時間：2023-05-29 18:21:28
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇等式的性質，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
等式的基本性質，是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上接觸到的。它是系統學習方程的開始，其中蘊涵的“化歸思想”，直接給學生指明了解出方程的明確方向。同時，它也對學生后續學習不等式、函數，起著重要的基礎作用。在接觸這些知識時，我們可以把知識內容加以練習，再次加深等式性質的理解，為進一步深入學習相關知識奠定基礎。
本節課的學習，是在學生生活中常見的、比較容易理解的實驗基礎上掌握等式的兩個基本性質，引導學生通過觀察，發現規律，為今后運用等式基本性質解方程打好基礎，培養學生數學思維能力。
二、教學目標
知識與技能：理解并能用符號語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。過程與方法：在用式子表示實驗結果、討論、歸納的活動中，經歷探索、總結等式基本性質的過程。
三、教學重點與難點
教學重點：利用等式的基本性質解決簡單問題。教學難點：兩個等式性質的靈活運用，明確目的。
四、教學程序（分三部分教學）
（1）聯系實際，激趣引入。大家可以直接看出像4x=24、x+1=3這樣的簡單方程的解。但是形如3x+7=32-2x的方程，僅靠觀察來解就比較困難了。因此，我們還要討論怎樣解方程。方程首先是等式，所以我們要先來看看等式具有什么性質。首先激發探究興趣，提出問題：“同學們，你用天平做過游戲嗎？這節課，我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數學知識?！?/p>
（2）自主探索，合作交流?！緦W習等式的基本性質1】
①具體情境，感受天平平衡。利用多媒體依次展示天平圖的各個操作，讓學生通過觀察，用語言來描述發現，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學生記憶深刻，充分體現了學生為主體，教師為主導的原則。圖1、圖2的教學模式（篇幅所限，圖略，下同）：先讓學生觀察，問：你發現了什么？然后提問：怎樣變換，能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，再進一步提問：往兩邊各放1個杯子，天平會發生什么變化？生口答，驗證。接下去，繼續提問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還會保持平衡嗎？兩邊各放上同樣的一把茶壺呢？生答，再一一演示驗證。圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
②總結抽象，認識規律。通過上面的觀察，先用一句話歸納圖1和圖2的內容。（等式的兩邊都加上或減去相同的數，等式不變。）再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。（等式的兩邊都乘或除以相同的數等式不變，0除外。）教師指出這是等式的一個非常重要的性質，同時要讓學生自己舉例，檢驗等式的性質，加深印象。在這個過程中，要讓學生認識到，我們在天平的兩邊同時放任何一樣的東西，天平都是平衡的。讓學生體會，一會兒我們在用字母表示規律時其中字母取值的任意性，再次加深學生對字母表達運算的認識，從學習的各個過程解決學生遇到的難點。
板書：等式的基本性質
（3）鞏固練習，深化認識。練習題的設計，低起點，小臺階，循序漸進，符合學生接受知識的特點，培養學生的靈活性，使學生逐步獲得成功的滿足感。
【在橫線處填空】
①用適當的數或式子填空，使所得結果仍是等式，并說明是根據等式的哪一條性質以及怎樣變形的。（4分）
1）如果x+8=10，那么x=10+___； 2）如果4x=3x+7，那么4x-___=7；3）如果-3x=8，那么x=__； （4）如果x=-2，那么__=-6.
②完成下列解方程。 （11分）
1）3-x=4. 解：兩邊____，得3-x-3=4_____.于是-x=______.兩邊____，得x=____.
2）5x-2=3x+4. 解：兩邊____，得____=3x+6；兩邊____，得2x=_____；兩邊____，得x=_____。
③解答題：利用等式的性質解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
在此過程中，引導學生尋找發現問題，利用等式的性質解方程，我們要把方程化成什么形式？（X=a的形式）明確運用知識的目的，讓學生學會總結分析學習內容，養成良好的學習習慣。
【課堂檢測】
④解答題：利用等式的性質解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
【拓展訓練】
⑤利用等式的性質解下列方程。（20分）
1）7x-6=-5x；2）-x-1=4；3）2x+3=x-1；4）+2=+2
⑥當x為何值時，式子x-5與3x+1的和等于9？（7分）
⑦列方程并求解。 （8分）
一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字大2，個位與十位上的數字之和是10，求這個兩位數。（提示：設個位上的數字為x）
⑧如果方程2x+a=x-1的解是x=-4，求3a-2的值. （8分）
⑨等式（a-2）x2+ax+1=0是關于x的一元一次方程（即x未知），求這個方程的解。（8分）
五、關注學生的學習體會和感受
1、常規思維法 不等式的證明最基本的方法就是求差比較法，基于此，有如下的解法
證法一a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2
=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2
=（a-b）22-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2
=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
又a，b，c為ABC的三邊
a-b+c>0 a-b-c0
c-a-b0 c-b-a
（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
a2+b2+c2
利用不同的組合，然舊利用求差比較法可以得到
證法二 a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
又a，b，c為ABC的三邊
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正則不等式可以相乘，得到
a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0
-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
a2+b2+c2
2、利用分析法，結合三角形的邊角關系和同向正則不等式可以相乘的性質可以得到
證法三：a，b，c為ABC的三邊
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正則不等式可以相乘，得到
a（b+c）>a2 b（a+c）>b2 c（a+b）>c2
又 2（ab+bc+ca）
=ab+ac+bc+ba+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2
a2+b2+c2
在討論題目的證明過程中，有的同學想到了這樣的證明方法：
證法四a，b，c為ABC的三邊
a-b
（a-b）2
上述三個不等式相得
（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
這種證明簡明扼要，非常優秀，說明學生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a-b
（a-b）2
證明：a，b，c為ABC的三邊
|a-b|
（a-b）2
上述三個同向不等式相得
（a-b）+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
題目證明完成后，進一步引申，可以得到下面的命題：
已知a，b，c為ABC的三邊，求證關于x的不等式
x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集為R。
證明： a，b，c為ABC的三邊
x2+（a+b+c）x+ab+ac+b
由前面的命題可知
（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）
=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
課標聯接：理解等式的性質，利用等式的性質來解方程，提高我們用所學的數學知識解決數學中的實際問題的能力，樹立我們應用數學的意識。
學習目標：
（1）知識與能力：①、理解等式的性質（A層）②、掌握等式的性質解方程（B層）③、能夠靈活應用等式的性質解決相關的問題（C層）。
（2）過程與方法：①經歷用天平探索等式的性質的過程，培養學生的動手能力和善于觀察、總結的能力；（A層）；②經歷用等式的性質解一元一次方程的過程，培養學生的計算能力和應用能力（B層）；③在利用等式的性質解方程的過程中，感悟數學問題的探索性和條理性。（C層）。
（3）情感、態度和價值觀：經歷用天平探索等式的性質的過程，讓學生體驗到數學是從實際生活中產生的，同時又應用于實際生活中，由此感受數學的實用價值
學習重點：等式的基本性質
學習難點：用等式的基本性質解方程。
學習時間：一課時。教學方法：分層次教學、講授、練習相結合。學習過程：
一、創建問題情境，導入課題
問題：同學們，4x=24，x+1=3是方程嗎？你們能夠看出它們的解嗎？但是僅靠觀察來解比較復雜的方程是困難的。因此我們還有討論怎樣解方程。首先我們先看看等式具有一些什么樣的性質。
二、講授新課
1、探索規律
像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y，這樣的式子，都是等式，我們通過以下實驗來探索一下等式的一些性質。
實驗一：觀察總結在平衡的天平兩邊加同樣重的砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態？在平衡的天平兩邊都減同樣重的砝碼，天平兩邊又是什么樣的狀態？規律總結：等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。
用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c
實驗二：觀察總結
在平衡的天平兩邊都加同樣倍數的小鐵球和砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態？在平衡的天平兩邊都減同樣倍數的小鐵球和砝碼，天平兩邊是什么樣的狀態？規律總結：等式的性質2：等式兩邊乘同一個數或除以同一個不為零的數，結果仍相等。
用式子表示：如果如果a=b，那么ac=bc如果如果a=b，那么=
2、范例點擊，應用所學
例1利用等式的性質解下列方程
（1）x+7=26（A層）
（2）-5x=20（A層）
（3）-x-5=4（B層）分析：要使方程x+7=26轉化成x=a（常數）的形式，需去掉方程左邊的7，利用等式的性質1，方程兩邊減7就得出x的解。你可以類似地考慮另兩個方程如何轉化為x=a的形式嗎？
解：（1）兩邊減7，得x+7-7=26-7，于是x=19
（2）兩邊除以-5，得=于是x=-4
（3）兩邊加5，得-x-5+5=4+5，化簡，得-x=9兩邊乘-3，得x=-27
三、鞏固練習
新課改以來，滬教版教材倡導加減法或乘除法的互逆關系來解答方程。凡教授過現行滬教版《簡易方程》章節的教師，都會遇到這樣的教學現狀：雖然利用加減法或乘除法的互逆關系學生能夠解決形如X+12=47、（23+X+18）÷2=30簡單或較復雜的一元一次方程；但一遇上類似X+6=3X兩邊帶未知數的方程時，學生運用算術法來求解的過程明顯有困難。
而且對學生而言，在小學階段依據算術法解方程思想越鞏固（滬教版教材從第七冊開始，就要求學生運用四則運算關系熟練地求出方框中的未知數），這樣的教學后果會造成學生到了初中后，方程教學的負遷移就越明顯，入門障礙就越大。
所以引發筆者這樣的思考：關于“等式性質”這一內容我們的課標是怎么規定的？其他版本的教材中是否出現“等式性質”這一內容？在小學五年級進行“等式性質”教學是否符合學生的認知特點？
二、研讀與比較
基于上述所提問題，筆者進行了以下的實踐：
（一）研讀國家課程標準有關對“式與方程”的規定
《義務教育數學課程課標（2011版）》中提出“了解等式的性質，能夠用等式的性質解簡單的方程”。另外，對于解方程，《標準（2011版）》明確“用等式的性質解簡單的方程”。等式的性質反映了方程的本質，將未知數和已知數同等看待，是代數思想的本質之一。開始從算術方法到代數方法可能顯得繁瑣，特別是對于簡單的數量關系，算術的方法操作起來容易些，但在解簡單方程時還是應當用等式性質，一方面體現代數的方法的本質，另一方面也是與第三學段（中學）學習方程的思路一致。
（二）比對滬教版一期課程標準與二期課程標準對“等式性質”內容的規定
通過比對滬教版兩期的課程標準（如下表）（表略），我們不難發現對“等式性質”這一教學內容的規定，在一期課改時是放入小學階段的，但到了二期課改就從小學階段中移除了。由于課標的指向變化了，所以導致相應的教材亦是如此，一期課改的教材將“等式性質”這一內容編在了四年級第二學期中，二期課改教材就沒有該內容了。
（三）查閱多種教材版本，比較其內容編排
在了解了《課標》規定后，查閱了人教版、蘇教版、北師大版關于《簡易方程》中解方程方法介紹的編排內容，又采集了滬教版關于這章的編寫內容（如下表格）（表略），發現前三個版本都明確要求學生運用等式性質來解答方程，但我們滬教版還是要求學生運用算術法求解方程的。
通過比較，國家課程標準對“等式性質”放于小學階段學習有明確規定，說明專家團隊是建議在此學段進行“等式性質”學習的。另外，比較了國內具有代表性的多種版本教材對于“等式性質”的編寫，和國家課程標準完全吻合。不禁自問：上海的課程標準沒有這樣的規定，小學階段教材自然也就缺少“等式性質”這一內容了，可學生的實際學習情況又是十分需要這一知識。能不能在教學中將這一知識彌補進去？如果要補在什么地方比較適合呢？學生的實際學習情況又會如何？
三、課程內容的思考與調整
（一）思考
通過比較以上四個版本關于《簡易方程---解方程》的編排，作為執教者會思考：像這種依據加減法或乘除法的互逆關系來解方程的方法，一到初中就會被“有理數運算律、消元“等方法取代。而且這些方法不利于中學所學的方程解法的延伸，對學生的后續學習也會產生干擾。竟然如此，在教學這個內容時，能不能借鑒其他三個版本的編排內容，緊緊圍繞《課標（2011版）》將“等式性質”作為小學解方程的另一種方法呢？
（二）調整實施
在以上前期思考下，筆者主要借鑒北師大版對教材教學內容編排的基礎上，重新的調整及補充了課程內容。具體調整補充如下表：（表略）
四、課程內容實施后的實際現象與效果
筆者按照上述的分析，將等式性質（一）與加減法關系、等式性質（二）與乘除法關系進行了融合，并分二個課時進行教學。
在課堂上，一開始學生解答形如：x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b（a≠0）未知數在一邊的方程時都不愿意運用等式性質來求解。從四年級第一學期開始學生已經對運用算術法“求（ ）中的未知數”嫻熟有加，在不斷地操練中，學生積累了比較豐富的感性經驗，形成了一定的解題定勢，所以就算學生了解了等式性質，但他們的第一反應還是想到用加減法或乘除法的數量關系來求解，也是情理之中的事。
但當學生遇到“X+6=3X”一題時，他們的解法出現了分化的現象：近三分之一的學生將“6”看作是一個加數，把X看成是另一個加數，利用“一個加數=和-另一個加數”的數量關系求得了X的值；剩下的學生有一部分開始也想到了利用加減法關系來求解，因為始終出現“X=3X-6”或“3X-6=X”兩邊都帶X的變式，無法成功地將未知數X移至等式一邊而放棄舊方法，想到了等式性質這一新方法，有的學生提出質疑認為“此題不能解”。
面對學生不同的認知沖突，執教者將事先準備好的“利用等式性質具體解題的學習材料”以信封的形式提供給有需要的學生，讓他們通過閱讀學習材料來嘗試獨立解答。從課堂的實際反饋來看，在剩下的學生中多數學生能通過自學，成功的運用等式性質求得了未知數X的值。具體過程是：“X+6-X=3X-X，2X=6，X=3”。隨后，又安排學生們對兩種解法進行比較，最終得出選擇適合自己和題目類型的解方程方法才是最佳方法的觀點。
“等式的性質”是數與代數中“簡易方程” 的部分內容，是學生在認識了等式與方程的基礎上進行教學的，在教科書中占用重要的地位；它是系統學習方程的初步，是學習解方程基礎和依據，其核心思想是構建等量關系式的數學模型；對將來學習解一元一次方程中的移項、合并同類項有著至關重要的作用，學生對等式的性質探究過程中還滲透著轉化、歸納等重要的數學思想方法。更有助于培養學生的抽象概括能力，發展學生的數學語言和符號意識；更有助于加深和鞏固所學的算術知識；同時更有利于加強中小學知識上的銜接與應用。
人教版教科書，首次在“簡易方程”單元把“等式的性質”作為單獨的內容編排，并安排一課時時間進行教學，強化了等式性質教學。從方程的意義上講，這樣編排更有利于學生對方程意義的深入理解，也為今后學習解方程明確了方法。學生在探究“等式的性質”的過程，實際就蘊含了解方程的方法。在解方程的過程中，學生就會熟練地利用等式性質轉換來正確地解方程，解決實際問題。為將來進一步學習，打下了堅實的基礎。
下面僅以“等式的性質”教學設計看新課程背景下我們教師是怎樣解讀課標、研讀教材、構建新課堂。
1.解讀實施“課標”以學生為主體
兩位教師的教學設計，都不同程度體現了2011版《數學課程標準》理念。二位教師新課導入，都是以復習什么是方程入手，考慮了知識的整體結構，使“等式的性質”的學習，起到了承上啟下的作用，這也是“數學課程標準”提出的。在教學過程的設計上，注意創設活動情境，引導學生自主探究，合作交流。通過引導學生在天平實際操作中觀察、歸納、發現、抽象出等式的性質，體驗等式的性質。這充分體現了以學生為主體，以教師為主導的新課程教育思想理念。
2.研讀教材，滲透思想方法，形成基本活動經驗
新版教科書中“等式的性質”是按獨立的一課時進行編排的，可見這部分知識的重要。“等式的性質”是學生在掌握了一定的算術知識（包括整數、小數的四則運算及應用），已初步接觸了一些代數知識（如運算定律）的基礎之上進行學習的?！暗仁降男再|”的學習是在學生實驗操作的基礎上，感知等式的基本性質。兩位教師讀懂了教材，讀懂了學生。通過引導學生操作、觀察、比較、抽象概括，探索發現規律，構建數學模型。
例如：二位教師設計的天平實驗操作的環節，都引入了字母來表示不同的物品，把文字語言轉化為符號語言，有利于學生把實際操作發現的結果抽象為用字母表示的等式，同時也滲透了符號化的數學思想。如黨老師設計的三個天平圖的練習（看圖，并用字母寫出等式），最后一幅圖，學生要聯系前兩個天平圖才能寫出等式。這個開放的習題設計，不僅引導學生用聯系的發展的眼光整體地看問題，同時也體現了代換的思想。學生在學習中不僅掌握基本數學思想，還形成了基本活動經驗。
3.自主探究、合作交流、動手實踐，構建新課堂
《數學課程標準》指出：“學生的數學學習和活動應當是一個生動的主動和具有個性的過程。”“動手實踐、主動探索與合作交流，是學生交流的主要方式”也是課程改革的核心理念。新一輪課程改革，不僅改變了教科書的結構、課堂教學結構，更重要的是改變了教學方式和學習方式。《數學課程標準》指出：“教師是教學活動中，組織者、引導者與合作者?！痹诮虒W中，二位教師的教學設計都體現出引導者的作用。學生學習掌握“等式的性質”，這一教學環節是在教師的啟發引導下，通過動手實驗操作，觀察發現，歸納推理，抽象感知，學生親歷了學習新知的過程。二位教師精心設計課堂，給學生創設自主探究、合作交流的機會，真誠地與學生合作，共同構建一種新的課堂文化。學生在自主探究、合作交流中學習新的知識，建立數學模型。
4.研讀教科書，用好教科書
隨著新一輪課程改革的不斷深入，大多數教師在讀懂教材的基礎上，大膽地對教材進行重組加工，加工后的情境更貼近學生的實際生活，更有利于學生感知知識的形成過程，加工后的習題不僅具有基礎性，還有拓展性，有利于提高教學質量。
二位教師在教材使用和教學設計上，有須要商榷的地方。比如：謝老師的教學設計過于拘泥于教材中的情境，用教科書中圖給出的物品，生活中不容易找到正好的具有等量關系的合適物品，也不利于學生實際操作和感知知識的形成過程。相比較黨老師的設計，選取的物品就相對好一些，有利于學生的實驗操作和感知“等式的性質”。習題選用上謝老師多數選用了教科書中的題目，比較黨老師的習題設計更基礎一些。黨老師的習題設計比較開放。如果二位教師的習題設計，能互相融匯，既有基礎題，鞏固題，拓展題等不同層次的習題。就更有利學生對新知的鞏固和思維的拓展。有利于落實數學課程“四基”“四能”的培養目標。
一改以往利用四則運算的各部分關系來解方程。在研究了新課程標準后，我決定以新課程理念為中心，堅決向學生傳授等式的原理解方程這一新思路和新方法。教學下來卻發現，學生接受并不像想象中那么容易，出錯率非常高。主要表現在當未知數是減數和除數這兩種情況時的方程的解法出錯，學生對中間出現的負數的處理有了難度。代了十幾年小學數學了，以前一直認為列方程是難點，解方程小菜一碟，沒想到現在解方程也出現了難題。利用等式的性質來解方程難道沒有其優越性嗎？新課程這樣設置的出發點和著眼點是什么呢？
原來，在新課程改革時，一些數學專家認為小學用算術思路解方程，到了中學卻是用等式的基本性質來教學解方程，小學的思路對中學代數起步教學產生了一定的影響。因此，在小學階段利用等式的性質解方程用意在于和初中數學教學接軌。
在明白原因后，為了與初中數學緊密結合，我堅定不移地將等式的性質作為解方程的唯一思想來進行教學，但是一學年過后，學生的掌握程度依然不高。新教材有意回避了當未知數是減數和除數這兩種情況時的方程的解法，但是小學數學經常出現這一類的問題，我們是不能回避的。學生不習慣在方程的兩邊同時加一個代數式，例如“8-x=3”，他們在方程兩邊同時減去8，變成了“8-x-8=3-8”，繼而變成“-x=-5”而不會解了。好多學生不習慣利用等式的性質解方程，而是不自覺地就利用加減乘除法各部分結果來解答方程，老師又不能說人家錯，引發了知識運用的空前混亂。我只好妥協地將兩種方法柔和起來應用，卻驚訝地發現學生都喜歡用四則運算算理這種方法，正確率立馬提高到95%以上，出錯的原因多是計算粗心和通分。我的心中卻有了許多忐忑，是不是違背新課程的理念了呢？在與老師們多方教研后，我又上網查閱了大量的資料和咨詢了多名小學數學專家后，思想逐漸由亂變得穩定，逐漸地形成了如下的認識，供大家批評指正：
一、新課程標準沒有錯，應該把利用等式的性質解方程看做首選進行教學
加減乘除四則運算是小學一至四年級學習的重要知識，其實學生對他們已經了如指掌，已經熟練掌握。列方程其實就是要把逆向思維轉換為順向思維，本身就是對學生以前一直慣用的算術方法的挑戰。
例如“公園里，猴子比大象多5只，猴子有15只，大象有多少只？”學生很容易列出“15-5=10（只），大象有10只”。但是，在學了方程后，他們就學會了列出“解：設大象有x只，15-x=5”這樣一個方程。這就是思維的變換，如果仍然用四則運算理解方程，對于學生來說還有什么能力提高可言？因此，利用等式的性質來解方程就是一次學生知識結構的變革和知識水平的提高。課改的教師切不可放棄這種方法，應該努力實踐，大膽拓展學生的思維。
等式的性質這個知識點應該作為一個重點來進行講解，學生不理解或者理解淺顯模糊，都會給后來的解方程帶來障礙。教材是利用天平來幫助學生理解等式的性質的。當天平兩端什么東西也沒放的時候，天平左右兩端是平衡的。當往天平一端放物體而另一端不放的時候天平就會向有重物的那一端傾斜。當往沒有重物的那端逐步放砝碼的時候，天平就會平衡。當我們同時從天平兩端都加上（或去掉）相同的重物時，天平依然平衡。由此引出：等式兩邊同時加上（或減去）同一個數，所得結果仍是等式；等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是
等式。
對于“8-x=3”這樣的方程可以利用等式的性質，方程兩邊都加上x就變成了“8=3+x”也就是“3+x=8”然后方程兩邊再同時減去3變成“3+x-3=8-3”，繼而得出x=5。用這個方法來解方程要復雜和繁瑣。不過，老師要記住這是一種新的思維、新的角度、新的策略，不可忽視。同樣可以這樣解答，是有點麻煩，但其中糅合了等式的性質，又學習了新知識是非常值得的！
二、解方程時以等式的性質為主，四則運算為輔，共同完成教學任務
《義務教育數學課程標準》中明確提出：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化”。我個人理解，這與教材要求用等式的性質解方程并不矛盾，新課程的理念就是要讓學生的知識得到拓展和延伸，它也并沒有反對大家利用四則運算算理來進行解方程，作
為教師要牢記課改的神圣使命，切不可盲目地追求高分率，圖方便棄難就易，而影響學生的知識體系的形成。
我認為在教學中要以利用等式的性質解方程為主，同時不反對學生利用加減乘除法各部分之間的關系來解方程。對于“8-x=5”或“8÷x=3”這類方程就放手讓學生用“減數=被減數-差”或“除數=被除數÷商”來解決，但不能放松等式的性質的探究，要讓學生學會用等式的性質來解決這類問題。
三、學生對方程的解法由單純到模糊，再由模糊到清晰的過程，是符合事物發展的辯證規律的
新舊知識的沖突是不可避免的，能不能迅捷地接受新知識也是判斷一個人能否不斷革新挑戰自己的重要標準。由于受到舊知識的影響，學生都習慣用過去的經驗來處理現在遇到的問題。學生在接受新知識時，出錯最多的時候，也正是我們教師需要反思和改進的時候。這說明他們對新知識理解不夠，只有精講多練，理論聯系實際，才能讓他們對知識的理解逐漸深入，形成完整的、清晰的認知結構和能力。
參考文獻：
人教版七年級數學下冊主要包括相交線與平行線、平面直角坐標系、三角形、二元一次方程組、不等式與不等式組和數據的收集、整理與表述六章內容。下面小編給大家分享一些七年級下數學知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
七年級下數學知識點1第一章 相交線與平行線
一、知識框架
二、知識概念
1.鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
4.平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
5.同位角、內錯角、同旁內角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關系的一對角叫做同位角。
內錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。
6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。
7.平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。
8.對應點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
9.定理與性質
對頂角的性質：對頂角相等。
10垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
11.平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
12.平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
13.平行線的判定：
判定1：同位角相等，兩直線平行。
判定2：內錯角相等，兩直線平行。
判定3：同旁內角相等，兩直線平行。
本章使學生了解在平面內不重合的兩條直線相交與平行的兩種位置關系,研究了兩條直線相交時的形成的角的特征,兩條直線互相垂直所具有的特性,兩條直線平行的條件和它所有的特征以及有關圖形平移變換的性質,利用平移設計一些優美的圖案.重點:垂線和它的性質,平行線的判定方法和它的性質,平移和它的性質,以及這些的組織運用.難點:探索平行線的條件和特征,平行線條件與特征的區別,運用平移性質探索圖形之間的平移關系,以及進行圖案設計。
七年級下數學知識點2第一章 平面直角坐標系
一.知識框架
二.知識概念
1.有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對，記做(a,b)
2.平面直角坐標系：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。
3.橫軸、縱軸、原點：水平的數軸稱為x軸或橫軸;
豎直的數軸稱為y軸或縱軸;兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。
4.坐標：對于平面內任一點P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應的數a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標。
5.象限：兩條坐標軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐標軸上的點不在任何一個象限內。
平面直角坐標系是數軸由一維到二維的過渡，同時它又是學習函數的基礎，起到承上啟下的作用。另外，平面直角坐標系將平面內的點與數結合起來，體現了數形結合的思想。掌握本節內容對以后學習和生活有著積極的意義。教師在講授本章內容時應多從實際情形出發，通過對平面上的點的位置確定發展學生創新能力和應用意識。
七年級下數學知識點3第一章 三角形
一.知識框架
二.知識概念
1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。
4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
5.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。
6.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
7.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。
8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
10.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
12.公式與性質
三角形的內角和：三角形的內角和為180°
三角形外角的性質：
性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于(n-2)·180°
多邊形的外角和：多邊形的內角和為360°。
多邊形對角線的條數：
(1)從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線，把多邊形分詞(n-2)個三角形。
三角形是初中數學中幾何部分的基礎圖形，在學習過程中，教師應該多鼓勵學生動腦動手，發現和探索其中的知識奧秘。注重培養學生正確的數學情操和幾何思維能力。
第八章 二元一次方程組
一.知識結構圖
二、知識概念
1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1，像這樣的方程叫做二元一次。
方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數的值叫做二元一次方程組的解。
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。
5.消元：將未知數的個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：將一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
7.加減消元法：當兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
本章通過實例引入二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程組的概念,培養學生對概念的理解和完整性和深刻性,使學生掌握好二元一次方程組的兩種解法.重點:二元一次方程組的解法,列二元一次方程組解決實際問題.難點:二元一次方程組解決實際問題
七年級下數學知識點4第九章 不等式與不等式組
一.知識框架
二、知識概念
1.用符號“”“≤ ”“≥”表示大小關系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成6.了一個一元一次不等式組。
7.定理與性質
不等式的性質：
不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子)，不等號的方向不變。
不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變。
不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變。
本章內容要求學生經歷建立一元一次不等式(組)這樣的數學模型并應用它解決實際問題的過程，體會不等式(組)的特點和作用，掌握運用它們解決問題的一般方法，提高分析問題、解決問題的能力，增強創新精神和應用數學的意識。
七年級下數學知識點5第十章 數據的收集、整理與描述
一.知識框架
二.知識概念
1.全面調查：考察全體對象的調查方式叫做全面調查。
2.抽樣調查：調查部分數據，根據部分來估計總體的調查方式稱為抽樣調查。
3.總體：要考察的全體對象稱為總體。
4.個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。
5.樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。
6.樣本容量：樣本中個體的數目稱為樣本容量。
7.頻數：一般地，我們稱落在不同小組中的數據個數為該組的頻數。
8.頻率：頻數與數據總數的比為頻率。
在以前人教版教材中，學習解方程之前首先要求學生掌握加、減、乘、除法各部分之間的關系，然后利用加減乘除各部分之間的關系來求出方程中的未知數，而今人教版教材的設計是借用天平使學生首先感悟“等式”，知道“等式兩邊都加上或減去同一個數、同時乘或除以同一個數（0除外），等式仍然成立”這個規律。在老方法中，只要記住加減乘除各部分之間的數量關系就可以解任何簡單的方程，但是學生必須要去記加減乘除各部分之間的關系。新方法只要學生能明白等式的性質（也就是天平的平衡原理），就可以解方程。這樣的設計減輕了學生的負擔，培養了學生分析數量和解決問題的能力。但在實際的方程教學中，還是存在一些問題。
形如x±a=b一類的方程利用等式的基本性質，學生很容易解決；形如ax=b與x÷a=b一類的方程，利用等式的基本性質，學生也很容易解決。但是，形如a-x=b和a÷x=b之類的方程，學生就無從下手了――如果利用等式的基本性質解，方程變形的過程及算理解釋比較麻煩。這種情況，很多教師利用老方法解方程（減數=被減數-差，除數=被除數÷商），也解決了這類問題。但是，對于兩邊都有未知數的方程（比如用方程解答盈虧問題時會列出兩邊都有未知數的情況），不管是老方法還是等式的性質，都不能很好地解決，以至于很多學生非常困惑，不只一次地說：“老師，有些應用題，我能列出方程，可是卻解不出來，怎么辦呢？”
針對這種情況，我一直在思考怎樣才能很好地解決。新教材中的等式的性質有點趨向七年級的教學方法，意圖是與七年級的教學接軌。這種設計是為了讓小學生盡快接受初中一年級（七年級）的教學方法，并為七年級打下良好的學習基礎。因此，我翻閱了七年級的教材。當看到“移項”時，我靈機一動：既然等式的性質小學生能用，那移項為什么不能拿到小學來講呢？這樣不管是未知數在減號之前還是之后，等式兩邊是否有未知數，不是都能解決了嗎？有了這種想法，我就開始對部分學生實施這種教法。
如：教學3x+7=37-2x時，要讓學生首先明白：方程中的每一頊都必須是帶著它前面的符號，等號兩邊的第一個數，都是省略了加號的。移項就是從方程的左邊移到右邊，從右邊移到左邊，而移動的那一項必須要改變符號，即“加號變減號”、“減號變加號”。移動的目的是把未知項和未知項放在等號的一邊，把常數項和常數項放在等號的另一邊（一般是先觀察未知項）。沒有移動的那一項要照抄下來。最后一步再利用等式的性質，兩邊同時除以與x相乘的數，就求出了x的解。具體過程如下：第一步，把右邊的“-2x”移到左邊變成“+2x”，同時把左邊的“+7”移到右邊變成“-7”，兩邊沒有移動的照抄下來，即：3x+2x=37-7。第二步，分別計算左右得：5x=30。第三步，利用等式的性質，兩邊同時除以與x相乘的“5”，即5x÷5=30÷5，得x=6。
對于未知項在減號后面的情況，如135―5x=45，同樣可以用移項的方法解決。因為移項要變號，所以一般看到未知項前面是減號，就把帶減號的未知項移動到等號的另一邊，使它變成加號。此題的具體步驟是：第一步，把左邊“-5x”移到等號的右邊變成“+5x”，因為要放在右邊第一個，所以“+”可省略不寫，同時把右邊的“+45”移到左邊，變成“-45”，即：135-45=5x。第二步，算出90=5x。第三步，利用等式的性質，兩邊同時除以與x相乘的5。最后一步，要按習慣把x放在左邊，得x=18。
而對于非常復雜的方程，如7（x+6）-3x=4（2x+5），必須要先去掉括號，再化簡，最后再移項，求出x的解。具體步驟是：第一步，去括號得：7x+42-3x=8x+20。第二步，觀察到左邊，一共有三項，所以化簡得：4x+42=8x+20。第三步，移項，把左邊的“+4x”移到右邊，變成“-4x”，同時把右邊的“+20”移到左邊，變成“-20”，得：42-20=8x-4x。第四步，算出22=4x。第五步，利用等式的性質兩邊同時除以與x相乘的4，并把x放在左邊，得x=5.5。
用移項的方法，學生容易明白，但在自己做的時候，還是易把符號混淆，還需要多加訓練。訓練到一定程度后，不論多么復雜的方程，學生解起來都是得心應手，也不擔心在解應用題時列出方程不會解了。后來，我又在全班推廣這種方法，讓學生牢記“移項變號”，并由簡單方程到復雜方程，逐步增加復雜程度，學生反響良好。幾年后，學生到了初中，我原來的學生告訴我，當學到一元一次方程時，他們已經不用老師講這一節內容了。
所以，經過幾年的實踐，我認為，完全可以把初中的這一內容提到小學來解決，只要突破這一難點，“列方程解應用題”的難點將會迎刃而解。
[關鍵詞]掌握學習策略 掌握數學
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-052
布盧姆教學理論的核心內容是“掌握學習理論”。所謂“掌握學習”，就是在“所有學生都能學好”的思想指導下，以集體教學（班級授課制）為基礎，輔之以經常、及時的反饋，為學生提供所需的個別化幫助以及所需的額外學習時間，從而使大多數學生達到課程目標所規定的掌握標準。數學是一門高度形式化的學科，在這門學科中有許多為了學習者教學起見而制定的明確結構。因此，在數學中，代數學家能夠很容易地決定：代數的基本模式或結構，是通過理解交換律、分配律和結合律顯示的。當學生掌握了這種結構，就能鑒別他們所必須解答的所有代數題都是這三種類型中這一或那一類型的變體，并能夠解答它們。鑒于數學學科的結構和學生認知發展的特點，如果教師能很好地運用掌握學習策略，那么教師的課堂教學就能夠促進學生掌握數學。
一、掌握學習策略的實質
有充分的證據證明，學校學習中確實存在個別差異。這種差異形成的原因，主要來自于學生掌握新的學習任務所需要的基礎知識和技能的程度、學生學習形成動機以便參與學習過程的程度和教師教學適合于學生的程度等三大變量。總的來說，學習中的差異和學生的學習水平是由學生的學習史和他們所受的教育的質量決定的。如果在這兩方面進行適當地改變，就可縮小學生之間的差距，大大提高他們的學習水平。
掌握學習的策略問題，是一個確定怎樣方能把學習者的個別差異與學和教的過程聯系起來的問題。教師必須盡力保證使全部學生在自我發展方面有成功的學習經驗。
掌握學習策略是受特定種類學習的能力傾向、教學的質量、理解教學的能力、毅力、允許學習的時間主要五種變量制約的，教師運用掌握學習策略在于尋求如何利用這些變量的各種方式。掌握學習有許多可供選擇的策略，每一種策略必須通過某些手段把教學與學習者的需要聯系起來，從而找到對付學習者的個別差異的某種途徑，每一種策略必須包括能夠對付上述五種變量的某種途徑。
二、掌握學習策略的實踐思考
數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學是對客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。小學數學中，代數領域的簡易方程是最能體現數學學習規律和特征的內容。學習簡易方程的過程，是學生在學習了一定的算術知識的基礎上，逐步轉向代數學習的典型過程。從方程模型的構建過程中可以反映出教學中是如何利用掌握學習策略促進學生掌握數學的。這一單元主要的學習內容是等式的性質和解簡易方程，以及簡易方程在解決一些實際問題中的運用。學習目標是理解并掌握等式的性質，并能用等式的性質解簡單的方程；掌握解形如x±a=b、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并能正確地進行檢驗；會用方程解決簡單的實際問題。讓學生經歷從生活情境到方程模型的構建過程，使學生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，積累數學活動的經驗，感受方程的思想方法和價值，發展抽象思維能力和增強符號感。
根據信息加工理論，我們認識到學習的主要因素不是重復和練習，而確保學習的最可靠的條件是先前學習的必備能力。如果學生確實學會了這個技能，他很可能將學會新技能而無需重復。從掌握學習策略上看，我們要為學生學習簡易方程提供好的先決條件：理解常見的數量關系；掌握交換律、結合律、分配律等運算定律；能用字母表示數，用含有字母的式子表示數量、數量關系和公式，求含有字母的式子的值，化簡形如ax±bx的式子。而這些學習任務已經在以前的學習中完成，需要我們教師做的事情就是了解學生對上述內容的掌握情況，如果確認學生已經掌握，我們就可以進行簡易方程的教學。
三、掌握學習策略的實施
掌握學習策略要求將學習分為小的單元，讓學生每次學習一個小的單元并參加單元測試，指導學生以80%～100%的掌握水平通過評價測驗為止，然后再進入下一個單元的學習。我們把簡易方程學習分為等式和方程、等式的性質和解簡易方程、列方程解實際問題三個小單元。下面就結合掌握學習策略依次說明三個小單元的教學過程，并嘗試分析學生的掌握學習效果。
1.通過類屬學習認識方程
利用生活中的天平把包攝水平較高的等式概念呈現給學生。鑒于等式和方程之間的關系，對于方程來說，等式具有最大的解釋潛力，因為等式的介入，學生學習方程這個新概念的困難就可避免。當含有字母的等式出現時，學生通過比較和觀察，就能進行適當的分類，并歸納出“像x+50=150、2x=200這樣含有未知數的等式是方程”。在此基礎上，進一步通過集合圖來理解等式和方程的類屬關系。從理解認知心理上分析上述過程可以看出，學生通過以前對等式的學習與理解，在認知結構中已經有了一般的和包攝的概念，在碰到進一步分化的學習材料時，它便能起到類屬的作用。這樣有意義的接受學習和保持就會最容易、最有效地發生，這也反映出類屬學習要比總括學習更容易。
在制定策略時，我們需要清楚地知道一些必需的先決條件，擬定規定的操作程序，以及評價這些策略的一些結果。教學目標和教學內容的詳細說明，是讓教師和學生雙方知道預期目的的一個必需的先決條件。把詳細的說明轉化成評價的程序，有助于進一步解說學生學完一段內容或一門課時應該能夠達到什么標準。用來估價教學結果的評價程序（形成性評價和總結性評價）有助于教師和學生知道什么時候的教學是富有成效的。其中必須伴隨有對教學過程和結果的診斷，并能開出相應的處方。這樣，通過使用診斷程序和可供選擇的教學方法和材料，使大部分學生達到預定的成績標準，以補充正規集體教學之不足。這些策略和方法的運用中，毫無疑問的是有些學生在學習某些內容時所花的時間要比別人多。但是如果大多數學生在分配給這些學習任務的時間結束時，都達到掌握的水平的話，掌握學習就產生情感的和認知的結果。對方程含義的認識，在學生知道方程含義的基礎上，我們將通過判斷哪些式子是等式，哪些式子是方程，能否舉出方程的例子來診斷學生是否掌握。針對需要幫助的學生，教師還要進一步讓學生對等式和方程進行辨析，并安排學生將算式中的用圖形表示的未知數改寫成用字母表示等練習來保證掌握學習。
2.利用等式性質學會解方程
（1）利用天平平衡圖探索概括等式的性質
根據小學高年級學生的思維正從具體的表象思維向抽象的符號思維發展的特點，我們在教學等式的性質時，通過天平平衡圖讓學生探索并理解等式的性質。例題中安排了四組圖片，先讓學生觀察并依次填寫出四個等式：50+10=50+10，50+a=50+a，x+a=50+a，x+a-a=50+a-a，然后再讓學生聯系天平保持平衡的過程，通過觀察、分析、比較、討論等多種方法歸納概括出等式的性質，這里鼓勵學生創造性地發現數學規律，并能用自己的語言進行描述，力求提高學生的思維能力和表達能力。在此基礎上，引導學生得出：等式兩邊同時加上或減去同一個數，結果仍然是等式。并且告訴學生這就是等式的性質。而對于“等式兩邊同時乘或除以同一個不是0的數，結果仍然是等式”。這個補充性質的學習，可以看做學習的延續，是概念的遷移和深化，也是對先前概念掌握情況的評價診斷，通過這個程序就能確切地判斷學生掌握學習的情況。
（2）通過等式的性質遷移到方程的解法
根據掌握學習策略的反饋要求，在學生知道等式性質的基礎上，教師要進一步評價學生掌握學習的情況，故安排填空練習，讓學生根據等式的性質在里填運算符號，在里填數。x-25=60，x-25+25=60；x+18=48，x+18-18=48。教師要讓學生說出填空的依據，并說出等式兩邊是怎樣變化的，是加上同一個數還是減去同一個數，以期學生真正理解等式的性質。當完成上述任務，確認學生掌握時，教師要讓學生把兩組算式繼續填寫下去，得到x=85；x=30。此時讓學生知道，85、30分別表示兩個未知數的值（也就是兩個方程的解）。請學生回顧填空的過程，體會利用等式的性質，使方程左邊只剩下一個未知數，方程右邊是一個數，也就是利用等式的性質，我們可以求出方程中未知數的值。這就把根據等式性質的填空遷移到方程的解法上面了，這種學習遷移正是為學習解方程作出“特定的準備”，使學生具有學習解方程的必備能力。
（3）由求未知數的值來建構解方程的方法
讓學生觀察天平的平衡圖，根據相等關系列出方程：x+10=50。教師提出問題：你能求出方程中未知數的值嗎？啟發學生利用等式的性質，把方程的兩邊同時減去10，使方程左邊只剩下x，即可求出未知數的值，這時讓學生知道，x=40就是未知數的值，使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，而我們求方程的解的過程叫做解方程。教師示范板書解方程的過程，并提出書寫的注意點。而提出問題：x=40是不是正確的答案呢？使學生知道解方程后需要檢驗。師生共同學習檢驗的方法，把x=40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等。抓住方程中相等關系這個核心，讓學生進一步體會利用等式的性質解方程的過程。
3.在列方程解決實際問題的過程中體會方程的思想方法和價值
（1）通過簡單的數量關系的分析建構列方程解決問題的方法
出示簡單的實際問題：小紅今年的體重是36千克，比去年增加了2.5千克，小紅去年的體重是多少千克？
讓學生根據條件和問題找出數量之間的相等關系：去年的體重+2.5=今年的體重；今年的體重-去年的體重=2.5。繼續提問，要列出方程首先要干什么？（找出未知量，并用字母表示）教師告訴學生，列方程首先要設未知數，然后再根據數量間的相等關系，也就是我們剛才找到的等量關系式列方程。當學生解出方程后，還要提醒學生檢驗結果是否正確。
在掌握基本知識的基礎上，教學還要通過具有乘除法數量關系的方程來建構出比較完整的列方程解決簡單問題的模式，這也是按照掌握學習策略要求，運用評價反饋手段診斷學生的掌握學習情況。
（2）通過用方程解答稍復雜的實際問題體會方程的價值
通過列形如ax±b=c、ax±bx=c的稍復雜方程來解決實際問題，不僅可以讓學生經歷將現實問題抽象為方程的過程，而且通過用方程的思想方法來解決稍復雜的實際問題，可以充分體會方程思想的應用價值。對于這類問題，重點就放在數量關系的分析上，讓學生能找出相等的數量關系，這里不考慮已知和未知的量。抓住相等關系這個核心要素，就能迅速地列出方程。而在解稍復雜的方程時，我們要把重心放在讓學生弄懂怎樣把新方程轉化為我們學過的方程上，即通過轉化使復雜的變成簡單的。當學生能夠列方程解決問題時，教師有必要利用學生用方程思想方法解決問題的體驗，來體會這類實際問題用方程解答比用算術方法解決時思維更順暢。通過順向思維和逆向思維的比較體會中，感受到方程思想方法的價值，從而使學生喜歡代數，掌握數學。
掌握學習策略的任務，是要找到改變個別學生對學習需要的時間的途徑，以及找到為每一個學生提供所需要的那樣一種時間的途徑。掌握學習的策略也就必須找到解決教學問題以及學校組織（包括時間）問題的某種途徑。
簡易方程是小學數學教材第二學段中的重要學習內容，是第三學段方程和方程組學習的基礎。過去，在學習解簡易方程之前，學生都要先學習加減乘除各部分之間一些基本的數量關系，然后根據加減乘除各部分之間數量關系來解方程，可以說，只要記住加減乘除各部分之間的數量關系就可以解任何簡單的方程。2001年新課改之后，小學階段方程教學發生了很大的變化，加減乘除各部分之間數量關系不再成為解方程的依據，只要學生能明白等式的性質，也就是天平的平衡原理，就可以解方程，這樣的設計使學生學習方程不再需要記憶加減乘除各部分之間的數量關系，從而減輕了學生的負擔，培養了學生分析數量和解決問題的能力。但在實際的方程教學中，還有一些問題值得教師去研究思考。
“了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程”是《數學課程標準（2011年版）》中對簡易方程教學的要求?！傲私獾仁降男再|，學習解答形式為x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并解答簡單的實際問題”是青島版等小學數學教材對方程教學的具體要求。那么形式是x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，是不是將簡易方程完整地呈現了？其實，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程，筆者認為也應該屬于簡單的方程。但為什么教材中沒有出現形式是a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程呢？是教材編寫者遺漏了嗎？筆者認為，遺漏是不可能的，原因其實就是利用等式的性質解簡單的方程，像a-x=b、a-bx=c這幾種方程，利用等式的性質來解，在方程的左邊就會出現“-x”現象，而在小學階段，學生還沒有學習含有負數的計算。而a÷x=b這樣的方程，利用等式的性質進行常規思考，好像也不好解答。
因為課標、教材都沒有涉及像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程教學，所以，很多教師在實際教學中，就盡量避免a-x=b、a-bx=c、a÷x=b的方程出現。那么這樣的方程，教師真的能回避嗎？筆者查閱了人教版和青島版教材中有關方程的內容，發現：其實在這些教材中，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程還是不可避免地出現了。如青島版小學數學四年級下冊第12頁第6題中的第（2）題，如下圖所示。
全國小學學校數量統計圖
按照教材的設計，用方程解答問題（2）時學生最好能列成方程x+3.11=42.58。但如果學生列出方程42.58-x=3.11，是不是也可以呢？這不正是a-x=b的方程形式嗎？又如，青島版小學數學四年級下冊第12頁中的第7題，如下圖所示。
要用方程解答，問題（1）學生列出方程361.4-x=40.3、問題（2）學生列出方程219-x=16，是不是也可以？這也不正是a-x=b的方程形式嗎？再如，人教版小學數學五年級上冊第66頁練習十二中的第2題，如下圖所示。
可以發現，這道題按照設計要求，學生最好能寫成5x+3=1428，但如果學生列成方程1428-5x=3其實也是可以的，這也不就是a-bx=c的方程形式嗎？基于此，筆者認為在方程教學中，有些問題盡管課程標準和教材沒有呈現，但教師是不能回避的。
既然不能回避，筆者認為方程教學就很值得教師來思考。有的教師認為，利用等式的性質來解決像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程，對學生來說難度過大，很多學生不能掌握，弄不好會對方程教學產生不利影響。真的是這樣嗎？其實筆者認為，只要教師真正抓住了等式的性質（天平的平衡原理）這一教學主線，讓學生真正明白其中的道理，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c這樣的方程對學生來說還是能解決的，而且并不是難事，甚至對學生深刻理解等式的性質還有很好的幫助。以下是學生在筆者的引導下，解答稍復雜方程的兩種不同過程，如下圖。
對于第一個學生的做法，有的教師認為：等號左邊應該是x，右邊才是結果，學生這樣寫是錯誤的。是不是真的錯了呢？筆者認為，第一個學生的做法其實是很有道理的，等號左邊是x、右邊是結果只是常規寫法，在這種方程里學生能解出方程本身就值得表揚，畢竟對學生來說方程左邊出現了“-x”是不好理解的，如果利用等式性質將“-x”轉移到方程等式右邊變成x，這也不失為一種很好的解決方法。對于第二種解法，學生是利用等式的性質，先將x由方程左邊移到右邊， “-2x”就變成了2x，然后再根據等式的性質，將方程左右兩邊交換位置，在不改變方程結果的情況下，卻將方程變成他們能解決的形式，這其實不也正體現了學生對等式的性質（天平的平衡原理）的真正理解嗎？學生利用等式的性質（天平的平衡原理）通過自己的努力解決了教材中沒有的形式為a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程之后，不僅加深了對等式性質（天平的平衡原理）的理解，而且學生解決數學問題的潛能也一下子被開發了出來，這對學生來說其實是非常有益的。
當然，以上只是筆者的思考和實踐，到底小學方程如何教學，學生要學習到什么程度，還需要大家來共同思考。期望筆者的拋磚引玉，能為大家的方程教學帶來更多思考。
（山東省煙臺市芝罘區文化路小學 264000）
一、利用導數的幾何意義研究函數間的距離等問題
函數y=f（x）在點x0處的導數f ′（x0）表示曲線y=f（x）在該點處切線的斜率．如果曲線y=f（x）在點x0處可導，則曲線y=f（x）在點（x0，f ′（x0））處的切線與法線的方程為：y－y0=f ′（x0）（x－x0）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定義：曲線C上的點到直線l 的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于曲線C2：x2＋（y＋4）2＝2到直線l：y＝x的距離，則實數a＝______________．
【評析】
導數的幾何意義表現為曲線的切線斜率值，從而利用導數可求曲線y＝f（x）的切線，并進一步將導數融合到函數與平面幾何的交匯問題中．
二、利用導數研究函數與線性規劃交匯的問題
線性規劃除解決實際問題外，它還能“以形助數”把抽象的符號語言轉化為直觀的圖形語言，并借助“形”的幾何直觀性來闡明“數”的抽象性，因而兼有數的抽象和形的直觀，從而體現了數學的應用性、工具性特點．
例2.（2012年高考陜西卷理，14）設函數f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤0， D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域，則z=x-2y在D上的最大值為?。?/p>
【評析】
本題以分段函數為載體，利用導數求切線方程、簡單線性規劃問題，考查綜合應用知識解決問題的能力．
三、利用導數研究函數與方程（零點）交匯的問題
利用導數性質分析函數零點是近年來高考命題的熱點題型，其實質上就是對函數極值、最值知識掌握應用情況的進一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函數f（x）＝axsinx-■（a∈R）且在［1，■］上的最大值為■．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，并加以證明．
【分析】
當函數取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該等式恒成立，從而把函數最值問題轉化為恒成立問題，而利用導數求函數最值是解決恒成立問題的一種重要方法．零點個數的判定主要是依據零點存在定理．
【評析】
給定含有參數的函數以及相關的函數性質，求解參數的值或范圍，需要我們靈活運用導數這一工具，對問題實施正確的等價轉化，列出關于參數的方程或不等式．在此類含參問題的求解過程中，逆向思維的作用尤為重要．
四、利用導數研究函數與數列交匯的問題
數列作為實質意義上的函數，利用導數研究數列的單調性及最值問題比用傳統方法更為簡便.在解決導數背景下的數列問題時，充分利用函數性質和目標式的結構特點，仔細觀察，大膽嘗試，就一定能找到數列與函數式之間的聯系，為成功解題找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a為正實數，n為自然數，拋物線y=-x2＋■與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）當0
【分析】
本題第（Ⅰ）問較基礎常規，而第（Ⅲ）問貌似不等式問題，但其實質還是函數問題，我們可以借助函數的圖象和性質，比較直觀地從幾何的角度來判斷兩者的大小問題．
【評析】
本題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力．主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力；且又深層次地考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法．
五、利用導數研究函數與不等式交匯的問題
證明不等式的方法有許多，導數作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現了導數應用上的新穎性以及導數思想的重要性．由導數方法研究不等式時，一般是先構造一個函數，借助對函數單調性或最值的研究，經歷某些代數變形，得到待證明的不等式．
例5．（2012年高考遼寧卷文，21）設f（x）＝lnx+■-1，證明：
（Ⅰ）當x＞1時，f（x）＜■（x－1）；
（Ⅱ）當1＜x＜3時，f（x）＜■.
【分析】
本題可直接由所證不等式構造函數，討論其單調性、最值，從而達到證明不等式的目的．
【評析】
證明不等式彰顯導數方法運用的靈活性把要證明的不等式通過構造函數轉化為f（x）>0（或f（x）
摘要：不等式作為高考解答題中的一個部分，重要性可想而知。但現在的不等式用以前的常規解法，往往解不出來。通過近幾年的高考試題，我們發現有些不等式可以利用“構建函數”的方法來求解。
關鍵詞：構建；函數；不等式；導數
函數作為高中數學知識的重點內容，在高考中占有非常重要的地位.而運用函數的思想解題，一直都是高中數學的一個重難點.本文從構建函數的角度，談談函數在解不等式方面的應用。構建方法就是在解數學題的過程中使已知與未知，條件與結論建立聯系，使本來模糊不清的關系豁然開朗，層次分明。不等式是高考中的必考內容，特別是不等式的證明，常用分析法、綜合法、反證法、歸納法等等來求解，而構建思想在解決不等式問題中也起到舉足輕重的作用?，F在隨著高考的改革，構建函數（尤其是可導函數），并利用函數的一些性質解不等式成了當前的高考熱點。
構建函數解不等式中的參數取值范圍
例1、已知函數，如果當時，不等式恒成立，求的取值范圍。
此題設了兩個函數，利用導數的性質判斷出函數的單調性得解，應該說這是我們經常會遇到的一種類型。而且這種恒成立的不等式問題是比較簡單的，函數能容易構建的題型。
構建函數求不等式的解集
本題比例1稍微難點，關鍵在于構建函數這一步，剩下的解不等式可以通過圖像法來求解。
三、構建函數證明不等式
本題是從結論入手，把要證明的不等式變形，然后觀察左右兩邊結構的特點，相同之處在哪，不同之處在哪，最后構建一個合適的函數來證明。
總之，有些不等式若用初等方法來解決，往往會出現復雜的運算過程。但是根據題目的特點巧妙地構建一個函數，在構建函數的背景下運用函數的單調性，將不等式問題轉化為我們耳熟能詳的函數問題來研究，就會得到簡捷的證明。所以在處理某些不等式問題時要善于利用函數的性質來開拓思路，轉化問題的焦點，尋找解題的最優方法。構建函數解不等式難度大，涉及面廣，形式靈活。我們應以學生為中心，以問題為主線，以培養學生能力為目標來組織教學。通過教學讓學生了解利用構建函數解不等式，提高學生分析問題和解決問題的能力。
