時(shí)間：2023-05-29 17:50:24
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇整式乘法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
1、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
2、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
3、乘法公式(Identities)：也叫做簡(jiǎn)乘公式，就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字，單項(xiàng)式，多項(xiàng)式，有的還可以推廣到分式，根式。
（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）
因式；教材；學(xué)情；教法
〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.62
〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C
〔文章編號(hào)〕 1004―0463（2011）
07（A）―0075―01
一、教材分析
“分解因式”一節(jié)內(nèi)容在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)第二章第一節(jié)，從內(nèi)容上來(lái)看有：1.分解因式法；2.提公因式法；3.運(yùn)用公式法。主要經(jīng)歷從整式乘法到分解因式的恒等變形，并結(jié)合小學(xué)、中學(xué)的有關(guān)知識(shí)，運(yùn)用觀察、類(lèi)比等手段，使學(xué)生了解分解因式的意義和概念。通過(guò)對(duì)分解因式與整式的乘法的觀察與比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題能力與綜合應(yīng)用能力。
二、學(xué)情分析
八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式乘法的各種運(yùn)算公式，如平方差公式、完全平方公式等，體會(huì)和感受了數(shù)式與代數(shù)式在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)的相似關(guān)系。因此，對(duì)于整式乘法的運(yùn)算已不再陌生。在本節(jié)“分解因式”的學(xué)習(xí)中，由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過(guò)程，而逆向思維對(duì)于八年級(jí)學(xué)生還比較生疏，接受起來(lái)還有一定的困難。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生嘗試一種新的思維模式，進(jìn)行整式乘法的逆向思維。
三、教法探討
1.體現(xiàn)由易到難、逐漸提升的理念。現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)是交叉編排，螺旋上升。即由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低層次的展開(kāi)到高層次的綜合，不斷深化。關(guān)于數(shù)式的計(jì)算對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)講比較容易理解，也能輕松掌握和運(yùn)用。因此，在本課教學(xué)的第一環(huán)節(jié)我先設(shè)置了“看誰(shuí)算得快”的活動(dòng)，出示式子2.67×132+25×2.67+7×2.67，讓學(xué)生用簡(jiǎn)便方法計(jì)算，從而很自然地過(guò)渡到因式分解的概念上。然后，又出示式子993-99讓學(xué)生計(jì)算。許多學(xué)生都能輕松自如地先提取公共的因式99，然后再利用平方差公式求出結(jié)果為98×99×100。此時(shí)，我提問(wèn)：“這個(gè)式子能夠被哪些數(shù)整除？”巧妙地引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)式子分解成幾個(gè)數(shù)的積的形式，使學(xué)生逐漸明白解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是把一個(gè)多項(xiàng)式化為積的形式。從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)因數(shù)分解的理解，并為學(xué)生類(lèi)比因式分解搭一個(gè)臺(tái)階。
1.1專(zhuān)家對(duì)整體教學(xué)的認(rèn)識(shí)
章建躍博士認(rèn)為：日常教學(xué)，概念一個(gè)個(gè)地教，定理一個(gè)個(gè)地學(xué)，容易迷失在局部，見(jiàn)木不見(jiàn)林.長(zhǎng)此以往就會(huì)導(dǎo)致坐井觀天、思路狹窄、思維呆板，局限于一招一式的雕蟲(chóng)小技而不能自拔.把握好整體性，對(duì)內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張“聯(lián)絡(luò)圖”，才能把準(zhǔn)教學(xué)的大方向，才能使教學(xué)有的放矢.也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強(qiáng)的知識(shí).
孫維剛老師認(rèn)為：整體教學(xué)這種做法所起到的作用是“使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，又渾然一體，而到后來(lái)，知識(shí)好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無(wú)章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘.”[1]
1.2全息教學(xué)論下的整體教學(xué)釋義
全息論的核心思想是：宇宙是一個(gè)不可分割的、各部分之間緊密關(guān)聯(lián)的整體，任何一個(gè)部分都包含整體的信息.從信息觀點(diǎn)看，教學(xué)過(guò)程就是教學(xué)信息的輸通過(guò)程.而教學(xué)信息就是教學(xué)系統(tǒng)中傳遞的信息，全息性是信息的最根本屬性.正如王存臻在《宇宙全息統(tǒng)一論》一書(shū)中指出的“全息”的基本含義：部分（子系統(tǒng)）與部分（子系統(tǒng)）、部分與整體（母系統(tǒng)）之間包含著相同的信息或部分包含著整體的全部信息.此即為全息律，用于教學(xué)系統(tǒng)即為教學(xué)全息律.它是基于全息理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，根據(jù)全息理論，我們可以將全息教學(xué)論的核心內(nèi)容表達(dá)為：基于信息的多層次全方位的關(guān)聯(lián)性，在信息傳遞過(guò)程中，各種信息載體（語(yǔ)言、文字、圖象、實(shí)物等）所傳遞出的有限信息經(jīng)過(guò)處理可以獲得最大限度的信息量.因此，在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)改進(jìn)各種信息載體的組合及正確處理由此傳遞的信息，可以使學(xué)生最大限度地獲得知識(shí)和技能，從而提高教學(xué)質(zhì)量[2].基于此，著眼整體，通覽全局，整合教材，輕負(fù)高效的“整體教學(xué)”應(yīng)運(yùn)而生.基本認(rèn)識(shí)為：整體教學(xué)就是立足系統(tǒng)進(jìn)行教學(xué)，即用整體觀念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)系統(tǒng)，依據(jù)課標(biāo)對(duì)現(xiàn)行教材進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)整合與整體架構(gòu)，形成邏輯關(guān)聯(lián)的新單元結(jié)構(gòu)，用整體方法優(yōu)化教學(xué)脈絡(luò)并付諸實(shí)踐，便于學(xué)生對(duì)原有的知識(shí)進(jìn)行同化和順應(yīng)，建構(gòu)起遷移能力強(qiáng)的知識(shí)和方法體系，督促學(xué)生有效把握解決問(wèn)題的一般套路和策略，形成和積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維與學(xué)力，化知為智，落實(shí)德化育人的旨?xì)w.
1.3全息論下《整式的乘除》的整體規(guī)劃
數(shù)、式就是一對(duì)全息元，從數(shù)的角度思考式、從式的角度思考數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)是式的具體反映，式是數(shù)的高度概括，看似相異，實(shí)則相通，一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，“數(shù)、式通性”的說(shuō)法即是見(jiàn)證，基于此，本單元教學(xué)把數(shù)的運(yùn)算遷移到式的運(yùn)算中來(lái)，打通了數(shù)、式之間的橫隔，揭示了它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有助于認(rèn)知負(fù)荷的降低與認(rèn)知能力的提高.現(xiàn)行人教版教材本章共18課時(shí)，若立足整體對(duì)本章教材重新規(guī)劃、適度整合，即成8課時(shí).
第1課時(shí)：立足乘方的意義，依次探索同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方、積的乘方（這一課時(shí)直接銜接于有理數(shù)的乘方運(yùn)算）；
第2課時(shí)：立足冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法對(duì)加法的分配律，依次研究單項(xiàng)式的乘法、單乘多、多乘多；
第3課時(shí)：立足多乘多，從一般到特殊，探索出基本公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，以此為起點(diǎn)，探尋出乘法公式；
第4課時(shí)：習(xí)題課，通過(guò)變式演練乘法公式；
第5課時(shí)：立足同底冪的除法運(yùn)算性質(zhì)及乘除互逆關(guān)系，探研單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式；
第6課時(shí)，利用互逆關(guān)系，研究多項(xiàng)式的因式分解；
第7課時(shí)：習(xí)題課，演練因式分解，體驗(yàn)互逆關(guān)系；
第8課時(shí)，全章復(fù)習(xí)，形成知識(shí)的整體縮影.
2案例課題：整式的乘法（即上文中的“第2課時(shí)”）
3教學(xué)目標(biāo)
3.1類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，實(shí)施先行組織，明確整式的運(yùn)算類(lèi)型，構(gòu)建起單元知識(shí)體系，并對(duì)乘法的類(lèi)型合理定位，整體感知整式乘法的基本類(lèi)型，滲透分類(lèi)意識(shí)；
3.2運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的方法發(fā)現(xiàn)并歸納單項(xiàng)式的乘法法則，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，經(jīng)歷“觀察—嘗試—猜想—驗(yàn)證—概括”的系列過(guò)程，鍛煉觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及語(yǔ)言表達(dá)能力.
3.3在編題中領(lǐng)會(huì)法則的意義，能熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，體驗(yàn)化歸思想.
4教學(xué)重難點(diǎn)
單項(xiàng)式的乘法是本節(jié)的重點(diǎn)，多項(xiàng)式乘法法則的發(fā)現(xiàn)是其難點(diǎn).
5教學(xué)實(shí)錄
5.1類(lèi)比導(dǎo)入，再現(xiàn)結(jié)構(gòu)
師：從小學(xué)一路走來(lái)，你們可以說(shuō)久經(jīng)“算”場(chǎng)了，請(qǐng)同學(xué)們一起回答我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了數(shù)的哪些運(yùn)算？
生：加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方
師：說(shuō)得好，加、減、乘、除、乘方我們已經(jīng)比較熟悉了，開(kāi)方也已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)，同時(shí)我們對(duì)式已有所了解，并對(duì)整式做了探討，當(dāng)時(shí)借助數(shù)的運(yùn)算已經(jīng)推測(cè)出整式的運(yùn)算類(lèi)型，回顧一下有哪些呢？
生：也有加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方.
有理數(shù)加
減
乘
除
乘方
開(kāi)方整式加
減
乘
除
乘方
開(kāi)方
師：我們把這種思考問(wèn)題的方式叫——
生：類(lèi)比
師：對(duì)，叫類(lèi)比，這是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題常用的方式，也是一個(gè)好的思考習(xí)慣；現(xiàn)已經(jīng)完成了整式的加減運(yùn)算，那類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，同學(xué)們覺(jué)得接下來(lái)該研究整式的什么運(yùn)算？
生：整式的乘除
師：先研究乘法還是除法？
生：乘法.
師：那么，整式乘法又有哪些基本類(lèi)型呢？該怎樣去運(yùn)算？下面我們一起來(lái)研究.
點(diǎn)評(píng)這一環(huán)節(jié)的教學(xué)可圈可點(diǎn)，執(zhí)教者通過(guò)類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算建構(gòu)整式的運(yùn)算體系，同時(shí)讓學(xué)生從整體上感知“整式的乘法”在結(jié)構(gòu)中的地位，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式的“運(yùn)算”指明了方向，假以對(duì)比，突出關(guān)聯(lián)，這是教學(xué)全息律的一種體現(xiàn)，在漸次清晰“數(shù)式通性”的同時(shí)，為有序思維做好了鋪墊，是關(guān)注學(xué)生“會(huì)學(xué)”的體現(xiàn).
5.2開(kāi)放思維，法則探究
5.21開(kāi)放引路，類(lèi)型落定
問(wèn)題：下面有四個(gè)整式，從中任選兩個(gè)構(gòu)造乘法運(yùn)算：2x，3x3y2，x3+x2y，2x2-xy2.
（1）你能寫(xiě)出哪些算式？
（2）試著將你寫(xiě)出的算式分類(lèi)，你認(rèn)為整式乘法有哪幾種基本類(lèi)型？
（3）你能?chē)L試著運(yùn)算嗎？
師：我們先解決前兩個(gè)問(wèn)題
生1：（1）-2x·3x3y2；
（2）-2x·（x3+x2y）；
（3）-2x·（2x2-xy2）；
（4）3x3y2·（x3+x2y）；
（5）3x3y2·（2x2-xy2）；
（6）（x3+x2y）（2x2-xy2）
師（面向全體）：其他同學(xué)還有補(bǔ)充嗎？
生：沒(méi)有了.
師：那么我們就再請(qǐng)這位同學(xué)說(shuō)明一下，你認(rèn)為6個(gè)算式可分為哪幾類(lèi)？
生1：可分三類(lèi)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.
整式加
減
乘單×單
單×多
多×多
除
乘方
開(kāi)方
師：以上三類(lèi)式子，你認(rèn)為先研究哪一類(lèi)較為合適？研究的一般順序是？所遵守的原則是？
生2：先研究單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，然后依次研究單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則進(jìn)行.
點(diǎn)評(píng)本環(huán)節(jié)執(zhí)教者以開(kāi)放題為載體，立足整體，通過(guò)問(wèn)題引路，在問(wèn)與追問(wèn)中，窮盡算式與類(lèi)型，使得本節(jié)的主題條分縷析，然后遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知序列，確定研究起點(diǎn)，層級(jí)推進(jìn)，明確任務(wù)，搭建結(jié)構(gòu)，用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索與發(fā)現(xiàn)，是值得提倡的教學(xué)舉措.
5.22拾級(jí)而上，轉(zhuǎn)化探尋
師：那就從最簡(jiǎn)單的乘法算起：-2x·3x3y2=？誰(shuí)能快速完成？
生3：-6x4y2.
師：說(shuō)得好！計(jì)算正確、快捷.
師（追問(wèn)）：112a2b·（-4ab3c）=？
生3：-2a3b4c.
師：通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題，大家認(rèn)為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式該如何進(jìn)行？請(qǐng)思考后回答.
生4：先把系數(shù)相乘，再把字母相乘.
師：誰(shuí)有不同認(rèn)識(shí)，請(qǐng)補(bǔ)充？
生5：字母相乘還應(yīng)分成兩類(lèi)，一類(lèi)是兩個(gè)單項(xiàng)式都有的字母，一類(lèi)是只在一個(gè)單項(xiàng)式里出現(xiàn)的字母，都有的按同底數(shù)冪運(yùn)算，只在一個(gè)里的照寫(xiě)就行了.
師：說(shuō)得很到位，稍微規(guī)整一下就是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則，誰(shuí)來(lái)嘗試？
學(xué)生嘗試后成共識(shí)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
師：接下來(lái)我們研究——
生：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式.
師：剛才構(gòu)造了（2）、（3）、（4）、（5）4個(gè)這一類(lèi)型的運(yùn)算，現(xiàn)選擇（2）進(jìn)行研究，該如何計(jì)算，先思考，再回答
生：嘗試進(jìn)行時(shí)……
師（嘗試完成后）：前后4人小組交流自己的做法，并嘗試歸納單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法.
生6：計(jì)算結(jié)果為-2x4-2x3y，用的是乘法的分配律a（b+c）=ab+ac，即用-2x分別與單項(xiàng)式x3和x2y相乘，變成了-2x·x3與-2x·x2y的和，進(jìn)一步計(jì)算而得.
師：這位同學(xué)說(shuō)得很好，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式看似比單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式復(fù)雜了，但其實(shí)就是小學(xué)學(xué)過(guò)的分配律，一個(gè)轉(zhuǎn)化就成了我們熟悉的“單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式”.再次見(jiàn)證了轉(zhuǎn)化的威力！
下面試試自己的身手把剩余的三個(gè)完成，好嗎？
（3）-2x·（2x2-xy2）；（4）3x3y2·（x3+x2y）；（5）3x3y2·（2x2-xy2）
三生板演，其他同學(xué)在臺(tái)下完成.
（4）、（5）板演正確，但（3）出現(xiàn)問(wèn)題：-2x·（2x2-xy2）=-2x·2x2-2x·xy2=-4x3-2x2y2
師：讓這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己的想法.
生7：我用分配律把-2x分別去乘以后邊多項(xiàng)式的兩項(xiàng)2x2和xy2，得到這個(gè)結(jié)果.
師（追問(wèn)）：請(qǐng)這位同學(xué)回顧一下多項(xiàng)式的概念？
生7：幾個(gè)單項(xiàng)式的和.
師：說(shuō)得很好，就是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，既然這樣，那多項(xiàng)式2x2-xy2的項(xiàng)分別是什么？
生7：哦，我知道了，是2x2和-xy2.
師：同學(xué)們認(rèn)為呢？
生：說(shuō)得對(duì)，但他前面的計(jì)算不是這樣認(rèn)識(shí)的.
師：這個(gè)題目再次提醒我們，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)要精準(zhǔn)，來(lái)不得絲毫的馬虎，憑感覺(jué)往往會(huì)走偏，這位同學(xué)已經(jīng)意識(shí)到自己的問(wèn)題并做了糾正，鼓勵(lì)一下！（全體同學(xué)掌聲鼓勵(lì)）
師：剛才我發(fā)現(xiàn)下面有幾個(gè)同學(xué)也是這么做的，暴露出了對(duì)概念認(rèn)識(shí)的淺薄，現(xiàn)在大家知道該怎樣處理了嗎？
生：知道了.
師：好，那誰(shuí)能用文字語(yǔ)言表述一下單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則？
生8：略.
師：表述清晰，同學(xué)們能表達(dá)嗎？
生：能.
師：根據(jù)自己的理解，仿照-2x·（x3+x2y），請(qǐng)同學(xué)們編寫(xiě)2個(gè)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算題？完成后同位交換互答，然后互相檢查、交流.
生：編題中……
教師巡視，3分鐘后，選擇有代表性的4道題目展示：
（1）3x3（2x2y-4y3z）；（2）-2a（3b-4c）；
（3）（-6ab）·（112ab2-113a2b-6ab）；
（4）（2x-4x3-8）·（-112x2）
說(shuō)明選擇以上題目的角度：?jiǎn)雾?xiàng)式有帶正號(hào)、負(fù)號(hào)的；其位置的擺放有前、有后的；多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)有兩項(xiàng)、三項(xiàng)等特點(diǎn)
4名同學(xué)板演，其他同學(xué)臺(tái)下完成，總體完成較好.
師：同學(xué)們編得不錯(cuò)，解答得也很好，說(shuō)明對(duì)“單乘多”的認(rèn)識(shí)已由初步走向了深入.到現(xiàn)在還有哪一類(lèi)計(jì)算沒(méi)解決？
生：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式
師：那我們能否借助前面獲得的經(jīng)驗(yàn)，乘勝追擊，把（x3+x2y）（2x2-xy2）算出？
生：一時(shí)語(yǔ)塞，等待、觀望.
學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘后，開(kāi)始有舉手示意會(huì)的，但較少，筆者見(jiàn)狀，組織4人小組展開(kāi)討論，并巡視指導(dǎo)……
4分鐘后，交流開(kāi)始.
生9：仍用分配律，不過(guò)我把（x3+x2y）看成了一個(gè)“整體”，仿照單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方式計(jì)算的，即（x3+x2y）·2x2+（x3+x2y）·（-xy2），再重復(fù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方式而算出.
生10：我的計(jì)算不一樣，我看（x3+x2y）前面是正號(hào)，所以先把（x3+x2y）的括號(hào)去掉.
師（驚訝）：去括號(hào)？！那你的計(jì)算結(jié)果和生9的一樣嗎？
生10：一樣.
師：一樣！好，說(shuō)下去.
生：把它分別乘以（2x2-xy2），得x3（2x2-xy2）+x2y（2x2-xy2），再用分配律展開(kāi)
師（如釋重負(fù)）：哦，這樣計(jì)算的，同學(xué)們看一下，她這樣算實(shí)際上走了怎樣的一條路？
生：她是把（2x2-xy2）看做整體了，
師（面向全體）：同學(xué)們，這樣算可以嗎？
生：可以.
師：這位同學(xué)說(shuō)把括號(hào)去掉是不合適的，她實(shí)際上把（2x2-xy2）視為整體，用分配律把（2x2-xy2）分別乘以x3與x2y了，顯然與生9的思路是一樣的，只是整體元素看待的差異，都很好！這種思想很值得學(xué)習(xí)！
師：不難看出，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算，我們可以把它變成怎樣的運(yùn)算？
生：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式.
師：現(xiàn)在我們對(duì)照剛才計(jì)算的結(jié)果，思考一下，能否直接把多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式過(guò)渡到單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式呢？
生11：能，把它們都乘一遍.
師：能具體一些嗎？
生11：用第一個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)分別乘完第二個(gè)多項(xiàng)式的兩項(xiàng)，再用第一個(gè)多項(xiàng)式的第二項(xiàng)分別乘完第二個(gè)多項(xiàng)式的兩項(xiàng)，最后把四個(gè)積加起來(lái).
師：說(shuō)得很好，誰(shuí)能再精簡(jiǎn)一下語(yǔ)言，嘗試表述多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則？
生12：略.
師：可見(jiàn)，通過(guò)剛才的法則，也可以直接把多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式一步到位變成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，使得運(yùn)算變得更簡(jiǎn)捷.同學(xué)們，同位交流一下，想法把法則變成自己的解題武器.
生：互相提問(wèn)，氣氛熱烈……
師：至此，本節(jié)課的設(shè)定任務(wù)基本完成了，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下整節(jié)課，貫穿始終的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想是——
生：轉(zhuǎn)化思想
師：是的，轉(zhuǎn)化在這一節(jié)課幫了我們的大忙，同時(shí)讓我們感觸到了它的魅力！轉(zhuǎn)化可以說(shuō)無(wú)處不在，當(dāng)我們?cè)庥隼Щ髸r(shí)，不妨轉(zhuǎn)換一個(gè)視角，或許思路就豁然洞開(kāi)！
點(diǎn)評(píng)這一環(huán)節(jié)是教學(xué)實(shí)施的核心，執(zhí)教者以轉(zhuǎn)化為主脈，引動(dòng)學(xué)生循著單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的軌道，漸次探明單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，其中多乘多是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生至此有了阻力，執(zhí)教者思路一轉(zhuǎn)，組織學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考——小組合作——集體交流的多維方式，幫助學(xué)生撥開(kāi)云霧，把難點(diǎn)突破，可貴的是，執(zhí)教者面對(duì)難點(diǎn)，沒(méi)有刻意地化難為易，降低門(mén)檻，而是把它組織成了質(zhì)疑——析疑——解疑——釋疑的探尋過(guò)程，磨練了學(xué)生的探索力，提升了學(xué)生的思維力.
5.3照應(yīng)課始，點(diǎn)石成金
師：同學(xué)們一節(jié)課自編自解，完成得不錯(cuò)，通過(guò)近幾節(jié)的學(xué)習(xí)，我們反觀已經(jīng)建立起的運(yùn)算體系，已經(jīng)完成了哪些部分？
（通過(guò)學(xué)生的問(wèn)答，把新研究納入知識(shí)的整體框架中.）框圖局部修改為：
整式加√
減√
乘單×單√
單×多√
多×多√
除
乘方
開(kāi)方
師：從框架中可以看出，下一步將研究什么？
生：理應(yīng)是除法運(yùn)算了，
師：乘法完成后，自然想到了除法，但現(xiàn)在的問(wèn)題是一般的整式乘法已經(jīng)學(xué)完，在一般之下，我們常常還要研究一般中的——
生：特殊.
師：說(shuō)得好！研究問(wèn)題常常遵循著這樣一個(gè)套路：從特殊到一般，或從一般到特殊，明天我們將展開(kāi)對(duì)多項(xiàng)式乘法特殊結(jié)構(gòu)的探索.
點(diǎn)評(píng)本小結(jié)打破了“談收獲”的慣習(xí)，而是全局立意，照應(yīng)課始，把所學(xué)納入系統(tǒng)，使學(xué)生在局部完善的驅(qū)動(dòng)下，展開(kāi)微探索，同時(shí)以問(wèn)答的方式，引發(fā)學(xué)生的思考，微調(diào)乘法之下為除法的慣性認(rèn)識(shí)，揭示出一般之下往往研究其特殊關(guān)系的基本套路，為下一節(jié)課明確了任務(wù)，使得本節(jié)的終點(diǎn)成為新的起點(diǎn)，這種前后貫通的做法，值得借鑒，同時(shí)，這種具體化行為彰顯出執(zhí)教者全息教學(xué)論下的整體觀.
6反思與自評(píng)
合理規(guī)劃，整體推進(jìn)，其實(shí)映照出的就是對(duì)教學(xué)簡(jiǎn)約的追求，削枝強(qiáng)干，凝結(jié)體系，抓好起點(diǎn)，開(kāi)掘數(shù)學(xué)的內(nèi)部力量，不斷讓知識(shí)在系統(tǒng)內(nèi)生長(zhǎng)、壯大，從而成為脈絡(luò)清晰的知識(shí)地圖、邏輯框架，便于學(xué)生的記憶、存儲(chǔ)、提取，如此設(shè)置，知識(shí)的出現(xiàn)自然、順暢，有水到渠成之感，新舊知識(shí)的對(duì)接渾然天成，認(rèn)知結(jié)構(gòu)在生長(zhǎng)中不斷完善，能有效降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，以贏得學(xué)習(xí)的效率.
7總評(píng)
這一堂課，是濱州市2013年初中數(shù)學(xué)研討會(huì)觀摩課改進(jìn)后的實(shí)踐課例，執(zhí)教者用剛?cè)雽W(xué)一個(gè)月的初一學(xué)生，一節(jié)課學(xué)習(xí)了三課時(shí)的內(nèi)容，其容量之大，難度之高，不必多言，堪稱(chēng)大膽.從整堂課可見(jiàn)，看點(diǎn)不斷、精彩連連，效果不錯(cuò).對(duì)于本節(jié)，一般習(xí)慣于探出單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則后，學(xué)例題、強(qiáng)反饋、固新知，反復(fù)演練，而本節(jié)待單乘單完成后，并沒(méi)有止步于此，而是以此為起點(diǎn)，積極前進(jìn)，去攻克新的堡壘——單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后借助已有的分配律的基本經(jīng)驗(yàn)，瞬時(shí)打開(kāi)局面，探出運(yùn)算法則，至此，通過(guò)自編自解，進(jìn)一步深化單乘多、單乘單，在這個(gè)過(guò)程中去領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化思想.稍事調(diào)整后，乘勝追擊，突破最后一道屏障——多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，這一法則“難纏”，可謂讓學(xué)生遭遇“劫難”，但功夫不負(fù)有心人，通過(guò)個(gè)別引領(lǐng)、小組交流，接近一半的小組有了想法，一個(gè)小組的整體看待，破解了疑點(diǎn)，另一個(gè)學(xué)生不規(guī)范的表述，深化了認(rèn)識(shí)，這種轉(zhuǎn)化具有較高的思維含量，小組的作用發(fā)揮得淋漓酣暢，在磕磕絆絆中把它拿下，有效地實(shí)現(xiàn)了難點(diǎn)的突破.
通覽整節(jié)課，充分流露出一條內(nèi)在的邏輯線索，層層遞進(jìn)，循環(huán)鞏固，清澈的課堂上，寫(xiě)著簡(jiǎn)約、凝著大氣，思想方法潺潺流淌，數(shù)學(xué)的本色充分展露，不失一節(jié)有創(chuàng)意的課，彰顯出執(zhí)教者的膽識(shí)與智慧.
參考文獻(xiàn)
現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到“似曾相識(shí)”的情境，如果把“似曾相識(shí)”的東西作比較，再加以聯(lián)想總結(jié)，可能會(huì)獲得許多意想不到的收獲. 這種“把類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)”的思維方法就是類(lèi)比. 我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的“二次根式”，可與整式的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比. 我們通過(guò)下面幾例的分析，來(lái)共同感受“類(lèi)比思想”的應(yīng)用.
一、 “同類(lèi)二次根式”與“同類(lèi)項(xiàng)”
【解析】（1）（2）組中的二次根式被開(kāi)方數(shù)相同，稱(chēng)為同類(lèi)二次根式；而第（3）組中二次根式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)也相同，所以也是同類(lèi)二次根式.
【感悟】七年級(jí)時(shí)確定同類(lèi)項(xiàng)的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指數(shù)分別相同，三不看系數(shù). 現(xiàn)在判斷同類(lèi)二次根式的方法：一化為最簡(jiǎn)，二看被開(kāi)方數(shù)，三不看根號(hào)外的系數(shù).
二、 “合并同類(lèi)二次根式”與“合并同類(lèi)項(xiàng)”
【感悟】整式的加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng)，而二次根式加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式；利用類(lèi)比的思想可歸納二次根式加減的步驟：一化簡(jiǎn)，二尋找，三合并.
三、 “二次根式的乘除運(yùn)算”與“整式的乘除運(yùn)算”
【解析】二次根式的乘除運(yùn)算中，出現(xiàn)了類(lèi)似多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算，因此整式的乘法法則和乘法公式仍然適用. 同學(xué)們自己嘗試計(jì)算.
【感悟】整式的乘除法法則類(lèi)似地應(yīng)用于二次根式的乘除法運(yùn)算，所不同的是二次根式運(yùn)算的結(jié)果不僅要不含同類(lèi)二次根式，還要化為最簡(jiǎn). 利用乘法公式可以使二次根式運(yùn)算簡(jiǎn)單便捷.
我們“結(jié)識(shí)新朋友，不忘老朋友”，要展開(kāi)聯(lián)想的翅膀，將新舊知識(shí)聯(lián)系歸類(lèi)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)能力. “類(lèi)比思想”方法是解決陌生問(wèn)題的一種常用策略，它讓我們充分開(kāi)拓思路，運(yùn)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，將陌生的、不熟悉的問(wèn)題與已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題. 通過(guò)“類(lèi)比”，可以使一些復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；有了“類(lèi)比”，我們的思維將更加開(kāi)闊，今后我們還期待著會(huì)用“類(lèi)比”來(lái)解決其他復(fù)雜的新問(wèn)題.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是：?jiǎn)雾?xiàng)式乘法法則的導(dǎo)出.這是因?yàn)閱雾?xiàng)式乘法法則的導(dǎo)出是對(duì)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透了“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的數(shù)學(xué)思想，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容之一.
本節(jié)的難點(diǎn)是：多種運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.是因?yàn)閱雾?xiàng)式的乘法最終將轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方等運(yùn)算，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，由于難于正確辯論和區(qū)別各種不同的運(yùn)算以及運(yùn)算所使用的法則，易于將各種法則混淆，造成運(yùn)算結(jié)果的錯(cuò)誤.
三、教法建議
本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中的不同階段可以采用了不同的教學(xué)方法，以適應(yīng)教學(xué)的需要.
(1)在新課學(xué)習(xí)階段的單項(xiàng)式的乘法法則的推導(dǎo)過(guò)程中，可采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生將需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)可以解決的問(wèn)題，充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，學(xué)生始終處在觀察思考之中.
(2)在新課學(xué)習(xí)的例題講解階段，可采用講練結(jié)合法.對(duì)于例題的學(xué)習(xí)，應(yīng)圍繞問(wèn)題進(jìn)行，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、思考，尋求解決問(wèn)題的方法，在解題的過(guò)程中展開(kāi)思維.與此同時(shí)還進(jìn)行多次有較強(qiáng)針對(duì)性的練習(xí)，分散難點(diǎn).對(duì)學(xué)生分層進(jìn)行訓(xùn)練，化解難點(diǎn).并注意及時(shí)矯正，使學(xué)生在前面出現(xiàn)的錯(cuò)誤，不致于影響后面的學(xué)習(xí)，為后而后學(xué)習(xí)掃清障礙.通過(guò)例題的講解，教師給出了解題規(guī)范，并注意對(duì)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng).
(3)本節(jié)課可以師生共同小結(jié)，旨在訓(xùn)練學(xué)生歸納的方法，并形成相應(yīng)的知識(shí)系統(tǒng)，進(jìn)一步防范學(xué)生在運(yùn)算中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目的
1.使學(xué)生理解并掌握單項(xiàng)式的乘法法則，能夠熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法計(jì)算.
2.注意培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力，以及運(yùn)算能力.
3.通過(guò)單項(xiàng)式的乘法法則在生活中的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則.
難點(diǎn)：分清單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘中，冪的運(yùn)算法則.
三、教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問(wèn)：
什么是單項(xiàng)式?什么叫單項(xiàng)式的系數(shù)?什么叫單項(xiàng)式的次數(shù)?
引言我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪的運(yùn)算性質(zhì)，在這個(gè)基礎(chǔ)上我們可以學(xué)習(xí)整式的乘法運(yùn)算.先來(lái)學(xué)最簡(jiǎn)單的整式乘法，即單項(xiàng)式之間的乘法運(yùn)算(給出標(biāo)題).
新課看下面的例子：計(jì)算
(1)2x2y·3xy2;(2)4a2x2·(-3a3bx).
同學(xué)們按以下提問(wèn)，回答問(wèn)題：
(1)2x2y·3xy2
①每個(gè)單項(xiàng)式是由幾個(gè)因式構(gòu)成的，這些因式都是什么?
2x2y·3xy2=(2·x2·y)·(3·x·y2)
②根據(jù)乘法結(jié)合律重新組合
2x2y·3xy2=2·x2·y·3·x·y2
③根據(jù)乘法交換律變更因式的位置
2x2y·3xy2=2·3·x2·x·y·y2
④根據(jù)乘法結(jié)合律重新組合
2x2y·3xy2=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)
⑤根據(jù)有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法法則得出結(jié)論
2x2y·3xy2=6x3y3
按以上的分析，寫(xiě)出(2)的計(jì)算步驟：
(2)4a2x2·(-3a3bx)
=4a2x2·(-3)a3bx
=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b
=(-12)·a5·x3·b
=-12a5bx3.
通過(guò)以上兩題，讓學(xué)生總結(jié)回答，歸納出單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算步驟是：
①系數(shù)相乘為積的系數(shù);
②相同字母因式，利用同底數(shù)冪的乘法相乘，作為積的因式;
③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)也作為積的一個(gè)因式;
④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，積仍是一個(gè)單項(xiàng)式;
⑤單項(xiàng)式乘法法則，對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘也適用.
看教材，讓學(xué)生仔細(xì)閱讀單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則，邊讀邊體會(huì)邊記憶.
利用法則計(jì)算以下各題.
例1計(jì)算以下各題：
(1)4n2·5n3;
(2)(-5a2b3)·(-3a);
(3)(-5an+1b)·(-2a);
(4)(4×105)·(5×106)·(3×104).
解：(1)4n2·5n3
=(4·5)·(n2·n3)
=20n5;
(2)(-5a2b3)·(-3a)
=[(-5)·(-3)]·(a2·a)·b3
=15a3b3;
(3)(-5an+1b)·(-2a)
=[(-5)·(-2)]·(an+1·a)b
=10an+2b;
(4)(4·105)·(5·106)·(3·104)
=(4·5·3)·(105·106·104)
=60·1015
=6·1016.
例2計(jì)算以下各題(讓學(xué)生回答)：
(3)(-5amb)·(-2b2);
(4)(-3ab)(-a2c)·6ab2.
=3x3y3;
(3)(-5amb)·(-2b2);
=[(-5)·(-2)]·am·(b·b2)
=10amb3
(4)(-3ab)·(-a2c)·6ab2
=[(-3)·(-1)·6]·(aa2a)·(bb2)·c
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，把乘法公式反過(guò)來(lái)就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。
把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為實(shí)數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。
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一、單項(xiàng)式
1、單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，如：2a中的數(shù)字因數(shù)2就是它的系數(shù)。
注意：
1單項(xiàng)式的系數(shù)包括其前面的符號(hào)，如單項(xiàng)式-25X的系數(shù)是-25，而不是25。
2當(dāng)系數(shù)是1或-1時(shí)，1常省略不寫(xiě)，但符號(hào)是負(fù)號(hào)時(shí)不能省略。如1×a=a，-1a=-a，它們的系數(shù)分別是1和-1。
3π是一個(gè)常數(shù)，而不是字母，如2π 的系數(shù)是2π，而不是2。
4特別注意判斷分?jǐn)?shù)形式的單項(xiàng)式的系數(shù)，如 也可寫(xiě)成 ，其系數(shù)是 ，而不是-3。
5單項(xiàng)式系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)，如
。
2、單項(xiàng)式的次數(shù)
單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。
如： 的次數(shù)是1+1=2， 次數(shù)是6。
二、多項(xiàng)式的項(xiàng)
多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中，不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。注意：多項(xiàng)式的項(xiàng)包括其前面的符號(hào)。
如：中， 中， ， ，-2是它的項(xiàng)，
-2是常數(shù)項(xiàng)。
三、同類(lèi)項(xiàng)
1、定義：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類(lèi)項(xiàng)。
含相同字母
2、判斷同類(lèi)項(xiàng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)
相同字母指數(shù)相同
如： 與 是同類(lèi)項(xiàng)。
注意：
1同類(lèi)項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)無(wú)關(guān)，如： 與 是同類(lèi)項(xiàng)。
2同類(lèi)項(xiàng)與字母順序無(wú)關(guān)，如： 與 是同類(lèi)項(xiàng)。
3所有的常數(shù)項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)。如：2和π是同類(lèi)項(xiàng)。
四、合并同類(lèi)項(xiàng)
1、把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫合并同類(lèi)項(xiàng)。
2、合并同類(lèi)項(xiàng)的理論依據(jù)：乘法分配律的逆運(yùn)用。
如 ，反過(guò)來(lái)
，
3方法：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而相同字母及字母指數(shù)不變。如：
五、去括號(hào)法則：
1、如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原來(lái)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)不變。如
2、如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)改變。如：
3、去括號(hào)時(shí)，要注意乘法分配律的應(yīng)用，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要乘以括號(hào)前的因數(shù)。
六、整式加減的運(yùn)算法則
一般，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)。
七、例題講解。
例：已知 ，求
的值。
解：
且
=
=
當(dāng) ， 時(shí)
原式=
注：對(duì)于一個(gè)形式復(fù)雜的式子，先化簡(jiǎn)，然后再代入求值可以簡(jiǎn)化計(jì)算。
預(yù)習(xí)策略
【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889（2015）07A-
0108-01
在當(dāng)前的“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)模式下，“預(yù)習(xí)”這一環(huán)節(jié)在不知不覺(jué)中被教師和學(xué)生所遺忘。很多學(xué)生課前不預(yù)習(xí)，教師也不重視，課堂上教師講得頭頭是道，學(xué)生卻不知所云。主要原因是大部分學(xué)生對(duì)預(yù)習(xí)沒(méi)有主動(dòng)性，沒(méi)有正確的預(yù)習(xí)方法，只是把預(yù)習(xí)當(dāng)成一種任務(wù)來(lái)做。但隨著自主探究教學(xué)模式廣泛應(yīng)用，課前預(yù)習(xí)的重要性已不容置疑。
一、課前預(yù)習(xí)的意義背景
數(shù)學(xué)具有自身的邏輯嚴(yán)密性，知識(shí)的系統(tǒng)性、抽象性、邏輯性、科學(xué)性都比較強(qiáng)，數(shù)學(xué)知識(shí)必須先經(jīng)過(guò)學(xué)生的自主探究，再經(jīng)過(guò)周密細(xì)致的思考，與已掌握的相關(guān)知識(shí)緊密聯(lián)系，同化到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，才能更好地掌握新的知識(shí)，形成數(shù)學(xué)能力。離開(kāi)了學(xué)生的自學(xué)、思考，教師傳授的知識(shí)就是死板的、零星的，不能為學(xué)生傳道解惑，達(dá)不到相應(yīng)的教學(xué)目的。因此，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課前預(yù)習(xí)是非常有必要的。
二、課前預(yù)習(xí)的地位價(jià)值
本校是一個(gè)縣級(jí)民族中學(xué)，農(nóng)村孩子占80%以上，學(xué)生學(xué)習(xí)能力水平參差不齊。調(diào)查結(jié)果顯示，經(jīng)常預(yù)習(xí)的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)要高于不預(yù)習(xí)的學(xué)生的成績(jī)，而且差異是顯著的。經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為課前預(yù)習(xí)的學(xué)生有三大收獲：①可以了解下一節(jié)數(shù)學(xué)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。②運(yùn)用已有知識(shí)獨(dú)自解決一些問(wèn)題，鞏固舊知。③通過(guò)長(zhǎng)期的預(yù)習(xí)有利于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、閱讀能力和培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。綜上所述，課前預(yù)習(xí)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)效率的保證。
三、課前預(yù)習(xí)的方法運(yùn)用
從調(diào)查結(jié)果看，造成學(xué)生在預(yù)習(xí)中存在的問(wèn)題有主觀因素，也有客觀因素，不同年齡階段的學(xué)生有不同程度的學(xué)習(xí)問(wèn)題，只有找出原因，才能更好地解決問(wèn)題。
（一）致力于培養(yǎng)學(xué)生的預(yù)習(xí)習(xí)慣
從調(diào)查統(tǒng)計(jì)來(lái)看，對(duì)“你覺(jué)得有預(yù)習(xí)的必要嗎”的問(wèn)題絕大多數(shù)學(xué)生的回答是肯定的。但是，因?yàn)闆](méi)有養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，沒(méi)有一定的預(yù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生的預(yù)習(xí)是時(shí)有時(shí)無(wú)，根本達(dá)不到預(yù)習(xí)的要求。這時(shí)需要教師給學(xué)生提供一些預(yù)習(xí)方向，可以印發(fā)一些預(yù)習(xí)學(xué)案，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些聯(lián)系新舊知識(shí)的解答題。比如學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)，可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)提出有關(guān)問(wèn)題，并于課前分發(fā)給學(xué)生，為學(xué)生提供了獨(dú)立思考的條件，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。
（二）注重有效預(yù)習(xí)方法的指導(dǎo)
預(yù)習(xí)不只是圈一圈、讀一讀、畫(huà)一畫(huà)定理、法則和公式，同學(xué)之間相互合作探究數(shù)學(xué)規(guī)律也是很重要的，只有親歷知識(shí)的形成過(guò)程，才能真正發(fā)現(xiàn)并掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)出重要的性質(zhì)定理。筆者認(rèn)為，在瀏覽整節(jié)內(nèi)容后，學(xué)生還要具體做到以下兩點(diǎn)：①找出主要知識(shí)點(diǎn)，熟記概念、公式、法則、公理和定理等教材中的藍(lán)體字。比如在預(yù)習(xí)《整式乘法》中的平方差公式時(shí)，筆者舉出幾道具有平方差特征的例子，讓學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則來(lái)計(jì)算，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察算式和計(jì)算結(jié)果的特征，總結(jié)出具有這種特征的式子的運(yùn)算規(guī)律，并用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。學(xué)生親自體驗(yàn)和經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，加深了對(duì)公式和法則的理解，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心。②教材中的問(wèn)題、例題、思考、探究等也要求學(xué)生類(lèi)比舊知?jiǎng)邮炙阋凰悖?jīng)歷一番思維訓(xùn)練，才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，才會(huì)有目的地聽(tīng)課，提高整體聽(tīng)課的效率。比如在分式方程的學(xué)案中，筆者先舉出一個(gè)含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程讓學(xué)生復(fù)習(xí)其解法和步驟，然后進(jìn)行變式把分?jǐn)?shù)的分母添上未知數(shù)得出一道分式方程，引導(dǎo)學(xué)生參照一元一次方程的解法互相探索討論，歸納分式方程的解法。
四、課前預(yù)習(xí)取得的效果
有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，而預(yù)習(xí)正是數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)始，做好預(yù)習(xí)就是給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)起了個(gè)好的開(kāi)頭。①對(duì)沒(méi)有掌握好的舊知及時(shí)補(bǔ)缺；②掌握新知重難點(diǎn)，提高聽(tīng)課效率；③提高自主學(xué)習(xí)能力。例如，在預(yù)習(xí)《因式分解》時(shí)，學(xué)生首先復(fù)習(xí)整式的乘法概念，結(jié)合例子容易觀察出是把幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式，也就是積化和差的形式，把這樣的形式反過(guò)來(lái)，就是和差化積，這樣的形式就是因式分解。學(xué)生很自然地理解了因式分解的概念，也容易得出因式分解與整式乘法是互逆的過(guò)程，明白了因式分解的結(jié)果也可以用整式的乘法來(lái)檢驗(yàn)，有了這樣的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生就會(huì)積極主動(dòng)地參與因式分解的學(xué)習(xí)。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是冪的乘方與積的乘方法則的理解與掌握，難點(diǎn)是法則的靈活運(yùn)用.
1.冪的乘方
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即
(都是正整數(shù))
冪的乘方
的推導(dǎo)是根據(jù)乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法性質(zhì).
冪的乘方不能和同底數(shù)冪的乘法相混淆，例如不能把的結(jié)果錯(cuò)誤地寫(xiě)成，也不能把的計(jì)算結(jié)果寫(xiě)成.
冪的乘方是變乘方為(底數(shù)不變，指數(shù)相乘的)乘法，如;而同底數(shù)冪的乘法是變(同底數(shù)的冪)乘為(冪指數(shù))加，如.
2.積和乘方
積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.即
(為正整數(shù)).
三個(gè)或三個(gè)以上的積的乘方，也具有這一性質(zhì).例如：
3.不要把冪的乘方性質(zhì)與同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)混淆.冪的乘方運(yùn)算，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底數(shù)不變);同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變).
4.同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)是整式乘法的基礎(chǔ)，也是整式乘法的主要依據(jù).對(duì)三個(gè)性質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和語(yǔ)言表述，不僅要記住，更重要的是理解.在這三個(gè)冪的運(yùn)算中，要防止符號(hào)錯(cuò)誤：例如，;還要防止運(yùn)算性質(zhì)發(fā)生混淆：等等.
三、教法建議
1.冪的乘方導(dǎo)出的根據(jù)是乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法性質(zhì).教學(xué)時(shí)，也要注意導(dǎo)出這一性質(zhì)的過(guò)程.可先以具體指數(shù)為例，明確幕的乘方的意義，導(dǎo)出性質(zhì)，如
對(duì)于從指數(shù)連加得到指數(shù)相乘，要根據(jù)學(xué)生情況多作一些說(shuō)明.以為例，再一次說(shuō)明
可以寫(xiě)成.這一點(diǎn)是導(dǎo)出冪的乘方性質(zhì)的關(guān)鍵，務(wù)必使學(xué)生真正理解.在此基礎(chǔ)上再導(dǎo)出性質(zhì).
2.使學(xué)生要嚴(yán)格區(qū)分同底數(shù)冪乘法性質(zhì)與冪的乘方性質(zhì)的不同，不能混淆.具體講解可從下面兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)明：
(1)牢記不同的運(yùn)算要使用不同的性質(zhì)，運(yùn)算的意義決定了運(yùn)算的性質(zhì).
(2)記清冪的運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的關(guān)系：
(同底)冪相乘指數(shù)相加(“乘”變“加”，降一級(jí)運(yùn)算);
冪乘方指數(shù)相乘(“乘方”變“乘法”，降一級(jí)運(yùn)算).
了解到有關(guān)冪的兩個(gè)重要性質(zhì)都有“使原運(yùn)算僅降一級(jí)運(yùn)算”的規(guī)律，可使自己更好掌握有關(guān)性質(zhì).
3.在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，注意啟發(fā)學(xué)生，不僅掌握法則，還要明確為什么.三種運(yùn)算法則全講完之后，學(xué)生最易產(chǎn)生法則間的混淆，為了解決這個(gè)問(wèn)題除叫學(xué)生熟記法則之外，在學(xué)生回答問(wèn)題和寫(xiě)作業(yè)時(shí)，注意解題步驟，或及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，說(shuō)明出現(xiàn)問(wèn)題的原因;要注意防止兩個(gè)錯(cuò)誤：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
冪的乘方與積的乘方(一)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.理解冪的乘方性質(zhì)并能應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.
2.通過(guò)推導(dǎo)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.
3.通過(guò)運(yùn)用性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.
4.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度以及勇于創(chuàng)新的精神.
5.滲透數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)美、和諧美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、嘗試指導(dǎo)法.
2.學(xué)生學(xué)法：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解冪的乘方公式的意義，只有準(zhǔn)確地判別出其適用的條件，才可以較容易地應(yīng)用公式解題.
三、重點(diǎn)·難點(diǎn)及解決辦法
(-)重點(diǎn)
準(zhǔn)確掌握冪的乘方法則及其應(yīng)用.
(二)難點(diǎn)
同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方的綜合應(yīng)用.
(三)解決辦法
在解題的過(guò)程中，運(yùn)用對(duì)比的方法讓學(xué)生感受、理解公式的聯(lián)系與區(qū)別.
四、課時(shí)安排
一課時(shí).
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片.
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí)同底數(shù)冪乘法法則并進(jìn)行、的計(jì)算，從而引入新課，在探究規(guī)律的過(guò)程中，得出冪的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教師舉例進(jìn)行示范，師生共練以熟悉冪的乘方性質(zhì).
3.設(shè)計(jì)錯(cuò)例辨析和練習(xí)，通過(guò)不同的題型，從不同的角度加深對(duì)公式的理解.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
本節(jié)課重點(diǎn)是掌握冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)并能進(jìn)行較靈活的應(yīng)用
(二)整體感知
冪的乘方法則的應(yīng)用關(guān)鍵是判斷準(zhǔn)其適用的條件和形式.
(三)教學(xué)過(guò)程
1.復(fù)習(xí)引入
(1)敘述同底數(shù)冪乘法法則并用字母表示.
(2)計(jì)算：①②
2.探索新知，講授新課
(1)引入新課：計(jì)算和和
提問(wèn)學(xué)生式子、的意義，啟發(fā)學(xué)生把冪的乘方轉(zhuǎn)化為同底數(shù)暴的乘法.計(jì)算過(guò)程按課本，并注明每步計(jì)算的根據(jù).
觀察題目和結(jié)論：
推測(cè)冪的乘方的一般結(jié)論：
(2)冪的乘方法則
語(yǔ)言敘述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
字母表示：.(，都是正整數(shù))
推導(dǎo)過(guò)程按課本，讓學(xué)生說(shuō)出每一步變形的根據(jù).
(3)范例講解
例1計(jì)算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2計(jì)算：
①
②
解：①原式
②原式
練習(xí)：①P971，2
②錯(cuò)例辨析：下列各式的計(jì)算中，正確的是()
A.B.
C.D.
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方性質(zhì)比較：
1．?dāng)?shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等方面的直觀感覺(jué)。建立“數(shù)感”有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情景中的數(shù)量關(guān)系。
數(shù)感可以理解為能夠進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思考”．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指，培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系的能力；在不同情況下能夠選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行心算、筆算、機(jī)算或估算的能力；對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，分析其現(xiàn)實(shí)意義和精確性的能力。
通過(guò)實(shí)際背景理解數(shù)的意義，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效手段．如學(xué)生理解－2可以表示后退兩步， ■可以表示邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)等，有助于在學(xué)生頭腦中確立有理數(shù)、實(shí)數(shù)等數(shù)的概念。能將這些數(shù)的概念與它們所表示的實(shí)際含義準(zhǔn)確聯(lián)系起來(lái)，就是學(xué)生的數(shù)感得到了發(fā)展的體現(xiàn)。
對(duì)數(shù)的大小及運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)，都與學(xué)生的數(shù)感有密切的聯(lián)系。如用平方夾逼法來(lái)計(jì)算■ 的大小，用有理數(shù)估計(jì)2－■的范圍等，有助于學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的理解。指導(dǎo)學(xué)生每做完一道題目，先估計(jì)一下數(shù)值，然后與實(shí)際計(jì)算所得的答案比較，能夠使學(xué)生及時(shí)覺(jué)察出錯(cuò)誤并加以更正。這樣的良好估算習(xí)慣的形成過(guò)程也是學(xué)生的數(shù)感得到發(fā)展的過(guò)程。
2．符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。建立“符號(hào)意識(shí)”有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。
數(shù)學(xué)課程的一個(gè)任務(wù)就是使學(xué)生感受和擁有使用符號(hào)的能力。然而數(shù)學(xué)教學(xué)中，理解“符號(hào)運(yùn)算”似乎是一個(gè)極大的難關(guān)。例如，在解決“每千克蘋(píng)果的價(jià)格為6元，用代數(shù)式表示n千克蘋(píng)果的總價(jià)。”這一問(wèn)題時(shí)，有的學(xué)生總希望n是一個(gè)具體的數(shù)值，而不是一個(gè)大小不確定的字母．換言之，樹(shù)立用字母表示數(shù)的意識(shí)，是學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)的必由之路。
事實(shí)上，學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)中潛藏著“符號(hào)意識(shí)”，這是發(fā)展學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”的重要基礎(chǔ)。比如，當(dāng)他們看到店門(mén)前精致的“M”時(shí)，立刻就可想到麥當(dāng)勞．這種生活中的符號(hào)意識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)中的符號(hào)意識(shí)的形成起著積極的促進(jìn)作用。如遇到“每千克蘋(píng)果的價(jià)格為6元，用代數(shù)式表示n千克蘋(píng)果的總價(jià)”這一問(wèn)題時(shí)，可以先給出一些具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，然后用6×來(lái)表示每個(gè)運(yùn)算的結(jié)果，學(xué)生一般易于接受這一表示形式．此時(shí)再將換作n，突出這里的n的符號(hào)作用，從而使學(xué)生理解，原來(lái)這些符號(hào)只是在自己頭腦中挖掘出來(lái)的．教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的探索、體驗(yàn)的過(guò)程，有利于學(xué)生的符號(hào)意識(shí)的形成。
教師要盡可能在實(shí)際問(wèn)題情境中幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。例如對(duì)于公式a2－b2=(a+b)(a－b)，可以通過(guò)圖形的剪拼幫助學(xué)生理解其實(shí)際意義，加深學(xué)生對(duì)公式的理解．重要的不是結(jié)果的正誤，而是在解決問(wèn)題的過(guò)程中是否進(jìn)行了正確運(yùn)用了符號(hào)意識(shí)進(jìn)行思考。
3．運(yùn)算是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，運(yùn)算是基于法則進(jìn)行的，通常運(yùn)算滿(mǎn)足一定的運(yùn)算律。學(xué)習(xí)這些內(nèi)容有助于理解運(yùn)算律，培養(yǎng)運(yùn)算能力。
初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)淡化了推理證明，隨之而來(lái)的就是對(duì)運(yùn)算能力的要求相對(duì)突出。
數(shù)與式的運(yùn)算是中學(xué)階段所有運(yùn)算最基礎(chǔ)的內(nèi)容．方程(組)、不等式、函數(shù)等運(yùn)算都是建立在數(shù)與式的運(yùn)算基礎(chǔ)之上．這部分運(yùn)算包括有理數(shù)及實(shí)數(shù)的運(yùn)算、整式及分式的運(yùn)算、整式乘法的逆運(yùn)算――因式分解等。
數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該注重概念產(chǎn)生的背景、提出（引入）過(guò)程等環(huán)
節(jié)[1];數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)APOS理論模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行心理建構(gòu)的第一階段就是操作或活動(dòng)階段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科書(shū)的演變過(guò)程中，因式分解內(nèi)容也從講解式發(fā)展到啟發(fā)式，尤其注重從實(shí)際的例子引入，以便學(xué)生理解[3]。不難看到，概念的背景和引入是概念教學(xué)非常重要的起步。至此，筆者將因式分解概念的背景介紹和引入作為備課的重點(diǎn)之一，讓學(xué)生通過(guò)這節(jié)課體會(huì)因式分解概念學(xué)習(xí)的必要性和重要性。
一、基于概念背景的因式分解教學(xué)設(shè)計(jì)
為更好地引入因式分解這一概念的背景，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)片段：
二、基于概念背景的因式分解思考
筆者將課程的引入設(shè)計(jì)為以上三重思考，通過(guò)一些例子來(lái)滲透因式分解這一概念的必要性和重要性，讓學(xué)生在一個(gè)大的背景下學(xué)習(xí)因式分解概念。
1. 因式分解與學(xué)科內(nèi)容的邏輯關(guān)系
因式分解是對(duì)整式的一種變形，是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，它與整式乘法是互逆變形的關(guān)系。因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，是解決整式恒等變形和簡(jiǎn)便運(yùn)算問(wèn)題的重要工具。因此，“思考1”的設(shè)計(jì)是想讓學(xué)生體會(huì)到因式分解和后續(xù)學(xué)習(xí)的密切關(guān)系。筆者選擇從分式化簡(jiǎn)的角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生通過(guò)和很容易想到了要想化簡(jiǎn)，只需要將分子 寫(xiě)成乘積的形式。
2. 因式分解與實(shí)際應(yīng)用
“思考2”展示了長(zhǎng)方形草坪和長(zhǎng)方體紙盒的設(shè)計(jì)問(wèn)題：當(dāng)長(zhǎng)方形草坪的面積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)它的長(zhǎng)和寬，當(dāng)長(zhǎng)方體包裝盒的體積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)它的長(zhǎng)、寬、高。盡管這樣的設(shè)計(jì)不唯一，但學(xué)生通過(guò)12=4×3和ab=a b也容易想到將a2-b2寫(xiě)成兩個(gè)式子乘積的形式，將a3+2a2b+ab2寫(xiě)成三個(gè)式子乘積的形式，這樣的問(wèn)題讓學(xué)生切實(shí)感受到生活中的一些實(shí)際問(wèn)題也需要用到“將某個(gè)式子寫(xiě)成乘積的形式”，同時(shí)讓學(xué)生感受因式分解有其幾何背景。
3. 因式分解與思維訓(xùn)練
在評(píng)課活動(dòng)中，老師們?cè)岬剑八伎?”和“思考2”的設(shè)計(jì)是在他們意料之中的，但“思考3”的設(shè)計(jì)在他們意料之外。有老師問(wèn)到，這樣的問(wèn)題學(xué)生在學(xué)完本課之后能解決嗎？筆者認(rèn)為“思考3”的設(shè)計(jì)目的并不是讓學(xué)生一定會(huì)對(duì)n4+4進(jìn)行因式分解，而是想讓學(xué)生感受因式分解在數(shù)學(xué)史中的地位和作用，同時(shí)用這樣一個(gè)數(shù)學(xué)史的問(wèn)題引起學(xué)生的興趣和思考，帶著這個(gè)問(wèn)題學(xué)完本章，在章節(jié)結(jié)束時(shí)順其自然地解決這個(gè)問(wèn)題。在實(shí)際授課過(guò)程中，筆者感受到學(xué)生對(duì)“思考1”和“思考2”的回答很流暢，而對(duì)“思考3”的回答就沒(méi)那么順暢了。筆者提示學(xué)生從具體的數(shù)入手計(jì)算，學(xué)生們行動(dòng)起來(lái)，并把得到的數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，說(shuō)明它是合數(shù)，也由此想到了是否能把n4+4也寫(xiě)成一些式子乘積的形式。
三、小結(jié)
至此，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“把某個(gè)式子寫(xiě)成乘積形式”這一變形的印象非常深刻了，此時(shí)提出因式分解的概念便水到渠成。后續(xù)教學(xué)過(guò)程就是圍繞因式分解與整式乘法是互逆變形的關(guān)系歸納概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后講解了一種因式分解的基本方法―提公因式法。在本課的最后，筆者又回到了課程起始的三個(gè)思考，學(xué)生恍然大悟，要解決這三個(gè)問(wèn)題，其實(shí)就是對(duì)a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4進(jìn)行因式分解。
整堂課下來(lái)，學(xué)生給筆者的感覺(jué)是他們多多少少體會(huì)到了學(xué)習(xí)因式分解概念的必要性，概念的產(chǎn)生也沒(méi)有那么突兀。這使筆者感到這樣的思考和備課是很有意義的。回顧已有學(xué)者、研究者對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，我們看到，概念的背景和引入雖然只是概念教學(xué)的一部分，但它卻是概念教學(xué)非常重要的起步。在數(shù)學(xué)教科書(shū)的演變過(guò)程中，我們洞察到因式分解概念教學(xué)越來(lái)越注重從實(shí)際例子引入，從大的背景出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考，使概念在課堂中的產(chǎn)生順理成章。
概念的背景也許并不止這些，但只要教師在教學(xué)時(shí)或多或少地設(shè)計(jì)一些有關(guān)概念背景的教學(xué)并持之以恒，就能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的成長(zhǎng)大有裨益。
參考文獻(xiàn)：
[1]李善良. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究綜述[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2001（8）：19-22.
[2]鮑建生， 周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]. 上海： 上海教育出版社， 2009： 380.
關(guān)于任何事物的知識(shí)都有五個(gè)層次或者要素：事物的名稱(chēng)、定義、形象，有關(guān)事物的智識(shí)或者知識(shí)，以及事物本身，下面給大家分享一些關(guān)于八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱2020，希望對(duì)大家有所幫助。
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱1分式及基本性質(zhì)
一、分式的概念
1、分式的定義：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2、對(duì)于分式概念的理解，應(yīng)把握以下幾點(diǎn)：
(1)分式是兩個(gè)整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)的作用;(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能為零。
3、分式有意義、無(wú)意義的條件
(1)分式有意義的條件：分式的分母不等于0;
(2)分式無(wú)意義的條件：分式的分母等于0。
4、分式的值為0的條件：
當(dāng)分式的分子等于0，而分母不等于0時(shí)，分式的值為0。即，使=0的條件是：A=0，B≠0。
5、有理式
整式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式。整式分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。
分類(lèi)：有理式
單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式;
多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式。
二、分式的基本性質(zhì)
1、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。
用式子表示為：==，其中M(M≠0)為整式。
2、通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母都乘以適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹担褞讉€(gè)異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。
通分的關(guān)鍵是：確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母。確定最簡(jiǎn)公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的次冪、所有不同字母及指數(shù)的積。(2)如果各分母中有多項(xiàng)式，就先把分母是多項(xiàng)式的分解因式，再參照單項(xiàng)式求最簡(jiǎn)公分母的方法，從系數(shù)、相同因式、不同因式三個(gè)方面去確定。
3、約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。
在約分時(shí)要注意：(1)如果分子、分母都是單項(xiàng)式，那么可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數(shù)的公約數(shù)，相同字母的最低次冪;(2)如果分子、分母中至少有一個(gè)多項(xiàng)式就應(yīng)先分解因式，然后找出它們的公因式再約分;(3)約分一定要把公因式約完。
三、分式的符號(hào)法則：
(1)==-;(2)=;(3)-=
分式的運(yùn)算
一、分式的乘除法
1、法則：
(1)乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。(意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘)。
用式子表示：
(2)除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，再與被除式相乘。
用式子表示：
2、應(yīng)用法則時(shí)要注意：(1)分式中的符號(hào)法則與有理數(shù)乘除法中的符號(hào)法則相同，即“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，多個(gè)負(fù)號(hào)出現(xiàn)看個(gè)數(shù)，奇負(fù)偶正”;
(2)當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解，以便約分;(3)分式乘除法的結(jié)果要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)的形式。
二、分式的乘方
1、法則：根據(jù)乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把將分子、分母分別乘方，然后再相除。
用式子表示：(其中n為正整數(shù)，a≠0)
2、注意事項(xiàng)：(1)乘方時(shí)，一定要把分式加上括號(hào);
(2)在一個(gè)算式中同時(shí)含有乘方、乘法、除法時(shí)，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先因式分解，再約分;(3)最后結(jié)果要化到最簡(jiǎn)。
三、分式的加減法
(一)同分母分式的加減法
1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
用式子表示：
2、注意事項(xiàng)：(1)“分子相加減”是所有的“分子的整體”相加減，各個(gè)分子都應(yīng)有括號(hào);
當(dāng)分子是單項(xiàng)式時(shí)括號(hào)可以省略，但分母是多項(xiàng)式時(shí)，括號(hào)不能省略;(2)分式加減運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式或整式。
(二)異分母分式的加減法
1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式后，再加減。
用式子表示：。
2、注意事項(xiàng)：(1)在異分母分式加減法中，要先通分，這是關(guān)鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。
(2)若分式加減運(yùn)算中含有整式，應(yīng)視其分母為1，然后進(jìn)行通分。(3)當(dāng)分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)時(shí)，應(yīng)將其分離為整式與真分式之和的形式參與運(yùn)算，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。
四、分式的混合運(yùn)算
1、運(yùn)算規(guī)則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，最后算加減。
遇到括號(hào)時(shí)，要先算括號(hào)里面的。
2、注意事項(xiàng)：(1)分式的混合運(yùn)算關(guān)鍵是弄清運(yùn)算順序;
(2)有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算規(guī)律對(duì)分式運(yùn)算同樣適用，要靈活運(yùn)用交換律、結(jié)合律和分配律;(3)分式運(yùn)算結(jié)果必須化到最簡(jiǎn)，能約分的要約分，保證運(yùn)算結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式。
可化為一元一次方程的分式方程
一、分式方程基本概念
1、定義：方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
2、理解分式方程要明確兩點(diǎn)：(1)方程中含有分式;
(2)分式的分母含有未知數(shù)。
分式方程與整式方程區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)。
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。
途徑：“去分母”。
方法是：方程兩邊都乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程求解。
2、解分式方程的一般步驟：
(1)去分母。即在方程兩邊都乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去分母，把原分式方程化為整式方程;
(2)解這個(gè)整式方程;
(3)驗(yàn)根。驗(yàn)根方法：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最簡(jiǎn)公分母為0的根是原分式方程的增根，必須舍去。這種驗(yàn)根方法不能檢查解方程過(guò)程中出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，還可以采用另一種驗(yàn)根方法，即把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，這種方法可以發(fā)現(xiàn)解方程過(guò)程中有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤。
3、分式方程的增根。
意義是：把分式方程化為整式方程后，解出的整式方程的根有時(shí)只是這個(gè)整式的方程的根而不是原分式方程的根，這種根就是增根，因此，解分式方程必須驗(yàn)根。
三、分式方程的應(yīng)用
1、意義：分式方程的應(yīng)用就是列分式方程解應(yīng)用題，它和列一元一次方程解應(yīng)用題的方法、步驟、解題思路基本相同，不同的是，因?yàn)橛辛朔质礁拍睿写鷶?shù)式的關(guān)系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知數(shù)，解出方程的解后還要進(jìn)行檢驗(yàn)。
2、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟如下：
(1)審題。理解題意，弄清已知條件和未知量;
(2)設(shè)未知數(shù)。合理的設(shè)未知數(shù)表示某一個(gè)未知量，有直接設(shè)法和間接設(shè)法兩種;
(3)找出題目中的等量關(guān)系，寫(xiě)出等式;
(4)用含已知量和未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示等式兩邊的語(yǔ)句，列出方程;
(5)解方程。求出未知數(shù)的值;
(6)檢驗(yàn)。不僅要檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否為原方程的根，還要檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否符合題目的實(shí)際意。“雙重驗(yàn)根”。
零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
一、零指數(shù)冪
1、定義：任何不等于零的實(shí)數(shù)的零次冪都等于1，即a0=1(a≠0)。
2、特別注意：零的零次冪無(wú)意義。
即00無(wú)意義。若問(wèn)當(dāng)x=_____時(shí)，(x-2)0有意義。答案是：x≠2。
(2)按照定義分為：
二、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
1、定義：任何不等于的數(shù)的-n(n為正整數(shù))次冪，都等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)，
即a-n=(a≠0，n為正整數(shù))
2、注意事項(xiàng)：
(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪成立的條件是底數(shù)不為0;
(2)正整數(shù)指數(shù)冪的所有運(yùn)算法則均適用于負(fù)整式指數(shù)冪，即指數(shù)冪的運(yùn)算可以擴(kuò)大到整數(shù)指數(shù)冪范圍;
(3)要避免像5-2=-2×5=-10的錯(cuò)誤，正確算法是：。
三、用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)
1、規(guī)則：絕對(duì)值小于1的數(shù)，利用10的負(fù)整式指數(shù)冪，把它表示成a×10-n(n為正整數(shù))，其中1≤|a|
2、注意事項(xiàng)：
(1)n為該數(shù)左邊第一個(gè)非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前的那個(gè)零)。如-0.00021=-2.1×10-4
(2)注意數(shù)的符號(hào)的變化，在數(shù)前面有負(fù)號(hào)的，其結(jié)果也要寫(xiě)符號(hào)。
(3)寫(xiě)科學(xué)記數(shù)法的關(guān)鍵的是確定10n的指數(shù)n的值。
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱2第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地，用符號(hào)“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有滿(mǎn)足不等式的解集合在一起，構(gòu)成不等式的解集.求不等式解集的過(guò)程叫解不等式.
由幾個(gè)一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組
不等式組的解集:一元一次不等式組各個(gè)不等式的解集的公共局部。
等式基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為0)，所得的結(jié)果仍是等式.
二、不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變.(注：移項(xiàng)要變號(hào)，但不等號(hào)不變。)性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.不等式的基本性質(zhì)、若a>b,則a+c>b+c;、若a>b,c>0則ac>bc若c
不等式的其他性質(zhì)：反射性：若a>b,則bb,且b>c,則a>c
三、解不等式的步驟:1、去分母;2、去括號(hào);3、移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng);4、系數(shù)化為1。四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集。五、列一元一次不等式組解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)審題;(2)設(shè)未知數(shù)，找(不等量)關(guān)系式;(3)設(shè)元，(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組)(4)解不等式組;檢驗(yàn)并作答。
六、常考題型：1、求4x-67x-12的非負(fù)數(shù)解.2、已知3(x-a)=x-a+1r的解適合2(x-5)8a,求a的范圍.
3、當(dāng)m取何值時(shí)，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之間。
第二章分解因式
一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a2±2ab+b2=(a±b)2二、把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。1、把幾個(gè)整式的積化成一個(gè)多項(xiàng)式的形式，是乘法運(yùn)算.2、把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
三、把多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)的公因式.提公因式法分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的形式.找公因式的一般步驟：(1)若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的公約數(shù);(2)取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的;(3)取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取較低的.(4)所有這些因式的乘積即為公因式.
四、分解因式的一般步驟為:(1)若有“-”先提取“-”，若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式,則再提取公因式.(2)若多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式,則根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn),選用平方差公式或完全平方公式.(3)每一個(gè)多項(xiàng)式都要分解到不能再分解為止.
五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子稱(chēng)為完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、運(yùn)用公式法。
第三章分式
注：1°對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零.
2°分式與整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值為零含兩層意思：分母不等于零;分子等于零。(中B≠0時(shí)，分式有意義;分式中，當(dāng)B=0分式無(wú)意義;當(dāng)A=0且B≠0時(shí)，分式的值為零。)
常考知識(shí)點(diǎn)：1、分式的意義,分式的化簡(jiǎn)。2、分式的加減乘除運(yùn)算。3、分式方程的解法和其利用分式方程解應(yīng)用題。
第四章相似圖形
一、定義表示兩個(gè)比相等的式子叫比例.假如a與b的比值和c與d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,這時(shí)組成比例的四個(gè)數(shù)a,b,c,d叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng).即a、d為外項(xiàng)，c、b為內(nèi)項(xiàng).假如選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比(ratio)AB∶CD=m∶n，或?qū)懗?，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng).假如把表示成比值k，則=k或AB=kCD.四條線段a,b,c,d中，假如a與b的比等于c與d的比，即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.黃金分割的定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，假如,那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割(goldensection),點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形:各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
二、比例的基本性質(zhì)：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么.假如(b,d都不為0)，那么ad=bc.2、合比性質(zhì)：假如,那么。3、等比性質(zhì)：假如=…=(b+d+…+n≠0)，那么。4、更比性質(zhì)：若那么。5、反比性質(zhì)：若那么
三、求兩條線段的比時(shí)要注意的問(wèn)題：(1)兩條線段的長(zhǎng)度必需用同一長(zhǎng)度單位表示，假如單位長(zhǎng)度不同，應(yīng)先化成同一單位，再求它們的比;(2)兩條線段的比，沒(méi)有長(zhǎng)度單位，它與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān);(3)兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以?xún)蓷l線段的比值總是正數(shù).
四、相似三角形(多邊形)的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例,相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法，判斷方法有：1.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;2.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等;4.定義法:對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。5、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、兩個(gè)全等三角形一定相似.2、兩個(gè)等腰直角三角形一定相似.3、兩個(gè)等邊三角形一定相似.4、兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似.
七、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。假如兩個(gè)圖形不只是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比。
八、常考知識(shí)點(diǎn)：1、比例的基本性質(zhì)，黃金分割比，位似圖形的性質(zhì)。2、相似三角形的性質(zhì)和判定。相似多邊形的性質(zhì)。
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱3變量與函數(shù)
一、變量與常量
1、變量：在某一變化過(guò)程中，可以取不同的數(shù)值，級(jí)數(shù)值發(fā)生變化的量，叫做變量。
常量：在某一變化過(guò)程中，取值(數(shù)值)始終保持不變的量，叫做常量。
2、注意事項(xiàng)：
(1)常量和變量是相對(duì)的，在不同的研究過(guò)程中有些是可以相互轉(zhuǎn)化的;
(2)離開(kāi)具體的過(guò)程抽象地說(shuō)一個(gè)量是常量還是變量是不允許的;
(3)在各種關(guān)于變量、常量的例子中，變量之間有一定的依賴(lài)關(guān)系。如三角形的面積，當(dāng)?shù)走呉欢〞r(shí)，高與面積之間是有關(guān)聯(lián)的，不是各自隨意變化。
二、函數(shù)概念
1、定義：在某個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有的值與其對(duì)應(yīng)，那么，我們就說(shuō)y是x的函數(shù)，其中x叫做自變量，y叫做因變量。
2、對(duì)函數(shù)概念的理解，主要抓住三點(diǎn)：
(1)有兩個(gè)變量;
(2)一個(gè)變量的數(shù)值隨另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而變化;
(3)自變量每確定一個(gè)值，因變量就有一個(gè)并且只有一個(gè)值與其對(duì)應(yīng)。
三、函數(shù)的表示法：(1)列表法;(2)圖象法;(3)解析法。
四、求函數(shù)自變量的取值范圍
1.實(shí)際問(wèn)題中的自變量取值范圍
按照實(shí)際問(wèn)題是否有意義的要求來(lái)求。
2.用數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)的自變量取值范圍
例1.求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍
(1)解析式為整式的，x取全體實(shí)數(shù);
(2)解析式為分式的，分母必須不等于0式子才有意義;
(3)解析式的是二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)式子才有意義;
(4)解析式是三次方根的，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。
3.函數(shù)值：指自變量取一個(gè)數(shù)值代入解析式求出的數(shù)值，稱(chēng)為函數(shù)值;
實(shí)際上就是以前學(xué)的求代數(shù)式的值。
函數(shù)的圖象
一、平面直角坐標(biāo)系
1、定義：平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。
其中水平的數(shù)軸叫做橫軸(或x軸)，取向右為正方向;豎直的數(shù)軸叫做縱軸(y軸)，取向上為正方向;兩軸的交點(diǎn)O叫做原點(diǎn)。在平面內(nèi)，原點(diǎn)的右邊為正，左邊為負(fù)，原點(diǎn)的上邊為正，下邊為負(fù)。
2、坐標(biāo)平面內(nèi)被x軸、y軸分割成四個(gè)部分，按照“逆時(shí)針?lè)较颉狈謩e為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
注意：x軸、y軸原點(diǎn)不屬于任何象限。
3、平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數(shù)稱(chēng)為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在y軸上垂足所顯示的數(shù)稱(chēng)為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。
點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置。
寫(xiě)坐標(biāo)的規(guī)則：橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間用“，”隔開(kāi)，全部用小括號(hào)括起來(lái)。
如P(3，2)橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為2。
特別注意坐標(biāo)的順序不同，表示的就是不同位置的點(diǎn)。
所以點(diǎn)的坐標(biāo)是一對(duì)有順序的實(shí)數(shù)，稱(chēng)為有序?qū)崝?shù)對(duì)。
4、平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。
5、坐標(biāo)的特征
(1)在第一象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是正數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù);在第二象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是正數(shù);
在第三象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù);在第四象限內(nèi)的點(diǎn),橫坐標(biāo)是正數(shù),縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù);
(2)x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于零;y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于零.
6、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征
(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反;
(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，縱坐標(biāo)相同;
(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，縱坐標(biāo)也絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。
(4)第一、三象限角平分線上點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同;
(5)第二、四象限角平分線上點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。
7、點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離
點(diǎn)A(a，b)到x軸的距離為|b|，點(diǎn)A(a，b)到y(tǒng)軸的距離為|a|。
二、函數(shù)的圖象
1、意義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)值y的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)所組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象。
2、作函數(shù)圖象的方法：描點(diǎn)法。
步驟：(1)列表;(2)描點(diǎn);(3)連線。
3、一般函數(shù)作圖象，要求橫軸和縱軸上的單位長(zhǎng)度一定要一致，按照對(duì)應(yīng)的解析式先計(jì)算出一對(duì)對(duì)應(yīng)值，就是坐標(biāo)，然后描點(diǎn)，再連線;
畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的圖象時(shí)，必須先考慮函數(shù)自變量的取值范圍.有時(shí)為了表達(dá)的方便，建立直角坐標(biāo)系時(shí)，橫軸和縱軸上的單位長(zhǎng)度可以不一致。
一次函數(shù)
一、一次函數(shù)的概念
之所以稱(chēng)為一次函數(shù)，是因?yàn)樗鼈兊年P(guān)系式是用一次整式表示的。學(xué)習(xí)此概念要從兩個(gè)方面來(lái)理解。
(1)從其表達(dá)式上：
一次函數(shù)通常是指形如：y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，凡是成這種形式的函數(shù)都是一次函數(shù)。而當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx(k≠0的常數(shù))，則稱(chēng)為正比例函數(shù)，其中k為比例系數(shù)。
(2)從其意義上：
它們表示的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系具有特定的意義，如，如果說(shuō)兩各變量之間具有一次函數(shù)關(guān)系，我們就可按照概念設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，成正比例關(guān)系的也同樣，如，若s與t成正比例關(guān)系，我們便可設(shè)s=kt(k≠0，t為自變量)
“正比例函數(shù)”與“成正比例”的區(qū)別：
正比例函數(shù)一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個(gè)量之間的固定正比例關(guān)系，如a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k(b-2)(k≠0)
二、一次函數(shù)的圖象
正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都是一條直線，所以對(duì)于其解析式也稱(chēng)為“直線y=kx+b，直線y=kx”。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，所以在畫(huà)一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要描出兩個(gè)點(diǎn)，在通過(guò)兩點(diǎn)作直線即可。
1、畫(huà)正比例函數(shù)y=kx(k≠0的常數(shù))的圖象時(shí)，只需要這兩個(gè)特殊點(diǎn)：(0，0)和(1，k)兩點(diǎn);
2、畫(huà)一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的圖象時(shí)，只需要找出它與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即可。
一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：(0，b)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：(-，0)
3、若兩個(gè)不同的一次函數(shù)的一次項(xiàng)的系數(shù)相同，則這它們的圖象平行。
4、將y=kx的圖象沿著沿著軸向上(b>0)或向下(b
5、求兩一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立解兩各函數(shù)解析式得到的二元一次方程組，求的自變量x的值為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出的y的值為交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。
三、一次函數(shù)的性質(zhì)
一次函數(shù)的性質(zhì)是由k來(lái)決定的。
1、正比例函數(shù)y=kx(k≠0的常數(shù))的性質(zhì)
(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大，這時(shí)函數(shù)圖象從左到右上升。
(2)當(dāng)k
2、一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的性質(zhì)
(1)當(dāng)k>0時(shí)，①當(dāng)b>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三、二象限，y隨x的增大而增大，這時(shí)函數(shù)圖象從左到右上升。②當(dāng)b
(2)當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時(shí)函數(shù)圖象從左到右下降。②當(dāng)b
四、確定正比例函數(shù)好一次函數(shù)的解析式
1、意義：
(1)確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)y=kx(k≠0的常數(shù))中的常數(shù)k;
(2)確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)中常數(shù)k和b。
2、待定系數(shù)法
(1)先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知的系數(shù))，再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。
(2)用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式的一般方法：①設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;②把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)方程(組);③解方程(組)，求出待定系數(shù);④將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的關(guān)系式中，從而確定出函數(shù)關(guān)系式。
五、一次函數(shù)(正比例函數(shù))的應(yīng)用。與方程的應(yīng)用差不多，注意審題步驟。
反比例函數(shù)
一、反比例函數(shù)
1、定義：形如y=(k≠0的常數(shù))的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。
2、對(duì)于反比例函數(shù)：
(1)掌握其形式y(tǒng)=，且k為常數(shù)，同時(shí)不能為0;等號(hào)左邊是函數(shù)y，右邊是一個(gè)分式，分子是一個(gè)不為0的常數(shù)，分母是自變量x，若把反比例函數(shù)寫(xiě)成y=kx-1，則x的系數(shù)為-1;自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)y的取值范圍也是不為0的一切實(shí)數(shù);
(2)將y=轉(zhuǎn)化為xy=k，由此可得反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量的積為定值，即某兩個(gè)變量的積為一定值時(shí)，則這兩個(gè)變量就成反比例關(guān)系。
(3)“反比例函數(shù)”與“成反比例”之間的區(qū)別在于，前者是一種函數(shù)關(guān)系，而后者是一種比例關(guān)系，不一定是反比例函數(shù)，如說(shuō)s與t2成反比例，可設(shè)為s=(k≠0的常數(shù))，但這顯然不是反比例函數(shù)。
二、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式。由于反比例函數(shù)y=中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一組對(duì)應(yīng)值，即可求k的值，從而確定其表達(dá)式。
三、反比例函數(shù)的圖象
1、意義：
(1)名稱(chēng)：雙曲線，它有兩個(gè)分支，分別位于一、三或二、四象限;
(2)這兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng);
(3)由于反比例函數(shù)自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以反比例函數(shù)的圖象與x軸和y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，無(wú)限接近坐標(biāo)軸，永遠(yuǎn)不能到達(dá)坐標(biāo)軸。
2、畫(huà)法(描點(diǎn)法)：(1)列表。
