時間：2022-01-30 22:21:54
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數列考試總結，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞: 2009年高考試題數列比較分析
高考是全國普通高等院校統一招生考試的簡稱,是一種競爭、選拔性的考試。作為我國高中教學的唯一評價標準,它關系到社會的方方面面。數學是高考的主要考試科目,數學試題又是高考中數學科目的關鍵,因此高考中的數學試題也是值得注意的方面。
數列在整個高中數學教學內容中,處于數學知識和教學方法的匯合點。與高中的許多知識,如方程、不等式、函數、解析幾何、三角函數等,都有著密切的聯系。在數列的題目中,這些知識點都能充分運用。因此數列部分在我國高考數學這一科目中占有重要地位。
對2009年全國高考的18份數學理科試卷:全國卷Ⅰ,全國卷Ⅱ,北京卷,湖北卷,陜西卷,四川卷,安徽卷,福建卷,遼寧卷,江蘇卷,山東卷,廣東卷,浙江卷,天津卷,江西卷,重慶卷,湖南卷,寧夏、海南卷的比較分析,均有數列這部分內容的試題。對其中的考查題型與命題知識點的分析如下。
一、考查題型比較
高考數學考試的題型有三種:選擇題、填空題和簡答題。其中填空題和選擇題都屬于提供型試題。選擇題與填空題在數學考試中每道題的分值在5分左右,而簡答題的分值一般都在10分以上。
所研究的18套2009年高考試卷,都涉及了數列內容的試題。而且其中在11份試卷中,數列部分的內容被列為簡答題,在這11份試卷中有7份試卷,除了將數列的題目列為簡答題外,也將其知識點放在填空或選擇題中考查,數列知識點在卷面上的分值都在12分以上。只有5份試卷對數列知識的評價分值放在5分左右,只將其作為填空題或者選擇題。有兩份試卷對這部分內容既作為選擇題又作為填空題來考查,分值都在10分左右。
通過比較發現,全國卷的兩套試題和安徽卷、江蘇卷、江西卷、廣東卷、重慶卷對數列部分的試題分值都達到了15分以上,考查的內容均為綜合性的知識,大多涉及數列通項公式的推導和數列與函數知識點、數列與不等式知識點的結合。而北京卷、陜西卷、福建卷、浙江卷這幾套高考試題對數列的試題分值較小,只有5分左右,而且以考查基本知識點為主。
二、考查的知識點
從考查的知識點來說,高考在考查數列部分內容過程中主要有以下幾個主要的知識點。
1.等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式的應用,以及它們之間的關系。
如2009年浙江卷填空題第11題。
這道題主要考查了等比數列的通項公式及前n項和公式,以及它們之間的關系。在歷年的考試題中,對等差、等比數列的基本概念、性質、通項公式、前n項和,以及通項公式與前n項和之間關系的題目屢見不鮮。不僅在填空選擇題,還在簡答題中也作為基本題型出現。
2.數列的求和問題,遞推數列問題,數列應用問題。
如2009年湖北卷簡答題第19題。
這道題主要考查數列的通項公式、等差數列的定義、數列求和、數學歸納法等基礎知識和基本技能,考查學生分析問題的能力和推理論證的能力。解決此類問題要熟練數列等差、等比數列的通項公式及前n項和的公式,也要掌握常用的通項公式及前n項和的求法,如錯位相減法,拆項法等。這種題目主要是數列知識點的綜合運用。
3.數列與其它知識點的綜合問題。
如:2009年廣東卷第21題是一道考查函數、數列、不等式的綜合題目。
這道高考題以數列知識為基礎,分別考查了數列的遞推關系、數列的通項公式、不等式的放縮等內容,是函數、數列、不等式的綜合題目,還能夠考查學生的抽象概括能力,推理論證能力,運算求解能力和創新意識。
在對數列這部分高考試題的研究,我們不難發現數列內容命題的多元化。這些題目也反映出了我國高考數學命題的方方面面。
三、總結與反思
1.總結
通過對2009年不同數學試卷中數列部分命題研究,以及對數列試題的異同分析,我們不難得出以下結論。
(1)單純基礎知識點的試題較少,學生能力的考查較多。
在這18份數學高考試卷中,就數列這部分內容來看,單純考查學生數列的基本概念、性質、通項公式的題目很少,大部分的試題是數列知識的綜合運用、學生的歸納推理能力,以及數列知識與其它數學知識的綜合運用。
“過去多年的改革基本上是在科目設置上,科目多少上做文章,沒有去觸動影響高中學生能力和素質的關鍵――高考的內容,把高考內容作為改革的重點是新一輪高考改革的關鍵”。[1]而這里所說的高考內容就是高考試題。數列試題的命題現在已經重視考查學生的數學能力及數學思想方法。
(2)高中課程改革對高考數列試題的影響。
高中課程改革與高考改革是當前教育改革的兩大熱點問題,高考的命題關系到新課程改革的實施與高校人才的選拔。作為高中課程改革的一部分,高考命題也充分反映了高中新課程標準的要求。“數列作為一種特殊的函數,是反映自然規律的基本數學模型”,“學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析,建立等差數列和等比數列這兩種數列模型,探索并掌握它們的一些基本數量關系,感受這兩種數列模型的廣泛應用,并利用他們解決一些實際問題”。[2]
各地的高考卷中,數列這部分的命題表現出了題目新穎,提供了新的信息、新的材料,從不同的角度對數列的知識點進行考查,通過與不等式、方程、函數、解析幾何等知識點融合起來,引導學生從不同的角度思考數列的模型。
2.2009年高考試題對2010年高考的啟示
2010年普通高校招生全國統一大綱――數學(理)(必修+選修Ⅱ)中對數列這部分的考試要求為:(1)理解數列的概念,了解數列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數列的一種方法,并能根據遞推公式寫出數列的前幾項。(2)理解等差數列的概念,掌握等差數列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實際問題。(3)理解等比數列的概念,掌握等比數列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實際問題。大綱中還強調了數學能力、數學思想方法、數學意識等方面提出了考查要求。從2009年各種數學試卷對數列命題可以看出,2010年的試卷中仍然不會單獨地考查單獨的數列知識點,仍然會以數列的綜合題型或與解析幾何、函數、不等式等知識點結合起來。因此,學生學習數列的過程中,應運用數列的思想,通過類比歸納,將數列的通項公式之間的關系和數列與其它數學知識點之間的關系結合起來,真正認識數列的本質。
參考文獻:
[1]周遠清.實現高考改革的新突破[J].中國高等教育,2000,(19).
數列的知識點總結
數列知識：數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
數列
①用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。
數列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，……
簡記為{an}，
項數有限的數列為“有窮數列”(finite sequence)，
項數無限的數列為“無窮數列”(infinite sequence)。
數列的各項都是正數的為正項數列;
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列;如：1，2，3，4，5，6，7;
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列;
各項呈周期性變化的數列叫做周期數列(如三角函數);
各項相等的數列叫做常數列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不唯一)。
遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。
數列中項的總數為數列的項數。特別地，數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示，則它的通項公式是a(n)=f(n).
并非所有的數列都能寫出它的通項公式。例如：π的不同近似值，根據精確的程度，可形成一個數列3，3.1，3.14，3.141，…它沒有通項公式。
數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是復數。
用符號{an}表示數列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質上的區別：1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
知識拓展：函數不一定有解析式，同樣數列也并非都有通項公式。
初中數學知識點總結：平面直角坐標系
下面是對平面直角坐標系的內容學習，希望同學們很好的掌握下面的內容。
平面直角坐標系
平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。
水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合
三個規定：
①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。
③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。
初中數學知識點：平面直角坐標系的構成
對于平面直角坐標系的構成內容，下面我們一起來學習哦。
平面直角坐標系的構成
在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。
通過上面對平面直角坐標系的構成知識的講解學習，希望同學們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。
初中數學知識點：點的坐標的性質
下面是對數學中點的坐標的性質知識學習，同學們認真看看哦。
點的坐標的性質
建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。
對于平面內任意一點C，過點C分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。
一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。
希望上面對點的坐標的性質知識講解學習，同學們都能很好的掌握，相信同學們會在考試中取得優異成績的。
初中數學知識點：因式分解的一般步驟
關于數學中因式分解的一般步驟內容學習，我們做下面的知識講解。
因式分解的一般步驟
如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，
通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。
相信上面對因式分解的一般步驟知識的內容講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。
初中數學知識點：因式分解
下面是對數學中因式分解內容的知識講解，希望同學們認真學習。
因式分解
因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。
因式分解要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④
因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)
公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。
公因式確定方法：①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。
提取公因式步驟：
①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意；
①不準丟字母
②不準丟常數項注意查項數
③雙重括號化成單括號
④結果按數單字母單項式多項式順序排列
⑤相同因式寫成冪的形式
【關鍵詞】高考數學;數列;不等式;解題思路
一、高中數學不等式和數列的學習短板
總結高中三年學習心得，筆者認為在數學不等式和數列的學習過程中，常見的學習阻礙主要是以下兩方面：
第一，未能充分、全面、系統地理解不等式和數列的數學性質，難以靈活運用、貫通相關公式，正負問題相對明顯。造成這一問題的原因，較多是因為在學習過程中沒有形成數學思維，沒有培養良好的思維習慣，或是數學概念掌握不牢固，在學習數列和不等式時傾向于對概念性的記憶，而忽視了對解題思路、邏輯推理的理解和運用，導致在進行課外練習時，無法做到舉一反三。
第二，未能進行深度、有效的課外練習拓展，學習欠缺主動性。通常在課堂上聽取老師講授后，課后未能將課本上關于數列和不等式的知識與課外相關練習進行融合聯系，對數列和不等式的相關知識點掌握未進行深度挖掘、探究，僅是依葫蘆畫瓢，課本上有什么就學什么，缺乏學習積極性，由此很大程度上限制了數學思維和創新能力的發展。
二、打破常規――不等式解題思路
不等式的解法和C明是學習的重點和難點，而解析不等式的基礎則是熟知相關概念和不等式的性質。因此，在分析不等式的解析思路過程中，要根據自己數學學習能力的實際情況，針對不等式的難點和重點，靈活采取科學的學習方式予以突破。具體地說，首先要牢固基礎，在不等式性質的運用過程中，要注意不等式性質成立的前提;其次，要明確不等式的解答過程，實際就是同解變形的過程，在不等式證明中，如果不等式跟二次函數有關，就可以將不等式轉換為二次函數的問題，再通過單調性、判別式等知識證明不等式。例如，在求證“x2+10>6x”一題時，可以采取如下思路：先將不等式變形為“x2-6x+10>0”，這樣就將左邊完全變成關于“x的二次函數”，再用配方法，即可輕松證明這個二次函數的最小值大于零，推得“（x-3）2+1>0”。筆者認為，采取這樣通過二次函數的性質來判斷不等式是否成立的方法是十分方便的。除上述外，在不等式的實際應用中還要學會如何抓住關鍵，如何將實際問題轉化為數學模型。因為在高考試題中，經常出現以實際情況為背景、以函數形式來建模型的題目。如題：“有一批成本有a元的貨物，如果本月初出售可獲利100元，然后將本利都存入銀行，已知銀行的月利是2%，如果下月初出售，可獲利120元，但貨物要付5元保管費。”提問：“什么時間出售好？”在解析這類題型時，可以先假設“本月初出售獲利為x”，“下月初出售可獲利為y”，推知：“x=（100+a）×（1+2%），y=120+a-5;x-y=13-0.02a”。從而可推導出“當a=650時，本月初、下月初出售獲利相同;當a>650時，x-y
三、融會貫通――數列解題思路
對于高中數列的學習，筆者認為重點在于全面掌握等差數列和等比數列的求法及其性質，靈活運用求通項公式an以及前n項和Sn，同時，盡可能熟練掌握常見求通項公式的方法，如定義法、構造法、猜想和數學歸納法;以及Sn求法，如疊加法、錯位相減法（一個等差數列乘以一個等比數列）、分組求和法（一般是一個等比數列加上一個等差數列）、裂項相消法，等等。
其中，高考試題常見考查方向主要有：
（1）裂項抵消或錯位相減求和;
（2）從遞推關系構造出等差或等比數列求通項：①分式線性一階遞推的不動點法;②線性常系數多階遞推的特征根法;③其他能通過取倒數等簡單代數變形求得的。
（3）已知通項但求和沒有解析解的，通過代數變形、不等式性質等放縮出求和的上下限。
（4）已知遞推關系但通項沒有解析解的，通過代數變形、不等式性質和數學歸納法等給出通項的一些性質。
本文以累加法、累乘法、公式法和待定系數法為例展開分析。
1.累加法
例題：“已知數列{an}滿足an+1=an+2n+1，
a1=1，求數列{an}的通項公式。”
解析：“由an+1=an+2n+1可得an+1-an=2n+1”
即推得出：an=n2
2.累乘法
例題：“已知數列{an}滿足a1=1，an=a1
+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通項公式。”
解析：“此類題型的關鍵在于利用遞推公式對數列進行轉化，進而推導出an=3×2n-1
×5×n。
3.公式法
例題：“已知數列{an}，滿足an+1=2an+3×2n，
a1=2，求數列{an}的通項公式。”
解析：“an+1=2an+3×2n，等式兩邊同時除以2n+1，則，即
即數列為以為首項，以為公差的等差數列。
故，即數列{an}的通項公式為”。
通過將已知遞推公式“an+1=2an+3×2n”轉化為“”，再利用等差數列通項公式的解答方法，從而推導出數列“{an}”的通項公式是較常見的解題思路，也是較為簡單的一種利用公式法求數列通項公式的解題方法。
4.待定系數法
例題：“數列{an}滿足an+1=2an+3n2+4n+5，
a1=1，求數列{an}的通項公式。”
解析：“an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
則2an+3n2+4n+5+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
2an+（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）
=2an+2xn2+2yn+2z
等式兩邊同時除以2an，則“（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）=2xn2+2yn+2z”
得“an+1+3（n+1）2+10（n+1）+18=2（an+3n2+10n+18）”;
又a1+3×12+10×1+18=1+31=32≠0，則“an+3n2+10n+18≠0”;
而盜{an+3n2+10n+18}是以a1+3×12+10×1
+18=1+31=32為首項，以2為公比的等比數列，所以“an+3n2+10n+18=32×2n-1”，即“an=2n+4-3n2-10n-18”。
除上述外，還有一個重點應給予重視，即對數列放縮的學習。在對這一技巧的學習過程中，筆者采取了分析法進行解析。具體地說，既然是一個等比數列，那么就可直接構造這個等比數列，將“a1”和“q”都設出來。一般來說，“q”就是前面需要放縮的式子中指數下的那個（題目難的話，可能會調整這個q），然后再利用放縮的逆過程，即兩個數列中的每一項都有固定的大小關系（如要證A>B，那么對應的a（n）>b（n））;此處會用到很多技巧，比如可能這個式子的前幾項不滿足，但后面的所有項都成立，那么，便可將前幾項單獨拿出來說明;最后，再運用綜合法來書寫解題過程。
總而言之，數列題通常以高考壓軸題的形式出現，題目難度不算很大，但在解答過程中要格外注意解析的步驟，認真完成計算和推導過程，牢記公式法，如累加法、累乘法常適用于數列規律較明顯的題目;待定系數法則可用于多種數列題目，適應性較強;此外還有迭代法、換元法、數字歸納法等，每種方法都有其解題優勢，在實際解答操作時，要針對具體題目與要求，靈活選擇最簡便易行的方法完成題目解析。
四、總結與反思
綜上所述，筆者認為高中數學數列和不等式的學習及相關解題技巧和思路的訓練，都是一種基于總結而形成的，并不具備絕對性和完全適應性。對于備戰高考的高中生而言，學習的恒重點是在平時不斷練習、不斷探索的過程中，學會和掌握如何自我總結、分析和整理，如何夯實數學基礎，從而形成適合自己學習水平的思維習慣，進而逐漸培養自身從已知條件、隱含條件當中挖掘更多的信息能力，最終實現數學學習能力的拔高。
參考文獻：
[1]朱國宏. 探析數列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J]. 高中數理化， 2014（5）：12-13.
[2]高國圣. PBL模式下的高中數學微課教學研究――以“不等式與數列求和教學”為例[J]. 中學數學， 2016（7）：4-5.
關鍵詞： 等比數列 快速求和 解法
1.引言
如何在高度緊張的考場環境中提高解題速度和解題準確率是處于高考復習階段的莘莘學子共同關心的問題。那么，到底如何在考場環境中提高解題速度和解題準確率呢？這除了取決于考生臨場發揮和自信心外，更重要的在于考生平時對解題技巧的歸納和掌握程度。下面我就平時數學教學過程中自己的一點關于數列趣味性計算技巧總結如下，供同學們和同行借鑒參考，也希望借此幫助學生在感受數學美的同時舒緩緊張的神經。
等比數列求解
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（1）
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（2）
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（3）
……?搖?搖?搖?搖?搖?搖……
++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（k-1）
按照課本上學習的等比數列求解公式：
S=（a：首項；q：公比；n：項數）
該公式看似簡單，但隨著首項的逐漸增大，其計算難度也逐漸增大，同時也影響了解題的速度與準確率。在教學過程中，我發現該類型的等比數列有兩種快速且帶趣味性的求解方法。
2.趣味圖解法
（1）假定把圓的面積當作1，則式（1）可以理解為：
從圖中可以看出，各式分別單位圓減去帶圈的數字部分（該部分的數值等于數列的最后一項），即：
1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-
由此可得該數列的總和為：
++…+=1-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
（2）同理，假定把圓的面積當作1，則式（2）可以理解為：
+?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖 ++++
從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數字部分（該部分的數值等于數列的最后一項），即：
-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
由此可得該數列的總和為：
++…+=-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
（3）同理，假定把圓的面積當作1，則式（2）可以理解為：
+?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖++++
從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數字部分（該部分的數值等于數列的最后一項），即：
-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
由此可得該數列的總和為：
++…+=-
即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
3.逆向求解法
由于該類型的數列公比是，因此數列當中后一項的2倍等于前一項。因此，如果數列本身再加上其末項，該數列即可轉化為：
（1）如果k=2時，數列=-
（2）如果k=3時，數列=-
（3）如果k=4時，數列=-
計算結果與上述圖解法相等，即此方法亦可行。
4.數列極限
從該數列的上述圖解法和逆向求解法可知，
即該數列極限等于首項的2倍。
5.結語
1.求通項公式問題
1.1 已知數列的前n項和表達式，求數列的通項公式。
（例2009年安徽卷）已知數列{an}的前n項和Sn=2n2+2n，求這個數列的通項公式。
方法解析：由Sn=2n2+2n得，
當n≥2時，有Sn-1=2(n-1)2+2(n-1)
an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-［2(n-1)2+2(n-1)］=4n,n∈N*。
說明：解答這類問題的關鍵，是充分利用前n項和表達式這一條件，再根據an=Sn-Sn-1這一相等關系即可解決。
1.2 給出已知數列的遞推公式，求數列的通項公式。
如果一個數列的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就稱這個數列的遞推公式。利用數列的遞推公式求數列的通項，是歷年高考數學的一個熱點。解決這類問題的主要方法有累加法、累乘法、分離常數化歸為等差數列和分項整理化歸為等比數列等。
例1:已知數列{an}滿足a1=2，aa+1=an+2n，求這個數列的通項公式。
方法解析：由an+1=an+2n得，
an+1-an=2n，據此可寫出如下等式：
a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23……an-an-1=2n-1
將上述等式兩邊分別相加得，
an-a1=2+22+23+……2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2
an=a1+2n-2=2n。
說明：此題的解法就是利用了累加法，通過累加，使等式中的一些項抵消，巧妙地得出通項公式。
例2:已知數列{an}是首項為1的正項數列，且an+1=nn+1an，求這個數列的通項公式。
方法解析：由an+1=nn+1an得，
an+1an=nn+1，據此可寫出如下等式：
a2a1=12，a3a2，a4a3=34……anan-1=n-1n
將上述等式兩邊分別相乘得，
a2a1•a3a2•a4a3……anan-1=12•
23•34……n-1n
ana1=1n
即an=1n。
說明：此題的解法就是利用了累乘法，通過對許多等式的累乘，約去大量的因式，從而簡化計算過程，求出通項公式。
例3：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求這個數列的通項公式。
方法解析：由an+1=2an+1得，
an+1+1=2(an+1)
a1+1=2≠0
an+1+1an+1=2。
上式說明數列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數列
an+1=2×2n-1
即an=2n-1。
說明：此題的解法就是利用了化歸的數學思想方法。通過對遞推公式分項整理，將所給問題化歸為等比數列問題，從而使問題迎刃而解。同時也總結出一個結論：對于“an+1=xan+y(x≠0,x≠1,y≠0)”型數列遞推式，可以化歸為等比數列：an+1+λ=x(an+λ)，其中λ=yx-1。
2.求前n項和問題
在高考中，由于所給的數列問題往往千變萬化，可能既不是等差也不是等比數列，這就需要我們學會隨機巧變，靈活轉化，最終將所給的問題轉化成等差或等比數列的問題來解決；或應用其他手段，化變量為常量，以多化少，以繁化簡，以解決問題為目的。
2.1 倒序相加法。
例：求1+2+3+……+100的和。
方法解析：設S100是所求的和，則
S100=1+2+3+……+100
另一方面又有，
S100=100+99+98+……+1
將上述兩個等式的兩邊分別相加得，
2S100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（100+1）
=100×100
S100=101×1002=5050
說明：采用倒序相加的目的，是將多個變量化成一個常量，從而有效地減少了變量的個數，使復雜問題簡單化。
2.2 錯位相減法。
以課本教材為例。求首項為a1，公比為q(q≠1)的等比數列{an}的前n項和Sn。
方法解析：設Sn為等比數列的前n項和
Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1 ①
將上述等式的兩端分別都乘以q得
qSn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1②
②-①得，qSn-Sn=a1qn-a1
q≠1
Sn=a1(1-qn)1-q。
說明：上述解法就是利用的錯位相減法，通過錯位相減，使等式中一些共同的項消去。運用錯位相減法求和的關鍵特征是等式中存在大量的相同的項。
2.3 分組轉化法。
例：已知在數列{an}中，an=n+2n，求這個數列的前n項和Sn。
方法解析：Sn=a1+a2+a3+……+an
=（1+2）+（2+22）+（3+23）+……（n+2n）
=(1+2+3+……+n)+(2+23+23+……+2n)
=n(n+1)2+2(1-2n)1-2
=n2+n2+2n+1-2
說明：分組轉化法，就是把數列的每一項分成多項，再經過重新組合，使其轉化為熟知的等差或等比數列求和。一個數列能否利用分組轉化法求和，是由通項的結構特征所解決的。
2.4 裂項抵消法。
例:已知在數列{an}中，an=1n2+n，求這個數列的前n項和Sn。
方法解析：由an=1n2+n得，
an=1n(n+1)=1n-1n+1
Sn=a1+a2+a3+……+an
=(1-12)+(12-13)+(13-14)+……+(1n-1n+1)
=1-1n+1
=nn+1
說明：若一個數列的每一項都可以表示為兩項之差，且前一項的減數恰與后一項的被減數相同，求和時中間的一些項就可以互相抵消，這種數列求和的方法就稱為裂項抵消法。
3.證明一個數列是等差或等比數列問題
關于等差或等比數列的證明問題，多出現在解答題的第一問，一般難度不太大，只要利用等差或等比數列的定義即可解決。
（例2009年陜西卷）已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*，令bn=an+1-an，證明數列{bn}是等比數列。
方法解析：an+2=an+an+12
an+2-an+1=-12（an+1-an）
由bn=an+1-an得，
bn+1=an+2-an+1
bn+1=-12(an+1-an)=-12bn
又b1=a2-a1=2-1=1≠0
bn+1bn=-12
上式說明數列{bn}是首項為1公比為-12的等比數列。
說明：要證明一個數列是等差或等比數列，一般應用定義進行嚴格論證，即證明an+1-an或an+1an為常數；要證一個數列不是等差或等比數列，只要舉一反例說明即可。
【關鍵詞】數學考試 難題 技巧
高中學生在學習數學的過程中，普遍存在一個問題，平時聽老師講課，聽得懂，所學的知識點也掌握，但是在緊張的考試中，一但遇到有一定難度的數學題目，往往就無從下手，找不到突破口，不知如何是好？這是學生普遍存在的問題。這時，我們將如何思考、運用所學知識解決實際問題，讓難題變得容易呢？這就牽涉到難題解題技巧，使得在競爭激烈的高考考試中，在有限的時間內快速、正確地解答數學難題，考出好成績，實現自己遠大理想和目標。以下是我在教學中總結出的一些方法和技巧，僅供同行參考。
首先，要慢讀題。讀題時要把題中的每個字母表示的含義都要弄清，每一個已知條件所牽涉到的知識點要掌握。一邊讀一邊審。
其次，要從題目中條件的結構，形式去選擇解題方法。
第三，代數法，幾何法，同時兼并，即“數形結合”，達到快速解題的功效。
例如【1】；定義在R上的奇函數Y= f（x），
滿足不等式>0，，
若當時，
首先；要慢讀題，認清題中的字母，，代表自變量，，，表示函數的值。其次，想到的是解不等式 >0，
即；>0，
從而總結出自變量，，與函數值，，滿足的是單調性的關系，即；y=f（x）在R上為增函數。第三，題中的已知條件，y=f（x）為奇函數，得到f（x）=―，其中時，，這個條件不要放過。即；
，
且，
在解這個不等式中，利用幾何知識（線性規劃）問題，解二元二次不等式，在分別以為橫軸，為縱軸建立坐標系，則不等式表示的平面區域為一個圓心在原點，半徑為1的一個半圓，分別在一，四象限。
所解決的問題為的取值范圍是什么？
其實就是直角坐標系中，點p與A，兩點的距離，且點p在半圓內。根據“數形結合”思想，點，點。則AB的距離最大為2.AO的距離最小為1，
從而；。解題過程如下；
解；
y=f（x）在R上為增函數。且f（x）=―，
且
例如【2】；已知函數
（I）當時，討論f（x）的單調性；
（II）若時，恒成立，求的取值范圍。
（I）首先；慢讀題，考慮解析式中的代表的是函數的自變量，可取那些數，即函數的定義域，表示自然對數，底數為，
其次，開始看第一小題的條件，，則定義域確定；
根據求導公式可得；，
通過解不等式得到單調區間，即；
函數在，為減函數，在
為增函數。
（II）由特殊到一般，分兩種情況進行；
（i）若時，，故
，，函數在為增函數。故，而題目要求恒成立。所以，。
（ii）若時，，
①當時，，時，。所以，在為減函數，即 .
恒成立。
②當時，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，則在上存在，使，故不合題意.
③當時，， 函數在上單調遞減，在上單調遞增，則在上存在，使，故不合題意.
綜上所得，。
例如【3】；設數列的前n項和為，數列的前n項和為， 滿足，（n）
求；的值。
（2）求數列的通項公式。
首先，慢讀題，認清題中的字母，，，n，表示什么？
即； 。
。
其次，看到 已知條件，
這一個等式，就可以寫出無數個等式，即；
， ，，。。。。
第三，題中的條件， 不要忘記。從而n可取1，2，3，，，，，。解題過程如下；
解；（1）由
，
（2）由數列公式；
【關鍵詞】高中數學 數列
本章在歷年高考中占有較大的比重，至少占8%，考題類型既有選擇題，也有填空題和解答題，既有容易題，也有中檔題，更有難題。而從這幾年高考題的命題模式來看，客觀題主要是考察和其他知識點的交匯，主觀題對數列的考察較為全面，考察數列的概念、性質、公式、求和的應用。除09年理科解答題考察了和不等式及數學歸納法的結合外，最近幾年的數列解答題在高考中主要作為中檔題出現，對知識的交匯的考察主要集中在與函數、不等式以及數學歸納法的聯系上。本文從近幾年山東高考對數列的考查情況進行分析。
1.數列考點（山東卷）統計分析
年號題號所占分值重點考察的知識點及知識點交匯情況所占比例
有以上兩個表格分析的近五年試題的分布來看，等差、等比數列作為最基本的數列模型，依然是高考重點考察的對象，利用Sn與an的關系以及遞推公式求數列通項，以及數列求和問題也是近幾年高考命題的熱點。由于2009年考試說明把放縮法、反證法、數學歸納法加入考試要求，在09年高考中就考了數學歸納證明、放縮法，從而加大數列題難度，從最近五年的高考出題情況，雖然從2009年考綱加大難度，到2010年的中規中矩，再到2011年的新鮮題干，最后到2012年的等差數列中巧妙嵌入等比數列，我覺得數列的考察題目對知識難度要求總體有下降的趨勢，我認為這與山東高考將取消文理分科，進一步降低難度的大趨勢有關。
2.本單元考綱要求及復習策略
2.1 考綱要求
（1）了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）。
了解數列是自變量為正整數的一次函數。
了解等差數列與一次函數，等比數列與指數函數的關系。
（2）理解等差數列，等比數列的概念；
掌握等差數列，等比數列的通項公式與前n項和公式；
掌握由數列前n項求通項的公式；
掌握由遞推公式求通項的基本方法；
掌握裂項求和以及錯位相減求和。
（3）能在具體的問題情境中，識別數列的等差、等比關系，并能綜合運用有關知識解決問題。
2.2 復習策略
（1）首先要認真研讀大綱、考綱，認真分析高考的出題動向，才能做到對這一部分出題動向的深入把握，這樣才能做到復習中更有針對性。
（2）曾聽到一位命題專家說過這樣一句話：“高考題來源于課本，高于課本”。由于這幾年山東高考大趨勢是更加注重基礎，降低難度。所以，復習過程中要切實做到“降低起點，以課本為主”，以知識模塊為主線開展復習，不能脫離課本僅憑某本參考資料復習。其實，往往很多高考題都是課本習題或例題的再加工或者就是原型。尤其是課本中思考、探究更應引起我們的重視。如：（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數成為正方形數。下列數中及時三角形數又是正方形數的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
這是我們課本數列第一節的引入實例，如果我們在教學過程中能夠給予重視、講解，那這個題學生做起來就很容易了。所以高考中很多題目都可以在課本中找到原型。
（3）教學過程中我們堅持用“題組法”進行數學總復習教學，取得了較好的復習效果。用題組法組織數學復習，可以更好的突出重點，有梯度的攻克難點。用“題組法”組織數學復習課一般由四組題目構成：再現型題組，鞏固型題組，提高型題組，反饋型題組。
具體是：①再現性題組，前一天已經做過，老師已經批閱過，上課是先用 3到5分鐘時間，讓學生習慣性的展開小組討論，然后，遺留問題就少得多了，老師精講相關內容、用時也較少。 ②鞏固型題組，組內派代表板演，不但讓小組間展開積極競爭，也能更好地檢測再現性題組的討論效果，板演結束后，由其它組的成員點評，提出多種不同的解決方案，老師在此基礎上再精析，將知識、方法升華。③提高型題組，小組內簡單交流，稍作思考，然后有老師引導學生共同解決問題。④反饋型題組，完全的交給學生，小組內完成，基礎好的同學，一般是組長可以利用自習、課間時間負責組織組內講解，這樣，班級學習氛圍更濃了，第二天的課上輕松多了。相信經過同學們的充分參與，我們的課堂真正成為學生的課堂，老師只是“導演”！
（4）在每次選編題組時，要求出題教師要圍繞有利于復習基礎知識，鞏固基本方法，揭示某些解題規律來選題、編題，每個題組中的題目及各題組之間要由易到難，并緊緊圍繞課時復習目標，使基礎知識、基本技能、基本方法、基本思想、解題規律重復出現，螺旋式遞進。這符合學生的認識規律，有助于學生記憶、理解知識、方法、思想，加速從模仿到靈活運用的進程，能深深印入學生的腦海中。同時題目的選編，要以考綱為綱，以教本為本，應具有基礎性、典型性、啟智性等。
（5）在復習過程中，要注意重視抓書寫規范訓練，突出提高解題準確與速度，以及對公式的準確記憶。計算能力是高考四大能力要求之一，也是學生的薄弱環節之一。
3.高考試題典例分析
3.1 考察等差、等比數列的概念和簡單性質
（2010山東理數）
（9）設{an}是等比數列，則“a1
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件、
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知a11，且a1>0，所以數列an是遞增數列；反之，若數列an是遞增數列，則公比q>1且a1>0，所以a1
【命題意圖】本題考查等比數列及充分必要條件的基礎知識，屬保分題。
3.2 用定義法求數列的通項，以an，-1n為基礎構造新數列，分類討論，分組求和
2011年（山東文、理20）
等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列.
評析：文理（ 20 ）題均為數列題，情景一致。該題以列表的形式簡潔明了地給出了等比數列的前三項，極易讓考生把握，巧妙地穿了分類整合的思想。該種情景具有科學依據，因為數列是特殊的函數，函數可以借助解析法、列表法、圖象法來表示。此外，從該情景中還可以感覺到行列式的魅力。所以該題目情景的設置極具創新精神，又不失科學依據，具有極深的數學底蘊，充分體現了數學語言文化的魅力。在第二問中，均在通項的基礎上求和，但在求和的方法、計算量的大小和難易的程度，都充分考慮到文理考生的實際狀況，體現了對廣大考生的人文關懷。
3.3 對數列知識的綜合考察
（08年山東理19題）
將數列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
評析：本題以數列知識為背景，綜合考察不等式的證明方法，如數學歸納法，放縮法且步步遞進，環環相扣，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力.
4.5 以等差數列為背景嵌入等比數列，對等差（比）數列之定義，通項以及求和的全面考察
（2012年文20） （本小題滿分12分）
已知等差數列{an}的前5項和為105，且a20=2a5.
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）對任意m∈N*，將數列{an}中不大于72m的項的個數記為bm.求數列{bm}的前m項和Sm.
解析：（I）由已知得：5a1+10d=105，a1+9d=2（a1+4d），
4.2013年高考預測
從近五年高考題目來看，除零九年理科數列題結合數學歸納法和不等式難度有點增加外， 08、10年數列高考題的出題方向難度降低、更加注重基礎方向發展。2011年、2012年均是作為20題出現，文理兩科的出題意境也極為類似，而且全面考察等差數列、等比數列定義，通項公式以及求和等基礎知識。這就要求我們以后教學過程中仍要堅持重視基礎，無論難度降低還是提高，都能做到“以不變應萬變”。
1.客觀題以考察等差、等比數列的概念、簡單性質和基本量運算為主。
2.解答題主要考查數列的綜合應用為主，這里常涉及到的知識方法有：
（1）基本量思想，對等差或等比數列，列方程求首項和公差或公比。
（2）利用Sn與an的關系，求通項或實現Sn與an的轉化，我認為Sn與an的關系公式，不僅僅是求通項，而是在題目中實現了Sn與an相互轉化的一條通道。
（3）已知遞推公式求通項公式，這里重點考察的是構造法。
【關鍵詞】高考數學；數列復習；思想方法；有效策略
數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎。近幾年來，主要有以下三個方面的命題：（1）數列本身的有關知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式及求和公式。（2）數列與其他知識的交匯結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。（3）數列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。那么對于高三課堂，如何才能在不增加學生負擔的前提下，更有效地復習好數列呢？
一、緊扣課本，夯實基礎知識
對于一名高三教師，應該認真學習研究《新課程標準》與《考試說明》，明確數列的考查要求，突出兩種基本數列（等差、等比數列）的復習，從歷年數列考題可以看出，多數問題解決最終均化歸為等差或等比數列求解。在復習中，我們教師要注意難度的把握，等差、等比數列的基本量計算是個常考點，常涉及“知三求二”題型，對于該題型的訓練我們要強化，使學生熟練掌握，又要適度，不要人為做那些太難、太繁題目，這樣不僅增加學習負擔，而且還淡化了數學本質；同時還應適當關注等差、等比數列的性質在化簡運算方面的作用；等差、等比數列的判定（定義法，中項公式法等）以及數列求和也是高考的另外兩個常考點，我們應通過適當的練習訓練來加深學生對數列求和方法（公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法等）的正確運用，并注意引導學生關注易漏、易錯、易混點，培養學生的認真、嚴謹的思維品質，避免不必要的失分。例如，（2012高考重慶理1）在等差數列{an}中，a2=1，a4=5，則{an}的前5項和S5=（ ），本題可采用基本量法，也可利用數列的相關性質解決問題。
二、把握基本思想，提高解題能力
數列是高中數學的重要內容，它與數、式、函數、方程、不等式等有著密切的練習，在數列綜合問題中涉及很多數學思想方法，如函數思想、方程思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、遞推思想與數學歸納思想等。在復習中若能靈活應用這些數學思想方法，將會取得事半功倍的效果。
（1）函數思想。數列是一種特殊的函數，等差數列的通項公式可以看成是n的一次函數，而其求和公式可以看成是常數項為零的二次函數，而等比數列的通項公式，則要弄清它與指數函數之間的關系，因此許多數列問題可以用函數方程的思想進行分析，加以解決。例如，設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13
（2）方程思想。數列的通項公式與前n項和的公式緊密地聯系著五個基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一類最基本的運算，根據題設條件，結合數列通項公式和求和公式構建方程或方程組求解，方程思想貫穿于數列學習和解題的始終。例如，已知等差數列{an}的公差是正數a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n項的和sn。此題利用了a3+a7=a4+a6這一性質構造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首項與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數列解題時往往可借助方程的思想與an+am=ap+aq（或an?am=ap?aq）找出解題的捷徑。
（3）分類討論思想。數列中滲透分類討論的思想。在運用等比數列求和公式時，若公比q沒有明確給出，需要分q=1和q≠1討論；在數列求和中有時需要進行奇偶分析討論；有些數列的通項公式是分段表示，解題過程需要討論；在數列解題中有時根據過程需要進行討論。
（4）遞推思想與數學歸納思想。遞推是數列的本質性的內涵，是數列的一大特色。數列中涉及n，an，sn之間的關系問題，常采用遞推思想來解決，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、構造法、數學歸納法等思想方法。例如，設{an}是首項為1的正項數列，且（n+1）a-na+an+1?an=0（n=1，2，3…），求通項an。對于此題，通過化簡已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解決問題，對于一些有些不易直接化成等差或等比的數列，經推理可以尋求特殊關系的，可以把它轉化為可求通項的特殊數列再求解。
三、關注交匯內容，做好融會貫通
數列除了考查本身知識內容，還常與程序框圖、對數、三角結合、一般函數、不等式等知識相結合進行交匯考查。
例如，在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1
①求數列{an}的通項公式；②設bn=tanan?tanan+1，求數列{bn}的前n項和Sn。
關鍵詞：命題創新；應對策略；明年高考創新預測
由于綜合高中的生源特點（基礎知識較薄弱，綜合能力較差），所以每年綜合高中數學高考試卷一方面要控制難度，以基本題和常規題為主，另一方面為了保證高考試卷的新穎度和區分度，每年的高考題中都有1-2道創新題，讓基本功扎實，能力強的學生能脫穎而出，達到選拔人才的效果。結合綜合高中的教材和學生的特點，綜合高考創新題的特征是小而活，新而不難，立意巧妙。認真研究創新題的特點，可以揣摩命題教師的創新思路，深刻領會“能力立意”的命題指導思想，準確把握《考試大綱》的要求，以提高高三復習的針對性和有效性。
知識綜合，推陳出新
【例1】（江蘇省2009年對口高考第20題）設數列a■的前n項和為Sn，對一切n∈N+，點（n，■）均在函數f（x）=3x+2 的圖象上。
（1）求a■，a■及數列a■的通項公式；
（2）解不等式f（n）？叟Sn-22。
點評：例1是數列與函數，不等式進行綜合，在解題時要注意變量n的取值范圍。
【例2】（江蘇省2010年對口高考第20題）已知？琢為銳角，且點（cos？琢，sin？琢）在曲線6x2+y2=5上。
（1）求cos2？琢的值
（2）求tan（2？琢-■）的值
點評：例2是三角函數與解析幾何的綜合題，屬于淺層次的綜合，改變了題目條件的給出方式，其實質仍然是三角函數題。
【應對策略】：
在知識的交匯點處出題，加強學生對不同章節間知識的綜合運用能力是高考中常見的考法，可以考查學生熟練運用所學知識進行融會貫通的能力。數列、三角函數作為特殊的函數常與函數、不等式進行綜合，向量作為工具常與三角函數，解析幾何進行綜合等。這就要求學生在平時的學習過程中加強雙基訓練，熟練掌握所學知識，并培養出解決綜合題的能力。
風水輪流轉，知識輪流考
【例3】（江蘇省2013年對口高考第25題）設雙曲線■-■=1的焦點分別為F1，F2，離心率為2。
（1）求雙曲線的標準方程及漸近線l1，l2的方程；
（2）若A，B分別是l1，l2上的動點，且2AB=5F1F2。求線段AB中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
點評：上次考查解析幾何的軌跡問題，是在2005年的高考卷上。但后來，從2005年到2012年卻一直未考查，這種長期未考查的知識點很容易被許多老師淡化。所以，今年再次考查這個知識點，可以說是給了所有老師一個足夠的警示。
【例4】（江蘇省2010年對口高考第21題）已知數列a■滿足
a■=2，a■=a■+2n，n∈N+
（1）求證：a■是a■，a■的等比中項；
（2）求數列a■的通項公式。
點評：數列中迭加法求通項公式，在以前單招考試中一直沒出現過，但在2010年的對口單招考試中卻出現了。這表明，即使以前未考的知識點，未必以后不會考， 所以廣大師生在復習過程中，千萬不能忽視那些書本上要求掌握的，卻一直沒考過的知識點。
【應對策略】：
首先：一輪復習時要有足夠的廣度，不能因為某個知識點近幾年沒考，就淡化對其復習，如利用迭加法求數列的通項公式，在高考中一直沒有考過，但在2010年高考解答中題進行了考查；其次：在三輪復習中要進行針對性的練習，知識面上不容許出現盲點，研究每一章中有哪些知識點，最近5年考查了哪些知識點，還有哪些未考查的知識點要進行掃盲，進行針對性的復習，提高復習的全面性，避免高考中因為復習的問題導致班級整體性的丟分。
二次加工，源于課本
【例5】（江蘇省2012年對口高考第19題）設關于x的不等式x-a
點評：我們平時復多接觸的是給出不等式，求不等式的解集，而此題將條件和結論進行了調換，給出了絕對值不等式的解集，求其中待定系數a，b的值，給人耳目一新的感覺。另外此題其實是從書本上已知一元二次不等式的解集，求a，b的值的題目遷移而來。
【例6】（江蘇省2012年對口高考第12題）若過點A（3，0）的直線l與圓C：（x+1）2+y2=1有公共點，則直線 斜率的取值范圍為（ ）
A.（-■，■）
B.-■，■
C.（-■，■）
D.（-■，■）
點評：關于上述考題，還有個小故事。在高考的前一天晚上，班級中部分學生圍在一起，我對他們進行答疑，這時其中一個學生問到練習卷上的這樣一道題目：若直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=1有公共點，求b的取值范圍。當時我給學生講解之后，想到高考考同類型的題目可能性不大，于是將題目進行適當改動，將直線y=x+b改成了過P（0，2）的直線，其它條件不變。從這個故事可以看出，高考題其實是從書本上練次加工得到。
【應對策略】：
從上述兩個例題可以看出，高考考題其實來源于書本和平時的練習，并對此進行適當的加工，所以我們在平時的復習中，要加強變式訓練（條件結論互換，題目遷徙，動靜結合），可以起到事半功倍的效果。
背景新穎，考題公平
【例7】（江蘇省2010年對口高考第11題）為贏得2010年上海世博會的制高點，某工藝品廠最近設計、生產了一款工藝品進行試銷，得到如下數據表：
根據該數據表，可以推測下列函數模型中能較好反映每天銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間關系的是（ ）
A.y=kx+b B.y=ax+bx+c（a≠0）
C.y=logax+b（a>0且a≠1）
D.y=ax+b（a>0且a≠1）
點評：此題是以上海世博會為背景的一個函數模型題，可利用數形結合的思想予以突破。題型較新穎，很難在復習資料和模擬試題中找到，解答往往沒有現成的方法可套，對所有考生公平，并會使一些考生感到難以入手，從而使試卷具有很好的區分度和選拔功能。
【例8】（江蘇省2007年對口高考第22題）隨著人們生活水平的不斷提高，私家車也越來越普及.某人購買了一輛價值15萬元的汽車，每年應交保險費、養路費及消耗汽油費合計12000元，汽車的維修費為：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年遞增（成等差數列）。若以汽車的年平均費用最低報廢最為合算。
（1）求汽車使用年時，年平均費用 （萬元）的表達式；
（2）問這種汽車使用多少年報廢最為合算？此時，年平均費用為多少？
點評：此題以日常生活中私家車保養費用為背景，貼近生活，與數列，一元二次函數最值，均值不等式最值等知識點進行綜合，難度較大，綜合性強，具有良好的選拔功能。
【應對策略】：
針對背景新穎的應用題，難度較大，我們在平時的學習過程很難接觸到原題，這需要教師平時注意培養學生將實際問題轉換成數學問題的能力，并且對應用題進行專題訓練，克服對應用題的恐懼心理，提高解題能力和信心。
新教材的實施，為創新提供了更廣闊的空間
仔細研讀新教材，可以發現新教材中增加了與日常生活聯系密切的內容（邏輯代數初步、算法與程序框圖、數據表格信息處理、編制計劃的原理與方法、線性規劃初步等），加強了中職數學的實用性，刪除了一些晦澀難懂的內容（如反函數，均值不等式等）。從新考綱來看，試卷從試題結構和知識點兩方面進行了創新。
【例9】（來源2014年考綱典型題示例10）已知圓x2+y2=10上有一點A（1，3），過點A的圓的直徑的斜率為 ，過點A的圓的切線的斜率為 ，切線方程是 。點B也是圓上的點，那么過點B的圓的切線方程是 。過圓x2+y2=10上任意一點P（x0，y0）的圓的切線方程是 。
如果某城市交通規劃中，擬在半徑為50m的高架圓形車道側某處開一個出口，以與圓形道相切的方式，引伸一條直道接到圓形道中心正北150m處的道路上（如圖），建立如圖所示坐標系，試寫出所引伸直道的方程，并計算出口應開在圓形道何處。
點評：本題將填空題與解答題結合在一起，進行了創新。題中的填空部分為后繼問題的解決奠定了基礎，降低了題目難度，提高了學生得分。本題背景現實，從方法論的角度看，讓學生經歷了解決問題的全過程。
【例10】（來源2014年考綱典型題示例11）某飯店烹調“汽鍋鴿子湯”的用料規定如下：①鴿子1只，單價14元/只；②水發口菇50克，單價10元/千克；③冬筍、火腿、干貝等原料6元；④調味品0.9元。規定毛利率為55。
（1）你能制作“汽鍋鴿子湯”的成本表嗎？
（2）“汽鍋鴿子湯”的定價應是多少元？（保留到個位）
答案：（1）成本表如下：
（2）21.4（1+55%）=33.17≈33（元）。
點評：
1.本題屬于“數據表格、數組” 內容。此類問題與實際生活聯系緊密，有較強的應用性。
2.新教材中增加了與日常生活聯系密切的一些內容，如邏輯代數初步、算法與程序框圖、數據表格信息處理、編制計劃的原理與方法、線性規劃初步等，一方面加強了利用數學知識解決實際問題的能力，提高了中職數學教材的實用性，另一方面為高考創新命題提供了廣闊的空間。
【應對策略】：
關鍵詞：高中數學；課堂教學；有效性
新課程改革要求在實際教學當中，大多數教師只是有了形式上的轉變，真正課堂內容的實質轉變卻無法做到。那么，怎樣才能真正做到向素質教育的轉變呢？這里有一個衡量的標志，那就是課堂教學的有效性。課堂有效性的不斷提高，是新型教育轉變成功與否的指標。那么，具體到高中數學學科應該如何提高課堂教學的有效性呢？筆者結合自身教學經驗，在此談談自己對提高數學課堂教學實效性的粗淺認識。
一、對課堂教學內容和本班學生的了解和分析是提高課堂有效性的前提
數學教師在上課之前，一定要對教學內容進行分析、理解、總結，只有對教學內容做了前期的準備和分析后，才能準確把握課堂教學的目標和任務，才能把課堂有限的時間安排得詳略得當。如何使課堂的時間在教學內容上表現出來，首先應該體現在對重難點的突出上。例如，在數列教學時，要讓學生明白通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題。數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用。數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究……這樣就教給了學生研究問題的方法，取得了良好的效果。
此外，高中數學教師在授課前一定要對本班的學生做一個比較詳細的調查分析，要了解他們現在的知識狀況、掌握程度，只有這樣才能在教學中做到有的放矢，為順利完成教學目標打下基礎。
二、以學生為主體的，互動課堂是提高課堂教學的內驅力
新課程改革要求我們高中數學教師要改變過去以往陳舊的教學方式和方法，要建立以學生為主體的互動課堂模式。教師作為一個宏觀的指揮者和課堂設計者的角色出現在學生面前，以學生為主體，師生互動，生生合作，共同完成課堂教學。這樣，不僅可以活躍課堂氣氛，而且可以激發學生學習數學的興趣，從而從根本上提高高中數學課堂教學的有效性。教師不必再擔心學生的學習成績，也不會因為課堂教學的單一而煩惱。
三、運動多種信息化教學手段是提高課堂教學有效性的重要
途徑
高中數學教學教具比較有限，如果只利用原有的專業教具來授勢必比較單調、無趣。我們不妨利用多媒體等各種信息化手段來教學，如，立體幾何中的一些幾何圖形、高中數學中的應用題、重要章節的內容都可以用投影儀或者多媒體課件來進行授課，通過形象豐富的畫面來加深學生的印象，從而收到事半功倍的效果。
總之，在高中數學教學中，教師要善于思考，通過多種教學方法不斷提高數學課堂教學的有效性。
參考文獻：
[1]晁旭偉.提高高中數學課堂教學有效性的實踐探索[J].學周刊，2011（29）.
“無聊”的填數問題
網上公布的公務員考試題中有一道找規律填數字問題:
題1 根據規律填空：1， 3， 11， 67， 629,( ).
S老師準備讓學生試試看.
生 老師,這類題目我們小學時做得太多了.現在還讓我們做不是太無聊了嗎?
學生雖這么說,其實還是很感興趣.但很快由不屑一顧變成束手無策了.這個數列既不是等差數列,也不是等比數列.套路無用武之地了.總體看,數列逐項在增大.但給出的四個選項都比629大.
生 增大的幅度越來越大:3-1=2， 11-3=8， 67-11=56， 629-67=562.不過2351-629=1722也遠大于562,后面幾個選項與629的差就更大了.并沒有看出哪個選項顯得特別.
師 除了考察相鄰兩項的差,還有其他方法嗎?
生 能不能看看相鄰兩項的比呢?
于是粗略地估算知:31=3, 113≈3.67, 6711≈6.09, 62967≈9.39.
師 接下來的一個比值大致可能是多少呢?
生 應該在12附近才行.又2351629≈3.74, 3130629≈4.98, 4783629≈7.60, 7781629≈12.37,選擇D.
師 很好.
生 老師,雖然猜到了正確的答案,但并沒覺得與學過的等差或等比數列有何聯系?
師 你察覺出數列是逐項增大,不是考察了相鄰兩項的差、相鄰兩項的商嗎?看到3.67， 6.09， 9.39,為什么會猜想下一個數應該在12的附近呢?
生 哦,原來默化潛移地影響了我直觀察覺的方法.但這樣做讓人有點不放心.如果四個選項提供的數值靠得很近,不還是沒法選嗎?
師 你們認為怎樣才是完美的解法呢?
生 應該找出一個通項公式.
師 好,啟動你們這些聰明的腦袋,大家一起想想看.
也就是這樣的問題:
11, 23, 311, 467, 5629, 6？
學生覺得可從“467, 5629”入手尋找.靠近67的64是43,也就是說67=43+3;同理629=625+4=54+4.
再回頭查看，10+0=1， 21+1=3， 32+2=11,皆符合同樣關系.所以該數列的一個通項公式為an=nn-1+n-1.當n=6時，65+5=7781,選擇D.
師 看來解決數列問題并非都是一環緊扣一環的推理計算,憑借對問題洞察,也能直逼問題的本質.
生 嘻,我們解題套路的版本該升級了.
直覺得來的結果有時我們自己也不敢相信.
被“誤解”的好學生
一次作業中有這樣一道題:
題2 已知{an}為等差數列, Sn是其前n項和， a1=25, S17=S9,問n為何值時，Sn取得最大值?
批改時,絕大部分同學是按“套路”求解.但發現某同學的本子上僅寫了:
解當n=13時，Sn取得最大值.
難道來不及做作業,直接將別人的答案抄在自己的作業本上?課間S老師還是與該生面談了解具體情況.
生 這個問題我會做,只是沒有將想法寫出來.
師 你是怎樣想的呢?
生 因為Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.所以當d≠0時,Sn是關于n的二次函數.且常數項為0.故有Sn=an2+bn.考察二次函數f(x)=ax2+bx.
由條件a1=25, S17=S9,知f(1)=25, f(17)=f(9).
因為f(x)的圖象為拋物線,且過原點.又f(17)=f(9),所以拋物線關于直線x=17+92=13對稱.又因為f(0)
師 想法很好,為什么不寫出來呢?
生 這些都是顯而易見的東西,寫出來太長.但只要想到函數圖象,也用不著計算,結果太明顯了.
師 確實是很好的想法,由等差數列的前n項和聯想到二次函數,用函數工具解決數列問題,很具有代表性.但數學表達也是不可忽視的一個方面.可不能“茶壺中煮餃子,有貨到不出”.將你的思考過程好好整理一下,貼在后面的展示欄里好嗎?
學生高興地離開了辦公室.
未過幾天,該生又來找我.
生 老師,我發現用函數方法解決問題真的很有用.昨天與同學討論這樣一道題:
題3 在等差數列{an}和等比數列{bn}中，a1=b1>0,且a1≠a3， a3=b3.試比較下列各組數的大小.(1)a2與b2;(2)a5與b5.
我這樣思考行嗎?
數列{an}的各項對應的點(n， an)在直線y=dx+(a1-d)上,數列{bn}對應的點在曲線y=b1qqx上.因為a1=b1， a3=b3.所以A(1， a1)， B(3， a3)是這兩個函數圖象的交點.當0
由圖1可知,當x∈(-∞， 1）∪(3， +∞)時,直線在曲線的下方,當x∈(1， 3)時,直線在曲線的上方.所以a2>b2， a5
師 聯想越來越豐富,頭腦越學越活,方法很好.如果能注意到q可能為負數就更嚴謹了.
聯想讓我們的思維插上的翅膀.
“多余”的點撥
隨著對數列學習的不斷深入,學生涉獵問題的面越來越廣,對解決問題不循規蹈矩早已司空見慣.還不時挑戰一些有思考難度的問題.老師自然成了學生的高參.
生 老師,我遇到這樣一道題,不知怎么辦.
題4 給定數列{xn}， x1=1， xn+1=3xn+13-xn,則x2012
師 等式xn+1=3xn+13-xn也稱為數列的遞推關系式.遞推關系式也是確定數列的一種方式.根據給定的前幾項,逐步求出后面的項.
生 這些我都知道.
師 好,那我們就用這一關系來進行計算.由x1=1,可求得x2=2+3,由x2=2+3,求得x3=-2-3,再順次下去,可求得x4=-1， x5=-2+3， x6=2-3.
生 老師,這些我都會.
師 那為什么還要問我呢?
生 我想找一個好方法,能快速算出x2012,像這樣算,即使用計算器,或許到放學也算不完.
師 我這不是也在找方法嗎?我也沒有再好的方法了,只好先這樣吧.老師也計算膩了.下面你來接著算一算吧,可不能算錯啊!免得一失足成千古恨.
生 知道了,老師放心是了.
于是學生著手計算.
生 老師,我知道結果了.
師 怎么這么快解決了呢?
生 因為x7=1,也就是說,往下算得到的結果與前面由x1=1算出來的重復了.這不與三角函數的周期性一樣嗎?所以x13=1， x19=1， …, x6k+1=1 (k∈N),也就是說數列{xn}以6為周期.又因為2012=335×6+2.所以x2012=x2=2+3.我要是再多算一項,就不用來找您了.
師 你把我的功勞都抹殺了.
生 沒想到三角函數的知識在數列中也能發揮作用.老師,萬一這個數列的周期是一個很大的數,比如是50,那么不就更難發現了嗎?有沒有什么其他的方法呢?
師 這個問題提得很好,不妨想想看有沒有其他的方法.由xn+1=3xn+13-xn能想到什么呢?
生 我想到3=tanπ6.
師 式子xn+1=3xn+13-xn又像是一個怎樣的關系式呢?
生 我還想到tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
師 但差異還很明顯.分母應當是“1-×”的形式.
生 只要將分子分母同除以3就行了.也就是xn+1=xn+331-33xn.
師 這下真的很像了.
生 像是tanα+π6=tanα+331-33tanα.設xn=tanαn,則tanαn+1=tanαn+331-33tanαn,所以tanαn+1=tanαn+π6.
則xn+6=tanαn+6=tanαn+5+π6=tanαn+4+2π6=…=tanαn+6π6=tanαn=xn.真地又找到了一種好方法.
師 這一方法你有完全的知識產權.老師不與你爭了.
[關鍵詞]高中數學作業設計探究策略
[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2016）290013
作業是鞏固高中生數學知識學習的重要途徑，這一點毋庸置疑.對于高中生而言，他們的學習任務是極為繁重的.在這樣的高壓學習之下，高中數學教師在作業設計方面也應多下一番工夫，爭取可以通過有效的作業設計不斷激發高中生完成作業的興趣.針對高中數學作業的設計，具體可采取如下有效設計策略.
一、自主探究型作業的設計
對于高中生而言，他們的數學作業絕大部分是通過自主探究完成的.因此，高中數學教師在設計自主探究型作業時應進行科學設計，通過科學有效的自主探究型作業設計給高中生在數學學習方面以更多有益啟示.
例如，執教《等差數列》一課時，為了讓學生對“公差”更加深入地了解，我特地設計了如下作業讓學生通過自主探究的方式完成.請找出下面數列的公差，并總結公差的基本性質.（1）19、18、17、16、15……（2）9.8、9.7、9.6、9.5、9.4……（3）1、1、1、1、1、1、1、1……通過自主探究，學生可以輕易發現，第（1）組數列的公差為-1；第（2）組數列的公差為0.1；第（3）組數列的公差為0.由此可以極容易地總結出等差數列的公差可以為正數、負數，也可以為0.這樣的自主探究型作業設計省去了數學教師很多的教學時間，可以讓學生通過該作業的完成有效掌握等差數列的公差特性.所以說，這樣的自主探究型數學作業的設計是極為有效的.
在數學高考試卷中關注更多的是高中生基礎數學知識的考察.因此，高中數學教師在設計自主探究型作業時，也應積極遵循這一特點，多為學生設計一些基礎型探究作業，從而不斷鞏固和深化高中生對數學知識的掌握.
二、合作探究型作業的設計
對于部分數學作業而言，單靠高中生個人的能力是很難在短時間內完成的.所以，對這部分學生的數學作業必須要求學生通過合作學習的方式完成.這樣的作業我們習慣稱其為合作探究型作業.高中數學教師在合作探究型作業設計時也應靈活把握，盡可能讓合作探究型作業的設計呈現出更高成效.
例如，執教《等差數列》一課時，我設計了這樣一個合作探究型作業讓學生完成：假如在數字a與b的中間插入一個數字A，最終使得a、A、b形成一個等差數列.請問，此時的A應該滿足什么樣的基本條件？由于該合作探究型作業是課堂作業，因此作業布置之后學生便迅速行動起來.通過合作探究，學生一致認為，只有A=a+b2時，方能最終使得a、A、b形成一個等差數列.學生給出答案后，我還要求給出自己的理由.通過這樣的合作探究型數學作業的設計，不僅在一定程度上培養了學生的團結合作精神，更有效提升了高中生合作解決數學問題的能力.
合作探究型作業的設計不僅是一門藝術，更是一門學問.高中數學教師在設計合作探究型作業時，應對學生的實際數學學習情況進行科學把握，并在此基礎上科學設計合作探究型的數學作業，讓合作探究型作業盡可能發揮其成效.
三、網絡探討型作業的設計
21世紀是一個信息化社會，互聯網已融入高中生的生活中.為了更好地適應互聯網發展的迅猛形勢，高中數學教師也應適當設計網絡探討型的數學作業讓學生完成.這樣的數學作業設計方式對高中生而言往往更具吸引力.
榱吮閿諭絡探討型數學作業的設計實施，我特地在班級內建立了一個微信群.微信群建立之后，我經常會將一些數學作業公布于微信群中，供學生進行探索、討論.例如，執教《等差數列》一課后，我曾設計了這樣兩個作業讓學生進行探討：（1）若等差數列的前三項依次是
1m+1，56m，1m
，求m的值.（2）已知等差數列{an}中，a2+a6+a10=1，求a3+a9.作業呈現完畢之后，學生積極參與討論.為了幫助學生進一步理清解決問題的思路，我也積極參與其中，給予學生有效的啟發.通過一段時間的討論，最終在師生的共同努力下有效解決了上述問題.
在具體的教學實踐中，發現高中生對網絡討論型作業的設計尤為感興趣，從他們積極參與的熱情中我充分感受到這一點.因此，我也會積極利用課余時間有效設計網絡討論型作業，不斷提高高中生完成數學作業的興趣.
高中數學作業類型是多種多樣的，有游戲型數學作業、調查型數學作業、動手操作型數學作業等.由于篇幅有限，在此不便一一進行論述.希望本文的觀點可以對一線高中數學教師在作業設計方面有積極啟示，進而通過有效作業的設計不斷提升高中生完成數學作業的興趣，提升高中生的數學素養.
[參考文獻]
[1]蔡金發，毛耀南.農村高中學生作業個性化設計與實施策略研究[J].現代教育科學（中學教師）.2014（03）
[2]彭紅春，吳仲宏.研究性學習作業個性化設計與實施策略[J].現代教育科學.2013（04）
