稱軸和判斷對稱軸與定義區間的關系入手，以便確定是直接使用單調性求解，還是等價轉化后再利用單調性求解.
