數學歸納法

開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學歸納法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

一、數學歸納法的理論基礎

數學歸納法的發現、發展到應用幾乎經歷了整個數學的發展歷程，是一段漫長的歷史。16世紀中葉，意大利數學家莫羅利科（F·Maurolycus）對與自然數有關命題的證明進行了深入的研究，明確地提出了“遞歸推理”這個思想方法。法國數學家R.帕斯卡（Pascal）在他的《論算術三角形》中首次使用數學歸納法，對莫羅利科提出的遞歸推理思想進行了提煉和發揚。并用其證明了“帕斯卡三角形”口項展開式系數表，中國稱為“賈憲共角性”或“楊輝三角形，”等命題。但“數學歸納法”這一名稱的提出，最早見于英國數學家A德·摩根1838年所著的《小百科全書》的引言中。他指出“這和通常的歸納程序有極其相似之處”，故賦予它“逐次歸納法”的名稱。

雖然數學歸納法早就被提出并廣泛應用了，一直以來它的邏輯基礎都是不明確的。1889年意大利數學家皮亞諾（GYeano）建立了自然數的序數理論，將“后繼”作為一種不加定義的基本關系，列舉了自然數不加證明的五條基本性質，其中歸納公理便為數學歸納法的邏輯基礎。至此，數學歸納法有了嚴格的邏輯基礎，并逐漸演變為一種常用的數學方法。

二、數學歸納法的原理

用數學歸納法證明一個命題時，必須包括下面兩個步驟：

第一步：驗證當n取第一個值（如n=1）時命題成立；

第二步：假設當n=k（k∈N）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

完成了這兩個步驟，就可斷定命題對一切自然數都成立。這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎：第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據。這兩個步驟密切相關，缺一不可。如果只有奠基步驟而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟中的假設（簡稱歸納假設）就失去依據，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結果也是建立在不可靠的基礎上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。初學者對于上述思想往往缺乏深刻的認識，對用數學歸納法證題，總覺得不大放心，以為這種證法流于形式，證與不證似乎沒有什么兩樣。這種疑慮是進一步學習的絆腳石。只有弄清實質，理解原理，才能學好數學歸納法。

三、數學歸納法的標準形式

由歸納公理，立刻可以得到，設P（n）是關于自然數n的命題，若

1°（奠基）p（n）在n=1時成立；

2°（歸納）在到p（k）（k是任意自然數）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數都成立。

這就是數學歸納法的標準形式通常稱作第一數學歸納法。

適當變換第一數學歸納法中奠基與歸納步驟中的內容，有第一數學歸納法的基本變形。

設P（n）是關于自然數n（n≥n°，n°∈N）的命題，若

1° p（n）在n=n°時成立；

2°在P（k）（k是不小于n°的自然數）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，則p（n）對不小于n°的一切自然數都成立。

設P（n）是關于自然數n的命題，若

1°p（n）在n=1，2…時成立；

2°在P（k）（k是任意自然數）成立的假定下可以推出P（k+l）成立，則P（n）對一切自然數n都成立。

能否改變第一數學歸納法中歸納假設的內容，例如在一些情況下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。

四、歸納步驟的證明思路

用數學歸納法證題時，關鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關鍵，又在于合理應用歸納假設。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學教材而論，應用數學歸納法證明的命題大致有兩種類型。

1.能直接應用歸納假設來證明的。證明這類問題時，通常在歸納假設的兩邊同加（或同減）某項，通過適當變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學的課本中是比較常見的。

2.不能直接應用歸納假設來證明的。這類命題解題時，一般通過下面兩種途徑，為應用歸納假設創造條件：（1）先將n=k+l帶入原式，然后將所得表達式作適當的變換，從而證得結論；（2）利用其他數學知識，建立P（k）（第k號命題）與P（k+1）（第k+l號命題）的聯系，從而得到結論成立。對于這種類型題目在中學數學的學習中，特別是在高考大題中的出現概率是比較高的。

五、運用“多米諾骨牌效應”模型，建立直觀具體的形象

第2篇

讓我們來做一個游戲，這個游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個游戲有兩個條件：第一，要推倒第一塊磚；第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放。顯然，這兩個條件缺一不可。如果缺少第一個條件，就會有磚沒有被推倒(至少第一塊磚沒有推倒)。如果缺少第二個條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發我們得出一個處理與自然數有關問題的方法：(1)處理第一個問題(相當于推倒第一塊磚)；

(2)驗證前一號問題與后一號問題有傳遞關系(相關于前磚

碰倒后磚)，這時主角亮相了。數學歸納法是可靠正確的推

理方法。介紹了數學歸納法之后，師生共同參與，按以下設問進行教學：

1．第一步驟是遞推的基礎，第二步驟是遞推的依據。若二者缺一將會出現什么問題呢?能舉出實例來嗎?

2．完成第一步驟后，在第二步驟中，假設n=k時的結論正確，這樣的k值是否存在呢?證明N=K+1時結論也正

確，是否起著“傳遞性”的作用?

3．第二步驟中，如果不使用N=K時結論正確這個條件，

直接證明N=K+1時結論正確，是否還是數學歸納法呢?或

者說比數學歸納法更好呢?

4．第一步驟中，證明N取第一個值結論正確，這第一個值從哪里取起呢?

5．第二步驟中，在使用N=K時結論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時結論正確這一關呢?(如：演

繹法、分析法、反證法等)。

6．數學歸納法是針對n∈N而言的．那么N取非自然數

時，是否也可以呢?

針對學生在概念的學習中容易出現的問題：錯誤理解、認識膚淺、似是而非、掌握不牢等現象，教師要精心創設情景，優化教學手段，以達到對概念的理解、認識到位，對概念的掌握準確、牢固、靈活之目的。同時，行之有效地培養了學生思維的批判性和深刻性。

掌握了數學歸納法的原理和證明格式后，還需要進一步

認識數學歸納法和歸納法這兩種推理方法之間的區別和聯

系，初步形成“觀察――歸納――猜想――證明”的思維方法，既能發現結論，又能證明結論的正確性。這又是培養學生的發現創造能力、分析問題和解決問題能力的重要內容。

優化概念教學的實質就是充分展示概念的形成、深化過

第3篇

一、重視課題的引入，提高學生的興趣和求知欲

心理學告訴我們，人得到大腦接受新異刺激時，大腦皮層會出現優勢的興奮中心，從而使思維高度活躍。因此，在對數學歸納法的教學的引入上，教師要費一點苦心，可設計小實驗、提出實例問題等，重點向學生講清完全歸納法和不完全歸納法的概念，并通過提問或實驗使學生明白，用完全歸納法得出的結論是可靠的，而用不完全歸納法得出的結論是不一定可靠的。接著再向學生說明在數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數有無限多個數，我們不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的，然而只就部分自然數進行驗證所得的結論，即用不完全歸納法得到的結論，是不一定可靠的。因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行，比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法，即數學歸納法。

這時，可以就學生學過的一些數列的公式為例來進行數學歸納法的教學，按教材安排講解歸納法的概念、證明步驟，并舉例說明應用，并強調數學歸納法的適用范圍僅限于與自然數有關的命題。

二、確立證明步驟，加強規范教學的同時，注意學生對數學歸納法的真正理解

數學歸納法的步驟，嚴格地講，理應是三步（或兩步一結論）。其中第一步是證明時遞推的基礎，第二步是遞推的依據。把第一步結論與第二步結論聯系在一起，才可以斷定命題對所有的自然數都成立，因此，用數學歸納法證題，完全上述兩步后，還要作一個總的結論。

學生往往不能理解為什么經過數學歸納法的兩個步驟的證明就能保證命題對一切自然數都成立，不理解這兩個步驟各起什么作用。為了幫助學生理解數學歸納法的實質，我們可以設計類似的比喻：把數學歸納法的證明過程看作登無窮級梯子，當證明了命題對n=1時成立，就表明我們已有能力登上無窮級梯子的第一級；證明了能夠從k過渡到k+1，就相當于表明有能力從梯子的任何一級登上更高的一級；只有具備了上述兩種能力才能達到梯子的任何一級。于是要強調數學歸納法的證明步驟是缺一不可的，這是因為有第一步無第二步，那就屬于不完全歸納法，結論的普遍性是不可靠的；如果有第二步無第一步，則第二步中的假設就失去了基礎。可以通過一些實例說明，只有一個步驟得到驗證的命題不一定成立。

三、充分考慮學生的思維障礙，及時給予指導

1.在第一步中，只需驗證n取第一個值N(這里N是使結論有意義的最小的自然數，它不一定是1，可以取2或別的自然數)時結論成立就可以了。學生對此會很不放心，往往想多驗證幾個自然數。這里應該告訴學生：驗證了n=1時結論成立，就說明命題具備了遞推的基礎，待證得第二步后，便具備了遞推的根據，這就可以推得n=2，3??????時結論都成立。當驗證了命題在n=1時成立以后，遞推的基礎就已經有了，不必再驗證對更多的自然數值成立。因此即使能驗證對很多自然數值都成立，而沒有第二步遞推的根據，仍然不能證明這個命題對任何自然數都成立。

2.第二步中。學生對“假設n=k時結論正確”一句的“假設”二字往往迷惑不解，認為既然是假設的，就沒有什么根據，那么即使證得n=k+1時結論成立，也沒有什么意義。這主要是學生對這一步的實質沒有理解。因此，應該強調：這一步實質上是證明命題的傳遞性，就是要得出這樣一個結論，如果對于自然數k能使命題成立，就能夠保證對于它的后繼數k+1也能夠使命題成立。事實上，在證明了n取第一個值N時命題成立之后，N作為這里的k，當n=k時命題成立，就不是一個假設而是一個事實了。于是根據這一步，可以遞推得對于N+1命題成立，再以N+1作為這里的k，再次運用這一步，又可推得對于N+2時命題成立。這樣遞推下去，可知命題對于任意不小于N的自然數都成立。

3.證明的關鍵往往不在于第二步，由n＝k是命題成立推導n＝k+1時命題也成立，這是數學歸納法證明的核心部分，也是證明的難點。而這一步主要在于合理運用歸納假設，學生往往不會運用歸納假設，甚至不用歸納假設，即n＝k是命題成立這一條件，常常n＝k+1直接代入命題，便說結論成立，這樣做實質上是沒有證明。因此，在教學時，要求學生在證明過程中必須用到歸納假設；對形式和結構比較復雜的題目，要引導學生仔細分析P（K），P（K＋1）的結構差異和聯系，弄清表達式中“??????”的意義，正確運用拆、添、并、放、縮、等手段，或從歸納假設，或從P（K+）中分離出P（K），再進行局部調整，也可以考慮尋求二者的“結合點”，以便順利過渡，達到所要證明的目標。

4.學生在實質運用數學歸納法證題時，還會遇到一些困難，其原因主要由于這過程中需要綜合運用過去所學過的知識，而對這些知識的遺忘，往往會成為用數學歸納法證題的障礙。因此，講解例題時還要適當穿插復習過去所學的知識。

第4篇

【關鍵詞】數學歸納法；應用； 注意點【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B【文章編號】2095-3089（2012）13-0275-01

數學歸納法是一種常用的證明方法，在不少數學問題的證明中，它都有著其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有著廣泛的前景.本文先簡單闡述數學歸納法的理論依據，然后通過一些具有例子討論數學歸納法在中學數學中的應用，最后簡單敘述數學歸納法在應用中需要注意的問題.

歸納法和演繹法都是重要的數學方法.歸納法中的完全歸納法是邏輯方法；不完全歸納法是非邏輯方法，只適用于數學發現思維，不適用于數學嚴格證明.

數學歸納法既不是歸納法，也不是演繹法，是一種遞歸推理，其理論依據是佩亞諾公理Ⅰ―Ⅴ中的歸納公理：

Ⅰ.存在一個自然數0∈N；

Ⅱ.每個自然數a有一個后繼元素d，如果d是a的后繼元素，則a叫做d的生成元素；

Ⅲ.自然數0無生成元素；

Ⅳ.如果d=b′，則a=b；

Ⅴ.（歸納公理）自然數集N的每個子集M，如果M含有0，并且含有M內每個元素的后繼元素，則M=N.

數學歸納法作為一種證明方法有著廣泛的應用，它不僅可以用來證明與自然數有關的初等數學問題，而且還可以解決高等數學、幾何學、離散數學、概率論甚至物理、生物、計算機等方面的有關問題.在用數學歸納法解決以上問題時，能大大降低問題的復雜性，同時能找出相應的遞推關系.下面結合具體例子討論數學歸納法在整除、不等式、數列等問題中的應用.

1數學歸納法在整除問題的應用

整除問題都可以用數學歸納法來解決，用數學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式整除，這是數學歸納法證明整數的整除性問題的一個技巧.

例1 求證：n3+5n（n∈N+）能被6整除.

證 （1）當n=1時，13+5×1=6能被6整除，命題成立.

（2）假設n=k時，命題成立，即k3+5k能被6整除.

當n=k+1時，有（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+1）

=（k3+5k）+3k（k+1）+6.

因為兩個連續的正整數的乘積k（k+1）是偶數，所以3k（k+1）能被6整除.

從而（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即當n=k+1時命題也成立.

根據數學歸納法知，對一切正整數命題都成立.

2數學歸納法在不等式問題的應用

用數學歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.

例2 設ai>0（i=1，2，…，n），且a1+a2+…+an=1.

求證：a21+a22+…+a2n1n（n2）.

證（1）當n=2時，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.

又a21+a222a1a2，所以a1+a212.

（2）假設當n=k時命題成立，即在a1+a2+…+ak且a>0（i=1，2，…，k）的條件下有a21+a22+…+a2k1k.

則當n=k+1時，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0

故1-ak+1>0滿足歸納假a21+a22+…+a2k1k設所應滿足的條件，所以（a11-ak+1）2+（a21-ak+1）2+…+（ak1-ak+1）21k.

即 a21+a22+…+a2k（1-ak+1）2k

a21+a22+…+a2k+ak+12（1-ak+1）2k+ak+12.

因為（1-ak+1）2k+ak+12-1k+1=（k+1）2ak+12-2（k+1）ak+1+1k（k+1）

=1k（k+1）[（k+1）ak+1-1]20

所以a21+a22+…+a2k+ak+121k+1.

根據數學歸納法，原命題對大于的自然數都成立.

3數學歸納法在數列問題的應用

例3 設數列{an}的前n項和為Sn，若對于所有的自然數n，都有Snn（a1+an）2，證明{an}是等差數列.

證設a2-a1=d，假設an=a1+（n-1）d.

當n=1時，an=an，所以當n=1時假設成立.

當n=2時，a1+（2-1）d=a2，所以當a=2時假設成立.

假設當n=k（k2）時，假設也成立，即：ak=a1+（n-1）d.

當n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=（k+1）（a1+ak+1）2-k（a1+ak）2.

將ak=a1（k-1）d 代入上式，得到

2ak+1=（k+1）（a1+ak+1）-2ka1-k（k-1）d

整理得 （k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d.

因為k2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1時假設成立.

根據數學歸納法可知，對所有的自然數n，都有an=a1+（n-1）d，從而{an}是等差數列.

本題是將證明等差數列的問題轉化成證明數學恒等式關于自然數n成立的問題.在證明過程中ak+1的得出是本題解答的關鍵，利用了已知的等式Sn=n（a1+an）2，數列中通項與前n項和的關系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假設成立的式子ak=a1+（k-1）d中解出ak+1.另外本題注意的一點是不能忽視驗證n=1、n=2的正確性.因為，由（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d得到ak+1=a1+kd的k2.所以，用數學歸納法證明時遞推的基礎是n=2時等式成立.

數學歸納法主要是針對一些自然數的相關命題，所以在證明和自然數n有關的式子中有著不可替代的作用，對于一些和自然數有關的長式子、繁式子都有化長為短、化繁為簡的功效.當然在使用數學歸納法時要注意：第一，證明的兩個步驟缺一不可.第一步是歸納法的基礎，第二步是歸納法的傳遞.尤其不可忽視第一步的驗證；第二，第二步在證明T（n+1）為真時，一定要用到歸納假設，即要把“T（n）為真，推出T（n+1）為真”或由“T（n0），T（n0+1），…，T（k-1）為真，推出T（k）為真”的實質蘊含真正體現出來，否則不是數學歸納法證明；第三，并不是凡與自然數相關的命題T（n）都能用數學歸納法給以證明的.

參考文獻

[1]劉艷.數學歸納法的原理及其應用.山西經濟管理干部學院學報，2011，（09）：54-56.

[2]張瑞峽.數學歸納法的理論基礎.科教文匯，2011，（07）：24-26.

第5篇

中圖分類號：G623.5

歸納法是思考問題的一種方法，其基本思想是通過舉少量的特殊情況，經過分析，歸納，最后找出一般關系。但是，要從一個實際問題中總結歸納出一般的關系卻并非易事，尤其要歸納出數學模型更難。

從本質上看，歸納就是通過觀察一些簡單而特殊的情況，最后總結出有用的結論或解決問題的有效途徑。歸納是一種抽象，即從特殊現象中找出一般關系。由于在歸納過程中不能對所有可能的情況進行列舉，因而最后得到的結論還只是一種猜測（即歸納假設）。所以，對于歸納假設還必須加以嚴格的證明，通常采用的稱作數學歸納法。

數學歸納法還分為普通數學歸納法和超限數學歸納法，這里我們只討論普通數學歸納法，稱其為數學歸納法。

同樣道理可以證明定理2，這里略。

例（漢諾塔問題）：19世紀后期一個著名的問題叫做漢諾塔問題，它是由安裝在一個

板上的三根柱子和若干大小不同的盤子構成。開始時，這些盤子按照大小次序放在第一根柱子上，使得大盤子在底下。問題規則是：每次把1個盤子從一根柱子移動到另外一根柱子上，但是不允許這個盤子放在比它小的盤子上面。問題的目標是把所有的盤子按照大小次序都放在第二根柱子上，并且將最大的盤子放在底下，求移動次數。

參考文獻

1張禾瑞，郝新編。高等代數（第三版），北京，高等教育出版社，1983年9月。

2王瑋明編著。計算機代數系統與符號計算，蘭州，甘肅科學技術出版社，2004年2月。

第6篇

一、證明恒等式問題

例1 對于n∈N*，用數學歸納法證明：

1?n+2?（n-1）+3?（n-2）+…+（n-1）?2+n?1=16n（n+1）（n+2）.

證明 設f（n）=1?n+2?（n-1）+3?（n-2）+…+（n-1）?2+n?1.

（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立；

（2）設當n=k（k∈N*）時等式成立，即1?k+2?（k-1）+3?（k-2）+…+（k-1）?2+k?1=

16k（k+1）（k+2），

則當n=k+1時，

f（k+1）=1?（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]?3+[（k+1）-1]?2+（k+1）?1

=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）

=16k（k+1）（k+2）+12（k+1）（k+1+1）

=16（k+1）（k+2）（k+3）.

由（1）（2）可知當n∈N*時等式都成立.

二、證明不等式問題

例2 已知n∈N*，

求證：（1+2+3+…+n）?（1+12+13+…+1n）≥n2.

證明 可結合不等關系：1+12+13+…+1n≥1+12（n>1）來證明，但注意要將奠基的起點后移，即在第一步證明中，不僅要證明n=1時原不等式成立，還要證明當n=2時，原不等式也成立.

證明：（1）當n=1時，原不等式顯然成立，

當n=2時，不等式

左邊=（1+2）×（1+12）=92=412，

右邊=22=4，則左邊>右邊，

當n=2時，原不等式成立.

（2）假設當n=k（k∈N*，k>1）時，（1+2+3+…+k）?（1+12+13+…+1k）≥k2成立，則n=k+1時，

[1+2+3+…+k+（k+1）][1+12+13+…+1k+（1k+1）]

=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1

>k2+k2+32k+1=（k+1）2.

所以當n=k+1時原不等式也成立.

由（1）和（2），可知原不等式對任何n∈N*都成立.

三、證明整除性問題

例3 證明： an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除n∈N*.

證明 （1）當n=1時，命題顯然成立.

（2）假設n=k時，命題成立，即ak+1+a+12k-1k∈N*能被a2+a+1整除.則當n=k+1時，

ak+2+a+12k+1=ak+1a+a+12k-1a+12 =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-aa+12k-1

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-a

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1

由于ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除，

所以aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1能被a2+a+1整除

即當n=k+1時，命題也成立.

根據（1）和（2），可知命題對任何n∈N*都成立.

四、證明幾何問題

第7篇

要想使學生真正掌握歸納法中的歸納思想，首先要讓學生充分了解數學歸納法的基本原理，理解歸納法的本質;然后通過實例讓學生掌握解題的基本方法與步驟，了解歸納法在題目中的應用;最后通過對學生進行思想上的引導，讓學生通過思考、反思，不僅能夠發散學生的思維，還能讓學生真正領悟歸納思想的精髓，并在將來能夠應用到實際中．通過對歸納法的深入探究，本文闡述了歸納思想的重要性，并通過實例，具體講解了如何在高中數學的教學中應用歸納法，最后，還提及了教學過程中的常見問題，并對問題進行了分析，給出了解決方法．

一、數學歸納法的教學價值

數學歸納法是一種不同于其他數學方法的、偏向于推理和證明的方法．歸納法是連接無限與有限的一座橋梁，是數學發展過程中里程碑式進展．在面對一些看似復雜的題目時，使用數學歸納法或許可以簡化解題步驟，這更易于學生的理解記憶．與此同時，歸納法的根本價值在于它能夠培養學生的思維方式．在學習的過程中，它要求學生通過細致觀察、認真地思考以及嚴謹地推理去發現事物的規律或原理．在這個過程當中不僅學生的觀察能力會得到充分的鍛煉，分析能力和推理也能有所改善．這些潛移默化的改變不僅能夠逐漸提高學生的抽象思維能力，還能使學生領悟歸納法中所蘊含的思想，并能靈活的運用到其他學科中．

二、數學歸納法在教學中的實際應用

數學歸納法注重鍛煉邏輯和推理，因此它的思維步驟非常明確．它的第一步能夠奠定全局的基礎，是進行推理、證明的重要部分，需要保證當前命題的準確性與真實性．通過對當前命題的觀察、分類后，才能進行下一步．第二步著重點在于推理．需要保證命題的延續性，即這一命題能夠隨著參數的改變能夠進行無限的延伸．這兩個步驟相互制約、缺一不可．而關于如何在數學教學中應用數學歸納法，本文通過教學實例進行詳細說明．

三、數學歸納法的教學困難及應對措施

歸納法由于其本身的抽象性質，在教學過程中會出現各種意向不到的問題．其中，可能會因為學生無法真正理解歸納思想，進而導致不能靈活運用歸納法．這一問題成為了教學過程中的最大障礙．在教學的過程中，由于歸納法連接了有限和無限兩個概念，導致學生出現了理解上的偏差與困難．在對有限的概念進行證明時，較為簡單．直接將數字帶入題中，即可得出清晰明的結果．但在假設進行無限證明時，學生也許很難理解為何要進行這一步，也無法理解這樣的證明與其他過程的聯系在哪里．而最后一步的證明對學生的抽象思維理解能力要求更高．當學生無法真正領會歸納的思想時，則難以隨著題目的改變而做出靈活的應變，更加難以看到題目的實質，找出題目與歸納法的關系．在遇到這種問題時，老師如果在講解過程中無法表述的更具體，可以建立具體的模型或者動畫演示．比如，“多骨諾牌效應”這一數學模型．通過演示，向學生展示歸納中的遞推關系，讓同學們了解歸納法的實質，從而真正領悟歸納思想，能夠將數學歸納法靈活的運用在各類題目中．

四、結語

通過文中分析可得，歸納法是一門抽象地、有效地、與生活息息相關的數學方法，也是一門能夠直接鍛煉學生觀察能力、分析能力及推理能力的方法，在數學這門嚴謹且復雜的學科中占有重要地位．因此，希望教學者能夠重視這種方法，不僅要讓學生懂的如何運用這種方法進行解題，更要讓學生深刻的理解歸納法中所蘊含的歸納思想，并把它運用到生活中去．與此同時，本文中所提出的觀點并不能囊括所有的情況，希望廣大教學者能夠根據學生的實際情況，做出相應的調整與改善．希望教學者能夠不斷努力，培養出更多優秀學生．

作者:劉國良 單位:江蘇省徐州市豐縣華山中學

第8篇

1.歸納推理

近幾年高考特別注重對歸納猜想的考查，主要形式是根據已知條件歸納出一個結論，若是解答題，再用演繹推理對結論進行證明。歸納推理的注意點：①歸納推理是依據特殊現象推斷一般現象，由歸納推理得到的結論超越了前提所包容的范圍，因而必須立足于觀察、檢驗、實驗的基礎上；②用歸納推理歸納結論時，切記不要以偏概全，不能根據幾個特殊情況就得到一般性結論，需再用所學知識去證明結論是否正確，所以要慎重。

2.類比推理

類比推理在近幾年的高考中屢有出現，且不斷翻新，不但考查考生對聯想、類比等方法的掌握情況，還考查考生的演繹（邏輯）推理能力。類比推理的注意點：①類比推理是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認知為基礎，類比出新的結果；②類比推理是從一種事物的特殊屬性推測到另一種事物的特殊屬性，是由特殊與特殊的推理；③在幾何問題的推理中，通常情況下，平面圖形中的點、線、面可類比為空間圖形中的線、面、體，平面圖形中的面的面積可類比為空間圖形中的幾何體體積。

3.演繹推理

演繹推理的一般步驟：可根據具體問題靈活選擇推理步驟，但幾種推理規則基本都遵循“條件——推理——結論”這樣的三步式。演繹推理的注意點：①在數學中，證明命題的正確性都是用演繹推理，而合情推理不能當作證明；②演繹推理中的三段論推理中的大前提在具體問題的推理過程中有時可以省略，但是必須明確大前提是什么。

4.直接證明

綜合法與分析法是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實際上是要尋找上一步的必要條件。而分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，實際上是要尋找使上一步成立的充分條件。分析法和綜合法各有其優缺點：①從尋求解題思路來看，分析法有利于思考，方向明確，思路自然；綜合法往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論。②從表達過程而論，分析法敘述繁瑣，文辭冗長；綜合法形式簡捷，條理清晰。也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于書寫。因此，在實際解題時，常常把這兩種方法結合起來使用，即先用分析法探索證題的途徑，然后用綜合法寫出證明過程，這是解決數學問題常用的一種重要方法。

5.間接證明

使用反證法證明數學命題的一般步驟為：（1）分清命題的條件與結論；（2）做出與命題相矛盾的假設；（3）由假設出發，應用正確推理的方法，推出矛盾；（4）斷定產生矛盾結果的原因在于開始所做的假設不真，于是原結論成立，從而間接證明原命題成立。

6.數學歸納法

用數學歸納法證明的關鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎不能少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”。因此必須注意以下幾點：（1）驗證是基礎。數學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找到一個數，這個數就是我們要證明命題對象的最小自然數，這個自然數并不一定都是“1”，因此“找準起點，奠基要穩”是我們正確運用數學歸納法第一個要注意的問題。（2）遞推乃關鍵。數學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過程，必須把假設“n=k”作為條件來導出“n=k+1”時的命題，在推導過程中，要把歸納假設用上一次或幾次。（3）正確尋求遞推關系。我們已經知道數學歸納法的第二步遞推是至關重要的，如何尋求遞推公式呢？①在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并爭取正確寫出來，這樣對發現遞推公式是有幫助的。②探求數列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規律，觀察n處在哪個位置。③在書寫f(k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，除此之外，多了哪些項、少了哪些項都要分析清楚。

二、常見方法、技巧及注意點

1.使用反證法證明問題時，準確地做出反設（即否定結論）是正確運用反證法的前提，常用的“結論詞”與“反設詞”列表如下：

2.反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾。常見矛盾有三類：

（1）與假設矛盾；（2）與數學公理、公式、定義或已被證明了的結論矛盾；（3）與公認的簡單事實矛盾。

3.在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑，如果只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤。

4.運用數學歸納法常見的錯誤：

第9篇

摘 要：學生對上課的內容表現出不理解，教師就要及時做好反思，反思是一個教師快速成長的一種很好的途徑。 本文結合一道高三模擬題的講評及教后反思，說明了對數學歸納法的本質的認識。 進一步得到：通性通法就是扎根于學生的知識的最近發展區，從核心概念出發，易于理解的常規方法；通過反思，教師、學生的理解力能從一個水平升華到更高的水平。

關鍵詞：反思；數學歸納法；通性通法；理解力

問題：已知n個正數a1，a2，a3，…，an（n∈N*）滿足a1a2a3…an=1，用數學歸納法證明：a1+a2+a3+…+an≥n。

這是2012年南通市通州區高三期中調研測試一道試題，參考答案如下：

①當n=1，a1=1，a1≥1顯然成立；

②假設n=k時命題成立，即若a1a2a3?…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，那么當n=k+1時，不妨設a1≤a2≤a3≤…≤ak≤ak+1，則a1-1≤0，ak+1-1≥0，

（a1-1）（ak+1-1）≤0，即a1+ak+1≥a1ak+1+1，a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥

（a1ak+1）+a2+a3+…+ak+1≥k+1。 所以原命題成立。

筆者覺得怎么想到先將k+1個數重新按照從小到大的順序排列，a1≤1，ak+1≥1，將a1與ak+1合并為一項，再利用歸納假設。 思路突然，技巧性太強，學生一頭霧水。 數學教育學家弗賴登塔爾說過：“反思是數學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平。” 數學試題的講評應引導學生關注通性通法，何謂通性通法？筆者認為通性通法就是扎根于學生的知識的最近發展區，易于理解的常規方法；是對數學知識最高層次的概括與提煉。 筆者反思：數學歸納法的本質是什么？即如何由n=k命題成立，推證n=k+1時命題成立。 也就是由假設n=k命題成立，a1a2a3…ak=1，則a1+a2+a3…+ak≥k，推證n=k+1時，a1a2a3…akak+1=1，對照條件應該如何創造條件利用歸納假設？便于理解的思路是將“a1a2a3…akak+1=1”改造成k個數的積！一種方法是將ak+1均分成k份，每份是[ak+1][]然后與ai（i=1，2，3，…）相乘與組合成k個數的積；另一種方法是將ai（i=1，2，3，…）與ak+1組合成一個數；思路①（a1[ak+1][]）（a2[ak+1][]）（a3[ak+1][]）…（ak[ak+1][]）=1，思路②a1a2a3…ai-1ai+1…（akak+1）=1，如何實施？思路①由歸納假設，（a1[ak+1][]）+（a1[ak+1][]）+（a3[ak+1][]）+…+（ak[ak+1][]）現在回頭再看參考答案思路的形成：將a1與ak+1結合構成k項的積（a1ak+1）?a2a3…ak，由歸納假設（a1ak+1）+a2+a3+…+ak≥k，再尋找一個加強不等式a1+ak+1≥a1ak+1+1。 這樣經過反思得到了學生覺得很自然的解法。

第10篇

關健詞：行列式；范德蒙行列式；數學歸納法；一題多解

【中圖分類號】G633.62

一、引 言

行列式的計算一直是線性代數研究的重要內容，低階或特殊行列式的計算相對簡單，如上下三角行列式（三角形行列式的值等于主對角線上所有元素的乘積）；理論上任何一個行列式都可以按定義計算，但當行列式的階數較大時，它的計算量非常大，計算十分復雜，技巧性很強因此，研究行列式的計算方法是十分有必要的。

二、計算行列式的方法

（一）遞歸法

所謂遞歸法，是指把有待解決的問題歸結到一類與原問題性質相同的、規模更小的問題中去，最終求得原問題的解答。

行列式是典型的遞歸結構，它可以作如下遞歸定義：設 階行列式

D＝ ，

⑴當 時， ；

⑵當 時，

其中， 是元素 的代數余子式， 。

因此，高階行列式的計算總可以歸結為求其低階子式的計算，也就是說用遞歸法計算行列式具有一般的方法論意義。用遞歸法解題的一般步驟是：

⑴尋找遞歸關系式；

⑵根據遞歸關系式，求所需的遞歸邊界條件；

⑶求解遞推關系，或論證遞推關系的性質。

下面通過實例進行說明。

例1計算 階行列式

.

解：當 時，行列式的值等于 ；下面計算 時的情形：

構造數列

,

則

， ，

即

， ，

這說明數列 是一個公差為 的等到差數列，從而

， ，

故

， .

（二） 利用范德蒙行列式進行計算

我們首先來介紹范德蒙行列式的定義及其計算方法。

形如行列式D= 稱為 階的范德蒙行列式。

我們來證明，對任意的( ), 階范德蒙行列式等于 這 個數的所有可能的差 （1≤j

我們對 作歸納法：

當 時， = ，結果是對的;假設對 階的范德蒙行列式結論成立，

現在來看 階的情況:

在D= 中，第 行減去第 行的 倍，第 行減去第 行的 倍，也就是由上而下依次地從每一行減去它上一行的 倍。有

D=

=

=,

后面這個行列式是一個 階范德蒙行列式，根據歸納總結假設，它等于所有可能的差 （ ）的乘積；而包含 的差全在前面出現了。因此，結論對于 階范德蒙行列式也成立。根據數學歸納法完成了證明：

= ,

由這個結果立即得出：范德蒙行列式為零的充要條件是 這 個數中至少有兩個相等。

例2 計算行列式 ，其中

=

分析：該行列式與范德蒙行列式很相似，可以先利用行列式的性質把它變為范德蒙行列式再進行計算。通過相鄰兩行的變換，先把最后一行交換到第一行（交換 次），如此繼續下去，經過 次交換后，原行列式變為范德蒙行列式。

解：由范德蒙行列式的性質得

=

=

= .

（三） 三對角行列式的計算

形如 的 階行列式稱為三對角行列式。

我們先來證明 滿足

其中

。

證明：令 為一元二次方程的兩個根并將 按第一列展開，可得 ,

即

,

同理可得

,

特別當 時， ，由上面兩式可以解得

,

當 時， ，于是

=

= .

證畢.

例2 計算行列式 ，其中

= .

解：運用公式 有

= = =81-80=1 0,

所以

= =

= .

（四） 利用“加邊法”（或稱“升階法”）計算行列式

所謂“加邊法”，就是將原行列式增加一行一列。它的實質是升階，目的是便于利用行列式的性質和定理，對行列式進行化簡運算。在實際問題中，恰當地應用“加邊法”對行列式的計算將會起到事半功倍的效果，下面通過具體實例來加以說明。

例4 計算 階行列式

.

解 分析：此行列式與范德蒙行列式極為相似，因而我們設法增加一行一列，即進行“加邊”。然后按計算范德蒙行列式的方法實施計算。

,

從最后一行開始，每行減去它的相鄰的前一行乘 得

,

將 按第一列展開，然后從 階行列式的每一行提取公因子得

,

按以上方法繼續進行下去 得

= .

（五）、 利用拉普拉斯定理進行計算

拉普拉斯定理是行列式按行或列展開定理的推廣。在應用拉普拉斯定理時，為了計算上的方便，一般先利用行列式的性質對原行列式進行變形，再按含多個零的 行或 列展開。

例5 計算行列式 ，其中

.

分析：如果從第3行開始每一行都減去第2行，再從第3列開始每一列都加到第三世界國家列，可使行列式中更多的元素為零。

解：先按上述分析對行列式進行變換，

=

= ,

再由拉普拉斯定理可得

= .

（六）、 利用數學歸納法進行計算

數學歸納法多用于證明題。用數學歸納法計算 階行列式，需要對同結構的低階行列式進行計算，從中發現規律并得出一般性結論，然后再用歸納法征明其正確性。

例6計算行列式 ，其中

.

解：當 時， ；當 時， ；

當 時，

,

假設當 時，

,

那么當 時，將 按最后一行展開可

.

所以

=

= ,

綜上可得

.

三、 從一題多解談行列式的計算方法

行列式的計算靈活多樣，選擇合適的方法計算行列式,會使得其計算過程更加簡化下面以一道題目為例介紹行列式的幾種解法，希望能對讀者有所啟發。

例 計算 階行列式

.

解法1（加邊法）：

=

= =

=

= .

解法2（遞推法）：

=

= +

=

=

=

=

=

解法3（三角形法）：將各列都加到第一列，并提取公因式，得：

,

第一列乘以 分別加到各列上，得：

= .

綜上所述，像這種比較容易化成三角形的行列式運用三角形法來解比較容易。

小 結

本文首先介紹了幾種解行列式的方法：遞歸法、利用范德蒙行列式進行計算、三對角行列式的計算、用“加邊法”計算行列式、利用拉普拉斯定理進行計算、利用數學歸納法進行計算、定義法、三角形法，并舉例說明各種方法的用法。最后以一題多解的形式對比了幾種方法的應用。

參考文獻

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[2] 許甫華,張賢科.高等到代數解題方法(第二版)[M].北京:清華大學出版社,2005:51-87.

[3] 劉丁酉.高等代數習題精解[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2004:37-68.

[4] 錢吉森.高等代數解題精粹[M].北京:中央民族大學出版社,2002:22-56.

[5] 唐仙芝,劉春新.n階行列式計算方法探討[J].天中學刊,2005(05):4-6.

第11篇

[關鍵詞]：課堂教學 “教與不教” 善教

一、為導而教

“教”，就是指教師在教學過程中發揮主導作用，設法啟迪誘導學生合理地從不同角度展開思路，從多方面分析問題、解決問題，使之最大程度地調動學生學習的積極性，挖掘學生的潛在能力。而關于“教”，葉圣陶先生有一段精湛的論述：“教者，蓋在善于啟迪引導，使學生自出其力，自致其知，非所謂教師滔滔不絕講授，學生默默聆聽；導者，多方設法使學生能逐漸自求得之，卒抵于不待教師講授。”從這個意義上來看，教師在教學中善于啟發，調動學生學習的積極性、主觀能動性。并教給學生科學的學習方法使他們勤于思考，樂于探索，使其逐漸不需要教師，離開教師也能學習。

例如，在講數學歸納法時，抓住學生急于求知的欲望，不失時機地給出例題：若首項為a1，公差為d的等差數列{an}，求證：an=a1+（n-1）d，對一切自然數n都成立。教師邊啟發，邊板書證明。塑造一個數學歸納法證明基本模型。然而這是一種初次接觸且又十分抽象的理論證明，學生聽后必然費解，此時就顯示出教師講的必要性。教師需在此時詳細說明，并啟發誘導，循序漸進。引導學生自己總結數學歸納法的證明步驟，強調數學歸納法的兩步之間的相互關系，缺一不可。

在學生掌握數學歸納法之后，再給他們講一個“禿頭定理”――人人都是禿頭的，并用數學歸納法證明這個結論。證明如下：

任取一個人，設其頭發為n根（顯然n∈N），

⑴當n=1時，既此人只有一根頭發，顯然是“禿頭”的，命題成立；

⑵假設當n=k時命題成立，既當此人有k根頭發時，他是“禿頭”的。

則當n=k+1時，此人只增加一根頭發，毫無疑問他是“禿頭”的，既對n=k+1時，命題也同樣成立。

綜合以上⑴、⑵兩步可知，對于任意n∈N，“禿頭定理”成立。

教師講完這個定理后，引起哄堂大笑，在大笑之余學生感到：為什么用數學歸納法，會得出如此荒唐的結論呢。在驚愕之中，教師趁機講明：任何一種方法，都有一定的使用范圍，這是一個顛撲不破的哲理。

因此，有效的講解是學生快速、準確、嚴密地掌握數學中抽象或重要基礎知識的充分條件。這樣的講解是為了今后的不教。這樣的教也一定會開發學生的思維，增強課堂藝術，提高授課效果，活躍課堂氣氛。如此的教遠遠大于不教。

二、導為善教

所謂“導”，就是在教學活動中，對那些學生能自己學懂、學會，自己能探索出結論或通過爭論能探討出結論的，教師不講授，只啟不發，給學生留下足夠的獨立空間，讓學生自己去探索、去研究。數學課離不開分析例題，教師對例題分析處理的思想層次直接影響著數學思想的滲透的效果，而教師巧用時機，借助有利的題型，放開手讓學生自己給自己講，就會收到比教師講更好的效果。

下面的例題就說明了這個問題：

例1.如果a、b∈R+，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2

教師在講完它的證明后可進行如下的啟發追問：（問1）：這種類型的題目似乎我們已經證過，誰能回憶一下？

學生必然有的答出是：a5+b5＞a3b2+a2b3（條件同上），教師給予肯定：這是不等式證明的第一節課學習的，同學們請看這兩個題目（教師可做適當的關于指數規律的啟發）并自語到：簡直可以與語言學中的對聯相媲美（目的是滲透數學美的思想）。（教師進而追問2）：能否把戰果擴大些？（學生議論紛紛氣氛，非常激烈）。有的說：“a2+b2＞ab+ab”（學生大笑，教師立即給出正確判斷事實上這就是：a2+b2≥2ab并給出鼓勵）。學生繼續議論有：a4+b4≥a3b+ab3，a6+b6≥a5b+ab5或a6+b6≥a4b2+a2b4……學生紛紛類比猜想，并積極證明，教師再適當給出誘導：能否歸納出一般性的結論呢？最后大家一致得出：當a、b∈R+，且a≠b時，有an+bn＞an-1b+abn-1；an+bn＞an-2b2+a2bn-2……如此通過此例的這樣引申，學生熟練地掌握了此類不等式的證明，同時又不知不覺地受到了“數學美”和“類比猜想”的數學思想的熏陶，也真正地實施了“變教為導”。

如此的處理一道例題，遠比教師的條條有理、思路清晰的“事后諸葛”似的講解效果好的多，因為教師的講解往往是多次探求后的最佳通路，而最佳的尋求過程，特別是克服障礙的過程并未表現出來，結果是學生聽起來津津有味，做起來卻一籌莫展。

當然，“導”并非一味撒手不管，而是恰如其分地不教，給學生以獨立思考得空間，讓學生自己去想象、去發現、去創新，不僅可以拓寬學生的視野、拓廣學生的認知領域，而且還可以培養學生分析問題、解決問題的能力。發現和糾正可能出現的各種錯誤，進而取得“以導勝教”的奇效。

三、教導結合

第12篇

關鍵詞： 一位數；自然數；自然數公理

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）15-0050-01

0.引言

1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》（11-2.9第311頁）規定了自然數包括0，具有其合理性，但也帶來一些爭議，以下就有關“0”及由其引起的一些問題做些剖析。

1. 0并非一位數。

我們說一個數是 位數，應是：該數為非負整數，占有個數位且首位非0。如果沒有“首位非0”的規定，一個數是幾位數就說不清楚了。因此最小的一位書應該是1而不是0[1]。

2.自然數的分類。

小學教材都把自然數分為：1；質數；合數；三類。現在自然數集合有了0，則應該分為四類。0單獨作為一類。

3.自然數公理。

1889年，意大利數學家佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理：

“這里要使用兩個形式符號：1和1'，它們要滿足以下5條公理：

（1）1是自然數；（2）每個自然數a都有一個后繼數a'；（3）1不是任何自然數的后繼數；（4）若a'=b'則a=b（5）（歸納公理）自然數的某個集合若含1，而且如果含一個自然數a就一定含a' ，那么這個集合含全體自然數”

現在自然數集合有了0，則以上公理中的1全得改為0。

4.數學歸納法。

我們知道，佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理是數學歸納法的邏輯依據，現在公理改了，數學歸納法也得相應更改，以往奠基是證明n=1時命題真，現在得改為證明n=0時命題真。

5.前a個自然數中n的倍數的個數。

以前，自然數集合中沒有0，則前a個自然數中n的倍數的個數為■ ，現在自然數集合中有了0，則前a個自然數中 n的倍數的個數應為1+■ ，因為現在前a個自然數應該是：0，1，2， ……，a-1。

以下是[2]的一道例題：

前100個自然數中，既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有多少個？

解 前100個自然數中，

2的倍數有■=50（個），3的倍數有■=33（個），5的倍數有■=20（個），同時是2和3的倍數有■=16（個），同時是3和5的倍數有■=6（個），同時是2和5的倍數有■=10（個），同時是2，3，5的倍數有■=3（個），故既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有100－（■+ ■+ ■）+（■+ ■+■）－ =100－（50+33+20）+（16+6+10）－3

=26（個）。

本題默認前100個自然數為：1，2， 100。由于100是2的倍數（也是5的倍數），因此在計算時用容斥原理把它排除了。而如果認定前100個自然數為：0，1，2， 99，則由于0是2的倍數（也是3、5的倍數），因此在計算時用容斥原理同樣得把它排除，因此兩種認定，結果是一樣的。但有時結果卻不一樣。

用容斥原理時沒排除掉，后面的解法中，把2001換成0了，由于0是5的倍數（也是7的倍數），因此用容斥原理時排除掉了。

把0當作自然數，引起了不少爭議問題，主要原因是小學數學中一直沒把0當作自然數，建議小學教材中要強調“0是自然數”。

參考文獻