時間：2023-05-29 18:21:34
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一個圓柱與一個圓錐，希望這些內容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
（江蘇省海門市實驗小學，226600）
一、課前分析與思考
“圓錐的體積”是蘇教版小學數學六年級下冊第二單元的內容。教材首先出示等底等高的圓柱和圓錐，讓學生直觀估計圓錐的體積是圓柱的幾分之幾，然后通過實驗驗證猜測，探索等底等高的圓柱和圓錐的體積關系，最后用數學式子表示實驗結論，得出圓錐的體積公式。這樣的編排，意在引導學生經歷“猜測—驗證”的過程，從而在學到知識的同時，積累探索的經驗，培養(yǎng)學習的能力。但在實際教學時，往往存在這樣幾個問題：等底等高的圓柱和圓錐是教師（教材）給出的，學生在教師（教材）的要求下進行猜測及實驗；操作方式（不管是用水還是用米倒來倒去）也是教師（教材）提示的，學生只是照做。也就是說，學生的思維是封閉的，學生的“牛鼻子”始終被教師（教材）的無形的“繩子”牽著。
對此，有教師提出在實驗驗證環(huán)節(jié)提供盡可能多的不同大小的圓柱和圓錐，當各個小組做出的實驗結果不一致時，
再引導學生質疑和交流，從而找到規(guī)律并總結出求圓錐體積的公式。這樣的教學更具實驗味、探索味，但問題是：這樣大范圍的實驗是否有必要（即圓錐和圓柱的底和高不完全相等的情況，是否一定需要通過實驗，才能證明它們之間沒有直接關系）？課上做這樣的實驗要花費大量的時間，學生的確經歷了過程，但學生的思維得到提升了嗎？
面對這些問題，我思考：課上做實驗到底是為了什么？我們怎樣做實驗？這節(jié)課除了讓學生經歷“猜測—驗證”的數學學習過程，還能讓學生學到些什么？能不能做到在節(jié)約時間的基礎上，讓學生既明白做實驗的必要，又充分經歷實驗的過程，同時還在思維水平上有所發(fā)展呢？
細讀教材，我發(fā)現(xiàn)相關練習中有這么一道題：
判斷下面（圖1）的圓錐與哪個圓柱的體積相等。（單位：cm）
很明顯，在研究圓錐的體積時，教材注重分析圓錐和不同圓柱之間的關系：不僅僅是與圓錐等底等高的圓柱，還有等底而高是圓錐三分之一的圓柱、等高而底是圓錐三分之一的圓柱（注：上述題目中，第二個圓柱底面直徑與圓錐底面直徑是3倍關系，故面積是9倍而非3倍關系，所以這個圓柱不能起到應有的作用，故下文筆者對此作了改編）。數學本來就是研究數量之間關系的一門學科，所以，我決定對這道題進行適當改編，從“圓錐與不同圓柱之間的關系”入手，教學《圓錐的體積》這一課。
二、課堂實踐與收獲
（一）在“選擇關系”中萌生轉化思想
師（出示一個圓錐）今天我們要研究圓錐的體積。按照我們以前研究圖形的面積，研究長方體、正方體的體積等方法，你覺得應怎樣研究圓錐的體積？
生轉化成圓柱。
師為什么不轉化成長方體或正方體？
生圓錐和圓柱最有關系，底面都是圓形的。
師（出示各種圓柱，如圖2）
如果要研究這個圓錐的體積，你選擇哪一個圓柱呢？
（大部分學生選擇第①、第②個圓柱，理由是：第①個圓柱與圓錐等底等高，第②個圓柱和圓錐等底。
少部分學生選擇第③個圓柱。沒有學生選擇第④、第⑤個圓柱。）
師（對選擇第①、第②個圓柱的學生）為什么這樣選擇？
生這樣可以把圓錐的體積轉化成圓柱的體積。
生第④、第⑤個圓柱的數據和圓錐的相差太遠，應該沒有什么關系。
師沒有什么關系？我想你的意思是，如果底和高是任意數據，那么不同的圓柱和圓錐的體積就會有不同的關系。這樣就找不到規(guī)律，也就總結不出求圓錐體積的公式了。是這樣嗎？
生是。
師那第③個圓柱不也和圓錐有密切聯(lián)系嗎？高相等呀。
生底不知道。
［說明：首先，提問“你覺得應怎樣研究圓錐的體積”，旨在激活學生思維，使他們自覺地想到用轉化思想。接著，提供不同底和高的圓柱，讓學生選擇，實際上是引領學生對轉化的進一步思考。選擇的過程是思辨的過程，也是理性分析的過程。通過選擇，排除了與圓錐的底和高沒有直接關系的圓柱，既能培養(yǎng)學生思維的深刻性，也使接下來的實驗操作更真實、更簡潔、更有效。］
（二）在“猜測關系”中提升空間觀念
師那么，你們選擇的這些圓柱的體積與圓錐的體積有什么關系呢？請猜一猜。
生圓錐體積是第①個圓柱體積的三分之一，圓錐體積和第②個圓柱體積相等。
生我覺得，圓錐體積是第①個圓柱體積的二分之一。
［說明：猜測實際上是學生對圓柱與圓錐關系的進一步思考。這里的猜測，僅僅是在直觀觀察的基礎上，根據自身經驗的初步估計，既有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力，也為后續(xù)的實驗做了心理上的準備。］
（三）在“驗證關系”中理解體積公式
師下面我們就來做實驗，看看大家的猜測是否正確。
（由于學具種類及數量的限制，大部分小組研究的是和圓錐等底等高的圓柱。實驗分兩次。第一次，主要讓學生感知一共倒了3次，那么圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的三分之一，從而驗證猜測的正確性，并提煉出圓錐的體積公式，進一步明晰圓錐和等底等高圓柱體積之間的關系。第二次，實驗重新開始，當倒了1次后——）
師請仔細觀察，此時所倒的水變成了什么形狀？和圓錐有什么聯(lián)系？
生水是圓柱形的。
生水的底面積與圓錐的底面積相等，水的高是圓錐高的三分之一。
生體積相等。
生就是黑板上的第②個圓柱。
師看來這個圓柱和圓錐的關系不一般。它們之間有這樣的關系：（邊板書邊說）圓柱和圓錐等底等體積，圓柱的高是圓錐高的三分之一。
［說明：如果本節(jié)課的教學重點僅僅放在讓學生通過實驗感知“V＝1/3Sh”這條公式上，那是遠遠不夠的——很多學生通過自學，早已知道這個計算公式。我們的重點應該放在圓錐和與它相關的一些圓柱的關系上，如圓錐和與它等底等高的圓柱之間的關系，圓錐和與它等底等體積的圓柱之間的關系，圓錐和與它等高等體積的圓柱之間的關系。這里精心設計了兩次實驗，第一次是落實學習重點，讓學生感知圓錐體積公式的正確性；第二次是突破學習難點，讓學生感知等底等體積的圓柱和圓錐的關系。這樣，能夠讓學生站在更高的角度看待圓錐的體積。當然，作為“圓錐的體積”的第一節(jié)課，對圓錐和與它等高等體積的圓柱的關系不作研究，因為這兩者之間的關系比較抽象，無法通過實驗直觀地看到。］
（四）在“運用關系”中提升幾何直觀能力
（在練習環(huán)節(jié)，教師先后出示了2道具有挑戰(zhàn)性的問題。）
問題1小明在寫圓錐體積公式時，這樣寫道：V＝1/3（Sh）。你知道他為什么要加上一個括號嗎？
生他想提醒我們,這個表示的是什么。
生是與圓錐等底等高的圓柱的體積。
師對應的是黑板上的哪一個圖？
生第①個圓柱。
師這樣的圓柱是怎樣的呢？請想象一下。
（學生開始想象、比劃。）
生如果黑板上的第③個圓柱的底面積正好是圓錐底面積的三分之一的話，就是這樣的圓柱。
一、復習舊知
我們已經學會計算圓柱的體積，請你回憶一下如何計算圓柱的體積？
二、探究新知
圓錐的體積與圓柱的體積有沒有關系呢？
你能猜測一下等底、等高的圓柱和圓錐的體積之間的關系嗎？
如何計算圓錐的體積呢？
三、知識應用
（一）做一做
1. 一個圓錐形的零件，底面積是19cm2，高是12cm，這個零件的體積是多少？
2. 一個用鋼鑄造成的圓錐形鉛錘，底面直徑是4cm，高5cm。每立方厘米鋼大約重7.8g。這個鉛錘重多少克？（得數保留整數）
（二）解決問題
1. 填空
（1）一個圓柱的體積是75.36m,與它等底等高的圓錐的體積是（ ）m。
（2）一個圓錐的體積是141.3m,與它等底等高的圓柱的體積是（ ）m。
2. 一個圓柱與一個圓錐的底面積和體積分別相等。已知圓柱的高是4dm，圓錐的高是多少？
想一想，當一個圓柱與一個圓錐的底面積和體積分別相等時，圓錐的高與圓柱的高又是什么關系呢？
3. 一個圓錐形沙堆，底面積是28.26m2，高是2.5m。用這堆沙在10m寬的公路上鋪2cm厚的路面，能鋪多少米？
... ... ...
張知陽的問題是：“一個圓錐和一個圓柱底面積和體積都相等，如果圓柱高12厘米，那么圓錐的高是多少？你是怎么想的？”
姚力承正好在旁邊聽到了，就湊上來說：“這還不簡單，我一想就明白了。這道題肯定和■也有關系，不是圓柱的高是圓錐的■，就是圓錐的高是圓柱的■。”
張知陽哭笑不得：“拜托，我就是不明白到底誰的高是誰的■，你不要給我兩個選項讓我做選擇題好不好？”
我連忙補充說：“張知陽說的沒錯，大家都知道圓錐和圓柱之間，底面積、高不可能都相等。如果相等的話，那么圓錐的體積不就只有圓柱的■了嗎？”
高原峰不愧是我們班的數學天才，他不假思索地說了一個很好玩的故事：“從前有一個國家，我們就叫它幾何國吧。幾何國里有兩個孩子，它們是兄弟倆。一個叫圓柱，另一個呢，當然就叫圓錐了。在幾何國里，比較每個人的成就大小，就是比誰的體積大。當然了，哥哥圓柱長得又粗又壯，在等底等高的情況下，它的體積總是要比弟弟圓錐的體積大得多。為什么呢？”
高原峰自問自答，拿起筆來在面前的本子上寫了兩個式子：
圓柱體積：V=Sh=πr2h 圓錐體積：V=■Sh=■πr2h
“我們都知道，求圓錐的體積，就相當于把等底等高的圓柱體積乘上■。換句話說，即使圓錐的底面半徑和圓柱一樣大，高也一樣長，圓錐的體積也只有圓柱的■，明顯小多了呢！因此，圓柱大哥非常得意，它覺得自己簡直是個天才，生下來就優(yōu)勢明顯，和圓錐弟弟比賽體積，那肯定是贏定了。”
故事吸引了越來越多的同學，大家都笑了起來。關丹秋說：“這聽起來好像是龜兔賽跑的故事啊。”
高原峰豎起了大拇指：“正是這樣，圓錐看到哥哥得意的樣子，就像烏龜那樣，心里暗暗地為自己加油。它想：我的頭是尖尖的，體形天生就比圓柱瘦小，體積計算起來肯定是吃虧的。但是不要緊，爸爸媽媽說過‘勤能補拙’嘛，在底面積和圓柱一樣大的情況下，只要我努力鍛煉，長得越來越高，一直高到是圓柱的3倍，那么就能抵消這■的天生劣勢，我的體積就和它一樣了。”
“嘩！”同學們?yōu)榫实墓适鹿钠鹫苼怼Ｕ坡曮@動了正在講臺桌前準備下節(jié)課的劉老師，他走過來聽了介紹后說：“這個故事確實很形象生動，而且包含了數學道理。不過，你們有沒有從另一個角度想想，如果限制圓錐的高必須和圓柱一樣，那么圓錐還有什么辦法能夠和圓柱體積一樣大呢？”
張知陽是這個話題的提出人，他說：“我明白了！還有一種辦法，就是圓錐的底面積是圓柱的3倍，這樣同樣能抵銷■的劣勢，圓錐的體積照樣能和圓柱一樣！”
高原峰點點頭說：“可以歸納一下，因為圓錐‘先天不利’，所以它的體積要想和圓柱相等，只有兩條路可走。”
同學們異口同聲地問：“是哪兩條路？”
高原峰說：“一是長高，二是長胖。”
教材分析
本小節(jié)的教學內容包括圓錐的認識和圓錐的體積，它是在學生掌握了圓的周長、面積和圓柱的表面積、體積的基礎上進行教學的．它是小學階段幾何知識的最后部分．通過教學，使學生認識圓錐，掌握圓錐的特征以及各部分名稱；理解求圓錐體積的計算公式，會運用公式計算圓錐的體積．
圓錐體是人們生產、生活中經常遇到的形體．教學這一部分內容即能發(fā)展學生空間觀念，為今后的學習打下基礎，又可以幫助學生掌握解決實際圓錐問題的方法．
教材通過直觀引導學生觀察、實驗、判斷推理得出圓錐體積的計算公式．這樣不僅幫助學生建立空間觀念，還能培養(yǎng)學生抽象的邏輯思維能力，激發(fā)學生的想象力．
根據對過去學生試卷的分析，在計算等底等高圓柱、圓錐體積的變形題中，錯誤率比較高，主要原因是對等底等高的圓柱、圓錐的體積之間的關系不清，因此教學中對于算理的推導要特別注意．
教法建議
本小節(jié)的教學內容包括圓錐的認識和圓錐的體積，它是在學生掌握了圓的周長、面積和圓柱的表面積、體積的基礎上進行教學的．通過教學，使學生認識圓錐，掌握圓錐的特征以及各部分名稱；理解求圓錐體積的計算公式，會運用公式計算圓錐的體積．
教學圓錐的認識，重點是掌握圓錐的特征及各部分名稱．教學時首先需要復習已學的圓柱體的特征，然后結合實物，通過對比，使學生掌握圓錐的特征．教學圓錐的高的測量方法是教學的難點，教師可引導學生猜測、動手實測操作，利用課件演示測量過程，使學生順利突破難點．教學時要充分的為學生提供自主探索空間．
教學圓錐的體積，重點是體積公式的推導過程．教學時可以按照“演示：利用課件演示圓錐體的形成；猜想：你覺得圓錐的體積和什么立體圖形有關系？有什么關系？操作：通過實驗（包括等底等高和不具備等底等高條件的多個實驗）引導學生推導圓錐體的體積公式；驗證：進行基本計算”四個步驟組織學生創(chuàng)造性學習．教學中通過學生大膽的猜想嘗試與創(chuàng)新，自主探究，推導圓錐體的體積公式．教學時要充分的為學生提供創(chuàng)造空間．
教學目標
使學生認識圓錐，掌握圓錐的特征及各部分名稱．
教學重點
圓錐的特征及各部分名稱。
教學難點
圓錐的高的測量方法。
教學步驟
一、鋪墊孕伏
1、出示圓柱體，引導學生說出圓柱體的特征．
2、什么叫圓柱的高，并在實物或幾何圖形中指出．
3、導入，今天我們學習一個新的幾何體——圓錐．（板書課題）
二、探究新知
1、大家在生活中見過圓錐體嗎？
2、一個長方形通過旋轉，可以形成一個圓柱體，那么你們知道圓錐體是怎樣形成的嗎？（課件演示：圓錐的形成）下載
3、圓錐的認識（課件演示：圓錐體的認識）1、圓錐有一個頂點，底面是一個圓
2、圓錐周圍的面是一個曲面（側面）．
3、從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高
4、測量圓錐的高（課件演示：測量圓錐體的高1或2）下載
（1）引導學生討論：圓錐有幾條高？
（2）用直尺和三角板如何測量圓柱的高．
5、圓錐側面的展開圖（繼續(xù)演示課件：圓錐體的認識）下載
（1）想象圓錐體的側面展開圖
三、隨堂練習
1、說出圓錐的特征．
2、說出圓錐各部分名稱．
3、指出下列各圖是由哪些圖形構成的？
首先，訓練以模仿為主，缺乏必要的變式，導致學生只掌握了知識的外殼，而忽略了數學的本質。學生能夠運用圓錐的體積公式V=■sh進行體積計算，主要得益于教師的反復強調與強化練習。教學中，尤其是學生掌握了圓錐體積公式之后的練習，仍然是圍繞“已知圓錐的底面半徑（或直徑、周長）和高，求圓錐體積”這種基本的題型，強調的是“要求圓錐的體積，不能忘乘■”，而沒有能及時地作變式訓練。這種反復的、大量的、機械的強化訓練，致使學生一看到求圓錐體積，就條件反射地乘■或除以3，因而一再地出現(xiàn)上述錯誤，就不足為奇了。
其次，思維如同單行線，缺乏必要的對比，導致學生只能順向而行，不能把握題目內涵。對于V=■sh這一公式的推導，教師在教學中花費了大量時間，進行了充分探索，學生也是學得透徹，因而運用這種方法計算圓錐的體積，在學生腦海中確立了牢固的地位。但這僅僅是圓錐體積計算的一個方法，還有其他方法教師未能涉及，即使在學生出現(xiàn)錯誤之后，教師的評講也是局限于“就題論題”，沒有對圓柱和圓錐的體積計算方法作有效的、針對性對比，致使學生的思維如同單行線，只會依據公式求圓錐體積，不能夠分析、把握題目的內涵。
問題的結癥找到了，那么如何避免這樣的錯誤呢？我覺得在學生熟練掌握圓錐體積計算方法后，有必要作針對性的補救。我設計的教學是：
一、 在實踐中感悟
1.出示一些不規(guī)則的石塊，提問：怎樣才能測出這些石塊的體積？（由于學生在學習《長方體與正方體》這一單元時，已經有了基礎，很容易想到：可以將石塊放入盛有水的量杯中，看水上升的體積）
2.如果將石塊改成圓錐，上升的體積還等于圓錐的體積嗎？
3.將量杯換成圓柱形容器，想一想，如何利用這個已經告訴我們底面半徑的容器來測量圓錐的體積呢？將圓錐放入水中，在完全浸沒的情況下，上升的這一段水柱的體積與圓錐的體積有怎樣的關系？如果此時要求圓錐的體積，實際是求什么的體積？為什么不需要乘■呢？
4.學生實際操作實踐。
【設計意圖：“數學教學，實際是數學活動的教學。”這一環(huán)節(jié)的設計，主要是讓學生直觀感受圓錐的體積等于上升的水柱的體積，而如果容器為圓柱形，則上升的這一段水柱也為圓柱，要求圓錐體積，在這里其實就是求上升的這一段圓柱形水柱的體積，故無需乘■。】
二、 在對比中提升
在上述實踐的基礎上，設計以下的三組對比題：
第一組：
1.一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。求圓錐形鐵塊的體積。
2. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個底面半徑2厘米，高3厘米的圓錐形鐵塊（完全浸沒），求圓錐的體積。
3. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），這時水深5厘米。求圓錐的體積。
第二組：
1.一個圓柱形鐵塊的底面半徑3厘米，高10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？
2.一個圓柱形鐵塊正好可以熔鑄成底面半徑3厘米，高10厘米的圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？
第三組：
1. 一個圓柱形容器，底面半徑6厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。已知圓錐的底面半徑2厘米，求圓錐的高。
2.一個圓柱形鐵塊的半徑4厘米，高6厘米，將其鑄成底面半徑3厘米的圓錐形零件，求零件的高。
【設計意圖：烏申斯基曾說：“比較方法是各種認識和各種思維的基礎。”小學生在每一課的學習中所獲得的知識常常是局部的、分散的，會有“見葉不見枝、見木不見林”的現(xiàn)象，需要通過比較，來理解知識的內在聯(lián)系與區(qū)別。在這一環(huán)節(jié)中，教師設計了三組比較題組，從而進一步把握相關知識的本質，建構起合理的認知結構，促進思維能力的發(fā)展。】
三、 在反思中完善
由剛才的實踐以及對比訓練，你覺得要求圓錐的體積，是不是一定要乘■？那么在什么情況下要乘■，在什么情況下不需要呢？（引導學生得出：在告訴我們圓錐的底面半徑與高的情況下，求圓錐的體積，就需要乘■。）
【設計意圖：在實踐操作以及比較訓練的基礎上，引導學生自我反思總結，歸納出具有更高抽象性、概括性、包容性的認識，形成活化的知識組塊，檢查自我數學認知結構，融會貫通并有序儲存，從而優(yōu)化認知結構。】
在運用了上述的補救措施后，學生幾乎沒有再犯類似的錯誤。而通過對上述錯例的分析與反思，也給我們一定的啟示。
1.科學設計練習，把握數學思想。數學教學中一定量的練習是必要的，但練習不是單純的題目堆砌，更不能一成不變，要注意量與度的平衡，否則適得其反。教師要重視對練習題型的重組與變式，把握其中蘊含的數學方法，巧妙地將轉化、模型等數學思想有意識地滲透于學習過程中，使學生解一題，會一類；同時，當學生出現(xiàn)典型的“通病”時，要仔細分析錯因，采取針對性措施，而不是就題論題。只有在科學合理訓練的基礎上，學生才能掌握更多的思維機制和數學思想，教學才能高屋建瓴。
一堂成功的數學課，不在于教師制造出多少花樣、用了多少學具、讓學生進行了多少次小組合作學習，關鍵在于學生是否積極去自主探索知識的形成過程，而學生積極參與學習的背后不知隱藏著多少教師對課堂的精心設計。“能讓學生在一種探其究竟而欲罷不能的氛圍中掌握本課所學的知識，就是一節(jié)高效的課堂教學。”所以，又到教學“圓錐的體積”一課，我不禁思考怎樣才能上好這節(jié)課。
根據以往的教學經驗，雖然我在課堂上反復強調計算圓錐的體積時不要忘記乘1/3，但“圓錐的體積”一課教學之后，還是有大部分學生容易忘記，究其原因是學生對圓錐體積公式的推導過程印象不深刻，總是容易遺忘圓錐與它等底等高的圓柱體積的關系。因此，重新教學此課，我多下工夫備課。常言道：“學貴有疑。”于是我精心設計教學，大膽創(chuàng)新，處處設疑，旨在激發(fā)學生的興趣，加深他們對圓錐和與它等底等高的圓柱體積之間關系的認識。
首先，動態(tài)設計，疑中求知。
課件出示：
（讓學生從中選擇一個合適的圓柱和圓錐一起研究它們體積之間的關系）
師：你能從這些圓柱和圓錐中，選擇一個合適的圓柱和圓錐一起來研究它們體積之間的關系嗎？（學生小手林立，興奮不已）
生1：我選中間一個圓柱。
師：為什么？
生1：因為圓錐的高和圓柱的高都一樣。
生2：因為它們等底等高。
師：也就是說，研究圓柱和圓錐體積之間的關系要有一個統(tǒng)一的標準，那就是等底等高。（板書：等底等高）
課件出示：估計一下，這個圓錐的體積是圓柱體積的幾分之幾？
書上例題是直接出示兩個等底等高的圓柱和圓錐，讓學生尋找圓柱和圓錐體積之間的關系，這樣教學固然可以，但學生對圓柱和圓錐體積之間的關系處于一種被動告知的狀態(tài)。這種被動接受知識的結果，顯而易見，就是學生為什么總容易忘記等底等高的圓柱和圓錐體積之間關系的原因了。所以，我決定把例題稍作改動，從學生的生活經驗出發(fā)，讓學生憑借自己的感覺先從圖中找出一個和圓錐相應的圓柱一起研究它們體積之間的關系，再引導學生說一說圓柱和圓錐體積之間的關系，使學生明白這里要做到公平就必須有一個前提——等底等高的圓柱和圓錐。這種讓學生自己通過觀察尋找出研究的圓柱和圓錐體積之間關系的前提條件的方法，學生對知識的掌握能不牢固嗎？這樣教學，還為學生繼續(xù)研究圓柱和圓錐體積之間的關系奠定了良好的基礎。
其次，巧設倒水，探索新知。
最近幾年，劉謙的魔術風靡全國，可以說是老少皆愛。那么，劉謙的魔術為什么會有如此大的魅力呢？細細想來，劉謙的魔術從開始表演到結束都是時時刻刻扣人心弦的，即使表演結束很長一段時間后還是那么讓人回味無窮、意猶未盡，激人想去探個究竟。我想，我們的課堂教學也應具有劉謙魔術的魅力，讓學生想深入探究所學知識。
所以，課堂教學中，我提供圓柱、圓錐、沙子等實驗用具，讓學生驗證這一組圓柱和圓錐（如下圖）是否等底等高。
師：現(xiàn)在我們就來驗證一下。做實驗時，為了減少誤差，我們一定要注意盡量不要把水撒到外面。
師：現(xiàn)在我給圓錐倒?jié)M水，請你猜猜圓錐里的水倒進圓柱后，水位大概在圓柱的什么位置？
生：
師（第一次倒水）：現(xiàn)在請你看看，猜對了嗎？（學生一片歡呼，為自己猜對而高興）
師：我們接著給圓錐倒?jié)M水后再往圓柱里倒，猜一猜，要幾次才能把圓柱倒?jié)M？
生（異口同聲）：三次。
（師第二次演示將圓錐里的水往圓柱里倒，學生齊呼“兩次”，接著師又倒了一次水，學生齊呼“三次”，學生用熱烈的掌聲慶祝自己的猜測是正確的，臉上露出如獲至寶的笑容）
師：那么，通過剛才的驗證，你知道圓錐和它等底等高的圓柱體積之間有什么關系嗎？
生1：圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一。
生2：圓柱體積是和它等底等高的圓錐體積的三倍。
（師板書：圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3）
師（總結）：通過剛才的實驗和總結，可以怎樣表示圓錐的體積？
生回答師板書：圓錐的體積＝底面積×高×1/3。
……
以往教學此課，教師總認為學生自己做實驗了，就一定能找出圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3。其實不然，以前學生做實驗大多流于形式，只顧著操作，感覺好玩，并不是邊做邊思考。這里做實驗的目的是讓學生通過思考“圓錐和圓柱體積之間為什么是這樣的關系”的問題，使學生通過思考和探究，不僅“知其然”，而且“知其所以然”。為了讓實驗能吸引學生積極去思考，在探索等底等高圓柱和圓錐體積之間的關系時，我沒有讓學生親自動手實驗，而是設計了兩次猜測、三次倒水的環(huán)節(jié)來激發(fā)學生探究的欲望。“我猜得對不對？”“我的結果正確嗎？”“圓柱和圓錐體積之間到底有什么關系呢？”……通過對幾個不同問題的猜測，既營造了良好的課堂氛圍，又激發(fā)了學生的好奇心。學生的第一次猜測是不自信的，他們對自己的猜測是否正確持懷疑態(tài)度，但經過第一次倒水驗證之后，學生品嘗到成功的喜悅，從而增強自信心。我繼續(xù)引導學生進行猜測：“我們接著給圓錐倒?jié)M水后再往圓柱里倒，猜一猜，要幾次才能把這個圓柱倒?jié)M？”這時學生充滿自信地齊聲回答“三次”。接下來，我倒水進行驗證，更是給學生帶來獲取勝利的心理滿足。通過這樣一個驗證的過程，激發(fā)了學生濃厚的學習興趣和強烈的探究欲望，誰能說這節(jié)課學生對等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系沒有掌握呢？這才真正體現(xiàn)教師的主導作用和學生的主體作用相結合，有效培養(yǎng)了學生的自主探究能力。
再次，注重算法指導，創(chuàng)造高效課堂。
以往教學“圓錐的體積”這部分內容后，發(fā)現(xiàn)有一部分學生對等底等高的圓錐和圓柱體積之間是什么關系說得頭頭是道，但一落實到圓錐體積的計算中，十之八九忘記去乘三分之一。即使有些學生不忘記，但由于計算圓錐體積時不得方法，往往導致計算錯誤，做題正確率很低。針對上述現(xiàn)象，教學本節(jié)課時我注意以下幾點，力求讓學生在這些方面得到很好的彌補。
一、巧算鋪墊，埋下伏筆
口算：3．14×12×1/3＝
3．14×6×1/3＝
3．14×15×1/3＝
3．14×32×1/3＝
先讓學生口算并說一說是怎樣想的，師再引導學生進行總結：“計算的時候為了簡便，能約分的要先約分再計算。”
學生在計算時往往忽略了簡便算法，導致計算起來比較復雜，特別是含有3．14這樣復雜的小數計算時，更是學生在計算中跨不過去的一道坎。所以，課前復習時，教師要給學生適時滲透簡便計算的方法。如出示3．14×12×1/3讓學生口算并說一說自己是怎樣想的，引導學生尋找出先約分再計算的方法，從而降低計算的難度，為后面巧算圓錐的體積打好基礎。
二、算法滲透，構建課堂
教師在引導學生探索出等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系后，教學重點應轉移到算法指導上。所以，課堂中我是這樣做的。
1．試一試（大屏幕出示）
先讓學生讀題理解題意，找條件并說說怎樣求問題，再獨立列式。學生解題時教師注意算法指導，強調計算圓錐的體積應列綜合算式，先約分再計算，這樣可以降低計算難度，提高計算的正確率。
2．“練一練”第1題
請學生根據條件先求出底面積，再求體積，然后集體訂正。
底面積：2×2×3．14＝12．56
體積：12．56×6×1/3＝25．12
讓學生說一說怎樣計算后，師強調：“計算圓錐體積時列綜合算式比較簡便，同時避免先算12．56×6再去乘1/3的問題，應該先將6和1/3約分，再乘12．56，符合‘列綜合算式，先約分再計算；第一步計算時想法約去三分之一，降低計算難度’的原則。”
今天，柳老師帶來了一個圓柱與圓錐，我們十分疑惑。柳老師對大家說：“今天，我們學圓柱與圓錐，順便做一個實驗。”“數學課做實驗。”我們百思不得其解，柳老師這葫蘆里賣的是什么藥？
實驗開始了，我與齊思瑜挑了兩個實驗。我們先把一個圓柱里的水裝滿，在用圓錐擠壓。這樣就可以算出圓錐的體積。我拿著裝滿水的杯子，用圓錐擠壓。我們小心翼翼地把水到進圓錐里，正好兩杯，那這就說明圓錐的體積= sh。我們接著做第二個實驗。用圓錐從水里拿了一瓢水放進圓柱里。齊思瑜數著：“一瓢、兩瓢、三瓢。”我們把圓柱裝滿了，這就說明我們成功了。
這堂數學課結束了。數學課真有趣，我們及學到了豐富的知識，又有趣地完成了
實驗。
（考試時間：120分鐘
滿分：100分）
題
號
一
二
三
四
五
六
總分
得
分
一、用心思考，正確填空。
25%（第1題第3、4空和第3題的第②小題每兩空1分，其余每空1分，共計25分）
得
分
評分人
1、6.8立方米=（
）立方分米
600毫升=（
）升
4.8米＝（
）米(
)厘米
5時15分＝（
）時
2、（
）既不是正數也不是負數；零下3
0C記作（
）0C。
3、①寫出兩個比值是3的比，并組成比例是（
）。
②如果a×4＝b×6，那么a：b＝（
）：（
）。
4、在一幅地圖上標有把它寫成數值比例尺是（
）；如果在這幅地圖上量得瀘西到昆明的距離為4.9厘米，那么瀘西到昆明的實際距離是（
）千米。
5、把紅、黃、藍、白四種顏色的球各8個放到一個袋子里，至少要摸出（
）個球，才能保證取到兩個顏色相同的球。
6、一個圓柱的底面直徑是4cm，高是15cm，它的側面積是（
）cm2，表面積是（
）cm2，體積是（
）cm3。
7、把2米長的圓柱形木棒鋸成三段，表面積增加了4dm2，原來木棒的體積是（
）d
m3
8、一個長5cm、寬3cm的長方形按3:1放大后的圖形的面積是（
）。
9、一個正方體木塊的棱長是6cm，把它削成一個最大的圓柱體，圓住體的體積是（
）cm3
，再把這個圓柱體削成一個最大的圓錐體，圓錐體的體積約是（
）cm3
10、如果y=15x,x和y成(
)比例；如果y=,
x和y成(
)比例。
11、在一個比例中，兩個外項互為倒數，其中一個內項是，另一個內項是（
）。
12、一個圓柱的底面半徑為2厘米，側面展開后正好是一個正方形，圓柱的體積是（
）立方厘米。
13、一個圓錐體與和它等底等高的圓柱體體積相差30立方厘米，這個圓錐體的體積是（
）立方厘米。
14、一個圓柱體和一個圓錐體的底面積相等、體積也相等，圓錐體的高是3.6分米，圓柱體的高是（
）分米。
15、一個表面積50平方厘米的圓柱體，底面積是15平方厘米，把2個這樣的圓柱體拼成一個大圓柱體，這個大圓柱體的表面積是（
）平方厘米。
二、仔細推敲，明辨是非。
6%（對的打“√”，錯的打“×”。）
得
分
評分人
1、正方形的面積和邊長成正比例關系。
（
）
2、容積100L的圓柱形油桶，它的體積一定是100立方分米。
(
)
3、把一個圓柱削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是圓柱體積的。
（
）
4、新壩小學六年級有106名學生，分成三個班，不管怎么分，總有一個班至少分到36名學生。
（
）
5、三角形的面積一定，它的底和高成反比例。
（
）
6、兩個側面積相等的圓柱，它們的底面積也一定相等。
（
）
三、反復比較，慎重選擇。
6%（把正確答案的字母填在括號里）
得
分
評分人
1、把一個圓柱的側面展開，不可能得到（
）。
A、長方形
B、正方形
C、平行四邊形
D、三角形
2、一個圓柱體的底面半徑是3厘米，高是18.84厘米,它的側面展開圖是（
）。
A、正方形
B、長方形
C、兩個圓形和一個長方形組成
3、甲數的等于乙數的（甲數、乙數不為0），那么甲數與乙數的比是（
）。
A、∶
B、8∶15
C、15∶8
4、下面（
）杯中的飲料最多。
5、買同樣的書，花錢的總數與（
）成正比例。
A、書的本數
B、書的頁數
C、書的單價
6、兩種相關聯(lián)的量（
）。
A、成正比例
B、成反比例
C、不一定成比例
四、一絲不茍，巧妙計算。
29%
得
分
評分人
1、直接寫出得數。（6分）
3.6＋7.9＝
3－＝
3.14×42＝
0.25×8＝
55÷＝
1÷×＝
2、下面各題，怎樣簡便就怎樣算。（8分）
÷9+×
2－÷－
87×
－+－
3、解方程或比例：（6分）
χ∶
＝∶4
＝
χ－×45＝12
4、列綜合算式或方程解下列各題。（9分）
（1）
甲數是乙數的，乙數是丙數的，甲數是30，丙數是多少
（2）
比例的兩個外項分別是20和50，一個內項是0.25，另一個內項是多少？
（用比例解）
（3）
一個數的比它的少18。這個數是多少？
五、動手操作。
得
分
評分人
1、（1）畫出三角形向右平移5格后的圖形；（1分）
（2）畫出三角形繞0點逆時針方向旋轉900
后的圖形；（1分）
（3）畫出三角形按2:1放大后的圖形。（1分）
O
2、根據下面條件在下圖中標出各地的位置。
學校正西方向500米是少年宮，少年宮正北方向300米是動物園，動物園東偏北300，距離動物園400米處是醫(yī)院。先確定比例尺，再畫出上述地點的平面圖。
（1）你選用的比例尺是（
）。（1分）
（2）在下邊的平面圖中畫出上述地點。（3分）
北
學校
六、解決問題。
27%
得
分
評分人
1、一臺洗衣機的原價是800元，國慶期間商店打七五折出售，便宜了多少錢？（4分）
2、在一幅比例尺是1:6000000的地圖，量得甲、乙兩城之間的公路長5厘米。一輛汽車以平均每小時60千米的速度從甲城開往乙城，需要多少小時才能到達？（4分）
3、一個圓柱形的蓄水池,從里面量底面周長31.4米,深2.4米，在它的內壁與底面抹上水泥。抹水泥部分的面積是多少平方米？（4分）
4、一間房子要用方磚鋪地，用面積是9平方分米的方磚，需用96塊，如果改用邊長是4分米的方磚，需用多少塊？（用比例解）（5分）
【教學片段】
新課導入，揭示課題以后。
師：你覺得圓錐的體積可能會跟什么條件有關？（師出示大小不一的圓錐）
生：底面積和高。
師：那你覺得它又會跟我們學過的哪種圖形的體積有關。為什么？
生：圓柱。因為它們的底面都是圓，側面都是曲面。
師：嗯，它們外形上有相似之處。并且我們可以從一個圓柱里得到一個最大的圓錐。那你能大膽猜測一下它們的體積可能存在什么樣的關系嗎？
生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。
（學生馬上說出了這樣的關系也是在我的意料之中，但我認為學生應該還有其他的想法）
師接著又問：還有誰來說說你的想法？
臺下一片寂靜，沒有學生再表達自己的想法，也許他們已經看過了書上的結論，所以沒有學生再提出其他的想法。
接下環(huán)節(jié)就是動手實驗，驗證猜想。同學們都選擇了一組等底等高的圓錐和圓柱做實驗。師接著提問，為什么你們選擇這樣一組材料做實驗呢？
當我拋出這個問題的時候，又沒人發(fā)表意見。
我就接著追問：為什么不是等底等高的圓錐和圓柱，它們的體積就不是3倍關系了呢？
臺下舉手的學生寥寥無幾。
剖析自己的教學過程，反思自己的教學行為，尤其是教師的課堂教學提問，暴露出以下三個問題。
（一）問題跳躍性太大，前后無太大關聯(lián)
在揭示圓錐的體積這一課題后，問學生：“你覺得圓錐的體積會跟什么條件有關？”學生回答到底面積和高。然后接著又問：“那你覺得它又會跟我們學過的哪種圖形的體積有關。”課后，我又對這兩個問題進行反復推敲，發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系并不是很緊密，跳躍性太大。本來我可以順著第一個問題的答案，把學生引導到圓錐的體積和底面積、高這條思路上來。可我拋出的第二個問題，又把學生帶到了分析圓錐和圓柱之間的關系上來了，兩個問題似乎沒有很好地串聯(lián)起來。如果教師設計的問題缺乏系統(tǒng)性，“東一鋤頭，西一棒”，這樣就會導致學生思維混亂，不得要領。因此，教師在設計問題時應注意前后呼應、彼此銜接、環(huán)環(huán)相扣，促使學生循序漸進地得出正確的結論。
（二）問題過深，不易回答
在引導學生探究圓柱的體積為什么是等底等高的圓錐體積的3倍時，我向學生提出了這樣一個問題：“為什么不是等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積就不是3倍關系了呢？”拋出這個問題時，課堂氣氛霎時凝固了。我還連續(xù)追問，可學生始終答不上來。現(xiàn)在回想這個問題，確實比較拗口，而且也很難回答，才會導致學生暫時出現(xiàn)教學上的“休克狀態(tài)”。維果茨基認為，人的認知水平就在這“已知區(qū)”“最近發(fā)展區(qū)”和“未知區(qū)”之間循環(huán)往復，螺旋上升的。因此，問題的設計必須準確、清楚，符合學生的認知特點，遵循學生的認知水平。
（三）問題模糊，針對性不強
在得出圓錐體積的計算方法后向學生提問：“我們在計算圓錐的體積時應注意什么？”我的本意是提醒學生在計算的時候不要忘記乘三分之一，而學生的答案有很多，浪費了很多時間。有時教師的提問缺乏準確性和針對性，才會導致學生要么無言以對，要么風馬牛不相及。為此，只有簡潔科學且富有啟發(fā)性和探索性的提問，才能激起學生思維的發(fā)展，才能“一問激起千層浪”。
在平時的教學中我也一直在思考，綜觀有效的數學課堂，教師的提問一般都關注以下四個點。
一、抓住新舊知識的連接點提問，使教學更順暢
例如，一教師教學“三角形面積的計算”一課，由于學生已經掌握了長方形和平行四邊形面積的計算方法，學會了用割補法得出平行四邊形的面積計算方法，因此可以設計以下幾個問題，讓學生通過動手操作、觀察分析、自主探索、合作交流等方法解決問題：
平行四邊形的面積公式是怎樣推導出來的？推導過程對你有什么啟示？
你能用三角形學具，通過剪、擺、拼得出三角形的面積計算方法嗎？
看似簡單的探究三角形面積的計算方法，但探究的過程目的性非常明確，緊緊抓住新舊知識的連接點提問，充分利用已有的數學思想和方法，解決新的問題，且環(huán)環(huán)相扣，教學過程清新自然，層層深入，又具有很強的針對性。有張有弛的教學節(jié)奏，學生學得興趣盎然，知識的獲得是那樣輕松自如。因此，教師在教學指導中的提問就要把準新舊知識間的銜接點，促使學生的思維由此及彼，由未知轉向已知，使知識的呈現(xiàn)更顯得水到渠成。
二、抓住新知的增長點提問，促進理解
讓我們來看看特級教師黃愛華的《圓的周長》教學片段。
師：同學們，什么是圓的周長？
生：圓一周的長度叫做圓的周長。
師：請同學們閉上眼睛想一想，圓的周長展開后會是什么呢？
生：會是一條線段。
師：我們如何測量圓的周長呢？（板書：圓的周長）
生：我是用滾動法測量出圓的周長的。
師：如果要測量大圓形水池，你能把水池立起來滾動嗎？
師：還有其他方法測量圓的周長嗎？
生：用繩子繞一周，量出繩子的長度也就是圓的周長。
師：你能用繩子測量出這個圓的周長嗎？（師把系著小球的細繩的另一端固定在黑板面上，用力甩動小球，讓學生觀察甩動后形成的圓）
生：不能。
師：用滾動法、繩子測量法來測量圓的周長都有一定的局限性，那么能不能研究出一種求圓周長的方法呢？
師：圓周長的大小是由什么決定的呢？要找到這個規(guī)律我們先來做個實驗。（兩球同時甩動，形成大小不同的圓。學生發(fā)現(xiàn)：圓周長的大小與半徑、直徑有關）
師：圓的周長到底與它的直徑有什么關系呢？
（學生動手測量得出結論：圓的周長是它直徑的3倍多一些）
黃老師的提問總是在不知不覺中喚起學生的學習熱情，而后根據學生的回答，教師提出相應的問題，讓學生不斷地產生矛盾沖突，再逐漸提高問題的難度。他善于尋找學生的“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”的結合點，即在知識的“增長點”上設置懸念，在學生可能形成的數學思想、價值觀念等生長點上設計問題，促進學生認知結構的形成，促進學生認知能力的提高，最終使學生的“最近發(fā)展區(qū)”化為“已知區(qū)”。因此，我們教師要根據教學內容的特點，抓住新知的本質，盡可能使設計的問題呈現(xiàn)逐步上升的趨勢，提高學生思維的密度和效度，構建有效的數學課堂。
三、抓住知識的關鍵點提問，突破重難點
華應龍老師在教學《平行四邊形面積的計算》時有這么一個片段。
在學生猜想，動手驗證后，匯報。
生：老師你看，因為平行四邊形很容易變成一個長方形。長方形的面積是長乘寬，這樣就能用相鄰的兩條邊相乘得到平行四邊形的面積。
師：贊成用相鄰兩條邊的長度相乘的，請舉手。（大部分同學舉起了手）。那你們再看（教師順著學生拉動的方向，繼續(xù)慢慢拉動平行四邊形的框架，直到幾乎重合），通過剛才的操作，你有什么想法？
生：我發(fā)現(xiàn)問題了，兩條邊的長度沒變，乘積也沒變，可是框架里面的面積變了。
生：平行四邊形的面積不是長方形的面積。
……
用相鄰兩條邊的長度相乘，這是學生在探究平行四邊形的面積計算方法時真實的想法。但是這個錯誤的想法要讓學生真正明白，華老師利用將平行四邊形的框架拉成幾乎重合，幫助學生抓住關鍵點，并適時提問，讓學生產生認知沖突，有效地幫助學生糾正錯誤的認識，將學生帶到柳暗花明的境地。
知識的關鍵點也是教學中的重難點，是那些對學生思維有統(tǒng)領作用的知識，理解了關鍵點，教學目標的達成也便顯而易見了。我們知道學生對知識的認知掌握過程，總是要經歷一個由不懂到懂，由淺入深這樣一個認知過程。因此，抓住知識的關鍵點提問，就能很容易地突出重點，突破難點，學生對新知的理解就會輕松很多，進而達到理想的教學效果。
四、抓住知識的疑難點提問，發(fā)散思維
如某教師在教學《圓錐的體積》這一課的教學片段。
師：當圓錐的高是圓柱高的3倍時，要使它們的體積相等，它們的底面積之間有什么關系呢？
學生討論作答。
師緊接著追問：老師這里有一組等底等高的圓錐和圓柱，要使它們的體積變成相等，若只能改變其中一個圖形的大小，不改變原有圖形的形狀，你會怎么辦呢？
生1：圓錐的高不變，底面積擴大3倍。
生2：圓錐的底面積不變，高擴大3倍。
生3：圓柱的高不變，底面積縮小到原來的1/3。
生4：圓柱的底面積不變，高縮小到原來的1/3。
教師在教學了等底等高的圓錐和圓柱，圓柱的體積是圓錐體積的3倍后，又提出了富有挑戰(zhàn)性又有探索價值的疑惑，引導學生展開討論。巧妙地提問能給予學生足夠的思維空間，學生能夠利用已有的知識尋求多種答案，有效地促進了學生的思維，促使學生積極地自主學習。
有效的教學提問必須能促進學生分析綜合能力的發(fā)展，激起學生強烈的求知欲，達到發(fā)展智力，培養(yǎng)能力的目的。教學上的疑難點是最讓學生難以消化的地方，也是教師最關注的地方，也是教學內容的重中之重。因此，在疑難處每一個細節(jié)教師都應巧妙地設計提問的內容，這樣，不僅能促進學生的思維，幫助學生更好地理解知識，而且還能讓學生的思維發(fā)展到更廣、更深處。
基于上述反思，我又重新修改了我的教學設計。
【教學設計修改稿】
新課導入，揭示課題以后。
出示等底不等高的圓錐，師問：這兩個圓錐哪一個體積大？那這兩個呢？（不等底但等高的圓錐）
師：那你覺得圓錐的體積可能會跟什么條件有關呢？
生：底面積和高。
老師順勢就把V=sh寫在黑板上。
師：那么這樣得到的是不是圓錐的體積呢？
生：不是。是圓柱的體積。
教師出示四組材料：等底等高的圓柱圓錐、不等底但等高的圓柱圓錐、等底但不等高的圓柱圓錐、不等底不等高的圓柱圓錐，但每組的圓錐都是同樣大小的。
生：老師我明白了是與這個圓錐等底等高的圓柱的體積有關。
師：那么請你猜猜看這個圓錐的體積和這個等底等高的圓柱的體積之間存在怎樣的關系呢？
鼓勵學生大膽猜測。
有了猜測，學生就動手操作驗證自己的想法。
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）09-0115-02
1.探究圓錐的體積與圓柱體積之間的聯(lián)系
師：老師今天為大家準備了一個圓錐、一個圓柱，想請大家用他們做一個有趣的實驗。有興趣嗎？
學生們興奮不已，高喊道：有興趣！
師：那我們就開始實驗吧！
鏡頭再現(xiàn)：分組開始簡單議論，然后，小組成員爭先恐后地搶領材料，迫不急待地動手操作，頓時教室內一片喧嘩，熱鬧非凡，教師頻頻點頭微笑，暗自得意。因為學生們忙忙碌碌邊議論、邊爭吵、邊動手……課堂上熱鬧異常，學生們也非常活躍。不知不覺，5分鐘已經過去，有的學生不再做實驗了，而在玩自己的事情了；有的學生還在埋頭忙著，但顯得很迷茫；有的東張西望……
師：大家有結論吧！那組愿意來回答一下？
生：我們小組用圓柱的容器盛滿沙子倒入圓錐中，倒?jié)M3下，還灑出了一些。
生：不對！我們也是這樣做的，發(fā)現(xiàn)沒有盛滿3下。
……
師：靳某某你們小組怎么做的啊？
生：我們做了2次，不是多了，就是少了，最后大家看書了，知道應該是3倍的關系。
師：噢！看來你們小組很聽認真的，知道將實驗和看書結合，是很了不起的學習方式，大家都要好好地向他們學習。
【分析思考】
"學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。"所以，創(chuàng)設情境讓學生投入到數學活動中去，通過活動的實踐研究實現(xiàn)學習的突破。靜思該教學片段，數學活動蛻變?yōu)閿祵W實踐活動，學生們只知道去實踐，卻沒有明確的實踐目的，不知道活動的方法與策略，更不知道觀察活動的現(xiàn)象，提煉活動的本質，只停留在做和看的層面，而沒有體現(xiàn)在猜想、歸納、比較等諸多的思維層面。數學活動的核心的價值就是利用活動幫助學生積累必要的感知，豐富學習的認知表象，促進學生學會梳理，從而透過現(xiàn)象去把握數學本質。
數學活動的重點是數學思維的活動，而非動手操作與身體的活動，即重在"思動"而非"形動"。縱觀該片段的教學，我們始終會感到思維的欠缺，真正的數學活動需要形動，更需要思維的同步跟進，或者是更深層次的跟進，力戒表面上的熱鬧，氣氛的活躍，而應著力激活學生的思維，讓學習與思考協(xié)同發(fā)展。同時，對活動選取的介質也是我們必須深思的一個層面，案例中沙子的選用，有其可取的一面，盛取方便；但也有難以克服的一面，盛取沙子有的學生壓實了，有的是隨意取的，故而導致在倒入圓錐容器時誤差不斷，我們看到三組學生的回答就是最好的例證。"數學教學是數學活動的教學"，為此，我們要細化數學活動，讓其發(fā)揮其促進積累、激活思考的根本目的，讓數學學習變得理性。
2.探究圓錐的體積與圓柱體積之間的聯(lián)系
師：老師為大家準備了3個圓柱，1個圓錐，下面請大家用這組學具做一組實驗。要求：1、小組實驗時服從組長的分工，并做好詳細的記錄。2、觀察實驗中出現(xiàn)的現(xiàn)象，并思考為什么會這樣？3、思考：選用哪種學具組合實驗是最有代表性的，為什么？從中我們又有什么新的認識？4、實驗注意：不要大聲喧嘩，注意紀律；水不要隨意地盛取，按方法仔細地取；實驗要細心，更要聚精會神。
生1：用圓柱A和圓錐做實驗，發(fā)現(xiàn)A中的水是圓錐的3倍還多；圓柱B中的水正好是圓錐的3倍；C中的水比圓錐的3倍少。
生2：不完全一樣的，我們 A和C的實驗正好和你們相反，只有B的結論是一樣的。
生3：我們的實驗也和你們的不完全一樣……
師：噢！一點也不同嗎？
生3：不是的。B和圓錐的實驗是一樣。
師：其他小組的實驗呢？
學生們一起回答，有相同的，也有不相同的，但是每一組的B和圓錐的實驗結論是一致的。
師：這是一件很有趣的實驗，為什么會出現(xiàn)B和圓錐的實驗大家的結果是一樣的呢？請小組中再仔細地研究一番，看看有沒有新的發(fā)現(xiàn)的呢？
生：圓柱A與圓錐等底高不等，C與圓錐等高不等底，它們的結果就不是3倍的關系； B與圓錐等底等高，它們是3倍的關系。
生：通過剛才的交流，我們研究結論是：當圓柱與圓錐是等底等高的，圓柱的體積是圓錐的3倍。
師：你們是這樣的結論嗎？
生：圓柱與圓錐等底等高，圓錐的體積是圓柱的三分之一。
生：所以圓錐的體積=圓柱的體積÷3。
生：V圓錐=1/3sh。
……
【分析思考】
審視這則案例，我們發(fā)現(xiàn)了教學預設的精密化程度的提高，也看到了數學活動真正的價值所在。精細化的預設，讓活動有章可循，也為高效的活動，有效的學習助力。
一、導入教學激發(fā)學生的學習興趣
在教學中，教師如果善于巧妙導入新課，自然會激發(fā)學生學習的興趣，使學生產生好學之樂。如何激發(fā)？這就要求教師根據教材內容，創(chuàng)設有趣的情境，讓學生于特殊的環(huán)境中去感知、體驗。創(chuàng)設教學情境，應從學生喜聞樂見的實情、實物、實例入手，采用猜謎、講故事、做游戲等形式，激發(fā)學生主動參與的樂趣。
二、自主學習讓學生進入角色
《數學課程標準》指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。”學生對數學活動參與的程度與學習時產生的情感因素密切相關。教師在課堂教學中要建立起民主平等的師生關系，營造和諧的學習氛圍，使學生產生“心理安全”及“心理自由”的情感。學生可以無顧忌地表達自己的想法，自覺參與的欲望必然增強。
在課堂中，要營造民主、平等、和諧的氛圍，首先教師應該更新教育觀念，相信每一個學生通過自己的努力都可以在原有的基礎上得到發(fā)展，對待每一個學生都應該一視同仁，使每一個學生都有平等表現(xiàn)自己的機會，都能享受成功的愉悅。其次，教師在評價學生回答的問題時，應多用一些激勵性的語言，如“你說得不錯”、“你真聰明”，以及“不要緊，慢慢說”、“ 想想”等尊重、期盼性的語言。這種以學生的發(fā)展為本的課堂教學必然會激發(fā)學生樂學的情感。
三、參與探索活動，獲取成功的體驗
數學是愉快教育的源泉，因為數學中經常出現(xiàn)“問號”，有“問號”就可以激發(fā)學生的學習需求。而變“問號”為“句號”，完成知識上的“轉化”，則必須通過自身的探索實踐來實現(xiàn)，這樣才會使學生產生滿足的愉、成功的喜悅感。而這種情感將會激發(fā)學生更高的學習積極性，促使學生不斷地去追求新的成功。因此，學生的求知欲被激發(fā)后，教師要充分發(fā)揮學生的主體作用，讓他們積極地參與探索新知識的學習活動，給他們創(chuàng)造獲取成功的機會。例如圓錐體的教學，可以改變以前那種“教師演示學生看，老師推導學生聽”的教法，為了激發(fā)學生的興趣，使他們主動、積極地參與探求新知的學習活動，可以進行如下設計：
1、猜一猜。
出示一個圓錐和一個圓柱容器，提問：圓柱與圓錐聯(lián)系密切，同學們猜一猜，這個圓錐的體積是圓柱的幾分之幾？讓學生進行大膽的猜測。學生為了知道自己猜對沒有，實驗驗證已成為迫切需要。
2、倒一倒。
讓學生進行操作演示（等底等高的圓柱和圓錐），學生觀察后發(fā)現(xiàn)：“圓錐體積是圓柱體積的三分之一。”問：圓錐體積一定是圓柱體積的三分之一嗎？再演示（不等底不等高的較小圓錐容器），讓學生往剛才圓柱容器倒水，使學生直觀地感知到“圓錐體積不一定是圓柱體積的三分之一”。那么，在什么條件下，圓錐體積一定是圓柱體積的三分之一呢？帶著這個問題，老師讓學生重新觀察前面的圓柱和圓錐，并分組討論。在學生得出“圓錐體積是與它等底等高的圓柱體的體積的三分之一”的結論后，再用與小圓錐等底等高的圓柱容器，讓學生再次實驗驗證，學生為自己觀察所得的結論被證實而高興。
3、練一練。
教師讓學生運用實驗得出的結論進行下面的練習，并說出思考過程。
（1）一個圓錐體積是18立方米，與它等底等的高圓柱體積是多少？
（2）有一個圓柱和一個圓錐，它們的底面半徑相等，高也相等。圓柱體積是6立方米，圓錐體積是多少？
這樣通過練習豐富了學生的感性認識，為學生歸納圓錐體積計算公式做好了孕伏。
學生自己積極地參與了“猜一猜”、“倒一倒”、“練一練”、“想一想”的教學實踐活動，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，總結出了圓錐體積的計算公式。由于自己積極參與探索活動，并獲得了成功，從而產生了愉快和喜悅。
四、精心設計練習，激發(fā)學習興趣
[關鍵詞]數學教學 教學模式 復習 四重 潛心
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）01-019
在農村小學，尚有不少的常態(tài)數學復習課依然存在著內容單一、訓練單調等現(xiàn)象。“究竟如何使數學復習課教學有新意”“怎樣才能讓數學復習課教學更有效呢”，這是我們一線數學教師普遍關注的課題和話題。為改變傳統(tǒng)的“整理內容系統(tǒng)復習針對訓練布置作業(yè)”的復習課教學模式，我從2011年秋季開始，采用了“四重”環(huán)節(jié)復習教學模式。可以說，踐行的復習課教學新模式充分體現(xiàn)了復習是師生雙邊活動的展示過程，是各層次學生對知識技能掌握程度的暴露過程，更是激勵每個學生重開數學智慧大門的邏輯起點。
一、重溫基礎知識，激發(fā)學生動手操作
為改變傳統(tǒng)的數學復習課讓學生自主復習或背誦基本概念、公式等知識點的現(xiàn)象，我在復習課伊始出示了長30cm、40cm的兩根鐵絲。
教學環(huán)節(jié)1：
問題（1）：以30cm、40cm兩根鐵絲為條件，你能夠想出哪些平面圖形？
問題（2）：如何利用平移、旋轉得到圓柱體和圓錐體？
……
“復習課就是要我們做題目”，對于問題（1），學生的慣性思維被兩根鐵絲給打破了，真是不破不立。全班學生個個勁頭十足地在草稿紙上作圖，但大多畫的是平面的角、長方形、三角形和圓（如圖1）等，學生復習的熱情出乎我的意料。
但對于問題（2），有40%左右的學生犯難了，他們不是看天花板，就是咬筆頭。我通過課件動態(tài)演示圖形的變化過程（如圖2），頓時學生的思維變得靈活起來，使學生真正理解了概念的基本元素。
二、重組技能技巧，激起學生潛心復習
為延展兩根鐵絲的空間想象，也為突破難點、疑點問題的解決，我再引導學生從經歷想象到畫圖的過程。
教學環(huán)節(jié)2：
問題（3）：你能依照鐵絲的長度畫出圓柱、圓錐嗎？
問題（4）：你認為按圖3旋轉得到的兩個圓柱體的體積、側面積相等嗎？（生先猜測答案）
課堂上先讓學生自己畫圖并計算圓柱體的體積、側面積，再讓學生交流，最后由學生集體作出評價（課件相應展示圖形及計算過程）。問題（4）列式為V1=π402×30、V2=π302×40，從列式中可以發(fā)現(xiàn)這兩個圓柱體的體積不可能相等，從而推出這兩個圓柱體的表面積也不同。
有很大一部分學生誤認為這兩個圓柱體的體積是相等的，且表面積也是相等的，但通過演算得出其體積和表面積均不相等，使得這些學生的疑點問題得到解釋，難點也隨之突破。
教學環(huán)節(jié)3：
問題（5）：你認為按圖4旋轉而得的兩個圓錐的體積相等嗎？
問題（5）是很多學生百思不得其解的難點問題，因為大多數學生對以垂直軸線旋轉的圓錐體（圖5）認同度較高，而對以水平軸線旋轉的圓錐體（圖6）沒有想象到。
為了把學習的主動權交給學生，特別是交給有疑惑、有問題的學生，通過個體的計算和全體學生的參與評價，學生能明確以水平軸線與垂直軸線旋轉所形成的圓錐的體積不會相同。
三、重塑主體框架，激活學生的解題思路
圖7與圖9的圓錐等底等高，圖8與圖10的圓錐等底等高，使學生進一步明確了本節(jié)課復習的重要內容是八個字，即“等底等高，三分之一”。隨后我設計了生活實例的題目，如下：“（1）自找一個圓柱、圓錐，量出必要的數據，計算出體積。（2）一個圓柱的側面積是471平方厘米，高是15厘米，求圓柱的底面半徑是多少厘米？（3）一個圓柱形的燈籠，底面直徑是24厘米，高是30厘米。在燈籠的下底和側面糊上彩紙，至少要多少平方厘米的彩紙？”
題目的數量數不勝數，題目的形式千變萬化，但學生若能真正掌握靈動的思想方法，在圓柱、圓錐的體積計算中或在圓柱表面積計算中能把握“等底等高，三分之一”的要旨，再加上與實際（如上題的燈籠只算一個底面）情況的分析，那么學生的解題能力一定會有明顯的提升。
四、重開智慧大門，激勵學生認真應對
在教學實踐和訪談調查中，我發(fā)現(xiàn)學生對圓柱、圓錐相關的綜合題普遍存在著畏懼感。因此，我在復習課的最后環(huán)節(jié)往往設計應用廣泛且需要一定綜合思維能力去解決的題目，對學生進行訓練。
教學環(huán)節(jié)5：
（1）切出來的問題。
王師傅要將一根長12分米的圓柱形鋼條平行于底面切成不均勻的3段，表面積增加了12.56平方分米，原來這根鋼條的體積是多少立方分米？
（2）削出來的問題。
王師傅將其中一根圓柱形鋼條削成一個最大的圓錐，其中削去了12.56立方分米，那么這根鋼條原來的體積是多少立方分米？
（3）鑄出來的問題。
王師傅打算將另一根12.56立方分米的圓柱形鋼條鑄成一個底面積是5立方分米的圓錐，那么圓錐的高度會有多少呢？
理清了知識脈絡，不代表完成了復習任務。有效的復習，還需要有效的練習來支撐。“整理與復習”課的知識涵蓋力求全面，題目設計需精準取舍。如有關圓柱與圓錐的練習題不計其數，可上述三道題目具有較強的代表性，“切、削、鑄”的問題雖然只有一字之差，但在數學題中的意思卻完全不一樣。課堂教學中，我以這三道題為切入點，引領學生根據題目仔細思考、辨析，找到合適的解題思路，同時讓學生感受到體積、表面積之間變與不變的關系。其中，“鑄出來的問題”是這三道題中較難的一題，在實際教學中很多學生都會忘記用圓柱體積除以三分之一。通過這種對比的題組練習，既能在視覺上激發(fā)學生的思考，又為學生盡快找到解題策略、揭示解題規(guī)律提供了一條捷徑。
