時間：2023-06-02 09:22:54
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇函數(shù)最值的應(yīng)用，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關(guān)鍵詞：二元函數(shù);最值;經(jīng)濟;應(yīng)用
中圖分類號：F12 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）31-0005-02
一、二元函數(shù)的最大值與最小值
求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：
（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有駐點處的函數(shù)值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。
在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。
二、二元函數(shù)的最值在經(jīng)濟中的應(yīng)用
例1 設(shè)q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數(shù)分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數(shù)為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價格，試問價格p1，p2取何值時可使利潤最大？
解 按題意，總收益函數(shù)為：
R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）
于是總利潤函數(shù)為
L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）
=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）
為使總利潤最大，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：
=14-4p1+8p2=0
=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）
=28+8p1-20p2=0
由此解得p1=63/2，p2=14，又因
（L"xy）2-L"xx?L"yy=82-（-4）（-20）<0
故取p1=63/2，p2=14價格時利潤可達最大，而此時得產(chǎn)量為q1=9，q2=6。
例2 在經(jīng)濟學(xué)中有個Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型f（x，y）=
cxαy1-α，式中x代表勞動力的數(shù)量，y為資本數(shù)量（確切地說是y個單位資本），c與α（0<α<1）是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量，現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預(yù)算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本，以使生產(chǎn)量最高。
解 這是個條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。
令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組
Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0
中的第一個方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個方程中，得
25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0
在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個勞動力而把其余的部分作為資本投入，這時可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。
例3 設(shè)銷售收入R（單位：萬元）與花費在兩種廣告宣傳的費用x，y（單位：萬元）之間的關(guān)系為
利潤額相當于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費用.已知廣告費用總預(yù)算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費用使利潤最大？
解 設(shè)利潤為z，有
限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令
L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）
從而
Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0
整理得
（5+x）2=（10+y）2
又y=25-x，解x=15，y=10。根據(jù)問題本身的意義及駐點的唯一性即知，當投入兩種廣告的費用分別為15萬元和10萬元時，可使利潤最大。
例4 設(shè)某電視機廠生產(chǎn)一臺電視機的成本為c，每臺電視機的銷售價格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機的生產(chǎn)量等于銷售量，根據(jù)市場預(yù)測，銷售量x與銷售價格為p之間有下面的關(guān)系：
x=Me-ap （M>0，a>0） （1）
其中M為市場最大需求量，a是價格系數(shù)。同時，生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對每臺電視機的生產(chǎn)成本c有如下測算：
c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）
其中c0是只生產(chǎn)一臺電視機時的成本，k是規(guī)模系數(shù)，根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機的售價p，才能使該廠獲得最大利潤？
解 設(shè)廠家獲得的利潤為u，每臺電視機售價為p，每臺生產(chǎn)成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。
于是問題化為利潤函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。
利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：
L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）
令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0
將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）
由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）
由Lc=0知x=μ，即x/μ=1
將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得
p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0
由此得p*=
由問題本身可知最優(yōu)價格必定存在，故這個p*就是電視機的最優(yōu)價格。
參考文獻：
關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列最值；函數(shù)性質(zhì)關(guān)系；導(dǎo)數(shù)求最值；均值定理求最值；巧妙轉(zhuǎn)化
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2014）07-0245-02
數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中可以說是“叱咤風云”，具有深刻的內(nèi)涵與豐富的外延，在應(yīng)用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力.從近幾年新課標高考來看，數(shù)列的考查逐漸趨向于簡單化，但是數(shù)列求最值，卻成了高考命題的熱點，也成了聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.本文主要談?wù)剶?shù)列求最值的幾個常規(guī)解法，供讀者參考.
一、均值定理求數(shù)列中項的最值
例1 （2013屆閔行區(qū)二模）公差為d，各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1=1，an=73，則n+d的最小值等于（？搖？搖）.
解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9時，n+d取最小值18.
點評：利用式子特征構(gòu)造均值定理應(yīng)用環(huán)境，適用于所求式子為齊次分式，或分子分母一、二次能分離的，可以構(gòu)造均值定理的數(shù)列求最值問題.
【變式1】設(shè)a1，a2，…，a2007均為正實數(shù)，且■+■+…+■=■，則a1a2…a2007的最小值是（？搖？搖） .
解：設(shè)xi=■，則ai=2?■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007?■?（x2+x3+…+x2007）?（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007?■?2006?■?2006?■…2006?■22007?20062007=40122007
二、函數(shù)性質(zhì)法求解數(shù)列最值
例2 （2013江蘇理14題）在正項等比數(shù)列{an}中，a5=■，a6+a7=3，則滿足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整數(shù)n的值為 .
解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>
2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■
解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，則q>0，根據(jù)題意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化簡得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1?a2?…?an=a1n?q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1?a2?…?an，所以2n-1-1>2■，將n=1，2，3，…帶入驗證發(fā)現(xiàn)n≥13時上述不等式成立.故n取最大整數(shù)12.
點評：數(shù)列是特殊的函數(shù)，若其通項或前n項和有明確的函數(shù)解析式時，一般考慮用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)求取最值，但要注意自變量n的取值范圍.一般情況下用作差或作商來證明單調(diào)性求解，有時也用導(dǎo)數(shù)來證明.本題易忽視公比的取值范圍而致錯，對指數(shù)冪的運算性質(zhì)不熟也會導(dǎo)致錯誤.
【變式2】已知數(shù)列{an}滿足an=■-■，數(shù)列{an}的最大項為 .
解：（作商法求單調(diào)性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L數(shù)列{an}有最大項，最大項為第一項a1=■-1.
三、導(dǎo)數(shù)法在數(shù)列求最值當中的應(yīng)用
例3 [2013新課標Ⅱ卷（理）]等差數(shù)列{an}的前n項和為 Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為 .
解：由已知得：Sn=■n（n-10），設(shè)f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近極小值點n=■的整數(shù)為6和7，代入f（n）計算得n=7時f（n）最小，最小值為49.
點評：導(dǎo)數(shù)法求數(shù)列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判斷單調(diào)性的題型，是利用函數(shù)性質(zhì)求數(shù)列最值的一種特況，作為研究數(shù)列和函數(shù)的橋梁，使問題解決便捷.
【變式3】 （2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題解答）數(shù)列{■}，n=1，2，L，則數(shù)列中最大項的值為（ ？搖）.
解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e為極大值點，即數(shù)列最大項■.
四、數(shù)列特性法求解最值
例4？搖（2011北約13校自主選拔）在等差數(shù)列{an}中，a3=-13，a7=3，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求數(shù)列{Sn}的最小項，并指出其值為何.
解：因為a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，
法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■
法二：由Sn=■=2n2-23n=2n-■■-■，所以當n=6， （Sn）min=S6=-66.
【關(guān)鍵詞】函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；最值
一、研究函數(shù)最值的實際意義
在生產(chǎn)實踐及科學(xué)實驗中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等問題。例如質(zhì)量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利潤最大，投入最小等等，這類問題在數(shù)學(xué)上常常歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。函數(shù)最值問題在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，科學(xué)研究、航天航空、計算機編程等，在現(xiàn)代經(jīng)濟領(lǐng)域尤為重要，在市場經(jīng)營活動中，企業(yè)總是千方百計地挖掘生產(chǎn)潛力，希望在生產(chǎn)能力許可的條件下，用最低的生產(chǎn)成本達到最大利潤，要想做到這一點，關(guān)鍵是管理。而將數(shù)學(xué)中最值問題應(yīng)用到企業(yè)管理中，能使管理更具科學(xué)性、有效性。
二、怎樣由實際問題求最值
（1）建立目標函數(shù)。（2）求最值；若目標函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最值。
三、由實際問題求最值應(yīng)用舉例
例1：敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？
解：（1）建立敵我相距函數(shù)關(guān)系。
設(shè)t為我軍從B處發(fā)起追擊至射擊的時間（分）。
敵我相距函數(shù)s(t) s(t)=■.
（2）求s=s(t)的最小值點。
st(t)=■令st(t)=0
得唯一駐點t=1.5。
故：我軍從B處發(fā)起追擊后15分鐘射擊最好。
例2：某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去。當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費。試問房租定為多少可獲得最大收入？
解：設(shè)房租為每月x元，租出去的房子有50-(■)套，每月總R(x)=(x-20)(50-■)，Rt(x)=(68-■)+(x-20)(-■)=70-■，
Rt(x)=0=>x=350（唯一駐點）。故每月每套租金為350元時收入最高。
最高收入為：R(x)=(350-20)(68-■)=10890（元）。
由此，若f(x)在定義域上取到最大（?。┲?，現(xiàn)給出求f(x)在區(qū)間I上的最大（?。┲缔k法：
（i）求出f(x)在Ⅰ上的所有駐點不可導(dǎo)點和端點。
（ii）求出f(x)在這些點上的函數(shù)值，再進行比較：最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲怠?/p>
參 考 文 獻
[1]張代遠．神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)新理論與方法[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2006：12～15
【關(guān)鍵詞】三角復(fù)合函數(shù)；分解函數(shù)法；中學(xué)教學(xué)
三角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)的最值的探究是歷年高考命題的一個熱點，筆者認為：若y是x的復(fù)合函數(shù)求最值，首先可引入中間變量，寫出組成復(fù)合函數(shù)的基本函數(shù)，即把復(fù)合函數(shù)分解為幾個基本函數(shù)；其次由x的取值范圍求出中間變量的取值范圍，由中間變量的取值范圍求出y的取值范圍；最后根據(jù)y的取值范圍直接寫出原函數(shù)最值.這種求其復(fù)合函數(shù)最值的方法簡單易行，筆者把它命名為分解函數(shù)法.
例1（2014?天津）已知函數(shù)f（x）=cosx?sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值和最小值.
解f（x）=cosx?sinx+π3-3cos2x+34=cosx?12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）設(shè)y=12u，u=sinv，v=2x-π3，
因為-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，從而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，
因此，f（x）在閉區(qū)間-π4，π4上的最大值為14，最小值為-12.
點評在（Ⅱ）中，求三角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)f（x）的最值時，引入了中間變量u，v
把復(fù)合函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為三個基本函數(shù)的值域問題加以解決.這種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美、奇異美及轉(zhuǎn)化思想，具有很強的操作性.
例2（2014?江西）已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.
（Ⅰ）當a=2，θ=π4時，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；
（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.
解（Ⅰ）當a=2，θ=π4時，
f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x
設(shè)y=sinu，u=π4-x，
因為0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，
因此，f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為22，最小值為-1.
（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，
由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①
由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②
聯(lián)立①②，結(jié)合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.
點評該例（Ⅰ）中，函數(shù)f（x）實際上是三；角函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)，求其最值時，采
關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 最值問題 思維誤區(qū) 知識整合
一
“最值”指變量在某一變化過程中取得的最大值或最小值.在新課標中，最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，如最大利潤問題、最大面積問題、最低運費問題等.最值問題包括函數(shù)最值問題、不等式最值問題和幾何最值問題等；在函數(shù)最值問題中，有二次函數(shù)最值、一次函數(shù)最值和反比例函數(shù)最值問題.
對于二次函數(shù)y=ax+bx+c，當a>0時，它的圖像開口向上，圖像存在最低點，二次函數(shù)有最小值，最小值是頂點的縱坐標的值；當a
（一）忽略了自變量取值范圍的限制.
在一個二次函數(shù)中，當自變量是全體實數(shù)時，頂點的縱坐標是這個函數(shù)的最大值或最小值.但當自變量的取值范圍不是全體實數(shù)時，函數(shù)的圖像是拋物線的一部分，頂點不一定落在部分的拋物線上.這時，以頂點的縱坐標作為所求的最值就不一定正確了.因此，求二次函數(shù)的最值，必須考慮頂點的橫坐標是否落在自變量的取值范圍內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤的結(jié)論.
例1：已知二次函數(shù)y=x2-2x-3，在2≤x≤3的范圍內(nèi)求這個二次函數(shù)的最大值或最小值.學(xué)生往往會盲目地求出二次函數(shù)圖像的頂點坐標（1，-4），然后得出結(jié)論：因為a>0，所以二次函數(shù)有最小值，最小值是-4.這個的結(jié)論顯然是錯誤的.其實在2≤x≤3范圍內(nèi)函數(shù)的圖像在對稱軸x=1的右側(cè)，且y隨x的增大而增大，故當x取最小數(shù)值2時，y的值最小為-3；當x取最大數(shù)值3時，y的值最大為0.事實上，在很多實際問題中，自變量往往受實際意義的限制，只能在某一范圍內(nèi)取值.因此，求二次函數(shù)的最值必須關(guān)注自變量取值范圍對最值的影響，當頂點不在自變量取值范圍內(nèi)時，必須利用函數(shù)的增減性，以自變量取值范圍中端點的函數(shù)值確定所求的最值.
（二）忽略了a的符號對最值的影響.
在某些問題中，建立起來的二次函數(shù)存在某一種最值，但要求的可能是另一種最值，因此不能盲目地用頂點縱坐標求最值，而應(yīng)根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定.
例2：如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是BC邊上的一個動點，QPAP交CD于Q，設(shè)PB=x，ADQ的面積為y.
（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；
（2）當點P運動到什么位置時，ADQ的面積最大？
（三）忽略了其他函數(shù)在某一條件下存在最值.
在一次函數(shù)y=kx+b中，當k>0時，y隨x的增大而增大；當k
例3：某報刊銷售亭從報社購進某晚報的價格是每份0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙還可以以每份0.2元的價格退回報社.在一個月內(nèi)（以30天計算），有20天每天可以賣出100份，其余10天只能每天賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數(shù)必須都相同.若報亭每天從報社訂購報紙的份數(shù)為x（份），每月所獲得利潤為y（元）.
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）報亭應(yīng)該每天從訂購多少份報紙，才能使每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？
由題意可建立y與x的函數(shù)關(guān)系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.學(xué)生往往沒有注意到自變量的取值范圍，認為該函數(shù)不存在最值，因而無從下手.事實上由題設(shè)可知，自變量的取值范圍為60≤x≤100，且x為正整數(shù)，由于y隨x的增大而增大，故當x取最大數(shù)值100時，對應(yīng)的y值最大，最大利潤為580元.
例4：某商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x（元）與日銷售量y（個）之間有如下關(guān)系：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)經(jīng)銷此賀卡的銷售利潤為w元，試求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.若物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元/個，請求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？
例5：在平面直角坐標系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），點P在y軸上，且PA+PB的值最小，求點P的坐標.
如圖，聯(lián)想在直線上到直線同側(cè)兩點距離和最小的點的作法，作出點A關(guān)于y軸的對稱點A′，求出直線A′B的函數(shù)表達式，再求出直線A′B與y軸的交點的坐標即為所求.這里，利用對稱性質(zhì)把PA轉(zhuǎn)化，構(gòu)造三角形兩邊和大于第三邊的不等模型，當點P落在這一特殊位置上時，PA+PB的值最小.
二
那么，如何引導(dǎo)學(xué)生走出最值問題思維的誤區(qū)呢？下面我談?wù)勗诮虒W(xué)中的做法.
（一）引導(dǎo)多方思考，加強知識聯(lián)系.
最值問題，涉及知識面廣，解題方法靈活.出現(xiàn)以上誤區(qū)，原因之一在于思維定勢的負面效應(yīng)，原因之二在于學(xué)生思維比較狹窄.因此，教學(xué)中應(yīng)對一般二次函數(shù)的最值問題與其他最值問題進行比較，讓學(xué)生明確在什么情況下，可直接由二次函數(shù)的頂點坐標求最值；什么情況下，需借助函數(shù)增減性并利用自變量取值范圍求最值；什么情況下，需構(gòu)造不等模型求最值.對生活中的函數(shù)問題、圖形中的函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量的取值范圍，關(guān)注函數(shù)的增減性，加強相關(guān)知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.
（二）借圖像識增減，提高思維效率.
生活及圖形中的函數(shù)最值問題，往往與函數(shù)自變量取值范圍（函數(shù)的有界性）及函數(shù)的增減性有關(guān)，這些從函關(guān)系式上理解比較困難，借助圖像觀察，往往一目了然.因此，在教學(xué)中，應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生對圖像的觀察，加深對函數(shù)有界性和增減性的理解，從中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，在加深函數(shù)認識的過程中去發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最值，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨創(chuàng)性.
（三）通過動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)不變規(guī)律.
一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)間的距離等問題
函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）表示曲線y=f（x）在該點處切線的斜率．如果曲線y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，則曲線y=f（x）在點（x0，f ′（x0））處的切線與法線的方程為：y－y0=f ′（x0）（x－x0）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定義：曲線C上的點到直線l 的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋（y＋4）2＝2到直線l：y＝x的距離，則實數(shù)a＝______________．
【評析】
導(dǎo)數(shù)的幾何意義表現(xiàn)為曲線的切線斜率值，從而利用導(dǎo)數(shù)可求曲線y＝f（x）的切線，并進一步將導(dǎo)數(shù)融合到函數(shù)與平面幾何的交匯問題中．
二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與線性規(guī)劃交匯的問題
線性規(guī)劃除解決實際問題外，它還能“以形助數(shù)”把抽象的符號語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言，并借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”的抽象性，因而兼有數(shù)的抽象和形的直觀，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、工具性特點．
例2.（2012年高考陜西卷理，14）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤0， D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為 ．
【評析】
本題以分段函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、簡單線性規(guī)劃問題，考查綜合應(yīng)用知識解決問題的能力．
三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與方程（零點）交匯的問題
利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分析函數(shù)零點是近年來高考命題的熱點題型，其實質(zhì)上就是對函數(shù)極值、最值知識掌握應(yīng)用情況的進一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函數(shù)f（x）＝axsinx-■（a∈R）且在［1，■］上的最大值為■．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明．
【分析】
當函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該等式恒成立，從而把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決恒成立問題的一種重要方法．零點個數(shù)的判定主要是依據(jù)零點存在定理．
【評析】
給定含有參數(shù)的函數(shù)以及相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，求解參數(shù)的值或范圍，需要我們靈活運用導(dǎo)數(shù)這一工具，對問題實施正確的等價轉(zhuǎn)化，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式．在此類含參問題的求解過程中，逆向思維的作用尤為重要．
四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與數(shù)列交匯的問題
數(shù)列作為實質(zhì)意義上的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值問題比用傳統(tǒng)方法更為簡便.在解決導(dǎo)數(shù)背景下的數(shù)列問題時，充分利用函數(shù)性質(zhì)和目標式的結(jié)構(gòu)特點，仔細觀察，大膽嘗試，就一定能找到數(shù)列與函數(shù)式之間的聯(lián)系，為成功解題找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2＋■與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）當0
【分析】
本題第（Ⅰ）問較基礎(chǔ)常規(guī)，而第（Ⅲ）問貌似不等式問題，但其實質(zhì)還是函數(shù)問題，我們可以借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較直觀地從幾何的角度來判斷兩者的大小問題．
【評析】
本題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力．主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力；且又深層次地考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法．
五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式交匯的問題
證明不等式的方法有許多，導(dǎo)數(shù)作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用上的新穎性以及導(dǎo)數(shù)思想的重要性．由導(dǎo)數(shù)方法研究不等式時，一般是先構(gòu)造一個函數(shù)，借助對函數(shù)單調(diào)性或最值的研究，經(jīng)歷某些代數(shù)變形，得到待證明的不等式．
例5．（2012年高考遼寧卷文，21）設(shè)f（x）＝lnx+■-1，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜■（x－1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，f（x）＜■.
【分析】
本題可直接由所證不等式構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性、最值，從而達到證明不等式的目的．
【評析】
證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性把要證明的不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）>0（或f（x）
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；最值；翻轉(zhuǎn)課堂
翻轉(zhuǎn)課堂起源于美國科羅拉多州落基山“林地公園”高中的喬納森?伯爾曼和亞綸?薩姆斯這兩位化學(xué)老師，他們將結(jié)合實時講解和PPT演示的視頻上傳到網(wǎng)絡(luò)而引起眾人關(guān)注[1]。2011年，薩爾曼?可汗在《用視頻重新創(chuàng)造教育》演講中提到：現(xiàn)階段很多的學(xué)生都在家觀看可汗學(xué)院的教學(xué)視頻然后回到課堂上做作業(yè)，遇到不懂的問題向老師和學(xué)生請教，很顯然這與我們傳統(tǒng)的教學(xué)模式正好相反，我們將這種教學(xué)形式稱之為“翻轉(zhuǎn)課堂”。自此，翻轉(zhuǎn)課堂成為教育者關(guān)注的熱點，迅速躥紅美國，并影響全球，成為全世界最熱門的教育改革和教育創(chuàng)新話題。被比爾?蓋茨認為“預(yù)見了教育的未來”，被加拿大《環(huán)球郵報》評為2011年影響課堂教學(xué)的重大技術(shù)變革。
翻轉(zhuǎn)課堂利用信息技術(shù)手段顛覆了傳統(tǒng)的教學(xué)順序和師生關(guān)系，讓學(xué)生成為課堂的主人，實現(xiàn)了課堂內(nèi)外一體化，教與學(xué)相互輔助，師生相互對話進行教學(xué)。下面以高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的最值一節(jié)為例，論述了如何將翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念融入到課堂教學(xué)中。
1 課前準備階段
1.1 教師活動
第一，明確教學(xué)目標，本節(jié)課我們的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最值一節(jié)，最值是高中階段學(xué)生就學(xué)習(xí)過的知識，在這里重點是讓學(xué)生掌握最值的一般求法，以及利用最值理論解決簡單的實際問題。
第二，錄制教學(xué)視頻，視頻要求短小精悍，時長不超過15分鐘。其中重點講解最值的求法這一部分，包括最值的概念，最值和極值的區(qū)別以及聯(lián)系等等，這些基本概念學(xué)生可結(jié)合中學(xué)階段所學(xué)自行完成。
1.2 學(xué)生活動
觀看教學(xué)視頻，在觀看教學(xué)視頻的過程中，學(xué)生遇到不懂的地方可以做筆記，把自己不懂的問題帶到課堂，這樣學(xué)生可以完全掌控自己學(xué)習(xí)的步調(diào)。
2 課中教學(xué)活動階段
2.1 完成作業(yè)，檢驗效果
針對最值這節(jié)需要掌握的基本概念和方法提出問題，讓學(xué)生獨立完成，檢驗課前的學(xué)習(xí)效果。
問題一：最值和極值的區(qū)別？
問題二：最值和極值的聯(lián)系？
問題三：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求法和一般步驟？
問題四：任意區(qū)間上函數(shù)最值求法的特殊結(jié)論？
學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)化需要經(jīng)過學(xué)生獨立的思考，而教師只能從方法上引導(dǎo)學(xué)生，而不能代替學(xué)生完成學(xué)習(xí)。通過以上問題，與學(xué)生一起總結(jié)出本節(jié)課重點：
（一）最值是整體概念，而極值是局部概念，極值是局部范圍的最值，在整個范圍上是最值的話，從局部范圍看，也一定是最值。所以說極值點一定是可疑的最值點，而最值點也可能在區(qū)間端點取到。
（二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)求最值的一般步驟：第一，明確函數(shù)定義域；第二，找可疑最值點，主要是找駐點和不可導(dǎo)點，駐點不可導(dǎo)點又可通過導(dǎo)數(shù)找，所以先求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0的點是駐點，而使它沒有意義的點通常為不可導(dǎo)點，明確區(qū)間端點；第三，計算可疑最值點處的函數(shù)值，比較得到最值。
（三）特殊結(jié)論：定義在任意區(qū)間上的函數(shù)如果在區(qū)間內(nèi)部可導(dǎo)，并且有唯一駐點，此時如果能夠判斷出駐點是極值點的話，它就一定是最值點。
2.2 合作交流，深度內(nèi)化。
提出具體案例，讓學(xué)生進行分組討論。
案例[2]：證明折射定律：根據(jù)物理學(xué)的費馬原理，光線沿著所需時間為最少的路徑傳播。今有兩種介質(zhì)Ⅰ，Ⅱ，以L為分界線。光線在介質(zhì)Ⅰ與介質(zhì)Ⅱ中的傳播速度分別為v1與v2，驗證光線由介質(zhì)Ⅰ中的點 A行進到介質(zhì)Ⅱ中的B點用時最少的路徑滿足■=■，其中？琢、？茁分別表示入射角和折射角。
利用最值原理，建立數(shù)學(xué)模型，進行求解。通過此環(huán)節(jié)充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，改變學(xué)生拙于交流和表達自己的思想、疏于與人合作的現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，促進學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識。翻轉(zhuǎn)課堂最大的特點之一在于創(chuàng)設(shè)了對話式的教學(xué)環(huán)境和教學(xué)平臺，運用對話式教學(xué)方法。只有師生之間不斷通過對話合作探究才可能推動課堂教學(xué)情境的發(fā)展，教師既要有強烈的傾聽意識，又要能夠巧妙地引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)言展示成果或者提出自己的見解和看法，讓其他同學(xué)提問、爭論解答疑惑或者組織小組討論，在小組討論的基礎(chǔ)上再進行集體討論，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言、自由爭辯，在爭辯中產(chǎn)生思想的碰撞，在思想的交流和碰撞中解決問題，建構(gòu)知識。
3 課后總結(jié)階段
首先由幾個小組的學(xué)生代表總結(jié)本次課程的收獲及已解決的疑難點[3]。教師針對各個小組出現(xiàn)的問題將重點問題與重點知識集中講授，對整節(jié)課的知識進行系統(tǒng)化梳理，引起學(xué)生注意，并對課程學(xué)習(xí)過程進行總結(jié)。
折射定律這個案例使同學(xué)們體會到了最值理論在光學(xué)上的應(yīng)用，事實上，最值理論的應(yīng)用非常廣泛：
案例1：在兩種地質(zhì)層中鋪設(shè)煤氣管道，由于不同地質(zhì)層每千米的鋪設(shè)費用不同，請尋找費用最省的鋪設(shè)方案。
案例2：我們在超市中經(jīng)常見到這樣的罐裝飲料，很多都使用的是圓柱形金屬罐，商家為了減少成本的投入，一定要考慮，當圓柱形罐的容積一定時，怎樣設(shè)計才能使所用的材料最省呢？
對于這兩個小例子，每個討論小組任選其一，通過建立數(shù)學(xué)模型，利用我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的最值理論找到解決的方案。在教學(xué)中我們經(jīng)常遇到學(xué)生反映，數(shù)學(xué)太枯燥了，學(xué)數(shù)學(xué)有什么用呢？通過最值理論在不同方面的應(yīng)用，縮短了數(shù)學(xué)與專業(yè)的距離，數(shù)學(xué)與生活的距離，努力將學(xué)生感興趣的話題或者時下熱點問題融入到課堂教學(xué)中，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的神秘感和恐懼感。
翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念是以學(xué)生為中心，學(xué)生是課堂的主人，把傳統(tǒng)的“課堂講解+課后鞏固練習(xí)”教學(xué)模式轉(zhuǎn)向“課前自主學(xué)習(xí)+課堂深度互動”的新模式，發(fā)揮學(xué)生的積極性，鍛煉他們的表達能力，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用之所在，從而提高對所學(xué)知識的理解和掌握，最終達到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。
【參考文獻】
[1]陳怡，趙呈領(lǐng).基于翻轉(zhuǎn)課堂模式的教學(xué)設(shè)計及應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2014，24（2）.
一、忽略前提條件
1.基本不等式中，明確指出a，b是正數(shù)，但是同學(xué)們在解題時容易忘記討論。
例1：求 最值。
錯解：根據(jù)題意得x≠0，≥2當且僅當時即x=±1時取等號。
的最小值為2。
分析：根據(jù)題意得x≠0，但是要分x>0和x
正解：根據(jù)題意得
當x>0時， ≥2，
當且僅當 時即x=1時取等號。
當x
≤-2，
當且僅當 時即x=-1時取等號。
所以當x=1時，y最小值為2。
當x=-1時，y最大值為-2。
2.在基本不等式中，還隱含了一個條件就是ab相乘是一個定值。
例2：已知x>0求的最小值。
錯解： ，，
，
當且僅當2x2=時，即x=2時取等號。
y的最小值為16。
分析：忽略了2x2?乘積不是定值，所以這樣得不到16是最小值，應(yīng)通過合理配湊，使其乘積為定值。
正解：x＞0
= ，
當且僅當時，即x= 取等號。
所以當x=時，y有最小值為。
二、等號的合理運用
例3：已知 。
錯解：
分析：在上述解法中兩次運用基本不等式 ，
等號成立的條件分別是x=y和2x=y，前后矛盾，所以等號不能同時取。
正解： ，
當且僅當 ，取得最小值 。
三、不能濫用基本不等式
在利用基本不等式解函數(shù)最值時，特別當式子中等號不成立時，則不能應(yīng)用基本不等式，而改用函數(shù)單調(diào)性求最值。
例4： 的最小值。
錯解： ，
當且僅當 時，取等號，
但是 無解，所以取不到等號，即 。
分析：，考慮用（x＞2）函數(shù)的單調(diào)性去解。
正解： ，
設(shè) ， ，
在上是單調(diào)增函數(shù)，
1．利用二次函數(shù)求最值
二次函數(shù)是我們研究的重點也是難點，特別是在給定區(qū)間上的最值問題。這部分常見的是換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式。特別注意換的“元”的取值范圍。研究二次函數(shù)問題最好是結(jié)合它的圖像（可以在草稿紙上畫草圖），這樣不易出錯，并且加快解題速度。
例1：函數(shù)f(x)=的最大值是（ ）
A.B. C. D.
解：f(x)===≤，所以選D。
例2、若x≥0,y≥0且x+2y=1,則2x+3y2的最小值為______ .
解：x=1-2y≥0，0≤y≤,令f(y)=2x+3y2=3y2-4y+2=3（y-）2+，又f(y)在[0，]上單調(diào)遞減，當y=時，2x+3y2有最小值。
2．利用平均值不等式求最值
例1.已知x≥,則f(x)=有（ ）
A.最大值 B. 最小值
C. 最大值1 D. 最小值1
解：x≥，f(x)===+≥2=1
當且僅當=，即x=3時，“=”成立，ymin=1
本題中用了分離常數(shù)法，就是在分子中湊出與分母相同的項，然后約分。在分式中經(jīng)常用到。本種題型有些書上經(jīng)常去分母轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，利用判別式求最值，但要注意x的這個條件，即轉(zhuǎn)化后的方程不僅有根，而且要有限制條件的根（還要考慮有一個還是有兩個根），因此如果對x加以限制后最好采用平均值不等式的方法來求最值，但要特別注意等號成立的條件。
例2、若a、b、c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c的最小值是__________.
解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥a2+2bc+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+2ac+4bc=12
a、b、c＞0a+b+c的最小值是2。
3．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。
利用函數(shù)的單調(diào)性來解決最值問題應(yīng)該是最直接的方法，若我們能熟練掌握二次函數(shù)，y=型函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)圖象，有助于我們求最值。此外，我們還應(yīng)掌握勾勾函數(shù)f(x)=ax+(a,b>0)的圖像,在求最值中，我們經(jīng)常會遇到用平均值不等式后發(fā)現(xiàn)等號不成立，就需要用到勾勾函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
例1.函數(shù)y=+最小值_________ .
解：令t=, t∈[2,∞], y=t+≥2, 當且僅當t=1時“=”成立， t=1[2+∞], y>2。
y=t+在[1,+∞]是增函數(shù), y=t+在[2,∞] 上也是增函數(shù)， 當t=2時，y有最小值.
例2、若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈（0，]成立，則a的最小值為（ ）
A.0 B. -2 C.- D. -3
解：-ax≤x2+1-a≤x+,x∈（0，],令 g(x)=x+在區(qū)間（0，]上單調(diào)遞減，
g(x)min=+2=
-a≤ 即a≥-
故選C。
本題中用了參數(shù)分離法，即把參數(shù)單獨分離出來，利用g(x)m的值域求參數(shù)應(yīng)滿足的條件。
4．利用換元法求最值。
例1.函數(shù)y=x+的最大值為_________,最小值為_________.
解：定義域：[-1，1]，設(shè)x=cosα,α∈[0,π]，則=sinα, y=cosα+sinα=sin(α+),α∈[0,π]，當α= 時，y有最大值，當α=π時, y有最小值－1。
注：本題應(yīng)用定義域[-1，1]上入手，采用三角換元方法解決，換元后一定要說明新元的范圍。
例2、函數(shù)y=x+的最大值為________.
解：令=t（t≥0）,則x=1-t2
f(t)=-t2+t+1=-(t-)2+，當t=,f(t)有最大值。
注：本題采用代數(shù)換元方法解決，在求最值時，一定要注意新元的取值范圍。
5、用數(shù)形結(jié)合求最值。
例1、如果x2+y2=4,那么x-y的最大值是 _________.
解：令x-y=b，即x-y-b=0
把b看作是橫截距,由圖可知，當直線與圓相切時，b取得最大值或最小值。由d==2b=±2，所以x-y的最大值是2。
變式1：已知實數(shù)x,y滿足y=,那么x-y的最大值是 __________ .
變式2：如果x2+y2=4,那么(x-4)2+(y-3)2的最大值是 __________ .
變式3：如果x2+y2=4,那么的最小值是 __________ .
注：以上三個變式的答案分別為：2,49,。這類問題可總結(jié)如下：若已知實數(shù)x,y滿足某一圓方程，則(x-a)2+(y-b)2是指圓上點Q(x,y)到點（a,b）距離的平方；ax+by可看作z ,z的最值是指求截距的最值；可看作圓上點Q (x,y) 與定點（a,b）連線的斜率的范圍，動點Q (x,y)在圓x2+y2=4上移動，當過P點的直線與圓相切時得到最值。
6、用導(dǎo)數(shù)求最值
例1.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分是（）
A.1,-1B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
解：f'(x)=3x3-3，令f'(x)=0x=±1，-1∈[-3,0]
f(-3)=-17 ,f(-1)=3,f(0)=1
關(guān)鍵詞：最值，換元法，均值定理，幾何
在科學(xué)領(lǐng)域里，實踐生活中，我們常會碰到一些有關(guān)事件的范圍問題，也就是事件的最值問題。當然，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當中，也就在必然會遇到很多的最值的求解、研究。她會指導(dǎo)生活中的我們?nèi)ソ鉀Q一些實際問題或者說科研問題。這里，筆者就初中數(shù)學(xué)階段里的部分最值的求解進行一些回顧、分析。特別是在新課程改革的今天，強調(diào)學(xué)生能自己探索總結(jié)、歸納學(xué)習(xí)規(guī)律，對部分最值的求解利用數(shù)行結(jié)合，三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，不等式的傳遞性，函數(shù)性質(zhì)等方面進行一些回顧、分析，與學(xué)生教師進行交流、探討，會有一定的幫助的。下面我根據(jù)自己十年來對數(shù)學(xué)教學(xué)的體會談幾點看法和大家共同商榷
一、求函數(shù)的最值
在最值問題中,以二次函數(shù)為內(nèi)容的最值問題最為常見,有很多表面看非二次函數(shù)類型的最值問題通過適當?shù)淖儞Q均可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題,因此,首先要熟悉二次函數(shù)最值問題的求解方法。其常見方法有:
(1)配方法:形如y=ax2+ bx c(a≠0)的函數(shù),可將它首先配方成y=a(x )2 (a≠0)的形式,再根據(jù)x的取值范圍與對稱軸x=-的位置關(guān)系,聯(lián)系單調(diào)性或圖象即可確定函數(shù)的最值。
(2)分離常數(shù)法或反函數(shù)法:形如y=f(x)的函數(shù)我們可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題來解決。
(3)判別式法:形如y=(f(x),g(x)中至少有一個為二次函數(shù))的函數(shù)求最值,可以化為一個系數(shù)含y的方程,a(y)x2 b(y)x c(y)=0然后討論a(y)是否為0。當時a(y)≠0時,若x∈R,則≥0,從而確定y的取值范圍,即可確定函數(shù)的最值。
(4)換元法:形如y=ax b 以及一些特殊的高次函數(shù)或復(fù)合函數(shù)求最值,通?？梢杂么鷶?shù)換元或三角換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等常見函數(shù)來予以解決。
(5)重要不等式法:形如y=f(x) 的函數(shù)求最值,我們可以利用均值定理來進行求解,但要注意的是“取全正”和“等號成立的條件”,兩者缺一不可。
(6)有界性法:這一方法著重用于求三角函數(shù)問題的最值。論文格式，幾何。形如y=或y=asinx bcosx或y=asin2x bsinxcosx ccos2x等形式的三角函數(shù)問題求最值,通常首先進行三角變換化為同名函數(shù)y= Asin(ωx )或y= Asin(ωx )或y= Atan(ωx )的形式,然后利用三角函數(shù)的有界性來解決。
(7) “夾逼法”求最值: 在解某些數(shù)學(xué)問題時，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法”。 例. 不等邊三角形 的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為________。論文格式，幾何。
二、求解析幾何中的最值問題
解析幾何中的最值問題是解析幾何綜合性問題的重要內(nèi)容之一,常以直線與圓、圓錐曲線等內(nèi)容為載體,綜合考查函數(shù)、不等式、三角等知識,涉及的知識點較多,屬偏難問題。其常見方法有:
(1)代數(shù)法:即先建立一個“目標函數(shù)”,再根據(jù)其特點靈活運用求函數(shù)最值的方法求得最值。
例如:橢圓中心在坐標原點,長軸在x軸上,e=,已知P(0,)到這個橢圓上的最遠距離為,求這個橢圓的方程。
解這個題時我們可以首先設(shè)橢圓方程為 =1,再設(shè)橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,聯(lián)立橢圓方程消去x(或y)可建立d關(guān)于y(或x)的函數(shù)關(guān)系,然后用配方法可求出d的最大值,從而求出b的值,即可求出橢圓方程為 y2=1。論文格式，幾何。論文格式，幾何。
(2)幾何法:是借助圖形特征利用圓或圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)來求最值的一種方法。例如:已知x,y滿足(x-3)2(y-1)2=1,求的最值。此問題可以轉(zhuǎn)化為在圓(x-3)2 (y-1)2=1上找一點,使它與原點連線的斜率最大或最小。論文格式，幾何。
又如:已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為 。論文格式，幾何。
此問題可借助拋物線的圖像及拋物線的定義:拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,轉(zhuǎn)化為“在拋物線y2=4x上找一點P,使P到準線的距離與P到Q的距離之和最小”畫圖可知,過P作準線的垂線,重足為A,當A、P、Q三點共線時,和最小,得解。
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合（特別是幾何體的問題），三角形三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理（內(nèi)角和不變而各內(nèi)角可變），不等式的傳遞性，二次函數(shù)（及圖像最低點最高點）等等的性質(zhì)來解決部分中學(xué)數(shù)學(xué)中的最值求解會有很大的幫助和必要。
當然求最值問題的方法有很多種，以上所列的涉及到的一點有關(guān)最值的求解，是筆者在教學(xué)過程中的一些自見，可能較淺陋，希望大家能批評指正。
參考文獻：
[1]周盛威三角函數(shù)最值問題的常見類型及求解策略
[2]劉培達例談最值問題基本解法的思路
[3]姜繼學(xué)最值問題的求解八法
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的切線 ；單調(diào)性；極值和最值
導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識點和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。
有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標”下高考的重點。
1 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線
2 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f′（x）>0和f′（x）
3 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求f′（x）= 0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號如何變化，如果f′（x）的符號由正變負，則f（x0）是極大值；如果f′（x）的符號由負變正，則f（x0）是極小值.。注意：如果f′（x）= 0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f（x0）不是極值。轉(zhuǎn)貼于 中國論文下載中心 http：//。
4 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
求極值的具體步驟：第一，求導(dǎo)數(shù)f′（x）. 第二，令f′（x）=0求方程的根，第三，列表，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負，那么f（x）在這根處無極值。
如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點。
5 證明不等式
導(dǎo)數(shù)知識包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。微分中值定理主要有：Rolle定理，lagrange中值定理，Cauchy中值定理。它們可以用于以后的定理推證，這里主要用于證明恒等式、不等式、證中值的存在性、根的存在性等問題。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值、凸性。本次習(xí)題課主要講用它們證明不等式。
例題
（1）利用lagrange中值公式
例1 證明不等式b-ab
分析 把不等式可以改寫成1b（b-a）
可見中項是函數(shù)ln x在區(qū)間[a，b]兩端值之差，而（b-a）是該區(qū)間的長度，于是可對ln x在[a，b]上使用拉格朗日中值定理。
證 設(shè)f（x）=ln x，則f′（x）=1x.在[a，b]上運用拉格朗日中值公式，有l(wèi)nba=ln b=ln a=1ξ（b-a），（a
又因1b
即（b-a）b
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性：
我們知道，當F（x）在[a，b]上單調(diào)增加，則x>a時，有F（x）>F（a）.如
果f（a）=φ（a），要證明當x>a時，f（x）>φ（x），那么，只要令F（x）=f（x）-φ（x），就可以利用F（x）的單調(diào)增性來推導(dǎo)，也就是說，在F（x）可導(dǎo)的前提下，只要證明F′（x）>0即可.
例2 試證x>sinx>2πx，（0
分析 改寫不等式為1>sinxx>2π，當x時，sinxx1，當x=π2，sinxx之值為2π.于是要證的不等式相當于要證函數(shù)f（x）=sinxx之值介于2π與1之間.
證 考慮函數(shù)f（x）=sinxx，0
1，x=0
當0
所以，f（x）在（0，π2）內(nèi)單調(diào)減少，又f（x）在[0，π2]上連續(xù)，所以有
f（0）>f（x）>f（π2）
即1>sinxx>2π 或 x>sinx>2πx.
本例也可將聯(lián)立不等式分為x>sinx與sinx>2πx兩步證明.
（3）利用函數(shù)的最值：
如果f（a）是函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大（小）值，則有f（x）≤f（a）（或f（x）≥f（a）），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證.
例3 證明不等式
xa-ax≤1-a（x>0，0
證：設(shè)f（x）=xa-ax-（1-a）則
f′（x）=axa-1-a=a（xa-1-1）f′（x）=axa-1-a=a（xa-1-1）f′（x）=0
令f′（x）=0，得唯一駐點x=1，又當時01時，
f′（x）
f（x）≤f（1）=0
所以
xa-ax-（1-a）≤0或xa-ax≤1-a（x>0，0
（4）利用函數(shù)圖形的凸性：
我們知道，在（a，b）內(nèi)，若f″（x）>0，則函數(shù)y=f（x）的圖形下凸，即位于區(qū)間[x1，x2]中點x1-x22處弦的縱坐標不小于曲線的縱坐標，即有：
f（x1-x22）≤f（x1）+f（x2）2
其中x1，x2為（a，b）內(nèi)任意兩點.等號僅在x1=x2時成立.
例4 設(shè)x>0，y>0，證明不等式xlnx+ylny≥（x+y）lnx+y2
且等號僅在x=y時成立。
分析 將不等式兩邊同時除以2，變形為為xlnx+ylny2≥（x+y）2lnx+y2
便可看出，左邊是函數(shù)f（t）=tlnt在兩點x，y處的值的平均值，而右邊是它在中點
x+y2處的函數(shù)值，這時只需f″（t）≥0即可得證。
證 設(shè)f（t）=tlnt，即f′（t）=1+lnt，f″（t）=1t>0，故由
12[f（x）+f（y）]=f（x+y2）
得xlnx+ylny2≥（x+y）2lnx+y2
即xlnx+ylny≥（x+y）lnx+y2
等號僅在x=y時成立。
導(dǎo)數(shù)為不等式得證明提供了不少有效的方法，使用時究竟用哪種方法更合適，很難作出肯定的回答，需要根據(jù)不等式的、具體形式來加以選擇，有的可以用多種方法證明。
6 教學(xué)設(shè)計說明
函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù).
對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認知困難主要在兩個方面：（1）用準確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的，根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點。
根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標.重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成，對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆。
7 方法提升
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。
總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強對基礎(chǔ)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語言和工具，進一步加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認識。
8 總結(jié)
利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線， 判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值，證明不等式是一種有效地工具。
參考文獻
[關(guān)鍵詞] 初相 最值點 平衡點
[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0055
在求三角函數(shù)型y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式中，學(xué)生普遍感覺難求初相φ.本文介紹如何最快求解初相φ.
要想快速地求出初相φ，就必須回顧五點作圖法的列表.作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的圖像的第一步是列表：
列表時，先填中間一行：
為什么先填中間的一行呢？仔細回想，“0、 π 2 、π、 3π 2 、2π”是正弦函數(shù)y=sinx的“五點作圖法”中的五個關(guān)鍵點（三個平衡點，兩個最值點）.“ωx+φ”叫做相位.對相位的理解，影響求初相φ.對正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）來說，相位“ωx+φ”的五個數(shù)據(jù)對 應(yīng)的是五個關(guān)鍵點：第一個平衡點（- φ ω ，k）；最高點（ π 2ω - φ ω ，A+k）；第二個平衡點（ π ω - φ ω ，k）；最低點（ 3π 2ω - φ ω
，-A+k）；第三個平衡點（ 2π ω - φ ω ，k）.對比正弦函數(shù)y=sinx，有三個平衡點和兩個最值點，求A、k和周期T（進而求ω）就很容易理解了.這五個關(guān)鍵點的坐標是不用背的.我們將x的值代入相位“ωx+φ”，找對應(yīng)的相位的值即可.如：當x= π 3
時，函數(shù)值最大或圖像最高，則ω× π 3 +φ= π 2
，解方程求φ（ω已知）.這是運用整體思想求解的.事實上，“ωx+φ”相當于y=sinx中的“x”，相位的本意也正在此.
由圖像的五個關(guān)鍵點求φ時，優(yōu)先考慮最值點.因為最值點對應(yīng)的相位是唯一的，最高點對應(yīng)的是 π 2 ，最低點對應(yīng)的是 3π 2 .如果無最值點，再考慮平衡點.此時要判斷清楚是第幾個平衡點，才能找準相位.如果無這五個關(guān)鍵點，則代入一般點，通過解三角函數(shù)求得φ.若所求得的值不在所給范圍內(nèi)，則根據(jù)周期進行調(diào)整.
一、利用最值點求φ
圖1
【例1】 （2015?陜西，理3改編）如圖1，某港口一天6
時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（ π 6 x+φ）+k，（|φ|< π 2 ），據(jù)此函數(shù)圖像可知，φ的值為（ ）.
A. π 6
B.- π 6
C. π 3
D.- π 3
答案： B.
解析： 觀察圖1，求φ選擇代入最低點，由最低點的相位求解.由圖1知，當x=10時，ymin=2， π 6 ×10+φ= 3π 2 ，解得：φ=- π 6 .
點評： 如果題設(shè)沒有限制φ的范圍，則得到φ=2kπ- π 6 ，k∈ Z .如果題設(shè)還給有其他點，那么仍是優(yōu)先選擇最值點.
二、利用由平衡點求φ
圖2
【例2】 （2015?新課標Ⅰ，理8）函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖像如圖2所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）.
A.（kπ- 1 4
，kπ+ 3 4 ），k∈ Z
B.（2kπ- 1 4 ，2kπ+ 3 4 ），k∈ Z
C.（k- 1 4 ，k+ 3 4 ），k∈ Z
D.（2k- 1 4 ，2k+ 3 4 ），k∈ Z
答案： D.
解析： 先求解析式，再求單調(diào)遞減區(qū)間.求解析式時，ω由周期確定，φ由平衡點確定.由圖2知， T 2 = 5 4 - 1 4 =1= π ω ，解得：ω=π.
