時間：2023-06-01 09:46:09
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇拋物線的基本知識點，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高考題雖然一般不直接取材于課本，但所考查的知識大多來源于課本或間接地涉及課本例習題，或改變于歷年高考題、模擬試題。這就要求我們在平時的教學中要加強變式訓練，變式訓練是指變換問題的條件或外部特征，而不改變問題的本質，變式訓練必須要呈現概念的本質和外延，突出問題的結構特征，揭示知識的內在聯系，保持其本質特征.
學生對知識點的掌握往往需要通過數量和強度這兩個指標，而變式訓練時是強化聯絡強度的有效手段。在經歷了嘗試探究過程之后所獲得的知識必須加以鞏固，拓展應用，但并非簡單重復練習，要依賴變式處理，獲得新知。著名的數學家波利亞形象地指出“問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆生長，找到一個后，你應當在周圍再找找，很有可能附近有好幾個”。有效的變式練習能達到舉一反三的效果，化解重復操作的弊端。作為教師，應該潛心鉆研教材，整體把握教學方向，明確教學目標，不能單純為解題而引申研究，加強內容本質，分析特點。訓練的習題必須是精心設計的，揭示數學的本質。使變式訓練要達到想學生所“難”、研學生所“疑”，解學生所“困”的效果，必須先要加強對試題所包含的基本知識的理解，熟練把握知識點在形式上滿足的外在條件，挖掘知識點的本質原理。
充分利用課本上的例題、習題，通過一題多變挖掘教材潛力，抓住題目的“蛛絲馬跡”進行變式訓練.
例1，（蘇教版必修2第95頁探究.拓展21題）已知
M（-1，3），N（6，2），點P在x軸，且使PM+PN取最小值，求點P的坐標。
變式訓練：
①點M（-1，-3），N（6，2），點P在x軸，求使PM+PN取最小值時點P的坐標。
②M（-1，-3），N（6，2），P在x軸，求使|PM-PN|取最大值時P的坐標。
③M（-1，3），N（6，2），P在x軸，求使|PM-PN|取最大值時P的坐標。
通過變換點的位置及式子的最值讓學生掌握三點共線原理：動點P在直線l上，若M、N在直線l的同側，則|PM-PN|≤MN，當且僅當M、N、P三點共線時，|PM-PN|取最大值，P即為l與MN的交點；若M與M′關于x軸對稱，則PM+PN=PM′+PN≥M′N，當且僅當M′、N、P三點共線時PM+PN取最小值，所求P即為直線l與M′N的交點；若M、N在直線l的異側，因PM+PN≥MN，則當且僅當M、N、P三點共線時，PM+PN取最小值，當M與M′關于x軸對稱，|PM-PN|=|PM′-PN|≤MN，當且僅當M′、N、P三點共線時，|PM-PN|取最大值。我們常利用三點共線原理可以解決一些與線段之和、線段差的，最值性的相關問題。
四邊形PABN的周長最小只需求PA+NB的最小值，P、N都為直線x=1的兩個動點，轉化為一動點到兩定點的距離的最小值。結合圖像，設D（3，0），則線段PD=NB，則PA+NB=PA+PB，符合三點共線原理，求出A關于直線x=1的對稱點A′，則直線x=1與BA′的交點即為周長取最小值時的點P的坐標，問題得以解決。
在新的情境問題中發現“熟悉的影子”，就會出現“復雜問題簡單化的效果”深刻認識試題中條件與結論的關系，從而化難為易，幫助學生走出困境，有意識地培養了知識遷移的能力。
⑦拋物線y2=8x，F為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，
A（2，3），求使PA+PF取最小值時點P的坐標。
⑧拋物線y2=8x，F為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，
A（2，5），求使PA+PF取最小值時點P的坐標。
【關鍵詞】差異性；發展性；個案分析；學生視角
學生是發展的，因此在數學解題中犯錯誤是正常的、反復的；學生是有差異的，因此所犯錯誤也是分層次、富有個性的、復雜的。
面對學生在解題過程中出現的形形的錯誤，我們廣大教師，首先要有寬闊的胸懷包容學生的錯誤；其次，把學生的錯解當作寶貴的教學資源，充分開發“錯誤”價值，挖掘錯誤中思維的閃光點、創新點，因勢利導；三是探究錯誤的成因，尋求糾錯的方法，內化知識，完善認知結構和基本的數學思想方法；四是滲透質疑、選擇、反思的數學精神。
現以學校所在學區高二第一學期期末統考數學試題第十八題為載體，探究新課程理念下如何進行錯題講評，談一點嘗試性的做法，望指正。
題目：已知拋物線 過點 引一條弦 ，使它恰在點P被平分，求弦 所在直線 的方程。
1、學生個案分析
以上圖片資料是從眾多考生的解答中挑選出來的。這些學生均來自普通中學，基礎中等，解法各異，概括起來有三種方法：即待定系數法，對應學生1，記為S1；求點法，對應學生S2、S3、S4；軌跡法，對應學生S5。在他們試后反思的字里行間，我們可以觸摸到學生們解題時的心路歷程。
S1：讀完題，解題的基本思路就出來了，即聯立方程組，但在推出一元二次方程時，擔心運算錯誤，刻意推了兩遍，結果還是出了問題。
S2：把題目粗略地看了一遍，一心只想趕快解完這道題，…,于是想到一點寫一點，…解不下去了，…只好放棄。
S3：這道題我是最后做的，當時時間還寬裕，就按以前方法（焦點弦）做了，可算出來的結果（數字）很怪，覺得錯了。…,沒時間了，只好如此。
S4：想到點P為弦AB的中點，故設點A( )，B( )較為簡單。把A、B兩點坐標代人拋物線方程，列出并解方程組。但出現了無理根，意識到可能是方法出了問題。
S5：設A（ ），B（ ），用中點坐標加以代換，即A( )，因為A,B在拋物線上，將A、B點坐標代人得一個二元一次方程組，解得 ，并直接改寫為 。感覺解題不夠嚴謹，心里沒底。
可以看出，造成學生解題錯誤或半途而廢的因素除“雙基薄弱”外，缺乏自信、內心焦慮、不良習慣等心理問題也是主要的原因。在學生糾錯中有一種現象，應引起我們的關注，這就是大部分學生的改錯方法，是回避原解法且解法單一。一是對原解法沒有進行認真地分析，如正確的方面能不能調整思路繼續下去？造成錯誤的原因是什么，如何糾正？二是不能正視、面對自己解題的錯誤，選擇逃避的方式或人云亦云；三是教師的評價，特別是對錯解的評價，給學生解題思維、心理的影響是很大的。于是，全盤否定自己的解法，正確的部分，一些賦有創意的解法、思想也隨之化為烏有，實在可惜。
2、一點嘗試
以上分析，啟發我們，糾錯教學應在學生現有知識、方法的基礎上，以培養學生的思維能力為目標，從學生的視角看問題，思考、設計教學方案。正如奧蘇貝爾所說的那樣：“影響學生的唯一重要的因素就是學習者已經知道了什么，作為教師要努力探明這一點，并應據此進行教學”，通過創設良好、和諧的教學情境，消除學生畏懼、依賴、焦慮、應付等不良心態，讓不同層次學生都有機會體驗成功，增強自信。
點評：S1同學的方法應用了三個基本知識點“直線方程”、“直線與曲線相交時方程聯立”、“根與系數的關系”，不失為一種好方法，在“直線與圓錐曲線的位置關系”問題中有廣泛的應用。但要考慮直線斜率的存在性，否則將是解題的隱患。同時加強運算訓練，確保二次方程的準確性。
點評：S2同學在點的設置上很有創意，一看就知道點A在拋物線 上，A、B關于點P對稱。快捷，直奔主題；簡約，只有一元。
S3：設 ， ，則
點評：S3同學的方法設點也有特色，利用了拋物線上點橫、縱坐標間的關系，有效減少了參數的個數，方程（組）意識強。
T（補充2）：設 ，
此法就是建立在學生設點的基礎上，圍繞關鍵因素“中點”展開，透過方程（組）的表象，抓住了“斜率”這個本質，使問題更好地得以解決。
S4：設 ，因為P（4，1）是AB的中點，所以 。將A、B坐標分別代入拋物線方程，
由直線方程兩點式 得（糾錯） 。
點評：除設點外，S4同學的解題思路緊扣“曲線與方程”概念，牢牢抓住點在曲線上的位置關系，建立方程組。
以上同學的做法的最后，都是解方程組，求A、B的坐標，但求解過程繁瑣，需要有扎實的運算能力和細致耐心。也需有“繁”而思“變”的思想，另辟溪徑。
S5（軌跡法）設 ， ，
點A在拋物線上，
又點B在拋物線上， ，
，同理
可知，點A，B在直線 上，即 為所求直線方程。
點評：S5同學的方法，巧妙地避開了斜率的存在性問題，可稱為中點弦所在直線方程問題的最優解之一，但對思維能力要求較高，也有一定的局限性，中點條件一旦改變為非中點，此法則會失去效能。其實這種方法可類比于兩圓公共弦所在直線方程的求解。
點評：此法也是中點弦問題的最優解之一，兩式作差，建立弦的斜率與中點坐標間的關系，斜率問題迎刃而解。
推廣到圓錐曲線的一般情形：設 為弦的中點，則橢圓 中點弦所在直線方程為 ，
雙曲線 中點弦所在直線方程為 ，
拋物線 中點弦所在直線方程為 。
（3）變式練習，完善思維品質
變式1，（2002年廣東，河南卷第20題）設A、B是雙曲線 上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點，（Ⅰ）求直線AB的方程；（Ⅱ）略（答案：
變式2 （2003年高考模擬題）直線 交橢圓 于M、N兩點，弦MN的中點為P，
若 （O為原點），則
(答案： )
上述教學在分析了學生已有能力和認知結構的基礎上，突顯了學生解題時的創新思維，并以此為切入點，運用認知上的矛盾沖突，通過對問題的觀察分析、歸納數據、變式拓展，學生智慧的火花，在思維的碰撞中復燃。在“錯誤——反思——探究——拓展”的數學活動中，知識技能得到了鞏固，數學思想得以有效地滲透，思維品質和思維能力得到優化和發展。更為珍貴的是，學生在體驗探究知識的艱辛、獲得知識的快樂的同時，重拾學習數學的信心!
參考文獻
[1] 李其閣 芻議高考數學試題的解答對策 試題研究 2003/上半年
[2] 游明波 郭紅霞 糾錯教學貴在引導學生反思 數學教學研究 2008.8
[3] 張 健 新課程理念下如何上好數學試卷講評課 數學教學研究 2008.10
一 、直接法“直搗黃龍”
有些選擇題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的,這類題型可直接從題設的條件出發,利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則,通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論,從而確定選擇支.普通選擇題我們都采用這種做法.
例1(2009杭州中考)已知點P(x,y)在函數y=■+■的圖象上,那么點P應在平面直角坐標系中的().
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
解析:由x≠0,-x≥0得函數y=■+■的自變量的取值范圍是x
又■>0,■>0,所以y>0,故P(x,y)在第二象限,選B.
二、篩選法“立竿見影”
根據數學選擇題的特點,一題只有唯一的正確答案,篩選法利用題設的條件或已有的概念、性質和法則,淘汰選擇支中的干擾項,把不符合條件的選項逐一加以否定,最后剩下一個選項必是正確的.
例2(2009荊門)函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是().
解析:因為函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象必過(0,1),所以A是錯的;又當a0時,直線從左向右是上升的,拋物線開口向上,D是錯的;排除了A、B、D,所以C是正確的.
例3(2009漳州)矩形面積為4,它的長y與寬x之間的函數關系用圖象大致可表示為().
解析:因為xy=4?圯y=■,所以y與x成反比例關系,故可排除選擇支A和D,又由題意知x>0,y>0,故圖象只能出現在第一象限,于是排除選擇支C,所以本題選B.
三、特值法“事半功倍”
有的選擇題,條件與結論之間的聯系不明顯,或題目本身很抽象,給解題帶來困難.此時把滿足題設條件的特殊值代入,就能得出正確答案,達到事半功倍之效.特殊值通常包括特殊數值、特殊位置、特殊圖形、特殊點、特殊函數,常與篩選法結合使用.
例4(2009通州中考模擬)設x2+3x+c=(x+1)(x+2),則c的值為 ( ).
A. 2B. 3C. -2D. -3
解析:令x=0,則由x2+3x+c=(x+1)(x+2)得c=2,故選A.
例5(2009太倉中考模擬)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點
(-1,2),且與x軸的交點的橫坐標分別為x1,x2,其中-2
①4a-2b+c
其中正確的有().
A.1個B. 2個C.3個D.4個
解析:可根據條件取x1=-■,x2=■,則圖象與x軸的交點坐標為(-■,0),(■,0),又經過點(-1,2),用待定系數法可得a=-■,b=-■,c=2,然后代入上述四個式子檢驗,結果都符合,則選D.
四、 定義法“返璞歸真”
有些選擇題,無須考慮技巧,只要運用相關的定義、概念、定理、公理等內容,便可水到渠成.
例6(2009廈門)某種彩票的中獎機會是1%,下列說法正確的是().
A.買1張這種彩票一定不會中獎
B.買100張這種彩票一定會中獎
C.買1張這種彩票可能會中獎
D.買100張這種彩票一定有99張彩票不會中獎
解析:中獎機會即為中獎概率,概率表示隨機事件發生的可能性,理解概率的意義,不難作出選擇,答案為C.
例7(2009北京)某班派9名同學參加拔河比賽,他們的體重分別是(單位:千克):
67,59,61,59,63,57,70,59,65.這組數據的眾數和中位數分別是().
A.59,63 B.59,61 C.59,59 D.57,61
解析:依據眾數和中位數的定義,便可快速選擇.答案為B.
五、驗證法“雙重保障”
有的選擇題,運用直接法較麻煩,運用篩選法也有困難,但如果將選擇支中給出的答案,代入題干逐一檢驗,可以簡潔地確定正確答案.驗證法就類似于解方程中的驗根.
例8(2009淄博)如果×(-■)=1,則“”內應填的實數是().
A.■B.■C.-■ D.-■
解析:將四個選擇支逐一驗證,便可發現選擇支D正確,故選D.
例9(2009漳州)分式方程■=■的解是().
A.1B.-1C.■D.-■
解析:將四個備選答案中的值代入分式方程,檢驗左邊是否等于右邊,很快得出答案A,可以省去不少時間.
六、圖象法“以形助數”
圖象法,即數形結合法.求解這一類題需借助圖象或圖形,再經過推理判斷或必要的計算而得出正確的答案.
例10(2009荊門)若不等式組x+a≥0,1-2x>x-2有解,則a的取值范圍是().
A.a>-1B.a≥-1C.a≤1D.a
解析:由x+a≥0,1-2x>x-2得x≥-a,x
例11(2009臺州)已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表:
則下列判斷中正確的是().
A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負半軸
C.當x=4時,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間
解析:根據數值對應表知,該拋物線的對稱軸是x=■,再利用描點法作出該拋物線的大致圖象,便可發現它的開口向下,與y軸交于點(0,1),且過點(4,
-3),于是A、B、C都不滿足,故選D.
七、估值法“快速得解”
由于選擇題提供了唯一正確的選擇支,解答又無需過程,因此可以由猜測、推理、估算而獲得正解.這樣往往可以減少運算量.
例12(2009義烏)在中華經典美文閱讀中,小明同學發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm,則它的寬約為().
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cmD.7.64cm
解析:本題只要記住黃金分割比大約為0.6,便可估算出答案.由于20×0.6
=12(cm),故本書的寬應接近12cm,而選擇支A最接近12,故選A.
例13(2009蘇州中考模擬)方程■-■=1的解為().
A. x=1 B. x=3 C. x=4 D. 無解
解析:本題不需直接求解,利用估算法很快得出結果.從A、B、C三個備選答案,可知■-■的差不可能為1,應選D.
八、綜合法“全面出擊”
稍復雜的選擇題需要綜合運用前面介紹的幾種方法和其他方法來解決.
例14(2009杭州)a,b是兩個不相等的正數,且滿足a+b=2,ab=t-1,設S=(a-b)2,則S關于t的函數圖象是().
A.射線(不含端點)B.線段(不含端點)
C.直線D.拋物線的一部分
解析:先利用直接法算出S關于t的函數解析式:
S=(a-b)2=(a+b)2-4ab,又a+b=2,ab=t-1,
S=4-4(t-1)=-4t+8,是一次函數形式,故采用篩選法排除選擇支D.
再利用估算法考察t的取值范圍:
因為a,b是兩個不相等的正數,且滿足a+b=2,
心理學研究表明，數學技能的訓練從宏觀上分為3個階段，即定向階段、小步訓練階段、整體合成階段.為此本文擬以中考數學三輪復習為主線，結合2008年部分省市中考數學試題，談談筆者的一些建議.
1 高度重視基礎，做到融會貫通(第一階段)
第一輪復習，著重圍繞基礎知識、基本方法和基本技能展開訓練.因為只有把基礎知識學得扎實，基本方法、基本技能運用嫻熟，才能為知識的深化、能力的提高創造條件，為后面第二、第三輪的復習增加“后勁” .
1.1 重視數學概念，夯實基礎知識
多年來的中考命題，基礎知識部分的試題要占到70%以上，有不少試題(包括壓軸題)在課本上可以找到原型，因此有必要集中精力把課本中的典型習題、例題認認真真地“過一遍”，并進行歸納分析.第一輪復習可以課本的知識體系為順序，系統地復習基礎知識包括基本概念、公式、定理等.例如，數學中的概念必須要弄清楚它的意義，在應用中加深理解.每個章節內容復習前，先讓學生自己去整理有關知識點，對于容易混淆的概念，要引導學生運用對比的方法，弄清它們的區別和聯系.中考數學試卷歷來注重對基本概念的考查，而學生往往不重視基本概念，這一點必須引起足夠的重視.
例1 (北京市中考題)若兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為6cm，則這兩圓的位置關系是( )
A.內切 B.相交 C.外切 D.外離
簡析 本例主要考查兩圓位置關系及其判定方法，屬于基礎內容.
數學概念的掌握直接影響到數學公式、法則、定理的應用.復習中，教師應當引導學生在復習好概念的基礎上掌握數學規律.對于數學中的定理、公式和重要結論，應當引導學生搞清楚它們的來源，分清它們的條件和結論，弄清抽象、概括或證明的過程，了解它們的用途和適用范圍，以及應用時必須注意的問題.
例2 (山西省中考題)有一圓心角為120°、半徑長為6cm的扇形，若將扇形圍成一圓錐側面，那么圓錐的高是( )
A.42cm B.35cm C.26cm D.23cm
簡析 本例只要搞清楚圓錐與其展開圖的對應關系，利用勾股定理即可解決.注意：圓錐的母線是其側面展開圖的半徑、底面周長是其展開圖扇形的弧長.
1.2 重視基本方法，體會數學思想
中考數學命題除了考查基礎知識以外，還十分重視數學方法的考查.常用的數學方法有：配方法、換元法；分析法、綜合法；面積法、構造法；待定系數法、消元降次法、判別式法等等.例如，明確了函數兩個變量之間的關系，要求寫出函數的解析式，一般用待定系數法.在復習時，對每一種數學方法的本質，它所適用的題型，包括解題步驟都應該熟練掌握.
例3 (南通市中考題)已知點A(-2，-c)向右平移8個單位得到點A′，A與A′兩點均在拋物線y=ax2+bx+c上，且這條拋物線與y軸的交點的縱坐標為-6，求這條拋物線的頂點坐標.
簡析 本例解答時主要應用待定系數法和配方法.首先由題意容易得出c=-6，知道A(-2， 6)，于是A′(6， 6)，用待定系數法列出關于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值，再用配方法或拋物線的頂點坐標公式求出結果.
其次應重視對數學思想的理解和運用.在初中數學中，常見的數學思想有：轉化(劃歸)思想、方程思想、函數思想、整體思想、分類討論思想、數形結合思想等等.數學思想方法是數學的靈魂，它揭示了數學概念、原理、規律的本質，是溝通基礎知識與數學多種能力的橋梁.在復習中不斷滲透數學思想方法，有助于增強分析問題的能力，從而使思維品質和能力得到提高.
2 注重專題復習，構建知識網絡(第二階段)
第一輪按照知識體系進行的復習通常稱為橫向復習，它可以使所學的知識具有系統化、條理化.第二輪按照知識體系構建知識模塊進行的復習稱為縱向復習，主要著眼于解題的思路、規律及技巧方面總結解題經驗.通過橫向復習和縱向復習，再經過數學思想方法的“梳理”，將知識點、知識塊編織成網絡.
2.1 尋求“通性通法”，積累解題經驗
在初中數學中，將某些具有共同屬性、聯系密切的重點內容組成知識塊就形成了數學專題.專題復習一般分為： ⑴情景應用型問題；⑵開放探索型問題；⑶閱讀理解型問題；⑷圖表信息型問題；⑸操作設計型問題；⑹數學思想方法應用問題等等.與上述專題相對應的 “探索性試題”、“閱讀理解題”、“方案設計題”、“動手操作題”等成為近幾年中考的熱點題型，這些試題大部分來源于課本，有的對知識性要求不高，但題型新穎，背景復雜，文字冗長，不易梳理，所以應重視這方面的學習和訓練，以便熟悉、適應這類題型.如圖象信息題是通過圖象(圖表)來獲取信息，從而達到解題目的的題型.解圖象信息題的關鍵是“識圖”和“用圖”，首先讓學生仔細觀察圖表獲取有效信息，其次對已獲取的信息進行加工整理，理清變量之間的關系，最后選擇適當的數學工具，通過建立數學模型解決問題.
例4 (徐州市中考題)為緩解油價上漲給出租車行業帶來的成本壓力，某市自2007年11月17日起，調整出租車運價，調整方案見下列表格及圖像(其中a，b，c為常數)
行駛路程收費標準調價前調價后不超過3km的部分起步價6元起步價a 元超過3km不超出6km的部分超出6km的部分每公里 2.1元每公里b元每公里c元 圖1設行駛路程xkm時，調價前的運價y1(元)，調價后的運價為y2(元).如圖1. 折線ABCD表示y2與x之間的函數關系式，線段EF表示當0≤x≤3時，y1與x的函數關系式，根據圖表信息，完成下列各題：
①填空：a=，b=，c=.
②寫出當x>3時，y1與x的關系，并在圖1中畫出該函數的圖象.
③函數y1與y2的圖象是否存在交點?若存在，求出交點的坐標，并說明該點的實際意義，若不存在請說明理由.
簡析 通過理解表格與圖像的對應關系，①容易知道a=7，由于C點的坐標為(6，11.2)，于是b=11.2-76-3=1.4； 而D的坐標為(7，13.3)，因此c=13.3-11.23-2=2.1； ②y1與x的關系式y1=6+2.1(x-3)，即y1=2.1x-0.3，圖象易作，略；③通過作圖或解方程組，可以求得交點坐標為(317，9)，其意義為：當x=317時，調價前后運價不變；當x317時方案調價后運價低.
點評 本例是典型的圖表信息題. 理解題意至關重要，要注意行駛路程超過3km或6km時，費用應該分段計算.
在進行專題復習時，教師應該在剖析典型例題上下功夫，使學生能夠掌握這些專題的一般解法，即掌握“通性通法”；比如講操作設計型問題中的翻折問題，對于學生來說一直是個難點，但解決這一問題的關鍵就是折疊后找到邊與邊、角與角之間的等量關系，從而找出或構造直角三角形，利用邊角關系或勾股定理解決.
圖2例5 (吉林省中考題)如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，∠BPE=30°.
(1)求BE、QF的長；
(2)求四邊形PEFH的面積.
簡析 (1)設BE=x，則EC=PE=6-x.又在RtPBE中，∠BPE=30°，PB=3x，PE=2BE，求出x=2，即BE=2，或由勾股定理得到x2+(3x)2=(6-x)2，求出BE；求QF時，在RtAPH中，AP=3，∠APH=60°，求得PH=23，再用CD=PQ求出HQ=3，再用邊角關系不難求出QF=1；也可以過F作FMBC，容易知道∠FEC=60°，先求EM即知BM，再求CM從而得到FD，即可得QF.
(2)四邊形PEFH的面積可以轉化為梯形FDCE的面積減去HQF的面積；也可以用梯形BEFA面積減去APH與PBE的面積.
對于專題復習的內容，要引導學生從不同角度思考問題，注重思維的廣闊性.努力尋求不同的解題途徑，積極探索一題多解、一題多變和一題多用.要特別重視“典型例習題”的引領作用，練習題的選擇要與例題“密切相關”，以提高練習的效能.通過對好的典型試卷縱向測驗練習，橫向組建題組的方法，加深對知識的理解和能力的培養，避免盲目的機械操練，真正提高復習的效率.類比與化歸是認識數學知識點之間聯系最主要的思維方法，而典型題組的分析、歸納和總結是建立這種聯系的有效途徑.
對于一些解題經驗和思維的方式方法要引導學生認真總結.如：通過復習可以把幾何中證明兩個角相等方法歸納如下：(1)計算兩個角的度數；(2)說明兩角是同角(等角)的余角或補角；(3)應用平行線的性質定理；(4)應用等邊對等角或三線合一定理；(5)構造全等(相似)三角形，證明三角形全等(相似)；(6)應用同圓或等圓中弧、弦、圓心角、弦心距關系定理.等等.
2.2 綜合運用知識，提升各種能力
初中數學基本能力有運算能力、思維能力、空間想像能力以及在生活實踐中的應用能力等等.中考對數學能力的考查，大致分為兩個方面：一是考查運算能力和邏輯思維能力及解決純數學問題的能力；二是強調閱讀能力、創新探索能力和數學應用能力.復習時要求學生加深理解已形成的知識網絡，做到觸類旁通.做題時應加強能力訓練，明確解題思路，提高綜合運用數學知識解題的能力，為解決綜合題提供“能力”支持.
2.3 突重點化難點，集中攻關“大題”
突出重點主要是指突出教材中的重點知識，突出不易理解或尚未理解深透的知識，突出數學思想與解題方法.多年來，初中數學的“方程”、“函數”、“直線型與圓”一直是中考的“核心內容”.對重點內容進行重點復習，在列出主要內容后，圍繞主要內容有針對性地選題、做題，收集主要題型和技巧解法.值得注意的是，教師在培養學生解題思考的能力時，還要講究設問藝術： ①多在思考的轉折點上設問；②在理解的疑難處設問； ③在規律的概括時設問； ④從舊知引入新知時設問； ⑤在有比較、有聯系時設問；⑥在學生練習時，發現帶有普遍性錯誤的問題設問.這樣，學生就會提高很快.
要想在中考中取得好成績，綜合題的解答最為關鍵，中考的區分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預設目標.綜合題是中考數學試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數學思想方法的運用以及要求考生具有一定的創新意識和創新能力等特點.目前的中考綜合題已經由單純的知識疊加型轉化為知識、方法和能力綜合型，尤其是創新能力型試題為主，因此綜合題的訓練要到位.這類題目信息量較大，所以理解題意很關鍵.平時在訓練中讓學生讀題后能復述，用自己的理解來搜集信息中的重要部分或把一些模糊的信息明了化，將題目分層以降低難點，讓學生聯想到相關的知識點，同組學生之間分析討論解題思路、提出注意事項，使學生在心里上消除對綜合題的恐懼，在合作的學習中集思廣益提高剖析綜合題的能力.
例6 (重慶市中考題)已知：如圖3，拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0，4)，與x軸交于點A、B，點A的坐標為(4，0).
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連結CQ.當CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
(3)若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為(2，0).問：是否存在這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
圖3 圖4簡析 (1)用待定系數法容易求解；
(2)一旦點Q固定，CQE位置就可確定.利用解決面積的一般方法，將CQE的面積轉化為BCQ的面積與BEQ的面積之差，因此可設點Q坐標為(m，0)，過點E作EGx軸于G點，如圖4所示.由拋物線解析式求得B(-2，0)，因QE∥AC，所以BQE∽BAC，于是EG∶CO=BQ∶BA ，EG=2m+43；所以SCQE=SCBQ-SEBQ=-13(m-1)2+3，從而易知：當m=1時，CQE的面積有最大值3；
(3)首先作出符合題意的草圖，若ODF為等腰三角形，有3種可能性：
①若DO=DF，由于D是AO的中點，故OFA為直角三角形，又容易知道∠OAC=45°，從而FDOA，點F的縱坐標為2，即點P的縱坐標為2，于是用拋物線解析式可求點P的坐標為：P(1+5，2)或P(1-5，2).
②若FO=FD，作FMx軸于點M，由等腰三角形三線合一定理得，OM=1，從而MA=MF=3，知道點F的縱坐標為3，仿①同樣可求P點的坐標為：P(1+3，3)或P(1-3，3).
③若OD=OF，因OA=OC=2，COA為等腰直角三角形，可求O到AC邊的距離為22，故OF =OD=2是不可能的.
點評 本例第(1)問著重考查基本的數學方法；第(2)問通過面積設計問題，考查一元二次方程、相似三角形的有關知識及化歸的數學思想；第(3)問屬于探索性問題，以尋求等腰三角形為情境，綜合考查了學生的作圖能力、觀察問題和分析問題能力、計算能力以及分類的思想方法，其中“COA為等腰直角三角形”作為隱性條件“藏”在題目中，對于解題十分重要，要求考生具有縝密的思維和較強的洞察力，是一道典型的中考壓軸題.
需要強調的是對不同層次的同學，攻關大題的要求是不一樣的，第一層次的同學力爭通過一段時間訓練后，能夠自主破解綜合題；第二層次的同學爭取從整體上把握解題思路，在前面的幾問上得到相應的分數；而第三層次的同學爭取解答一到二問即可.這也是體現課標“不同的人在數學上有不同的發展”的理念.
3 查漏補缺提高，模擬中考練兵(第三階段)
要取得好的成績，模擬訓練是必不可少的.但過多的訓練容易使學生產生疲勞，甚至產生厭學情緒，前兩輪復習檢測應以基本知識和專題訓練為主，而模擬訓練要仿照中考進行.平時基本功的訓練力求到位，過好審題關、計算關和表達關.建議每天進行“一刻鐘小題強化訓練”，主要是考查基礎知識的選擇題、填空題，并自我評估，做好“病例筆記”及時彌補知識上的漏洞和能力上的不足.做到“小題大做”只要自己會做的題目就不要做錯，確保成功率.對于綜合題要做到“大題小做”，做到會把大題分解成若干小題，步步為營，各個擊破，決不放棄.
3.1 認真參加聯考
認真參加每一次縣市區或學校組織的考試.考前要做好充分準備，考完之后要認真分析考試情況，及時制定下一階段的復習重點.通過聯考可以了解兄弟學校的學習情況，取長補短，正確評價復習成效.
3.2 主動查漏補缺
對于訓練中暴露出來的問題，認真分析，及時調整復習的深度、廣度.告誡學生要針對自己的“薄弱環節”進行有效的訓練，集中精力“攻關”，不要總是“被老師牽著鼻子走”，這樣才能事半功倍.對考得好的學生，要加以表揚，增強學生的自信心，“鼓勁”；對成績下降的學生，要鼓勵他們不要“松勁”，要發揚“咬定青山不放松”的精神，只要努力中考時會取得好成績.因此，每次用于模擬的試題不宜太難，難度應略低于或接近中考.特別在初三最后的幾次月考中，試卷盡可能“淺而活”，與生活結合，滲透所學的數學思想和數學方法，貫穿中考命題改革的思路.
3.3 注重錯誤分析
在總復習中，學生在解題時出現錯誤是不可避免的，錯誤從一個特定角度揭示了學生掌握知識的過程，教師針對錯誤進行系統分析是重要的，這樣可以發現復習中的不足，采取措施進行補救.學生的錯誤一般表現在以下幾方面：
(1)題意解讀能力差.一部分學生對公式、概念、命題或法則的理解浮于表面，具有套用公式的能力，但不了解知識的發生過程，不了解這些知識在解題中的作用，經常出現張冠李戴的現象.一旦出現篇幅較長的問題，便無從下手.
(2)運算能力比較差.有些學生會做題，但是計算部分常常拿不到分.一是本身對計算沒有引起足夠重視，二是解題粗心大意.
(3)學習行為習慣差.對于需要語言表達的內容往往一帶而過，缺少必要的推理論證過程；少做、漏做，書寫作圖不符合規范、不注意細節，導致不應有的失分，比如分式方程不檢驗、應用題不答；幾何作圖能力欠缺，以致于無法理解題意，證明部分需要的關鍵結論出現“思維鏈斷裂”，因而缺乏論證，等等.
(4)無法破解綜合題.懼怕綜合題，碰到綜合性的題目就不做，不能理清題設之間的相互聯系，即使是較為簡單的前兩問也不知道解答.
(5)答題技巧的缺失.對于一時解答有困難的題，不知道“放一放”，無故耽誤了不少時間；對于解答計算過程比較繁雜的題，要一步一檢驗，不要到最后再檢驗，否則一旦出現差錯，花的時間就多了；距離考試結束不到一刻鐘的時間，除非有把握做的題，一般應以檢查為主，想不起來的題最好不要再做了.
針對上述種種情況，在復習過程中，一方面讓學生糾錯，教師總結錯誤原因，使學生領略解決問題中的探索、調試過程，掌握必要的考試答題技巧；其次，要重視提問這一重要復習手段，對于學生錯誤的回答，進行針對性的講解，利用反面知識鞏固正面知識.最后，抓住典型加以評述.事實證明：練是實踐，批是反饋，評是升華，只講不評，練習往往走過場.怎樣提高講評的效果呢?(1)對解錯題目的評講，分析錯在哪里?為什么會錯?怎樣改變條件和問題，使錯誤的答案變成正確的答案.(2)對正確解題的評講，要分析解題要點是什么?還有沒有別的解法等.(3)對數學作業、練習卷的要求：第一步找到答案，第二步對答案進行檢驗，第三步是否有別的方法求解?精做細想，扎扎實實的提高解題基本功.
4 深入研讀考綱，導航中考復習
當前中考數學命題的指導思想是： “狠抓基礎，注重過程，滲透思想，突出能力，強調應用，著重創新”.中考數學命題努力體現課程標準，注重考查基礎知識和數學信息能力的獲取以及學生用數學的意識，特別是創新能力的考查，突出數學方法的理解和運用.
隨著課改的深入，《課程標準》會作一定幅度的調整，命題時也會有所體現.教師有必要對本地區當年的《中考數學考試說明》進行深入細致的研究，對其中的考試性質、形式及試卷的結構、考試內容及要求都要進行逐字逐句的分析，通過與以往的對比，從中發現中考數學命題凸顯的地方特色，具體到某個知識點難度的要求、壓軸題和綜合題的題型、分值多少等等.認真學習、理解中考命題的原則，從整體上把握中考命題的范圍和內容，對于把握中考復習是很重要的.
1. 有關圓錐曲線的選擇題、填空題仍將注重對圓錐曲線的定義、標準方程、焦點坐標、準線方程、離心率、漸近線等的考查，以容易題為主.
2. 作為解答題考查時，通常為一道解析幾何綜合題，重點考查直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線的軌跡方程，關于圓錐曲線的定值、最值問題，求圓錐曲線中參數的取值范圍問題等.
3. 熱點問題是用待定系數法求曲線方程、動點的軌跡及直線與圓錐曲線的位置關系等.
4. 特別提醒注意在知識交匯點命題，可能是一道以平面向量為載體的綜合題或以平面幾何圖形為背景，構建軌跡方程的探索性問題，著重考查數形結合、等價轉化、函數與方程等數學思想方法.
二、題型解析
1. 直線與圓錐曲線的公共點問題.
利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.
例1. 在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.
（1）求k的取值范圍；
（2）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量+與垂直？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.
分析：用代數方法即先聯立方程組，再消去x（或y），得到關于y（或x）的方程來解決.
解析：（1）由已知條件，直線l的方程為y=kx+，代入橢圓方程得+（kx+）2=1，整理得（+k2）x2+2kx+1=0……①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，
解得k， 即k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）.
（2）由題意知A（，0），B（0，1），則=（-，1）.
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2）.
由方程①，得x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-+2.
（+），
（x1+x2）·（-）+y1+y2=0，即 -·（-）-+2=0.
解得：k=-，由（1）知k2>，與此相矛盾，所以不存在常數k使+與.
點評：在討論直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯立方程組，再消去x（或y），得到關于y（或x）的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形.
2. 弦長與最值問題.
一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則弦長AB=·x2-x1==·y2-y1=.
例2. 已知拋物線y2=2px（p>0），過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.
（1）求a的取值范圍.
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值.
分析：（1）由題意知，只需聯列方程組，化為關于x的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式即可得出；（2）利用點到直線的距離公式求出NAB底邊AB上的高.
解析：（1）設直線l的方程為：y=x-a，代入拋物線方程得（x-a）2=2px，即x2-2（a+p）x+a2=0，
|AB|=·≤2p，4ap+2p2≤p2，即4ap≤-p2.
又p>0，a≤-.
（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中點 C（x，y），由（1）知，y1=x1-a，y2=x2-a，x1+x2=2a+2p，
則有x==a+p，y===p.
線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-（x-a-p），從而N點坐標為（a+2p，0） 點N到AB的距離為=p.
從而SNAB=···p=
2p.
當a有最大值-時，S有最大值為p2.
點評：凡弦長問題，都要注意一元二次方程根與系數的關系和弦長公式AB=·x2-x1=的應用.
3. 中點弦問題.
處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題時，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，常用代點相減法，即
設A（x1，y1）、B（x2，y2）為橢圓+=1（a>b>0）上不同的兩點，M（x0，y0）是AB的中點，則KABKOM=-；對于雙曲線-=1（a>0，b>0），類似可得：KAB·KOM=；對于y2=2px（p≠0）拋物線有KAB=.
例3. 已知雙曲線C：2x2-y2=2與點P（1，2）
（1）求過P（1，2）點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在.
分析：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.
解析：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得
（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0 （A）
（ⅰ）當2-k2=0，即k=±時，方程（A）有一個根，l與C有一個交點.
（ⅱ）當2-k2≠0，即k≠±時，Δ=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）.
①當Δ=0，即3-2k=0，k=時，方程（A）有一個實根，l與C有一個交點.
②當Δ>0，即k
③當Δ時，方程（A）無解，l與C無交點.
綜上知：當k=±，或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當
（2）假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則2x2
1-y2
1=2，2x2
2-y2
2=2兩式相減得：2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.
又x1+x2=2，y1+y2=2，2（x1-x2）=y1-y2 ，即kAB==2.
則直線AB的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.
聯立方程組2x2-y2=2，
2x-y-1=0，消y得2x2-4x+3=0.
=（-4）2-4·2·3=-8
點評：嚴格地講，求出的這個直線方程只是滿足了必要性，因為是我們假定以Q為中點的弦存在，因此還必須驗證充分性，即所求直線確實與雙曲線有兩個交點. 為此只要將直線方程與雙曲線方程聯立消y（或x），得Δ>0就可斷言充分性成立. 事實上，從（-4）2-4·2·3=-8
4. 最值問題.
對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值.
例4. 如圖，已知橢圓+y2=1（a>1），直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta）（t>0）交橢圓于M，直線MO交橢圓于N.
（1）用a，t表示AMN的面積S；
（2）若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值.
分析：由于M點和N點到x軸的距離相等，因此，要求AMN的面積，只須求出AOM的面積即可.
解析：（1）易得l的方程為y=（x+a），代入橢圓方程得（a2t2+4）y2-4aty=0，
yM=，S=2SAOM =2·|OA|·yM=.
（2）由（1）得S=≤=a. 當a2t=，即t=時等號成立.
當∈[1，2]時，即a∈[1，2]時，Smax=a.
當a>2時，設u=a2t+，即u′=a2-.
t∈[1，2]，u′>0，u在t∈[1，2]上單調遞增，
S在[1，2]上單調遞減，t=1時，Smax=.
綜上，Smax=a，（1≤a≤2）
.（a>2）
點評：在求最值問題時，不要簡單的運用基本不等式，要注意基本不等式必須滿足的條件，本題中一定要考慮是否屬于區間[1，2]，否則就會出錯.
5. 對稱問題.
利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質來求解或證明：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）關于直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）對稱，則有=且A·+B·+C=0.
例5. 在拋物線y2=2x-4上存在兩點關于直線l：y=m（x-4）對稱，求m的取值范圍.
分析：本題是典型的軸對稱求m的取值范圍的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減
得關于直線AB斜率的等式.
解析：（1）若m=0，則直線l為y=0，顯然拋物線上存在兩點關于直線l對稱.
（2）若m≠0，設A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線上關于l對稱的兩點，則x1≠x2，y1≠y2.
且KAB=-，y2
1=2x1-4，y2
2=2x2-4.
以上兩式相減，得y2
1-y2
2=2（x1-x2）.
即==-，
y1+y2=-2m.
由線段AB的中點P在直線l上，
=m（-4），
=3，即P（3，-m）.
點P（3，-m）在拋物線內部，
（-m）2
點評：本題利用點P（x0，y0）在拋物線“內部”建立不等式求取值范圍.含有焦點的區域為圓錐曲線的內部，那么易得點P（x0，y0）在橢圓+=1內部的充要條件是+
6. 軌跡問題.
根據已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征. 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關點法、參數法.
例6. 如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.
（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求EMF的重心G的軌跡.
分析：（1）由直線MF（或ME）方程與拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標，利用斜率公式來證明；（2）用M點的坐標將E、F點的坐標表示出來，進而表示出G點坐標，消去y0即得到G的軌跡方程（參數法）.
解析：（1）設M（y2
0，y0），直線ME的斜率為k（l>0）則直線MF的斜率為-k，方程為y-y0=k（x-y2
0）.
由y-y0=k（x-y2
0），
y2=x，消x得ky2-y+y0（1-ky0）=0，解得yF=，xF=.
kEF====-（定值），所以直線EF的斜率為定值.
（2）當∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1，直線ME的方程為y-y0=k（x-y2
0）由y-y0=x-y2
0，
y2=x， 得E（（1-y0）2，1-y0）.
同理可得F（（1+y0）2，-（1+y0））.
設重心G（x， y），則有：
x=
==，
x=
=
=-
，消去參數y0得y2=x-（x>）.
所以，重心G的軌跡是焦點為F（，0），頂點為A（，0）的拋物線，但要除去頂點為A（，0）.
點評：（1）要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應對方程注明x的取值范圍，或同時注明x，y的取值范圍.
（2）“軌跡”與“軌跡方程”既有區別又有聯系，求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性.
7. 過定點問題.
例7. 已知橢圓+=1（a>b>0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，且OAOB（O為坐標原點）.
（1）試問該橢圓是否過定點？
（2）若橢圓長軸長的取值范圍是[，]，求橢圓離心率e的取值范圍.
分析：（1）由題意OAOB知，只需聯列方程組，化為關于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系即可得出；（2）注意公式b2=a2-c2和e=的應用是關鍵.
解析：（1）將x-y-1=0代入橢圓方程整理得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.
設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，而y1y2=（1-x1）（1-x2），
y1y2=. 又OAOB，x1x2+y1y2=0.
+=0， +=1. ①
該橢圓過定點（±，±）.
（2）將b2=a2-c2代入①得2-e2=2a2（1-e2）， 2a2= ，而2a∈[，]，
≤≤3. 即≤e2≤時.而0
點評：一般地，遇到有關線段垂直問題，首先應考慮聯列方程組，化為關于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系來解題.
8. 應用性問題.
例8. 艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發現動物信號，4秒后B、C同時發現這種信號，A發射麻醉炮彈.設艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？
分析：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解析：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為（3，0）、（-3，0）、（-5，2）.
由于B、C同時發現動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x-3y+7=0.
又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知
|PB|-|PA|=4，故知P在雙曲線-=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為（8，5），此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據已知兩點的斜率公式，得kPA=，所以直線PA的傾斜角為60°，于是艦A發射炮彈的方位角應是北偏東30°.
設發射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則=，
sin2θ==，仰角θ=30°.
點評：以實際應用為背景，利用圓錐曲線的有關知識為手段，解決實際問題的應用問題和以圓錐曲線為載體，構建與其它數學分支相結合的問題，在高考中比較常見的.
9. 是否存在性問題.
例9. 已知橢圓C1：+=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p>0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
（Ⅰ）當ABx軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由.
分析：對于存在性問題的討論，思維一定要嚴謹，一般是從假設存在入手，通過邏輯推理得出正確結論.
解析：（Ⅰ）當ABx軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）. 因為點A在拋物線上，所以=2p，即p=.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
（II）假設存在m、p的值使C2的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為y=k（x-1）.
由y=k（x-1），
+
=1，消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0……①
設A、B的坐標分別為（x1，y1）， （x2，y2），
則x1，x2是方程①的兩根，x1+x2=.
由（y-m）2=2px，
y=k（x-1），消去y得（kx-k-m）2=2px……②
因為C2的焦點F′（，m）在直線y=k（x-1）上，
所以m=k（-1），即m+k=.代入②有（kx-）2=2px.
即k2x2-p（k2+2）x+=0 …………③
由于x1，x2也是方程③的兩根，所以x1+x2=.
從而=，解得p= ……………④
又AB過C1、C2的焦點，所以AB=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-x2），則p=4-（x1+x2）=4- =………………⑤
由④⑤式，得=，即k4-5k2-6=0.
解得k2=6.于是k=±，p=.
因為C2的焦點F′（，m）在直線y=±（x-1）上，所以m=±（-1）.
m=或m=-.
由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.
三、備考策略
1. 注重掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質，要善于多角度、多層次思考問題，不斷鞏固和強化“三基”.
2. 突出主體內容，緊緊圍繞兩個方面來復習，即根據已知條件求曲線的方程和通過方程研究圓錐曲線的性質.其中求曲線的方程是重點，所以要熟練掌握求曲線方程的一般方法.
3. 關注“熱點”問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題一直是高考命題的熱點，這類問題常涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，分析問題時要注意數形結合思想和設而不求的思想以及弦長公式、一元二次方程根的判別式和根與系數的關系的熟練應用.
4. 重視對數學思想方法（特別是函數方程思想、數形結合思想以及坐標法）的歸納總結，實現優化解題思維，簡化解題過程.
5. 著力抓好“運算關”.解析幾何問題的解題思路容易分析出來，但往往由于運算不過關而半途而廢.因此，在復習中要注意尋求合理的運算方案，以及簡化運算的基本途徑與方法.
有效的教學，不僅僅是學生的分數考得好，還應該包括學生的能力、思維、情感等多個核心素養的有效提高.有效教學是對課堂教學實際效果的綜合性評價.那么，如何提高高中數學課堂教學的有效性呢？
一、以合作學習模式為改課的突破口
隨著新課程改革的推進，越來越多的教師意識到有效的教學需要改變授課模式，摒棄傳統的“灌輸式教學模式”.結合南通市的“限時講授、合作學習、踴躍展示”的教育方針，筆者認為合作學習模式有助于課堂教學走向有效.
1.科學分組，保證合作學習的組織性.學習的組織性強弱直接關系到學生合作學習的效率.要想利用合作學習模式提高高中數學課堂效率，就要合理分配學生小組.教師應該遵循一個原則，小組之間的差距盡量縮小，而小組內部的成員盡量互補，即教師按照學生的學習成績、學習環境、個人性格、個人能力等特征給學生分好大組，再依次配到各個小組中，保證合作學習環節的高效開展.
2.科學引導，明確合作學習的方向性.雖然組建了學習小組，但是如果沒有教師的主導，學生的合作學習就容易出現探究方向的錯誤.在高中數學課堂教學中，教師應該以學生的發展為主，從學生的角度出發，為學生考慮，從而為學生的合作學習提供有效的條件.這里的條件包括教師所創設的特定的情境和相關的材料.只有教師為學生的合作學習提供充分的條件，才能讓每一個學生都真正參與到活動中，主動學習、思考與探究，有自己的思維方式，運用自己獨特的方法去解決問題.這樣，既能提高學生的自主學習能力，培養學生的創新思維，還能提高學生的合作能力.例如，有一次聽課學習中，筆者記錄了如下教學片段，學生的活動是有效的.教師首先給學生展示了某個工廠車間的圖片，然后通過圖形一步步展示出問題，如果從今年起某工廠的年產值每年都比上一年增長百分之八，那么大約經過多少年可以使年產值翻一番？在解決這道題目之前，教師對學生進行相關方面的解說.比如，提供一些車間生產的圖片，為學生講解概率的定義、性質等基本知識.引導學生以學習小組為單位進行問題的思考.接下來教師對每一年的具體情況通過畫圖展示.通過形象的圖形，可以清晰地展現每一年增長的百分比.這樣，教師通過多媒體技術對教學內容提供了相應的材料，使學生合作學習的方向始終能跟上教師的步伐，并在趣味的情境中主動思考問題，培養了學生的自主學習能力，提高了學生解決問題的能力.
二、借助于生活化情境的設計，激發學生的探
究欲望
在高中數學教學中，有些學生上課容易開小差，注意力不集中，很大程度上是因為他們對數學知識不感興趣，沒有一探究竟的欲望.這就需要教師在學習情境的創設上下工夫，設置生活化的、真實的情境，有效帶動學生的思維，激活學生的探究欲望.例如，在講“拋物線”時，教師可以創設一個學生熟悉的投籃問題情境：小明身高1.8m，籃球框高3.2m，小明在距籃球架7m的地方朝上45°角將籃球以拋物線拋出.小明能順利把籃球投進籃球框嗎？設計意圖：“生活即教育”.“籃球投籃”是一個與學生的生活息息相關，尤其是男生熱衷的活動項目，而且學生在這項活動中都希望自己能夠盡可能地投籃得分.利用投籃創設教學情境，能夠吸引學生的注意力，使學生覺得不是在解決數學題，而是在進行投籃得分的研究，有效激活了學生的求知欲.看到學生渴望探索出問題的答案的眼神，這節課的教學效果可想而知.
三、注重引導學生關注知識的關聯性
數學知識學習具有系統性.有效的學習，肯定不是引導學生記住和應用單一的知識點，而是盡可能地引導學生進行聯想與反思，幫助學生構建完整的知識網絡.無論是新授課還是復習課，教師都應該注重知識關聯性的滲透，促進學生思維發散和有效聯結.例如，在講“直線之間的關系”時，直線共有三種關系：相交、平行、異面，相交和平行是學生已經知道的舊知識，而異面則是學生沒有學過的新知識.教師可以舉幾個直線之間相交和平行的例子，讓學生進行分析，將學生引入情境中.然后舉一個直線異面的例子，讓學生產生疑問，再導入本次課堂所要講的新知識，直線之間的異面關系.通過創設一個知識間相關聯的情境，幫助學生在情境中對之前的知識進行復習，使學生在接下來學習異面的知識時主動c直線之間的相交與平行關系進行比較.
總之，在高中數學課堂教學中，教師要更新教學觀念，優化教學方式，從而提高教學的有效性.
關鍵詞：線上授課；課件；師生；互動
線上授課是指利用互聯網技術和設備，依托直播教學平臺開展教學活動，是將互聯網技術與傳統教學緊密結合的教學模式，是新時代教學改革的重要路徑之一［1］。線上教育將傳統教學從教室的定點定時轉變為隨時隨地可進行的移動式學習，具有可碎片化、不受時間空間限制、學習場景移動化、自主性等優勢，有助于大量優質教育資源的共享推廣，以實現教育公平。傳統課堂教學模式經過多次變革和完善，它最大的優勢是便于師生的情感交流。線上與線下兩種教學模式各有優缺點，線上課程應當是線下課程的補充，是未來的發展方向。盡管線上課程在公考、律考、考研等方面得到了廣泛應用，涌現出很多網紅教師，但是在全日制教學中開展的時間很短，應用面也不廣，教師的參與度相對較低，導致線上教育面臨不少困難。因此，以《解析幾何》中的“直線與二次曲線的位置關系”為例，探討線上授課［2］。
1要有充分的準備工作
線上授課可使用的平臺多種多樣，經過對比及結合實際情況，選擇了釘釘教學平臺。課前，在釘釘平臺上建立學習群，為了督促學生，每個班都設有考勤員，負責每節課的考勤工作。針對學生基礎較差的情況，在每節課授課前，在釘釘群預習要求。學生通過預習帶著問題聽課，更容易集中精神參與課堂學習，加深對知識的理解。同時，學生可以自主學習，自己支配學習的節奏、內容，給自己的思維留下一定的時間和空間，強化學習效果。本課預習要求：（1）如何記住課本187和188頁的記號；（2）復習中學學過直線和二次曲線的方程和圖像；（3）預習直線與二次曲線的位置關系。
2用好課件是關鍵
與傳統課堂相比，線上課程最大的不同在于：首先，課件的制作要更加細致。能不能上好網課，課件非常關鍵，網課不同于教室面授，要多方考慮學生的因素。因為在教室上課，學生的反應可通過觀察他們的表情得知，隨時做出調整。但線上授課時無法看到學生的表情，因此備課時要針對教材內容，充分考慮學生的知識水平、理解能力和接受能力，哪些知識學生能理解、接受，哪些知識需要補充，為方便理解應該如何設計課件。此外，備課時也要多設置一些合適的問題，通過這些問題及時了解學生對內容的理解情況。PPT要盡可能精練、完善、簡潔大方，以簡單的色彩和圖案為模板制作課件，用不同顏色標識出一些重要的知識點，保留在顯眼的位置［3］。其次，教具的準備要更加充分，課境的布置要更加合理，課件+黑板的組合被各種現代化設備所取代，如課件、“手寫板+白板”，且要求能在各種工具之間無縫切換。例如，在教授“直線與二次曲線的相關位置”時，在學習新課前，先引導學生復習相關符號。如：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（1）F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)、Ф(x，y)以及F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)的關系式，復習后把它們留在同一頁面，為接下來的推導做好鋪墊。推導過程切換到白板進行，把直線的參數方程x=x0+Xt，y=y0+Yt代入二次曲線方程（1），通過白板一邊分析，一邊演算推導過程，最后得到方程式Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）。此方程在后續學習中會經常出現，用不同的顏色在PPT上顯示出現，并要求學生牢記。然后，切換回PPT，討論方程（4）的根，把方程換成學生非常熟悉的二次方程At2+Bt+C=0，顯示在方程（4）下對應的位置上，利用二次方程根與系數的關系，一步一步引導學生推出結論。用不同的顏色、不同的字體標識這些結論，特別是重點字眼用不同顏色的字體標出來，而且設定不同的顯示方式。這樣方便必要時把它顯示出來，講清楚后再隱藏起來。在講完直線與二次曲線的相關位置的基本知識點后，為了讓學生真正掌握知識，并能靈活地運用知識，將理論知識與實際問題相結合，設計了讓PPT切換到幾何畫板。在幾何畫板中，教師事先設定了x軸上的一些點如A、B、T，用這些點的縱坐標表示參數a、b、t的大小，學生通過拖動這些點就可以改變參數的值。學生只需要在“度量/計算”功能中輸入參數方程，分別計算出x，y的值，再利用“圖表/繪制點（x，y）”繪出對應的點，最后利用“構造/軌跡”功能就可以繪出方程的圖象，或者直接在“圖表/繪制新函數”功能中輸入參數方程或函數表達式，幾何畫板即可繪出相應方程或函數的圖象。在學生掌握幾何畫板的基本應用功能后，將幾何畫板文件發送給學生，要求學生嘗試將“直線與二次曲線”的六種位置關系（交于“兩不同實點”“兩重合實點”“兩共軛虛點”“唯一實交點”“無交點”“直線在二次曲線上，成為二次曲線的組成部分”）通過圖象顯示出來。在學生嘗試的過程中，教師適當地提示，激勵他們，看看能在規定時間內作出幾種位置關系。例如，常見的二次曲線有哪些？橢圓與直線的位置關系有幾種？拋物線與直線的位置關系又有幾種？除了常見的橢圓、雙曲線、拋物線，還有什么樣的二次曲線？到規定時間后，讓學生提出自己找到的幾種位置關系，可通過文字或圖片上傳。教師對學生的奇思妙想要及時給予表揚和鼓勵，以激發學生的學習熱情。通過讓學生自己思考、分析，親自動手操作、實踐，學生對自己得出的結果會更有成就感，感受到理論聯系實際的樂趣。通過上述學生動手操作，會發現學生很容易作出“交于兩不同的實點”和“交于唯一的實點”，但部分學生不知如何區分“無交點”和“交于兩共軛虛點”，也容易混淆“交于唯一實點”和“交于兩重合實點”。而能想到“直線在二次曲線上”的學生不多，中學時期沒有提過這種位置關系，大部分學生對“二次曲線”的思維往往只停留在“圓、橢圓、雙曲線和拋物線”上。此時，學生迫切想知道這幾種關系的根本區別，急切地想找到答案。這時，教師再切換回PPT，通過例題解決這個問題。例1：下列直線與二次曲線y2=2x的位置關系分別是什么？X=1、y=2、x=0、x=-2。提出兩個問題：“它們的位置關系是（）；你是通過哪種方法得出結果的？”選項有：G直覺、H畫出圖像、M聯立方程組解方程組、N選H和M。事先用字母ABCDEF分別代替六種不同的位置關系，學生用字母回答即可，這樣很快就能收到反饋信息。教師收到反饋信息后，切換到幾何畫板，作出直線與二次曲線的圖像，讓他們觀察圖像并再次確定位置關系。有不少學生會認為，直線x=0也是與拋物線交于唯一實點，直線x=-2與拋物線沒有交點。然后，切換到PPT，引導他們從方程組中判斷，判斷結果是否正確。通過聯立方程組，很快會發現直觀感受到的與實際有較大的差異，從而得出圖形判斷并不可靠的結論，讓學生明白需要通過解方程組來判斷它們之間的關系。例2：直線與二次曲線y2=4的位置關系分別是什么？y=2、y=3。學習例1，學生自然會用解方程組去解答例2，得出關系之后，切換到手寫板畫出圖象（因這圖象很簡單）。通過圖象，學生理解了“無交點”就是“平行”，與“交于兩共軛虛點”有本質區別；“交于兩重合實點”就是“相切”，這就能真正與“交于唯一實點”區別開來；而對中學很少見到的“直線在二次曲線上”，通過這個例題使學生深刻地理解容易混淆的知識，從而達到真正掌握直線與二次曲線位置關系的目的。為了鞏固知識，設計了以下課堂練習。
3重視師生互動
課堂上，要努力做到講解清晰、有條理、準確、生動、層次分明、言簡意賅、深入淺出。網絡授課速度要慢，特別是對數學基礎較差的學生。因此，上網課時，一定要一步步引導學生理解透徹。在直播課上，教師盡量用幽默風趣、富有感染力和號召力的語言吸引學生。教師盡量營造輕松和諧的課堂氛圍，讓學生能在課堂上暢所欲言，及時表達出自己的各種想法和見解。這樣歡快活潑的課堂氣氛可以增強教學內容的趣味性，緩解學生的學習疲勞，同時情緒高漲的學生也反過來激勵著教師，使“教”與“學”達到最佳狀態，從而提高課堂效率。此外，由于直播課教師無法兼顧到每個學生，無法了解到每個學生的聽課狀態，所以為了能夠及時地收到課堂的效果反饋，較好地進行課堂管理，教師要時刻關注學生的學習狀態，增強師生在課堂上的互動，隨機提問學生與課程相關的內容，以了解學生聽課情況。特別關注提問在上課過程中“潛水”的學生，以防止出現學生“掛網”現象。例如，在推導直線與二次曲線的關系，在得出方程Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）后，可提問：“方程中的變量是什么？”“t”；“它是一次方程還是二次方程？”“與Ф有關”；“當Ф不等于零時，方程是一次還是二次方程？”“二次”；“它的根與什么有關？”“與系數有關”；“根與系數的關系是怎么樣的？”“與Δ有關”；“當Δ大于零時，根與系數的關系是什么？”“而當Δ=0時，情況又如何？”“當Δ<0呢？”“當Ф等于0時，方程又是什么方程？這時，它的根與什么有關？”通過一問一答，學生能夠輕松自然地推導出結果。這樣在學生原有知識的基礎上不斷進步，讓學生通過跳一跳摘果子，不斷體驗到成功的喜悅，讓他們從內心產生“我能行”的想法，充分激發學生參與課堂學習的熱情。教師可以結合直播平臺提供的學習打卡、學習時長、課堂提問、課堂作業數據，監督和管理學生的學習狀況，督促學生主動學習，保障課堂教學質量，確保學生的學習進度。同時，學生在上課過程中也可以隨時可通過屏幕提問和發表見解，教師也要及時關注學生的反饋情況。在練習中，利用“限時答題”的功能，讓學生答完題并拍照上傳解題過程，教師可及時收到反饋，講評學生的解答過程。在備課過程中精心設計小而精的并與授課內容密切相關的問題，設計出不同的答題選項，學生通過回答“A”“B”“C”“D”或“是”“否”等，提高學生的參與度，正確的回答使學生獲得成功的體驗，產生愉悅感，上課時不易分神，提高注意力，更積極地參與課堂學習。課后，教師及時將課件發在釘釘群上，方便學生隨時查閱。此外，學生也可以通過釘釘軟件中的視頻回放功能進行查漏補缺。
4作業要及時評講
作業的布置盡量體現出針對性和層次性。作業不宜太難，學生在多次嘗試都失敗，就會失去信心，逐漸失去學習的興趣；相反，成功的體驗會激發學生的學習興趣。學生做好作業后，在規定時間內拍照上傳。釘釘軟件中有“作業”功能，教師能一目了然地知道已提交和未提交作業的學生名單，對未提交的同學，教師還可以“ding”一下，提醒他及時完成作業并提交。此外，教師要及時批改作業，利用軟件中圈畫批改功能鼓勵學生，對做得好的作業批上“好”“優秀”“真棒”等，對出現錯誤的作業，把錯誤的地方圈出來加以改正。作業批改后在釘釘群，全班學生都可以看到。這不僅能讓學生及時認識到自己作業的錯誤，同時優秀的作業也起到榜樣作用，引起學生相互比較、相互模仿、相互學習，達到激勵全班學生的目的。這樣一來，調動了學生做作業的積極性，學生為了做出“優秀”作業，課堂上會更認真、更投入，形成良性循環。每一次改完作業后，教師認真分析并記錄學生的作業情況，分類總結作業中的問題，挑出具有代表性的問題，在下次上課前進行評講，讓學生能及時糾正錯誤，使其達到真正掌握知識的目的，同時教師針對有關情況及時改進教學，做到有的放矢。
5結束語
“線上+線下”的教學方式是未來教育教學工作的發展趨勢。事實證明，線上授課不僅對實現線上線下教學質量雙提升、推動教育教學工作發展有著重要的作用，而且還能實現因材施教的目標。針對學生在知識水平、理解能力、運用能力等方面的差異，可以利用網絡教學的優勢，通過使用富有變化、不斷更新的教學手段，設計富有節奏的課堂教學內容，設置不同的情景、演示不同的事例、提出不同的問題、進行不同的啟發、提供不同的方法、提出不同的要求等，使不同層次的學生都可以得到提高，進而提升全體學生的素質。
參考文獻：
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［2］蔡弘,趙斌斌,范海洲,等.網課實踐對新時代高校混合式教學改革的啟示［J］.科技風,2021(7):37-38,118.
熱點一：數列的基本問題
有關數列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數列的基本知識、基本公式、基本性質命題，難度不大，考生應注意基本方法的訓練，靈活運用相關性質解題.
例1若等差數列{an}滿足a2+S3=4，a3+S5=12，則a4+S7的值是.
分析：由本題的結構特點，容易聯想到等差數列的一個性質：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，以此性質遞推，不難得到答案.
解：在等差數列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以a1+a3=2a2.又由a2+S3=4，可得4a2=4，所以a2=1.
同理，由a3+S5=12，可得a3=2，則a4=3.
又S7=7a4，則a4+S7=8a4=24.
說明：本題結構形式簡潔，且較好地考查了等差數列的相關性質.這種命題方式恰好是高考命題者設計數列知識點考題的一種風格，即挖掘數列知識的內在性質，簡化數列試題的外在形式.解題的基本功在于對等差、等比數列性質的準確理解和靈活運用.
例2已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=.
分析：本題是已知數列{an}的前n項和Sn與an的遞推關系式，求an的通項公式的一種常見題型，求解時，注意由n≥2時，an=Sn-Sn-1求得通項公式之后，還要討論n=1時，a1=S1的情形是否滿足通項公式.
解：由Sn=2an+1可知，當n=1時得a2=12S1=12，當n≥2時，有Sn=2an+1①Sn-1=2an②
①-②可得an=2an+1-2an，即an+1=32an，
故該數列是從第二項起以12為首項，以32為公比的等比數列，故數列通項公式為
an=1（n=1）12（32）n-2（n≥2），
故當n≥2時，Sn=1+12（1-（32）n-1）1-32=（32）n-1，
當n=1時，S1=1=（32）1-1，故Sn=（32）n-1.
說明：本試題主要考查了數列中由遞推公式求通項公式和數列求和的綜合運用.已知數列{an}的前n項和Sn與an的遞推關系式，求an的通項公式或研究數列{an}的性質，以此設置命題意在考查考生對Sn與an的內在聯系的認識，即Sn=Sn-1+an（n≥2，n∈N*）.
熱點二：數列的遞推與求和問題
研究數列的遞推公式，從而研究數列的其他性質和求和問題，遞推公式簡單時往往較容易.但有些不易求出通項公式的題目，難度較大，其求解的關鍵是：讀懂題意，搞清數列遞推關系式提供的各方面信息，然后再根據所給的問題采用相應的方法去解決.
例3已知數列{an}的前n項和為Sn，常數λ>0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數n都成立.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設a1>0，λ=100，當n為何值時，數列{lg1an}的前n項和最大？
解：（1）取n=1，得λa21=2S1=2a1，a1（λa1-2）=0，
若a1=0，則S1=0，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=0，所以an=0，
若a1≠0，則a1=2λ，當n≥2時2an=2λ+Sn，2an-1=2λ+Sn-1，
上述兩個式子相減得：an=2an-1，所以數列{an}是等比數列.
綜上，若a1=0，則an=0.
若a1≠0則an=2nλ.
（2）當a1>0，且λ=100時，令bn=lg1an，所以，bn=2-nlg2，
所以，{bn}單調遞減的等差數列（公差為-lg2）
則b1>b2>b3>…>b6=lg10026=lg10064>lg1=0
當n≥7時，bn≤b7=lg10027=lg100128
故數列{lg1an}的前6項的和最大.
說明：本題主要從三個層面對考生進行了考查.知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識和數列遞推關系式的問題；能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；數學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想.
熱點三：數列的綜合性問題
與函數、不等式、解析幾何結合的數列綜合題，對思維能力有較高要求，考查了分析問題和解決問題的能力，體現以能力立意的命題原則，是近來年高考的熱點問題，屬于中高檔難度的題目或壓軸題，解決這類問題常常要綜合利用各種數學思想與方法，特別是函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想及其配方法、換元法、待定系數法等基本數學思想方法，這樣才能準確解答這種問題.
例4已知a為正實數，n為自然數，拋物線y=-x2+an2與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距.
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求對所有n都有f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的a的最小值；
（3）當0
解：（1）由已知得，交點A的坐標為（an2，0），對y=-x2+12an求導得y′=-2x，
則拋物線在點A處的切線方程為：y=-2an（x-an2），即y=-2anx+an.則f（n）=an
（2）由（1）知f（n）=an，則f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的充要條件是an≥2n+1，
即知，an≥2n+1對于所有的n成立，
特別地，當n=1時，得到a≥3，
當a=3，n≥1時，an=3n=（1+2）n≥2n+1，
當n=0時，an=2n+1.
故a=3時f（n）-1f（n）+1≥nn+1對所有自然數n均成立.
所以，滿足條件的a的最小值為3.
（3）由（1）知f（k）=ak
下面證明：1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）>6?f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
首先證明0
設函數g（x）=6x（x2-x）+1，0
當0
故g（x）在區間（0，1）上的最小值g（x）min=g（23）=19>0
所以，當06x
由06ak，從而
1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）
=1a-a2+1a2-a4+…+1an-a2n
>6（a+a2+…+an）=6×a-an+11-a
=6×f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
說明：本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力.主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力，且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法.
熱點四：數列的創新問題
數列中的創新問題是近年高考試卷中出現的一個亮點.這類問題要求考生在短時間內讀懂并理解一個陌生的數列問題情境，對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，然后綜合、靈活地應用所學的數學知識、思想方法，緊扣獲取的相關信息進行獨立的思考、加工、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題.
例5定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{an}，{f（an）}仍是等比數列，則稱f（x）為“保等比數列函數”.現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的f（x）的序號為 .
解：設數列{an}的公比為q.對于①，f（an+1）f（an）=a2n+1a2n=q2，是常數，故①符合條件；對于②，f（an+1）f（an）=2an+12an=2an+1-an，不是常數，故②不符合條件；對于③，f（an+1）f（an）=|an+1||an|=|an+1an|=|q|，是常數，故③符合條件；對于④，f（an+1）f（an）=ln|an+1|ln|an|，不是常數，故④不符合條件.
由“保等比數列函數”的定義知應選①③.
說明：本題考查等比數列的新應用，函數的概念.對于創新性問題，首先要讀懂題意，然后再去利用定義求解，抓住實質是關鍵.
關鍵詞：初中數學；數學復習；優化方法；提高效率
隨著新課程改革的不斷推進，中考數學試題的新穎性、靈活性越來越強。如何有效組織復習教學，提高復習效益，是我們每位數學教師亟待面對的問題。復習，就其基本含義而言，是指為了恢復或強化頭腦里已形成的暫時神經聯系，對已學過的知識進行重新學習。復習課存在的兩大誤區：一是復習的內容是“老調重彈”，把復習課看成了補課，二是復習的方法是“題海戰術”，把復習課上成了習題課。在復習教學中長期這樣做會使學生對數學學習越來越感到枯燥無味。那么，如何復習才能提高效率呢？
一、仔細研究教學大綱，把握教材重難點
由于初三復習時間短，知識面積廣，要做到面面俱到是不可能的。因此，作為任教初三的數學教師，很有必要再次研讀教學大綱，把握考試重點，難點。針對學生的實際情況，制定一個切實可行的復習計劃，統籌安排復習時間與復習內容，有計劃，有步驟地進行復習，做到有的放矢，切忌隨意性和盲目性，這樣才能使復習課收到良好的效果。
二、注重考法研究，把握中考動向
（一）了解中考命題的考查范圍。
現在中考命題仍然以基礎知識題為主，有些基礎題是課本上的原題或改造后的題，后面的大題雖是“高于教材”，但原型一般還是教材中的例題式習題，是教材中題目的引申、變形或組合。因此，復習時應以課本為主。中考數學命題除了重視基礎知識外，還十分重視對數學方法的考查。如：配方法、換元法、判別式等操作性較強的方法。鑒于此，平時復習就加強對這些方面的訓練。
而中考對能力的考查，大致可分為兩個方面的能力：一是考查運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力及解決純數學問題的能力；二是強調閱讀能力、創新探索能力和數學應用能力。為此我們教師在平時復習時應注重對學生進行這兩方面的能力培養。
（二）重視基礎知識題的復習。
中考的命題分值比例中，有近50%的基礎題，若把中檔題和較難題中的基礎分計入，占的比值會更大。因此我們應重視基礎知識的復習，基礎知識即是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求學生掌握基礎知識之間的聯系，要做到理清知識結構，形成整體知識，并能綜合運用。在應用基礎知識時應讓學生做到熟練、正確、迅速。上課要求學生不能只聽老師講，要敢于質穎，積極思考方法和策略，應通過老師的教，讓學生自己“悟”出來，自己“學”出來，尤其在解決新情景問題的過程中，應讓學生感悟出如何正確思考。中檔題和難題的分值比略為40%和10%，因此教師要注意中檔題的講解和訓練，在平時復習過程中，應多研究試題的難易度，不要自己一意孤行，把一些中檔題當作基礎題處理了，造成學生認為自己不行了，增大了學生的學習壓力。
三、調整好心態，培養學習興趣
首先是心理上要調整好心態。在中考復習時，科任教師要對學生進行心理健康輔導，避免因學生學習過度的緊張而造成壓力。教師還可以通過各種途徑在不同的階段，對學生進行個別心理輔導、群體心理輔導，使學生正確對待壓力與挫折，正確看待成績，增強自信，發揮學習的最佳效能。其次，要避免學生對考試產生畏懼心理，甚至把模擬考試也當成負擔。隨著復習的深入，數學復習題的深度和廣度也會增大，考生一次考試沒考好或遇到不懂不會的問題是很正常的，如果一味地著急、焦慮，往往會一無所獲，考生應把這些做錯的題目和不懂不會的題目當成再次鍛煉自己的機會，正確分析問題原因，考前發現問題越多、糾正越及時，提高越快。最后，教師要適時給予學生學法指導，培養學生興趣。教師要從講課復習、做練習（試題）、改正試卷、小結等方面，對學生進行學法指導，使學生在學習的每個環節上量力而行，合理利用時間，發揮學習效能。使學生學習得法，增強自信，培養興趣，做到事半功倍。
四、要制定復習目標
為了能夠提高復習效率，就要制定復習目標。制定復習目標應注意如下三點：
（一）目標要全面。
要按照數學教學大綱上的要求，有針對性地在知識、能力和思想品德三方面提出復習要求，不能厚此薄彼，甚至只提出知識方面的復習要求，把能力與思想品德丟在一邊。
（二）目標要準確。
一是目標中知識、能力、思想品德各方面的要求要準確，二是三者之間不能混淆。如統計表和統計圖的復習，復習的目的是：將學過的統計表和統計圖強化和分化，防止相關或相似知識的互串。學生易混的問題是：如何確定單位長度？（共性）為什么折線統計圖中橫標目的間隔要按實際年份留空？（個性）學生最容易遺忘的是：制圖后忘掉寫數據，或把標題與圖表分開等等。在復習課上制定復習目標時，應注意和這些新授課后發現的問題結合起來，以利于解決學生的實際問題。
（三）目標要具體。
不要提一些抽象或空泛的口號，諸如“通過復習培養學生良好的學習習慣”，粗一聽很具體，細一想太空泛，到底培養學生的哪些習慣不得而知。其實一堂課只能按實際教學內容培養學生的某一方面的素質，太多會適得其反。
教學目標不僅是向學生提出的，也是對教師提出的。復習課上教師應緊緊圍繞著目標組織教學，就像寫文章不能“跑題”一樣，復習課也不能“離標”，而應有的放矢。
五、優化復習的方法，進行有效的訓練
（一）以生為本，因材施教。
授課面向的是全體學生，步調統一，難以兼顧到全體，兩極分化情況必定日益嚴重。課后輔導中下生是其中一種可行的辦法。但是這樣將要花費老師和學生大量的時間與精力，而且收效甚微！因此，面對有差異的學生，實施有差異的教育將更有利于學生的健康心理和人格的培養。我們可以通過對學生分層、對教學內容分層，對不同層次的學生以不同的標準進行評價，使不同層次的學生經過努力都能取得較好的成績，享受到成功的喜悅，從而激發他們學好數學的興趣。
（二）結合考點，分析試題，樹立信心。
在備考中選擇訓練題時，歷年中考試題是最佳選擇。教師要將其歸類，按考查知識點、載體、解題方法等方面進行研究，結合課本的習題，進行適當的變形、拓展，然后分類給學生進行限時訓練。使學生圍繞考點，做到舉一反三，觸類旁通。這樣的訓練不僅可以達到鞏固雙基的作用，又可以讓學生有挑戰的動力，樹立學生的自信心。
（三）構建知識網絡，全面系統復習。
初中階段時間跨度長，內容多。要在較短的時間內將數學復習好，突出的一點就是注意復習要全面。認真梳理知識體系，分清重點，合理分配時間；注意知識間的滲透，以點牽線，以線成面，幫助學生構建完整的知識體系。
（四）回歸課本，注重對基本知識掌握的指導。
基本知識的掌握要求我們復習中要降低起點，以知識為立意，這也就要求我們回歸教材。這也是我們面向全體學生，特別是中下等學生的最后機會了。回歸課本，就是針對自己的弱點重新翻看教材，使得復習有序，把零散的知識串聯成條條框框，編織成網絡。這樣可在總體上把握教材，明確每一章、節的知識在整體中的地位、作用，以課本為基礎，全面復習。章節之間――善于歸總；知識之間――善于轉化；例題習題――善于變化；分段訓練，分類推進。
中考命題是“依據課標，緊扣課本”的，許多源于教材例題、習題的中考試題都是通過變換命題的視角和策略，進行編擬而成；或將圖形的結構進行改變；或是變換教材習題的條件和結論；或是教材的例題、習題結論從特殊向一般拓展、推廣；或將典型的傳統習題進行“整容”創新，設計成實驗操作猜想問題、開放探究問題、閱讀理解數學交流問題、運動探索問題、數形結合問題等。近幾年來我市的中考數學試卷中大多數試題源于課本，是課本的例題或習題的類比、改造、延伸和拓展，其目的引導教師和學生重視深入理解教材。在復習過程中，如何讓學生真正理解并掌握基本知識，如何有效串聯已有知識點，把握問題的實質，應充分利用教材例題，但不拘泥于教材，例題習題功能的開發和拓展是一個能起事半功倍作用的好方法。我們用好教材，學生學好教材，發揮教材的擴張效應，只有認真地復習教材中的基礎知識，掌握基本技能，同時對課本的典型題目做一些變式練習，才能靈活掌握雙基，中考中才能正確解答試題。
（五）注重解題過程準確的指導。
在復習解題的過程中，要強調“嚴謹規范”，這是數學題目本身的要求，也是解題過程的要求。計算的考查雖說計算量要減少，但基本運算一定要過關，要準確，尤其對簡單的試題要進一步重視。解題過程的準確，還包括著解題過程的縝密規范，所以我們平時教學過程中要加強這方面的訓練，嚴格要求，這方面我們還要做過細的工作。
特別要培養學生應用知識正確運算和變形，尋求設計合理、簡捷的解題途徑，要求學生做到“四要”：一要熟練、準確，它是解題的基本要求；二要簡捷、迅速，這是解題的進一步要求，體現思維的敏捷性和深刻性；三要注重思維過程、思維方式的科學性，在處理數量關系時，能根據題目條件尋求合理、簡捷的解題途徑，真正做到準確與速度、簡捷與熟練有機結合；四要嚴謹規范，這是中考取得高分的保證。要防止由于解題格式、過程的不規范而失分，會做的題不出錯。
（六）注重概念本質揭示的指導。
數學中的很多問題的解決可以回歸定義來進行，如2010年中考卷的第18題，第21題。但要能自如地掌握運用，就必須對概念的本質內涵要掌握。概念與概念之間的關聯、溝通必須在平時的教學中加強聯系。如三個一次（一次函數、一元一次方程、一元一次不等式（組））之間的關系。
再比如，在復次函數的圖像和性質時，可以通過對最簡單類型=的圖像、性質進行研究，再通過平移，進而理解、研究圖像和性質，這樣不但有利于學生知識結構的形成，而且深刻地揭示了二次函數的本質特征。
（七）重視數學思想與方法的指導。
數學思想方法是知識轉化為能力的橋梁和紐帶。轉化和化歸思想（消元法、降次法、待定系數法），函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想都是每年中考必考的數學思想方法。對于我們不太熟悉的新題型，就要把自己從題目中獲得的數學信息轉化成數學模型，用學過的知識去分析、處理這些問題。
初中教學有兩個任務，一是教知識，但更重要的是悟思想。數學思想是數學的靈魂，而數學方法則使數學思想得以具體落實，二者相互依存，成為中考數學永恒的主題。數學思想的滲透要貫穿于數學教學的全過程，教材中沒有專門的章節介紹數學思想方法，而是伴隨著基礎知識的學習而展開的。初中數學思想方法主要有：轉化、分類討論、數形結合、類比歸納、建模、配方、待定系數法、函數與方程等。這些數學思想方法都是用來解題的“工具”，不能只知道有關名詞，而應知道其實質和用途。在復習過程中，弄清什么樣的問題用什么樣的工具來解決，不斷積累，讓學生逐步形成自己的解題經驗，達到將數學思想方法靈活運用到解決問題中去。
數學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的認知結構；它是銘記在頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化，是提高數學思維水平，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的保證。因此必須重視數學思想方法的教學。
（八）注重遷移能力的培養。
要加強初中數學復習訓練，增強訓練的有效性，就要重視問題的變式訓練，就要從知識和方法上來指導學生學會遷移訓練。
(1)要善于對解題思路優化指導。
一題多解有利于引導學生沿著設的途徑去思考問題，可以優化學生思維，因此要將一題多解作為一種解題的方法去訓練學生。一題多解可以產生多種解題思路，但在量的基礎上還需要考慮質的提高，要對多解比較，找出新穎、獨特的最佳解才能成為名副其實的優解思路和方法，提煉出最佳解法，從而達到優化復習過程，優化解題思路的目的。
在復習的過程中加強對解題思路優化的分析和比較，有利于培養學生良好的數學品質和思維發展，能為學生培養嚴謹、創新的學風打下良好的基礎。
(2)要善于對例題講解進行變化指導。
在復習課例題的選擇上，教師應該選擇最有代表性和最能說明問題的典型習題，應能突出重點，反映大綱最主要、最基本的內容和要求。對例題進行分析和解答，發揮例題以點帶面的作用，有意識有目的地在例題的基礎上作系列的變化，達到能挖掘問題的內涵和外延、在變化中鞏固知識、在運動中尋找規律的目的，實現復習的知識從量到質的轉變。
例如，在復次函數的內容時，可以列舉這樣一個例題：二次函數的圖象經過點（0，0）與（-1，-1），開口向上，且在x軸上截得的線段長為2。求它的解析式。因為二次函數的圖象拋物線是軸對稱圖形，由題意畫圖后，不難看出（-1，-1）是頂點，所以可用二次函數的頂點式y=-a(x+m)2+n，再求得它的解析式（解法略）。在數學中我對例題作了變化，把題例中的條件“拋物線在x軸上截得的線段2改成4”，求解析式。變化后，由題意畫圖可知（-1，-1）不再是拋物線的頂點，但從圖中看出，圖像除了經過已知條件的兩個點外，還經過一點（-4，0），所以可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求出它的解析式。再對例題進行變化，把題目中的“開口向上”這一條件去掉，求解析式。再次變化后，此題可有兩種情況(i)開口向上；(ii)開口向下；
由于條件的不斷變化，使學生不能再套用原題的解題思路，從而改變了學生機械的模仿性，學會分析問題，尋找解決問題的途徑，達到了在變化中鞏固知識，在運動中尋找規律的目的。從而在知識的縱橫聯系中，提高了學生靈活解題的能力。
(3)要善于對對章節復習轉化指導。
教師在復習過程中，不僅應該要求學生對所學的知識、典型的例題進行反思，而且還應該重視對學生鞏固所學的知識由“量”到“質”的飛躍這一轉化過程。按常規的方式進行復習，通常是按照課本的順序把學生學過的知識，如數學概念、法則、公式和性質等原本地復述梳理一遍，這樣做學生既感到乏味又不易記憶。
針對這一情況，在復習概念時，采用章節知識歸類編碼法，即先列出所要復習的知識要點，然后歸類排隊，再用數字編碼，這樣做可增加學生復習的興趣，增強學生的記憶和理解，最主要的是起到了把章節知識由量到質的飛躍，實現厚薄的轉化。
(4)要善于對習題歸類進行類化指導。
教師在復習時要善于引導學生將習題歸類，集中精力解決同類問題中的本質問題，總結出解這一類問題的方法和規律。為使學生減輕負擔的復習，從題海戰術中解脫出來，學得靈活，學得扎實，優化復習過程，提高復習效率，是一個行之有效的重要途徑。我們也應不斷思考，不斷探索，為實施素質教育作出努力和貢獻。
(5)關注對數學應用的訓練，提高解決實際問題的能力。
數學來源于生活，又應用于生活，能運用數學的思維方式觀察、分析、解決日常生活和其他學科中的相關問題是每個中學生應具備的基本素養。為此，學生能否結合具體情境發現并提出問題，能否嘗試從不同角度分析和解決問題，能否解釋結果的合理性，能否對解決問題的過程進行反思等，都將會受到命題者的關注。同時，社會熱點問題往往是命題者創設應用性問題情境的首選素材。如：能源開發、環境保護、經濟發展等。
因此，教師應設計選編一定量的應用性數學問題，給學生提供探索的機會，讓學生在探索過程中體會數學來源于生活，又應用于生活。培養學生的應用意識和實踐能力，創設情境，引導學生積極思考，逐步發展應用意識，形成基本的實踐應用能力。
總之，隨著課程改革的深入，對我們教師提出了更高的要求，我們要把教學當成一種崇高的事業來追求，把每一節課的效率都提上去；把每一堂課都看成是發揮自己創造力、施展才華的機會，看成是發展自己的一個機會，把上好一節課看成是自己生命價值的體現。
參考文獻
關鍵詞：高三數學；復習；小組學習模式
復習是鞏固知識、強化知識的有效活動之一，也是提高高考成績的重要活動，更是提高學生知識靈活應用能力的重要方面。因此，在高三復習活動中，我們要有效地將小組學習模式應用到其中，以充分發揮學生的主動性，使學生在小組交流學習中逐步提高數學復習質量，進而為高效課堂的順利實現做好保障工作。因此，本文就從以下幾個方面入手對如何將小組學習模式應用到高中數學復習環節進行論述，以為高質量的復習活動的實現做出貢獻。
一、以小組為單位進行自主對比復習
自主對比復習是指在復習過程中將具有關聯的知識點放在一起進行比較復習，目的就是要加深學生的印象，在比較中掌握知識，提高效率。所以，在實際數學教學過程中，我們要以小組為單位，引導學生將比較后的結果在小組內進行交流，以豐富學生的對比結果，進而逐步提高學生的復習質量。
例如，在復習《指數函數》和《對數函數》時，為了發揮學生的自主學習能力，也為了充分發揮小組學習方式的價值，在復習的過程中，我引導學生對兩者的函數定義、圖象和性質進行對比，然后，引導學生對函數：y=2x、y=log2x；y=3x、y=log3x進行作圖比較，并在小組內討論，指數函數與對數函數之間的關系，并借助已學過的知識進行證明。可見，在這樣的對比復習活動中，我們要充分發揮學生的主動性，并鼓勵學生將自主的觀點和看法與小組成員進行交流，以為學生復習效率的提高做出相應的貢獻。
二、以小組為單位將零散知識系統化
零散的知識系統化是復習環節的作用之一，也是加深學生印象、提高學生復習效率的重要方面。眾所周知，數學知識點相對比較散，而且，相互之間的關聯性又比較強，導致一些學生在解題中常常不能準確地應用所學知識，嚴重不利于知識應用能力的提高，也不利于復習質量的提高。所以，在高三數學復習的過程中，我們要鼓勵學生將零散的知識系統化，以方便復習，提高效率。
例如，在復習《圓錐曲線與方程》這一章節時，本節課主要學習的是“橢圓、雙曲線、拋物線”三部分內容，每部分中知識點之間都是相似的，而且，知識點也比較多，應用起來常常會出現混淆。所以，在復習過程中，我引導學生以小組為單位將本章節的知識點進行系統化，即：將三者的“幾何條件”“標準方程”“圖形”“頂點坐標”“對稱性”“焦點坐標”“離心率”“準線方程”“漸近線方程”等相關的知識點以表格的形式進行整理，將知識形象化。可見，在這樣的小組學習法的應用中不僅能夠帶領學生重新對基本的圓錐曲線的基本知識進行回顧一下，而且，知識系統化的過程中也能加深學生的印象，對提高學生的復習效率也有著密切的聯系。
三、以小組為單位進行數學習題討論
習題討論主要是分析試題和找出解題的思路，正如我們常說的：“一人計短，二人計長”的道理一樣，在習題討論中，我們要充分發揮小組學習方式的價值，要鼓勵學生積極地參與到問題的思考中，并找出自己的解決方法，在小組內進行交流，也就是說進行一題多解，這樣不僅能夠拓展學生的思路，提高解題能力，同時，也能提高高三數學復習質量。
例如，過圓x2+y2=4與x軸的兩個交點A、B作圓的切線AC、BD，在過圓上任意一點H作圓的切線交AC、BD于C、D，設AD，BC的交點為R，求動點R的軌跡E的方程。
在解答該題時，為了提高學生的復習效率，也為了拓展學生的思維空間，我組織學生在小組內對該題進行認真分析，并在相互交流中找到不同的解題思路。比如，可以通過設定H的坐標來求出R的軌跡方程，該方法是最常用的，但是，計算比較繁瑣。組織學生從不同的角度進行分析，進而幫助學生積累解題經驗，提高復習質量，同時，小組這樣的討論、交流對學生數學探究能力的形成以及創新精神的培養也起著不可替代的作用。
當然，除了將小組學習模式應用到上述的三個方面之外，我們還可以應用到試卷的講評活動中，目的是讓優等生帶動學困生去自主改正錯誤，分析問題，進而逐步提高學生的數學學習能力。總之，在高三數學復習的過程中，我們要認識到該環節的重要性，并最大化地發揮小組學習法的價值，進而在提高復習質量的同時，
也促使學生能夠以飽滿的信心走進考場，面對高考。
參考文獻：
關鍵詞：“指導―自主”；講解；提示；聯系
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）08-199-01
教育的對象是學生，他們是教育活動的主體。學生獲得知識、掌握技能、發展能力，以及養成良好的心理品質，都是在不斷的學習過程中逐步完成的。學生的學習，一般都是有教師指導下進行的，過去人們主要關心的是“教師應該如何教”，至于“學生是怎樣學”的則研究甚少。
江山野教授的《論教學過程和教學方式》，從理論上闡述了中學階段進行“指導―自主”教改的必要性和可行性。所謂“指導―自主”是指學生在教師的指導下進行自主學習教材內容的一種教學方式。
也許有人會認為，既然是學生自主地學習，那么教師在課堂僅僅起了組織者的作用，無須再講授些什么內容了。其實這是一種錯誤的觀點，因為初中學生的學習能力僅僅處在相對獨立或其本獨立階段，通過他們的自主學習只能獲得基本知識、學習基本技能，亦即解決現有發展區的問題，而那些隱含在教材深處的問題，他們是無法法解決或不能完全解決的。因此，教師的課堂教學就是要揭示這些經過學生個人自學后無法單獨解決的問題，即解決最近發展區的問題。所以，“指導―自主”學習在課堂上教師還是要講的。
一、創設情境，講清概念
不要認為“指導―自主”就是讓學生自己把概念、定理、推論等讀熟、背熟就行，然后根據它們的關系做練習，老師檢查，發現錯誤再評講。
其實不然，概念是推理和論證的基礎，是思維的基石，研究表明，學生精確地掌握好基本概念、原理，并使之高度概括化、結構化，這是促進知識遷移和能力發展的重要條件。而數學概念具有高度抽象性、邏輯性和系統性。因此學習數學概念必須嚴謹地分析、綜合、深刻地理解其本質屬性和內在聯系，才能達到解題方法的合理性和結果的正確性，從而培養學生思維品質的深刻性。但中學生尤其是初中生，由于被表面的現象所迷惑，以至于解題錯誤。
二、弄清知識的產生過程
每件事物的發展，都有其過程。數學知識的產生，也有它的過程。學習數學，實際上是學習數學的思維活動。學生學習數學，是在教師的指引下，有效地學習數學關于研究現實世界的空間形式，及其數量關系的思維活動成果和探索、發現、解決問題的思想方法。并由此培養學生良好的思維品質，正確地揭示了數學思維的活動實質性的過程。
學生的自學，僅僅是對書本的知識進行學習，對一些結論的運用而己，而不知道這些結論是怎樣來的。因此，教師就有必要引導學生利用己有的知識探求這些結論的來歷，不要總是書本上怎樣說的，就讓學生怎樣做。這樣，就不能使學生所有的知識進行融會貫通，靈活運用。
三、理順知識間的內在聯系
數學是一門結構嚴謹的有機整體的學科。就象自行車的鏈子，如斷了一節，車子就不能行駛。數學的各個知識點是相互聯系的，只有系統地認識這些聯系，才能形成較完善的數學認知結構。但中學生尤其是初中生受到自學能力的限制，有的聯系是無法或不能很好也被揭示出來的，此時，教師就應適當地創設有關情境，幫助其揭示這些聯系。
例如：設 為實系數方程，求①m為何值時，方程有兩個相同的實數根？②設 和 是方程的兩實根，當m為何值是， 有最大值或最小值？并求出這個最大值或最小值？
這是一道應用判別式和根與系數關系的題目，大多數學生都能通過自學獲得正確解法。也可引導學生從一元二次方程與二次函數的關系尋求新解法：令 ，①方程 有兩個相同的實數根，須拋物線的頂點坐標在x軸上，即 ，由此可解得m的值。②可看成是函數的最值問題， ，為了求函數的最值，必須把它表示成單變量的函數關系式，這里有兩個變量 和 ，為了表示成單變量，必須考察 、 與m的關系，這就用到根與系數的關系。
這樣一來，就可以使學生由單純的知識點的解決提高到中學階段最重要的知識體系之中：方程與函數。可以使學生樹立起方程和函數的觀點，這些觀點來源于一般數學知識，又高于一般數學知識，它具有概括性的包含性。如果這些觀點能讓學生在認知結構中被固定下來，我疑可以達到從一種學習情境到多種情境的遷移。這是指導學生自學過程中不可忽略的一點。
四、分清導與學
其實，除個別學生外，學生的智力大多相差無幾，但非智力因素對他們的影響卻千差萬別。也就是說，要想提高班級的整體成績，關鍵是關注學生的非智力因素，使學生愿學、想學、愉快地學，這也是素質教育的要求。不少學生成績不好不是智商低，而是非智力因素所致。許多在班中調皮好動、惹是生非的學生，智商都不低，如果能調動這些學生的學習熱情，對其非智力因素科學引導、控制，那么他們將很可能成為人才。
作為一名從教多年的數學教師，我深知非智力因素對學生影響之巨大，所以我總是想方設法提高學生的非智力水平，時刻關注學生的非智力因素的變化情況，及時規范學生的行為，使同學們在智力正常發揮的前提下，盡量利用非智力因素為學生服務，使其高效地學習，以提高全班整體水平，進而優化數學教學效益。
一、加強愛國主義教育，增強應用意識，激發學生良好的學習動機。
教師應經常向學生講一些愛國之士的事跡，介紹他們是怎樣刻苦學習，怎樣以優異的成績報效祖國的。比如，我國古代數學家祖沖之的圓周率怎樣震驚了世界，在天文、地理等諸多方面有怎樣的應用。再如，講一講當代數學大師華羅庚怎樣成才，他推廣的優選法使我國的糧食產量大幅度提高，為祖國節約了大量資金，為祖國作出了巨大貢獻。讓學生知道，要想將來在社會上立足、建設祖國，必須學好科學文化知識。讓學生明白，即使一個普通人，也應學好數學，因為生活中處處有數學。不必說航空航天、國防建設等尖端科技要用到數學的推理計算，就是日常買賣、商品貿易、家庭開支統計等也離不開數學。離開了數學，我們將寸步難行。
二、設法激起學生學習數學的興趣。
興趣可使學生自覺投身到學習活動中，激起求知欲。興趣可使人忘掉一切、樂此不疲，使學生以積極的態度自覺克服學習中的困難，自主探索知識奧秘。
1.將零散的不易記憶的知識進行歸納、壓縮、整理，使之變得像詩詞一樣整齊、規范、言簡意賅、朗朗上口，這樣可以使學生感到新鮮，興趣大增，便于記憶。比如，單項式的次數可總結為八字“所有字母，指數的和”；根式化簡的標準可總結為三個五言句“根號中無分母、分母中無根號、根號中要開凈”；同類二次根式的概念可略為八字“化簡以后，里邊一樣”（指根號里邊相同）；用十字相乘法把一個二次三項式（已降冪或升冪排列好）因式分解的方法是“拆兩邊，湊中間”。對于“方差”的概念，教材中敘述得很清楚，但太長、難記，不易操作，不利于求一組數據的方差。我簡化為頗具生活氣息的三個字“插花瓶”（差、方、平的諧音，“差”指一組數據中的每個數與它們的平均數的差，“方”指將這些“差”分別平方，“平”指求這些“差”的平均數）。這樣，同學們很容易就掌握了方差的算法。此后我一提到方差，同學們便異口同聲說出“差方平”。這是一種很好的聯想記憶法。
2.利用教材內容自身的魅力，激發學習興趣。教材內容利用、處理得好，能激發學生的學習熱情，使學生的活動進入積極狀態，從而促進智力發展，提高學習效率。要想利用教材吸引學生，就要挖掘數學教材中所蘊含的美。數學美無處不在，比如，用＋、－、×、÷就能準確描述客觀世界中四大基本的數量關系，就如同憑借七個音符就能譜出各種華美的樂章一樣，這便是數學的符號之美；用S=ah就可表示三角形的面積求法，用a+b=b+a就可表示加法交換律，等等，還有“對頂角相等”、“兩點之間線段最短”這類惜墨如金的定義、定理、推論等，無不反映出數學的簡潔美；精美的圓、正八面體，令人神往的黃金三角形，向遠處無限延伸的拋物線，美麗的正弦曲線等又折射出數學的符號美；利用書寫的幾何證明過程，則又體現了數學嚴謹推理的邏輯美。
3.利用教師自身的魅力吸引學生，使學生愿聽你的課，完成你布置的作業。這要求教師不僅要有精湛的業務造詣，而且要有高超的語言藝術，以及相當的書法水平。業務水平高，能把問題講清講透，是吸引學生的主要原因。教師的課堂語言要講藝術，不要太刻板、生硬，要講策略，善于深入淺出、通俗易懂，要有幽默感、充滿睿智與機敏。板書應規范，講究字體間架結構，具有一定的觀賞性。總之，業務、語言、書法要三管齊下，讓學生覺得聽你的課是一種享受，他們才會欣賞你的人，熱愛你教的學科。
4.多給學生提供展示的機會，放大學生的閃光點。教師應給各個層次的學生出一些相應檔次的問題，要注重個體差異。可以出口答題、板演題，可以出三言兩語的簡答題，也可以出分層次回答的復雜題，抓住任一知識點就可出一道題。總之，應因人而異，讓每個人都有展示的機會。要多給中下等學生尤其后進生提供機會，對他們的成功哪怕只有一點點閃光，都要大加贊揚，讓其體會到成功的喜悅，鼓舞斗志、增強信心。
5.充分利用現代信息技術，制作教學課件。現代信息網絡、多媒體技術能為學生提供和展示各種資料，例如，聲音、文字、圖像等，具有動感、美感、惟妙惟肖等特點，可以把復雜難懂的內容演示得清楚、明朗。運用數學課件不僅省時省力，而且對學生的感官具有很強的沖擊力，能激起其好奇心與求知欲，對培養興趣大有裨益。
三、誘發學生熱愛數學的情感。
情感是心理素質的一個重要方面，指人對接觸到的客觀事物所持的態度和體驗。數學教師要設法激起學生對數學的情感，可以用數學之美去熏陶學生的情感，可以用成功激勵學生的情感，可以通過學生的向師性吸引學生的情感。教師要關注每個學生，愛護每個學生，保護他們的自尊心和自信心，使他們樂學、愛學。
四、培養學生良好的習慣。
壞習慣能毀掉一個人，而好習慣能造就一個人，使學生終身受益，教師應從生活、學習等方面培養學生的好習慣。
1.養成良好的生活習慣。起居要有規律，早睡早起。應養成晨練的好習慣，為一天的學習打下基礎，以保證充足的精神和清爽的大腦。一日三餐不可偏頗，切勿養成不食早餐的習慣。有了好身體，才能為學習提供保證。
2.養成預習的好習慣。上課前一定要將要講的內容瀏覽一遍，做到心中有數，知道難易處、關鍵點，這樣才能做到聽課時從容、臨課不亂、提高效率。
3.養成做筆記的習慣。對于知識點、好題型、解題技巧、經典理論等要隨時記下、課后整理、常翻常看、加強記憶。
