時(shí)間：2023-05-30 08:54:02
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇解方程五年級(jí)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：小學(xué)五年級(jí);數(shù)學(xué);教學(xué);方程
一、解方程在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題
新課標(biāo)把解方程方面的知識(shí)編排在第九冊(cè)的教科書上，給教師在這個(gè)階段的教學(xué)帶來了很大的不便之處，需要教師花費(fèi)更多的精力和心血來講授方程，讓學(xué)生更能理解方程的基本性質(zhì)。因此，教師可以在教學(xué)中適當(dāng)改變教授方程知識(shí)的順序，讓學(xué)生能夠在課堂中通過思考問題的本質(zhì)，并嘗試通過自己的研究來理解解未知方程的學(xué)習(xí)過程，對(duì)于解未知方程有一個(gè)具體的理解思路，找出解方程的學(xué)習(xí)規(guī)律。因此，教師應(yīng)該有自己的一套解方程的教學(xué)方式方法。
二、在教學(xué)中教育學(xué)生解方程的方式方法
解方程方面的知識(shí)教學(xué)方法多種多樣，一個(gè)好的教學(xué)方法是決定學(xué)生是否能夠更好、更有效率地學(xué)習(xí)到小學(xué)數(shù)學(xué)解方程的知識(shí)點(diǎn)。而由于個(gè)人性格上的差異，每個(gè)教師在教育中都有一種獨(dú)具特色的教育方法。
1.教師應(yīng)在教學(xué)中合理地安排自己的教授內(nèi)容
科學(xué)地安排教授學(xué)習(xí)任務(wù)對(duì)于教師和學(xué)生來說是非常有必要的。如果教師想要在解方程方面給學(xué)生打下學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，就必須學(xué)會(huì)科學(xué)地安排自己教授的學(xué)習(xí)任務(wù)，這樣能使得學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到解方程在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要性，更加能夠理解方程中的基本性質(zhì)和解方程的一般規(guī)律。
2.教師要正確引領(lǐng)學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的探索
一個(gè)方程必定有兩種及以上的解法，教師可以在教學(xué)中用方程的性質(zhì)引領(lǐng)學(xué)生的思維，把復(fù)雜的方程逐漸的簡單化，盡量與學(xué)生的日常生活融為一體，使學(xué)生在生活中學(xué)習(xí)到更多數(shù)學(xué)方程的新知識(shí)，讓學(xué)生在日常生活中積累一定關(guān)于方程的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生在生活中逐漸地了解小學(xué)數(shù)學(xué)解方程的知識(shí);加強(qiáng)小學(xué)生自主探索小學(xué)數(shù)學(xué)解方程的能力。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)一元一次方程中，“2x+10=22”學(xué)生可以通過直接移項(xiàng)得到2x=22-10，合并方程等式的右邊得到2x=12，兩邊再同時(shí)除以一個(gè)2，就可以得到答案x=6。但是教師如果讓學(xué)生自己進(jìn)行解方程運(yùn)算，就能夠找出另外一種解題的方法：先等式兩邊同時(shí)除以2得到x+5=11，再通過移項(xiàng)得到x=6。從方程的解法中，就能夠發(fā)現(xiàn)第二種解題方法比第一種解法較之簡單。所以，教師的教學(xué)方法對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說是非常重要的。
3.遵循循序漸進(jìn)的原則，多與學(xué)生在課堂中進(jìn)行溝通
溝通是教師與學(xué)生進(jìn)行解方程知識(shí)交流的一座橋梁。教師通過在課堂教學(xué)中與學(xué)生建立良好的師生關(guān)系并進(jìn)行溝通交流，可以啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思想，使學(xué)生通過觀察事物的本質(zhì)、思考事物本身的性質(zhì)，慢慢地嘗試問題的解決方法，并進(jìn)行相互討論、總結(jié)，得出方程的解決方案來。所以，教師應(yīng)該更加傾向于對(duì)于學(xué)生來說更為有利的交流式教學(xué)。
總而言之，小學(xué)數(shù)學(xué)解方程在數(shù)學(xué)知識(shí)中起著非常大的作用。所以作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師就必須改良自己的教學(xué)方法，整理出一套獨(dú)具特色的教學(xué)方案，改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的質(zhì)量和學(xué)習(xí)知識(shí)的效率。
參考文獻(xiàn)：
[1]崔鳳蓮.對(duì)小學(xué)階段根據(jù)“等式的性質(zhì)”解方程的冷思考[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（15）：111.
小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成的奠基時(shí)期，也是以形象思維為主的時(shí)期。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)區(qū)別于高中和大學(xué)階段的以抽象邏輯思維為主的教學(xué)，它以實(shí)用性和生活化為主要特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡單應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型思想強(qiáng)調(diào)對(duì)實(shí)際問題情境的抽象和概括，即將實(shí)際問題抽象、簡化為由各種數(shù)學(xué)符號(hào)組成的普通表達(dá)式、公式、運(yùn)算法則、已知定理等數(shù)學(xué)模型。模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》著重強(qiáng)調(diào)的一種數(shù)學(xué)思維能力。基于此，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和模型思想的培養(yǎng)存在契合點(diǎn)，而且也是可行的。在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的模型思想是十分必要和緊迫的。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”這實(shí)際上就是要求每一個(gè)數(shù)學(xué)教師把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程當(dāng)做幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程，并在建模過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自覺地用數(shù)學(xué)方法去分析、解決生活中的問題。它還明_要求教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不但要重視結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過程中科學(xué)地、合理地、有效地建立數(shù)學(xué)模型。
此外，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。教師要善于引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用多種思想方法思考問題，可以將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，使學(xué)生將這一模型的構(gòu)建與已學(xué)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，拓展學(xué)生解決問題的視野，為以后其他未知問題的解決架橋鋪路，也為以后的數(shù)學(xué)問題找到新的解決途徑。
五年級(jí)學(xué)生初學(xué)解方程，在出示課本中解方程例1時(shí)，學(xué)生借助圖示比較輕松地列出等量關(guān)系和方程。
例1圖意：左邊盒子里有x個(gè)球，右邊有3個(gè)球，一共有9個(gè)球。
學(xué)生列出等量關(guān)系：
盒子里球的個(gè)數(shù)+3個(gè)球=球的總數(shù)
x+3=9
五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠一眼看出來左邊盒子里有6個(gè)球。追問學(xué)生是怎么知道盒子里球的數(shù)量時(shí)，學(xué)生很一致地回答：“9-3=6。”接著問學(xué)生這是利用什么知識(shí)找出的x的值，有學(xué)生答：“移項(xiàng)變號(hào)。”這是學(xué)生在課外學(xué)習(xí)班老師教給學(xué)生解方程的方法。統(tǒng)計(jì)了班上已經(jīng)學(xué)過解方程的學(xué)生人數(shù)，舉手的有50人，全班一共有56人，已經(jīng)在課外班學(xué)習(xí)的人數(shù)占全班人數(shù)的89%。這么多學(xué)生都學(xué)過了解方程，按說老師應(yīng)該很高興，教學(xué)也應(yīng)該很輕松，但在我的追問下，所有學(xué)習(xí)過解方程的學(xué)生都利用的是移項(xiàng)變號(hào)的知識(shí)來解方程，這里的移項(xiàng)變號(hào)也就是學(xué)生在四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的加、減、乘、除各部分間的關(guān)系，學(xué)生借用四則運(yùn)算解方程已經(jīng)是近十年前的教學(xué)要求了。在實(shí)驗(yàn)版教科書中，就已經(jīng)把原來利用四則運(yùn)算解方程的方法修改為利用等式的性質(zhì)來解方程。也就是說，從實(shí)驗(yàn)版教材出版的那一刻，實(shí)驗(yàn)版教材已經(jīng)依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，建立了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)知識(shí)的階梯。利用等式的性質(zhì)解方程是與初中階段利用方程解決問題的知識(shí)相通。包括求出方程的解后，有關(guān)方程的檢驗(yàn)學(xué)生也沒有學(xué)習(xí)。通過比較，學(xué)生在課外學(xué)習(xí)班提前學(xué)習(xí)的知識(shí)只能是速成，忽略了學(xué)生獲得知識(shí)的過程，學(xué)生只是一個(gè)個(gè)學(xué)習(xí)的機(jī)器，忽略了學(xué)生是獨(dú)立的個(gè)體，他們有思想、有創(chuàng)新、有激情、有學(xué)習(xí)的沖動(dòng)。雖然學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過利用等式的性質(zhì)解方程，但知識(shí)之間是相通的。
在解方程之前引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，學(xué)生掌握得很扎實(shí)。所以直接向?qū)W生提出要求：為了與初中教科書的知識(shí)做好銜接，學(xué)生必須掌握利用等式的性質(zhì)解方程的方法。思考一：如何利用等式的性質(zhì)也就是天平平衡的原理，才能既讓天平保持平衡又可以看出x表示多少呢？思考二：怎樣把這個(gè)過程在方程中表現(xiàn)出來，使方程左右相等，又能得出x等于多少？在問題提出后，學(xué)生認(rèn)真思考，并說出自己的想法。然后借助直觀課件的演示，印證學(xué)生的思路。在直觀課件的幫助下，學(xué)生的思維得以調(diào)整和完善，并借助直觀實(shí)物抽象出解題的模型，完善學(xué)生利用加法等式性質(zhì)進(jìn)行解方程的過程。學(xué)生借助利用等式的性質(zhì)解方程的模型，并能利用建立的模型方法解決同一類方程。求出方程的解后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所解方程進(jìn)行檢驗(yàn)，即結(jié)合用字母表示數(shù)的知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生把x的值代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，方程左邊=方程右邊，x的值就是方程的解。
在熟練掌握了利用加法的等式性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上，學(xué)生已建立了利用等式性質(zhì)解方程的模式，再讓學(xué)生解決減法、乘法、除法的方程時(shí)，學(xué)生會(huì)利用已有的知識(shí)儲(chǔ)備，利用對(duì)應(yīng)的等式性質(zhì)去解決。同時(shí)學(xué)生對(duì)利用方程解決生活中的問題比較容易接受，擺脫了五年來只會(huì)用數(shù)學(xué)方法解決問題的局限，學(xué)生會(huì)大膽嘗試用不同的方法解決，既起到互相檢驗(yàn)的作用，解決問題的能力也大大提高了。從長遠(yuǎn)來看，學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得到了有效提高！
從算術(shù)發(fā)展到方程是人類認(rèn)識(shí)的飛躍。方程對(duì)學(xué)生形成良好思維方法和品質(zhì)，發(fā)展學(xué)習(xí)能力和解決實(shí)際問題能力具有獨(dú)特作用， 是小學(xué)數(shù)學(xué)跨越性教學(xué)內(nèi)容。目前存在的不注重方程所導(dǎo)致的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)困惑，可以通過優(yōu)化方程課改策略來破解。
一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要困惑
1.學(xué)習(xí)是為了解決問題，應(yīng)用題必然是小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，而應(yīng)用題卻還是教和學(xué)的難點(diǎn)。
2.方程是解應(yīng)用題的良方，可教材中方程內(nèi)容簡課時(shí)少，沒法保證熟練掌握，難以體現(xiàn)列方程解應(yīng)用題的優(yōu)勢(shì)。
3.一些學(xué)生受算術(shù)思維定勢(shì)影響，習(xí)慣用算術(shù)法解方程和應(yīng)用題，不喜歡用等式基本性質(zhì)解方程和列方程解應(yīng)用題，遇到稍難方程或應(yīng)用題時(shí)就害怕，從而不愛數(shù)學(xué)。
4.一些教師基于算術(shù)教學(xué)習(xí)慣和學(xué)生喜好，不注重方程教學(xué)。遇到較難應(yīng)用題時(shí)，總是想用算術(shù)法，感覺也有點(diǎn)難。這時(shí)可能會(huì)想到方程，但列出方程后又把它轉(zhuǎn)化為算術(shù)式才呈現(xiàn)給學(xué)生，很別扭。
5.應(yīng)用題難數(shù)學(xué)難，因而社會(huì)上熱充于“小學(xué)奧數(shù)”。有些所謂“小學(xué)奧數(shù)”，很多是用算術(shù)法難解答而用方程易解答的實(shí)際問題，卻總是誘導(dǎo)學(xué)生用算術(shù)法解答，以顯示其深?yuàn)W和價(jià)值來吸引學(xué)生，實(shí)際上是誤導(dǎo)和折騰學(xué)生。
二、小學(xué)教學(xué)方程的獨(dú)特作用
1.方程是算術(shù)向代數(shù)發(fā)展的關(guān)鍵性開端。算術(shù)只是一種算法，而方程思想則體現(xiàn)了建模思想和化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，是一種最基本和應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)思想。各種類型的實(shí)際問題大多可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；各種類型的數(shù)學(xué)問題大多可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；各種類型的代數(shù)問題大多可轉(zhuǎn)化為方程來解決。在小學(xué)， 方程可以解決整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例的許多實(shí)際問題，解決代數(shù)和幾何的許多實(shí)際問題，解決雞兔同籠問題、植樹問題等許多所謂“小學(xué)奧數(shù)”問題。
2.在方程教學(xué)中，學(xué)生從己有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，親身經(jīng)歷將許多實(shí)際問題抽象成方程形式的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題的過程，既獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解掌握，又在思維能力、運(yùn)算能力、分析解決問題能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到發(fā)展。
3.小學(xué)教學(xué)用等式基本性質(zhì)解方程，用方程解應(yīng)用題，有利于加強(qiáng)中小學(xué)教學(xué)銜接。在中學(xué)方程是一條主線，無論是代數(shù)還是幾何，方程思想都無處不在。小學(xué)生學(xué)好方程，可以更好地實(shí)現(xiàn)由算術(shù)向方程思想發(fā)展，為中學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。
三、小學(xué)方程課改策略的優(yōu)化
1.優(yōu)化教材編排
現(xiàn)行教材編排，一類是四年級(jí)學(xué)習(xí)解方程，五年級(jí)學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題。另一類是將方程內(nèi)容都安排在五年級(jí)學(xué)習(xí)。分段編排把緊密聯(lián)系的知識(shí)割裂開來不利于系統(tǒng)學(xué)習(xí)掌握，把知識(shí)與解決實(shí)際問題割裂開來也不利于發(fā)展能力。完整編排比較好，但可以優(yōu)化。一是在前期更多地滲透一些代數(shù)初步知識(shí)，孕育方程意識(shí)；二是方程的例題和練習(xí)題再豐滿些，課時(shí)多點(diǎn)，以突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn)；三是后續(xù)應(yīng)用方程多些，以鞏固方程知識(shí)和解決較難的實(shí)際問題；四是可考慮將方程從五年級(jí)前移到四年級(jí)編排，這有利于方程的學(xué)習(xí)掌握和應(yīng)用，有利于幫助學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)。
2.優(yōu)化方程意識(shí)的孕育
在教學(xué)方程前，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，更多地滲透一些代數(shù)初步知識(shí)，孕育方程意識(shí)。如用符號(hào)、、或（）等表示數(shù)；用字母表示運(yùn)算定律；在形如方程的式子中求符號(hào)表示的數(shù)：+6=15，5×=20，（）÷8=4；在解答應(yīng)用題時(shí)列出形如方程的算式，如一年級(jí)應(yīng)用題“小明有12塊糖，吃了 5塊，還剩幾塊？”，可能有學(xué)生列出算式：5+7=12，回答還剩7塊。這時(shí)教師應(yīng)肯定。
3.優(yōu)化用字母表示數(shù)的教學(xué)
用字母表示數(shù)，可以表達(dá)和研究有普遍意義的數(shù)量關(guān)系，是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)。教材編排的四道例題層層遞進(jìn)，各有重點(diǎn)。教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與一系列教學(xué)活動(dòng)，用符號(hào)表示數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，表示運(yùn)算定律，表示計(jì)算公式，用含有字母的式子表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)“平方”以及數(shù)與字母相乘的書寫方法，學(xué)習(xí)代入求值，感受字母代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。用含有字母的式子表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系是重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)增加例題進(jìn)行示范引導(dǎo)，并增加練習(xí)題進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。可以補(bǔ)充形如方程的式子書寫訓(xùn)練，如：比a少8的數(shù)是15，b的3倍是18，比a的5倍多2的數(shù)是32等，為后續(xù)教學(xué)列方程解應(yīng)用題作鋪墊。
4.優(yōu)化方程意義的教學(xué)
教學(xué)方程意義時(shí)，應(yīng)先介紹天平使用方法，然后按步驟邊設(shè)問邊演示邊提問，讓學(xué)生邊觀察邊思考邊交流，進(jìn)而揭示方程的意義。感悟方程意義只是初步，理解運(yùn)用才是目的。因此應(yīng)充分利用變式，突出對(duì)比，補(bǔ)充列舉不同類型的方程讓學(xué)生試作判斷。如：16+3y=7×4，18=2x-3.5，x÷5=6.4，8+a=b等。并且請(qǐng)每個(gè)學(xué)生試寫一個(gè)方程，嘗試運(yùn)用。
教學(xué)等式基本性質(zhì)時(shí)，也應(yīng)是按步驟邊設(shè)問邊演示邊提問，讓學(xué)生邊觀察邊思考邊交流，感悟天平保持平衡的道理，進(jìn)而揭示等式的基本性質(zhì)。教材沒有出現(xiàn)“等式基本性質(zhì)”的名稱和內(nèi)容，給后續(xù)解方程造成了困難。因此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從天平保持平衡道理到等式基本性質(zhì)的知識(shí)遷移，概括出等式基本性質(zhì)的內(nèi)容，讓學(xué)生理解并熟練掌握，為學(xué)習(xí)解方程提前突破難點(diǎn)。
5.優(yōu)化解方程的教學(xué)
解方程的教學(xué)應(yīng)從復(fù)習(xí)鞏固天平保持平衡道理和等式基本性質(zhì)引入。先以100+x=250為例，引導(dǎo)學(xué)生分別用四則運(yùn)算各部分關(guān)系和等式基本性質(zhì)求未知數(shù)x的值。應(yīng)突出用等式基本性質(zhì)解方程的過程及書寫：100+x-100=250-100，x=150，并強(qiáng)調(diào)這種方法在解更復(fù)雜方程時(shí)很有用，以提高學(xué)生積極性。然后引出方程的解與解方程和概念。在此基礎(chǔ)上，教學(xué)形如x+a=b， ax=b的方程解法，就可以直接引導(dǎo)學(xué)生用等式基本性質(zhì)了。應(yīng)結(jié)合解題過程正確板書，示范解題步驟和書寫格式，包括驗(yàn)算。應(yīng)針對(duì)教材中想一想的問題，補(bǔ)充例子，教學(xué)形如x-a=b和x÷a=b的方程解法。
為了熟練掌握用等式基本性質(zhì)解方程的方法，體現(xiàn)這種解法的優(yōu)勢(shì)，以及分散后續(xù)列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)，應(yīng)增加課時(shí)，補(bǔ)充教學(xué)一些稍復(fù)雜方程的解法，如2x-2.8=10.4，x+3x=16.8，2×（x-3.6）=5.8等。暫不教學(xué)形如a-x=b和a÷x=b的方程，因?yàn)榉匠套冃芜^程及其算理解釋比較麻煩。回避這兩種類型方程，并不影響列方程解應(yīng)用題，當(dāng)需要列出這兩類方程時(shí)，總可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。這也體現(xiàn)列方程解應(yīng)用題，可以化逆向思維為順向思維的優(yōu)勢(shì)。
方程思想是一個(gè)建模和化歸過程，它必須經(jīng)歷由簡入繁、由易變難、循序漸進(jìn)的過程，不可能一蹴而就。那么如何在小學(xué)階段有序地培養(yǎng)學(xué)生的方程思想呢？筆者針對(duì)這一問題進(jìn)行了探索。
一、早期滲透
一至四年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)生主要運(yùn)用的是算術(shù)思維，如果在算術(shù)思維中適當(dāng)滲透代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)五年級(jí)方程的學(xué)習(xí)就能水到渠成。其實(shí)翻閱各版本教材，不難發(fā)現(xiàn)，在第一學(xué)段甚至是第一冊(cè)教材中就有許多方程的雛形，在很多練習(xí)中也能找到滲透“方程思想”的素材。
（一）早期滲透等式性質(zhì)
學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的最大困難在于受等號(hào)是“輸出結(jié)果”的影響，如4+5=9，從左往右運(yùn)算，始終拘泥于具體運(yùn)算，而不會(huì)把“4+5”看成是一個(gè)結(jié)果，學(xué)生始終認(rèn)為“4+5”是一個(gè)算式，一個(gè)式子，必須要寫出9才是答案。因此，在學(xué)生的頭腦中只有實(shí)現(xiàn)“=”由“輸出結(jié)果”向“相等關(guān)系”的轉(zhuǎn)變，其對(duì)方程的認(rèn)識(shí)水平才能發(fā)展。在小學(xué)低年級(jí)日常教學(xué)中要加強(qiáng)等式性質(zhì)的滲透，將方程思想貫穿于問題解決之中，為今后的方程教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。如一上計(jì)算5+（ ）=12時(shí)，教師可結(jié)合天平稱物體的具體情境（左邊5個(gè)壘球，右邊12個(gè)壘球，天平的左邊應(yīng)增添幾個(gè)壘球，天平才平衡），通過演示來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟到左邊必須加上7個(gè)壘球，這時(shí)天平才會(huì)平衡，即括號(hào)里的數(shù)填7。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行變式：寫出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后轉(zhuǎn)化為圖形算式：5+7=+2，讓學(xué)生在操作天平的同時(shí)，體驗(yàn)“代入”思路，構(gòu)造圖形等式，推算結(jié)果，體驗(yàn)等式性質(zhì)。
（二）早期滲透方程思想
一年級(jí)的教材中有這樣的習(xí)題：桌子上有5本書，書包里還有一些書，一共有12本書，書包里有多少本書？學(xué)生也會(huì)列成：5+7=12（本），答：書包里有7本書。很多教師都不會(huì)去思考學(xué)生的想法，直接判學(xué)生錯(cuò)。學(xué)生對(duì)這種算法形成的原因到底是什么呢？一年級(jí)學(xué)生在解題時(shí)并未意識(shí)到未知數(shù)和已知數(shù)的不平等，他們更關(guān)注事情的發(fā)展順序。因此，當(dāng)題目的敘述與事情的發(fā)展順序相反時(shí)，由于缺少“從結(jié)果推算出原有條件”的能力，往往將未知數(shù)與已知數(shù)混在一起，按照事情的發(fā)展順序列出算式。這一根據(jù)題目敘述“直陳直寫”的列式方式卻恰恰是小學(xué)中高年級(jí)方程思想的核心，是學(xué)生必須掌握的基本方法。
在教學(xué)中教師應(yīng)該呵護(hù)學(xué)生這種同等看待已知數(shù)和未知數(shù)的想法，這是方程思維的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引導(dǎo)學(xué)生用、（ ）代替未知數(shù)進(jìn)行列式：5+=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），從而讓學(xué)生分清什么是已知的，什么是未知的。這樣的教學(xué)能使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物素材抽象到圖形素材，為從圖形素材抽象到字母符號(hào)素材的思維發(fā)展奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，這樣的安排不僅符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，而且促進(jìn)了學(xué)生對(duì)減法意義的理解，最重要的是保護(hù)了學(xué)生與生俱來的方程意識(shí)。
二、現(xiàn)期調(diào)整
（一）重組教材，整合框架
人教版實(shí)驗(yàn)教材正式進(jìn)入方程學(xué)習(xí)是在五年級(jí)上冊(cè)第四單元，教材編排主線是先用字母表示數(shù)，然后在天平的演示下構(gòu)建方程意義，接著是在具體情境中進(jìn)行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教學(xué)，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三類稍復(fù)雜方程的教學(xué)。教材將方程的解法融入具體情境中，算用結(jié)合，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。學(xué)生一邊要在現(xiàn)實(shí)問題中收集分析有用的數(shù)學(xué)信息，將它們抽象成數(shù)學(xué)語言，同時(shí)又要關(guān)注方程解法技能的習(xí)得，往往會(huì)顧此失彼。所以在實(shí)際教學(xué)中，筆者在教學(xué)了方程意義后，先教學(xué)“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各類方程的解法，最后教學(xué)用方程解決實(shí)際問題。在教學(xué)稍復(fù)雜方程解法時(shí)，筆者有意不使用新的問題情境，而是用學(xué)生熟悉和已掌握的問題類型來幫助學(xué)生理解算理，讓學(xué)生從“以算促用”自然地過渡到“以用引算”。用新方法解決舊問題，對(duì)學(xué)生來說問題是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，無形中降低了學(xué)習(xí)的難度，找到學(xué)生學(xué)習(xí)方程的新的發(fā)展點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)、使用方程的動(dòng)力。
（二）重構(gòu)教學(xué)，建立模型
有許多教師在教學(xué)時(shí)總是將目標(biāo)落在“知識(shí)與技能”這一維度上，把方程意義的學(xué)習(xí)等同于讓學(xué)生記憶“含有未知數(shù)的等式”這句話，在解方程中只重視結(jié)果，注重單純的技能訓(xùn)練，沒有“建模”和“用模”的痕跡。
1.以“質(zhì)變”為認(rèn)知核心，識(shí)別“序”的架構(gòu)
方程的實(shí)質(zhì)是用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立起來，而小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律是從實(shí)物到半抽象的圖形再到字母符號(hào)的過程。學(xué)生在低段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了實(shí)物到圖形的過程，在課堂教學(xué)中教師要把方程的本質(zhì)作為學(xué)生認(rèn)知的核心，注重實(shí)質(zhì)，逐步建立方程思想。在教學(xué)“簡易方程”時(shí)不僅要讓學(xué)生理解“=”表示左右兩邊的相等關(guān)系，讓學(xué)生從“象形方程”到“簡寫方程”再到“符號(hào)方程”，幫助學(xué)生體驗(yàn)符號(hào)代替數(shù)的簡潔，體會(huì)方程的意義，從而讓學(xué)生理解方程是關(guān)于已知數(shù)和未知數(shù)相等關(guān)系的“天平”，促進(jìn)對(duì)方程實(shí)質(zhì)的理解和領(lǐng)悟。
2.以“聯(lián)系”為思維路徑，洞察“聯(lián)”的因果
要讓學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)方程思想，不能就題論題，而應(yīng)當(dāng)從方程的視角抓住眾多事物的共同普遍性的本質(zhì)，以實(shí)質(zhì)上具有同類關(guān)系的問題為主線突出相應(yīng)的解法要點(diǎn)，達(dá)到觸類旁通、體驗(yàn)方程的思想和價(jià)值。如稍復(fù)雜方程以“王阿姨到水果店買蘋果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，蘋果每千克多少元？”為切入口，讓學(xué)生形成“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”的兩積之和模型。教師還可以將例題進(jìn)行變式，把“王阿姨到水果店買蘋果2千克，梨每千克2.8元，買了3千克，梨比蘋果多付3.6元，蘋果每千克多少元？”變式為ax+m=bc的總量相等的模式，還可以變?yōu)槠渌恍┬问健?/p>
學(xué)生在此類問題的分析、討論、驗(yàn)證中可以逐步發(fā)現(xiàn)此類問題的共性，從而將本質(zhì)屬性抽取出來：只有一個(gè)量作為未知數(shù)，不管如何變化，都是總量相等。同時(shí)，也在辨析中突破了“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”兩積之和的基本型，從而打破了例題界限，在眾多形態(tài)各異的表象背后蘊(yùn)藏著千絲萬縷的聯(lián)系和高度概括意義的數(shù)學(xué)思想方法，催化了兩積之和方程模型的建構(gòu)，提升了方程建模的理性高度。
3.以“矛盾”為探究理念，豐富“探”的內(nèi)涵
在方程教學(xué)中一直以來爭議最大的就是解方程是依據(jù)等式基本性質(zhì)還是四則運(yùn)算的關(guān)系？或者是兩者兼顧？到底哪一種好，眾說紛紜。在人教版教材中四則運(yùn)算的方法只在解方程的起始課中出現(xiàn)了一次，教材的意圖是突出用等式的性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。針對(duì)這一“矛盾”，筆者在平行班中進(jìn)行了對(duì)比教學(xué)：班級(jí)①先學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)解方程，然后學(xué)習(xí)用四則運(yùn)算的關(guān)系解方程；班級(jí)②以等式基本性質(zhì)為主，以四則運(yùn)算的關(guān)系為輔；班級(jí)③只學(xué)習(xí)用等式基本性質(zhì)，對(duì)四則運(yùn)算的關(guān)系只在第一課時(shí)一筆帶過。教學(xué)之后，對(duì)三個(gè)班級(jí)進(jìn)行了檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：班級(jí)③的正確率最高，學(xué)生解題基本上不受各部分關(guān)系的影響；但是班級(jí)③的學(xué)生雖然正確率高，而速度明顯要比其他班級(jí)慢得多。
在后續(xù)教學(xué)中，為了提高學(xué)生的書寫速度，筆者在教學(xué)列方程解決問題時(shí)先要求學(xué)生用完整、規(guī)范的步驟書寫。在學(xué)生熟悉步驟后，讓學(xué)生簡化書寫程序，可以將題目中表示未知數(shù)的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。檢驗(yàn)時(shí)運(yùn)用直接代入法進(jìn)行檢驗(yàn)。這樣就大大提高了解答的速度，同時(shí)也提高了學(xué)生主動(dòng)選擇用列方程解決問題的自覺性。
4.以“發(fā)展”為關(guān)注視角，追蹤“發(fā)”的軌跡
在實(shí)際教學(xué)中，教師要站在系統(tǒng)的高度來處理方程教學(xué)內(nèi)容，以初中代數(shù)教學(xué)視角來統(tǒng)領(lǐng)小學(xué)方程教學(xué)，以發(fā)展的眼光看待學(xué)生方程思想的形成過程。
如在教學(xué)ax=b中，教師呈現(xiàn)了以下的題組：
① 一個(gè)正方形的周長是60厘米，它的邊長是多少？
② 某人騎自行車4小時(shí)行了60千米，平均每小時(shí)行了多少千米？
③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？
學(xué)生通過分析都很快列出方程：4x=60。然后教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：“4x”在以上三題中分別表示了什么含義？以上題組創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境簡單易懂，易于讓學(xué)生找出基本的等量關(guān)系，當(dāng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語言對(duì)等量事實(shí)進(jìn)行清楚的描述與概括后，教師讓學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)編一道用方程“4x=60”解答的實(shí)際問題。在教學(xué)中教師用“發(fā)展”的視角利用問題情境的變式，而保持基本數(shù)學(xué)模型的不變，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問題的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生在簡單的現(xiàn)實(shí)情境中感受數(shù)學(xué)建模思想。
三、后期延展
正如前文所述，學(xué)生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一個(gè)由易到難、由簡到繁不斷螺旋上升的過程。學(xué)生雖然經(jīng)歷了從文字方程到圖形方程，再從圖形方程到字母方程的過程，初步建立了方程思想，但要想讓方程思想在學(xué)生腦海里深深烙上印記，就必須在后續(xù)的教學(xué)中結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)素材不斷反復(fù)地加以強(qiáng)化。比如在學(xué)習(xí)人教版“簡易方程”后，教材緊接著安排了“多邊形面積”的內(nèi)容，那么多邊形面積計(jì)算公式的推理過程，多邊形面積的等積變形，也可以與方程教學(xué)有機(jī)結(jié)合。如：一個(gè)等腰梯形的周長是52厘米，腰長為6厘米，如果下底縮短4厘米，面積就要減少9平方厘米。求這個(gè)梯形的面積。在分析解題時(shí)要讓學(xué)生建立“原梯形面積=現(xiàn)梯形面積+9”的加法模型，利用加法模型讓學(xué)生用方程思想解答平面幾何題。這一過程實(shí)質(zhì)上是把幾何中的“形”的問題，借助于代數(shù)中的“數(shù)”去揭示幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到解決問題的目的。還有六年級(jí)的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、正反比例等知識(shí)的學(xué)習(xí)，教師都應(yīng)有意識(shí)地和方程教學(xué)相聯(lián)系。
關(guān)鍵詞：
開學(xué)后的第二周周末，一位以前曾經(jīng)教過的學(xué)生通過QQ問了我一個(gè)六年級(jí)數(shù)學(xué)中的問題：有兩塊布料，第1塊長148米，第2塊長100米，兩塊布料各剪去同樣的一段后，第1塊剩下布料是第2塊剩下布料的3倍，兩塊布各剪去了多少米？學(xué)生設(shè)每塊布料剪去了x米，列方程：148－x＝3（100-x）。可是她自己卻解不了這個(gè)方程，而她的很多同學(xué)甚至列不出方程。
筆者在連續(xù)三年從事高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)，在高年級(jí)的《方程》單元教學(xué)中，也發(fā)覺了一些值得探索的現(xiàn)象和問題。
一、方程教學(xué)中的常見問題
蘇教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》教材要求學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)來解方程。
例題一：解方程x＋65＝100。
錯(cuò)解1：
解：
＝x＋65＝100
＝100－65
＝35
錯(cuò)解2：
解：
＝x＋65＝100
＝x＋65－65＝100－65
＝x＝35
第一種錯(cuò)誤，學(xué)生并沒有掌握解方程的基本方法，沒有使用等式的性質(zhì)解方程，而是受到以往算術(shù)方法的影響，使用“一個(gè)加數(shù)等于和減另一個(gè)加數(shù)”進(jìn)行計(jì)算。第二種錯(cuò)誤，學(xué)生雖然知道用等式的性質(zhì)解方程，卻并沒掌握解方程的書寫格式，導(dǎo)致用等號(hào)將解方程的每一步進(jìn)行了連接。
例題二：學(xué)校食堂原有1500千克大米，上一周用掉一些后，還剩1014千克大米。學(xué)校食堂上一周用掉多少千克大米？
學(xué)生設(shè)學(xué)校食堂上一周用掉x千克大米，得方程：1500－x＝1014。
學(xué)生列出的方程是正確的，然而這樣的方程，大多數(shù)學(xué)生卻解不出來。因?yàn)樵谖迥昙?jí)下學(xué)期學(xué)生只學(xué)習(xí)利用等式的性質(zhì)解形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程，沒有學(xué)過形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。而這樣的方程，利用“減數(shù)＝被減數(shù)－差”則很容易解決。
此類題目，讓教師非常為難。一方面，新教材考慮到小學(xué)數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)的銜接，采用等式的性質(zhì)解方程，并不提倡再回到以往使用四則運(yùn)算的算式各部分之間關(guān)系解方程的老路上來，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，只教形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程；而另一方面，當(dāng)遇到實(shí)際問題時(shí)，難保學(xué)生不列出形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。不教使用四則運(yùn)算的算式各部分之間關(guān)系解方程，怕學(xué)生考試吃虧，教了又怕學(xué)生在認(rèn)知上產(chǎn)生混亂。
二、影響學(xué)生方程學(xué)習(xí)的原因
1.題目命制的影響
目前市面上的各種教輔材料層出不窮，有些解決實(shí)際問題類的題目，無法列出教材中所學(xué)習(xí)的幾種類型的方程，還有一些單純解方程的題目竟也超出了學(xué)生所學(xué)范圍，讓教師和學(xué)生無所適從。
2.教師因素的影響
在小學(xué)階段，算術(shù)方法不可能被方程方法所取代，導(dǎo)致一些教師對(duì)引導(dǎo)小學(xué)生從算術(shù)方法向方程方法的順利過渡沒有得到足夠的重視。另一方面，在列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)中，教材所呈現(xiàn)的題目難度相對(duì)較低，有的甚至可以直接用算術(shù)方法口答。教師教學(xué)過程中注重強(qiáng)調(diào)方程格式，培養(yǎng)學(xué)生良好的解方程的習(xí)慣。而學(xué)生不習(xí)慣于寫“解：設(shè)……”，感覺算術(shù)解法簡單，列方程反而繁瑣復(fù)雜，甚至有學(xué)生覺得，這么簡單的題目還要列方程，這不是“沒事找事”嗎？這樣一來，學(xué)生對(duì)方程方法的接受和運(yùn)用產(chǎn)生困難，必定影響其將來的學(xué)習(xí)。
三、促進(jìn)小學(xué)生方程學(xué)習(xí)的建議
1.逐步滲透代數(shù)思維
在四年級(jí)進(jìn)行“用字母表示數(shù)”的教學(xué)之前，教師就可以開始滲透代數(shù)思維。例如，在低年級(jí)可以用括號(hào)或者其他有趣的符號(hào)來表示數(shù)，到了四年級(jí)學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”時(shí)，學(xué)生就已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，有利于高年級(jí)方程的學(xué)習(xí)。
2.突出方程方法的優(yōu)越性
在列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)中，教師除了注重格式的教學(xué)之外，還應(yīng)當(dāng)注重突出方程方法的優(yōu)越性。教師可以有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些用算術(shù)方法非常繁瑣、而用方程方法比較容易的題目，讓學(xué)生意識(shí)到方程的優(yōu)越性。
3.注重教學(xué)過程中的引導(dǎo)
列方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵就是找準(zhǔn)等量關(guān)系。教師在教學(xué)過程中，可以首先設(shè)計(jì)一些含有未知量的列式題，讓學(xué)生感受將已知量和未知量放在一起進(jìn)行考慮。解決實(shí)際問題的過程中，可以適當(dāng)?shù)貙ふ彝活}目的多種等量關(guān)系，選擇最適宜自己解題的等量關(guān)系列方程。
4.重視作業(yè)及試題設(shè)計(jì)
l.1.005讀作( )，它里面有( )個(gè)千分之一，精確到百分位是( )。
2.六億五千零七萬八千寫作( )，把它改寫成用萬作單位的數(shù)是( )，省略億后面的尾數(shù)是( )。
3.5千米60米=( )千米。 ( )日=36小時(shí)
9.08平方米=( )平方分米， ( )毫升=4.05立方分米。
4.4÷5=(——)=8∶( )=0.( )=( )%=( )成。
5.一節(jié)課的時(shí)間是( )分，再加上( )是l小時(shí)。
6.用分?jǐn)?shù)表示下面各圖形中的陰影部分。
( ) ( ) ( )
7.把32分解質(zhì)因數(shù)是( )。
8.12和18的公約數(shù)是( );16、24和48的毅小公倍數(shù)是( )。
9.4∶5和 ∶ 可以組成比例是因?yàn)? )。
10. 的倒數(shù)是5的( )%。
11.鐘表上分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是時(shí)針的( )倍。
12.右圖是由兩個(gè)棱長都是2厘米的正方體拼成的一個(gè)長方體，這個(gè)長方體的表面積是();體積是()。
13.要挖一個(gè)長60米，寬40米，深3米的游泳池，共需挖出( )立方米的土，這個(gè)游泳池的占地面積是( )。
二、判斷題。正確的在( )括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”。(共5分)
1.含有未知數(shù)的式子叫方程。 ( )
2.圓周長的計(jì)算公式C=2πr，其中的C和r成反比例關(guān)系。 ( )
3.不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況，這樣的統(tǒng)計(jì)圖是折線統(tǒng)計(jì)圖。 ( )
4.植樹節(jié)學(xué)校一共種了2000棵樹，未成活的有4裸，成活率為96%。( )
5.右面正方形的面積為4平方厘米，則陰影部分的面積為2平方厘米。
( )
三、選擇題。將正確答案的序號(hào)填在()里。(共5分)
1.①粉筆;②硬幣;③水管，這些物體中，一定不是圓柱體的是( )
2.一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體等底等高，圓柱體的體積是圓錐體的( )。
[① ②3倍;③ ]
3.比3小的自然數(shù)有( )個(gè)。[①3;②2;③無數(shù)]
4.①圓;②三角形;③四邊形，這些圖形中，一定是軸對(duì)稱圖形的是( )。
5.把10克鹽溶于40克水中，鹽與鹽水重量的比值是( )[① l∶ ;② ;③ ]
四、操作題(共10分)
l.一個(gè)運(yùn)動(dòng)場長為200米，寬為120米，請(qǐng)用 的比例尺畫出它的平面圖。(先分別算出運(yùn)動(dòng)場的長和寬各應(yīng)畫多少厘米)
2.①量一量右面線段的長為( )。
②以這條線段的長為半徑，畫出一個(gè)圓來。
③算一算所畫的圓的周長為( )，
面積為( )。
五、計(jì)算題(共35分)
l.直接寫出下面各題的得數(shù)。 (4分)
34×5= 0.37+ = 0.99÷1.l= 10.6- =
× = 0.375÷ = 40×101= 254+98=
2.解方程。 (6分)
① ② ∶ =5∶0.4 ③2.75 十 ×3=
3.下面各題，怎樣算簡便就怎樣算。 (15分)
①2.8÷ × ÷0.7 ② ×4.8÷( ÷ +0.2)
③0.4×9×25 ④ × +0.25×0.125
⑤ +5.8- +4.2 ⑥ ×[12.6-( +0.125÷12.5%)]
4.列式計(jì)算(5分)
①4.5與 的差的24%是多少?②一個(gè)數(shù)的6倍是10.2與 的和，求這個(gè)數(shù)。(列方程)
5.求圖中陰影部分的面積。 (5分)
六、應(yīng)用題。 (共25分)
l.下面各題，只列出綜合算式，不解答。 (10分)
①六一兒童節(jié)，同學(xué)們做紙花，六年級(jí)做了120朵，五年級(jí)做了100朵，六年級(jí)比五年級(jí)多做百分之幾?
②六年級(jí)有男生80人，比女生多 ，女生有多少人?
③王莊去年總產(chǎn)值為23.5萬元，今年比去年增加了20%，今年的產(chǎn)值是多少萬元?
④小林的媽媽在農(nóng)業(yè)銀行買了6000元國家建設(shè)債券，定期3年，年利率為2.89%，到期她可獲得利息多少元?
2.學(xué)校食堂五月份燒煤9.3噸，六月份燒煤9噸，兩個(gè)月平均每天燒煤多少噸? (5分)
首先，從編者的角度研讀教材。
教材是編者根據(jù)教學(xué)的總體目標(biāo)、學(xué)習(xí)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知心理等特點(diǎn)精心編寫的，只有站在編者的角度上研讀教材、了解教材的編排體系和理解編者的意圖才能更好地把握教材。一般來說研讀教材可分以下幾個(gè)步驟。
系統(tǒng)了解全冊(cè)教材內(nèi)容。掌握編排體系，明確各個(gè)部分與整體的關(guān)系，講課時(shí)才可以做到前后呼應(yīng)：前邊做好孕伏工作，后邊逐步整理，便于學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如在教學(xué)五年級(jí)的“確定位置”之前就必須認(rèn)真研讀二年級(jí)“確定位置”的教學(xué)內(nèi)容，把握學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，再利用二年級(jí)課本上的“班級(jí)座位表中某生的位置有多種不同的表述方式”的情境作為教學(xué)引入，讓學(xué)生感到復(fù)雜、重復(fù)、無規(guī)則，從而產(chǎn)生尋找簡潔的述說方式的欲望，從而揭示課題“用數(shù)對(duì)確定位置”。
全面分析單元教材內(nèi)容。教學(xué)一個(gè)新的單元，必須全面研究單元內(nèi)容的層次與結(jié)構(gòu)，明確單元教學(xué)的目的要求，掌握重難點(diǎn)，抓住知識(shí)點(diǎn)。一般情況下，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理，由簡單到復(fù)雜，由此及彼，依次安排，以便學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)、積累和掌握相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容。例如，五年級(jí)的“方程”單元，首先教學(xué)方程的意義，再教學(xué)等式的性質(zhì)，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程，最后用方程知識(shí)解決生活中問題。教師只有了解整個(gè)單元的知識(shí)脈絡(luò)，心中有數(shù)，才能致力于某一課的教學(xué)。
具體研究例題教學(xué)內(nèi)容。首先必須明確教材中的例題主要讓學(xué)生學(xué)習(xí)什么，以便圍繞知識(shí)點(diǎn)組織教學(xué)、開展教學(xué)活動(dòng)。研究例題的知識(shí)點(diǎn)，還需要關(guān)注例題所涉及的知識(shí)與運(yùn)用范圍。例如，五年級(jí)“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”的例題讓學(xué)生通過動(dòng)手操作感悟“兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)就是最小公倍數(shù)，只要求學(xué)生掌握求兩數(shù)最小公倍數(shù)的方法就可以了”。但教材習(xí)題還擴(kuò)展到“用最小公倍數(shù)方法解決生活中列車的發(fā)車問題”、“房屋裝修鋪地的問題”……所以教師應(yīng)把例題所涉及的知識(shí)與運(yùn)用范圍納入教學(xué)目標(biāo)，才能使學(xué)生觸類旁通、靈活運(yùn)用，進(jìn)而發(fā)展能力。
其次，從教者的角度用好教材。
教師不僅要從作者、編者的角度來體會(huì)教材，更要從教者的角度來體會(huì)教材。教者角度就是教師以“主導(dǎo)者”的角度對(duì)教學(xué)目的、重點(diǎn)、難點(diǎn)、特點(diǎn)、疑點(diǎn)等加以綜合考慮，充分發(fā)揮教師個(gè)人的主觀能動(dòng)性。
教師在研讀教材時(shí)應(yīng)有整體觀念，不僅要了解本學(xué)期的全冊(cè)教學(xué)內(nèi)容，還要了解前一冊(cè)和后一冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。例如哪些內(nèi)容過去放在這個(gè)年級(jí)學(xué)習(xí)，由于教材的改編，放在另一個(gè)年級(jí)了；有關(guān)某方面的內(nèi)容學(xué)生已經(jīng)有怎樣的知識(shí)基礎(chǔ)；哪些知識(shí)內(nèi)容是和后面有聯(lián)系的，可以組合的……一定要全面了解，做到前后貫通，心中有數(shù)。教師的教學(xué)目標(biāo)，也是學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)。因此，教師需圍繞編者的意圖，考慮學(xué)生的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的興趣、難點(diǎn)和希望，要認(rèn)真剖析、合理取舍：與教學(xué)目標(biāo)關(guān)系密切的要巧妙運(yùn)用，加以誘導(dǎo)、啟發(fā)；與教學(xué)關(guān)系不大的要稍加點(diǎn)撥；與教學(xué)毫無相關(guān)的要“棄之不惜”。
最后，從學(xué)生的角度理解教材。
一、數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化方程思想遇到的障礙分析
方程思想，是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲得解決。方程思想的核心體現(xiàn)就是建模思想與化歸思想。
1.滲透建模思想存在的障礙
（1）強(qiáng)勢(shì)的算術(shù)思維定勢(shì)
所謂的定勢(shì)，是指由于心理操作活動(dòng)的積累而形成的解決問題的刻板和準(zhǔn)備狀態(tài)，是人們?cè)谶^去經(jīng)驗(yàn)的影響下，解決問題的傾向性。學(xué)生從一年級(jí)到四年級(jí)，所接觸的、學(xué)習(xí)的都是基于現(xiàn)實(shí)數(shù)字的操作。經(jīng)過四年的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用算術(shù)法解決問題，“通過運(yùn)算得到結(jié)果”這一心理操作過程在學(xué)生頭腦中已根深蒂固。
（2）解題步驟繁雜，學(xué)生心理排斥
算術(shù)法是用算式來表示思維的過程，從形式上來看相對(duì)簡潔。而列方程解應(yīng)用題有其嚴(yán)格、規(guī)范的步驟與格式，特別是要寫出一長串的文字，以說明將哪個(gè)未知數(shù)假設(shè)成已知數(shù)，學(xué)生感覺書寫上特別煩瑣，從而排斥用方程法解決問題。
（3）列方程存在方法上的缺陷
由于學(xué)生長期用算術(shù)法解決問題，而用方程法時(shí)未知數(shù)要參與列式、運(yùn)算，這對(duì)于有些學(xué)生來說是一個(gè)比較難理解的過程，所以有些學(xué)生不是不喜歡“方程”，而是不會(huì)運(yùn)用，只能“敬而遠(yuǎn)之”。具體表現(xiàn)在以下幾方面：不會(huì)找等量關(guān)系式、不會(huì)假設(shè)合適的未知量、不會(huì)解方程。
2.滲透化歸思想存在的障礙
（1）學(xué)生方面的原因
①已有經(jīng)驗(yàn)的負(fù)向遷移
學(xué)生雖然從第二學(xué)段才開始學(xué)習(xí)解方程，但學(xué)生從一年級(jí)開始已積累了與方程思想有關(guān)的符號(hào)、等式的意義等經(jīng)驗(yàn)。筆者在教學(xué)完“等式的性質(zhì)”后，請(qǐng)學(xué)生運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)自主探究出解方程的方法，收集學(xué)生作品進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后發(fā)現(xiàn)，77.5%的學(xué)生傾向于運(yùn)用已有的解方程的雛形經(jīng)驗(yàn)來解方程，這勢(shì)必對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)利用等式的性質(zhì)來解方程帶來負(fù)面影響。
②學(xué)生嫌其書寫格式麻煩
為盡量避免學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算關(guān)系解方程經(jīng)驗(yàn)的負(fù)向遷移，強(qiáng)化用等式的性質(zhì)來解方程，教師往往要求學(xué)生寫出利用等式的性質(zhì)的思維過程，而這種形式上的煩瑣又引起了學(xué)生心理上的反感。
（2）課程方面的原因
①解方程課時(shí)安排過少
新教材在編排上將解方程和列方程解決實(shí)際問題融合在一起，安排了10個(gè)例題的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生既要學(xué)習(xí)列方程解決實(shí)際問題的策略，又要探索解方程的方法，這樣的安排難點(diǎn)過于集中，影響了學(xué)生解方程技能的形成。
②難點(diǎn)突出又過于集中
教材的解方程教學(xué)，只安排了形如x±b=c、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c，而忽略了a÷x=b、a-bx=c、3x+6=4x-2等類型方程解法的教學(xué)，而在具體的問題解決中列出這樣的方程是無法避免的。
二、小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化方程思想的策略
1.在列方程教學(xué)中強(qiáng)化建模思想
（1）體會(huì)優(yōu)勢(shì)，讓列方程成為學(xué)生的應(yīng)然選擇
①方法對(duì)比，在過程中感受方程建模思想的價(jià)值
學(xué)生從開始學(xué)習(xí)到列方程解決稍復(fù)雜的實(shí)際問題，會(huì)面臨復(fù)雜的問題情境，學(xué)生運(yùn)用算術(shù)思維解決問題受挫，沖突引發(fā)需求，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程建模的思想解決問題，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)現(xiàn)頓悟的過程，從而體驗(yàn)到方程分析法的優(yōu)勢(shì)。
②問題比較，在運(yùn)用中感受方程建模思想的適用性
當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行了一定的列方程解決問題的訓(xùn)練之后，也不可避免由算術(shù)思維的定勢(shì)走向了方程分析法的定勢(shì)。所以教師要通過設(shè)立對(duì)比性練習(xí)，讓學(xué)生感悟到根據(jù)順向思維能直接列出算式計(jì)算出結(jié)果的問題適用于算術(shù)法，而逆向思維的、數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題應(yīng)該嘗試用列方程的方法來解決。
（2）重點(diǎn)突破，加強(qiáng)尋找等量關(guān)系的方法指導(dǎo)
教師要尋求合適的教學(xué)策略幫助或促進(jìn)學(xué)生識(shí)別、分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)起問題中的等量關(guān)系，這是方程教學(xué)的關(guān)鍵。要注重從情境本身去建構(gòu)等量關(guān)系，而不是只強(qiáng)調(diào)抽象的等量關(guān)系。
①抓關(guān)鍵句轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)語言，確定等量關(guān)系
語言表達(dá)是完善思維活動(dòng)過程的必要手段。方程分析法的顯著優(yōu)勢(shì)是順向思考，教師給予學(xué)生說的機(jī)會(huì)與時(shí)間，學(xué)生抓住關(guān)鍵語句將題中的事理按順序說出，能進(jìn)一步促使學(xué)生將生活情境轉(zhuǎn)譯成數(shù)量關(guān)系，這是學(xué)生把握等量關(guān)系的有效前提。
②數(shù)形結(jié)合有效表征問題，確定等量關(guān)系
學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行正確的表征，是有效解決問題的前提。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將問題中的信息用畫線段圖的方式進(jìn)行表征。借助直觀形象的線段圖，學(xué)生能更容易找到等量關(guān)系，從而順利實(shí)現(xiàn)方程的建模。
③根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系，確定等量關(guān)系
有些數(shù)量關(guān)系在生活中經(jīng)常接觸，學(xué)生比較熟悉。對(duì)于這樣的數(shù)量關(guān)系，可以讓學(xué)生在充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行抽象。在解決問題的應(yīng)用中，教師要關(guān)注鞏固常見的數(shù)量關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生尋找等量關(guān)系有著至關(guān)重要的作用。
④把握不變量，確定等量關(guān)系
面對(duì)復(fù)雜的問題情境，學(xué)生往往會(huì)感到束手無策，不知如何確定等量關(guān)系式。筆者在教學(xué)中常利用“不變量”的思維，讓學(xué)生通過“不變量”找出等量關(guān)系列出方程，這樣就大大降低了教學(xué)的難度。
2.在解方程教學(xué)中強(qiáng)化化歸思想
（1）運(yùn)用操作原型，專項(xiàng)突破體會(huì)抵消思想。
學(xué)生在理解了等式的性質(zhì)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用等式的性質(zhì)來解方程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在接受上有很大困難。仔細(xì)研究教材，再次發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏消元的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，特別是面對(duì)形式化的方程時(shí)，不知該如何消元，為何要消元。
[案例1]教學(xué)x+10=15
師：你能運(yùn)用自己的方法求出x的值嗎？
（大多數(shù)學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算的關(guān)系來求解，學(xué)生交流后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)。）
師：你能運(yùn)用我們今天學(xué)習(xí)的等式的性質(zhì)來解方程嗎？
（只有少數(shù)幾個(gè)同學(xué)舉手）
師：有點(diǎn)困難，看老師為你提供的材料，能給你帶來啟發(fā)嗎？
生1：我們可以將左邊拿去10g，要使天平保持平衡右邊也要拿去10g。
生2：我們將等式的左右兩邊都減10就可以了。
師：等式兩邊為什么要同時(shí)減去10呢？
生：這樣就可以把x+10變成x，我們就可以求出答案了。
操作原型是跨越算理與算法之間的橋梁。教師注重拉長相關(guān)教學(xué)細(xì)節(jié)，以使學(xué)生操作本身所蘊(yùn)藏的抵消思想得以逐步顯性化。學(xué)生在操作的過程中，豐富了體驗(yàn)，順利實(shí)現(xiàn)抵消經(jīng)驗(yàn)的自然積淀。在此基礎(chǔ)上，教師要加強(qiáng)抵消思想的專項(xiàng)訓(xùn)練，例如：x-15=60，x-15+15=60，以實(shí)現(xiàn)算法的自動(dòng)化。
（2）延續(xù)利用畫圖，以用促算體會(huì)化歸思想
新教材將方程教學(xué)與列方程解決問題融合在一起，在解決復(fù)雜問題時(shí)，很多教師都能引導(dǎo)學(xué)生畫圖來表征問題以實(shí)現(xiàn)方程的建模，但畫圖的價(jià)值也僅限于列方程。在實(shí)際教學(xué)中，筆者將實(shí)際問題的解決與解方程結(jié)合到一起，“以用促算”收到了良好的效果。
這樣的微調(diào)更為直觀形象，方程的運(yùn)用本身促進(jìn)了算法的內(nèi)化，化歸思想也能更容易為學(xué)生所理解。
（3）題型延伸類比，整體建構(gòu)提升化歸思想
慈溪陽光實(shí)驗(yàn)學(xué)校505班 孫璐瑤
“世上只有媽媽好，有媽的孩子像個(gè)寶……”這首兒歌讓我們真切的感受到了媽媽對(duì)我們的愛是多么偉大。雖然愛體現(xiàn)在幾件平凡的小事中……
昨天晚上我睡著后，不知過了多少時(shí)間，我又迷迷糊糊地醒來了。忽然，我仿佛看到了一個(gè)人影走進(jìn)了我的房間。由于我不知道這到底是不是做夢(mèng)，而且又很困，所以又馬上睡著了。
今天早上，媽媽跟我說：“璐瑤，昨天晚上你睡著時(shí)，把被子踢到了地上。幸好我去你房間看過幾次，要不然你的感冒又要加重了！”
“什么？”我問道，“怪不得昨天三更半夜我感到有人影進(jìn)我房間，我還以為是夢(mèng)。原來是媽媽來給我蓋被子呀！謝謝媽媽！”
“媽媽，那么晚了你還來我房間幫我蓋被子，你不困嗎？而且天那么黑，你不怕有鬼？”沒等媽媽說話，我又搶著說。
“傻孩子，要是你沒睡好，我怎么能睡得安穩(wěn)？”媽媽笑道。
還有幾次，我學(xué)奧數(shù)那里的家庭作業(yè)中，出現(xiàn)了幾道難題。我不會(huì)做，去問媽媽。媽媽先用解方程的方法教我，見我聽不懂，媽媽再找到另外的方法解釋給我聽。直到我聽懂后，媽媽才肯放心的走開。
媽媽的愛，是需要你去發(fā)現(xiàn)的。說不定在幾件平凡小事中，卻能體現(xiàn)出媽媽對(duì)我們的大愛。
五年級(jí):孫璐瑤
[教學(xué)內(nèi)容]
人教版五年級(jí)上冊(cè)73頁
[教學(xué)目標(biāo)]
1.使學(xué)生初步理解和掌握列方程解決一些簡單的實(shí)際問題的步驟，掌握簡易方程的解法，提高解簡易方程的能力。
2.讓學(xué)生自主探究，分析數(shù)量之間的等量關(guān)系，并正確地列出方程解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)以及分析、觀察和表達(dá)能力。
3.使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
[教學(xué)重點(diǎn)]
正確設(shè)未知數(shù)，找出題目中的等量關(guān)系，會(huì)列方程，并會(huì)解方程
[教學(xué)難點(diǎn)]
根據(jù)題意分析數(shù)量間的等量關(guān)系
[教學(xué)方法]
創(chuàng)設(shè)情境、自主探索、合作交流
[教學(xué)過程]
一、鋪墊引入
1.解方程
x+8=16 43Ha x=38
2.說出下列題中的等量關(guān)系
（1）我們班男生比女生多8人。（2）實(shí)際用煤比計(jì)劃節(jié)約5噸。（3）實(shí)際水位超過警戒水位0.64m。
3.引入新知
師：同學(xué)們平時(shí)經(jīng)常鍛煉身體嗎？你們平時(shí)都喜歡做哪些運(yùn)動(dòng)呢？
生：跑步、打羽毛球……
師：看來同學(xué)們喜歡的運(yùn)動(dòng)還真不少！
出示教材第73頁例1主題圖，分析圖中獲得的信息，看圖分析。
生：小明的成績?yōu)?.2lm，超過了學(xué)校原紀(jì)錄0.06m。
師：根據(jù)剛才的信息，你能提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？
生：學(xué)校的原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是多少？
師：原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄不知道我們能否用未知數(shù)表示？你能用一種新的方法來計(jì)算嗎？
這節(jié)課我們就來一起學(xué)習(xí)如何用方程解決實(shí)際問題。
（板書課題：實(shí)際問題與方程）
二、探究建模
1.合作探究，解決問題
個(gè)人獨(dú)立思考列式，小組內(nèi)交流自己的想法。
2.交流匯報(bào)，達(dá)成共識(shí)
師：怎么列式呢？哪個(gè)小組來匯報(bào)下你們的想法？
生：4.21Ha0.06=4.15（m），所以學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是4.15m。
師：同學(xué)們還有其他方法嗎？你能找出題里的數(shù)量關(guān)系嗎？
生：也可以用方程來求解。由于原紀(jì)錄是未知數(shù)，可以把它設(shè)為xm，再根據(jù)題意列出方程。
師：你能寫出具體解題過程嗎？
生：解：設(shè)學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是xm，
原紀(jì)錄+超出部分=小明的成績
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x=4.15
所以學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是4.15m。
答：學(xué)校的原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是4.15m。
師：很好！但是這位同學(xué)忘了檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確。有同學(xué)能說說該如何檢驗(yàn)嗎？
生：把x=4.15代入方程，得
方程的左邊=x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程的右邊，
所以求解結(jié)果正確。
3.歸納小結(jié)，提升認(rèn)識(shí)
師：同一個(gè)問題，我們用了幾種不同的方法解決？都合理嗎？
（可以用算術(shù)的方法，也可以列方程解答。）
用方程的思路解決問題，你認(rèn)為關(guān)鍵是什么？
生：尋找分析題目里的數(shù)量關(guān)系，找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
三、練習(xí)鞏固
1.完成教材第73頁“做一做”的第（1）小題和第（2）小題。
你從題中能知道哪些信息？有哪些等量關(guān)系？說出所給條件的單位不統(tǒng)一，要化成統(tǒng)一的單位。
2.小組討論怎樣找到相等的關(guān)系，指名匯報(bào)并板書。
四、回顧小結(jié)
師：這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？用方程解決問題應(yīng)注意哪些問題？（列方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是要找出題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系式假設(shè)未知數(shù)為x，然后再列方程解應(yīng)用題。）
[板書設(shè)計(jì)]
實(shí)際問題與方程
解：設(shè)學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是xm。
原紀(jì)錄+超出部分=小明的成績
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x =4.15
把x =4.15代入方程，得
方程的左邊 =x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程右邊，
關(guān)鍵詞：教學(xué)反思；利用；借鑒 教學(xué)反思的重要性是眾所周知的，幾乎所有的教育專家都強(qiáng)調(diào)課后反思對(duì)教師專業(yè)成長的重要性。然而，卻很少有人會(huì)想到去利用這些寶貴的教學(xué)反思。“前事不忘，后事之師”，自己或他人教學(xué)反思中所提及的教學(xué)問題一般都是教學(xué)上的難點(diǎn)，是普遍存在的教學(xué)問題，是需要我們教師去仔細(xì)琢磨、研究的問題。而教學(xué)反思中出現(xiàn)的亮點(diǎn)部分或許就是解決教學(xué)難點(diǎn)的一種方法或嘗試。平時(shí)多多琢磨自己或他人的教學(xué)反思，不但有助于教師教學(xué)水平的提高，避免一些不必要的失誤，而且能夠有效地提高教學(xué)成效。
一、“磨”教學(xué)反思——有效發(fā)現(xiàn)認(rèn)知盲點(diǎn)，對(duì)癥下藥
一些缺乏經(jīng)驗(yàn)的教師，盡管課前做了精心準(zhǔn)備，教學(xué)中還是會(huì)遇到許多實(shí)際問題。不同教師在同一課時(shí)教學(xué)中出現(xiàn)的問題往往雷同，如果事先借鑒了教學(xué)反思，就可以及時(shí)對(duì)癥下藥，有效避免同類問題的出現(xiàn)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，提升他們的學(xué)習(xí)自信心。
例如：教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”（人教版五年級(jí)上冊(cè)第1頁）這一課時(shí)，本校的一位教師依照優(yōu)秀教案，先教學(xué)例1，出示教材主題圖（買風(fēng)箏），詢問學(xué)生從中了解到什么信息，再提問：“買3個(gè)風(fēng)箏多少錢？”引導(dǎo)學(xué)生列式后，先讓學(xué)生嘗試計(jì)算，再交流不同的算法，最后重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生用豎式計(jì)算。在教學(xué)例2時(shí)，出示“0.72×5”，重點(diǎn)討論小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，最后是練習(xí)“做一做”。布置課后作業(yè)（以下是“作業(yè)本”中部分有代表性的題目）：
1.28×4 18.3×15 7.25×4 4.66×150
一堂課下來，教師自我感覺良好，但學(xué)生課后作業(yè)卻錯(cuò)誤百出，問題何在？原因是教材中出示的兩個(gè)例題，第二個(gè)因數(shù)都是一位數(shù)，而在課后練習(xí)中，學(xué)生需要獨(dú)自面對(duì)的幾個(gè)認(rèn)知盲點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)中并未給予解答（如下表）。
本人在備課時(shí)，由于事先參考了“人教論壇版主王飛云的‘人教版新課標(biāo)教材五年級(jí)上冊(cè)教案（且行且思）’中關(guān)于‘第1課時(shí)小數(shù)乘以整數(shù)’的教后小記”，在課堂教學(xué)時(shí)，有針對(duì)性地選擇題目進(jìn)行練習(xí)，及時(shí)掃清學(xué)習(xí)盲點(diǎn)，課后作業(yè)表明學(xué)生掌握得十分理想。
二、“磨”教學(xué)反思——合理安排課時(shí)，分散難點(diǎn)
新教材沒有固定的課時(shí)安排，教師可以根據(jù)本班實(shí)際靈活安排。把握本班實(shí)際和課時(shí)難度是合理安排課時(shí)的前提，教師也可根據(jù)平行班中水平相似班級(jí)的教學(xué)情況來確定本班教學(xué)課時(shí)數(shù)。
例如：在教學(xué)“稍復(fù)雜的方程（一）”（人教版新課標(biāo)教材五年級(jí)上冊(cè)第65頁例1）時(shí)，我事前認(rèn)為先依據(jù)“比黑色皮的2倍少4塊”列出相等關(guān)系“黑色皮的塊數(shù)×2－4=白色皮的塊數(shù)”，寫出方程“2x－4=20”，學(xué)習(xí)方程的解法是可以用一課時(shí)來完成的。但實(shí)際教學(xué)后發(fā)現(xiàn)這一課時(shí)過于匆忙，教學(xué)效果并不理想。原因是初次接觸稍復(fù)雜的方程解法，中下水平的學(xué)生一時(shí)難以掌握，而且練習(xí)中還出現(xiàn)了諸如“4x－3×9=29”之類的變式練習(xí)，再加上檢驗(yàn)，許多學(xué)生難以掌握；同時(shí)，學(xué)生仍習(xí)慣于用算術(shù)思維解題，以至于獨(dú)立練習(xí)時(shí)出現(xiàn)“x÷2+4=20，x÷2－4=20或x－4÷2=20”之類的錯(cuò)誤。同級(jí)段的施老師聽說了我的教學(xué)情況后，結(jié)合本班實(shí)際，將這一部分內(nèi)容分為兩課時(shí)，第一課時(shí)專門用來學(xué)習(xí)解方程，將此類方程的解法學(xué)扎實(shí)；第二課時(shí)專門用來學(xué)習(xí)列方程解決問題，逐步導(dǎo)入，有效地減輕了教學(xué)難度，并獲得了很好的效果。
三、“磨”教學(xué)反思——減少失敗的概率，提高教學(xué)成效
教學(xué)中總是存在著許多難點(diǎn)，善用教學(xué)反思提早做好準(zhǔn)備，能有效地提高教學(xué)成效。
例如：第一次教學(xué)“人教版新課標(biāo)教材四年級(jí)上冊(cè)第112頁數(shù)學(xué)廣角中的烙餅問題”時(shí)，我是根據(jù)自己的理解，將食物模型操作與表格統(tǒng)計(jì)法（如下表）相結(jié)合的。
但由于學(xué)生本身對(duì)表格的解讀能力不強(qiáng)，再加上表格不能體現(xiàn)出鍋里有沒有位置浪費(fèi)這個(gè)關(guān)鍵性的問題，實(shí)際教學(xué)效果并不理想。事后我琢磨了很多教師教學(xué)本教時(shí)出現(xiàn)的問題以及不同的教學(xué)策略，發(fā)現(xiàn)一位教師的畫圖法能起到很好的教學(xué)效果，畫圖法既能將動(dòng)態(tài)的過程以靜態(tài)的形式形象地顯示出來，還能讓鍋的利用情況一目了然，如下圖：
有了前車之鑒，第二次教學(xué)“烙餅問題”時(shí)，我就完全放棄了表格法，先花半節(jié)課時(shí)間讓學(xué)生充分地通過畫圖來表示自己的想法，結(jié)合圖形來發(fā)表自己獨(dú)到的見解，再在豐富感性材料的基礎(chǔ)上探究其中的奧秘。事實(shí)證明，這種教法有效地突出了重點(diǎn)、突破了難點(diǎn)，很適合當(dāng)前學(xué)生的認(rèn)知水平，從課后作業(yè)情況來看，全班除3人外都已掌握這一課時(shí)的內(nèi)容，效果極佳。
四、“磨”教學(xué)反思——杜絕“師源性錯(cuò)誤”的發(fā)生
“師源性錯(cuò)誤”是指由于教師教學(xué)的錯(cuò)誤而造成學(xué)生間接性的認(rèn)知錯(cuò)誤。教師由于經(jīng)驗(yàn)不足、一時(shí)疏忽或教材意圖不明都會(huì)造成“師源性錯(cuò)誤”。
如：教學(xué)人教版新課標(biāo)教材四年級(jí)上冊(cè)第115頁“數(shù)學(xué)廣角”中的“排隊(duì)等候問題”時(shí)，許多教師會(huì)產(chǎn)生誤會(huì)，自己等候的時(shí)間是否計(jì)算在內(nèi)，如果僅按個(gè)人想法就容易背道而馳。如果事先了解過他人的教后反思或調(diào)查過教研論壇中相關(guān)的信息，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多人都猶豫過自己等候的時(shí)間是否計(jì)算在內(nèi)的問題，最后都是依據(jù)教參的意思計(jì)算在內(nèi)的，難怪部分教師備課時(shí)稍不留神就會(huì)誤入歧途。
一個(gè)教師，在鉆研教材、自我探索的基礎(chǔ)之上，如果還能多“磨磨”自己或他人教學(xué)反思中提及的教學(xué)問題或建議，所收獲的可能不僅僅是課堂教學(xué)的效率和效益，更重要的是在不斷思考、不斷借鑒的過程中伴隨著教師逐步成長的自身能力的提升。如果說寫反思是教師成長的基礎(chǔ)，那么“磨”教學(xué)反思就是教師成長的催化劑。讓我們行動(dòng)起來，多“磨磨”教學(xué)反思，提高教學(xué)成效吧！
參考文獻(xiàn)：
［1］張萬祥，萬瑋.教師專業(yè)成長的途徑.華東師范大學(xué)出版社，2005-10.
［2］朱永新，袁振國.中國教師：專業(yè)素質(zhì)的修煉.南京師范大學(xué)出版社，2003-12.
一、 教科書中“式與方程”的銜接特征
1. 主體內(nèi)容的獨(dú)立單元式螺旋上升
小學(xué)數(shù)學(xué)中的“式與方程”主要包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解決簡單的實(shí)際問題等內(nèi)容。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書就“式與方程”的內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的心理特征、知識(shí)間的邏輯關(guān)系等情況，在編排方式上采用了螺旋上升式。其具體的設(shè)置情況如表1所示。
表 1 蘇教版教科書“式與方程”主體單元設(shè)置情況
蘇教版教科書在四年級(jí)下學(xué)期最后一個(gè)單元安排了用字母表示數(shù)，這是在學(xué)生經(jīng)過第一學(xué)段的準(zhǔn)備后，明確設(shè)置代數(shù)知識(shí)，要求滲透代數(shù)思想方法的獨(dú)立單元。在此單元中教材大部分內(nèi)容是先通過簡單的問題情境，讓學(xué)生先理解字母可以表示數(shù)，進(jìn)而逐步提升原有問題情境的復(fù)雜性，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生熟練地使用含有字母的式子表示各種基本的數(shù)量關(guān)系。其中的例題大多數(shù)采用了歸納的思想方法，通過特例、由算式表示數(shù)量等，啟發(fā)學(xué)生歸納出一般的規(guī)律，而這個(gè)一般規(guī)律需要用含有字母的式子來表示。如下例所示：
擺1個(gè)三角形用3根小棒
擺2個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：2×3
擺3個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3
擺4個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×3
……
擺a個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是：（ ）×（ ）
問題：你知道這里的a可以表示哪些數(shù)么？[1]
接著再學(xué)習(xí)化簡形如“ax±by”這樣含有字母的式子，這部分需要列出的含有字母的式子已經(jīng)達(dá)到了以三步運(yùn)算為主，且是后繼學(xué)習(xí)形如ax+by=c式方程的基礎(chǔ)。
到五年級(jí)下冊(cè)第一單元方程部分，教材首先結(jié)合具體情境――“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生了解等式和方程的關(guān)系，理解并會(huì)應(yīng)用包含四則運(yùn)算的簡單方程。其中有關(guān)等式的性質(zhì)是貫穿整個(gè)方程學(xué)習(xí)的核心――“等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”，“等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式”。這樣使先前等式性質(zhì)與新知充分聯(lián)系起來。教材另外重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是未知數(shù)的表達(dá)既可以是“x”，亦可以是“y”，還可以是“a”，甚至可以是任何字母，即數(shù)學(xué)不再是單純地研究量的科學(xué)，還是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，“變量不再表示數(shù)，而是表示一個(gè)給定域中的類[2]”（如在五年級(jí)下冊(cè)蘇教版教材第2頁到第3頁都刻意用不同的字母來表示等式中的未知量）。同時(shí)拓展了字母代數(shù)的含義，做到有機(jī)地與“式與方程”前一單元內(nèi)容的銜接。
到六年級(jí)上冊(cè)的方程單元，考慮到學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地運(yùn)用等式的性質(zhì)來解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，對(duì)于ax±by的化簡也已學(xué)過，教科書主要設(shè)置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程來解決實(shí)際問題，并引導(dǎo)學(xué)生自主探索有關(guān)方程的解法。三個(gè)獨(dú)立單元的學(xué)習(xí)使學(xué)生分析、抽象概括的能力得到增強(qiáng)，符號(hào)感得到逐步發(fā)展，與此同時(shí)，對(duì)方程解的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)，在文化層面上還傳遞了一種自省的內(nèi)涵。
2.多層面的漸進(jìn)式前置滲透
表 2 “式與方程”前置性內(nèi)容簡要分析
由符號(hào)“”“”“（ ）”“”這些既可表示填寫數(shù)的空位，也可用來表示數(shù)的符號(hào)這樣的孕伏階段逐漸過渡到圖形面積計(jì)算公式和一些運(yùn)算定律的前置性知識(shí)，為正式學(xué)習(xí)字母表示數(shù)做好鋪墊。由25+（ ）=18+（ ）等算術(shù)或代數(shù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系式進(jìn)行呈現(xiàn)與滲透，體現(xiàn)代數(shù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征與代數(shù)思維的關(guān)系性等。如此形成從不同層面的情境、不同層面的知識(shí)、不同層面的思維進(jìn)行前置性滲透，為學(xué)生后繼“式與方程”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
3.多元化的散點(diǎn)式后置拓展
小學(xué)數(shù)學(xué)的“式與方程”實(shí)際上是代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)開端與顯性知識(shí)模塊，后繼其他知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)可以此為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展。現(xiàn)選取“比與比例”以及六年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略》中的“替換與假設(shè)策略”內(nèi)容對(duì)方程知識(shí)的隱性延伸做稍微的闡述：第一，方程“等價(jià)思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)為六年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)比單元《大樹多高》中測量大樹高度的實(shí)踐活動(dòng)就是利用“在同一地點(diǎn)，同時(shí)測量不同的竹竿，高度與影長的比值是相等的”這種等價(jià)思想列出具有對(duì)應(yīng)性的方程的。第二，方程“假設(shè)思想”的拓展應(yīng)用。具體表現(xiàn)如解決問題策略單元的例2“全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材試圖啟發(fā)學(xué)生使用多種具體的假設(shè)方法解決問題，這些均屬于方程知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，單元后面的“雞兔同籠”問題也有異曲同工之效。如此通過或顯性或隱性、不同數(shù)學(xué)知識(shí)模塊以及不同知識(shí)領(lǐng)域?qū)Ψ匠讨R(shí)進(jìn)行散點(diǎn)式的拓展、滲透與鞏固，有效地強(qiáng)化與提升了“式與方程”與其他知識(shí)內(nèi)容的銜接與融合。
二、 教科書中“式與方程”銜接的建議
1.加強(qiáng)“式與方程”單元編排的系統(tǒng)性
“式與方程”模塊在蘇教版教科書劃分為四、五、六三個(gè)年級(jí)的各一個(gè)單元來編排，雖然設(shè)置了針對(duì)性的銜接點(diǎn)，但時(shí)間跨度較長，由于遺忘等會(huì)造成銜接的困難，同時(shí)也會(huì)對(duì)形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生不利影響。知識(shí)系統(tǒng)性的不完整，對(duì)學(xué)生的靈活運(yùn)用是具有破壞性的，所以可適當(dāng)集中設(shè)置，如將五、六年級(jí)兩單元合并為一單元，增強(qiáng)方程體系的系統(tǒng)性。這樣安排也能更好地貫徹《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性質(zhì)”到現(xiàn)今的“依據(jù)等式的性質(zhì)來解方程”），在人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中此內(nèi)容就編排在5年級(jí)上冊(cè)的一個(gè)單元里。
2.注重“式與方程”內(nèi)容與學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的銜接
“式與方程”三部分內(nèi)容的銜接符合知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境，以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的銜接，但在設(shè)置與銜接中缺少對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”因此教科書在前面的引入到后繼的復(fù)習(xí)階段，可由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主設(shè)計(jì)問題，來讓其他同學(xué)解答，使所學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合。通過相互間基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的討論與交流，提升彼此的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)性化，拓展數(shù)學(xué)的本原性知識(shí)，獲得更廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
3.增加“式與方程”與相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的銜接與提升
蘇教版教科書在“式與方程”三個(gè)模塊中，僅有兩冊(cè)書在“你知道嗎？”中提及一點(diǎn)數(shù)學(xué)史知識(shí)，一個(gè)是最早有意識(shí)地系統(tǒng)使用字母的數(shù)學(xué)家韋達(dá)，另一點(diǎn)是介紹我國古代數(shù)學(xué)家李治的“天元術(shù)”與朱世杰的“四元術(shù)”，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的滲透與拓展存在不足。如對(duì)方程及代數(shù)具有重要貢獻(xiàn)的笛卡爾的有關(guān)觀點(diǎn)：“如果我們要解決一個(gè)問題，我們首先假定解已經(jīng)得到了，并且給解的結(jié)構(gòu)中需要的每個(gè)量命名――不論是未知量還是已知量。平等對(duì)待未知量和已知量。然后，我們必須想方設(shè)法建立量和量之間的自然關(guān)系，直到我們發(fā)現(xiàn)用兩種表達(dá)式表示同一個(gè)量。因?yàn)檫@兩個(gè)表達(dá)式表示同一個(gè)量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學(xué)》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號(hào)特征的數(shù)學(xué)史知識(shí)需要更多地在編排中給予關(guān)注，將相關(guān)史實(shí)所蘊(yùn)含的人文內(nèi)涵傳遞出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的特征[3]。
由于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書綜合性強(qiáng)，可讀性與易讀性要求高，在關(guān)注整套教科書的編排，關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等大模塊設(shè)計(jì)的同時(shí)，還要進(jìn)一步關(guān)注各個(gè)主題之間的有機(jī)銜接與融合，注重各主題間的優(yōu)化與滲透，以充分發(fā)揮教科書的功能與價(jià)值，增進(jìn)教科書的有效使用。
參考文獻(xiàn)
[1] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（四年級(jí)下冊(cè)）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.
