時(shí)間：2023-02-11 19:23:27
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數(shù)概念，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
本章將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受用集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)的簡(jiǎn)潔
性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用集合語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來(lái)學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過(guò)程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).
1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專(zhuān)用符號(hào).
2.理解集合的表示法，能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用.
3、理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.
4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.
5、理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.
6.理解在給定集合中，一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.
7.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.
8.學(xué)會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，理解函數(shù)符號(hào)y=f(x)的含義;了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念;體會(huì)函數(shù)是一種刻畫(huà)變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用;會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.
9.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實(shí)際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇;會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象.
10.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過(guò)具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形.
12.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.
13.通過(guò)實(shí)習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有過(guò)重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實(shí)例.
二.編寫(xiě)意圖與教學(xué)建議
1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而體會(huì)集合語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)列舉豐富的實(shí)例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.
教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強(qiáng)調(diào)從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).
2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì)，并注意運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識(shí)抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運(yùn)算教學(xué)中的直觀作用。
3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運(yùn)用集合的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，這一觀點(diǎn)，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.
4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類(lèi)思想，讓學(xué)生體會(huì)到分類(lèi)思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運(yùn)用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進(jìn)，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.
5.教材對(duì)函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實(shí)質(zhì)上要求理解，而對(duì)定義域、值域的繁難計(jì)算，特別是人為的過(guò)于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).
6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.
7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進(jìn)行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.
8.教材加強(qiáng)了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過(guò)電腦繪制簡(jiǎn)單函數(shù)動(dòng)態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.
9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際,合理地取舍.
三.教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議
本章教學(xué)時(shí)間約13課時(shí)。
1.1集合4課時(shí)
1.2函數(shù)及其表示4課時(shí)
1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時(shí)
實(shí)習(xí)作業(yè)1課時(shí)
復(fù)習(xí)1課時(shí)
§1.1.1集合的含義與表示
一.教學(xué)目標(biāo)：
l.知識(shí)與技能
(1)通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系;
(2)知道常用數(shù)集及其專(zhuān)用記號(hào);
(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無(wú)序性;
(4)會(huì)用集合語(yǔ)言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象;
(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.
2.過(guò)程與方法
(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實(shí)例中抽象概括出集合共同特征的過(guò)程，感知集合的含義.
(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí).
3.情感.態(tài)度與價(jià)值觀
使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.
二.教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)
重點(diǎn)：集合的含義與表示方法.
難點(diǎn)：表示法的恰當(dāng)選擇.
三.學(xué)法與教學(xué)用具
1.學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).
2.教學(xué)用具：投影儀.
四.教學(xué)思路
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
1.教師首先提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?
引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時(shí)，教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)給予評(píng)價(jià).
2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
(二)研探新知
1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個(gè)實(shí)例：
(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);
(2)我國(guó)古代的四大發(fā)明;
(3)所有的安理會(huì)常任理事國(guó);
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;
(6)到一個(gè)角的兩邊距離相等的所有的點(diǎn);
(7)方程的所有實(shí)數(shù)根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.
2.教師組織學(xué)生分組討論：這9個(gè)實(shí)例的共同特征是什么?
3.每個(gè)小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個(gè)實(shí)例的特征，并給出集合的含義.
一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集).集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素.
4.教師指出：集合常用大寫(xiě)字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫(xiě)字母…表示.
(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維
1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點(diǎn)?并注意個(gè)別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無(wú)序性.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合相等.
2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題：
判斷以下元素的全體是否組成集合，并說(shuō)明理由：
(1)大于3小于11的偶數(shù);
(2)我國(guó)的小河流.
讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.
3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說(shuō)明理由.教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)給予及時(shí)的評(píng)價(jià).
4.教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.
如果是集合A的元素，就說(shuō)屬于集合A，記作.
如果不是集合A的元素，就說(shuō)不屬于集合A，記作.
(2)如果用A表示“所有的安理會(huì)常任理事國(guó)”組成的集合，則中國(guó).日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)分別表示.
(3)讓學(xué)生完成教材第6頁(yè)練習(xí)第1題.
5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫(xiě)出常用數(shù)集的記號(hào).并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.
6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問(wèn)題：
(1)要表示一個(gè)集合共有幾種方式?
(2)試比較自然語(yǔ)言.列舉法和描述法在表示集合時(shí)，各自有什么特點(diǎn)?適用的對(duì)象是什么?
(3)如何根據(jù)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?
使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點(diǎn)和體會(huì)它們存在的必要性和適用對(duì)象。
(四)鞏固深化，反饋矯正
教師投影學(xué)習(xí)：
(1)用自然語(yǔ)言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例舉法表示集合
(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁(yè)練習(xí)第2題.
(五)歸納整理，整體認(rèn)識(shí)
在師生互動(dòng)中，讓學(xué)生了解或體會(huì)下例問(wèn)題：
1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些知識(shí)內(nèi)容?
2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?
3.選擇集合的表示法時(shí)應(yīng)注意些什么?
(六)承上啟下，留下懸念
1.課后書(shū)面作業(yè)：第13頁(yè)習(xí)題
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念 函數(shù)的概念 函數(shù)的定義域 可操作性
函數(shù)，是中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)的概念，是函數(shù)單元教學(xué)開(kāi)章明義的第一課。概念教學(xué)，往往容易流于從概念到概念，顯得抽象，枯燥，學(xué)生，尤其是中專(zhuān)的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)的概念往往不重視，對(duì)抽象枯燥的函數(shù)概念教學(xué)更是提不起興趣，嚴(yán)重地影響了函數(shù)這一重要單元以后的學(xué)習(xí)。因此，在函數(shù)概念的教學(xué)，如何化抽象為具體，化枯燥為生動(dòng)，化從概念到概念為具可操作性，就成為教學(xué)中必須解決的一大難題。
為了生動(dòng)地引入函數(shù)的概念，我在教學(xué)過(guò)程首先引進(jìn)了三個(gè)具體的例子：
①每斤2.5元的菜，買(mǎi)若干斤，應(yīng)付多少錢(qián)？
（分析）以所買(mǎi)斤數(shù)為x(斤)，以應(yīng)付款數(shù)為y元，則易得 y=2.5x ,這里的x可以取什么數(shù)值？可以取負(fù)數(shù)嗎？x為負(fù)數(shù)，表示買(mǎi)菜的人按2.5元每斤的價(jià)格賣(mài)菜給賣(mài)菜人，賣(mài)菜人肯定是不接受的。X=0即不買(mǎi)，當(dāng)然不需要付錢(qián)y=0。X為正數(shù)，當(dāng)然就得按照價(jià)錢(qián)算來(lái)付錢(qián)了。所以，y=2.5x 。
②把24個(gè)蘋(píng)果均分給若干個(gè)人，要求每個(gè)人得到整數(shù)個(gè)蘋(píng)果，每個(gè)人可能得幾個(gè)？
（分析）設(shè)人數(shù)為x人，每人得蘋(píng)果y個(gè)，易知y=24x 。
X可能取什么值？y既要求為正整數(shù)，人數(shù)x只能取24 的約數(shù)：1，2，3，4，6，8，12，24。所以y=24x,x∈｛1,2,3,4,6,8,12,24｝。
③用20m長(zhǎng)的鐵絲彎成一個(gè)矩形，矩形的面積為多少？
（分析）以矩形的一邊為x(m)，則鄰邊為（10－x）m，矩形面積設(shè)為y()，則有：
y=x(10-x)=，那么，這式中的x應(yīng)取什么數(shù)？
顯然矩形的邊長(zhǎng)必須大于或等于0（等于0即矩形面積為0），即x應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：
x≥0,10-x≥0 ，即0≤x≤10，所以y=,
在舉例過(guò)程，我特別提醒學(xué)生注意：x是一個(gè)可以變化的量――變量，而x在允許范圍內(nèi)所取的每一個(gè)值y都有而且僅有一個(gè)值與這個(gè)x值相對(duì)應(yīng)。這樣，y就隨著x的變化而發(fā)生變化。因此y也是一個(gè)變量。X與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做對(duì)應(yīng)法則，x，y就是通過(guò)某一個(gè)對(duì)應(yīng)法則發(fā)生對(duì)應(yīng)的。上面所述的y=2.5x，就是x，y這兩個(gè)變量在具體問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)法則的具體表示。
有了上面的鋪墊，函數(shù)定義及函數(shù)的定義域的講授就順理成章了。課本中函數(shù)及函數(shù)的定義域是這樣的：在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，設(shè)變量x的取值范圍為數(shù)集D，如果對(duì)于D內(nèi)的每一個(gè)x值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么，把x叫做自變量，把y叫做x的函數(shù),表示為y=f(x)。數(shù)集D就叫做函數(shù)的定義域。
為了使學(xué)生更加清晰，我把它分述如下：
一、{x}和{y}是兩個(gè)變量集合，研究函數(shù)，也就是要研究?jī)蓚€(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律。
二、強(qiáng)調(diào)對(duì)于x在允許范圍內(nèi)所取得某一個(gè)確定值，y都有而且只有唯一的一個(gè)值與這個(gè)x值對(duì)應(yīng)，否則x，y就不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。
可以舉出反例子加以說(shuō)明。例如,x≥0
對(duì)于一個(gè)x值（x=0除外），y可以有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，如x=1y=±1;x=2y=±2等，這樣的x，y就不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。
三、x，y兩個(gè)變量有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則統(tǒng)一用f來(lái)表示，前面三例中的y=2.5x，，就是x，y的具體的對(duì)應(yīng)法則，“y是x的函數(shù)”可以用數(shù)學(xué)式y(tǒng)=f（x）來(lái)統(tǒng)一表示，前三例便可寫(xiě)成：,,.
這些具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系式就稱(chēng)為函數(shù)的解析式（簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)式）或函數(shù)方程。
四、不是所有的實(shí)數(shù)都可以是x的取值，因?yàn)閤的取值必須使函數(shù)式有意義且符合實(shí)際情況。X的可能取值組成的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域。上三例y=2.5x、 y=24x、y=,中，、｛1,2,3,4,6,8,12,24｝、就分別是上述各函數(shù)的定義域D。
為了增加概念教學(xué)的可操作性，我補(bǔ)充了在學(xué)生現(xiàn)階段，函數(shù)的定義域可以通過(guò)下式方法求出：
①分母式≠0； ②偶次方根的被開(kāi)方式0； ③實(shí)際情況要求的；
要求學(xué)生列出不等式求解定義域，且在數(shù)軸上表示。相應(yīng)的例子為：
①，分母式x-2≠0，x≠2；函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>
②，被開(kāi)方式1-2x≥0，即，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>
③， X必須同時(shí)滿足：x-2≠0 ⑴， ⑵
從⑴x≠2，⑵，用數(shù)軸畫(huà)出，函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>
開(kāi)始時(shí)的三例都是從實(shí)際中求出函數(shù)的定義域的。
最后，我再把函數(shù)概念用圖的形式投影打出，并簡(jiǎn)單作小結(jié)。圖如下：
最后，再用適當(dāng)?shù)睦雍途毩?xí)鞏固，結(jié)束本節(jié)教學(xué)。
通過(guò)對(duì)函數(shù)的概念這節(jié)課的思考和備課，我感到：
①要從學(xué)生原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置梯度不大的鋪墊，一步一步地引入學(xué)生未熟悉的數(shù)學(xué)概念。
②細(xì)分?jǐn)?shù)學(xué)概念的講解，把數(shù)學(xué)概念的每一部分闡述清楚，再讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念的全部與內(nèi)涵。
③使嚴(yán)密和抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動(dòng)具體，具有一定的可操作性。這樣可以調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣，也使學(xué)生容易把握好數(shù)學(xué)概念。
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1要把握函數(shù)的實(shí)質(zhì)
17世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號(hào)。關(guān)于函數(shù)概念有“變量說(shuō)”、“對(duì)應(yīng)說(shuō)”、“集合說(shuō)”等。變量說(shuō)的定義是：設(shè)x、y是兩個(gè)變量，如果當(dāng)變量x在實(shí)數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時(shí)，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱(chēng)x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點(diǎn)是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對(duì)函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)缺少充分地刻畫(huà)，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系。
迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，于1837年提出：對(duì)于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫x的一個(gè)函數(shù)。19世紀(jì)70年代集合論問(wèn)世后，明確把集合到集合的單值對(duì)應(yīng)稱(chēng)為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱(chēng)為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對(duì)應(yīng)說(shuō)的優(yōu)點(diǎn)有：①它抓住了函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)，是一種對(duì)應(yīng)法則。②它以集合為基礎(chǔ)，更具普遍性。③它將抽像的知識(shí)以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高（實(shí)數(shù)）的對(duì)應(yīng)；某班同學(xué)在某次測(cè)試的成績(jī)的對(duì)應(yīng)；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對(duì)應(yīng)等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨(dú)立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實(shí)質(zhì)。
對(duì)于集合說(shuō)是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對(duì)應(yīng)”卻是一個(gè)外加的形式似乎不是集合語(yǔ)言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對(duì)于每一個(gè)x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時(shí)就稱(chēng)集合f為A到B的一個(gè)函數(shù)。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個(gè)特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過(guò)于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動(dòng)的直觀，既看不出對(duì)應(yīng)法則的形式，更沒(méi)有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言只能在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用。
2加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合
數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。在7—12年級(jí)所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對(duì)每一類(lèi)函數(shù)都是利用其圖像來(lái)研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無(wú)比重要。我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問(wèn)題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用。如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時(shí)，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸為x=?與x軸的交點(diǎn)是x=-3或x=4并開(kāi)口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方，再考慮對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)便一目了然。
3將映射概念下放
就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實(shí)質(zhì)的只有“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，如果在初中階段把“變量說(shuō)”的定義替換成“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的定義，可有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，也顯示出時(shí)代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。⑵凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實(shí)性，函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學(xué)生會(huì)感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會(huì)觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學(xué)生就會(huì)感到函數(shù)不再那么可怕，它無(wú)非是一種映射。只需將集合論的初步知識(shí)下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因?yàn)閺男W(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運(yùn)算，沒(méi)有必要作過(guò)多擔(dān)心。以前有人提出將概率知識(shí)下放的觀點(diǎn)，當(dāng)時(shí)不也有人得出反對(duì)意見(jiàn)嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識(shí)體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會(huì)提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問(wèn)題。
4區(qū)分函數(shù)與方程
盡管函數(shù)和方程都是反映量與量之間的關(guān)系，可函數(shù)反映的是變量和變量之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化情況，從函數(shù)的角度來(lái)看，考慮的是x和y在各自取值范圍內(nèi)，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系，等式F（x，y）=0是一個(gè)方程，只有在一定條件下才能確定為一個(gè)函數(shù)，從方程的角度來(lái)看，考慮的是x和y選取哪些數(shù)值時(shí)才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數(shù)關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=f(x)表示，那就得到一個(gè)方程y-f(x)=0，它們是可以互相轉(zhuǎn)化的，有時(shí)用方程知識(shí)去研究函數(shù)，也常用函數(shù)知識(shí)去研究方程。
【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué) 函數(shù)概念 教學(xué)
1. 概念滲透階段，初步認(rèn)識(shí)變量之間的相互關(guān)系
函數(shù)與我們每個(gè)人的生活息息相關(guān)，函數(shù)關(guān)系充斥著我們的生活，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念，函數(shù)思想貫穿中學(xué)教材的始終。首先，從初一代數(shù)“對(duì)字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)”開(kāi)始，學(xué)生體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)到了“變量”，在教學(xué)中教師要促使學(xué)生感受到變量的意義，體驗(yàn)變量的概念.其次，在“代數(shù)式的值”、“數(shù)軸和坐標(biāo)”的教學(xué)中再滲透變量的含義，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)代數(shù)式中字母取值之間的相互關(guān)系，滲透關(guān)于“對(duì)應(yīng)”概念的初步思想，感受到變量之間的相互聯(lián)系。最后，隨著代數(shù)式、方程的研究滲透這一觀念，特別是“二元一次方程”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生感受兩個(gè)變量之間是彼此關(guān)聯(lián)的。通過(guò)這樣的鋪墊，經(jīng)過(guò)一定量的知識(shí)累積，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)變量之間的相互依存的關(guān)系。
2. 概念認(rèn)知階段，逐步感知變量之間的內(nèi)在聯(lián)系
在初二幾何部分教學(xué)中，教材中涉及函數(shù)關(guān)系的例子非常多。比如“角的平分線的定義”、“中點(diǎn)的定義”、“角度之間的互余、互補(bǔ)”等都揭示了兩個(gè)變量之間的聯(lián)系。另外像“平行線四邊形的性質(zhì)”、“中位線定理”等等都蘊(yùn)涵著函數(shù)關(guān)系。一方面，教師在傳授這些知識(shí)點(diǎn)的 過(guò)程中要有不斷滲透變量的意識(shí)，即在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的變量，且變量之間并不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的；另一方面，要指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的過(guò)程中熟悉把“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的方法，為函數(shù)的代數(shù)和幾何方法的相結(jié)合打好必要的基礎(chǔ)，為后續(xù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)作好充分的鋪墊。
函數(shù)概念的形成用物理上的知識(shí)點(diǎn)滲透變量意識(shí)，是非常直觀而且有效的方法。物理書(shū)中的很多知識(shí)點(diǎn)都是促成學(xué)生形成函數(shù)概念的較好素材。比如速度計(jì)算公式v=st中的速度、時(shí)間和路程，壓強(qiáng)計(jì)算公式P=F/S中壓力、受力面積和壓強(qiáng)之間的關(guān)系都是典型的函數(shù)關(guān)系。從多方面、多學(xué)科進(jìn)行滲透，強(qiáng)化變量之間是相互聯(lián)系的觀念。
3. 概念引入階段，順利形成函數(shù)概念的感知認(rèn)識(shí)
“建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論”認(rèn)為：“應(yīng)把學(xué)生看成是學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的知識(shí)、背景即情境相聯(lián)系；在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)同化和索引出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問(wèn)題情境中。”
在學(xué)生對(duì)變量意識(shí)以及變量之間相互依存關(guān)系有了初步認(rèn)識(shí)以后，函數(shù)概念的教學(xué)前期準(zhǔn)備工作已經(jīng)基本完成，接下來(lái)就可以開(kāi)始函數(shù)概念的講授了。教師在教授函數(shù)概念時(shí)，一定要合理設(shè)置教學(xué)情境，要讓學(xué)生清醒地感受到變量意識(shí)，然后再講清楚“自變量”、“函數(shù)”的名稱(chēng)及含義，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這些名詞來(lái)敘述變量間的依存關(guān)系，從而熟悉函數(shù)概念。
當(dāng)然學(xué)生這時(shí)對(duì)函數(shù)的理解還并不太清晰，正比例函數(shù)、一次函數(shù)都是比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，在實(shí)際生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中對(duì)應(yīng)邊之間的比例關(guān)系是正比例函數(shù)等等。具體例子可以使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到兩個(gè)變量之間的聯(lián)系及共性，函數(shù)的概念就會(huì)逐漸在學(xué)生的腦海中留下印記，在以后的反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學(xué)中，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深入理解函數(shù)概念的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)。教師在實(shí)際教學(xué)中能從整體上把握教學(xué)，就可以挖掘出最適宜的教學(xué)方法，使學(xué)生深刻理解函數(shù)的實(shí)質(zhì)。
4. 概念延伸階段，逐漸適應(yīng)函數(shù)的學(xué)習(xí)方法
函數(shù)的學(xué)習(xí)方法與以前代數(shù)和幾何的學(xué)習(xí)方法有著明顯的不同。進(jìn)入函數(shù)表達(dá)式開(kāi)始，由于函數(shù)的表達(dá)是多樣化的，有圖像法、列表法、解析式法等，許多學(xué)生很不適應(yīng)，怎樣在教學(xué)函數(shù)時(shí)使學(xué)生逐漸適應(yīng)這種多樣化呢？在函數(shù)概念的實(shí)際教學(xué)中，我一般采用教師引導(dǎo)式：先從實(shí)際問(wèn)題引入概念，鼓勵(lì)學(xué)生以討論的方式，注重分析啟發(fā)、鞏固反饋，使學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)地認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念的共同特性；了解不同的方法表示函數(shù)的方法在不同情況下的使用情況。
另外，“數(shù)形結(jié)合法”是函數(shù)學(xué)習(xí)的最重要的學(xué)習(xí)方法，它和代數(shù)方法、幾何方法有著明顯的不同。
學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合法”的適應(yīng)需要一定的時(shí)間，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)代數(shù)解析式與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)還不適應(yīng)，從正比例函數(shù)到反比例函數(shù)，最后進(jìn)入二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾種函數(shù)的直觀對(duì)應(yīng)關(guān)系：一次函數(shù)對(duì)應(yīng)直線，反比例函數(shù)對(duì)應(yīng)雙曲線，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)拋物線.通過(guò)對(duì)圖像的認(rèn)識(shí)與感知，學(xué)生體會(huì)到“數(shù)形結(jié)合法”的優(yōu)點(diǎn)：“準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔的解析式，直觀形象的圖像。”
總之，學(xué)習(xí)函數(shù)概念首先要有觀念上的轉(zhuǎn)變，其次要具備抽象思維能力，提高學(xué)生的抽象思維能力和學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力是使學(xué)生形成函數(shù)思想的基礎(chǔ)。所以教師在進(jìn)入函數(shù)概念的教學(xué)過(guò)程中，要把傳授知識(shí)和培養(yǎng)思維能力有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)觀念上的轉(zhuǎn)變。這就要求教師要從整體上處理好教材，使函數(shù)概念的教學(xué)活動(dòng)成為一個(gè)有機(jī)整體，這樣才能在教學(xué)活動(dòng)中真正有效地提高學(xué)生的素質(zhì)。
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【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念；函數(shù)定義；定義域；值域；對(duì)應(yīng)法則
在中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心概念，學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)于學(xué)生的思維能力的發(fā)展具有重要意義，而中學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解和學(xué)習(xí)卻感到非常困難。本文作者是一位高三學(xué)生，筆者根據(jù)函數(shù)概念的發(fā)展歷史和自身理解來(lái)學(xué)習(xí)近代函數(shù)概念的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，并以近年來(lái)高考函數(shù)例題進(jìn)行解答。
一、函數(shù)概念歷史進(jìn)程
從17世紀(jì)至20世紀(jì)上葉，函數(shù)概念經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的演進(jìn)過(guò)程，在此過(guò)程中筆者對(duì)諸多數(shù)學(xué)家們給出的各種定義進(jìn)行簡(jiǎn)述和總結(jié)。在函授概念傳統(tǒng)定義中數(shù)學(xué)家提出最多的是變量對(duì)應(yīng)角度的定義，代表人物德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了變量對(duì)應(yīng)角度的定義還有集合對(duì)應(yīng)關(guān)系的定義，代表人物法國(guó)數(shù)學(xué)家坦納里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定義，代表人物德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定義，代表人物瑞士數(shù)學(xué)家約翰?伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；運(yùn)算的定義，代表人物17世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；變量的依賴(lài)關(guān)系的定義，代表人物法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲線或圖象定義，代表人物數(shù)學(xué)家歐拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。從上述定義的代表數(shù)學(xué)家，筆者認(rèn)為17世紀(jì)后函授概念的演進(jìn)過(guò)程是運(yùn)算―解析式―變量的依賴(lài)關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系―集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系或映射。
二、近代函數(shù)定義
傳統(tǒng)函數(shù)定義是設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫自變量，與y值對(duì)應(yīng)的值叫函數(shù)值。
例題一：正比例函數(shù)y=4x；解析：對(duì)于x的每一個(gè)實(shí)數(shù)y，都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)y，x是的4倍；非空數(shù)集A、B是實(shí)數(shù)集R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f是乘4。
近代函數(shù)定義是設(shè)A，B，是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x）。其中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與x值對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。
例題二：反比例函數(shù)y=；解析：對(duì)于不等于0的每個(gè)實(shí)數(shù)，都有與其對(duì)應(yīng)惟一的實(shí)數(shù)，y是x的倒數(shù)；非空集合A是不等于0的全體實(shí)數(shù)組成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是實(shí)數(shù)集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），對(duì)應(yīng)關(guān)系f是求倒數(shù)。
由以上兩例題筆者認(rèn)為初等函數(shù)定義與近代函數(shù)定義其本質(zhì)上是相同的，只敘述上的出發(fā)點(diǎn)是不相同的，傳統(tǒng)函數(shù)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代函數(shù)定義是從集合的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的實(shí)質(zhì)都是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個(gè)特殊的對(duì)應(yīng)。
三、近代函數(shù)定義的三個(gè)要素
筆者在初中的時(shí)候主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的初等定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)；到了高中還要學(xué)習(xí)函數(shù)的近代定義以及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等更多函數(shù)。因?yàn)椴还苁浅踔械囊淮魏瘮?shù)還是高中的對(duì)數(shù)函數(shù)都是屬于函數(shù)，并且具備共同特征，所以筆者認(rèn)為函數(shù)概念的學(xué)習(xí)非常重要。
1.近代函數(shù)定義三要素的概念。學(xué)習(xí)近代函數(shù)定義主要掌握近代函數(shù)的三個(gè)要素：定義域（A）、值域（C）和對(duì)應(yīng)法則（f）。定義域是自變量x的取值范圍，是構(gòu)成函數(shù)主要的組成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了與任意x相對(duì)應(yīng)的y值，還會(huì)包含其它數(shù)值，所以集合B包含集合C。函數(shù)的定義域A和對(duì)應(yīng)法則f來(lái)確定函數(shù)的值域。
例題三：對(duì)應(yīng)法則f就是集合A到集合B的函數(shù)嗎？
解：不是，集合A、B以及對(duì)應(yīng)法則f一起稱(chēng)為集合A到集合B的函數(shù)
2.近代函數(shù)定義三要素的三點(diǎn)說(shuō)明：第一定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不同；如第二對(duì)應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)不同；第三定義域、值域分別相同的函數(shù)，也不一定是同一個(gè)函數(shù)，還要看對(duì)應(yīng)法則。
例題四：f（x）=4x+2與g（t）=4t+2是同一函數(shù)嗎？
解：是的，f（x）=4x+2與g（t）=4t+2定義域都是是4，值域和對(duì)應(yīng)法則都是相同的，所以是同一函數(shù)。
注意：函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，任何字母來(lái)表示自變量、因變量以及對(duì)應(yīng)關(guān)系都不影響兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)。
四、結(jié)論
對(duì)于所有學(xué)生來(lái)說(shuō)理解和學(xué)習(xí)函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。在初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念一般采用“變量說(shuō)”，而在高中學(xué)習(xí)函數(shù)概念一般采用“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，筆者人物它的學(xué)習(xí)不僅是要掌握和理解函數(shù)概念的初等定義和近代定義，還要將實(shí)際生活與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，才能為今后打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)；才能靈活地解決其函數(shù)知識(shí)的多變問(wèn)題，才能提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。
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【關(guān)鍵詞】變量 函數(shù)概念 概念內(nèi)涵 對(duì)應(yīng)法則
【中圖分類(lèi)號(hào)】 G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A
【文章編號(hào)】0450-9889（2015）03B-0109-02
要提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的教學(xué)，而概念教學(xué)是這“三基”教學(xué)的核心。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，與中學(xué)數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容都有密切的聯(lián)系。鑒于此，函數(shù)概念最早出現(xiàn)在初二下學(xué)期的課本，而且在此之前的幼兒園、小學(xué)階段都已經(jīng)滲透了有關(guān)函數(shù)概念的集合和對(duì)應(yīng)的方法。到了高中，進(jìn)一步深化函數(shù)概念，成為貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一條主線。因此，歷屆數(shù)學(xué)教育家想方設(shè)法編出了循序漸進(jìn)、螺旋上升、科學(xué)合理的函數(shù)內(nèi)容教材，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)。可是，教學(xué)效果仍然不盡人意，特別是在普通中學(xué)，許多學(xué)生讀到了高三，還說(shuō)不清楚什么是函數(shù)。在此，筆者想與同行們共同探討如何進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)。
一、如何進(jìn)行初中函數(shù)概念的教學(xué)
學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，一般是從感性開(kāi)始的。采取從感性到理性，又從理性到實(shí)踐的過(guò)程進(jìn)行教學(xué)，是符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的。課本準(zhǔn)備了一些感性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷從典型、豐富的具體事例中概括概念本質(zhì)的活動(dòng)。初中課本準(zhǔn)備了4個(gè)不同類(lèi)型的實(shí)際問(wèn)題：（1）畫(huà)出了表示某地某天內(nèi)的氣溫隨時(shí)間變化而變化的圖形曲線。（2）繪出了2006年8月中國(guó)人民銀行公布的“整存整取”年利率表，表中顯示了年利率 y 隨著存期 x 的增長(zhǎng)而增高。（3）給出了收音機(jī)刻度盤(pán)上的波長(zhǎng) λ（m）和頻率 f（kHZ） 的對(duì)應(yīng)值表。（4）讓學(xué)生根據(jù)圓面積公式 S=πr2，填圓半徑 r 與面積 S 的對(duì)應(yīng)值表。在上面的每一個(gè)問(wèn)題中，先后出現(xiàn)了兩個(gè)相互依賴(lài)、相互制約、相互影響大小的變量，不妨分別用字母 x 和 y 來(lái)表示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：先出現(xiàn)的變量 x ，在允許的范圍內(nèi)每取一個(gè)值，都會(huì)得出另一個(gè)變量 y 的一個(gè)值，或者說(shuō)另一個(gè)變量 y 隨之就會(huì)只有一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)。由此概括抽象出初中函數(shù)定義：如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如 x 和 y ，對(duì)于 x 的每一個(gè)值， y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō) x 是自變量， y 是因變量，此時(shí)也稱(chēng) y 是 x 的函數(shù)。可見(jiàn)，函數(shù) y 是一個(gè)變量，但它不是獨(dú)立變化的變量，而是由自變量自變引起因變量因變的這樣一個(gè)變量，于是，把因變量 y 稱(chēng)作是自變量 x 的函數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)了定義之后，還要讓學(xué)生回到實(shí)踐，知道在客觀世界中，廣泛存在著函數(shù)的事例。比如，正方形的面積 S 是邊長(zhǎng) a 的函數(shù)；物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程 S 是時(shí)間 t 的函數(shù)等事例。當(dāng)學(xué)生知道函數(shù)自變量 x 可以表示時(shí)間、長(zhǎng)度、路程、電流等變量，知道因變量 y 可以表示溫度、利率、頻率、面積、電壓等變量。知道函數(shù)研究的對(duì)象是兩個(gè)有著主從依賴(lài)、互相制約的確定關(guān)系的變量，這兩個(gè)變量的值存在著一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，學(xué)生就理解了初中的函數(shù)概念。至于兩個(gè)變量之間的主導(dǎo)與從屬關(guān)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，只能放在高中學(xué)習(xí)反函數(shù)時(shí)再去研究。
二、如何進(jìn)行高中函數(shù)概念的教學(xué)
高中階段函數(shù)的教學(xué)是初中階段函數(shù)教學(xué)的延續(xù)，要求學(xué)生在集合與對(duì)應(yīng)等思想的基礎(chǔ)上深刻理解函數(shù)概念。現(xiàn)行的高中教材類(lèi)似于初中教材的設(shè)計(jì)，從函數(shù)具有豐富的實(shí)際背景出發(fā)，準(zhǔn)備了三個(gè)不同類(lèi)型的實(shí)際問(wèn)題。問(wèn)題（1）給出了炮彈距地面的高度 h（m） 隨時(shí)間 t （S）變化的規(guī)律 h=130t―5t2。問(wèn)題（2）中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979～2001年的變化情況。問(wèn)題（3）給出了“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況表。每個(gè)問(wèn)題都給出了兩個(gè)變量各自的變化范圍，教材的意圖是要讓學(xué)生知道或發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同點(diǎn)，于是讓學(xué)生先回答課本 P16 的思考題：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)？
共同點(diǎn)：（1）兩個(gè)變量都有各自所屬于的非空數(shù)集；（2）這兩個(gè)非空數(shù)集之間的元素都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)。
不同點(diǎn)：兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系表現(xiàn)形式不相同，實(shí)例（1）是解析式，實(shí)例（2）是一條曲線，實(shí)例（3）是數(shù)據(jù)表格。
于是，每個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系都可以描述為：對(duì)于數(shù)集 A 中的每一個(gè) x ，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，在數(shù)集 B中都有唯一確定的 y 和它對(duì)應(yīng)，并且把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記作 f：AB，從而得到了突出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的高中函數(shù)定義：
設(shè) A ， B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng) f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函數(shù)的值域。這樣引入函數(shù)概念雖然自然，但是，學(xué)生知其然而不知其所以然。過(guò)去學(xué)習(xí)了“因變量 y叫做自變量 x 的函數(shù)”，現(xiàn)在為什么要把“數(shù)集 A 與 B 之間元素的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：AB叫做從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)呢？”過(guò)去講的函數(shù)是一個(gè)變量，現(xiàn)在講的函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生誤以為有兩個(gè)完全不同的函數(shù)定義。
任何一個(gè)概念都反映事物的一定范圍（即事物的集合）和這個(gè)范圍內(nèi)的事物的共同本質(zhì)。概念所反映事物的范圍（或集合）叫做這個(gè)概念的外延，這些事物的本質(zhì)屬性的總和（或集合）叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵分別描述了事物集合的量和質(zhì)。定義概念就是準(zhǔn)確地揭示它的內(nèi)涵和外延。在中學(xué)進(jìn)行新概念教學(xué)時(shí)，既要從學(xué)生接觸過(guò)的具體內(nèi)容引入，也要從數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題提出，這是比較好的一種教學(xué)方法。
既然學(xué)生過(guò)去學(xué)習(xí)了“ y 是 x 的函數(shù)”定義，就要從學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，只要把初中函數(shù)定義進(jìn)一步抽象一點(diǎn)點(diǎn)，把不是最基本的本質(zhì)屬性“變化過(guò)程”和“變量”棄掉，只保留最基本的本質(zhì)屬性，就會(huì)得出高中的函數(shù)定義。
現(xiàn)行高中教材準(zhǔn)備的三個(gè)實(shí)際問(wèn)題，仍然可以作為引入函數(shù)概念的具體事例。不過(guò)，先要根據(jù)這些具體事例，引導(dǎo)學(xué)生回憶、回答出初中的函數(shù)定義“y是 x 的函數(shù)”之后，提問(wèn)：
一個(gè)函數(shù)的自變量 x 總有取值范圍嗎？因變量即函數(shù) y 總有變化范圍嗎？
答：都有。
把自變量 x 的取值范圍記作 A ，因變量 y 的變化范圍記作 B 。再提問(wèn)：
初中函數(shù)的最基本的特征是什么？
答：v1w自變量 x 有一個(gè)取值范圍 A ，因變量 y 有一個(gè)變化范圍 B 。
（2）對(duì)于數(shù)集 A 中的每一個(gè)數(shù) x ，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則 f ，都對(duì)應(yīng)著數(shù)集 B 中唯一確定的數(shù) y （把這個(gè) y 記作 f（x））。我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱(chēng)之為從數(shù)集 A 到數(shù)集 B 的單值對(duì)應(yīng)，記作f：AB。
我們把從數(shù)集 A 到數(shù)集 B 的單值對(duì)應(yīng) f：AB，叫做從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域，與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值（f（x））叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）│x∈A}叫做函數(shù)的值域。
這樣，只保留初中函數(shù)最基本的兩個(gè)特征，就輕松地得出了高中函數(shù)定義。
三、初、高中函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)是一樣的
通過(guò)保留初中函數(shù)最基本的兩個(gè)特征，得出高中函數(shù)定義，學(xué)生容易知道初、高中函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)一樣：都是指兩個(gè)數(shù)集之間的元素單值對(duì)應(yīng)，只不過(guò)初中函數(shù)定義側(cè)重于表達(dá)變量變化的結(jié)果，而高中函數(shù)定義側(cè)重于整體表達(dá)變量之間的全部對(duì)應(yīng)和變化。初、高中函數(shù)定義的這種相同本質(zhì)，可以用如下的簡(jiǎn)易圖形示意：
四、解決初中函數(shù)不能解決的一些問(wèn)題
通過(guò)減少初中函數(shù)概念的內(nèi)涵，得到的高中函數(shù)概念的外延就會(huì)擴(kuò)大，所以初中函數(shù)定義中的每一個(gè)函數(shù)，即初中講的“ y 是 x 的函數(shù)”，都是高中函數(shù)定義中的函數(shù)，都可以寫(xiě)成“從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)”，但是，反之不成立。這樣，高中函數(shù)研究的范圍已經(jīng)擴(kuò)大，就能解決初中函數(shù)不能解決的一些問(wèn)題，這就是發(fā)展概念的動(dòng)機(jī)和原因。例如：
（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函數(shù)嗎？
（2）y=與 y=x 是同一個(gè)函數(shù)嗎？等等，這些問(wèn)題如果用初中函數(shù)定義就無(wú)法回答，但是，用高中函數(shù)定義就很容易解決。
五、反思高中函數(shù)定義
講授完高中函數(shù)定義之后，可讓學(xué)生反思：（1）定義中的“……，稱(chēng) f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)”。難道從集合 A 到集合 B 還會(huì)有另一個(gè)函數(shù)？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是從集合[0，]到集合[0，1]的一個(gè)函數(shù)，讓學(xué)生找一找從集合[0，]到集合[0，1]的另一個(gè)函數(shù)，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中學(xué)的函數(shù)之外，還會(huì)有別的函數(shù)嗎？
例如，設(shè)立方體長(zhǎng)、寬、高、體積分別為x，y，z，V，則V=xyz，其中x，y，z都是自變量，這是一個(gè)有三個(gè)自變量的多元函數(shù)，不是中學(xué)的一元函數(shù)。
再如，y=±是函數(shù)嗎？
因?yàn)樗环现袑W(xué)函數(shù)定義的“單值對(duì)應(yīng)”，所以不是中學(xué)的函數(shù)，而是中學(xué)函數(shù)之外的多值函數(shù)。
通過(guò)反思高中函數(shù)定義，就不會(huì)書(shū)云亦云，師云亦云了。
六、鞏固、發(fā)展函數(shù)概念
函數(shù)概念的形成，不是一二節(jié)課就能完成的，學(xué)生學(xué)習(xí)了概念之后，還需要采取一些鞏固、發(fā)展概念的措施，羅列一些似是而非、容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的對(duì)象讓學(xué)生辨析，來(lái)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，確定概念外延的有效手段。例如（選自2011年湖北黃石必修1檢測(cè)題）：
在下列從集合 A 到集合 B 的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能確定 y 是 x 的函數(shù)是（ ）
（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=；
（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy2=3x；
（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy：x2+y2=25；
（4）A=R，B=R，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=x2；
（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，對(duì)應(yīng)法則f：（x，y）S=x+y；
（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=0。
解析：在對(duì)應(yīng)法則 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的數(shù)在 B 中沒(méi)有象。（2）A 中的數(shù)在 B 中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。（3）A 中的數(shù)（除去±5）在 B 中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。（5） A 不是數(shù)集。所以（1）（2）（3）（5）都不能確定 y 是 x 的函數(shù)。（4）（6）顯然滿足函數(shù)的特征， y 是 x 的函數(shù)。
一個(gè)概念即是對(duì)前面知識(shí)的總結(jié)，又是新知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，函數(shù)研究的是變量間的依賴(lài)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，還是要突出一個(gè)“變”字，圍繞自變量，因變量的變化特征來(lái)界定。比如，當(dāng)自變量 x 在定義域 A 中由小變大時(shí)，根據(jù) y=f（x） 的變化特點(diǎn)，提出了函數(shù)的“增減性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用這樣的思路來(lái)進(jìn)行函數(shù)概念和性質(zhì)的教學(xué)，能把概念教活，使學(xué)生獲取的知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)的整體。
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中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-2738（2011）12-0083-01
摘要：以函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)為媒折射教學(xué)設(shè)計(jì)的藝術(shù)性、科學(xué)性以及教學(xué)勞動(dòng)的創(chuàng)新性。
關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；教學(xué)程序；教學(xué)方法
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。
在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)概念。初中建立的函數(shù)概念是：
一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么，我們就說(shuō)y是x的函數(shù)．其中x稱(chēng)為自變量。
這個(gè)定義從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴(lài)關(guān)系。從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式。后來(lái)，人們逐漸意識(shí)到定義域與值域的重要性，而要說(shuō)清楚變量以及兩個(gè)變量間變化的依賴(lài)關(guān)系，往往先要弄清各個(gè)變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制。如果只根據(jù)變量觀點(diǎn)，那么有些函數(shù)就很難進(jìn)行深入研究。例如：
對(duì)這個(gè)函數(shù)，如果用變量觀點(diǎn)來(lái)解釋?zhuān)瑫?huì)顯得十分勉強(qiáng)，也說(shuō)不出x的物理意義是什么．但用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋?zhuān)褪肿匀弧?/p>
進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f（x）|x∈A 叫做函數(shù)的值域。這個(gè)概念與初中概念相比更具有一般性。
實(shí)際上，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的，不同點(diǎn)在于表述方式不同──高中明確了集合、對(duì)應(yīng)的方法，初中雖然沒(méi)有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)。
與初中相比，高中引入了抽象的符號(hào)f（x）。f（x）指集合B中與x對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)．當(dāng)x確定時(shí)，f（x）也唯一確定。另外，初中并沒(méi)有明確函數(shù)值域這個(gè)概念。
函數(shù)概念的核心是“對(duì)應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：
1.兩個(gè)數(shù)集間有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，即對(duì)于數(shù)集A中每一個(gè)x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)。
2.涉及兩個(gè)數(shù)集A，B，而且這兩個(gè)數(shù)集都非空集。
這里的關(guān)鍵詞是“每一個(gè)”“唯一確定”。也就是，對(duì)于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對(duì)應(yīng)，有的沒(méi)有，每一個(gè)都要有，而且，在集合B中只能有一個(gè)與其對(duì)應(yīng)，不能有兩個(gè)或者兩個(gè)以上與其對(duì)應(yīng)。
3.函數(shù)概念中涉及的集合A，B，對(duì)應(yīng)關(guān)系f是一個(gè)整體，是集合A與集合B之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)。
二、教材的處理
將映射的定義及類(lèi)比手法的運(yùn)用作為本課突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。函數(shù)的定義，是以集合、映射的觀點(diǎn)給出，這與初中教材變量值與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數(shù)概念的理解帶來(lái)更大的困難。為解決這難點(diǎn)，主要是從實(shí)際出發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與意識(shí)，運(yùn)用引導(dǎo)對(duì)比的手法，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的反復(fù)比較幾個(gè)概念的異同，使學(xué)生真正對(duì)函數(shù)的概念有很準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。
三、教學(xué)方法
教學(xué)方法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。依據(jù)是：因?yàn)橐孕碌挠^點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念及函數(shù)符號(hào)與運(yùn)用時(shí)，更重要的是必須給學(xué)生講清楚概念及注意事項(xiàng)，并通過(guò)師生的共同討論來(lái)幫助學(xué)生深刻理解，這樣才能使函數(shù)的概念及符號(hào)的運(yùn)用在學(xué)生的思想和知識(shí)結(jié)構(gòu)中打上深刻的烙印，為學(xué)生能學(xué)好后面的知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
四、教學(xué)程序
（一）課程導(dǎo)入
通過(guò)舉以下一個(gè)通俗的例子引出通過(guò)某個(gè)對(duì)應(yīng)法則可以將兩個(gè)非空集合聯(lián)系在一起。
例1.把高一（12）班和高一（11）全體同學(xué)分別看成是兩個(gè)集合，問(wèn)，通過(guò)“找好朋友”這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是否能將這兩個(gè)集合的某些元素聯(lián)系在一起？
（二） 新課講授
1.接著再通過(guò)幻燈片給出六組學(xué)生熟悉的數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納它們的共同性質(zhì)（一對(duì)一，多對(duì)一），進(jìn)而給出映射的概念，表示符號(hào)f：AB，及原像和像的定義。強(qiáng)調(diào)指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對(duì)應(yīng)法則f。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判斷一個(gè)從A到B的對(duì)應(yīng)是否為映射的關(guān)鍵是看A中的任意一個(gè)元素通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。
2.鞏固練習(xí)課本習(xí)題。此練習(xí)能讓學(xué)生更深刻的認(rèn)識(shí)到映射可以“一對(duì)一，多對(duì)一”但不能是“一對(duì)多”。
例1.給出學(xué)生初中學(xué)過(guò)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義和幾個(gè)簡(jiǎn)單的一次、二次函數(shù)，通過(guò)畫(huà)圖表示這些函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們是特殊的映射進(jìn)而給出函數(shù)的近代定義（設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，使得A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f），并說(shuō)明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y（或f（x））值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{ f（x）：x∈A}叫做函數(shù)的值域。并把函數(shù)的近代定義與映射定義比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系。（函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射）。再以讓學(xué)生判斷的方式給出以下關(guān)于函數(shù)近代定義的注意事項(xiàng)：
（1）函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射。
（2）f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣。
（3）f（x）是一個(gè)符號(hào)，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過(guò)f作用后的結(jié)果。
（4）集合A中的數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性。
（5）“f：AB”表示一個(gè)函數(shù)有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優(yōu)先），值域C（上函數(shù)值的集合且C∈B）。
（三）講解例題
例1.問(wèn)y=1（x∈A）是不是函數(shù)？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫(huà)圖可以知道從x的取值范圍到y(tǒng)的取值范圍的對(duì)應(yīng)是“多對(duì)一”是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，所以它是函數(shù)。
[注]：引導(dǎo)學(xué)生從集合，映射的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義。
（四）課時(shí)小結(jié)：
一、初、高中關(guān)于函數(shù)概念一節(jié)的教材對(duì)比
我市初二學(xué)生使用的滬教版教材在第13章《一次函數(shù)》中設(shè)置了三個(gè)情境：
情境1.用熱氣球探測(cè)高空氣象，設(shè)熱氣球從海拔500m處的某地升空，它上升到達(dá)的海拔高度h與上升時(shí)間v的關(guān)系；
情境2.S市某日自動(dòng)測(cè)量?jī)x記下的用電負(fù)荷曲線（圖像）；
情境3.某型號(hào)的汽車(chē)在路面上的剎車(chē)距離s與車(chē)速v之間的關(guān)系。
每個(gè)例子后面都設(shè)置了兩到三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)例子中的兩個(gè)變量以及兩個(gè)變量之間的關(guān)系，對(duì)自變量和因變量的范圍沒(méi)有做過(guò)多的要求和說(shuō)明。學(xué)生容易得出初中函數(shù)的定義：在一個(gè)變化的過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x的值，相應(yīng)的就確定唯一的一個(gè)y值，那么我們稱(chēng)x是y的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。很顯然，初中函數(shù)概念的“變量說(shuō)”是以運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)描述的，是對(duì)函數(shù)概念的感性認(rèn)識(shí)，直觀、感性、貼近生活，符合初中生的認(rèn)知特點(diǎn)。緊跟著學(xué)生又學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體的函數(shù)。通過(guò)學(xué)習(xí)，函數(shù)給學(xué)生留下的印象就是“兩個(gè)變量，一個(gè)解析式”，而且其中的自變量基本上都具有一定的物理背景。
我們?cè)賮?lái)看看人教版高中數(shù)學(xué)必修一，教材中同樣設(shè)置了三個(gè)情境：
情境1.炮彈距地面的高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律；
情境2.1979～2001年南極上空臭氧層空洞的面積的變化情況（圖像）；
情境3.“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的變化情況（表格）。
在三個(gè)情境中都明確給出了其中的兩個(gè)變量所在的集合，引導(dǎo)學(xué)生從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)歸納函數(shù)的新定義：一般地，設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.學(xué)生已經(jīng)掌握集合的知識(shí)，順理成章地將初中“自變量x的取值范圍”過(guò)渡到“定義域”，相對(duì)于初中函數(shù)，高中函數(shù)的定義抽象、理性。
二、高中函數(shù)概念的教學(xué)策略
（一）從新舊概念沖突入手
由必修一教材中出現(xiàn)的三個(gè)例子，學(xué)生容易得出函數(shù)的新定義，但事實(shí)上這三個(gè)例子的自變量都是時(shí)間，它們用初中的“變量說(shuō)”仍然可以得到很好的解釋?zhuān)菫槭裁锤咧羞€要學(xué)習(xí)新定義？因此我們可以設(shè)計(jì)以下兩個(gè)情境：
情境1.根據(jù)鐵道部對(duì)火車(chē)票做出的規(guī)定：身高在1.1以下的乘客免票，身高在1.1～1.5米之間的乘客享受半票，身高在1.5米以上的乘客必須全票，乘客的車(chē)票價(jià)與身高的關(guān)系；
情境2.滁州公交車(chē)票價(jià)和乘客乘坐的站數(shù)之間的關(guān)系。
這兩個(gè)情境是日常生活中比較常見(jiàn)的例子，學(xué)生可以很快做出判斷。到底這兩個(gè)例子是不是函數(shù)關(guān)系呢？學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的意見(jiàn)，很多學(xué)生認(rèn)為它們都不是函數(shù)，因?yàn)榍榫?中身高在某一范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，票價(jià)卻是不變的；情境2中票價(jià)也不都隨站數(shù)的變化而變化。在這兩個(gè)事例中，初中的“變量說(shuō)”就不能很好地對(duì)其進(jìn)行解釋?zhuān)眉吓c對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)理解，就可以十分自然地理解其實(shí)以上兩個(gè)情境也都是函數(shù)。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，高中所學(xué)的函數(shù)概念更具一般性，它從一個(gè)更高的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)，使函數(shù)的知識(shí)更加系統(tǒng)起來(lái)。學(xué)生通過(guò)對(duì)初高中函數(shù)概念比較、分析的過(guò)程，不但加深了對(duì)函數(shù)的理解，促使初、高中學(xué)習(xí)的知識(shí)更為有效地銜接起來(lái)，形成更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高了學(xué)生歸納推理的能力。
（二）函數(shù)符號(hào)的突破
函數(shù)符號(hào)是學(xué)生難以理解的抽象符號(hào)之一，它的內(nèi)涵是“對(duì)于定義域中的任意x，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下即可得到y(tǒng)”。我們可以把對(duì)應(yīng)法則比喻成加工廠，形象地告訴學(xué)生，因變量y實(shí)際上是通過(guò)f（faction第一個(gè)字母）加工出來(lái)的，學(xué)生就比較容易理解。在有些問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f可用一個(gè)解析式表示；但在不少問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f不便于或不能用解析式表示，這時(shí)就必須采用其他方式如圖像或表格等。在教學(xué)中，可以讓學(xué)生通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題和動(dòng)手操作，逐漸認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)符號(hào)的內(nèi)涵。例如，將不同情境中的對(duì)應(yīng)關(guān)系用同一的符號(hào)表示，計(jì)算當(dāng)自變量是數(shù)字、字母不同情況時(shí)的函數(shù)值。
在這里強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域的主導(dǎo)地位，而值域是附屬地位。
江蘇省蘇州市園區(qū)金雞湖學(xué)校215000沈奕
作為一節(jié)中考復(fù)習(xí)課，我們需要注意的問(wèn)題有很多，比如：知識(shí)的系統(tǒng)性、全面性、對(duì)各項(xiàng)基本技能的訓(xùn)練、對(duì)審題能力的培養(yǎng)等等.而在新課程改革的背景下，考試仍然是目前唯一的一種選拔途徑，那么如何將平時(shí)教學(xué)中的知識(shí)、技能、能力很好地在考試中發(fā)揮出來(lái)，使學(xué)生都能取得自己理想的成績(jī)呢？通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)我感觸最深的是：知識(shí)要復(fù)習(xí)，技能要訓(xùn)練，但要想把能力培養(yǎng)與應(yīng)試訓(xùn)練很好地結(jié)合起來(lái)，更要注意對(duì)解題過(guò)程的反思，反思一道題目所考查的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法，即考查了什么、怎樣求、為什么這樣求.對(duì)題目的反思過(guò)程是一個(gè)很好的能力培養(yǎng)的過(guò)程，能夠培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，知道遇到這樣的問(wèn)題應(yīng)該怎樣想、如何解決.
一、教學(xué)背景分析
一次函數(shù)是中考命題的熱點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式、利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.它的概念、圖象和性質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合.一次函數(shù)常與一元一次方程、不等式、不等式組、方程組、三角形的面積、圓的有關(guān)線段等知識(shí)綜合出現(xiàn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也考查學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和創(chuàng)造能力.在本節(jié)課之前已經(jīng)復(fù)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)的表示方法和正、反比例函數(shù).這節(jié)課主要復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)于一次函數(shù)的應(yīng)用在后面單獨(dú)復(fù)習(xí).
二、教學(xué)目標(biāo)的確定
根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)與2015年中考說(shuō)明的要求，并結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平，我制訂了如下教學(xué)目標(biāo)：
1.理解正比例函數(shù)，能結(jié)合具體情境了解一次函數(shù)的意義，會(huì)畫(huà)一次函數(shù)的圖象；理解一次函數(shù)的性質(zhì).（基本要求）
2.會(huì)根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的解析式；會(huì)根據(jù)一次函數(shù)的解析式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).（略高要求）
3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決與一次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，提高分析問(wèn)題的能力.
4.激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的興趣，樹(shù)立科學(xué)探究的精神.
三、教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn)
根據(jù)以上的分析，我確定了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn)：一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決與一次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題.
四、教學(xué)方式及教學(xué)手段
本節(jié)課采用講練結(jié)合的教學(xué)方式.課上引導(dǎo)學(xué)生觀察、探究、思考、分析，通過(guò)學(xué)生講解的方式展示交流的結(jié)果，并以多媒體課件為手段輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究問(wèn)題.
五、課堂實(shí)錄
（一）復(fù)習(xí)成果展示
師：我們今天一起來(lái)復(fù)習(xí)一次函數(shù)（板書(shū)課題）.昨天我們已經(jīng)對(duì)一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)做了復(fù)習(xí)，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)在一次函數(shù)這一部分我們都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？
生答，教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行整理說(shuō)明并板書(shū)知識(shí)結(jié)構(gòu).再請(qǐng)一名同學(xué)把復(fù)習(xí)提綱用投影展示，由其他同學(xué)提出問(wèn)題，共同對(duì)問(wèn)題進(jìn)行修正，教師對(duì)重點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)并板書(shū).
（通過(guò)課前鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，可以節(jié)省課堂時(shí)間，為知識(shí)應(yīng)用作準(zhǔn)備.）
（二）鞏固基礎(chǔ)
試一試：
1.一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1所示，則k、b的取值范圍分別是.
2.一次函數(shù)y=2x-3的圖象不經(jīng)過(guò)第象限；y隨x的增大而.
學(xué)生板書(shū)圖象并看圖口答.這兩個(gè)小題對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行鞏固，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.
教師總結(jié)：以上兩個(gè)小題一個(gè)由圖象確定k、b的符號(hào)，一個(gè)根據(jù)k、b的符號(hào)確定圖象的大致位置，可見(jiàn)在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中離不開(kāi)圖象.
下面請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立解決例1.
例1填空：一次函數(shù)y=mx-4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，6），則m=；畫(huà)出它的大致圖象，y隨x的增大而；它的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；它的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是.
教師先在黑板上畫(huà)出坐標(biāo)系，然后巡視，對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)，約3分鐘后請(qǐng)一名同學(xué)上黑板畫(huà)出函數(shù)圖象，其他學(xué)生分析解答，教師給予評(píng)價(jià)和引導(dǎo)，并板書(shū)此面積的求法.
反思解題過(guò)程，總結(jié)本題考查的知識(shí)與方法：
（1）待定系數(shù)法；（2）一次函數(shù)的性質(zhì)；（3）求一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）求圖形面積（數(shù)形結(jié)合）.
主要反思如何求、為什么這樣求.
接著我們?cè)倏纯矗淮魏瘮?shù)還和哪些知識(shí)相聯(lián)系.
例2已知：一次函數(shù)y=（m+2）x-（1-4m）.
（1）m為何值時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸交于原點(diǎn)？
（2）y隨菇的增大而增大時(shí)，求m的取值范圍；
（3）它的圖象與y軸交點(diǎn)在x軸的下方時(shí)，求m的取值范圍；
（4）它的圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限，求m的取值范圍.
學(xué)生獨(dú)立解題，然后由學(xué)生講解，教師補(bǔ)充評(píng)價(jià).
反思解題過(guò)程，總結(jié)本題考查的知識(shí)與方法：（1）一次函數(shù)的性質(zhì)；（2）解方程與不等式；（3）數(shù)形結(jié)合.
主要反思如何求、為什么這樣求.
（三）小結(jié)反思、布置作業(yè)
引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié).
1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？
（1）一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；
（2）根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法）；
（3）會(huì)根據(jù)一次函數(shù)的解析式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）一次函數(shù)與方程、不等式、圖形變換等知識(shí)的聯(lián)系.
2.本節(jié)課用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？數(shù)形結(jié)合.
3.解函數(shù)問(wèn)題的一般思路.認(rèn)真審題畫(huà)出圖象分析問(wèn)題解決問(wèn)題
首先創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：
問(wèn)題一、你能談?wù)剬?duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)嗎？
問(wèn)題二、函數(shù)的本質(zhì)是什么？
讓學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念，把握住函數(shù)的內(nèi)涵。教師根據(jù)學(xué)生所舉例子的具體情況，引導(dǎo)學(xué)生列舉分別用解析式、圖象、表格表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)。讓舉例的同學(xué)分別解釋他們所舉例子的含義，為什么用這個(gè)例子來(lái)說(shuō)明函數(shù)。函數(shù)是初中已有過(guò)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用初中的定義解釋所列舉的例子，可以了解學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握情況，挖掘?qū)W生背后的思維過(guò)程，暴露學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解狀況。
然后教師點(diǎn)撥學(xué)生：“我們?cè)诔踔芯蛯W(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，并且學(xué)習(xí)過(guò)一些特殊的函數(shù)，那么現(xiàn)在我們上了高中，為什么又要來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念呢？初中對(duì)于函數(shù)的定義，主要是從變量之間的依賴(lài)關(guān)系來(lái)表述，那么我們學(xué)習(xí)了集合的相關(guān)知識(shí)，為了更加深刻地揭示變量之間的這種依賴(lài)關(guān)系，能不能利用集合對(duì)函數(shù)進(jìn)行重新定義呢？這節(jié)課我們將從集合的角度賦予函數(shù)概念以新的思想。”以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念與高一剛學(xué)習(xí)的過(guò)的集合知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，用集合的觀點(diǎn)解釋過(guò)去的概念，獲得對(duì)函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí)。
下面把時(shí)間留給學(xué)生，讓學(xué)生自學(xué)書(shū)上的三個(gè)實(shí)例：
1。物理公式：s=vt；
2。“艾賓浩斯遺忘曲線”；
3。 1988至2008年中國(guó)歷屆奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)。
并讓學(xué)生思考以下四個(gè)小問(wèn)題：
（1）三個(gè)實(shí)例中分別含有哪幾個(gè)變量？
（2）這些變量的取值范圍怎樣用集合表示出來(lái)？
（3）變量所在的集合之間有著怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？
（4）實(shí)例中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有何異同？
在此設(shè)置自學(xué)環(huán)節(jié)并提出四個(gè)小問(wèn)能夠讓學(xué)生靜下心來(lái)從具體實(shí)例中抽象出函數(shù)的概念。教師要注意突出“兩個(gè)變量x，y”，對(duì)于變量x的“每一個(gè)”確定的值，另一個(gè)變量y有“唯一”確定的值與x對(duì)應(yīng)，“y是x的函數(shù)”。特別要求學(xué)生指出對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？x取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個(gè)數(shù)集做準(zhǔn)備。
接著我自編了實(shí)例四：將6位同學(xué)按1到6進(jìn)行編號(hào)，把他們的編號(hào)放在一個(gè)集合里，將他們的數(shù)學(xué)成績(jī)放在另一個(gè)集合里，將編號(hào)和他們的成績(jī)對(duì)應(yīng)得到第一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。接著將他們的數(shù)學(xué)成績(jī)放在一個(gè)集合里，把他們的排名放在另一個(gè)集合里，將他們的成績(jī)與排名對(duì)應(yīng)得到第二個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后關(guān)注最后兩名沒(méi)有考及格的同學(xué)，把他們的學(xué)號(hào)與最近兩次考試的成績(jī)對(duì)應(yīng)得到第三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。之后讓他們給自己下次考試成績(jī)定個(gè)目標(biāo)，同學(xué)5說(shuō)出下次爭(zhēng)取考到60分，而同學(xué)6沒(méi)定目標(biāo)，這樣得到第四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。請(qǐng)嘗試應(yīng)用剛剛概括出的函數(shù)的概念判斷一下這四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中哪些是函數(shù)？
在是與不是的函數(shù)判斷中，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有著進(jìn)一步深入的認(rèn)識(shí)。緊接著讓學(xué)生自己思考以下三個(gè)小問(wèn)題：
（1）函數(shù)的概念中有哪些關(guān)鍵詞？
（2）如何理解函數(shù)的概念與符號(hào)？
（3）函數(shù)有哪幾個(gè)要素？
教師引導(dǎo)學(xué)生要善于解剖概念，促使學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵詞，透徹理解概念的內(nèi)涵。
同時(shí)，指出：
（1）A、B必須是非空的數(shù)集；且對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中只有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)為數(shù)與數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)或多一對(duì)應(yīng)；
（2）函數(shù)的定義域就是集合A，但函數(shù)的值域未必就是集合B，實(shí)際上，它是集合B的子集（這里可以借助自編實(shí)例四讓學(xué)生理解，這也是自編實(shí)例四的目的之一）；
（3）f（x）的符號(hào)含義：y=f（x）為“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，僅僅是一個(gè)函數(shù)符號(hào)，表示x經(jīng)f作用后的結(jié)果，f（x）并非表示f與x相乘 ；
（4）函數(shù)必須具備三個(gè)要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則f，三者缺一不可。并指出對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)定義域確定、對(duì)應(yīng)法則確定后，值域也隨之確定，因此，兩個(gè)函數(shù)相等的條件是定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。
接著讓學(xué)生自己總結(jié)如何判斷一種對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)？
（1）定義域和對(duì)應(yīng)法則是否給出；
（2）根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)法則，自變量x在其定義域中的每個(gè)值，是否都能確定唯一的函數(shù)值y。
現(xiàn)以“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”的教學(xué)為例，說(shuō)明自組織教學(xué)理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中怎樣展現(xiàn)它獨(dú)特的魅力和優(yōu)勢(shì).
一、讓課堂教學(xué)充滿生機(jī)
在傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，教師為了使教學(xué)的秩序得到保證，以封閉式的教學(xué)系統(tǒng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，這使學(xué)生只能跟隨教師的思路走，學(xué)生即使有想法、有意見(jiàn)、有思路也無(wú)法表示.自視域教學(xué)理論最重要的特色之一，就是以開(kāi)放型的教學(xué)系統(tǒng)，教師除了給學(xué)生一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)以外，不再干涉學(xué)生以怎樣的方式學(xué)習(xí)，學(xué)生的自體性得到發(fā)揮，整個(gè)教學(xué)課堂變得有生機(jī).
比如，引導(dǎo)理解什么是函數(shù)的概念，先讓學(xué)生觀察：y=1(x∈R),y=x,y=x2x，這三個(gè)解析式有什么特征？它們滿足什么條件？有些學(xué)生轉(zhuǎn)化能力強(qiáng)，用畫(huà)圖象的方式得到答案；有的學(xué)生邏輯性強(qiáng)，以列表找異同的方式得到答案；有些學(xué)生直覺(jué)性強(qiáng)，一眼就能看出答案.學(xué)生能照自己喜歡的方法學(xué)習(xí)，就會(huì)愿意自主的學(xué)習(xí).
二、讓學(xué)生各展所長(zhǎng)
傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式最大的特點(diǎn)是學(xué)生沒(méi)有選擇學(xué)習(xí)對(duì)象的權(quán)力，即使自己面對(duì)該學(xué)習(xí)對(duì)象內(nèi)心很煩燥，卻依然得被迫學(xué)習(xí).自視域教學(xué)理論則是將學(xué)生視為不同個(gè)體的人，以人為本，將學(xué)生視為生命的個(gè)體，將課堂視為不可復(fù)制的一段生命旅程，學(xué)生可以根據(jù)自己的需要選喜歡的方式學(xué)習(xí)，我們的自組織理論視域下數(shù)學(xué)課堂要給學(xué)生空間和時(shí)間，讓學(xué)生自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，自己選擇學(xué)習(xí)方式，自主探究與合作，讓學(xué)習(xí)過(guò)程成為數(shù)學(xué)體驗(yàn)與數(shù)學(xué)享受的過(guò)程.比如，指導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的值域概念時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考：
1）習(xí)題一
如果函數(shù)f(x)=12x2-x+a的定義域與值域?yàn)椋?,b］(b>1)，那么請(qǐng)求出a、b的數(shù)值.
2）習(xí)題二
已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R)的值域是［0,+∞)，求a的數(shù)值.
3）習(xí)題三
以題二的函數(shù)為例，如果函數(shù)的數(shù)值均不為負(fù)數(shù)，求f(a)=2-a|a+3|的值域.
三道題，給學(xué)生選擇性學(xué)習(xí)，讓不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展.教師不僅可以讓學(xué)生在習(xí)題上有選擇性，還可以鼓勵(lì)他們課外尋找非課本的資源研究，讓他們根據(jù)自身特長(zhǎng)去學(xué)習(xí).
三、讓學(xué)生共同交流
自組織理論視域下數(shù)學(xué)新課程，要求學(xué)生之間互動(dòng)，學(xué)會(huì)交流，形成知識(shí)磁力場(chǎng)，比如學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)知識(shí)時(shí)，貌似把教師說(shuō)的內(nèi)容都聽(tīng)明白了，實(shí)際上卻可能沒(méi)有聽(tīng)明白.如果學(xué)生能多點(diǎn)交流，學(xué)生的視野會(huì)得到開(kāi)拓，學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)自己貌似理解的知識(shí)在同學(xué)的追問(wèn)與反駁的情形下原來(lái)掌握得非常膚淺.教師要重視學(xué)生在課堂中的交流活動(dòng).
比如，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與初等函數(shù)的知識(shí)：
以下左圖為馬鈴薯市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間，右圖為馬鈴薯成本與上市時(shí)間，教師將學(xué)生分成小組，要求學(xué)生共同討論，馬鈴薯什么時(shí)候上市，所得到的綜合利潤(rùn)最高？
這一題既涉及到函數(shù)的知識(shí)，也涉及到函數(shù)的計(jì)算，學(xué)生在共同討論的過(guò)程中，可以找到函數(shù)計(jì)算的思路、找到最簡(jiǎn)的計(jì)算方法、找到計(jì)算的規(guī)律.學(xué)生在共同交流的過(guò)程中，智慧相互碰撞，知識(shí)相互生成，相互激發(fā)靈感，可以起到共同進(jìn)步的學(xué)習(xí)效果.
四、激發(fā)學(xué)習(xí)能量
從以上自組織視域的函數(shù)概念與基本初等函數(shù)的教學(xué)中可以看到，數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)、思路寬廣、領(lǐng)悟力強(qiáng)的學(xué)生能在這樣的課堂中迅速掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)，他們掌握的知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)教學(xué)大綱的要求，而有一些學(xué)生則僅僅能掌握課堂中的基本知識(shí).在傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，會(huì)認(rèn)為這種教學(xué)成果不能滿足教學(xué)要求，然而，自組織視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)重視的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)的方式思考.雖然目前學(xué)生在一、兩節(jié)課堂中看不到學(xué)習(xí)的成果，然而長(zhǎng)期以往，學(xué)生會(huì)慢慢釋放自己的潛力、發(fā)揮自己的特長(zhǎng)、展現(xiàn)自我的學(xué)習(xí)風(fēng)格，未來(lái)，他們會(huì)形成學(xué)習(xí)的飛躍.
關(guān)鍵詞：周期性現(xiàn)象模型；感性認(rèn)識(shí)；三角函數(shù)
到了高中階段，三角函數(shù)概念擺脫了初中階段的束縛，產(chǎn)生很大的飛越． 概念提升后，學(xué)生認(rèn)識(shí)的角度、深度和廣度都要相應(yīng)地發(fā)生變化，對(duì)概念的理解才能從初中階段順利過(guò)渡到高中階段．從人類(lèi)認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的辯證過(guò)程看，首先是從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的過(guò)程． 在這個(gè)過(guò)程中，認(rèn)識(shí)采取了感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)兩種形式，并經(jīng)歷了由前者到后者的能動(dòng)飛躍． 理性認(rèn)識(shí)是基于感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上的． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)相互滲透，相互包含． 感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)在實(shí)踐的基礎(chǔ)上是辯證統(tǒng)一的． 認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)是不斷反復(fù)和無(wú)限發(fā)展的． 數(shù)學(xué)就是人類(lèi)通過(guò)實(shí)踐由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)而形成的，并在不斷豐富和發(fā)展．
初中階段的三角函數(shù)概念，其研究范圍是銳角，側(cè)重幾何的角度，在一個(gè)直角三角形中，研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系，其研究方法是幾何的，研究目的是為解直角三角形服務(wù)． 高中階段，它是在“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論和研究的，研究從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)．通過(guò)構(gòu)造，將給定的角通過(guò)直角坐標(biāo)系研究，提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路，研究平臺(tái)從初中的平面幾何圖形過(guò)渡到平面直角坐標(biāo)系，再次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 任意角的三角函數(shù)作為函數(shù)概念的下位概念，要強(qiáng)調(diào)它是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，由“銳角三角函數(shù)”概念擴(kuò)張到“任意角三角函數(shù)”． 三角學(xué)的現(xiàn)代特征，是把三角量看做函數(shù)，即看做是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值． 正如歐拉所說(shuō)，“引進(jìn)三角函數(shù)以后，原來(lái)意義上的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算”．
三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中自成體系，成為獨(dú)立的一章． 沿定義出發(fā)衍生的基本內(nèi)容有：三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號(hào)、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、一些變換公式以及圖象和性質(zhì)，其內(nèi)涵豐富，外延廣泛． 在經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程中，學(xué)生的理解很難一步到位，往往還是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形邊與邊的“比值”之間的內(nèi)在關(guān)系． 要克服負(fù)遷移，打破思維定式，突破它的下位概念——銳角三角函數(shù)的概念的束縛，承前啟后，從狹義走向廣域，達(dá)到概念的內(nèi)化．
脫離實(shí)際的理論是空洞的，會(huì)顯得蒼白無(wú)力． 找到感性認(rèn)識(shí)的切入點(diǎn)，通過(guò)突出和深化感性認(rèn)識(shí)，提供一些適當(dāng)?shù)谋尘埃鰪?qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn)，學(xué)生能身臨其境，伴隨著“真情實(shí)感”來(lái)體驗(yàn)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，逐步過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)階段，水到渠成．
以典型、具體的模型，通過(guò)適當(dāng)?shù)膶?shí)踐讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)知，明確研究范圍的變化，開(kāi)闊視野，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提煉概括，才能揭示由此帶來(lái)的新問(wèn)題，加深對(duì)新概念的理解，這樣的學(xué)習(xí)才會(huì)充滿活力．
這里給出兩個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明．
以和我們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的交流電為例，它的最基本的形式是正弦電流
如圖1所示為發(fā)電機(jī)的示意圖．當(dāng)線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)． 當(dāng)線圈平面垂直于磁感線時(shí)，各邊都不切割，沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)此平面為中性面，如圖2所示． 設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)中線圈一邊的長(zhǎng)度為l，平面從中性面開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，線圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度為ωt，這時(shí)，其單側(cè)線圈切割磁感線的線速度v與磁感線的夾角也為ωt，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e′=Blvsinωt． 所以整個(gè)線圈所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為e=2Blvsinωt，2Blv為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，設(shè)為Em，則e=Emsinωt． 此式為正弦交流電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值表達(dá)式，也稱(chēng)解析式． 正弦交流電壓、電流等表達(dá)式與此相似．
圖3
圖4
從產(chǎn)生交流電的過(guò)程看，對(duì)比正弦曲線，此例是一個(gè)非常生動(dòng)和具體的實(shí)例．
簡(jiǎn)諧振動(dòng)
簡(jiǎn)諧振動(dòng)有單擺擺動(dòng)和彈簧振子運(yùn)動(dòng)．
理論和實(shí)驗(yàn)都證明，簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律呈正弦函數(shù)或余弦函數(shù)．
以橫軸表示時(shí)間t，以縱軸表示位移x，建立坐標(biāo)系，畫(huà)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖象都是正弦或余弦曲線，振動(dòng)圖象表示了振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律． 由圖象可知振動(dòng)的周期，可以讀出不同時(shí)刻的位移；根據(jù)圖象可以確定速度大小、方向的變化趨勢(shì)；還可以根據(jù)位移的變化趨勢(shì)判斷加速度的變化，也能判斷質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況．
學(xué)生如果能從所熟悉的問(wèn)題、感興趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知識(shí)等這些背景出發(fā)，不僅把已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)作為新知識(shí)增長(zhǎng)點(diǎn)，從現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與他的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，找到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)踐應(yīng)用中的切入點(diǎn)，把數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，服務(wù)于當(dāng)代和新生科學(xué)的理論和實(shí)踐，“把現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)與學(xué)生個(gè)體的現(xiàn)實(shí)緊密地結(jié)合起來(lái)”．
任意角的三角函數(shù)反映了自然界中或工程技術(shù)中的一個(gè)非常重要的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，是大量周期性現(xiàn)象的模型，也是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的．
