時間：2023-05-30 09:13:39
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數列的極限，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、引言
極限是分析數學中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態。公元前5世紀，希臘數學家安提豐（Antiphon）在研究化圓為方問題時創立了割圓術，即從一個簡單的圓內接正多邊形（正方形、正六邊形）出發，把每邊所對的圓弧二等分，聯結分點，得到一個邊數加倍的圓內接正多邊形，當重復這一步驟足夠多次時，所得圓內接正多邊形面積與圓面積之差將小于任何給定的限度。在我國古代，樸素的、直觀的極限思想也有記載。例如，中國古代的《墨經》中載有“窮，或有前，不容尺也”，《莊子?天下》中載有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，公元3世紀我國數學家劉徽創立的割圓術，其中都包含了深刻的極限思想。極限是現代數學分析奠基的基本概念，函數的連續性、導數、積分以及無窮級數的和等都是用極限來定義的。可見，研究數列極限是十分有意義的。在數學分析中介紹了很多求數列極限的方法，常見的有：定義法、數列求和法、定積分定義法、單調有界原理、同限夾擠定理等。上述方法在求常見的數列極限時比較有效，但遇到一些特殊的數列就很難求出、甚至無從下手。為此我們介紹三種特殊的求極限的方法主要有施篤茲法、比值法、級數求和法。這些方法對于求一些特殊的數列極限有很重要的作用。
二、數列極限的三種求法
1.施篤茲法
施篤茲法被稱為求數列極限的洛必達法則，對一些不能用上述洛必達法則方法求的數列極限如■■，有時可用下面施篤茲法。
命題1（施篤茲法）給定數列Tn可以寫成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，則■=■■。
例1 求■■
解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■
顯然z■∞，z■>z■滿足施篤茲定理，從而有
■■=■■=1
2.比值法
一般來說，n次根式的數列極限■■比較難求，我們通過下面的命題2將一些n次根式的數列極限轉化為較為簡單的比值數列極限■■來處理，能起到很好效果。
命題2 設an>0若■■=l，則■■=l
例2 求■■
解令a■=■，
由于■■=■■?■=1
由命題2有■■=■■=l
3.級數求和法
當被求數列的極限中的數列是n項和構成時，一般考慮先求和再求極限，但有時數列的，項和比較難求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我們可把它作為冪級數在某點的值，通過冪級數和的方法，例如對冪級數求導、積分等方法來求數列的n項和，這樣可以很方便求出n項和數列的極限，甚至是一些較為復雜的n項和數列的極限。
有時還可以用泰勒展式求數列的極限。
例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）
解作冪級數s（x）=■（-1）■■，顯然我們要求的數列即為冪級數s（x）在x=1處的值，又易知級數的收斂區間為（-1，+1】所以s（x）在x=1處的值有意義.，下面求冪級數s（x），
兩邊求導則有s（x）=■（-1）■■=■，
兩邊積分有s（x）=■■dt=1n（1+x），
所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2
例4 求■（1+1+■+■……+■）
解 因為ex的泰勒展式為e■=1+x+■+……+■+……
而ex在x=1時，e■=1+1+■+■……+■+……
所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e
參考文獻：
[1]李大華.大學數學2000題第2版[M].湖北武漢，華中科技大學出版社，2001
[2]李成章，黃玉民.數學分析第4版（上）[M].天津，科學出版社，1999
[3]劉玉鏈，付沛仁.數學分析講義[M].吉林長春，高等教育出版社，2003
[4]華東師大數學系.數學分析第3版（上）[M].上海，高等教育出版社，2001
關鍵詞： 數列極限 單調有界定理 迫斂定理 柯西收斂準則 兩個重要極限
數列收斂性問題在高等數學教學中既是難點又是重點，數列收斂問題的判別方法通常有以下幾種：單調有界定理、迫斂定理、柯西收斂準則和兩個重要極限等.解決問題的關鍵是如何正確理解并選擇合適的方法.本文通過一些典型例題來討論數列的收斂性問題.
例1.若x=A，其中A是有限數、+∞或-∞，則有=A.
證明：當A是有限數時，由x=A，?坌ε＞0，?堝N，當n＞N時，有|x-A|＜.
因此
-A≤
≤+
＜+?＜+，
其中K=|x-A|+…+|x-A|.
又存在N，當n＞N時，＜.
因此當n＞max{N，N}時，
-A＜+=ε.
當A=+∞時，由x=+∞，?坌M＞0，?堝N，當時n＞N，因此x＞3M.
因此
=+
＞+?3M，
其中K=x+x+…+x.由于0，1（n∞），
從而存在N，當n＞N時，＜，＞.故
＞?3M-M=M.
類似可證A=-∞情形.
例2.若x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），則=A.
證明：由x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.
當A＞0時，lnx=lnA，由例1，
（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.
從而=e=e=A.
當A=0時，x=-∞，故
（lnx+lnx+…+lnx）=-∞，
于是=e=0.
注1：例1和例2的逆命題不成立.
例如數列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知=0，但是極限x不存在.對于數列{y}，其中y=n（n=1，2，3…）.容易看出=1，但是極限y不存在.
定理1：設x＞0（n=1，2，3…），滿足=A（A是有限或無窮），則有=A.
證明：不妨設
y=x，y=，…，y=，….
由例2得：
=y，
所以
==y===A.
例3.證明：=e
證明：設x=，則
=?=（1+）=e.
由定理1得
==e
例4.求極限
解：令x=，則
=?=（1+）=.
由定理1得
==.
定理2：若x=A，y=B，則=AB.
證明：設y-B=σ，則由y=B知，σ=0.從而
=
=b+
由例1知b=AB，下證=0，
已知x=A，故數列{x}有界，即?堝M＞0，?坌n∈N，有|x|≤M.
又σ=0.即?坌ε＞0，?堝m∈N，?坌n＞m，|σ|＜ε.
取定自然數m，易知有|xσ+xσ+…+xσ|上界，設它的上界是K.
已知=0，故對上述的ε＞0，?堝k∈N（k＞m），?坌n＞k，有＜ε，從而有：
-0≤+
≤+
＜+ε≤Kε+ε=（K+1）ε，
即=0，
因此=AB.
例5.求極限
解：令x=1，y=則x=1，y=1.
于是
==1?1=1.
本文通過典型例題考查了數列極限的一些特點，并討論數列不滿足單調有界定理、迫斂定理、柯西收斂準則和兩個重要極限等條件時的極限問題.雖然數列收斂性問題比較復雜，但只要通過適當典型題目的學習，仔細體會，認真總結，就可以達到深刻理解和靈活應用各種方法的目的.
參考文獻：
［1］［美］Walter Rudin.數學分析原理.機械工業出版社，2009.
［2］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法.高等教育出版社，1993.
［3］龔冬保等.高等數學典型題.西安交通大學大學出版社，1996.
【中圖分類號】G633.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）10-0144-03
第一課時：
教學目的：使學生初步認識極限的概念
一、事物的極限：極限就是極大限制值、極小限制值（至于為什么是這樣？可詳見本刊2016年9月期的“從事物的極限到函數的極限”一文。）
1、例如，我們行在一座橋的前面，看見一個交通警示牌，牌上寫著20t，這是什么意思呢？這是告訴機動車司機們經過橋時，機動車的車重和載物不要超過20噸重，超過了就可能引起橋的破壞性事故。20t是該橋的負荷極大限制值。
2、例如，某中學高中一年級去年招收新生的入學的分數線是500分，這是該校高中一年級新生入學的考試成績的極小限制分。
總之，含有變量的事物在某種條件下變化著，它的極大限制值或者極小限制值，就叫做該事物的極限（橫線以上的字是在教師指導下由學生填寫，以下同。）。
三、數列的極限：
（一）數列極限的定義（什么叫做數列的極限？）
仿照事物的極限得到如下：
數列極限第一種定義：數列f（n）在項數n無限制的增大時，它的極大限制值或者極小限制值就叫做數列的極限。
首先考查例題乙里數列f（n）與數1的關系：
我們從例題乙的圖形可以看到：數列f（n）隨著項數n的無限增大，也是越來越靠近數1的（你總不能說f（n）是越來越遠離數1的吧？），但是卻隔著一個大空白處。f（n）的極小限制不是1，這樣一來
然后研究數列f（n）與數3的關系：
從例題甲的情況看，數列f（n）是越來越緊靠近數3，而且是無空白的緊靠近。數3對f（n）來說，是f（n）的極小限制值，所以數3是f（n）的極限。
于是得出例題甲結論：f（n）無空白處的緊靠近于數
現在把兩個結論并排放在一起如下：
例題甲結論：f（n）無空白（無空隙）的緊靠于數
例題乙結論：f（n）有空白（有空隙）的靠近于數1
綜合上面例題甲和例題乙的無空白和有空白靠近的兩種情況對比與襯托，我們可以得到：數列極限的第二種定義是：數列f（n）在n無限制的增大的情況下，f（n）無空白（無空隙）（無縫隙）的緊靠數A，那么A就叫做f（n）的極限（記號為：f（n）=A），否則，A就不是f（n）的極限。
上述數列極限的第二種定義仍然有缺點，它不含數學式子，也不能參與數學的計算，所以還得繼續研究產生出一個新的定義。
我們再進一步研究如下：
四、f（n）無空白（無空隙）緊靠于數3，在數學上是什么意思呢？
我們在前面對照例題甲及其圖形，說過數列f（n）是無空白的緊靠數3的，那里只是直觀觀察呀，還要進一步用數學式子來驗證一下“無空白緊靠”在數學上這個純樸的概念。于是我們繼續考查上述數列f（n）與數3之間無空白緊靠近數3的現象。
以直線y=3為一條邊，任意小的長為寬度（比如：0.07為寬度）向上作一個足夠長的長方形的一個長條形，看看這個長方形區域內存在f（n）的情況。
回答：（1）龍頭項是 f（[ ]）
（2）龍身是f（[ ]） 以后各項
（3）指導學生填寫：從f[ ]項起及其以后各項等等，到數3的距離皆小于L。
（4）不管上述長方形寬度多么小，多么窄，也就是L任意小，龍頭那個項和其后各項形成的龍身結合在一起組成的無限長的長龍解，都被套在這個長條形里。它們到數3的距離皆小于L，這是多么美麗而神秘的現象。
至此，我們得到例題甲的論點是：f（n）無空白緊靠于數3f（n）的極限是3 |f（n）-3|
二、下面是考查例題乙f（n）有空白的靠近數1的情況。以數1為一條邊，寬度為L，L為任意小的正數。向上作一個長方形無限長的長條形，看看此長條形能套住f（n）的哪些項呢？
第三課時：
教學目的：兩個數列和、差、積、商的極限
一、數列極限定義的簡寫形式：
數列極限定義（常用定義）
已知數列f（n），又已知數A，L是一個任意小的正數，若數列f（n）到數A的距離不等式|f（n）-A|
六、作業（略）
請各位老師多指導和認可我的這個創意。把極限下放到初二或者高一年級是完全可行的。至于較復雜的函數的極限定義仍放在大學一年級進行。
【關鍵詞】極限；幾何意義；數列
【基金項目】國家自然科學基金（11501561）；中國礦業大學基本科研業務費項目（2014QNA58）.
一、引言
極限思想貫穿整個高等數學始終，是高等數學學習的基礎，高等數學中的許多概念及運算法則都是建立在極限的基礎之上，因此，在高等數學教學中，使學生充分理解極限的定義、內涵和性質等是十分必要的.而通過幾何意義體現出的生動活潑的極限思想，能夠提高學生的學習興趣，加深學生對極限本質的認識，使得這一概念不再僅僅是一種形式化的表達.
在教學過程中，首先，從幾何意義的角度給出直觀的幾何解釋，提起學生的學習興趣，使得學生對概念或性質等有個直觀的印象和初步的理解，然后，進行嚴格的理論推導，可使學生理解起來相對容易，更加容易掌握定義和性質的內涵，會收到較好的教學效果.
二、數列極限的定義和幾何意義
（一）定義（ε-N語言）[1]
對于數列{xn}及常數a，ε>0（無論多么小），總存在正整數N，當n>N時，恒有|xn-a|
（二）幾何意義
在定義中|xn-a|
隨著n的增大，xn代表的點越來越“密集”在點a的附近.
結合數列的幾何意義可以更加有效地向學生講解數列極限的有界性、唯一性、保號性以及數列子列的收斂性等性質.
三、從幾何意義的角度理解數列極限的性質
（一）有界性：如果數列{xn}收斂，則數列{xn}一定有界
分析設 limn∞xn=a，根據上述幾何意義，對于任一給定的正數ε，一定都有正整數N，數列{xn}從第N+1項開始都落在區間（a-ε，a+ε）里面，不妨取ε=1，那么{xn}從某一項開始都落在區間（a-1，a+1）里面，剩下的有限項自然是有界的，取一個既包含區間（a-1，a+1）又包含剩下的有限多項的閉區間[-M，M]即可證明結論成立.
（二）唯一性：如果數列{xn}收斂，則極限唯一
（四）數列子列的收斂性：如果數列{xn}收斂于a，則它的任一子列{xnk}都收斂于a
分析設 limn∞xn=a，根據極限的幾何意義，對于任一給定的正數ε，都存在正整數N，數列{xn}從第N+1項開始都落在^間（a-ε，a+ε）里面，在區間（a-ε，a+ε）外面只有數列{xn}中的有限項，而{xnk}作為{xn}的子列，自然也只有有限項落在區間（a-ε，a+ε）外面，于是可以找到正整數N*，使得{xnk}從第N*+1項開始都落在區間（a-ε，a+ε）里面，這就說明{xnk}同樣收斂于a.
對于函數f（x）的極限，可以類似地討論其幾何意義并從幾何意義的角度分析其性質，這里就不再累述.
四、運用幾何意義分析問題并尋找證題思路
部分關于極限的證明題，同樣可以從幾何意義的角度來理解，從而找到解決問題的正確思路.
分析因為 limk∞x2k-1=a且 limk∞x2k=a，根據幾何意義可知，對于任一給定的正數ε，可以找到共同的正整數N，數列{x2k-1}和{x2k}均從第N+1項開始都落在區間（a-ε，a+ε）里面，在區間（a-ε，a+ε）外面只有{x2k-1}和{x2k}中的有限項，因此，在區間（a-ε，a+ε）外面必然只有數列{xn}中的有限項，這就說明了{xn}也是收斂于a.
在高等數學中，類似的問題還有很多，例如，導數[3]、微分中值定理、定積分等等，均有其幾何意義，從幾何直觀出發對相應的問題進行分析可以加深對概念或問題內涵的理解，使得抽象復雜的數學問題變得形象直觀，在教學中合理運用這些幾何意義，不僅能夠使得教師的教學活動事半功倍，更能提高學生分析問題和解決問題的能力.
【參考文獻】
[1]同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.
極限是微積分的一個重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限的計算又是學好微積分的重要前提條件。正因為數學之美妙不可言，數學中解題方法的多樣性更是引人入勝，許多人都在探索著高等代數中求極限的方法并有所成效。在前人的基礎之上我對求極限的方法作了進一步的歸納總結，希望能讓讀者從中受益，能讓初學者懂得將靜態的、內隱的教學規律轉化為動態的、外顯的探索性的數學活動，從而對數學學習的認知發生一個“質”的飛躍。
一、由定義求極限
極限的本質――既是無限的過程，又有確定的結果。一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論，另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證其結果。
然而并不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復雜的題。
二、利用函數的連續性求極限
此方法簡單易行但不適合于f（x）在其定義區間內是不連續的函數，及f（x）在x0處無定義的情況。
三、利用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限
極限四則運算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運算法則求函數極限時，必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運算法則進行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運算法則條件的函數就沒有極限，而是需將函數進行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則求之。而對函數進行恒等變形時，通常運用一些簡單技巧如拆項，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。
四、利用兩邊夾定理求極限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A
兩邊夾定理應用的關鍵：適當選取兩邊的函數（或數列），并且使其極限為同一值。
注意：在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數（或數列）通過放縮后所得的兩邊的函數（或數列）的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。
五、利用兩個重要極限求極限
六、利用單調有界原理求極限
單調有界準則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界準則時需證明兩個問題：一是數列的單調性，二是數列的有界性；求極限時，在等式的兩邊同時取極限，通過解方程求出合理的極限值。
利用單調有界原理求極限有兩個難點：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性，在證明數列的單調性和數列的有界性時，我們通常都采用數學歸納法。
七、利用洛必達法則求極限
八、利用等價無窮小代換求極限
在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但并非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價無窮小代換的問題便集中到對于分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上，在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子（或分母）看作一個整體，用整個分子（或分母）的等價無窮小去代換。
九、利用泰勒展式求極限
運用等價無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限于求兩個無窮小量是乘或除的極限，而對兩個無窮小量非乘或非除的極限，對于一些未能確定函數極限形態的關系式，不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。
關鍵詞：集列 上極限 下極限 單調
中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1007-3973（2012）001-106-02
1 引言
實變函數論是數學分析中微積分的發展，在數學分析中，人們研究了實變函數論中的可微，可積等基本性質，隨著微積分的日益發展，隨著數學其他分支和各類實際問題對微積分要求的提高，人們發現數學分析的方法和結果并不能完全令人滿意。大家知道，黎曼積分是數學分析研究的主要內容，但是，人們在實際運算中越來越感覺到Riemann積分的缺陷，要擺脫限制，力求更靈活的運算，在這種要求下，實變函數應運而生。時至今日，實變函數論已經滲入到數學的許多分支中，它在各支數學中的應用成了現代數學的一個特征，所以凡是想了解并且掌握近代數學的人，都應該認真地學習實變函數論這門課程。
實變函數論的出發點是一般點集，粗略地說，實變函數論是在點集和集合論的觀點與方法滲入數學分析的過程中產生的，用點集的方法研究n維歐氏空間中實變函數性質的學科。在實變中，人們把函數的分析轉化為點集關系的研究，從而在點集測度上建立較為完善的積分理論。在實變函數中與集列極限有關的內容就要與上、下極限為基礎，可見，集合極限的分析在實變函數中意義很重大，在一般的教學過程中，學生很難真正理解上、下極限的定義及應用。因此，為了方便學生理解，我們先引入數學分析中大家常見的數列上、下極限，類似的提出集列的上下極限以及集列的收斂。結合實例，進一步闡述上、下極限的實質，最后深入的講解單調集列的收斂及應用。在本文中，我們改進了文獻[1]中對定理1的證明和上下極限的計算，方法相對簡單，并給出定理2的詳細證明，這在文獻[1][2]中都沒有提及。
2 上下極限的概念
為了便于理解本節內容，首先回顧一下數學分析中所學的數列的上、下極限定義，再引出集列的上、下極限。
2.1 回顧：數列的上、下極限定義
顯然，,則,從而。若,則稱數列{xn}收斂,將A稱為{xn}的極限,記為。
2.2 集列上、下極限定義
2.2.1 基本定義
定義1[1] 設A1,A2,…,An,…是任一列集。由屬于上述集列中無限多個集的那種元素的全體所組成的集稱為這一集列的上限集或上極限,記為或。
顯然,用數學符號形式化,可表為
定義2[1] 對集列A1,A2,…,An,…那種除有限個下標外,屬于集列中每個集的元素全體所組成的集稱為這一集列的下限集或下極限,記為或。
用集合的概念表示如下
。
顯然,。
例1 A1=A3=A5=…{0,1}，A2=A4=A6=…{0}則,.
就像數列未必有極限,集合序列當然也可能沒有極限。
定義3[1] 若,則稱集列{An}收斂,稱A為{An}的極限,記為。
2.2.2上、下極限的等價定義
類似于數列的上、下極限,我們可以定義集列的上、下極限。
定理1 對于任意一串集合A1,A2,…,An,…,都有
(1) , (2)。
證明：(1)若對任意的∈,則對任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,所以對任意的n∈N,有,從而.反之,若,則對任意的n∈N,均有,所以對任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,從而即。
(2)若對任意的,則存在n∈N,對任意的m≥n,使得∈Am,所以存在n∈N,均有,從而。反之,若,存在n∈N,均有,所以存在n∈N,對任意的m≥n,使得∈Am,從而.即。
例2 設A2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，A2m=[0,1+],m=1,2,3,…
求,。
解:,
。
例3 設An=[0,1+],n=1,2,3，…，求,。
解:,
。
說明：在例3中,集列{An}收斂,且收斂于極限集[0,1].
2.3 單調集列的定義及其收斂的判定
定義4[1] 如果集合序列A1,A2,…,An,…,（簡記為{An}）單調上升（下降）,即An An+1（相應地An An+1）對一切n都成立,則稱集列{An}為增加(減少)集列.增加與減少的集列統稱為單調集列.
定理2 單調集列是收斂的,且
(1)若{An}增加,則。
(2)若{An}減少,則。
證明：(1)若{An}增加,則根據定理1，即上下極限的等價定義,,
,
則,則集列{An}收斂,
且。
(2)若{An}減少,則,
,則,則集列{An}收斂,且。
3 上下極限的應用
定理3[1] 設{si}是一列遞增的可測集合：s1 s2 … sn …,令,則。
定理4[1] 設{si}是一列遞減的可測集合:s1 s2 … sn …,令,則當時,。
說明：從定理3和定理4中，可知：
對于單增的可測集列，
對單減的可測集列,且當時,
。
參考文獻：
關鍵詞：數學思想;化歸思想;課程
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）19-0199-02
一、數學課程對數學思想要高度重視
數學教學的根本任務就是促進學生在不斷學習的過程中逐漸積累數學觀念系統。一般來說，在教法上應突出滲透性原則。因為教材不可能既寫知識又寫數學思想方法，后者是蘊含在數學知識系統之中的。因此，教師在教學全過程中其思維結合學生知識結構特征，將數學概念、公式、定理、法則等內容中蘊含著的數學思想方法挖掘出來，經過精心設計的教學過程，在教學中有意識潛移默化（不是講一段知識內容，再講一段所用的數學思想方法）地引導學生領會蘊含在其中的數學思想和方法，將能有效提高學生的數學能力。
二、化歸思想方法概述
1.化歸思想方法的基本定義。化歸思想方法就是把待求解的問題A，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決的問題或若干問題Bn，借此來獲得問題的解答。化歸思想方法又稱化歸原則，是數學方法中重要的基本方法之一，是用數學思考和解決問題的基本原則。一般模式如圖2所示。
2.化歸思想的主要特點。數學問題中的化歸思想應用有著諸多特點，主要包括重復性、層次性以及多向性。（1）重復性。化歸思想的重復性特點主要體現在具體的解題過程中，往往一個問題需要利用該方法多次，重復使用以后才能得出具體的結果。例如：有不等式1> ，求解x。解答這道題目時，首先要利用化歸思想將不等號左邊的1移到右邊來，然后，將分式轉換成整式。整個過程中，化歸思想被應用了兩次。通常情況下，求解數學問題時，題目越難越復雜，需要應用化歸方法的次數也就越多。（2）層次性。從不同的層次上對化歸思想進行定義，其意義各不相同。一方面，從微觀角度上看，化歸思想是一種用于解答數學問題的方法;從宏觀角度上看，化歸思想可以看成一種數學方面的思想。另一方面，從狹義角度分析，化歸思想可以充分調動發掘人們的已有知識和經驗;從廣義的角度上分析，化歸思想能夠將數學學科的各個分支有效連接起來。（3）多向性。數學問題在轉化期間，往往可以選擇多種形式，包括內部結構以及外部形式、外在條件或是已有結論，采用多種轉化方法、多種轉化對象以及多種轉化目標。由于不同的學生的數學能力也各不相同，面對同樣的題目，很容易產生不同的化歸對象，進而充分體現出了化歸思想的多向性。
3.化歸思想的基本原則。（1）熟悉原則。一個問題的解決中，最常用的方法就是將較生疏的問題轉化成相對熟練的問題，繼而啟動自身所掌握的知識解答問題。比如：假定數列{an}符合下列條件，a1=1，而an+1=2an+3，求數列的通項公式。解答這道題目時，我們可以直接看出想要求得的數列并不是自己比較熟悉的等差或是等比數列，然而，通過利用化歸思想，構造一個新的數列，令其滿足等差或等比數列條件，便可以求得原題的答案了。（2）簡單原則。化歸的主要目的就是將相對復雜的數學問題進行簡單化的轉化，所謂的簡單不一定代表問題結構簡單，也可以表示對比原問題，轉化以后的處理方法更加簡單。（3）具體原則。數學的抽象性非常強，想要將抽象化的問題轉化成能夠解決的問題，應該向著具體化的方向轉化。具體化針對的是原來的題目，而自身已經熟練掌握的知識點都可以當做具體化歸素材。
三、化歸思想在極限問題中的應用
挖掘輔助函數法、泰勒級數、積分法求極限三個方面化歸思想的實際應用，積極指向數學活動，與之相伴隨，教育價值陡增，回歸培養學生數學能力的根本途徑。
1.輔助函數法求極限。輔助函數法求極限，引入的輔助函數基本上多為學生比較熟悉的函數或是固定的專用函數。其中比較常見的有：數列函數轉換、極限級數轉換，引入泰勒公式等。
（1）利用化歸思想將數列轉化為函數。將數列的極限選用海涅定理可以轉化為函數的極限。
例1：已知an= ，求
解析：由海涅定理可以將所求 轉化為 ，即 x ，隨后，便可以利用已經掌握的羅比達法則進行極限求解。
例2：利用函數極限證明柯西準則具備充分性，有
f（x）在一個空心鄰是存在的，設空心鄰為U0（x0，δ′），那么在任意ε>0時，必然存在某個正數δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。
解析：首先，假設存在某個數列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么對于給出的ε來說，必然存在對應的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通過柯西準則可知，必然存在某正數N，針對所有的m，n來說，只要滿足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西準則可以確定，數列{f（xn）}的極限是存在的，將該數列的極限記為A。假設存在一數列{yn}在U0（x0，δ′）上也能滿足
yn=x0，表示 yn是存在的，可以記為B，那么B=A。再假設一數列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，顯而易見，數列{zn}在U0（x0，δ′）上也能滿足 zn=x0.所以，我們可以判斷{f（zn）}也是收斂的，其子列的極限是相同的。因此通過歸結的原則便可以得出 f（x）=A.
（2）極限和級數之間完成轉化，利用泰勒公式。函數的極限是數學的重要內容之一，對于一些復雜函數，需要轉化問題，泰勒公式在數學極限問題中也比較常用，適用于不同的題型。
例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].
解析：從題目中分析在求解錯項級數的前n項之和，其形式與泰勒展開式中f（x）=ln（1+x）的展開形式較像，所以該問題可以通過級數解決，即將題目劃歸為泰勒展開式的形式。
解：已知當x=1時，函數lnx的泰勒展開式為：
f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…
所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…
則當x為1時，有ln（x+1）=ln（1+1）=ln2
即原極限為ln2.
2.積分法求極限。定積分是一種特殊類型的極限，定積分是一種較為復雜的和式求極限，能夠將變量λ所有的自變過程完全反映出來，在同一個區間可以進行無數種劃分，同時，針對每一種劃分方法，也可以找出無數種介點取法，相應的和式更是存在無數個值。但是，從本質上看，積分極限和函數極限、數列極限依然存在著共同點。
例1：求極限 。
解析：這個問題是求有限和的極限值，可以使用恒等變形的方式將它轉化成一個定積分，得到極限。
解：假設存在an= =
那么有lnan= ln（1+ ），通過定積分的定義可以得出：
lnan= ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln
所以，原極限值為ln 。
四、結語
未學的、復雜的數學問題，通過轉化，歸結為已學的或易解決的問題，這是化歸思想的功能。也就是說，化歸轉化方法使舊的知識向新的知識邁進，使低一級知識向高一級知識縱深發展。極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向導數、連續、定積分、級數等領域發展，化歸思想實現了知識交融，從一個領域向另一個領域轉化，得到更多新的理論，轉化正是數學思想方法的核心與精髓。
參考文獻：
[1]周炎龍.化歸思想在高中數學中的體現和教學[D].鄭州：河南師范大學，2013.
【關鍵詞】數列；數學思想；中學數學
中考數學中經常會出現一些找規律的題目，這類考題題目新穎、變化莫測，往往屬于開放性題目的范疇，因此，很多中學生在遇到這類題目的時候會變得緊張、擔憂，進而影響了題目的正常思考和作答。經分析，中考數學中出現的找規律題目就是數列原型，教師要善于分析這些數列題目中所滲透的數學思想，教導學生運用數學思維解答數列題目的技巧和方法，一旦中學生能夠有效把握這些思維方法，那么其中考成績往往會取得明顯的提高。
一、數列中所包含著函數的思想
（1）數列中體現著函數的思想。數列其實是函數的一種離散式表達，往往函數是具有自變量和因變量共同作用產生的圖形，而數列往往體現了當把自變量取成整數的情況，因此在中學教學中要善于給學生滲透數列中所包含著的函數的思想。
例如，在求解一些數列題目的時候，我們往往要將其轉化為函數形式，注意數列的通項公式其實就是函數表達式，而數列的序號表示的函數的定義域，當研究數列的單調性、奇偶性等性質的時候，往往將數列轉化為函數來研究。
（2）數列中常常與極限相轉化的思想。數列中的“n”往往代表著無限個自然數，這就表示數列彰顯著極限的含義，因此，學生在求解數列的題目的時候，一定要注意把握數列求解可以轉化成為極限來求。
（3）數列常常體現了觀察與構造的數學思維。與其說是構造或者觀察的數學思維，我們不妨更加簡單地認為數列能夠鍛煉學生的觀察能力和構造性思維，這是不言而喻的，因為在很多中學的找規律的題目中，總是開放性地設置很多的圖形或者公式，需要學生通過自己的觀察來自己總結出相應的數列通項公式，這對于提高中學生的建構水平和空間想象力是非常有幫助的。
例如，在用圓圈拼圖的時候，有如下圖所示的規律：
請大家計算下接下來的圖形用到的圓圈是多少個？
這個例子顯然就是一個數列的題目，然而我們往往在思考其構造的時候會發現，這是一個簡單的自然數相加的構造模式，自然而然就會想到接下來要算的就是1+2+3+4+5=15。
（4）數列常常與不等式內容相結合。不等式在中學數學學習過程中是非常重要的知識點之一，數列的題型與不等式相結合往往能夠提高題目的難度和深度，這也為學生的解題帶來了困難，因此，教師在講解這部分知識的時候要注重列舉典型的例題，幫助學生體會當數列與不等式相結合的考題出現時，要掌握運用放縮法求解。
例如，已知，證明：任意的≥
這里的求解就可以根據放縮法的使用達到證明目的。
（5）數列常常體現著分類討論的思想。分類討論往往在數學中體現著嚴密、謹慎的數學素養和數學理念，因此在數列的學習過程中，教師要時刻要求學生關注數列最重要的“n”的范圍，往往在求解的過程中，會將n進行分類討論，保證題目的嚴密與正確。
（6）數列常常體現著猜測的思想。數學的各種思維中猜測思維占據著非常重要的地位，這是由于猜想是創新思維的源泉，也是數學知識最終的根本來源，沒有猜想就沒有后來我們現在學習的各種數學知識，因此，數列往往能夠促進中學生提高創新思維。
例如，設各項均為正數的數列{an}，其中它滿足如下兩點：a1=2和，如果a2=1-4，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需證明）；
解：由于a1=2，a2=2-2
由此有
故猜想{an}的通項為。
二、研究數列所體現的數學思想的重要意義
（1）通過研究數列所體現的數學思想，能為教師的教學提供明確的方向。教師在教學過程中，明確了重點培養學生的哪方面的數學思維意識的目標，能收到意想不到的教學成果。
（2）通過研究數列所體現的數學思想，大大提高了學生學習數學熱情。隨著教師不斷訓練，學生在認識數列的同時數學思維提高，與此同時，直接激發了學生學習數列的熱情，讓學生在上數學課時充滿激情，有效地提高了課堂效率。
（3）通過研究數列所體現的數學思想，讓學生對數列有了更深刻的認識，為高等數學的學習打下扎實的基礎。
以上所述，都是根據筆者在多年中學數學教學第一線工作中，對中學數列的思考和總結。文章通過列舉簡要例子的方式概括了中學數列學習過程中，所體現的基本數學思想，包括函數思想、不等式知識、極限知識、分類討論思想、猜測想象、建構思想等等，盡管如此，學生對于數列的認識遠遠不夠，教師一定要繼續在平時的數學課堂上，為學生補充大量的數列知識題目，提高學生解答數列題目的正確率。
參考文獻：
關鍵詞: 極限 習題課 求極限的方法
極限是微積分課程的一個重要內容,是微積分課程開始部分的重點和難點部分.在某種程度上說,能否學好這部分內容直接關系到微積分學習的好壞,將影響到該課程的學習效果.
由于該部分的概念抽象、公式繁多,學生往往會碰到聽懂了,但公式不會用、不會做題的問題,因此安排習題課必不可少.通過組織有效的習題,不僅能夠強調重點內容,而且能夠將整個章節內容貫穿起來,體現體系的完整性,使學生對所學內容的認識有質的飛躍.
習題課要密切配合課本內容,著重考查學生對所學知識的掌握情況,起到及時反饋鞏固所學知識的作用.同時習題的選擇要有一定的代表性、啟發性,能做到以基礎知識為出發點,輻射到所學知識點.給學生講解時要分析透徹,授之以“漁”而非授之以“魚”.下面是筆者總結的求極限的方法.
一、利用極限運算法則求極限
恒等變形法——對于不能直接利用極限四則運算法則的,可通過一定的恒等變形再利用法則求解,包括以下三種情況.
(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它們代數式中最高階無窮大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化轉為■型或■型.
例1:■(■-■)
解:分析:屬于∞-∞型,不能直接利用極限的四則運算法則進行計算,必須先將函數變形.
原式=■■
=■■=■■=■=1
二、利用單調有界準則證明或求極限
方法:利用單調有界數列必有極限,主要針對遞推數列,其步驟為:
(1)用數學歸納法或x■-x■≥0或■>1,證明其單調性.(2)用不等式放大縮小法證明數列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.
例2:設0
證明:由0
令■x■=A,在x■=■中令n∞,得
A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.
三、求數列n項和的極限
方法一:利用夾逼定理
例3:求■(■+■+…+■)
解:因為■
而■■=1,■■=1,故由夾逼定理得原式=1.
方法二:利用拆項法
例4:■■■
解:由拆項法得■=■-■,■■=1+■-■-■
原式=■■■=■.
四、求數列n項積的極限
方法一:夾逼定理;
方法二:拆通項分解因式法,即使因子相乘,中間項抵消;
方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;
方法四:取對數法.
例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)
由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.
五、利用等價無窮小及無窮小的性質求極限
常見的等價無窮小:當x0時,(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等價無窮小在作積商運算的時候可以相互代替,對加減運算不宜使用.
例6:■■
解:原式=■■=■■=■
六、冪指函數y=f(x)■求極限,常用取對數的方法
例7:■(sinx)■
解:用羅必塔法則
因為■tanxlnsinx屬于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.
合理選取有代表性的習題,往往能加深學生學生對所學知識的理解與應用,使學生能體會到定義、定理及推論的妙用,同時使學生發現問題、分析問題、解決問題的能力得到了發展,進而提高了教學質量.
參考文獻:
[1]參韓飛,張漢平,胡方富.應用經濟數學.湖南:湖南師范大學出版社,2011,8.
【關鍵詞】 高等數學；極限；教學
【基金項目】 國家自然科學基金青年基金（項目號：11501416）.
高等數學是大學非數學類專業的一門核心課程，一般在大學一年級開設.從內容上講，高等數學既是中學數學內容的推廣和擴展，又為后續各專業課程提供必要的基礎；從教學要求上講，高等數學通過介紹微積分學的理論與方法，力求培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學生的數學素養和應用能力.鑒于高等數學的重要性，它一直是絕大多數專業研究生入學考試的必考科目.然而，教學實踐表明，學生對這門課的掌握程度完全沒有達到預期目標.很多學生“談高數而色變”，戲稱“從前有一棵高高的樹，上面掛了很多人”.因此，高等數學教學內容改革和教學方法研究逐漸成了大家的研究熱點.本文結合自身經驗，對極限概念的教學方面做了一些探討.
一、極限概念的重要性與教學要求
極限是微積分的主要理論基礎，高等數學中的后續概念如導數、積分、級數等都要以極限概念為基礎來建立，后續的諸多計算性質也是由極限性質來直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續學習將相當困難.由于當下高數課程的課時較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴格的極限概念，要么直接講嚴格的ε-N極限表達，這使得學生云里霧里，對后續內容的學習十分不利.
另一方面，按照高等數學的課程標準，教學中須遵循“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯系實際，強調對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養，以努力提高學生的數學修養和素質.因此，極限概念不宜講得過難，關鍵是要讓學生建立起極限思維和認識到極限是一個變化過程.
二、極限概念的引入與建立
結合自身教學經驗，筆者在教學中一般采取如下教學步驟：
（一）還原極限發展過程，引發學生興趣
自公元前三四世紀產生極限思想的萌芽到德國數學家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見一斑.在教學中，首先，我們粗略介紹極限概念的發展歷程，使學生不感枯燥且能體會極限的基本思想.比如，《九章算術》中用割圓術計算圓的面積時，提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.在教學中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學生就已產生興趣，覺得這是“不可能的”，但細想之下又覺得有一定道理，迫切想知道正確解釋.
（二）采用“導―學―研”模式，從感性到理性，逐步引導學生探索
《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將其用數列來描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項an= 1 2n .學生們可以很直觀地認識到，隨著天數增加，所剩長度越來越小，會無限地接近于零但又不為零，即“萬世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個數列{an}，隨著n越來越大時，若通項an無限地接近一個常數A，則稱該數列的極限為A，記作 lim n∞ an=A.此時，給出 lim n∞ 1 n =？學生立刻會答：“等于零.”這表明已經建立了感性認識.
為了給出嚴格定義，可以提出問題：如何定量地表達“接近”？什么叫“無限接近”？一般的，學生很容易想到利用距離的大小來衡量接近程度，部分學生也能想到“無限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個規定的接近程度（用正數ε來刻畫接近程度），只要n很大，就一定可以達到該程度.對上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n 10.換言之，只有從第十項開始（我們用N=10來刻畫這個開始下標），才能達到該接近程度.于是，為了表達無限接近，只需要對給定的任意一個正數ε，都能找到這樣一個開始下標N，從第N項開始，都有|an-A|= 1 n
至此，教師可以與學生一起將極限的描述性概念用嚴格的數學語言表達出來：若對任給的ε>0，總存在一個正整數N，對任意的n>N，都有|an-A|
（三）用定義證明數列極限，強化理解
在公共數學的研究生入學考試中，一般不會考查嚴格的極限定義.雖然如此，我們還是認為，應當適時地讓學生練習一下如何利用極限定 義來證明極限.如下的例1是今后計算極限時常用的結論，例2則是從小學時代就困惑的循環小數問題.
例1 對給定的|q|
例2 記an= 0.99 … 9 n個 ，有 lim n∞ an=1.
（四）趁熱打鐵，將數列極限概念推廣到函數極限
建構主義學習理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者憑借原有的知識和經驗，在他人的幫助和引導下，通過意義建構的方式而獲得的.在完成數列極限的概念后，我們發現數列極限包含兩個變化過程，一是自變量n的變換，一是函數值an的變化.這樣，我們很容易引導學生自己給出函數極限lim x+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無窮大時，函數值f（x）無限接近于A.在此基礎上，逐步引導學生建立其他極限概念（包括x-∞，xa，xa+，xa-）.講解時可以利用圖形的直觀性來展示，此外還要特別注意引導學生了解本質：就是隨著自變量x越來越接近某一值時，函數值無限趨近于某個常數.
三、結 語
對極限是高等數學的基礎，對這一概念掌握的好壞將直接影響后續內容的學習和理解，也將決定學生大學數學功底的修煉水平.本文通過極限部分教學中的一些具體問題來探索教學方法.當然，教無成法.要提高教學質量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學經驗，探索教學方法，以期從根本上提高教學效果，讓學生們真正熱愛數學！
【參考文獻】
[1]同濟大學數學系.高等數學第六版[M].北京：北京高等教育出版社，2007.
[2]齊民友.從微積分的發展看微積分的教學[J].高等數學研究，2004（2）：2-6.
級數是指將數列的項依次用加號連接起來的函數。典型的級數有正項級數、交錯級數、冪級數、傅里葉級數等。級數理論是分析學的一個分支；它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現在其余各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續兩個方面，結合起來研究分析學的對象。
數列是以正整數集為定義域的函數，是一列有序的數。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項，排在第二位的數稱為這個數列的第2項，以此類推，排在第n位的數稱為這個數列的第n項。
（來源：文章屋網 ）
高中極限知識是從推理與證明中的數學歸納法引入的，數學歸納法讓我們接觸到了極限的思想，其主要的概念為：（1）證明當n取第一個值n0時命題成立，一般情況下n0取值為1或2，但也有特殊情況，例如我們在研究多邊形內角和公式的時候n從3開始；（2）假設當n=k（k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合以上兩點可得對于一切自然數n命題都成立。在求函數在某一點x0處的瞬時變化率的問題中，一般取x0所在的一個區間，當我們逐漸減小區間的長度時，它在這個區間的平均變化率趨近于某一個固定的常數，這一常數就稱為在此點的瞬時變化率也就是函數在此點的導數，即f′（x）=這些思想都與函數極限的思想相吻合。下面介紹一下用函數極限的定義解有關函數極限問題：
一、函數極限定義
1.x趨于∞時函數的極限
設f（x）為定義在[a，+∞）上的函數，A為定數，若對于？坌ε>0，都存在一個整數M（≥a），使得當x>M時有|f（x）-A|
這里的正數M與數列極限定義中的N相類似（數列極限定義：？坌ε>0，？堝自然數N，當n>N時，有|xn-a|
通過以上的例子，我們對于用定義法求函數極限有一定的理解，值得注意的是：
（1）定義中的正數δ，相當于數列極限ε-N定義中的N，它依賴于ε，但也不是由ε所唯一確定，一般來說，ε越小，δ也相應地要小一些，而且把δ取的更小些也無妨。
（2）定義中只要求函數f（x）在x0的某一空心領域內有定義，而一般不考慮f（x）在點x0處的函數值是否有定義，或者取什么值，這是因為，對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢，如在例3中，函數在|f（x）-A|
（3）定義中的不等式00使得f（U0（xo；δ））？奐U（A；ε）。
