時間：2023-05-29 17:49:08
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇概率計算，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、當遺傳類型為常染色體遺傳時
1.一種常染色體遺傳病的遺傳
例1 一對正常的夫婦生下一個患白化病的男孩，請問該夫婦：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？
解析 白化病為常染色體隱性遺傳病，由題意可知該夫婦均為攜帶者（Aa×Aa），因此再生一個患病孩子（aa）的概率是1/4。
第②問中性別在前，表明已經確定性別為女孩，因此概率的計算則與性別無關，所以再生一女孩患病的概率是1/4。
第③問中性別在后，表明性別不確定，而生下女孩的概率是1/2，因此再生一患病女孩的概率等于生下患病孩子的概率（1/4）乘以生下女孩的概率（1/2）為1/8。
2.兩種常染色體遺傳病的遺傳
例2 一個患多指癥的女子與一個正常的男性生下了一個患白化病的男孩，請問該夫婦：①再生一個女孩兩病皆患的概率是多少？②再生一個兩病皆患女孩的概率是多少？
解析 多指癥為常染色體顯性遺傳病，白化病為常染色體隱性遺傳病，由題意可知該夫婦的基因型為：SsAa和ssAa。分別考慮兩對性狀：Ss×ssSs（多指）的概率是1/2；Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4。
第①問性別在前，因此計算與性別無關，再生一女孩兩病皆患的概率為：患多指癥的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）等于1/8。
第②問性別在后，表明性別不確定，因此再生一個兩病皆患女孩的概率為：患多指癥的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）再乘以生下女孩的概率（1/2）等于1/16。
二、當遺傳類型為伴X遺傳時
1.一種伴X遺傳病的遺傳
例3 一對患抗維生素D佝僂癥的夫婦生下一個正常的孩子，請問該夫婦：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？
解析 抗維生素D佝僂癥為伴X顯性遺傳病，與性別有關，對男女的影響不同。由題意可知該夫婦的基因型為：XDXd和XDY。因此其后代為XDXD（患病女孩）∶XDXd（患病女孩）∶XDY （患病男孩）∶XdY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。所以再生一患病孩子的概率為3/4。
第②問性別在前，表明只研究女孩，而后代中只要生下女孩必患病，因此再生一女孩患病的概率為1。
第③問中性別在后，表明性別不確定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率為1/2。
2.兩種伴X遺傳病的遺傳
例4 母親正常，父親是紅綠色盲患者，生下一個男孩是血友病患者，一個女兒是紅綠色盲患者，如果不考慮交叉互換，請問該夫婦：①再生一個女孩患病的概率是多少？②再生一個患病女孩的概率是多少？
解析 色盲癥和血友病均為伴X隱性遺傳病， 由題意可知該夫婦的基因型為： XBhXbH和XbHY。
因此其后代為XBhXbH（正常女孩）∶XbHXbH （色盲女孩）∶XbHY（色盲男孩）∶XBhY（血友男孩）=1∶1∶1∶1。
第①問性別在前，表明只研究女孩，因此再生一女孩患病的概率為1/2。
第②問性別在后，表明性別不確定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率為1/4。
三、當遺傳類型為常染色體遺傳和伴X遺傳相結合時
例5 父親是紅綠色盲患者，母親正常，生了一個既患白化病又患色盲癥的男孩，請問該夫婦：①再生一個女孩兩病皆患的概率是多少？②再生一個兩病皆患女孩的概率是多少？
解析 白化病為常染色體隱性遺傳病，色盲癥為伴X隱性遺傳病， 由題意可知該夫婦的基因型為： AaXBXb和AaXbY。分別考慮兩對性狀：Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4；XBXb×XbYXBXb（正常女孩）∶XbXb（患病女孩）∶XBY（正常男孩）∶XbY（患病男孩）=1∶1∶1∶1。
第①問性別在前，因此白化病的概率計算與性別無關，而色盲癥只考慮女孩；所以再生一女孩兩病皆患的概率為：患白化病的概率（1/4）乘以女孩中患色盲癥的概率（1/2）等于1/8。
第②問性別在后，表明性別不確定，因此再生一個兩病皆患女孩的概率為：患白化病的概率（1/4）乘以色盲中患病女孩的概率（1/4）等于1/16。
1.一對表現正常的夫婦，男方的父親是白化病患者，女方的父母均正常，但女方的弟弟是白化病患者。這對夫婦生出白化病女孩的概率是（ ）
A.1/8 B.1/4
C.1/12 D.1/6
2.人的血友病屬于伴性遺傳，苯丙酮尿癥屬于常染色體遺傳。一對表現型正常的夫婦生下一個既患血友病又患苯丙酮尿癥的男孩。如果他們再生一個女孩，表現型正常的概率是（ ）
A.9/16 B.3/4
C.3/16 D.1/4
3.人類的鐘擺型眼球震顫是由X染色體上顯性基因控制，半乳糖血癥是由常染色體上的隱性基因控制。一個患鐘擺型眼球震顫的女性和一正常男性婚配，生了一個患半乳糖血癥的男孩（眼球正常），他們生的第二個孩子是兩病皆患的女孩的幾率是（ ）
A.1/2 B.1/4
C.1/8 D.1/16
4.某家庭多指（顯性致病基因P控制）遺傳情況如下圖。
[3] [4] [2] [6] [1] [5]
（1）若1、2再生一個孩子，該孩子患多指的可能性是 。
（2）圖中6和一個與自己基因型相同的男性結婚，生患病女孩的可能性是 。
（3）圖中4手指正常但患先天性聾啞（隱形致病基因d控制），這對夫婦再生一個聾啞女的可能性是 。
5.下圖是患甲病（顯性基因A，隱性基因a）和乙病（顯性基因B，隱性基因b）兩種遺傳的系譜圖，據圖回答問題：
[1][2][3][4][5][6][1][2][3][4][5] [正常女][正常男][甲病男][甲病女][乙病男][兩種病男]
（1）甲病致病基因位于 染色體上，為 性基因。
（2）從系譜圖上可以看出甲病的遺傳特點是 。子代患病，則親代之一必 ；若Ⅱ5與另一正常人結婚，其中子女患甲病的概率為 。
（3）假設Ⅱ1，不是乙病基因的攜帶者，則乙病的致病基因位于 染色體上，為 性基因，乙病的特點是 遺傳。Ⅰ2的基因型為 ，Ⅲ2的基因型為 。假設Ⅲ1與Ⅲ5結婚生了一個男孩，則該男孩患一種病的概率為 ，所以我國婚姻法禁止近親間的婚配。
重慶市江津中學 孫華權 402260
概率是對某一可能發生事件的估計，是指總事件與特定事件的比例，其范圍介于0和1之間。由于學生有關概率及概率計算的知識不夠，學生對遺傳學題中的有關概率計算掌握起來比較困難，筆者通過近幾年來的教學，根據遺傳的基本定律和有關概率的數學知識，對遺傳學題中概率計算的六種類型，進行解題思路的分析講解，收到了很好的的教學效果。
一、某一事件出現的概率計算法
例題1：雜合子（Aa）自交，求自交后代某一個體是雜合體的概率。
解析：對此問題首先必須明確該個體是已知表現型還是未知表現型。⑴若該個體表現型為顯性性狀，它的基因型有兩種可能：AA和Aa。且比例為1∶2，所以它為雜合子的概率為2/3。⑵若該個體為未知表現型，那么該個體基因型為AA、Aa和aa，且比例為1∶2∶1，因此它為雜合子的概率為1/2。正確答案：2/3或1/2。
二、親代的基因型在未肯定的情況下，其后代某一性狀發生的概率計算法
例題2：一對夫婦均正常，且他們的雙親也都正常，但雙方都有一白化病的兄弟，求他們婚后生白化病孩子的概率是多少？
解析：⑴首先確定該夫婦的基因型及其概率？由前面例題1的分析可推知該夫婦均為Aa的概率為2/3，AA的概率為1/3。⑵假設該夫婦為Aa，后代患病的概率為1/4。⑶最后將該夫婦均為Aa的概率（2/3×2/3）與假設該夫婦均為Aa情況下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘積1/9，即為該夫婦后代中出現白化病患者的概率。正確答案：1/9。
三、利用不完全數學歸納法
例題3：自交系第一代基因型為Aa的玉米，自花傳粉，逐代自交，到自交系第n代時，其雜合子的幾率為 。
解析：
第一代 Aa
第二代 1AA 2Aa 1aa 雜合體幾率為 1/2
第三代 純 1AA 2Aa 1aa 純 雜合體幾率為 （1/2）2
第n代 雜合體幾率為 （1/2）n-1
正確答案：雜合體幾率為 （1/2）n-1
四、利用棋盤法
例題4、人類多指基因（T）是正常指（t）的顯性，白化基因（a）是正常（A）的隱性，都在常染色體上，而且都是獨立遺傳。一個家庭中，父親是多指，母親正常，他們有一個白化病和正常指的的孩子，則生下一個孩子只患有一種病和患有兩種病以及患病的概率分別是（ ）
A、1/2，1/8，5/8 B、3/4，1/4，5/8 C、1/4，1/4，1/2 D、1/4，1/8，1/2
解析：據題意分析，先推導出雙親的基因型為TtAa（父），ttAa（母）。然后畫棋盤如下：
TA Ta tA ta
TtAA
TtAa
ttAA
ttAa
TtAa
Ttaa
ttAa
ttaa
tA
ta
正確答案：A。
五、利用加法原理和乘法原理的概率計算法
例題5（同上例題4）：解析：⑴據題意分析，先推導出雙親的基因型為TtAa（父親），ttAa（母親）。據單基因分析法（每對基因單獨分析），若他們再生育后代，則Tt×tt1/2Tt，即多指的概率是1/2；Aa×Aa1/4aa，即白化病的概率是1/4。 ⑵生下一個孩子同時患兩種病的概率：P多指（1/2Tt）又白化（1/4aa）=1/2×1/4=1/8（乘法原理）。 ⑶生下一個孩子只患一種病的概率=1/2 +1/4—1/8×2=1/2或1/2×3/4+1/4×1/2=1/2（加法原理和乘法原理）。 ⑷生下一個孩子患病的概率=1/2 +1/4—1/8×1=5/8（加法原理和乘法原理）。
正確答案：A。
六、數學中集合的方法
例題6、一對夫婦的子代患遺傳病甲的概率是a，不患遺傳病甲的概率是b；患遺傳病乙的概率是c，不患遺傳病乙的概率是d。那么下列表示這對夫婦生出只患甲、乙兩種病之一的概率的表達式正確的是：
A、ad＋bc B、1－ac－bd C、a＋c－2ac D、b＋d －2bd
解析：該題若用遺傳病系譜圖來解比較困難，若從數學的集合角度入手，用作圖法分析則會化難為易。下面我們先做出圖1來驗證A表達式，其中大
圓表示整個后代，左小圓表示患甲病，右小圓表示患乙病，
則兩小圓的交集部分表示患甲、乙兩種病（ac）兩小圓除去交
集部分表示只患甲病（ad）或乙病（bc），則只患一種病的概率
關鍵詞：遺傳概率的計算法、加法定理、乘法定理
《高中生物》遺傳部分是全書的一個重點和難點，同時也是歷年高考、會考的熱點。注重遺傳分析的方法和正確理解遺傳概率的提問是解決這一難題的關鍵和突破口。
在高中階段所計算的遺傳概率基本上是屬于孟德稱規律的遺傳概率。而遺傳概率的計算主要依據概率的兩個基本定理，即加法定理和乘法定理。
1、加法定理
兩個互斥事件中，出現任一事件的概率是它們各自概率之和，所謂互斥事件即指兩者不能同時出現的事件。如A事件的發生就不能出現B事件，而B事件的發生同時也不能出現A事件，那么A事件或B事件的概率即為二者概率之和，即：P（A+B）=P（A）+（B）。如基因型為Aa的個體，在形成配子時，按照孟氏規律A和a分離，進入特定配子的基因非A即a ，機會均等各為1/2的概率。它們是兩個互斥事件，形成A 或a 型配子的概率是P（A+a）=P（A）+P（a）=1/2+1/2=1
2、乘法定理
兩個獨立的事件，同時或相繼發生的概率是各自概率的乘積，設一事件的概率為P（A），另一事件的概率為P（B），A事件和B事件同時發生的概率為P（AB）=P（A）*P（B），如基因型為A a的個體自交或者雜交，據孟氏規律形成A與 a兩種類型的配子，且它們的概率各為1/2。那么雌雄配子各自做為獨立事件相遇形成各種基因的概率為：
P（AA）=P（A）*P（A）=（1/2）*（*1/2）=1/4
P（aa）=P（a）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（Aa）=P（A）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（aA）=P（a）*P（A）=（1/2）*（1/2）=1/4
而P（Aa）=P（Aa）+P（aA）=1/4+1/4=1/2
一、遺傳分析的方法
掌握了正確的遺傳分析的方法，對于遺傳概率的計算找到了突破口和正確的思路。同時也是確保計算概率正確的關鍵。
A、直接法
此方法就是直接根據題意要求，進行遺傳分析，運用加、乘法定理，直接計算出所要求的遺傳概率。
例：具有兩對相對性狀的一個純合顯性親本和一個雜合親本雜交。其子代中具有與兩個親本基因型都不相同的個體所占幾率？
解析：據題意，可假設控制這兩對相對性狀的兩對等對基因是（Y，y）和（R，r），所以親本的基因型為：YYRR和YyRr。據孟氏規律，純合顯性親本只產生一種類型的配子，其概率P1（YR）=P（Y）*P（R）=1*1=1雜合親本所產配子類型四種，其各自概率為別為：
P2（YR）=P（Y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（Yr）=P（Y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yR）=P（y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yr）=P（y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
因此子代基因型的概率為：
P（YYRr）=P1（YR）*P2（Yr）=1*（1/4）=1/4
P（YYRR）=P1（YR）*P2（YR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRR）=P1（YR）*P2（yR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRr）=P1（YR）*P2（yr）=1*（1/4）=1/4
由上可知，不同于親本的基因型概率是：
P（YYRr）+P（YyRR）=1/4+1/4=1/2
B、顯性法
此方法是在人類遺傳系分析中常用的一種方法。根據家系譜圖的特點和顯性遺傳的特點，首先判斷出該家系的遺傳屬于哪類顯性遺傳（常雜色體的顯性遺傳，伴X的顯性遺傳），再由患病的個體開始，結合該個體的父母及子女的表現型或性別寫出他們（她們）相應的基因型或者可能的基因型。最后由直接法計算出所要求的概率。
例：圖1人類家系譜中，如果Ⅲ2與Ⅲ3個體再生一個孩子是患病男孩的可能性大小？
圖1
解析：
（1）由Ⅲ4和Ⅲ5生出Ⅳ2，根據“有中生無”可確定是顯性遺傳病。
（2）在顯性遺傳前提下，世代中出現的Ⅱ2和Ⅲ1符合“父病女正”可確定是常染色體遺傳病。因此該系譜所示遺傳病為常雜色的顯性遺傳。假設顯性致病基因為D。正常基因為d，則可寫出Ⅲ3的基因型為dd，Ⅲ2為Dd，據孟氏規律Ⅲ2產生兩種配子，即D和d，其概率為：P2（D）=1/2 P2（d）=1/2，Ⅲ3個體產生一種配子，概率為：P3（d）=1
因此所生子女患病的基因型為：P（Dd）=P2（D）*P3（d）=（1/2）*1=1/2，而常雜色體的顯隱性遺傳特點之一是：男女患病機會相等各為1/2。所以這對婦夫再生一個孩子為患病男孩的可能性為：（1/2）*（1/2）=1/4。
C、隱性法
此方法也是人類遺傳系譜分析中常用的一種方法。根據家系系譜圖的特點和隱性遺傳的特點，首先判斷出該家系遺傳屬于哪類遺傳（常染色體的隱性遺傳，伴X的隱性遺傳），然后由患病的個體開始，得出他們（她們）父母可能的基因型，再由直接法計算出所求的概率。
圖2
例：圖2為血友家系系譜圖。設該病受一對等位基本控制，顯性基因H，隱性基因h，若13號個體與一個正常男性結婚。頭胎生一個患病男孩的幾率？
解析：據題意可知，血友病遺傳屬伴X隱性遺傳，由系譜圖可得患病個體為1，11和14號個體，從11和14號兩患病個體開始，結合他們父母的表現型及性別直接寫出14號個體的基因型為：XhY，8號個體基因型為：XHY，7號個體基因型為經XHXh。據孟氏規律和伴性遺傳理論，13號個體表現正常且為女性。因此其基因型可能為XHXh和XHXH而各自概率：
P（XHXh）=P（XH）*P（Xh）=1*（1/2）=1/2
P（XHXH）=P（XH）*P（XH）=1*（1/2）=1/2
其中XHXh產生配子時P（XH）=1/2，由于該基因型概率P （XHXh）=1/2，所以產生含致病基因Xh配子的概率應為P（Xh）=（1/2）*（1/2）=1/4，XHXH形成配子時，不能產生含致病基因Xh的配子，其概率應為P（Xh）=（1/2）*0=0，而與13號個體婚配的正常男性基因型為XHY，產生含Y的配子概率為P（Y）=1/2，因此XHXh*YHY生患病男孩概率P1（XhY）=P（Xh）*P（Y）=（1/4）*（1/2）=1/8，而XHXH*XHY生患病男孩概率則為：P2（XhY）=P（Xh）*P（Y）=0*（1/2）=0，對于13號個體而言基因型XHXh和XHXH不能同時出現，它們為互斥事件。用加法定理可得。患病男孩的幾率應是：P（XhY）=P1（XhY）+P2（XhY）=1/8+0=1/8
二、正確理解遺傳概率的提問
在注意遺傳分析方法的同時，還要正確理解遺傳概率的提問，這直接涉及到概率計算的正確性。
例：用純合的高莖豌豆與純合矮莖豌豆雜交得F1，F1自交得F2，F2高莖豌豆自交后代中矮莖豌豆占：
A.3/8 B.1/4 C.1/6 D.1/8
解析：首先用直接法對該題進行遺傳分析，假設控制高莖與矮莖這一對相對性狀的等位基因為D和d，并得出其遺傳圖解如圖3：
在遺傳學教學過程中，概率問題是一個頗為棘手的問題，特別是親本自由子代基因型頻率和形狀分離比的計算，更讓學生困惑不解。什么情況下親本自由需要乘以2？如何確定自由親本基因型的系數？基因位于X染色體上該如何計算？等一系列的問題。本人根據多年的教學經驗，把親本自由子代概率及性狀分離比的計算方法與步驟歸納整理如下，供大家參考。
一、基因位于常染色體上
二、基因位于X染色體上
例：果蠅的紅眼和白眼是X染色體上的一對等位基因控制的相對性狀，用一對紅眼雌、雄果蠅，子一代中出現白眼果蠅。讓子一代果蠅自由，理論上子二代果蠅中XBXb的比例、紅眼與白眼的性狀分離比分別是多少？
方法1：根據子一代的雌雄個體的基因型頻率，分別求出子一代雌雄個體的基因頻率，根據雌雄配子結合的結合均等，分別求出雌雄后代中出現的比例或子代的性狀分離比。
分析：由紅眼雌雄果蠅子一代出現白眼果蠅，可知紅眼（A）對白眼（a）為顯性，又因為控制眼色的基因在X染色體上，可知親本的基因型分別是XAXa，XAY，F1代地基因型為XAXA，XAXa，XAY，XaY。
即F2中 紅眼：白眼=13：3
通過對上述兩個例題的分析可知，在自由的群體中，若基因位于常染色體上，采用親本的基因頻率求子代的基因型頻率及性狀分離比較簡單易行。若基因位于X染色體上，用親本親本基因頻率計算子代的基因頻率雖然簡單，但在計算中容易把某種基因型在雄性或雌性中的頻率，誤當做在整個群體中的頻率，得出錯誤的計算結果，因此計算時應特別注意。
（作者單位：山東省郯城第一中學）
1 模型原型
【例1】 （2012·江蘇卷）人類遺傳病調查中發現兩個家系中都有甲遺傳病（基因為H、h）和乙遺傳病（基因為T、t）患者，系譜圖如圖1所示。以往研究表明在正常人群中Hh基因型頻率為10-4。請回答下列問題（所有概率用分數表示）：
如果Ⅱ7與Ⅱ8再生育一個女兒，則女兒患甲病的概率為 。
答案：1/60 000。
解析：根據系譜圖中正常的Ⅰ1和Ⅰ2的后代中有一個女患者Ⅱ2，說明甲病為常染色體隱性遺傳。Ⅱ7的基因型為H，其中HH占1/3，Hh占2/3。根據題意，正常人群中Hh的基因型頻率為10-4，也就是Ⅱ8基因型為H-的概率。故女兒患甲病的概率=2/3×10-4×1/4=1/60 000。
點撥：基因頻率與遺傳系譜圖結合的概率計算模型的原型是遺傳系譜圖中的個體與自然人群中的個體，且自然人群中的相關個體基因型頻率已知。在遺傳系譜圖中根據親子代關系計算相關個體基因型的概率后，直接結合自然人群中相關個體基因型頻率運用乘法原理求解。
2 模型拓展
【例2】 （2013·安徽卷）圖1是一個常染色體遺傳病的家系系譜。致病基因（a）是由正常基因（A）序列中一個堿基對的替換而形成的。
一個處于平衡狀態的群體中a基因的頻率為q。如果Ⅱ2與一個正常男性隨機婚配，他們第一個孩子患病的概率為 。如果第一個孩子是患者，他們第二個孩子正常的概率為 。
答案：q/3（1+q） 3/4
解析：Ⅱ2的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。一個處于平衡狀態的群體中a基因的頻率為q，則AA的頻率為（1-q）2，Aa的頻率為2（1-q）q。正常男性中Aa的概率為Aa/（AA+Aa）=2（1-q）q/[（1-q）2+2（1-q）q]=2q/（1+q），則他們第一個孩子患病的概率為2/3×2q/（1+q）×1/4=q/[3（1+q）]。如果第一個孩子是患者，則Ⅱ2與正常男性的基因型均為Aa，他們第二個孩子正常的概率為3/4。
點撥：模型拓展較原型的區別在自然人群中的相關基因型個體的概率未知。先按照哈溫平衡計算此概率，再按照親子代關系計算遺傳系譜圖中相關基因型個體的概率，最后結合自然人群中相關個體基因型頻率運用乘法原理求解。
3 模型演練
圖3為患甲病（顯性基因A，隱性基因a）和乙病（顯性基因B，隱性基因b）兩種遺傳病的系譜，Ⅱ3和Ⅱ8兩者的家庭均無乙病史。
假設某地區人群中每10 000人當中有1 900個甲病患者，若Ⅲ12與該地一女子結婚，則他們生育一個患甲病男孩的概率為 。
答案：1/60 000
解析：某地區人群中每10 000人當中有1 900個甲病患者，不患甲病的是10 000-1 900=8 100，所以aa的概率是8 100/10 000=0.81，由此算出a的基因頻率是0.9，的基因頻率是0.1。Ⅲ12的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。
方法一（配子法）：Ⅲ12產生配子的種類及比例是A占2/3，a占1/3;自然人群中A占0.1，a占0.9。所以若Ⅲ12與該地一女子結婚后代不患病的概率是aa=1/3×0.9=0.3，后代患病的概率是1-0.3=0.7，故后代患病男孩的概率是0.7×1/2=0.35。 本文由wWW.dyLw.NeT提供，第一論 文 網專業教育教學論文和以及服務，歡迎光臨dYLw.nET
為了能夠了解導體內電荷的分布概況，利用麥克斯韋方程組中電場積分式，令其電場強度與閉環回路（或封閉空間）的積分和為零的理念，建立坐標模型和數學模型進行運算求得分布概率結果所采用的一種方法。
【關鍵詞】麥克斯韋方程積分式 導體內電場強度處處為零 電荷分布概率
導體中電荷的分布與改變和外布電場的強弱與變化是一對統一的理論體系。電荷的分布是產生電場分布的根源，而電場反過來左右電荷的分布，是一對立的統一體。因此對電荷分布的研究與對電場的分析具有相同的重要意義。
當導體中存儲電荷處于穩定時，導體內部處處電場力的和應為零。否則有任何電場的存在都會引起電荷的移動（重新分布）。我們利用麥克斯韋方程組中電場積分式令其等于零，即
來建立數學模型或公式計算出電荷的分布概率。
1 為了更好地理解這種方法先闡述幾個基本概念
1.1 測試電荷點
測試電荷點q是指在帶電導體內靜態下，測量某點處電場大小、方向的電荷。其電量小到不影響此處的電場狀態。其方向是q為正時順勢而下（電場箭頭的方向）；q為負時逆勢而上（電場箭頭的反方向）。
1.2 庫侖定律
。其中Q1、Q2為兩個電荷體的電荷量；l為Q1Q2之間距離；k為庫侖常數。
1.3 麥克斯韋方程積分式
或原式是說明在任何平面環路和電場積分與本環內磁場變化率的關系或任何封閉的空間電場通量與所含電荷量的關系。我們利用電場的積分式并令其在導體中某點等于零（導體是有限的封閉空間），根據庫侖定律
；f（ρ）為分布體密度函數、
；f（σ）為分布面密度函數、
；f（x）為分布線密度函數。并且導體內處處應為零，計算出電荷的分布概率。
1.4 容余電荷
導體本身是存有正負電荷元素，而容余電荷是在正負電荷失去平衡或電勢不為零時產生出電場的多余電荷。所以容余電荷或者是正電荷或者是負電荷。
2 為了驗證一下應用效果下面舉幾個簡單的例子
2.1 例1：一根極細而有限長帶電導線軸向的電荷分布概率
如圖1，在一根長度為b容余電荷量為Qs的細導線上，在無任何電磁干擾的理想環境下，忽略其徑向因素，只考慮軸向電荷分布概率。為了運算方便和結果比較，將b分別分為3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分為2個長，每2個之間分別設定電荷點Q1、Q2、Q3等，其電量分別是其所處2個所儲電量和Qi=2σi（i=1、2、3…n），
（σi線密度；n為分段數）。每兩個電荷點之間設定測量點q1、q2等，根據庫侖定律和麥克斯韋方程組中電場積分式，可以看出實際上每處測試點左邊電場強度與右邊的和為零時，任何軸向閉環積分和必定為零。因此建立各測試點電場強度為零的數學模型即方程組與Qs函數關系式。
2.1.1 當b分為3段時數學模型如下：
因在同一介質中庫侖比例系數K為同一值，約去k、q、求得方程組的解
2.1.2 如圖2，當b分為4段時數學模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.3 如圖3，當b分為5段時數學模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.4 如圖4，當b分為6段時數學模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.5 如圖5，當b分為7段時數學模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
圖6、圖7為正、負電荷7段的分布概率。
2.1.6 如圖8，當b分為19段時求得方程組的解如下：
2.2 例2：一根極細一端有端頭一端無限長的帶電導線在端頭處的電荷分布概率
如圖9，在無任何電磁干擾的理想環境下，導線上儲存有電荷Qs。忽略其徑向分布情況，只考慮軸向分布概率。
設端點為A，從點A向另一端劃分出若干個極小間距，在每兩個中間設定點電荷 Q1Q2Q3等每個Q代表這兩個的電量和Qi=2σi（i=1、2、3…）。在每兩個Q中間設定點測試點q1q2q3等，在只考慮軸向時，每個測試點左右側的電場強度和應為零。即軸向環路必為零。
根據庫侖定律在q1點處建立數學模型：
（i=1、2、3…） （ 約去k、q、）得
而且Qs越大
越大Q1與Q2差值也越大。從例1的運算結果得知兩個端頭的電荷密度向中心是逐漸遞減的。類似于本例題A端向另一端的電荷密度同樣也是遞減的。只不過將例1中b的長度無限延長了一端。
2.3 例3：一個無根大的理想帶電平面中心范圍的電荷分布概率
如圖10，在無任何電磁干擾的理想環境下，在一個無根大的理想平面上分布有密度為σi的容余電荷，處于靜態時在中心范圍內確定任意兩個點A、B，沿AB兩點畫一條向兩邊無限延長的直線。根據麥克斯韋積分式沿此直線軸向閉環與電場強度積分應為零。設分別以AB為圓心
為半徑畫兩個圓，由于非常小可以把兩個圓看成兩個點電荷。根據庫侖定律，則AB中間點的電場強度應為：
其中：q為測試電荷點；σi為單位面積電荷密度；r為直線及其延長線的距離；σAi為A邊直線上電荷密度；σBi為B邊直線上電荷密度；A-B為A到B的距離；k為庫侖常數。
\算（1）式得：
由于無限大平面中的電荷是連續分布的、無間斷點。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。
充分性：由于AB點可任意確定中心范圍的每個點和各個方向。因此，中心范圍的電荷密度值是一樣的。
必要性：在平面上AB中間點處的電場強度會不會受到除此直線以外任何其它電荷的影響呢？肯定是不會的。因任何一處除直線以外電荷的作用，都可以找到以AB中間點為圓點的對稱點處電荷的作用，大小相同、方向與前一處電荷作用向反。在AB中間點處影響力為零。
3 結論
經過幾個簡單例子運算結果和分析得知：
（1）對一根長度有限的帶電細導線電荷密度計算通過表1看出：
a.有限長線段電荷分布概率是兩邊密度大于中心。
b.有限長線段電荷分布概率是兩邊對稱的。
c.與儲存電荷Qs有關系；與b的長度有關系。
d.越小分段越多越精準化兩端電荷密度值越高，中間越平緩。
此外，在電荷進行交流時變時，兩頭的電荷量和電場變化最大，其磁場變化也最大，非常適合電磁信號的發射。如過去軍用便攜式步話機的天線就采用叉開線段狀導體。并且接收信號天線的采集信號點都處于端頭。
（2）對一根一端有端頭一端無限長的帶電細導線計算得知，在端頭處的電荷密度最高。而且帶電量Qs越大會更高。而避雷針接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使針頭的電荷密度及其電場強度遠遠大于其它地方，從而起到引雷電入地的作用。
（3）無限大理想平面帶電導體中，在無任何電磁干擾下，中心范圍電荷密度值處處相同。這與帶電平板電容中心區域電場強度值處處一樣是一致的。
從上述的運算結果和現實生活中應用的吻合程度，說明此方法是能夠表述導體中靜態電荷的分布概率。
有不對之處請多提建議。
參考文獻
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[3]張洪欣，沈遠茂，韓宇南.電磁場與電磁波[M].北京：清華大學出版社，2013.
本文作者：李菲1，2，3侯再紅1吳毅1作者單位：1中國科學院安徽光學精密機械研究所大氣成分與光學重點實驗室2中國科學技術大學物理學院光學與光學工程系3電子工程學院光電系脈沖功率激光技術國家重點實驗室
光強概率分布
通常認為在弱湍流條件下，光強起伏的概率密度滿足對數正態分布，而在中、強湍流條件下則服從Gamma－Gamma分布［9］。對于通信距離幾千米以內的無線光通信系統，考慮到孔徑平均效應，光強起伏一般都看作弱起伏，服從對數正態分布。饒瑞中等［11］曾提出：根據湍流大氣中激光對數強度的最低幾階中心矩，可以建立一種能準確地描述實際概率分布的最大似然概率分布模型。通常，實驗數據的高階矩的精度是較低的，只有較低級次的矩比較可靠。它應滿足歸一化條件，即μ0等于1。由歸一化條件和4個矩方程構成5個未知系數λ0、λ1、λ2、λ3和λ4的非線性積分方程組。借助于五階矩μ5和六階矩μ6，再根據（9）式的形式推斷它在無窮大時以指數趨于零，使用分部積分法可以得到λi的方程組，解得此方程組后系數λ0可以通過數值積分求得。
實驗結果
本文的實驗使用波長為670nm的半導體激光器作為發射光源，使用口徑100mm的卡塞格倫望遠鏡作為接收天線，APD探測器被安放在望遠鏡焦點附近；探測器輸出的信號被接入8位數據采集卡，由計算機軟件進行采集和閾值判決。激光水平傳輸距離為1km，傳輸路徑距離地面約10m，水面和陸地約各占一半。在提取數據過程中，時鐘信號的累計誤差可能導致數據的錯位，因此使用連續激光來模擬一段時間的全“1”信號，而使用光闌阻斷光路來模擬一段時間的全“0”信號，將兩組數據的誤碼累加起來作為最終誤碼結果。實驗時間選擇在9月份的晴朗天氣，持續進行24h，信號采集頻率為10MHz，每次采集2×108個樣本點，相鄰兩次采集相隔30min。由于經歷了全天的變化，對數光強起伏方差跨越了近兩個數量級，但是仍然滿足弱起伏條件。由于誤碼率中虛警概率Pfalse不受湍流影響，使用正態分布計算的結果與擬合分布沒有差別，因此本文主要研究光強起伏對漏警概率Pmiss的影響。計算中使用的參數i0、i1（1）和σ20是通過實驗數據進行統計處理獲得，其中i0和σ20分別為全“0”數據的統計均值和方差，而i1（1）在忽略光束擴展的影響時可以認為與全“1”數據的統計均值〈i1〉相等。（5）式中的參數2eBMF可以通過事先的系統標定得到，具體做法是：在無湍流影響的實驗室環境中，使用探測器接收高穩定度激光器輸出的連續激光并采集數據，對數據的統計均值和方差進行線性擬合，所得擬合直線的斜率即可作為參數2eBMF進行計算。對于實際大氣湍流，單純根據對數起伏方差σ2lnI衡量起伏強度并不可靠。由（6）式可知，除了平均信噪比和對數起伏方差，光強概率分布函數對系統性能的影響也有較大的影響。圖1為在平均信噪比〈R1SN〉＝6、對數起伏方差σ2lnI＝0．035的條件下，同一天內兩個不同時刻實測的漏警概率曲線。圖中縱坐標為漏警概率Pmiss，橫坐標為歸一化判決閾值iT／〈i1〉，空心圓點對應的樣本采集于凌晨3：00，實心圓點對應的樣本采集于中午12：00。可以看出即使平均信噪比和對數起伏方差相同，系統性能仍然會由于光強概率分布的變化而產生幾個數量級的波動。圖2是實測數據以及使用（7）式和（10）式計算得到的概率分布直方圖。圖中橫坐標為S，縱坐標代表S值落在某一區間內的概率，空心圓點代表從2×108個實測樣本點直接獲得的概率分布直方圖，實線代表用極大似然擬合分布計算的結果，虛線代表使用對數正態分布計算所得結果，其中圖2（a）和（b）所用樣本對應的σ2lnI都為0．014。通過對大量數據的分析，可以看出大部分情況下正態分布和擬合分布與實際分布都比較接近，但是在某些情況下正態分布與實際分布的偏差較大，這也將導致漏警概率計算中的較大偏差。圖3是24h內正態分布、擬合分布的計算結果與實測樣本之間的相關系數變化曲線。圖中實線代表正態分布與實測樣本之間的相關系數，虛線代表擬合分布與實測樣本之間的相關系數。總的來說，大部分情況下正態分布模型可以較好地描述實際分布，但是在某些時刻實際分布明顯偏離正態分布，而擬合分布具有更高的相關性，以此分布模型進行仿真計算可以得到更準確的結果。圖4為不同起伏強度條件下根據（6）式分別按照正態分布和擬合分布計算的漏警概率曲線。圖中空心圓點代表從2×108個實測樣本點直接獲得的漏警概率，實線代表按照擬合分布計算的結果，虛線代表按照正態分布計算的結果。由于采樣數據總量的限制，實測漏警概率的精度無法超出10－9量級，圖中漏警概率實測值在個別點上顯示為0，而采集卡的精度限制也導致實測漏警概率出現階梯狀。可以看出，隨著對數起伏方差的增大和平均信噪比的減小，漏警概率的計算值和實測值都迅速升高，這與之前的研究相吻合；在測量精度范圍內，使用擬合分布計算的結果基本上都與實測值相吻合，而使用正態分布計算的結果則在某些情況下偏差相對較大。正態分布計算結果與實測值之間的偏差可以通過光強概率分布的偏斜度和陡峭度反映出來。偏斜度和陡峭度的絕對值越小，偏差程度越小，反之亦然；當偏斜度為負時，實測值通常大于正態分布計算結果；當偏斜度為正時，實測值通常小于正態分布計算結果。對此現象可做出如下可能的解釋：通信系統的歸一化判決閾值一般都會被設置為0．5或更小。偏斜度和陡峭度的絕對值越小，實際概率分布與正態分布越接近，計算結果與實測值之間的偏差自然越小；當偏斜度為負時，實測光強低于判決閾值的概率大于正態分布，實測漏警概率也自然大于正態分布計算結果。
結論
在現有模型基礎上，使用極大似然擬合光強概率分布模型取代常用的正態分布模型，提出了實際大氣中無線光通信系統差錯性能的修正計算模型，并進行了全天實驗以驗證模型的準確性。在持續24h的實驗時間內，大氣湍流在滿足弱起伏的條件下經歷了較大范圍的變化。實驗中發現，在弱起伏條件下實測光強的概率分布大多符合對數正態分布，但在某些情況下與對數正態分布有著明顯的偏差，而這種偏差導致使用修正模型的計算結果與實測值也有較大偏差。如果使用極大似然擬合分布替換對數正態分布，修正模型的計算結果則與實測值比較一致，計算準確度有明顯提高。提出的修正模型不僅可用于無線光通信系統誤碼率的仿真研究，也可以對工程系統設計評價和相關理論研究提供一定參考。只要能夠獲取某地大氣湍流的光強起伏方差和概率分布模型等參數，并且得到無線光通信系統的發射功率、光束發散角等系統參數，就可以根據此模型估算出該系統的誤碼率，這對于無線光通信的站點選址也有很大的幫助。由于在實際工作環境中，系統性能還會受到大氣透射率起伏、光束擴展以及到達角起伏等大氣效應的影響，極大似然概率分布模型也不足以完全準確地反應光強概率密度分布的特征，因此要對復雜環境下的系統性能進行全面評估，還需要對激光大氣傳輸理論和光強起伏特征做進一步的研究。
【關鍵詞】風險分析；蒙特卡洛模擬； 投資決策
1 概述
在實際工作中，用解析法對工程項目進行風險分析有時會遇到困難。例如， 有時往往沒有足夠的根據來對項目盈利能力指標的概率分布類型做出明確的判斷，或者這種分布無法用典型的概率分布來描述。在這種情況下，如果能知道影響項目盈利能力指標的不確定因素的概率分布，就可以采用模擬的方法來對工程項目進行風險分析。
建設項目經濟評價是項目建議書和可行性研究報告的重要組成部分，通過對項目的財務可行性和經濟合理性進行量化計算、分析論證，為項目的科學決策提供依據。同時也是BOT、TOT等新型特許經營投融資模式下投資者進行項目投資決策的依據。在項目經濟評價中采用的基礎數據如建設投資、成本費用、產品（服務）價格、建設工期等大部分來自對未來情況的預測與估計，由此得出的評價指標及做出的決策往往具有一定程度的風險。為了向項目投資決策提供可靠和全面的依據，在經濟評價中除了要計算和分析基本方案的經濟指標外，還需要進行不確定性分析和風險分析，并提出規避風險的對策。
蒙特卡洛法是一種通過對隨機變量的統計試驗、隨機模擬以求解各類技術問題近似解的數學方法，其特點是用數學方法在計算機上模擬實際概率過程，然后加以統計處理，解決具有不確定性的復雜問題。解決經濟上的隨機概率問題，蒙特卡洛法被公認為是一種經濟而有效的方法，在投資項目風險分析中很有實用價值。本文試以某建筑企業一期工程為例，利用計算機編制程序，嘗試蒙特卡洛模擬技術在建筑工程項目風險分析中的應用。
2 項目概況
某建筑企業一期工程項目采用BOT模式，目前仍在進行設計及招投標階段。按照初步設計概算結果，該建筑企業一期工程建設投資213．75萬元，流動資金515．37萬元，年經營成本3066．50萬元。
根據項目實施計劃，本工程建設期為3年，各年度投資使用比例為22％：42％：36％；生產運營期按照經濟使用年限設定為20年，固定資產殘值率為4％；年銷售收入預計為6570萬元，經濟評價不計算增值稅，只計取城市建設維護稅、教育費附加和防洪基金；基準收益率按目前建筑行業內部收益率標準取4％，以財務內部收益率大于基準收益率為項目可行。按照以上基礎數據進行財務分析，得稅前財務內部收益率為5．38％、投資回收期（含建設期）4.77年，財務凈現值（i=4％）為5234萬元，均能滿足財務最低要求，從財務分析的角度認為項目是可行的。
3 模擬過程
蒙特卡洛模擬法的實施步驟一般是：確定風險變量，分析每一變量可能變化的范圍并確定這些變化的概率分布，構造風險變量的概率分布模型；通過模擬試驗，為各風險變量抽取隨機數，并將隨機數按照概率分布模型轉化為變量的抽樣值；將抽樣值組成一組經濟評價基礎數據，計算出評價指標值；最后重復進行試驗，進行若干次模擬后整理試驗結果所得項目評價指標值的期望值、方差、標準差和它的概率分布及累計概率，繪制累計概率圖，即可求出項目可行或不可行的概率。
3.1 確定風險變量的概率分布。
在工程項目經濟評價中，通常采用歷史數據推定法或專家調查法（常用德爾菲法）確定變量的概率分布。對此建筑工程進行模擬，采用專家調查的方法測算確定風險變量的分布模型。
3.1.1 建設投資的概率分布。建設投資的概率分布采用三角形分布，邀請專家根據項目初步設計概算情況對項目投資進行預測，估計項目投資的最樂觀值、最大可能值、最悲觀值，求取專家意見的平均值，并計算標準差和離散系數，離散系數滿足專家一致性要求時，經測算估計最后確定三角形分布模型，結果為：樂觀值34181萬元，最大可能值采用概算值40213．75萬元，悲觀值44235萬元。
3.1.2 經營成本和銷售收入的概率分布。經營成本和銷售收入的概率分布均采用正態分布，邀請專家對經營成本和銷售收入的期望值、分布范圍和范圍內概率進行估計。選取三位專家對經營成本的估計結果進行計算示例如下：第一位專家認為經營成本的期望值為3000萬元，在2760―3240萬元范圍內的概率為90％，即在2760～3240萬元范圍外的概率為10％，小于2760萬元（或大于3240萬元）的概率為5％，即比期望值3000萬元減少240萬元的概率為5％，查標準正態分布概率表或通過計算機程序計算得離差為－1．645，即相當于期望值偏離了－1．645ð，于是標準差ð=240／1．645=146萬元。同理計算其他專家對經營成本的期望值與標準差的估計值，結果見表1。專家估計結果標準差的平均值為164萬元，方差為247，離散系數為 ，滿足專家一致性要求，從而確定經營成本的概率分布服從N(3037，1642)的正態分布。
采用同樣的方法，經專家估計確定經營收入的概率分布服從N(6570，3802)的正態分布，過程從略。
3.2 抽取隨機數，產生變量抽樣值
本文的模擬過程完全由計算機程序完成，隨機數采用編程語言提供的隨機數函數獲取。
對建設投資、經營成本和銷售收入分別獲取隨機數，以此隨機數作為變量的概率值，并根據相應的概率分布模型轉化為各隨機變量的抽樣值，轉化過程如下：
3.2.1 建設投資服從三角分布，直接利用概率的數學含義即三角形面積求取隨機變量。
3.2.2 經營成本和銷售收入服從正態分布，正態圖上陰影部分的面積為隨機數產生的概率值，由概率值查標準正態分布概率表或通過計算機程序計算得出抽樣值距期望值的離差，可以確定隨機變量的抽樣值：抽樣值(x)=期望值±離差×標準差。
3.3 計算抽樣的評價指標值
確定出一組建設投資、經營成本和銷售收入等隨機變量的抽樣值后，以這組抽樣值為經濟評價的基礎數據，流動資金按照經營成本的抽樣值與期望值之比進行調整，計算項目經濟評價指標值。常用的評價指標有財務凈現值、內部收益率、投資回收期等，一般采用財務內部收益率，在計算期內按照以下公式采用計算機試算內插法求解FIRR：
NPV=
其中流入資金CI包括銷售收入和計算期末回收殘值、回收流動資金；流出資金CO包括建設投資、銷售稅金、經營成本等。
3.4 模擬結果及試驗次數對結果的影響分析
重復以上隨機試驗，使模擬結果達到預定次數后，以每一次試驗發生的頻數作為概率，按內部收益率由小到大進行排序，整理全部試驗結果的期望值、方差、標準差，并計算累計概率，即可求取財務內部收益率小于基準收益率的累計概率，從而確定項目可行或不可行的概率。對該工程進行試驗次數為2000次的一次模擬，整理模擬結果，得內部收益率的平均值為5.64％，方差為1.93，離散系數為24.63％。按內部收益率由小到大進行排序計算，可確定內部收益率低于基準收益率4％的累計概率為12．75％，即內部收益率大于或等于4％的概率為87．25％，可見此工程項目的財務風險較小。
4 計算機模擬程序
采用蒙特卡洛模擬法進行風險分析，計算過程重復性強、工作量大，一般利用計算機程序完成。為了將蒙特卡洛模擬技術引入污水處理項目經濟評價風險分析中，筆者采用可視化編程語言Visual Foxpro編制了計算程序。
采用該程序，可以根據專家調查結果確定風險變量的分布模型、實現正態分布概率值與離差的相互轉換（計算標準正態分布表中的數據）、抽取隨機數并產生抽樣值、計算經濟評價指標、在設定試驗次數下的一次模擬和多次重復模擬、查看模擬結果、形成模擬結果概率圖表等，實現短時間完成數千次模擬試驗的計算、分析和輸出。上述表2中統計出了在P2.8G計算機上利用該程序進行不同試驗次數的一次模擬耗用時間數，其中試驗次數為2000次時一次模擬耗時僅用2．97秒，進行20次重復模擬累計耗時約1分鐘；若試驗次數為10000次，20次重復模擬累計耗時將達5分鐘。
在建筑工程項目可行性研究報告經濟評價工作中，對風險分析有著較高要求，對項目進行風險概率分析的更是重要，而采用蒙特卡洛模擬技術進行模擬分析是重要手段。本文通過對某建筑工程作為算例，編制計算機程序進行蒙特卡洛模擬分析，得出項目可行或不可行的概率，為建設方提供決策依據，并為項目可行性研究工作進行風險分析提供案例，同時為BOT、TOT等新型特許經營投融資模式進行項目投資決策的風險分析提供參考。
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關鍵詞：古典概率 樣本空間 巧解
在解答古典概率題時，首先要計算樣本空間Ω的樣本點數即基本事件數n和某一事件A的有利事件數m，這樣就可以計算出事件A發生的概率為P(A)= 。這個看似簡單的公式，但我們往往會計算很復雜，而且在計算中常常會用到排列組合的公式計算，就會使一些問題的計算量很大，容易計算錯誤，而功虧一簣。
那么我們能不能用一些簡單的方法來解決這個矛盾呢？答案是肯定的。只要我們在分析問題時能選取適當的樣本空間，就可以巧解這一類問題。我們通過以下幾個問題來進行探討：
例一 將1,2,…，n這n個數字任意排列，試求：
（1）2在1前面的概率；
（2）1,2,3依次出現的概率。
解：（1）方法一. n個數字作為樣本空間的基本事件的考慮對象，則 n個數任意排列，有n！種排法，即樣本空間的樣本點數為 n！。2一定排在1之前這個事件的有利事件數為 C2n（n-2）！種排法，所以所求概率為:
方法二 注意到題中的要求是求2排在1前面的概率，所以我們只關心的是1和2這兩個數字的排法，1和2兩個數字任意排，有兩種排法，則樣本空間Ω={(1,2)，（2,1）｝，即Ω包含兩個樣本點。設A=｛2在1前面｝，于是A={(2,1)}只包含一個樣本點，所以所求概率為:
P（A）=
(2)方法一. 考慮n個數字任意排列的情況，n個數字任意排列有n！種不同排法，所以樣本空間的樣本點數為n！，而對于事件A={1,2,3依次出現}的有利事件數可以這樣來計算：“1,2,3依次出現”可以依次出現在n個位置的三個位置上，所以有C3n種站位方法，這三個位置被1,2,3依次占據后，其余n-3個數字可按任意次序在余下的n-3各位置上站位，有（n-3）！種排法。因此，事件A的有利事件數為C3n（n-3）！，因而“1,2,3依次出現”的概率為：
方法二 我們不用考慮n個數字的排列，因為我們只需考慮1,2,3這三個數字的排列情況，所以我們可以選取適當的樣本空間，這時我們只以1,2,3做考慮對象，所以1,2,3任意排列有3！種不同排法。即：Ω=｛（1,2,3），（1,3,2），（2,3,1），（2,1,3），（3,1,2），（3,2,1）｝，樣本空間中包含6個樣點。如果A={1,2,3依次出現｝，
那么A僅包含了1個樣本點，即A={(1,2,3）｝，所以事件A={1,2,3依次出現}的概率為：
P(A)=
由本例我們可以看到：有關這類數字的排列而產生的概率的問題，只要我們能根據具體情況，適當選取樣本空間，就可以通過簡單的計算來解答，從而避免了復雜的排列組合計算。
例二．袋中有a個黑球，b個白球，現將球隨機地一個一個不放回地摸出來，求第K次摸出的球是黑球的概率（1Ka+b）。
解：方法一 將球看成是各不相同，因為取球是不放回的，所以應考慮排列。每K個排列好的球構成一個基本事件，此時樣本空間所包含的樣本點數為Aka+b.設Ak=｛第K次摸出黑球｝這相當于在第K個位置上放一個黑球（有C1a=a種放法），在其余K-1個位置上擺放從余下的a+b-1個球中任取K-1個球，所以事件Ak包含的有利事件數為aA ，于是事件Ak的概率為：
方法二 設Ak={第K次摸出黑球}。因為我們只考慮的是最后摸出的一個球是白球還是黑球，所以，考慮樣本空間時只對最后一個球進行考慮。這樣我們可以選取適當的樣本空間。首先把a+b個球加以編號，前a個球為黑球，后b個球為白球，設Wi表示第K次摸出第i號球，則樣本空間Ω={w1，w2，…wa+b}，即樣本空間的樣本點數為a+b。容易知道每一個球都等可能的在第K次被摸到，所以Ak={第K次摸出黑球}的樣本點為Ak={w1，w2，…wa}，因此，Ak的有利事件數為a。故由古典概率的計算公式可求出事件Ak的概率為：
比較本例的兩種解法可以發現，方法二中樣本空間的取法最小，再小就不能保證等可能性了。方法一中選取的樣本空間較大，沒有方法二直觀、簡單。
例三 n個老同學隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：
（1）A={甲、乙坐在一起，且乙在甲的左邊}；
（2）B={甲、乙、丙坐在一起}。
解：方法一 圍成圓圈的椅子不編號，n個人圍圓桌而坐的不同方法為n個不同的元素排列圓圈的排列數，即樣本空間的樣本點的總數為：n= =（n-1）！
（1）因為乙坐在甲的左邊，將甲、乙兩人看成一人，所以事件A的有利事件數就是（n-1）個不同元素排成圓圈的排列數，即 =（n-2）！所以事件A的概率為：
（2）類似地，將甲、乙、丙看成一人，這時有 =（n-3）！種排法。當n4時，甲、乙、丙3人共有3！種不同的排法。由乘法原則可知B的有利事件數為（n-3）！3！，所以事件B的概率為：
特別地，當n=3時，甲、乙、丙總是在一起的有：
P(B)=1
方法二 （1）將椅子編號，任何人坐了不同編號的椅子都看成是不同的排法，所以樣本空間Ω的樣本點數為n!。甲有n種不同的坐法，乙坐在甲的左邊，其余的人共有（n-2）！種坐法。所以事件A的有利事件數為n（n-2）！，故事件A的概率為：
（2）當n≥4時，甲有n種坐法，乙、丙與甲相鄰而坐占了2個位子，其余的人共有（n-3）！種坐法；而乙和丙可能在甲的兩邊，有2種坐法；可能都在甲的右邊，有2種坐法，；也可能都在甲的左邊，也有2種坐法。所以甲、乙、丙的相對位子共有6種，因此事件B的有利事件數為6n（n-3）！。故事件B的概率為：
特別地，當n=3時，事件B是必然事件，故P（B）=1
方法三 （1）我們只需考慮甲、乙兩人的座位關系，所以我們可以選取適當的樣本空間，不妨假設甲已坐定，這時乙的坐法有（n-1）種。這（n-1）個位置都是等可能的，即這時的樣本空間Ω的樣點總數為n-1.而A=｛甲、乙坐在一起，且乙在甲的左邊｝的有利事件數只有一種，所以事件A的概率為：
（2）類似地，甲坐定后，乙、丙共有（n-1）（n-2）種坐法，所以這時樣本空間的樣本點數的總數為（n-1）（n-2）。而B=｛甲、乙、丙坐在一起｝的有利事件數為6，所以事件B的概率為：
特別地，當n=3時， P（B）=1
從本例可看出，用計算排列的方法來做是比較復雜的。但是當我們選取適當的樣本空間后，不用排列組合而十分簡便地得到結果。
例四 任取一個正整數，求該數的平方的個位數是1的概率。
本例在學生解答時常常把正整數全體取為樣本空間，而這樣的樣本空間是無限的，就談不上等可能性了，所以如果把全體正整數取為樣本空間我們就不能用古典概率來計算，因此，我們只能選取適當的樣本空間。我們首先考慮，一個正整數的平方的個位數只取決于該整數的個位數，它們可以是0，1,2，…，9這十個字中的任一個。所以我們就可以把樣本空間取為Ω=｛0，1,2，…，9｝，設A=｛任取一個正整數，該數的平分的個位數是1｝，而在｛0，1,2，…，9｝這十個數字中，顯然只有1和9這兩個數字的平方的個位數是1，所以事件A的有利事件數為2，即A=｛1,9｝。故所求的事件A的概率為：
本例說明對一些特別的問題，如果我們不會選取適當的樣本空間，不僅計算困難，而且是不能用古典概率的方法來解決。而當我們選取適當的樣本空間后，就使問題的解答簡單、直觀。
如果我們對這種方法理解和熟悉后，我們在計算條件概率時是可以運用這種思想的。在事件A發生的前提下，選取B的適當樣本空間，并在這個適當的樣本空間中計算B發生的概率，從而計算出P（BA）。這種方法常常叫做縮減樣本空間法。
例五 在1,2,3,4,5這五個數碼中，每次取一個數碼，取后不放回，連取兩次。求在第一次取到偶數的條件下，第二次取到奇數的概率。
首先我們來對問題進行分析：用（i，j,）表示第一次取出數碼i且第二次取出數碼j，則隨機試驗所產生的樣本空間為：
Ω=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）｝
如果把“第一次取得偶數”記為事件A，這個條件作為隨機試驗的先決條件，這時樣本空間為：
ΩA=｛（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，5）｝
這個空間我們就常常叫做“縮減的樣本空間”，它是把Ω中第1數是奇數的12個樣本點除去后，剩下的8個樣本點所構成的新樣本空間（不考慮第2個號碼是奇數還是偶數）。因此，我們僅考慮第一次抽樣的隨機試驗所組成的樣本空間Ω=｛1,2,3,4,5｝，則第一次抽去一個偶數后，其樣本空間縮減為ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取偶數2或4.空間Ω可以用條件概率公式來計算概率，縮減的樣本空間可以用古典概率公式直接計算概率。
解：方法一 設A=｛第1次取出偶數｝
B=｛第2次取出奇數｝
因為兩次取數的隨機試驗所構成的樣本空間Ω的樣點的總數為 A25個，其中事件A的有利事件數為 C12C14
所以，
又在Ω中第一次取出偶數且第二次取出奇數的樣點的點數為C12C13，所以
由條件概率公式可得：
方法二 我們縮減樣本空間考慮時，ΩA所包含的樣本點數為C12C14(或A25-C13C14)個，其中第2個數碼是奇數的樣本點數為C12C13(或A25-C13C14-A22)個。故由古典概率計算公式可得：
方法三 我們首先考慮第一次抽樣時的樣本空間，這時的樣本空間Ω=｛1,2,3,4,5｝，如果第一次抽取一個偶數后，樣本空間縮減為：
ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取2或4。在縮減的樣本空間ΩA中，第二次抽取到奇數的樣本點為1,3,5,即有利事件數為3。由古典概率公式可得：
P（BA）=
本例中的方法一是條件概率公式直接計算，較方法二、方法三計算量大，對方法二、方法三來說，都采用了縮減樣本空間法。但應注意這兩種方法是從不同的角度進行縮減。這種解法所選取的原樣本空間不同，就如前面所介紹選取適當樣本空間那樣。方法二是考慮兩次取數的試驗所產生的樣本空間（稱之為細分），方法三是考慮一次取數的試驗所產生的樣本空間（稱之為粗分）。這兩種解法想比較，方法二容易被接受，但樣本點數較多時，計算較麻煩。方法三不容易掌握，但計算簡潔。
例六 袋中裝有2n-1個白球，2n個黑球，一次取出n個球，發現都是同一種顏色的，求這種顏色是黑色的概率。
解：方法一 我們以袋中2n-1個白球和2n個黑球為考慮的對象。這時從4n-1個球里一次取出n個球有Cn4n-1種不同的取法，所以樣本空間Ω的樣本點數為 Cn4n-1
設A=｛取出的n個球是同色球｝ B=｛取出的n個球是黑色球｝
由古典概率計算公式可得：
P（A）= P（AB）=
所以由條件概率公式計算可得：
方法二 設A=｛取出的n個球是同色球｝，B=｛取出的n個球是黑色球｝，現在僅考慮A的前提條件下，我們可知A的縮減樣本空間ΩA僅為Cn2n+Cn2n個樣本點，這時B包含的樣本點數為Cn2n個。所以，所求的概率為：
通過以上的例子我們可以看到，在古典概率計算中，只要我們充分掌握了對古典概率的要求，在解題時只要能選取適當的樣本空間，復雜的排列組合計算也是可以避免的。當然，以上的例子是筆者經過有意識的選擇的，但這種注意樣本空間選取的思想是很有用的，掌握它也不困難，但卻往往不被人所重視。因此筆者想以此文提出，希望能引起重視，并能對關心古典概率的人們有所幫助。
[參考文獻]
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一、什么是概率
對于概率的定義，教材中是這樣闡述的：隨機事件發生的可能性有大小.一個事件發生可能性大小的數值，稱為這個事件的概率（probability）.
概率是度量事件發生可能性大小的屬性.如果用A表示一個事件，那么我們就用P（A）表示事件A發生的概率.
由于必然事件在每次試驗中必定發生，或者說它發生的可能性是百分之百，它的概率是1.不可能事件發生的可能性是0，所以它的概率是0.而任一事件A發生的可能性不會小于0，也不會大于百分之百，即有0≤P（A）≤1.
對于一個隨機事件，它發生的概率是由它自身決定的，并且是客觀存在的，概率是隨機事件自身的屬性.它反映這個隨機事件發生的可能性大小.事件發生的可能性越大，則它的概率越接近1；事件發生的可能性越小，則它的概率越接近0.
二、概率教學的重要途徑――實驗
1.概率實驗的內涵
概率教學應該通過真實數據、活動和直觀模擬創造情景，使學生感悟蘊涵的概率背景，重視模擬和實驗，淡化術語，避免單純從計算的角度引導學生去從事概率的學習.
在教學中多結合實例，讓學生親自經歷隨機現象的探索過程，親自動手進行實驗，集體合作，收集實驗數據，分析實驗結果，并將所得結果與自己的猜測進行比較，獲得一定的活動經驗，促進對概率意義的理解和掌握，教師要注重創設情境，讓學生在解決實際問題的過程中逐步理解概率.在教學過程中，并非一味簡單地講述書本知識，而適時、恰當地設計、引導學生主動參與課堂、課后的概率實驗，以實驗結果來論述問題，體現以學生為主，以應用為本的教學理念，使抽象的數學教學進行得生動活潑，從而取得讓學生終身難忘的教學效果.
2.概率實驗的價值
第一，通過概率實驗，有助于學生體會隨機現象的特點.在進行實驗及對實驗數據的分析中，學生將逐漸體會到隨機現象的不確定性，以及大量重復實驗所呈現的規律性.
第二，通過概率實驗，可以估計一些隨機事件的概率.在實際生活中，大量隨機事件發生的概率是不能依靠計算得到的，此時人們可以通過做實驗，將大量重復實驗時的頻率作為事件發生的概率的估計值.
第三，通過概率實驗，有助于學生澄清一些錯誤認識.學生學習概率時，雖然有一些生活經驗基礎，但也有局限性和困惑，對后者不是靠訓練就可改變的，必須結合學生的生活經驗，讓學生親自動手操作，將學生的感性經驗向理性思考發展.
三、需要注意的問題
1.要重視教材的基礎作用
教材是學習數學基礎知識，形成基本技能的“藍本”，教學中必須按課程標準對概率內容的要求，以課本的例、習題為素材，舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下工夫，力求對教材內容融會貫通.
2.要注意聯系實際
概率來源于生活中的具體情景，教學應從學生實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習，從而把抽象的知識生活化，生活的知識數學化.
3.要給學生足夠的動手操作時間
數據處理是一個比較煩瑣的學習和操作的過程，概率教學要注意提供給學生充分的時間，引導學生多動手操作，注重學生的自主探索和合作交流，讓學生在實際操作中發現問題，分析問題，進而解決問題.
4.要注意概率計算拓展的深度
在概率計算教學中，許多教師對這部分知識進行了拓展，但拓展時一定要把握好深度，所使用的方法必須在計算概率的基本方法（如完全枚舉法、畫樹狀圖或列表等）范圍內.
5.要注意概率計算拓展的寬度
在強調控制概率計算拓展深度的同時，必須注意概率計算拓展的寬度.概率計算與許多知識相結合，可以形成難度適中的綜合題.我們在教學中要重視引導學生對這類問題的研究，關注和概率內容相關的綜合問題，靈活運用學到的概率計算方法去解決問題，不斷提高學生用數學的意識，增強綜合運用知識解決實際問題的能力.
關鍵詞：概率統計 工科教學 教學策略 實踐性環節
中圖分類號：G642
文獻標識碼：A
文章編號：1007-3973（2012）005-175-02
江蘇科技大學（張家港）以培養技術型應用性人才為辦學目標。校區的生源以本二為主，隨著擴招，學生的數學基礎與能力方面比以往有較大下降，發現學生對此課普遍感到學習困難，難以入門，其中一個重要原因是學生對于這門課程缺乏興趣，當前在概率論與數理統計教學中存在諸多問題有待解決，有必要對傳統的教學模式和教學內容進行改革和創新。
概率統計是工科學校大部分專業開設的基礎課，它是研究隨機現象的一門學科，在自然科學、金融、工程技術、醫藥等各個領域都有著廣泛應用。不可否認，由于數學概念的理解難度，使得學生學起來顯得困難，加上數學課程本身的特點，很多學生有畏懼心理，導致教師教學的困難，筆者通過講授該課程4年，通過教學實踐分析校區概率統計課程教學現狀，指出其中存在的問題，提出對本課程教學方法策略的思考。
1 提高課堂效果的方法
1.1 了解學生學習困難
學生對數學類課程學習興趣不高。經過筆者深入學生中了解到這樣的問題“學習數學有什么用”等問題，說明學生對這門課不太了解。因此在講授第一次課的時候，不必要急于講授新課內容，首先要將這門課程的整體的框架介紹下，并且介紹一些與實際生活有趣的概率方面的內容，比如：投擲硬幣問題，下賭注問題，生日問題等。適當介紹下概率統計的發展史和中外數學家事跡，這樣可以激發學生學習的興趣，也可以活躍課堂氣氛。
1.2 講一些小故事，激發學生學習興趣
在教學過程中，講一些與概率統計相關的小故事，一方面可以使學生認識故事本質，在體會故事的過程中感受概率思想，另一方面也可以活躍課堂氣氛。例如：在講“古典概型計算”這一節的時候，可以先提出一個問題問學生：該班級有93人，“至少有兩個人生日在同一天的概率是多少”？學生在沒有學習古典概型的時候是不會立刻回答出來的，感覺不可思議，但是立刻經過統計發現確實存在這樣的情況，那可以肯定的說，概率幾乎接近1這個事實。接著就可以圍繞這個問題利用排列組合的知識推導出古典概型的計算公式，通過計算確實是接近于1。事實上可以通過計算人數大于55就有很大的概率了。通過這個小故事，有助于學生理解比較難的公式，同事也激發學生的探索的興趣。
1.3 聯系生活，教育警示學生
概率統計相比高等數學和線性代數更貼近生活，如果能合理恰當的運用到教學中去，那會對教學效果和質量起到促進作用。課堂上詢問學生買彩票的問題，發現有一部分學生熱衷于買彩票，并且很希望中大獎。針對這種情況，在講授古典概型計算的時候就可以分別計算出中獎和不中獎的概率值來，從而使他們知道原來中大獎的概率是非常小，幾乎接近與零。
并且教育他們買彩票的時候需要擺正心態，期望值放低，更不能沉迷其中。
2 采用更加靈活的考核方式
2.1 課堂形式多樣化
傳統的課堂教學是以老師講課為主，學生聽講為輔。現階段學生思維活躍，學生有迫切的需要和老師互動交流。鑒于此，概率統計課堂應該是講練結合，提問回答，互動性強的形式。可以穿插學生之間的小組討論，開設小型的研討班等多種互動形式。對于不同專業的學生，結合不同學科特點要構建與本專業相對應的概率應用例子。
2.2 考試方式靈活
原有的考考核方式都是閉卷考試，這種傳統的考試方式一般情況下不能真正反映學生對概率統計課程內容的全面掌握，不利于考查學生運用數學知識的能力。筆者對當前考試方式做了有益的探索，前提是保證能比較全面的考查學生掌握知識的程度，考查的內容包括：平時作業的登記，課堂和老師互動的情況登記，要求學生在學完概率論后寫一份相關的小論文（學習心得體會，數據分析，數學建模等新的想法等）；答疑的踴躍程度以及課后答疑記錄的登記。通過這些多方面的考核，各個考核項占有一定的比例，使學生不在為了最后的閉卷考試而著急，因此達到考查的目的。
3 概率統計的教學實踐
3.1 增加計算機實驗實踐性環節
校區概率統計師資都為數學教研室全體老師，都是青年教師，他們在教學經驗等方面有待提高，比如在概率統計教學中應該適當使用計算機軟件教學。概率論中最常用的一個軟件SAS，它可以對離散型，連續型隨機變量的分布律、概率密度函數以及事件的概率計算，也可以產生常用分布的曲線圖；SPSS則在統計中使用廣泛，它主要是做大量復雜的數據統計和分析；而Matlab軟件在概率統計中的應用及其廣泛，它既可以再概率論中進行數值計算，例如計算隨機變量的期望和方差、計算幾何概率事件；也可以畫圖，也可以處理統計中的參數估計、假設檢驗等內容，并且使用起來很方便，這樣就可以極大地避免大量繁雜的數據的整理和分析，提高教學效率，增強學生的學習興趣。適當增加計算機實驗學時，對學生的動手能力、分析數據能力、應用概率統計知識解決實際問題能力有很大幫助。讓學生感受到概率統計的魅力，課時安排在每一章結束后根據需要安排一到兩次上機實驗。
3.2 Matlab軟件的使用
Matlab軟件提供了統計工具箱，里面有大量的概率統計函數可直接調用，顯示出強大的數值計算和分析功能，這從根本上簡化了在有限的學時內完成概率統計教學任務，降低了計算過程的復雜性、提高了教學效率。
例：設隨機變量X的分布律為：
本學期筆者將Matlab融入概率統計的教學中，先介紹了該軟件的使用，在上機課時講授一些求解隨機變量數學期望、方差、隨機事件概率的演示，將例題和部分習題用Matlab解答，經實際操作結果是令人滿意的。在處理統計量數值計算的時候，題目中的繁雜運算通過Matlab的相關函數完成，很直觀的顯示出理想的結果。從而使得學生能夠有時間與精力去深入學習概率的理論知識。
3.3 教學方法中融入數學建模思想
在教學過程中，注意融人數學建模的思想。自然界很多現象看起來差異很大，但是他們的實質一樣，數學模型就是這些現象抽象化。概率統計中有許多模型，如n重Bernulli概率模型，標準正態分布模型，幾何分布模型等。對于這些模型要善于總結模型的建立過程，應用的范圍。如n重Bernulli概率模型，它是0-1分布的疊加，將其看做是試驗成功的次數的模型，利用這個模型可以處理很多實際問題，如抽球問題，機器工作的臺數，在求解期望時候利用這個模型特別容易求出。而避免使用期望的定義求解級數的復雜性。教學中教師更多的作用應該體現在引導學生通過自己的能力運用相關的知識點來解決實際問題，以探究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題。對于培養學生的創新和實踐能力、創造能力、終身學習的能力具有十分重要的意義。而數學建模活動的實際結果告訴我們，它不僅對好學生、而且對學習有一定困難的學生都能起到培養興趣、激發創造的目的。比如概率統計中有約會問題：二人約定于6—7時內在某地見面，先到者等20分鐘時后離去，求二人能會面的概率。在復習幾何概型的一般模型后開始這樣建立模型： 設X和Y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間，找出和的取值范圍，設A=“兩人能會面”相當于|X—Y|≤20，算出直線圍成圖形面積得P（A）=0.5556，這樣就得到兩人永不見面的概率為0.4444，從而使問題得到解決。具體解答可以在Matlab中畫圖，得到的圖像如圖2。
總之，概率統計教學應該有自己的特色，應該采取有針對性的教學方法和措施，使學生建立想學習，勇于探索的精神和自信心，培養學生理論知識和實踐并重的能力，創新精神，實現校區培養應用技術型人才的目標。
參考文獻：
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【關鍵詞】風電；投資風險；CIM模型；層次分析法
風電在我國得到廣泛的發展應用，但在某些省份一度出現風電項目投資過熱現象，因此在風電項目投資時應對其進行風險分析再決策。與傳統能源發電投資相比，風電項目投資在技術、資金、政策環境上面臨更多的風險[1-2]。國內外學者對風電項目投資風險評估的研究很多，主要方法有基于生命周期理論、基于實物期權理論、蒙特卡羅仿真法、基于CVaR（條件風險價值）法等[3-6]。本文選用CIM模型結合層次分析法對風電項目投資風險進行分析，CIM模型在工程項目風險管理決策中有很多應用，該模型可以有效地對復雜風險變量概率分布進行綜合疊加。
1.CIM模型
CIM模型又稱概率分布的疊加模型或“記憶模型”，該方法以直方圖替代了變量的概率分布，用和替代了概率函數的積分。CIM模型分為“并聯響應模型”和“串聯響應模型”，按變量的物理關系分別進行變量概率分布的“并”或“串”聯組合與疊加。在風電項目投資、建設、運用全過程中，各級風險因素的出現具有不同的隨機概率，因此適用于CIM模型的并聯響應方法。
假設活動A有n個風險因素存在，只要其中任意一個風險出現，活動A都會收到影響，則風險因素B1，……，Bn的概率分布組合稱為“并聯響應模型”，這種并聯概率曲線的疊加稱為“概率乘法”。在實際計算中概率乘法是由一系列的兩個概率分布連乘組成的，即先將兩個風險因素的概率曲線相乘，然后再與第三者相乘，繼續下去，最終確定活動全過程的風險概率曲線。
假設風險B1與風險B2進行并聯概率疊加，它們的概率分布疊加利用等寬度概率區間的直方圖進行疊加。其計算公式可以表示為：
式中，B1，B2為兩個風險因素，di為概率區間的組中值，n為分組數。
依據上述計算法將B12和B3進行并聯概率疊加，得出B123的概率分布。依次進行計算疊加，當n個風險因素疊加完后就得到了活動P的概率分布。
根據CIM模型對風險疊加的方法與順序，針對風電項目投資風險的特點，對其進行評估的過程如圖1所示。
圖1 CIM模型并聯疊加圖
風電項目投資風險評估的研究是建立在各個風險變量相互獨立的基礎上，變量之間的相關性涉及的理論和算法均較復雜，本文在設定主觀概率的數值時一定程度上已經體現了其相關性，因此在實際的計算過程中不再考慮。
2.風電項目投資風險的CIM評估模型
2.1 建立風電項目投資風險評估指標體系
建立風電項目投資風險評估指標體系是風電項目投資風險評估的基礎，根據大量調查和專家咨詢，本文提出風電項目投資風險評估指標體系如表1。
2.2 基于CIM模型的風電項目投資風險評估
風電項目投資風險評估指標體系具有結構多層次、因素多方面、評估模糊性等特點，對各類風險因素的直接量化比較困難，因此選用層次分析法確定評估指標權重，用模糊評價確定最末層風險因素的概率分布。
（1）建立風險因素集合 通過風險識別將風電項目投資的各個層次上的風險列出，建立風電項目投資風險因素集B。
（2）建立風險因素權重集合 每個因素對風險的影響程度是不同的，為了反映各因素的重要程度，對每個因素要賦予一定的權重，運用層次分析法建立起對應于B的權重集合U。
（3）建立風險因素評價集 風險因素評價集是評價者對評價風險因素可能做出的各種評價結果組成的集合，用V表示，本文采用評價集V={風險高，風險較高，風險適中，風險較低，風險低}。
（4）確定最末層風險因素的概率分布 向專家發放調查問卷，讓每位專家對每一最末層風險因素i給予評價j。根據下式計算每個末層風險因素的概率分布。
（1）
式中：Nj為把風險因素i歸為同一風險檔次j的專家人數；N為專家的總數。
（5）運用CIM的并聯響應模型，逐層求出各級風險因素的概率分布。
（6）根據各級風險因素的權重，最后得到風電項目投資風險的概率分布。
3.CIM評估模型實證分析
錫盟蘇丹特右旗朱日和風電場一期（49.5MW）工程位于錫林郭勒盟蘇尼特右旗朱日和鎮西北12km處，風電場規劃容量200兆瓦，一期建設49.5兆瓦。朱日和風電場一期49.5兆瓦風電機組工程以220千伏電壓等級接入系統，在風電場建設一座220千伏升壓站，將風力發電機電力匯集后以一回220千伏線路接入溫都爾220千伏變電站。
根據項目開發方案，采用專家調查法，對項目中的風險因素進行評價。
（1）風險因素集合表分為4個一級風險因素和18個二級風險因素，如表1所列。
（2）基于層次分析法計算一級風險因素的權重，計算過程及計算結果如表2。每個一級風險因素集中的各二級風險因素權重相同。
（3）針對本風電項目的特點從專家庫中抽取10名不同專業的專家，專家對項目最末層風險因素作出風險等級的判定，本文采用評價集V={風險高，風險較高，風險適中，風險較低，風險低}，根據專家對每個二級風險因素i的評價j，由式（1）計算每個二級風險因素的概率分布Pij，計算結構如表3所示。
（4）運用CIM并聯響應模型，計算各主風險因素的概率分布。以環境風險B4為例，計算其風險等級概率分布。首先計算B41、B42組合概率P（B41，B42），計算過程如表4，
依次運用并聯響應模型計算得P（B1），P（B2），P（B3），P（B4），概率分布如表5。
（5）有上述數據綜合計算得出本風電場投資總風險概率分布，計算過程如表6所示。
由表6可知，本風電投資項目風險較低的可能性最大，概率為44.36%，其次為風險低概率為43.41%，表明該風電項目投資風險程度較低，應當盡快立項建設該風電場。
4.結論
本文建立了以建設風險、經濟風險、管理風險、環境風險為主要風險類別及18個風險因素構成的風電項目投資評估指標體系，該評估體系涵蓋了影響風電項目投資的主要風險因素。采用層次分析法分析計算出一級風險因素的權重，再結合CIM法對各指標定量分析計算出各級風險因素概率分布。將各級風險因素的概率分布并聯疊加后得出項目總風險概率分布，從而確定出風電項目風險概率。在此基礎上，并進行了實證分析，結果表明該實例項目具有較低的風險，可以進行投資。
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