時間：2023-05-29 18:01:03
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇復(fù)數(shù)的概念，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
(1)掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
(2)正確對復(fù)數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系;
(3)理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系。
(4)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力.
教學(xué)建議
(一)教材分析
1、知識結(jié)構(gòu)
本節(jié)首先介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示，最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念.
2、重點、難點分析
(1)正確復(fù)數(shù)的實部與虛部
對于復(fù)數(shù)，實部是，虛部是.注意在說復(fù)數(shù)時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是,復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。
說明：對于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數(shù)這一概念，這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助。
(2)正確地對復(fù)數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系
分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下：
注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：
①設(shè)，則為實數(shù)
②為虛數(shù)
③且。
④為純虛數(shù)且
(3)不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題.用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：
①化為復(fù)數(shù)的標準形式
②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即
(4)在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應(yīng)時，要注意：
①任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定.這就是說，復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對.一些書上就是把實數(shù)對()叫做復(fù)數(shù)的.
②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點Z()表示.復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是.由于=0+1·，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(0，1)表示時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù)時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位，或者就是縱軸的單位長度.
③當時，對任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數(shù).但當時，是實數(shù).所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.
由此可見，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.
④復(fù)數(shù)z=a+bi中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫.要學(xué)生注意.
(5)關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念
設(shè)，則，即與的實部相等，虛部互為相反數(shù)(不能認為與或是共軛復(fù)數(shù)).
教師可以提一下當時的特殊情況，即實軸上的點關(guān)于實軸本身對稱，例如：5和-5也是互為共軛復(fù)數(shù).當時，與互為共軛虛數(shù).可見，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行.
(6)復(fù)數(shù)能否比較大小
教材最后指出：“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：
①根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等地定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么.兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大小.
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)間的一個關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”：
(i)對于任意兩個實數(shù)a，b來說，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建議
1.要注意知識的連續(xù)性：復(fù)數(shù)是二維數(shù)，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系.
2.注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點的集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
3.注意分層次的教學(xué)：教材中最后對于“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學(xué)生提出來了，在課堂上不要給全體學(xué)生證明，可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進行解答.
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
教學(xué)目標
1.了解復(fù)數(shù)的實部，虛部;
2.掌握復(fù)數(shù)相等的意義;
3.了解并掌握共軛復(fù)數(shù)，及在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù).
教學(xué)重點
復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件.
教學(xué)難點
用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)M.
教學(xué)用具：直尺
課時安排：1課時
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)提問：
1.復(fù)數(shù)的定義。
2.虛數(shù)單位。
二、講授新課
1.復(fù)數(shù)的實部和虛部：
復(fù)數(shù)中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部。
2.復(fù)數(shù)相等
如果兩個復(fù)數(shù)與的實部與虛部分別相等，就說這兩個復(fù)數(shù)相等。
即：的充要條件是且。
例如：的充要條件是且。
例1：已知其中，求x與y.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組：
例2：m是什么實數(shù)時，復(fù)數(shù),
(1)是實數(shù)，(2)是虛數(shù)，(3)是純虛數(shù).
解：
(1)時，z是實數(shù),
,或.
(2)時，z是虛數(shù),
，且
(3)且時，
z是純虛數(shù).
3.用復(fù)平面(高斯平面)內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)
復(fù)平面的定義
建立了直角坐標系表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.
復(fù)數(shù)可用點來表示.(如圖)其中x軸叫實軸，y軸除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上.
4.復(fù)數(shù)的幾何意義：
復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面所有的點的集合是一一對應(yīng)的.
5.共軛復(fù)數(shù)
(1)當兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。(虛部不為零也叫做互為共軛復(fù)數(shù))
(2)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.若，則：;
(3)實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的相反數(shù).
(4)復(fù)平面內(nèi)表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點z與關(guān)于實軸對稱.
三、練習(xí)1,2,3,4.
四、小結(jié)：
1.在理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念時應(yīng)注意：
(1)明確什么是復(fù)數(shù)的實部與虛部;
(2)弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求;
(3)弄清復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義;
(4)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。
2.復(fù)
數(shù)集與復(fù)平面上的點注意事項：
(1)復(fù)數(shù)中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。
(2)復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。
(3)表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。
(4)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應(yīng)：
（1）掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
（2）正確對復(fù)數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；
（3）理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系。
（4）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力．
教學(xué)建議
（一）教材分析
1、知識結(jié)構(gòu)
本節(jié)首先介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示，最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念．
2、重點、難點分析
（1）正確復(fù)數(shù)的實部與虛部
對于復(fù)數(shù)，實部是，虛部是．注意在說復(fù)數(shù)時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是,復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。
說明：對于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數(shù)這一概念，這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助。
（2）正確地對復(fù)數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系
分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下：
注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：
①設(shè)，則為實數(shù)
②為虛數(shù)
③且。
④為純虛數(shù)且
（3）不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題．用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：
①化為復(fù)數(shù)的標準形式
②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即
（4）在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應(yīng)時，要注意：
①任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定．這就是說，復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對．一些書上就是把實數(shù)對()叫做復(fù)數(shù)的．
②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點Z()表示．復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(0，1)表示時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù)時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位，或者就是縱軸的單位長度．
③當時，對任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數(shù)．但當時，是實數(shù)．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．
由此可見，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．
④復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫．要學(xué)生注意．
（5）關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念
設(shè)，則，即與的實部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認為與或是共軛復(fù)數(shù)）．
教師可以提一下當時的特殊情況，即實軸上的點關(guān)于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復(fù)數(shù)．當時，與互為共軛虛數(shù)．可見，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行．
（6）復(fù)數(shù)能否比較大小
教材最后指出：“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：
①根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等地定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么．兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大小．
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)間的一個關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”：
(i)對于任意兩個實數(shù)a，b來說，a＜b，a=b，b＜a這三種情形有且僅有一種成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解)
（二）教法建議
1．要注意知識的連續(xù)性：復(fù)數(shù)是二維數(shù)，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系．
2．注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點的集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
3．注意分層次的教學(xué)：教材中最后對于“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學(xué)生提出來了，在課堂上不要給全體學(xué)生證明，可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進行解答．
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
教學(xué)目標
1．了解復(fù)數(shù)的實部，虛部；
2．掌握復(fù)數(shù)相等的意義；
3．了解并掌握共軛復(fù)數(shù)，及在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)．
教學(xué)重點
復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件．
教學(xué)難點
用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)M．
教學(xué)用具：直尺
課時安排：1課時
教學(xué)過程（）：
一、復(fù)習(xí)提問：
1．復(fù)數(shù)的定義。
2．虛數(shù)單位。
二、講授新課
1．復(fù)數(shù)的實部和虛部：
復(fù)數(shù)中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部。
2．復(fù)數(shù)相等
如果兩個復(fù)數(shù)與的實部與虛部分別相等，就說這兩個復(fù)數(shù)相等。
即：的充要條件是且。
例如：的充要條件是且。
例1：已知其中，求x與y.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組：
例2：m是什么實數(shù)時，復(fù)數(shù),
(1)是實數(shù)，(2)是虛數(shù)，（3）是純虛數(shù).
解：
(1)時，z是實數(shù),
,或.
(2)時，z是虛數(shù),
，且
(3)且時，
z是純虛數(shù).
3．用復(fù)平面（高斯平面）內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)
復(fù)平面的定義
建立了直角坐標系表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面．
復(fù)數(shù)可用點來表示．（如圖）其中x軸叫實軸，y軸除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上．
4．復(fù)數(shù)的幾何意義：
復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面所有的點的集合是一一對應(yīng)的．
5．共軛復(fù)數(shù)
（1）當兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。（虛部不為零也叫做互為共軛復(fù)數(shù)）
（2）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示．若，則：；
（3）實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的相反數(shù)．
（4）復(fù)平面內(nèi)表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點z與關(guān)于實軸對稱．
三、練習(xí)1,2,3,4.
四、小結(jié)：
1．在理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念時應(yīng)注意：
（1）明確什么是復(fù)數(shù)的實部與虛部；
（2）弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求；
（3）弄清復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義；
（4）兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。
2．復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點注意事項：
（1）復(fù)數(shù)中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。
（2）復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。
【關(guān)鍵詞】概念 認知 名詞數(shù) 遷移
一、引言
概念遷移研究是語言遷移研究的最新方向，根據(jù)Jarvis & Pavlenko（2008）理論，概念是人對世界的基本認知，涉及跨語言影響的八個基本領(lǐng)域，即物體、情感、人稱、性別、數(shù)、時間、空間和運動。任何語言都有數(shù)的范疇，數(shù)有單復(fù)之分，由于使用不同語言的人們對名詞數(shù)形態(tài)句法運用的不同，通常將語言分為量詞語言 （classifier language） 和非量詞語言即名詞類語言 （noun class language）兩大類。量詞語言如日語和漢語普通話，這些語言在句法和詞法上缺乏數(shù)的標志，但有復(fù)數(shù)概念。非量詞語言如英語和法語是典型的單復(fù)數(shù)語言，有明顯的復(fù)數(shù)標記。本文將從名詞數(shù)的分類以及數(shù)的概念范疇進行概念遷移解釋。
二、概念遷移理論概述
“概念遷移”這一術(shù)語由Aneta Pavlenko于1998年首次提出。異于語言遷移（Odlin 1989）主要側(cè)重于研究其他任何已習(xí)得（或未完全習(xí)得）語言與目標語之間異同點所產(chǎn)生的影響，概念遷移從語言與認知的接口處，即概念這一層面來研究語言遷移現(xiàn)象。語言使用者由于受另外一種語言習(xí)得的概念和概念化模式的干擾，會影響其對當前語言的理解和產(chǎn)出（Jarvis 2007）。Jarvis & Pavlenko（2008）提出涉及跨語言影響的八個基本領(lǐng)域，即物體、情感、人稱、性別、數(shù)、時間、空間和運動。
國內(nèi)概念遷移研究剛剛起步。在理論方面主要注重概念遷移的理論介紹和發(fā)展脈絡(luò)的梳理（如：姜孟，2009；李錫江，劉永兵2013；等）。實證研究方面的研究較少，主要是對空間介詞，動詞，名詞等詞匯概念遷移的研究（如：張會平，2013）。
三、名詞數(shù)的概念遷移解釋
1.物體名詞 （count noun）與物質(zhì)名詞 （mass noun）。語法上通常將名詞分為可數(shù)名詞與不可數(shù)名詞。概念上將其分為物體名詞與物質(zhì)名詞。物體名詞指那些在外形上有完整邊界的物體，在概念表征上主要突出物體的形狀及可數(shù)性，在形態(tài)句法上有數(shù)的標記，例如“book-books”。物質(zhì)名詞則指在外形上沒有完整邊界的物質(zhì)，在概念表征上突顯的是物質(zhì)的材料，例如 tea， coffee， water。這些名詞沒有復(fù)數(shù)，但是前面可帶有非限定量詞（indefinite quantifiers），例如，little，much。然而，在一些語境中不可數(shù)名詞也可以標記復(fù)數(shù)，例如，“beauty（美麗），beauties（美人）。”
2.“數(shù)”的概念范疇。根據(jù)概念遷移理論，人們的習(xí)慣性思維方式會影響人們在語法現(xiàn)象上的分類方式，從而在語際之間產(chǎn)生遷移。由于英漢兩類語言在物體數(shù)量的句法標記上要求是不同的，名詞類語言如英語為母語的人們習(xí)慣有形態(tài)標記，在他們的思維里，復(fù)數(shù)概念范疇和復(fù)數(shù)標記大部分是對等的。量詞類語言如漢語為母語的人們則無需形態(tài)標記，僅有“們”這個后綴詞可表示復(fù)數(shù)，如“人們”。在表達復(fù)數(shù)概念時可以借助某些限定詞，如“很多（人）”或重復(fù)某些量詞，如“一輛輛（車）”。英語本族語者在使用英語時會本能的為名詞添加復(fù)數(shù)標記，而漢語中雖然也有數(shù)的概念范疇，但母語為漢語的英語學(xué)習(xí)者在英語學(xué)習(xí)中，由于其語法概念表征的不同，常會在形態(tài)句法上標記名詞的數(shù)時出現(xiàn)偏誤，出現(xiàn)表證丟失的情況。漢語者在學(xué)習(xí)英語時，需要重新調(diào)整原有的語法概念系統(tǒng)，否則容易出現(xiàn)概念遷移，表現(xiàn)在語言的句法層面依據(jù)母語中標記某物體與物質(zhì)的標準，來標記英語中對應(yīng)的物體與物質(zhì)，如英語中“chalk”是不可數(shù)名詞，而漢語中的“粉筆”則可數(shù)，可以表示為“幾支粉筆”。
然而同為名詞類語言，在一種語言中被看作可數(shù)的名詞，而在另一種語言中可能會被標記為不可數(shù)名詞。例如在英語中，news（新聞）屬于不可數(shù)名詞范疇，但在法語中卻被標記為可數(shù)名詞nouvelle（s），在這種情況下，這兩種語言的使用者在學(xué)習(xí)對方語言時，也需要重新調(diào)整原有的概念。
四、結(jié)語
在二語習(xí)得中，母語是量詞語言的人們在學(xué)習(xí)名詞類語言時，由于概念的不同，他們常會在形態(tài)句法上標記名詞的數(shù)及使用相應(yīng)限定詞時出現(xiàn)偏誤，出現(xiàn)表征的丟失。這種遷移不僅是語言層面的句法遷移，最根本的是概念范疇的遷移。因此，無論在學(xué)習(xí)或是研究時應(yīng)從更深層的概念角度挖掘名詞數(shù)習(xí)得偏誤的原因。
參考文獻：
[1]Aneta Pavlenko.SLA and acculturation：conceptual transfer in L2 learners’narratives.Paper presented at AAAL，Seattle，WA，1998：1-19.
[2]Jarvis S.Theretical and methodological issues in the investigation of conceptual transfer[A].VIAL，2007（4）：43-71.
[3]Jarvis，S.& Pavlenko，A.Crosslinguistic Influence in Language and Cognition.Routeledge：New York，2008.
[4]Odlin，T.Language transfer； Cross-linguistic Influence in Language Learning.Cambridge，UK：Cambridge University Press，1989.
[5]姜孟.概念遷移：語言遷移研究的新進展[J].寧夏大學(xué)學(xué)報（人文社會科學(xué)版），2010（32）：166-171.
關(guān)鍵詞：數(shù)；語義；語法；語用
認知語用學(xué)是近些年來興起的交叉學(xué)科，它在語言哲學(xué)、語言與思維等方面的研究上有了長足的進展。認知語用學(xué)所關(guān)注的是一個人腦中的基本概念，是怎樣通過符號來“表現(xiàn)”交際意圖，并達到某種預(yù)期的交際效果的。數(shù)是人類最早的最基本的概念之一。任何語言中都有表達數(shù)的概念的符號，但這種符號表達形式并非都是通過語法手段來實現(xiàn)的，也就是說，語言符號表現(xiàn)數(shù)的概念并不總是顯性的。在不同語言系統(tǒng)中，詞匯意義和語法意義關(guān)系的體現(xiàn)會不盡相同。本文通過對數(shù)的概念在語義、語法、語用三個層面的不同表現(xiàn)的分析，探討如何在具體語境中推斷出與目的意圖相關(guān)的“數(shù)”。
一、數(shù)的概念與概念疊加
認知學(xué)認為概念是人腦對客觀事物的抽象概括。可以想象，人腦中數(shù)的概念的建立，一方面是因為外部世界大多數(shù)的事物是“可數(shù)的”，一方面也因為客觀世界中至少存在著一種單復(fù)數(shù)的對立關(guān)系——即有些事物是可數(shù)的，而另一些事物則相反是不可數(shù)的。
在微觀語言系統(tǒng)中，存在著三種不同形式表達數(shù)的概念：
①事物概念與數(shù)無關(guān)(或完全重合)；
②事物概念表現(xiàn)數(shù)的最大值和最小值；
③事物概念與數(shù)的概念的有限對立。
既然事物的概念與數(shù)的概念關(guān)系如此密切，那么在語言符號中就會有所表現(xiàn)，或為詞匯化(lexicalized)，或為語法化(grammaticalized)：要么以詞匯形式，要么以語法形式來表現(xiàn)概念。JohnLyons曾舉“thatsheep”和“thosesheep”為例，指出兩個“sheep”在表達形式(word-form)上相同，但內(nèi)容形式(word-expression)不同。這應(yīng)屬于概念詞匯化的情況，即事物概念與數(shù)的概念沒有(或已經(jīng))通過詞的形式表現(xiàn)出來。這在英語中屬于個例。而在缺乏詞匯曲折形式變化的漢語中，表達事物概念時，核心概念得以“強化”，從屬概念的“數(shù)”卻被“忽略”，導(dǎo)致漢語名詞通常只表現(xiàn)概念意義，不具有語法意義或可數(shù)不可數(shù)的范疇意義。也就是說，漢語中缺乏嚴格意義上的數(shù)的對立形式，事物的概念與數(shù)的概念無關(guān)或完全重合(overlapping)是普遍現(xiàn)象。總之，漢語是通過詞匯和詞序來表示各種語法范疇的，也就是說，還要增加一些數(shù)量詞與名詞連用才能表現(xiàn)名詞的數(shù)。反觀英語，普遍以可數(shù)和不可數(shù)的形式來表現(xiàn)數(shù)的對立：名詞既具有詞匯意義(明確的概念指稱和系統(tǒng)意義)，同時又具有語法意義(可數(shù)不可數(shù)或單復(fù)數(shù)的語法范疇)。這在綜合性語言中并非個例，即語言的表達形式必須體現(xiàn)“數(shù)”的對立，要么是單數(shù)，要么是復(fù)數(shù)；要么取數(shù)的最大值，要么取數(shù)的最小值，并以詞的形式把事物的概念和數(shù)的概念疊加(word-lapping)起來，表現(xiàn)為任意一個名詞的雙重性。當然，在現(xiàn)代漢語中，也有了數(shù)的概念的有限對立形式：單音節(jié)的人稱代詞和指人名詞可以帶上語素“們”來表示復(fù)數(shù)，如“我們”、“孩子們”等等。
Lakoff從認知角度看待英語中單復(fù)數(shù)的問題，認為單數(shù)是英語里數(shù)的形態(tài)范疇中的無標記成員，因此在認知上要簡單一些。由此推論，認知上的簡單性反映為形式上的簡單性。在漢語中，名詞都屬于無標記成員，在語義和語法層面上表現(xiàn)了所謂的簡單性。但是，這種簡單性的形成源于漢語思維的概括性，并不由此進一步表現(xiàn)為語用層面的簡單性。事實恰恰相反，這種形式上的簡單性在語用層面上引起很多麻煩，需要更多的語境，甚至是文化因素的干預(yù)，才能使語言交流得以實現(xiàn)。
基于以上分析可以看出，無論表現(xiàn)數(shù)的概念與事物的概念是重合還是疊加，都反映了兩者間的密切關(guān)系，反映了語言與思維的緊密聯(lián)系，反映了語言中文化的印跡，也反映了不同語言表達形式上的語用傾向性。
二、語法的“數(shù)”與語言表達傾向
數(shù)的概念與所指的概念在綜合性語言中常常出現(xiàn)一種疊加，而這種概念疊加在語符編碼時的直接表現(xiàn)，就是單復(fù)數(shù)概念的語法化——以固定的顯性的標記“黏著”在表現(xiàn)事物概念的名詞或代詞上。在語法層面上，數(shù)的概念也要有所表現(xiàn)。以英語為例，有三種形式：
①單復(fù)數(shù)形式與概念一致；
②單數(shù)形式，復(fù)數(shù)概念；
③復(fù)數(shù)形式，單數(shù)概念。
第一種情況無疑是普遍的，有代表性的，而其他兩種則是對一般功能的補充，即用人為的單復(fù)數(shù)的形式，使不可數(shù)的功能變成“可數(shù)”，或者相反。這種涉及語言使用者習(xí)慣的表達方式，是一定量的交際功能因素語法化現(xiàn)象，仍然屬于內(nèi)化的、非語境化的語法范疇，或者也可稱之為“習(xí)慣法”。請看例句：
(1)Ihavetwonewst。tellyou.
(1’)lhavetwogoodnewst。tellyou.
(2)I’veboughttwoshirtsandtwotrousers.
(2’)I’vcboughttwoshirtsandtwopairsoftrousers.
句(1)中的“twonews”不合語法，可句(1’)中“twogoodnews”則語法正確；句(2)中的“twoshirts”合乎語法，“twotrousers”卻是錯誤的，只能說“twopairsoftrousers”。一樣的名詞，不一樣的表達，我們可以明顯地感覺到一種人為的“約定俗成”。無論是概念的疊加，還是這種人為的“置放”，正是由于這種單復(fù)數(shù)概念上的對立關(guān)系，才在某種特定語言中建立了數(shù)的符號標記。這種符號標記，即語法上的數(shù)(grammaticalnumber)，又與實際所指(referentialnumber)存在著一種對應(yīng)或不對應(yīng)的關(guān)系：有時是復(fù)數(shù)形式，單數(shù)概念，如英語的“trousers”和法語的“fiponsailles”；有時是單數(shù)形式，復(fù)數(shù)意義，如英語的“everybody”，法語的“toutlemonde”。
語法化與詞匯化、顯性與隱性，是語言表達形式和內(nèi)容形式之間關(guān)系的不同表現(xiàn)，是在歷史、文化、思維方式等因素的制約下長期形成的。“在語言表達中，涉及到數(shù)的概念時，無非有兩個方向，一是要求表達準確，一是要求表現(xiàn)模糊。”
漢語缺乏嚴格意義上的數(shù)的對立形式，表達傾向會模糊一些。以“昨天我和朋友約會去了”為例，相應(yīng)的英語為：
(3)Yesterday，Imadeadatewithoneofmyfriends.(或Yesterday，Imadeappointmentswithmyfriends.)
就兩種語言中涉及的兩個名詞“約會”和“朋友”而言，漢語無標記、無數(shù)的概念；而在英語中，則必須體現(xiàn)“date(appointment)”、“friend”的數(shù)：或為單數(shù)，或為復(fù)數(shù)，即約會和朋友的概念與數(shù)的概念必須疊加在一起，以詞匯意義與語法意義相結(jié)合的形式來表現(xiàn)內(nèi)容。在這個層面上，英語的兩種意義做到了高度的一致，而漢語則是分離的，模糊與清晰的表達傾向一目了然。
三、數(shù)的語用充實
根據(jù)Morris的符號學(xué)原理，語言的內(nèi)容形式和內(nèi)容實體之間的關(guān)系可以在三個層面上獲得：
①在語義系統(tǒng)中獲得系統(tǒng)價值；
②在語句層次上，從命題或句子中獲得定義：
③在語用層次上，通過推理獲得含義。
在語言使用過程中，一旦涉及到數(shù)的問題，人們總是試圖在語法結(jié)構(gòu)(grammaticalnumber)和實際所指(referentialnumber)之間找到一種直接的聯(lián)系，以便迅速、有效地“解碼”，更好地在具體語境中推斷出與目的意圖相關(guān)的數(shù)的概念，進而達到預(yù)期的交際效果。
談到語境，暫且不把它泛化或多元化，僅僅用來指語言語境，即上下文。這也是為了突出單復(fù)數(shù)概念在交際意圖的影響下，與編碼概念的區(qū)別。同其他詞語的概念一樣，數(shù)的概念也應(yīng)在特定語境下得到充實，包括對原型意義的選擇、調(diào)整、擴充或縮小。
請看以下例句：
(4)Inmanycountries’womanliveslongerthantheman.
(5)It’shardtobcascientistanditisevenhardertobeaman.
(6)Womenlikechatting，butmendon’t.
句(4)是基于統(tǒng)計數(shù)字的表達，零冠詞的單數(shù)形式，恰恰表達的是與數(shù)無關(guān)的概念，而重在表現(xiàn)性別的對立。而句(5)中的“aman”以數(shù)的最小值出現(xiàn)，除了與前面的ascientist的呼應(yīng)意義之外，也遠遠超出了性別和數(shù)的概念，“擴充”到指任何人。句(6)的women/men取數(shù)的概念的最大值——復(fù)數(shù)，但對任何一個讀者或聽者來說，則會感受到個體的集合。
通過以上英語例句的分析，可以看出數(shù)的表達形式與實際所指之間存在著某種約定俗成的聯(lián)系，而這種聯(lián)系的意義至少要在語言語境下得以顯現(xiàn)。然而在漢語中，絕大多數(shù)名詞為零標記，缺乏“數(shù)”的符號信息，在語言語境的作用下會如何表現(xiàn)，請看以下例句：
(7)“老師來了!”
(8)“學(xué)生來了!”
僅僅根據(jù)語言形式和句子本身，顯然不具備任何“數(shù)”的意義，使人無法判斷老師或?qū)W生為幾人。然而，當語境擴大到實際交際中時，根據(jù)語用學(xué)的相關(guān)理論，交際雙方處在共享的社會文化及情景等語境中，發(fā)話人既會盡可能地省去不必要的信息，又要充分地表達自己的意圖。那么，這兩句話所表達的數(shù)的概念會不盡相同。即使沒有其他的更現(xiàn)實的語境(地點、手勢，能否見到所指人等)，也可以推測老師通常是一個人，而學(xué)生則相反不止一個人。然而，對母語為英語的入學(xué)習(xí)漢語來說，他們常常會處于數(shù)的困惑中，無論是口語還是書面語，都未提供客觀的現(xiàn)實的符號表征，對數(shù)的選擇和判斷就無從做起。而對講漢語的人來說，雖然離不開解讀者的背景知識和認知程度，但仍屬于一種常規(guī)意義的推斷。包括語言符號本身的語境因素越多，對交際意圖的判斷就會越加準確。那么語境化的潛在趨勢是否會解決所有“數(shù)”的問題呢?
我們再來對比一下英語和漢語：
(9)明天一早，我要乘車去車站。
(9’)Tomorrowmorning，I’lltakethebus(es)tothestation.
首先，我們假定英語發(fā)話人和漢語發(fā)話人處在相同的語境，也暫且不去考慮漢語“車”這個名詞的抽象化問題，對應(yīng)的英語給了一些既可以優(yōu)先編碼同時又可以“優(yōu)先解讀”(preferredreading)的概念，這其中就包含數(shù)的概念，“morning”、“I”、“station”為單數(shù)，“bus”或為單數(shù)或為復(fù)數(shù)。那么，對于英語句子(9’)可以依賴語境，選擇、推理、具體化與充實從而形成以下的命題內(nèi)容：
Thedayafterthespeaker’sspeech，thespeakerwilltakethebus(es)tothestation.
此時，它幾乎包括了與目的和意圖相關(guān)的所有信息內(nèi)容，尤其是數(shù)的概念與意義。而對于漢語句子(9)，通常會作以下解讀：
說話的第二天早上，說話人要坐車(一般為公交車)去車站(一般為火車站)。括號內(nèi)為通常情況下的推斷，當然句子的含義仍可以得到進一步的語境充實，可能涉及更多的時代與文化背景，但那并非我們所關(guān)注的。在漢語中，“數(shù)”的概念在充分體現(xiàn)交際目的和意圖的話題中常常被忽略；如果(9’)句的聽者不知說話人是否要倒車(該名詞缺乏數(shù)的表現(xiàn))，就會為進一步獲取此類的信息，而引起下一個話輪：
“用倒車嗎?”
根據(jù)Sperber&Wilson的關(guān)聯(lián)理論，人們首先假定話語是相關(guān)的，然后尋求相應(yīng)的滿足關(guān)聯(lián)條件的語境，最后作出話語理解。名詞的概念與數(shù)的概念的疊加，在語言交際過程中會有不同的表現(xiàn)，兩者之間聯(lián)系越緊密，意圖與概念就越清晰，話語就越“省力”，而這種清晰和“省力”又符合語言表達的基本傾向。
復(fù)數(shù)是選修2-2的內(nèi)容。第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，主要介紹了導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，微積分基本定理等內(nèi)容；第二章推理與證明，主要介紹了合情推理與演繹推理及各種證明方法：如分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法；第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入，主要介紹了復(fù)數(shù)的概念與運算。
復(fù)數(shù)x被定義為二元有序?qū)崝?shù)對(a,b)，記為z=a+bi,這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位。在復(fù)數(shù)a+bi中，a=Re(z)稱為實部，b=Im(z)稱為虛部。當虛部等于零時，這個復(fù)數(shù)可以視為實數(shù)；當z的虛部不等于零時，實部等于零時，常稱z為純虛數(shù)。復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
1.名詞的意義:表示人、事物或抽象概念的詞叫做名詞。如:Shanghai,LiLei,desk。
2.名詞的種類:分專有名詞和普通名詞。
I.專有名詞:表示人名、月份、日期、地名等。如:China,Jim,Harbin,June,Shandong。
(1)專有名詞在拼寫時第一字母要大寫。
(2)專有名詞(除特殊外)其前不加冠詞,也沒有復(fù)數(shù)形式。
II.普通名詞:表示某人或某事物的名稱。
普通名詞分為:
(1)個體名詞:表示單個的人或事物。如:boy,teacher,apple,computer.
(2)集體名詞:表示一群人或一些事物的總稱。如:family,people,police,class.
(3)物質(zhì)名詞:表示無法分為個體的物質(zhì)。如:water,cotton,money,sea.
(4)抽象名詞:表示抽象概念的詞。如:health,help,progress(進步),friendship(友誼).
注意:通常情況下,個體名詞和集體名詞是可數(shù)的,稱為可數(shù)名詞,有單、復(fù)數(shù)之分,物質(zhì)名詞和抽象名詞一般是不可數(shù)的,稱為不可數(shù)名詞,通常只有單數(shù)。
二、名詞的數(shù)
要表示兩個或兩個以上數(shù)的概念時,要用名詞的復(fù)數(shù)形式。
I.可數(shù)名詞(個體名詞和集體名詞):有單、復(fù)數(shù)形式。可數(shù)名詞的復(fù)數(shù)形式變化如下:
1.規(guī)則變化:
(1)一般情況下,絕大多數(shù)名詞后+s,清輔音后讀[s],元音,濁輔音之后讀[z],如:desk―desks,map―maps,bag―bags,day―days.
(2)以s,x,sh,ch,結(jié)尾的詞加-es讀作[iz]。bus―buses,brush―brushes。
(3)以字母f結(jié)尾的名詞變f、fe為v再加es。如:life―lives,但roof-roofs。
(4)以輔音字母加y結(jié)尾的詞;變y為i再加es。如:family―families。
(5)以輔音加o結(jié)尾的詞加es讀[z],初中英語中,這樣的詞為:hero―heroes。
2.不規(guī)則變化:
(1)常見的有:child―children,man―men,woman―women,foot―feet,tooth―teeth,mouse―mice。
(2)單復(fù)數(shù)同形。如:Chinese,deer,fish,sheep。
(3)有些集合名詞形式上是單數(shù),但卻用復(fù)數(shù)。如:police,people,cattle(牛)。
(4)有些名詞通常只有復(fù)數(shù)形式,謂語也是復(fù)數(shù),這些名詞有:glasses(眼鏡),goods(貨物),clothes(衣服),trousers(褲子),greens(蔬菜),arms(武器)。
(5)表示“某國人”的名詞單、復(fù)數(shù)變化如下:
①單、復(fù)數(shù)形式相同:a Chinese―two Chinese;a Japanese―four Japanese
②詞尾加-s:a Russia―three Russians;a German―five Germans
③變man為men:an Enelishman―eight Englishmen;an Frenchwoman―nine Frenchwomen
國人復(fù)數(shù)變化可概括為:中日不變,英法變,其他s加后邊。
Ⅱ.不可數(shù)名詞(物質(zhì)名詞和抽象名詞)一般用單數(shù)形式,但要注意以下幾種情況:
1.物質(zhì)名詞在表示不同類別時,可用復(fù)數(shù)。
fruit(水果)―fruits(各種水果)
2.有些物質(zhì)名詞的單、復(fù)數(shù)形式表示不同的意義。
water(水)― waters(海水或河水、湖水)
green(綠色)―greens(青菜)
3.物質(zhì)名詞在表示數(shù)量時,常用of短語來表示,of之前表示數(shù)量的名詞可以是單、復(fù)數(shù)。
of之后的名詞是物質(zhì)名詞,則用單數(shù);如是可數(shù)名詞,則用復(fù)數(shù)。如:a glass of water
III.名詞作主語時,主、謂語的一致關(guān)系。
1.謂語動詞必須在人稱和數(shù)兩方面和它的主語一致。
2.集體名詞看作整體時,謂語動詞用單數(shù);把集體名詞看作整體中的組成部分和各成員時,謂語動詞用復(fù)數(shù)。
3.指多數(shù)人或物的名詞,如:people,police,cattle(牛)謂語動詞用復(fù)數(shù),people當“民族”講時有單、復(fù)數(shù)之分。
The Chinese people are brave and hardworking.中國人民是勤勞勇敢的。
4.用and連接兩個以上的單數(shù)名詞時,謂語動詞要用復(fù)數(shù)。如and連接的兩個名詞是指明同一個人或同一個概念時,謂語動詞則用單數(shù)。如:
(1)The brother andsister are both students.
(2)The doctor and writer is going to give us a talk.這位醫(yī)生兼作家將給我們作個報告。
5.在there be;either…or…;neither…nor…;not only…but also…句型中,謂語動詞采取就近原則。如:
Either you or he is going to buy the book.不是你就是他要買這本書。
三、名詞的格
英語中名詞有三個格:主格(作主語),賓格(作賓語),和所有格。其中只有名詞的所有格有形式變化。
名詞所有格:有些名詞加“’s”表示所有關(guān)系,這種形式叫名詞所有格:構(gòu)成形式如下:
Ⅰ.表示有生命的名詞所有格
1.單數(shù)名詞后加“’s”,復(fù)數(shù)名詞不是以s結(jié)尾的也加“’s”。
2.以s或es結(jié)尾的復(fù)數(shù)名詞的所有格只在名詞后加“’”
3.表示幾個共有一件事物,只需在最后一個名詞之后加“’s”,如表示各自所有,則需在各個名詞后加“’s”。
4.表示這種“店鋪,某人家”的名詞所有格后面一般省略它所修飾的名詞。
5.有些指時間、距離、國家、城鎮(zhèn)的無生命的名詞也可加“’s”表示所有格。
Ⅱ.表示無生命的名詞,一般與of構(gòu)成詞組,表示所有關(guān)系。
of格的用法:
1.表示部分時,前面的詞有a,an,some,any,few,two,no,several之類的修飾語時,常用“of詞組+所有格”的形式表示所有關(guān)系。
a friend of my sister's=one of my sister's friends我妹妹的一個朋友
2.of后面的名詞必須是指人的名詞。
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；情境化
概念是整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)！研究表明，概念在學(xué)生頭腦中的生成僅僅依靠講授是不夠的，因為講授一般只可以讓學(xué)生對概念形成一些淺層的理解，比如說讓學(xué)生知道什么叫“異面直線”，但這個概念的內(nèi)涵與外延卻需要學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中去生成屬于自己的理解，比如“異面直線”是一個空間概念，“異面”是其本質(zhì)特征，有形的異面與無形的異面屬于其內(nèi)涵，異面直線之間的距離等則是其外延. 在這里需要強調(diào)的是，“屬于學(xué)生自己的理解”只有在學(xué)生為主的情境中才能發(fā)生，因此對于高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)而言，情境化就是一個重要的策略.
[?] 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的情境化策略概述
高中階段的數(shù)學(xué)概念相對更為抽象，因此建立一個真正的概念并不是一件容易的事情. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究者指出，抽象的概念一般需要經(jīng)歷一個心理加工過程，才會真正內(nèi)化為學(xué)生能夠熟練運用的基本知識. 而這個心理加工的過程一般都是情境化的，因此我們才提出了情境化的概念教學(xué)策略.
概念情境化的教學(xué)策略主要是指讓重要的數(shù)學(xué)概念在情境中生成. 這其中有兩個關(guān)鍵的施力點：一是重要的數(shù)學(xué)概念. 我們理解的重要有兩個角度，第一個是知識構(gòu)成角度的重要，第二個是學(xué)生學(xué)習(xí)角度的重要，在情境化的概念教學(xué)策略中，我們更看重后者，因為數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建關(guān)鍵在于概念的理解，因此學(xué)生感覺困難的才是教師需要施力的. 二是情境. 創(chuàng)設(shè)情境是課程改革以來受到人們高度重視的教學(xué)策略之一，對于概念教學(xué)而言，我們的理解是情境必須是概念的情境，也就是說情境的創(chuàng)設(shè)一定要基于學(xué)生的認知實際，瞄準概念掌握的最終目標來進行.
因此，我們就可以發(fā)現(xiàn)，概念情境化的教學(xué)策略實施關(guān)鍵在于教師對于學(xué)情的掌握，以及對概念的研究. 還以上面所說的“異面直線”的概念為例，學(xué)生理解直線很容易，理解異面有一定的困難. 因此教師就應(yīng)該從生活中去尋找異面的實例，這也不難――教室的墻壁就是；然后要跟學(xué)生一起在這樣的情境中將墻壁抽象成“面”，將墻壁上的線（窗框等）抽象成“線”，不同的線處于異面之上，這樣就形成了較好的異面直線的表象；最后在此基礎(chǔ)上進一步理解其內(nèi)涵與外延，這樣就能深化對這一概念的理解.
[?] 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的情境化策略實施
具體到實施過程中，我們會發(fā)現(xiàn)情境化策略要想取得成功，更多地在于根據(jù)不同類型的概念選擇不同的策略，并且在實施過程中要注意針對學(xué)生的實際，進行細節(jié)的處理. 如果說在上述第一點的簡述中所舉異面直線的例子還只是簡單概念的情境化的話，那對于重要的數(shù)學(xué)概念而言，就需要下更多的工夫.下面分不同的情境逐一例析：
示例一：橢圓概念的情境化教學(xué)策略.
高中學(xué)生掌握橢圓概述的優(yōu)勢在于概念名稱比較熟悉，這可以避免因為名稱的陌生而產(chǎn)生的距離感. 但這種熟悉背后隱藏著另外一些概念掌握的難點，如學(xué)生容易誤認為不是正圓的都是橢圓（包括不對稱的“圓”），還有學(xué)生對于橢圓的理解局限于某一定義，而實際上橢圓實際上有多種定義方式. 衡量一個學(xué)生有沒有真正掌握橢圓概念，可以通過學(xué)生對不同的定義是否都能理解來判斷――這背后蘊藏的心理學(xué)理解是，如果學(xué)生真正理解了橢圓概念，那他一定能夠理解不同的定義方式. 因此，我們可以采取這樣的情境化策略：
第一步，體驗橢圓的誕生過程. 其可以分兩小步完成，一是學(xué)生自由地在紙上畫出自己理解的橢圓，則學(xué)生畫的一般多為不正的圓. 二是用一根細線和兩個釘子，在木板上畫出橢圓. 這個情境中學(xué)生既有體驗，又有比較，能夠幫助學(xué)生建立豐富的直覺經(jīng)驗.
第二步，數(shù)學(xué)化理解. 將體驗過程數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)語言總結(jié)體驗過程. 這是所創(chuàng)設(shè)的體驗情境發(fā)揮作用的重要步驟，也是防止因情境而情境的有效措施. 在剛剛的體驗中，學(xué)生獲得的是操作得出的具有實物性質(zhì)的橢圓，而現(xiàn)在則需要的是學(xué)生思維中的數(shù)學(xué)性質(zhì)的橢圓. 因此，“到兩點的距離之和為定值（常數(shù)）”的概念必須由學(xué)生自主得出，解析式、長軸、短軸、焦距等概念可以由教師提出，但這些附屬概念的含義學(xué)生必須理解，而這些都是基于這一步驟的.
示例二：復(fù)數(shù)概念教學(xué)的情境化策略.
復(fù)數(shù)絕對是一個抽象的概念，很多學(xué)生在初次學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時根本不知道復(fù)數(shù)為何物，就算到了高考復(fù)習(xí)時，很多學(xué)生對于復(fù)數(shù)知識也是敬而遠之. 很大程度上，就是因為復(fù)數(shù)的初始學(xué)習(xí)過程中，沒有真正理解這一概念. 而運用了情境化策略之后，可以化解傳統(tǒng)講授模式中一半以上學(xué)生的問題.我們的情境創(chuàng)設(shè)的思路是這樣的.
第一步：回顧所學(xué)數(shù)集的擴充歷史. 這是幫學(xué)生重現(xiàn)不同階段數(shù)集學(xué)習(xí)的過程，以幫助學(xué)生形成或加強數(shù)集是可以擴充的思維定式. 如果學(xué)生已有這一定式，那么意味著數(shù)集的擴充是可以被其加工的；若學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不善總結(jié)，則無法形成這一定式，需要教師輔助生成.
第二步：提出實際的問題. 簡單如x2=-1，則x的值為多少. 像這樣的問題，一般難以從生活中尋找到恰當?shù)膶嶋H情境，這也是數(shù)學(xué)抽象性的一種體現(xiàn)，因此以原有認識為基礎(chǔ)提出新的問題，不失為創(chuàng)設(shè)情境的一種策略.這里也提醒我們，情境不一定是物質(zhì)的，也可以是思維的，不一定是形象的，也可以是抽象的. 這一問題的解決不在情境論述之列，故不贅述. 當然，在復(fù)數(shù)概念中，i是核心標志，需要著力解釋清楚.
第三步：對問題的解決進行反思. 問題解決之后必須要引領(lǐng)學(xué)生認識到：復(fù)數(shù)概念的引入既是為了解決平方為負的實際問題，同時也是數(shù)集可以擴充的另一佐證. 因此復(fù)數(shù)并不是一個全新的概念，其只是數(shù)集擴充的新的階段而已. 通過樹立這樣的認識，讓學(xué)生產(chǎn)生復(fù)數(shù)并不是孤立的概念，而只是原有概念的拓展.
事實證明，通過類似情境的創(chuàng)設(shè)，可以將復(fù)數(shù)這一新的概念納入到學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認識當中去，從而降低理解的難度，增加理解的有效性.
示例三：異面直線的距離概念的情境化教學(xué)策略.
異面直線的距離既是一個獨立的概念，又可以看做異面直線概念的外延. 在異面直線概念的基礎(chǔ)上構(gòu)建異面直線的距離概念，需要學(xué)生較強的空間想象能力. 那么，在學(xué)生想象能力不足以支撐這一概念形成的情形下，我們又該采取什么樣的教學(xué)策略呢？筆者進行了如下嘗試.
第一步：回顧異面直線概念，回憶點到直線距離概念，建構(gòu)同一平面內(nèi)兩平等線的距離概念. 這一步的設(shè)計目的在于為異面直線的距離概念建立打好“異面直線”和“距離”兩個關(guān)鍵詞基礎(chǔ).
第二步：教師出示兩條異面直線（可以用兩根長木棒代替），學(xué)生觀察完畢后放下教具，引導(dǎo)學(xué)生在大腦中形成表象. 然后提出問題：這兩根異面直線上哪兩點的距離是最適宜作為定義異面直線的距離的？這一問題具有發(fā)散性，又具有內(nèi)斂性. 其發(fā)散在沒有指明思考的方向，因此學(xué)生有可能在大腦中異面直線的表象上去尋找不同的點，其內(nèi)斂性體現(xiàn)在最終會尋找到距離最短的兩個點. 這一步驟是情境化的重點，如果學(xué)生憑想象難以構(gòu)建，則還可以用教具重新模擬，具體做法是用皮系在兩個異面直線（長木棒）上，然后分別在兩長木棒上滑動，看什么時候皮縮到最短.
第三步：尋找數(shù)學(xué)定義，具體略.
[?] 對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中情境化策略的思考
主謂一致三原則
我們常說的“主謂一致”其實可以分為“語法一致”“意義一致”和“就近一致”三條小原則。
“語法一致”即句子的主語和謂語在語法形式上保持一致：主語為單數(shù)時，謂語動詞用單數(shù)形式；主語為復(fù)數(shù)時，謂語動詞用復(fù)數(shù)形式。比如：
The house is located near a highway.
All the goods have been sent to them.
在“語法一致”的基礎(chǔ)上，還要考慮“意義一致”。有時候，主語在形式上為單數(shù)，但表示的是復(fù)數(shù)的意義，那么謂語動詞就要根據(jù)主語的意義使用復(fù)數(shù)形式。有時候，主語在形式上為復(fù)數(shù)，但表示的是單數(shù)的意義，那么謂語動詞則應(yīng)相應(yīng)地使用單數(shù)形式。比如：
My family are all looking forward to your arrival.
The United States was founded in 1776.
當句子中出現(xiàn)并列主語時，需要遵循“就近一致”原則，即謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式取決于最靠近謂語動詞的主語。這種情形在neither...nor...， either...or...， there be等句型中最常見。比如：
Neither his parents nor Tom is at home.
There is a book and some pens on the desk.
要注意的是，“就近一致”原則不適用于“并列成分作為整體擔任主語”的情況。
什么是“作為整體擔任主語”？比如在Lily and Jim are best friends一句中，Lily and Jim就屬于并列成分作為整體擔任主語，因為are best friends是對他們兩個人這個團體而言的，少了誰都談不上是“一對好朋友”。而在Neither his parents nor Tom is at home一句中，“不在家”這個狀態(tài)是可以分別針對Tom和他的父母而言的，這個句子可以改寫成His parents are not at home and neither is Tom，所以雖然這個句子的主語是并列的，但不是“作為整體擔任主語”。
總之，為避免主謂搭配錯位，同學(xué)們一定要記住：先確定主語中心詞，再判斷它的單復(fù)數(shù)。在實際應(yīng)用中，會有不少迷惑視線的情況，需要同學(xué)們細心辨別。
確定主語中心詞
一般情況下，主語中心詞很好找，但遇到以下三種情況，同學(xué)們往往會找錯主語中心詞。
一、倒裝句結(jié)構(gòu)
倒裝句的常見結(jié)構(gòu)為“副詞/介詞短語 + 謂語 + 主語”，這時候，不少同學(xué)會將介詞短語中的名詞當作主語，據(jù)此判斷謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式，這實在是大錯特錯。在倒裝句中，謂語動詞后面的名詞才是真正的主語，謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式應(yīng)該與它保持一致。比如：
Between the two windows （hang/hangs） a picture.
句意為“兩扇窗之間掛著一幅畫”。這是個倒裝句，真正的主語中心詞是a picture，而不是介詞短語中的two windows，所以謂語動詞應(yīng)該用單數(shù)形式hangs。
二、主語有后置修飾語
有些句子會用along with， among， and not， apart from， as much as， as well as， besides， but， except， in addition to， including， excluding， like， more than， no less than， plus， rather than， than， unlike， together with， with等引出一個短語，對主語作補充說明。這些短語實為狀語，可移至句末，但不少同學(xué)會錯把它們當作并列主語。遇到這種情況，應(yīng)先剔除這些短語，再來確定謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式，切莫根據(jù)這些短語中的名詞來判斷謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式。比如：
Traditional folk arts of Tianjin like paper cutting （was/were） being exhibited at the culture show of the 2010 Shanghai World Expo.
句意為“傳統(tǒng)的天津民間藝術(shù)，比如剪紙，在2010年上海世博會的文化展示活動上展出”。句中的主語中心詞既不是Tianjin，也不是paper cutting，而是traditional folk arts，因此謂語動詞應(yīng)該用復(fù)數(shù)形式were。
三、先行詞后有修飾成分
在定語從句中，先行詞是從句的主語中心詞，謂語動詞的形式取決于先行詞的形式。當從句與先行詞之間有其他修飾成分時，同學(xué)們很容易錯把這個修飾成分中的名詞當作先行詞。這時，務(wù)必根據(jù)語境和句意，仔細分析，正確判斷作為主語中心詞的先行詞。比如：
Finally another material is painted onto the stones which （is/are） used to protect them from water forever.
句意為“最后，在這些石頭上涂上另一種材料，以防止它們被水侵蝕”。句中的關(guān)系代詞which指代的是another material還是stones？分析句意，可知them指代的是stones，which指代的是material，是單數(shù)，謂語動詞應(yīng)該用is。又比如：
He is the only one among Chinese writers who （has/have） won the Nobel Prize for Literature.
句意為“他是中國作家中唯一獲得諾貝爾文學(xué)獎的”。句中的先行詞是the only one，所以謂語動詞應(yīng)該用has。
判斷謂語單復(fù)數(shù)
其實，遇到復(fù)雜的句型，只要細心地分析情境及句意，找準主語中心詞并不很難。與之相比，判斷謂語的單復(fù)數(shù)就要復(fù)雜些，因為不僅要看主語中心詞的單復(fù)數(shù)情況，還要看它們表達的意義是單數(shù)還是復(fù)數(shù)，有時還要考慮“就近一致”。這時，同學(xué)們很容易被以下三種現(xiàn)象所迷惑。
一、被并列成分作為整體擔任主語迷惑
前面提到過，當主語由并列成分作為整體擔任時，不適用“就近原則”，此時要根據(jù)作為整體的并列成分表意的單復(fù)數(shù)來確定謂語動詞的單復(fù)數(shù)形式。
比如Lily and Jim are best friends一句中，Lily and Jim作為整體擔任主語，表示的是“兩個人”，是復(fù)數(shù)，所以謂語動詞用are。
并列成分作為整體擔任主語還有下面幾種情況：①表示“一種東西”，如bacon and eggs（臘肉荷包蛋）、bread and butter（奶油面包）；②表示“一個概念”，如truth and honesty（真誠）；③表示“擁有雙重身份的一個人或事物”，如a singer and actor（歌手兼演員）；④表示“一整套的事物”，如a knife and fork（刀叉）。這時，并列成分作為整體，表示的是單數(shù)的意義，謂語動詞要采用單數(shù)形式。比如：
A poet and artist （was/were） invited to give us a talk on Chinese literature and painting.
句意為“那位詩人兼藝術(shù)家被請來給我們進行一次關(guān)于中國文學(xué)和繪畫的講座”。句中的主語a poet and artist指的是擁有詩人和藝術(shù)家雙重身份的一個人，所以謂語動詞應(yīng)該用was。如果要表示“詩人和藝術(shù)家”，則應(yīng)該用a poet and an artist。又比如：
With the development of modern agriculture and industry， more and more waste and poison （is/are） poured into the water， the soil and the air.
句意為“隨著現(xiàn)代農(nóng)業(yè)和工業(yè)的發(fā)展，越來越多的有害物質(zhì)被排放到水中、地里和空氣中”。句中的waste and poison指的是“有害物質(zhì)”這個概念，是單數(shù)的，所以謂語動詞用is。
二、被單數(shù)含義中心詞所在的短語迷惑
當句子的主語是短語時，有時候，短語的中文含義是復(fù)數(shù)的，但它的中心詞是單數(shù)，這時，同學(xué)們很容易忽略中心詞，只根據(jù)短語的含義來判斷謂語動詞的形式，導(dǎo)致出錯。比如當主語是“more than one/many a + 單數(shù)名詞”這樣的短語時，雖然整個短語表示復(fù)數(shù)含義，但它的中心詞是單數(shù)名詞，謂語動詞應(yīng)該用單數(shù)形式。請看下面兩個例句。
More than one student （was/were）late for class yesterday.
More students than one （was/were）late for class yesterday.
這兩個句子從字面看都是“不止一名學(xué)生昨天遲到”的意思，但前一句側(cè)重表示“一個學(xué)生遲到了，其他還有學(xué)生遲到”，雖然more than one student的中文意思為復(fù)數(shù)，但句意強調(diào)的是其中的one student，即中心詞是one student，所以謂語動詞應(yīng)該用was。而后一句側(cè)重表示“很多學(xué)生遲到，不止一個”，句意強調(diào)的是more students，是復(fù)數(shù)，所以謂語動詞用were。
三、被集體名詞迷惑
集體名詞可分為兩種，一種只能用來表示復(fù)數(shù)，如cattle，folk， people， police， public， youth等；另一種既能表示單數(shù)又能表示復(fù)數(shù)，如army， band， class， club， committee， company， crew， crowd， enemy， family， government， group， population， staff， team， troop等。后一種集體名詞在表示一個整體時，謂語動詞要用單數(shù)形式；在表示整體中的成員時，謂語動詞用復(fù)數(shù)形式。比如：
The class （consist/consists） of 45 students and the whole class （is/are） all diligent.
遷移可分為順向遷移與逆向遷移。順向遷移指的是“先前的學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)的影響”；逆向遷移指的是“后繼學(xué)習(xí)對先前學(xué)習(xí)的影響”。不論順向遷移還是逆向遷移，又都有正負之分。對學(xué)習(xí)起到促進作用的是正遷移，對學(xué)習(xí)起到干擾或抑制作用的是負遷移。例如，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的開方時，必須先掌握方根、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)的乘方、三角函數(shù)的周期性，這些知識是否扎實，將直接影響到復(fù)數(shù)開方學(xué)習(xí)的好壞。如果學(xué)生對上述知識有清晰的認識，教師又引導(dǎo)得法，那么學(xué)生就能輕松地實現(xiàn)知識的遷移，也就是由實數(shù)方根的概念轉(zhuǎn)化到復(fù)數(shù)方根的概念。這是順向正遷移。反之，學(xué)生學(xué)過復(fù)數(shù)方根后，如果能正確理解并掌握復(fù)數(shù)方根的概念和求法，那么學(xué)生對方根的概念就比以前更全面更深刻，進入了一個較高的層次。這就是逆向正遷移。
遷移是檢驗我們在教學(xué)中是否發(fā)展了能力開發(fā)了智力的一個可靠標準。如果教師在教學(xué)中能引導(dǎo)學(xué)生自覺地實現(xiàn)知識的正遷移，做到概念清晰，運算熟練，思維敏捷，學(xué)生的能力就得到了發(fā)展；反之，在教學(xué)中不僅不能使學(xué)生順利實現(xiàn)正遷移，反而產(chǎn)生負遷移，學(xué)生頭腦中概念模糊，手足失措，思維呆板，學(xué)生的能力也就停滯不前了。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣運用遷移規(guī)律來提高我們的教學(xué)效果呢？
首先，我們注意到學(xué)生“先前所學(xué)知識”與“后繼所學(xué)知識”之間的關(guān)系大致可分為特殊與一般關(guān)系、一般與特殊關(guān)系、并列平行或交叉關(guān)系三種類型。
例如，幼師數(shù)學(xué)中二項定理需要在多項式的乘法法則，兩數(shù)和的平方與立方公式的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)。這樣，先前所學(xué)的兩數(shù)和的平方與立方公式就是二項式定理的特殊情況。學(xué)生學(xué)過兩角和與差的正弦、余弦和正切公式后，倍角公式則可作為這些公式的特殊情況，這里先前所學(xué)知識則是倍角公式的更為一般的情況。學(xué)過排列后，再學(xué)習(xí)組合，排列與組合則屬于并列平行交叉關(guān)系。
由于事物之間的聯(lián)系的多樣性和復(fù)雜性，并且事物是不斷變化和發(fā)展的，因此知識之間的這三種關(guān)系并沒有絕對的界限，在一種關(guān)系之內(nèi)也可能穿插有其它兩種關(guān)系。
下面，我們分別從這三種關(guān)系上來探討如何運用遷移規(guī)律提高教學(xué)效果。
一、特殊到一般關(guān)系的遷移
這時新知識直接依賴于學(xué)生頭腦中已有的知識。要想順利地實現(xiàn)知識的順向正遷移，學(xué)生頭腦中原有的知識必須扎實。特別是與新知識有關(guān)的原有概念必須清晰理解；與新知識有關(guān)的定理公式必須牢固掌握；與新知識有關(guān)的思想方法必須基本熟悉。因此，講課之前復(fù)習(xí)舊的有關(guān)知識是必須的一個過程，講解新課中，對舊知識存在的矛盾必須充分揭示，并注意啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探討舊知識的發(fā)展方向，使學(xué)生自己必然得到由特殊情況導(dǎo)出更一般情況的結(jié)論。
二、一般到特殊關(guān)系中的遷移
這時，新知識也直接與學(xué)生頭腦中原有的知識有關(guān)，但新知識有自己的特殊點，要使學(xué)生的學(xué)習(xí)能順利向正遷移，就是在這種特殊點上的遷移。因此，在講課中除了復(fù)習(xí)有關(guān)的舊知識以外，還必須提出一系列問題使學(xué)生能從一般轉(zhuǎn)化到特殊上去。舉例不僅有正面例子，還應(yīng)有反例，使學(xué)生理解這種特殊究竟特殊于何處。
例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了反函數(shù)的概念之后，再學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)，則對數(shù)函數(shù)作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是反函數(shù)中的特殊情況，講解對數(shù)函數(shù)時，除復(fù)習(xí)反函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義外，還應(yīng)提出與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一系列問題。如：
指數(shù)函數(shù)中的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系分別是什么？
指數(shù)函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系是否是從定義域到值域的一一對應(yīng)。
設(shè)指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0、a≠1）的定義域是A，值域是B，則對應(yīng)關(guān)系xax是否存在逆對應(yīng)？逆對應(yīng)是哪一個集合到哪一個集合的對應(yīng)？
把集合B、A分別作為定義域、值域，對應(yīng)關(guān)系為xax 的逆對應(yīng)，那么所得的函數(shù)是什么函數(shù)？
這樣，通過上述問題，就突出了對數(shù)函數(shù)的特殊點，很自然地引出了對數(shù)函數(shù)的定義。再舉出反例y=logax?、y=3logax讓學(xué)生識別是否為對數(shù)函數(shù)，從而使學(xué)生進一步理解對數(shù)函數(shù)概念，實現(xiàn)了知識的順向正遷移。
在此之前，學(xué)生雖然知道了什么是反函數(shù)，但具體例子不夠豐富，對反函數(shù)概念的理解仍停留于形式上，學(xué)過對數(shù)函數(shù)并真正理解與掌握后，就進一步豐富了他們對反函數(shù)的認識，這是逆向正遷移。
利用排列、組合公式解答應(yīng)用題，也是把一般性原理應(yīng)用于特殊場合，解答應(yīng)用題時，應(yīng)突出每個問題的特殊點，但應(yīng)與一般性原理緊密結(jié)合，這樣多次反復(fù)，學(xué)生就能自覺地實現(xiàn)知識的正遷移。
三、并列平行或交叉關(guān)系中的遷移
這時，新知識與學(xué)生頭腦中原有知識相對地獨立，但它們可能都從屬于過去所學(xué)某種知識的更一般的范圍之內(nèi)，也可能都是后繼所學(xué)知識的特殊情況。例如，集合中的交集與并集的關(guān)系是并列平行關(guān)系，但它們都從屬于過去所學(xué)的集合概念之內(nèi)。函數(shù)y=Asinx的圖像與函數(shù)y=Sinωx的圖像是并列交叉關(guān)系，但它們都是今后學(xué)習(xí)的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的特殊情況。
當新知識與鄰近所學(xué)知識是并列平行或交叉關(guān)系時，講解中要運用分析、比較方法，找出新舊知識之間不同點和結(jié)合點，明確它們的異同，掌握它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。
例如，學(xué)生學(xué)過交集的定義后，再來學(xué)習(xí)并集時，講解中應(yīng)把并集與交集進行對比，明確集合A和B的并集與A與B的交集一樣，都是由集合A與B完全確定的集合，區(qū)別在于并集中元素的屬性是屬于A或?qū)儆贐，要求屬于其中某一個集合即可，當然也有可能同時屬于A和B；而交集中元素的屬性則要求同時屬于A和B。這種對比可以通過若干具體例子進行，讓學(xué)生自己通過比較分析，進一步理解并集概念，從而能順利實現(xiàn)知識的正遷移。
排列與組合是并列交叉關(guān)系，學(xué)過排列后講解組合時，應(yīng)通過各種具體實例的對比，使學(xué)生能判別每一個具體問題究竟是排列問題還是組合問題，雖然排列與組合的區(qū)別僅在于順序上，但學(xué)生遇到具體問題往往就茫然不知所措，因此，這種對比要不斷進行，要由易到難，由簡單到復(fù)雜。
關(guān)鍵詞：主謂一致；主語；謂語
作者簡介：魏罕秀，任教于甘肅省皋蘭縣二中。
主謂一致，一般來說，謂語必須與主語和人稱在數(shù)上保持一致。其一致性涉及三方面，既語法上一致，意義上一致，就近一致。具體用法如下：
一、主語是下列情況的，謂語用單數(shù)
1.如果主語由“manya,morethanone+單數(shù)名詞”構(gòu)成，盡管從意義上看是復(fù)數(shù)，但謂語動詞仍用單數(shù)形式。如：
Manyachildhasmadethatmistake.(許多孩子都犯那種錯誤。)
Thereismorethanoneanswertoyourquestion.(你的這個問題不止一個答案。)
注：“morethan+數(shù)詞+復(fù)數(shù)名詞”作主語時，謂語動詞用復(fù)數(shù)形式。如：
Morethanonethousandworkersareworkinginthisfactory.(有1000多名工人在這家工廠做工。)
2.“……四則運算（即加、減、乘、除）……”表示整體概念，謂語動詞多用單數(shù)形式。如：
88and2is100.(88加2等于100。)
Fivetimesfouris20.(5乘以4等于20。)
3.“a+單數(shù)名詞+ortwo”作主語，謂語動詞用單數(shù)；但“oneortwo+復(fù)數(shù)名詞”作主語，謂語動詞用復(fù)數(shù)。如：
Adayortwoispassed.(一兩天過去了。)
Oneortwohourshavebeenspent.(一兩天過去了。)
4.由each,every修飾的名詞作主語，或由each…andeach…，every…andevery…，no…andno…連接名詞作主語時，謂語用單數(shù)。如：
Eachmanandeachwomanhasachancetoberaisedinourcompany.(在我們公司，每個男女都有提升的機會。)
Noboyandnogirldoesn’tgotoschoolattheageofseveninthisvillagebecauseoftheHopeProject.(由于希望工程，我們村七歲的男孩女孩都去上學(xué)。)
注：each位于復(fù)數(shù)主語后或句末，則不影響謂語動詞的數(shù)。如：
Thestudentseachhaveadictionary.(學(xué)生們每人都有一本字典。)
5.every-,any-,some-等構(gòu)成的復(fù)合不定代詞作主語，謂語用單數(shù)。如：
Thereissomethingwrongwiththemachine.(這臺機器有問題。)
6.all表示物時，謂語動詞用單數(shù)。如：
Allwassilent.(萬籟俱寂。)
Alloftherubbishwascleanedaway.(所有的垃圾都被清除了。)
注：當all作主語表示人時，謂語動詞用復(fù)數(shù)。如：
Allbutonewereherejustnow.(除一人外，都剛剛在這兒。)
7.動名詞、動詞不定式、名詞從句或由and連接的兩個疑問代詞作主語時，謂語動詞常用單數(shù)。如：
ToholdtheOlympicGamesisarichprizeforacountry.(對于一個國家來說，承辦奧運會就是一份豐厚的獎品。)
Whenandwheretobuildthenewfactoryisnotdecidedyet.
注：當what從句作主語時而表語是復(fù)數(shù)時，謂語動詞也可用復(fù)數(shù)。如：
Whatwebadlyneedherearecompetentteachers.(我們這兒急需的是合格的老師。)
8.在“It+be+被強調(diào)部分+that(who)…”結(jié)構(gòu)中，“be”用單數(shù)。如：
Itisnotonlyblindmenwhomakesuchstupidmistakes.(不僅僅是盲人犯這樣的錯誤。)
二、主語是復(fù)數(shù)形式，而謂語用單數(shù)形式
1.國名、人名、書名、組織機構(gòu)等專有名詞做主語，即使形式上是復(fù)數(shù)，謂語動詞仍用單數(shù)。如：
TheUnitedStateisadevelopedcountry.
2.以-ics結(jié)尾表示學(xué)科的名詞，如politics，physics，athletics，mathematics等做主語時，謂語用單數(shù)。如：
Mathematicsisdifficulttolearn.
注：當以-ics結(jié)尾的表示學(xué)科的名詞前有物主代詞修飾，指某人的某方面知識時，謂語用復(fù)數(shù)。如：
Hisphysicsarepoor.
3.當表示時間、距離、價格度量衡等的名詞作主語時，謂語用單數(shù)。如：
Tenyearsisquitealongtime.(十年是漫長的時間。)
Fifteenmilesseemslikealongwalktome.(步行15分鐘對我來說是較長的時間了。)
注：如果是指某一個體，則要根據(jù)語法一致的原則，謂語動詞用復(fù)數(shù)形式。如：
Twentyyearshavepassedsinceweparted.(自從我們分手以后已經(jīng)20年過去了。)
4.“One+andahalf+復(fù)數(shù)名詞”做主語時，謂語動詞用單數(shù)。如：
Oneandahalfapplesisleftontheplate.(盤子里還有一個半蘋果。)
5.有些用來表示有兩個對應(yīng)部分組成一體的名詞復(fù)數(shù)，如trousers,glasses,compasses等做主語，前面若有“一條，一副，一把”之類的單位詞，謂語用單數(shù)；若沒有單位詞或單位詞是復(fù)數(shù)，則謂語用復(fù)數(shù)。如：
Thereisapairofglassesonthedesk.(桌子上有一副眼鏡。)
Alltheglassesaremadeofglass,notplastic.(所有的玻璃杯都是由玻璃制成的，而并非塑料。)
6.thenumberof短語做主語時，謂語動詞用單數(shù)。如:
Asaresult,thenumberofpeoplewhotravelbyplaneinChinaislargerthaneverbefore.因此，中國乘飛機旅行的人數(shù)比以往多了。
注：anumberof短語做主語時，謂語動詞一般用復(fù)數(shù)，如：Thenumberofpeopleinvitedwasfifty,butanumberofthemwereabsentfordifferentreasons.（邀請了五十人，但由于種種原因，大多數(shù)人沒來。）
三、主語是單數(shù)形式，而謂語動詞用復(fù)數(shù)形式
1.一些集體名詞，如cattle,police,people,militia（民兵）等，在句子中做主語時，謂語用單數(shù)。如：
Shortlyaftertheaccident,thepoliceweresenttokeeporder.(事故后不久，警察被派來維持秩序。)
2.有些以-sh,-ese,-ch結(jié)尾的表示國家、民族的形容詞與the連用時表示復(fù)數(shù)含義，謂語動詞用復(fù)數(shù)。如:
TheChinesearekindandfriendly.(中國人親切、友好。)
3.當“the+形容詞（過去分詞）”指一類人作主語，如theold,theyoung,therich,thedead,謂語用復(fù)數(shù)。如:
Therichliveahappylife,whilethepoorliveahardlife.(富人過著快樂的生活，而窮人過著艱難的生活。)
四、謂語動詞的單復(fù)數(shù)根據(jù)主語的具體情況而定
1.一些集體名詞，如family,class,team,population,company,public,government,group,club等做主語時，當作為整體時，謂語動詞用單數(shù)；如果作為一個個體成員來考慮時，謂語動詞用復(fù)數(shù)。如：
Myfamilyarecomingwithme.(我的家人將和我一塊兒來。)
HisfamilyhasjustmovedtoBeijing.(他家剛搬到北京。)
2.一些表示部分概念或不定量的名詞或代詞作主語，形式上為單數(shù)，但謂語動詞的單復(fù)數(shù)應(yīng)根據(jù)of后接名詞的單復(fù)數(shù)而定，這些詞有half,most,some等。如：
Themostofhistimeiswastedoverit.他的大部分時間都浪費在這上面了。
Halfofthebooksarenovels.一半書籍是小說。
3.名詞前有alotof,lotsof,plentyof,percentof等時，根據(jù)具體情況決定謂語動詞的單復(fù)數(shù)。
Thereareplentyofeggsinthebasket.(籃子里有很多蛋。)
Lotsofmeathasbeensoldout.(很多肉已銷售。)
4.用and連接的名詞作主語指兩個人和物時，謂語用復(fù)數(shù)；指同一個人和物時，謂語用單數(shù)。如：
Theworkerandwritercomesfromasmalltown.(這位工人兼作家出身于一個小城鎮(zhèn)。)
5.由notonly…butalso,either…or,neither…nor或or連接的并列主語，謂語動詞的單數(shù)形式或復(fù)數(shù)形式依最靠近他的名詞的單復(fù)試形式而定。如：
EitheryouorIamgoingtoanswerhisquestion.(你和我必須有一個要回答他的問題。)
NotonlyhebutalsohisfriendshavebeentoNewYork.(不僅他而且他的朋友都去過紐約。)
.aswellas,besides,like,with,alongwith,togetherwith,nolessthan,except,but,ratherthan等構(gòu)成的短語不看作主語，謂語動詞的數(shù)與第一個主語的數(shù)保持一致。如：
ThemanwithhisdaughtersandsoniswatchingTV.(這個人和他的兒女在看電視。)
Thegirlsaswellastheteacheraredancing.(姑娘們和這位老師在跳舞。)
7.在therebe句型中，若有一系列并列主語時，根據(jù)就近原則，be應(yīng)與他相鄰的名詞的數(shù)保持一致。如：
Thereisadeskandthreechairsintheroom.(房子里有一張桌子和三把椅子。)
8.在here引起的倒裝句中，如果主語不止一個時，謂語動詞常與最靠近的主語一致。如：
Hereareafewenvelopesandsomepaperforyou.(給你一些信封和紙。)
1.感受復(fù)數(shù)的有關(guān)概念題型
例1已知復(fù)數(shù)z=a2-7a+6a2-1+（a2-5a+6）i （a∈R），試求實數(shù)a分別取什么值時，z為（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).
分析本題可找出復(fù)數(shù)的實部和虛部，并根據(jù)題意找出符合實數(shù)、虛數(shù)的條件來確定.
解（1）當z為實數(shù)時，則a2-5a-6=0，a2≠1，即a=-1或a=6，a≠±1，得a=6.故當a=6時，z為實數(shù).
（2）當z為虛數(shù)時，則有a2-5a-6≠0，a2≠1，即a=-1且a≠6，a≠±1，求得a≠±1且a≠6.因此當a∈（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）時，z為虛數(shù).
（3）當z為純虛數(shù)時，則有a2-5a-6≠0，a2-7a+6a2-1=0.即a≠-1且a≠6，a=6.故不存在實數(shù)a，使z為純虛數(shù).
點撥復(fù)數(shù)包括實數(shù)和虛數(shù)，虛數(shù)又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).合理利用復(fù)數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)以及純虛數(shù)的條件是解決本類問題的關(guān)鍵.
2.感受復(fù)數(shù)相等
例2已知x+y-xyi=24i-5，其中x 、y∈R，求x、y的值.
分析此類題型其實質(zhì)是在實數(shù)集中解方程，通常的方法是由復(fù)數(shù)相等的充要條件將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)集上的方程組，進而求得方程的解.
解x、y
∈R，x+y∈R，xy∈R，則根據(jù)題意得到x+y=-5，-xy=24.可以解得x=3，y=-8，或x=-8，y=3.
點撥（1）運用復(fù)數(shù)相等的充要條件“a+bi=c+dia=c，b=d”時，應(yīng)該注意大前提a、b、c、d∈R，否則解題時容易出現(xiàn)錯誤.
3.感受復(fù)數(shù)方程問題
例4已知關(guān)于x、y的方程組
（2x-1）+i=y-（3-y）i，（2x+ay）-（4x-y+b）i=9-8i.①②
有實數(shù)根，求實數(shù)a、b的值.
分析由于x、y是實數(shù)，根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來解決.
解由（1）得到2x-1=y，1=-（3-y），可解得x=52，y=4.再將其代入方程（2）得到（5+4a）-（6+b）i=9-8i.
又a、b∈R，5+4a，6+b=8.可以解得a=1，b=2.
點撥一個有關(guān)復(fù)數(shù)的方程，相當于兩個實數(shù)方程，由此能求出兩個未知數(shù).本題利用復(fù)數(shù)相等的充要條件將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來解決.這是解決此類問題的基本方法.
4.感受復(fù)數(shù)中的數(shù)學(xué)思想問題
例4復(fù)數(shù)z滿足zz+2iz=3+ai （a∈R），且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.
分析可以利用常規(guī)解法，令z=x+yi（x，y∈R），化虛為實，尋求解法，探求a的取值范圍，可以利用方程思想，函數(shù)思想來解決.
解設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則x2+y2+2i（x-yi）=3+ai，即x2+y2+2y+2xi=3+ai，則
x2+y2+2y=3，2x=a.（1）（2）
由復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在第二象限，故
x0，（3）
下面的問題就是如何由（1）（2）（3）出發(fā)，探求a的取值范圍.
方法一：方程思想
由（1）（2）組成方程組，解出
x=a2，t=-2±16-a22. （4）
把（4）代入（3）即可轉(zhuǎn)化為求a的取值范圍問題.
由a2
-2±16-a22>0，得到-23
方法二：函數(shù)思想
（1）（2）兩等式可以看作x、y、a三個量之間相互依存、相互制約的關(guān)系式.本題最后求解的是a的取值范圍，不妨從（1）（2）中解出x、a關(guān)于y的函數(shù)解析式，利用函數(shù)值域的方法，求出a的取值范圍.
由（1）a=x2，再由（3）x
（2）代入（1）得
y2+2y+a24=3，解出a2得到a2=4[4-（y+1）2].
由（3）y>0，可以知道（y+1）2>1.則a2
-23
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)史 數(shù)學(xué)教學(xué) 概念教學(xué)
我國新一輪的基礎(chǔ)教育課程改革正在進行，它要求教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，確立一種新的教育觀念。數(shù)學(xué)史為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了一個新的視角，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)這一問題受到越來越多的關(guān)注[1].
1.數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的作用
1.1激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中是一門非常抽象的、枯燥的學(xué)科.究其原因會發(fā)現(xiàn)，在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)知識只是進行簡單的記憶和推理，不知道定理和公式的由來，有的老師常常會說“這是規(guī)定”，打消了學(xué)生的好奇心，久而久之學(xué)生就失去了對數(shù)學(xué)的興趣.“興趣是最好的老師”.有教育專家指出：一個能激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、使學(xué)生對數(shù)學(xué)著迷的教師才是最優(yōu)秀的教師.通過介紹數(shù)學(xué)史中與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的趣聞逸事能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，一旦有了興趣，學(xué)生就會主動去學(xué)習(xí).
1.2有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)史中記載了許多數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生身臨其境般地感受數(shù)學(xué)的發(fā)展，從而更深入地理解數(shù)學(xué).運用數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生能夠理解蘊含在數(shù)學(xué)知識中的思想方法的來源，使知識的脈絡(luò)更加清晰，便于學(xué)生理解、記憶[3].例如劉徽在《九章算術(shù)》中，提出割圓術(shù)作為計算圓的周長、面積的基礎(chǔ)，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓.他指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣！”這是樸素的極限思想.適當?shù)刂v解這些知識，不僅開闊了學(xué)生的眼界，而且拓展了學(xué)生的思維，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).
1.3有利于培養(yǎng)學(xué)生的堅強意志和探索精神
在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)學(xué)家表現(xiàn)出的刻苦鉆研的精神、頑強的意志力、敢于堅持真理的品質(zhì)深深地感染著學(xué)生，在培養(yǎng)學(xué)生的堅強意志和探索精神方面發(fā)揮著很好的作用.培養(yǎng)學(xué)生的堅強意志和探索精神最直接的辦法就是給他們講人物事跡.例如：華羅庚初中畢業(yè)后因家境貧窮無法繼續(xù)上學(xué)，但他并沒有悲觀氣餒，而是發(fā)奮自學(xué)，成為偉大的數(shù)學(xué)家，為祖國爭得了榮譽；數(shù)學(xué)王子高斯在沒有保證研究結(jié)果絕對正確之前，絕不發(fā)表，這樣的堅持真理的精神值得我們學(xué)習(xí)；牛頓、歐拉、陳景潤等數(shù)學(xué)家的事跡也都是很好的素材.
1.4提高學(xué)生的審美能力
英國數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)不但擁有真理，而且具有崇高的美，是一種冰冷而嚴肅的美，不像繪畫或音樂那樣有華麗的服飾，它可以純粹到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的完美境地.”[4]古希臘數(shù)學(xué)家普羅克洛斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”翻閱數(shù)學(xué)史，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史是一門美的科學(xué)，它本身就展示了數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)的活動，數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造活動具有藝術(shù)的特征，這就是對美的追求.數(shù)學(xué)史中蘊涵著許多美的寶藏，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史知識滲透審美教育，對學(xué)生審美能力的提高起著重要作用.例如：畢達哥拉斯認為，圓是最美麗的平面圖形，球是最美麗的立體圖形，因為他們在每個方向上的圖形都是對稱的，加法和減法、乘法和除法、指數(shù)和對數(shù)、微分和積分也都充滿了對稱美.函數(shù)符號經(jīng)過數(shù)學(xué)家的不斷修改得到y(tǒng)=f（x）這一簡單表達式，體現(xiàn)了簡潔美.我們可以從數(shù)學(xué)史料中挖掘一些審美的好題材，以更好地對學(xué)生進行審美教育，提高學(xué)生的審美能力.
2.數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的策略
張奠宙先生提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)的“理論形成”轉(zhuǎn)化為“養(yǎng)成教育”的途徑：
①揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，形成正確的數(shù)學(xué)觀；
②返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，并使之適合今天的課堂教學(xué)；
③提供真實的歷史材料，包括原始問題、原始論據(jù)、原始過程，增強真實感，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文精神.
以上三點為數(shù)學(xué)史的運用指明了方向，在實際教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的方式有很多.下面以運用數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例展示數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的策略.
2.1在導(dǎo)入新課中運用數(shù)學(xué)史
在課堂教學(xué)中，導(dǎo)入課題是一個很重要的環(huán)節(jié)，引入新課的方法是多種多樣的，如果有與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史資料，不妨利用數(shù)學(xué)史引入，能引起學(xué)生的注意，激起學(xué)生的求知欲.
例如無理數(shù)的引入.先介紹它的歷史發(fā)展：古希臘時代畢達哥拉斯學(xué)派的成員希伯索斯在用勾股定理計算邊長為1的正方形的對角線時，發(fā)現(xiàn)對角線的長度是一種從來沒見過的“新數(shù)”，打破了該學(xué)派所信奉的“萬物皆數(shù)”的信條，引起了人們極大的恐慌，這件事在數(shù)學(xué)史上被稱為第一次數(shù)學(xué)危機.因為發(fā)現(xiàn)和研究這一“新數(shù)”，希伯索斯被投入海中處死.那么他到底發(fā)現(xiàn)的是一種什么樣的數(shù)呢？
2.2在概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史
講解某個數(shù)學(xué)概念時，適當講述概念的發(fā)展歷史，能使學(xué)生從整體上掌握概念.數(shù)學(xué)史家M?克萊因堅信歷史是教學(xué)的指南，他為此對美國的“新數(shù)運動”進行了批判：數(shù)學(xué)家花了三百年的時間才理解復(fù)數(shù)，我們卻直接告訴學(xué)生復(fù)數(shù)是一個有序?qū)崝?shù)對.這種“強加”式的教學(xué)不利于學(xué)生對概念的理解，每個數(shù)學(xué)知識都有它的起源、發(fā)展，以及數(shù)學(xué)家為之付出努力的佚事，如果介紹數(shù)學(xué)概念的發(fā)展史進行概念教學(xué)，能更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念[5].
例如，復(fù)數(shù)概念教學(xué).首先提出問題：先讓學(xué)生解方程x -10x+40=0.學(xué)生發(fā)現(xiàn)此方程的根的判別式Δ=10 -4×40=-60
其次，介紹復(fù)數(shù)發(fā)展的歷史背景：數(shù)的概念是在實踐中發(fā)展起來的，在原始社會，由于計數(shù)的需要，人們建立了自然數(shù)的概念.隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)也得到了發(fā)展，為了表示相反意義的量，引進了負數(shù).為了解決分配中遇到的將某些量等分的問題，人們引進了有理數(shù)，它們就是一切形如 的數(shù)，其中m∈z，n∈N，n≠0，這樣，就把整數(shù)集擴大到有理數(shù)集.為了解決量與量之間的比值不能用有理數(shù)表示的矛盾，又引進了無理數(shù).從解方程x -10x+40=0，發(fā)現(xiàn)方程沒有實數(shù)解，原因是負數(shù)不能開平方，為了解決這個問題，引進了虛數(shù).12世紀，印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在研究方程過程中注意到了負數(shù)的開平方問題，他指出：“正數(shù)、負數(shù)的平方都是正數(shù)，因此，一個正數(shù)的平方根是一個正數(shù)和一個負數(shù)，負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)不是平方數(shù).”當時他并沒有意識到“負數(shù)的開平方”背后隱藏著巨大的數(shù)學(xué)奧秘，他的一句肯定的話遏制了后人對這一問題進行探索的愿望，以至于在很長的時間里，各國數(shù)學(xué)家對這個問題都采取了回避的態(tài)度.直到1545年，“負數(shù)平方根”重新引起了關(guān)注，數(shù)學(xué)家卡丹在求解“把10分成兩部分，使其乘積等于40”的問題（相當于求方程x -10x+40=0）時，果斷將10分為5+ 和5- ，當時讓人感到不可思議.但利用它，這個方程就可以迎刃而解了.整個17世紀，許多數(shù)學(xué)家已經(jīng)在解方程中開始應(yīng)用虛數(shù)，其中，笛卡爾在1632年首次給出虛數(shù)的名稱，意為虛構(gòu)的，不存在的，但大多數(shù)人對虛數(shù)作為數(shù)持懷疑態(tài)度.直到18世紀挪威的測繪員韋塞爾和法國的會計師阿爾甘借助笛卡爾的平面直角坐標系，對復(fù)數(shù)做出了讓人信服的解釋，終于揭開了虛數(shù)的神秘面紗.到了19世紀，復(fù)數(shù)應(yīng)用日益廣泛，復(fù)數(shù)的概念才最終得以確立.
最后，得出復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)被稱為復(fù)數(shù).當b=0時，就是實數(shù)；當b≠0時，叫做虛數(shù)，當a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)；a與b分別叫做復(fù)數(shù)a+bi的實部和虛部.
數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有著非常重要的作用，把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不是簡單的介紹或移植，而是把數(shù)學(xué)史的理論研究轉(zhuǎn)化為實踐的過程，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例尚須豐富.
參考文獻：
[1]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（1）：16-18.
[2]朱家生.數(shù)學(xué)史第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]張楠，羅增儒.對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（3）：72-75.
