時(shí)間：2023-06-05 10:30:23
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇求值域的方法，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
高中數(shù)學(xué)所有章節(jié)中，函數(shù)作為學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的靈魂，函數(shù)的內(nèi)容輻射面廣，其蘊(yùn)涵的思想方法對(duì)其它章節(jié)的學(xué)習(xí)影響深遠(yuǎn)。而作為函數(shù)三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能夠掌握幾種典型的求值域問題，由此解決類似問題，便可輕松駕馭求值域問題。函數(shù)求值域常以幾個(gè)重要的函數(shù)作為模型，以幾種不同思想方法為工具，操作起來便捷有效。本人在長(zhǎng)期的教學(xué)工作中對(duì)反比例函數(shù)進(jìn)行了不斷認(rèn)識(shí)，本文通過以反比例函數(shù)為模型的實(shí)例展現(xiàn)給讀者，希望能與大家共同學(xué)習(xí)與探討。
一、反比例函數(shù)與反比例型函數(shù)的圖像與值域
反比例函數(shù)一般形式為，圖像如下：
由圖知函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>
反比例型函數(shù)本身不是反比例函數(shù)，形式上類似反比例函數(shù)，圖像可由反比例函數(shù)圖像變換得到，如：。故其圖像如下：
1
-1
故此函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>
反比例型函數(shù)一般形式為
，
而，設(shè)，則，故值域?yàn)?/p>
注：（1）上述過程中，圖像是由反比例函數(shù)的圖像通過“左加右減，上加下減”平移得到。（2）上述化簡(jiǎn)方法使用了換元法與分離常數(shù)法。（3）上述函數(shù)定義域?yàn)樽匀欢x，沒有限制。
二、反比例型函數(shù)在限定范圍上的值域
例題：求的值域。
應(yīng)對(duì)策略一
【解】設(shè)代入原題得，而，
①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椤＂诋?dāng)時(shí)，如右圖知在時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)故函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>
1
-1
③當(dāng)時(shí)，如右圖知在時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>
1
-1
綜上所述：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?。當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?。?dāng)時(shí)值域?yàn)椤?/p>
【注】：此種解法是以反比例函數(shù)為模型，以換元法、圖像法和分離常數(shù)法為工具。換元法必須寫清楚換元后變量的范圍，然后再找出圖像上變量所在范圍上的圖像，既而求出值域，此種方法是部分換元，另外還可以設(shè)，則函數(shù)可變?yōu)?，然后再由圖像法求解。應(yīng)對(duì)策略二
【另解】（1）當(dāng)時(shí)，。
（2）當(dāng)時(shí)，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。
當(dāng)綜上所述：當(dāng) 時(shí)，值域?yàn)?。當(dāng) 時(shí)，值域?yàn)?。?dāng)時(shí)值域?yàn)椤?/p>
【注】：本題本身不是反比例型函數(shù)，但通過簡(jiǎn)單換元后變成了限定范圍上的反比例型函數(shù)，采用“逆求法”或“反解法”求解，由題目中反解出自變量關(guān)于函數(shù)值的函數(shù)。根據(jù)自變量的范圍建立關(guān)于函數(shù)值y的不等式去解函數(shù)值的范圍。
一、相關(guān)概念
函數(shù)y＝f(x)中，函數(shù)值是與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值。函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。分式函數(shù)是解析式為分式形式的函數(shù)。
二、分式函數(shù)的類型及值域解法
（一）一次分式型
一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。
1.y=cx+dax+b (a≠0)型
例1求函數(shù)y=2－3x2x－1的值域。
解析一：常數(shù)分離法。將y=cx+dax+b轉(zhuǎn)化為y=k1+k2ax+b（k1,k2為常數(shù)），則y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。
解析二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。值域?yàn)閥≠－32（詳解略）。
2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型
例2 求函數(shù)y=sinx+22－sinx的值域。
分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個(gè)特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名。可以考慮借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)與y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。13≤y≤3。（詳解略）
3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型
例3 求函數(shù)y=3sinx－32cosx+10的值域。
分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會(huì)出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。
［－58，0］（詳解略）。
（二）二次分式型
二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng)，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化，所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。
1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同時(shí)為0)，x∈[WTHZ]R型
例4 求函數(shù)y=3xx2+4的值域。
分析：去分母后，可將方程看做是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。用判別式法，先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（詳解略）
說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會(huì)放大值域。
2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同時(shí)為0)，指定的區(qū)間上求值域型
例5 求y=16x2－21x+55－4x（x
分析：因?yàn)閤
三、提煉知識(shí)，總結(jié)分式函數(shù)值域解法
求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：
1.反函數(shù)法。這是求一次分式函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。
2.判別式法。這也是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以判別式Δ≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)。
3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮不等式法。用不等式法求值域，應(yīng)注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”。
4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時(shí)，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。
5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。
關(guān)鍵字：反函數(shù)法、值域、復(fù)合函數(shù)
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函數(shù)值域的求解是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。求函數(shù)值域的方法有很多，反函數(shù)法是常用的方法之一，在一些刊物、叢書，甚至中學(xué)教師使用的《教學(xué)參考書》中也頗常見。但該法一直以來存在很多爭(zhēng)議。本文就反函數(shù)法求函數(shù)值域發(fā)表個(gè)人的一些看法。
在這之前先給出反函數(shù)的定義：
一般地，設(shè)函數(shù) 的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表示出，得到 。若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過 ，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么， 就表示y是自變量，x是因變量的函數(shù)，這樣的函數(shù) 叫做函數(shù) 的反函數(shù)，記作 。反函數(shù) 的定義域、值域分別是函數(shù) 的值域、定義域。
注：函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，定義域與值域之間的映射是一一映射。
一、反函數(shù)法合理嗎？
反函數(shù)法的合理性一直遭到質(zhì)疑，首先我們看個(gè)例子：
例1、 求函數(shù) 的值域。
解：去分母，得
即(1)
(2)
再由 得(3)
所以函數(shù)的值域?yàn)?的實(shí)數(shù)。
對(duì)于例1，文[1]認(rèn)為由(1)式到(2)式的推導(dǎo)并不充分，所以其推導(dǎo)“缺乏依據(jù)”；只有(1)式和(3)式合起來才能推出(2)式這樣又“導(dǎo)致循環(huán)推理”。對(duì)于這個(gè)問題，文[2]中已經(jīng)給出了一種合理的解釋。在此，筆者也發(fā)表自己的一點(diǎn)看法，反函數(shù)的定義域是由原函數(shù)的值域確定的，由于反函數(shù)與原函數(shù)的互相依賴的關(guān)系，反過來，在滿足一定條件的情況下，當(dāng)然可以由反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域了。因此，筆者認(rèn)為反函數(shù)法在理論上是毋庸質(zhì)疑的。
二、這是反函數(shù)法嗎？
例2、 求 的值域。
解：為了求值域，由原式解出 ,
得
由此得
所以函數(shù)的值域是 。
例2在解題過程中符合反函數(shù)法的一般步驟，最后的結(jié)果也是正確的。但是我們可以發(fā)現(xiàn)在反解的過程中得到的x關(guān)于y的表達(dá)式 中變量y所對(duì)應(yīng)的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中學(xué)范疇內(nèi)的函數(shù)解析式，所以不存在反函數(shù)。例2的結(jié)果雖然正確，但只是一種巧合。既然不存在反函數(shù)，當(dāng)然不能用反函數(shù)法。
三、存在反函數(shù)就一定可以用反函數(shù)法嗎？
例3、求函數(shù) 的值域。
解1：用配方法
由于
，且y在 上為u的增函數(shù)
時(shí)， 。
解2：用類似于例1、例2的反函數(shù)法
由原函數(shù)式解出x，得
由此得
函數(shù)的值域是 。
易驗(yàn)證，函數(shù) 存在反函數(shù)，反函數(shù)解析式即為 ，由解析式我們只能得到 ，事實(shí)上反函數(shù)的定義域?yàn)?（解1得出的結(jié)果是正確的）。由此我們可以看出，并不是只要原函數(shù)存在反函數(shù)就一定能用反函數(shù)法求值域。
四、什么情況可以用反函數(shù)法
由上面的討論我們可以看出，反函數(shù)法在理論上是毋容置疑的，但是又受到種種限制，很容易造成錯(cuò)誤的使用。因此在什么情況下可以使用反函數(shù)法就變得很有意義。
用反函數(shù)法求函數(shù)值域需滿足兩個(gè)條件：1題目給出的函數(shù)應(yīng)該存在反函數(shù)，2 與 同解。
在中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的初等函數(shù)中滿足這兩個(gè)條件的很多，例如指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù) ，一次函數(shù) 的反函數(shù)還是一次函數(shù) ，反比例函數(shù) 的反函數(shù)是其本身，所有的奇次冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）與對(duì)應(yīng)的冪函數(shù) （其中n為奇數(shù)）互為反函數(shù)。因此它們都可以用反函數(shù)法求函數(shù)值域。當(dāng)然他們的值域教材中都已經(jīng)作為結(jié)論給了出來。
顯然，由上述這些類型的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域都可以用反函數(shù)法來求。例如形如 類的分式函數(shù)就是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)復(fù)合而成。再如：
例4、求 的值域
解：由已知函數(shù)得
，
解得： 或 ，故函數(shù)的值域?yàn)?。
五、小結(jié)
反函數(shù)法作為一種常用的求函數(shù)值域的方法在理論上是毋庸質(zhì)疑的，它有自身的優(yōu)勢(shì)也有很大的局限性，因此在采用某種方法之前，我們應(yīng)當(dāng)首先確定題目滿不滿足使用這種方法的條件。
參考文獻(xiàn)
[1]孟德酉.反函數(shù)法求函數(shù)值域質(zhì)疑[J].數(shù)學(xué)通報(bào).1990.4
一、基本理論1
根據(jù)對(duì)稱性知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對(duì)稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數(shù)）.
推論：對(duì)于f（x）=ax2+bx+c，若對(duì)稱軸為x=x0，則
（1）當(dāng)a>0時(shí)，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；
（2）當(dāng)a|t2-x0|，則f（t1）
【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關(guān)系.
解：f（-3）=f（2），
|-3-b12a|=|2-b12a|且-3
b12a=-3+212.
b1a=-1，即b=-a.
【例2】已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.
解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.
又f（x）=3x2+2x+b的對(duì)稱軸為x=-213，
顯然有|1-213|
故由理論可知f（1）
二、基本理論2
若f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（a）?f（b）
推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a
【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.
解：設(shè)f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，當(dāng)然在（-∞，1），及（1，3）上也連續(xù)，由基本理論2知，必有f（1）?f（3）
評(píng)析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計(jì)算，使解題過程大大簡(jiǎn)化.
【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.
分析：由上述理論可知，應(yīng)有f（0）?f（1）
f（1）?f（2）
即（3-m）?（4-2m）
（4-2m）?（7-3m）
解得2
三、利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域
【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.
分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可求值域.
解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用圖象求值域.
由前述理論可知，當(dāng)t=-1時(shí)，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；
當(dāng)t=213時(shí)，ymin=-113.
1. 觀察法
對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。
例1.求函數(shù)y= 的值域。
解：x≠0， ≠0
顯然函數(shù)的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 二次函數(shù)法
例2.已知函數(shù)f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。
(1)若f(x)的定義域?yàn)?－∞，+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若f(x)的值域?yàn)?－∞，+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：（1）依題意(a －1）x +(a+1)x+1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
當(dāng)a －1≠0時(shí)，其充要條件是
a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0
即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1
a＜-1或a＞ 。
又a=－1時(shí)，f(x)=0滿足題意，a=1時(shí)不合題意。
故a≤－1或a＞ 為所求。
(2)依題意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)镽，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又當(dāng)a －1=0即a=1時(shí)t=2x+1符合題意，而a=-1時(shí)不合題意，1≤a≤ 為所求。
3. 配方法
配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。
例3.求函數(shù)y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。
解：將函數(shù)配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)x=1時(shí)，y =4
當(dāng)x=-1時(shí)，y =8
故函數(shù)的值域是［4，8］。
4. 反函數(shù)法
直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。
例4.求函數(shù)y= 值域。
解：由原函數(shù)式可得：x=
則其反函數(shù)為：y=
其定義域?yàn)閤≠
故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?∞， ）。
5. 函數(shù)有界性法
直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。
例5.求函數(shù)y= 的值域。
解：由原函數(shù)式可得e =
e ＞0， ＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1，1)。
6. 換元法
通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。
例6.函數(shù)y=x+ 的值域是( )。
A. (－∞，1］
B. (－∞，－1］
C. R
D .［1，+∞）
解：令 =t(t≥0)，則x= 。
y= +t=－ (t－1) +1≤1
值域?yàn)?－∞，1］。
答案：A。
總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法、函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。
參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：
1、利用三角恒等式進(jìn)行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x,?y的范圍。在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法。?
2、所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所取參數(shù)。
3、在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時(shí)應(yīng)用語(yǔ)言作補(bǔ)充說明。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
關(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學(xué)方法
中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0100-02
一、求二次函數(shù)式在自然定義域上的值域，一般將函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化為y=a（x-m）2+n的形式，這里m=-■，n=■?；蛇@種形式體現(xiàn)兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①知道圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）、對(duì)稱軸及函數(shù)最值；②函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間為（-∞，m]、[m，+∞）。這樣，若a>0，其值域?yàn)閇m，+∞）；若a
求二次函數(shù)式在限定區(qū)間D上的值域，先考察頂點(diǎn)橫坐標(biāo)m與區(qū)間D的關(guān)系。如果m∈D，那么一個(gè)最值就是n，再通過考察區(qū)間D的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就能確定值域；如果m？埸D，那么D必是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性就能求出值域。
二、化歸思想――通過替換或變形等方法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)式或基本函數(shù)有聯(lián)系的形式，進(jìn)而利用基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定出值域
【例1】：求函數(shù)y=■的值域。
分析：此函數(shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，
因此，可通過替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域。
解：設(shè)x2-3x+2=t，則y=■
因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，
如圖可知y≤-4或y>0，函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪（0，+∞）。
【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域。
分析：此函數(shù)式底數(shù)為常數(shù)，指數(shù)變化，外形就是指數(shù)函數(shù)y=（■）x。因此，可化歸為指數(shù)函數(shù)后，就能求出值域。
解：設(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。
三、方程思想――一個(gè)函數(shù)式實(shí)際上就是關(guān)于自變量x與函數(shù)值y的方程，而根據(jù)函數(shù)的定義可知，這個(gè)方程必關(guān)于x有解，因此有時(shí)我們把函數(shù)式變形為關(guān)于x的方程后，利用方程有解的條件建立關(guān)于y的不等式關(guān)系，從而求出值域
【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域。
分析：把函數(shù)式視為關(guān)于x的方程，則這個(gè)方程關(guān)于x有解，因?yàn)閤∈（0，+∞），所以logax∈R，這樣把函數(shù)式看作關(guān)于logax的一元二次方程，那么這個(gè)方程恒有解，利用一元二次方程有解的條件就能求出值域。
解：因x>0，logax∈R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）。
四、制約思想――自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約。
【例4】：求函數(shù)y=■的值域。
分析：由于y受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過-1≤f（y）≤1可求得值域。
【例5】：求函數(shù)y=■的值域。
分析：由于y受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過f（y）≥0能確定值域。
五、幾何思想――幾何思想即數(shù)形結(jié)合思想，通過作出函數(shù)的圖象或根據(jù)函數(shù)式所表示的意義畫出相應(yīng)圖形，進(jìn)而求出值域
思路一：畫出函數(shù)的圖象，可觀察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到3的距離與到-1的距離之差，因此，通過數(shù)軸可知值域是[-4，4]。
【例6】：求函數(shù)y=■的值域。
分析：因?yàn)楹瘮?shù)y=■的幾何意義為兩點(diǎn)P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點(diǎn)Q在單位圓x2+y2=1上（如圖），
易求得-■≤k≤■值域是[-■，■]。
六、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性
【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），0
解：把函數(shù)式變形為y=■（2x）（3-2x），因?yàn)?x，3-2x均為正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■時(shí)取等號(hào)），又y>0
故函數(shù)的值域是（0，■]。
除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性與周期性。如果是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們只求正區(qū)間或負(fù)區(qū)間上函數(shù)值的范圍，根據(jù)對(duì)稱性就能確定值域；如果是周期函數(shù)，只求一周期區(qū)間上的值域。
總之，求值域是個(gè)較困難且較為靈活的問題，需靈活運(yùn)用所學(xué)，靈活解決。
參考文獻(xiàn)：
[1]史海平.一類函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1989（05）.
[2]方亞娜.函數(shù)值域的求法[J].甘肅教育，1998（11）.
一、函數(shù)定義域問題
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)定義域是高考的常考內(nèi)容之一，一般情況下，函數(shù)的定義域就是指使函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合，但實(shí)際問題的定義域必須具有實(shí)際意義，對(duì)含參數(shù)的函數(shù)定義域必須對(duì)字母參數(shù)分類討論.在一些具體函數(shù)綜合問題中，函數(shù)定義域往往具有隱蔽性，所以在研究這些問題時(shí)，必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則.
二、函數(shù)圖象問題
點(diǎn)評(píng)：由于近年來高考試題加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想的考查，最明顯的是高考試卷中函數(shù)圖象考題的增多.要掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，理解掌握常見的圖象平移、對(duì)稱及伸縮變換，通過對(duì)圖象的識(shí)別來考查函數(shù)的性質(zhì).
三、函數(shù)求值問題
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)求值問題一直是高考常考不衰的題型，它在高考中的突出地位應(yīng)引起高度重視，有關(guān)函數(shù)求值問題大多是通過利用函數(shù)的奇偶性或周期性，將未知值轉(zhuǎn)化為已知值問題.
四、函數(shù)單調(diào)性問題
（1）當(dāng)01；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b（a
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a
（2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b.
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b，使得函數(shù)f（x）的定義域、值域都是[a，b]，
與a
②當(dāng)a、b∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
③當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
綜上可知，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a、b.
（3）若存在實(shí)數(shù)a、b（a0，m>0.
①當(dāng)a、b∈（0，1）時(shí)，f（x）=1x-1在（0，1）上為減函數(shù)，值域?yàn)閇ma，mb]，
與a
②當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a、b.
③當(dāng)a、b∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=1-1x在[1，+∞）上為增函數(shù)，
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)單調(diào)性是高考熱點(diǎn)問題之一，在歷年的高考試題中，考查利用函數(shù)單調(diào)性的試題屢見不鮮，既可以考查用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，用反例說明函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間等問題，又可以考查利用函數(shù)的單調(diào)性求應(yīng)用題中的最值問題.函數(shù)的單調(diào)性是探索函數(shù)值域或最值的常用工具，是函數(shù)思想在解題中的具體體現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)引起重視.解存在性問題的常用方法是先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行探索，由探索結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出正確判斷.
五、三個(gè)二次問題
例5 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，它在y軸上的截距為-3.又對(duì)任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線l：y=x+m的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
（2）由條件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0對(duì)于x∈R恒成立，
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)、二次不等式、二次方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地聯(lián)系在一起.以“三個(gè)二次”為載體，綜合二次函數(shù)、二次不等式、二次方程交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考試題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位.
六、函數(shù)應(yīng)用問題
例6 某公司是一家專做產(chǎn)品A銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完.該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖一、二、三所示，其中圖一中的折線表示的是國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示的是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同）.
（1）分別寫出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量f（t）、國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g（t）與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式；
函數(shù)的概念：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）x∈A}叫作函數(shù)的值域. 注意：函數(shù)是映射的特例（對(duì)應(yīng)集合為非空數(shù)集）.
函數(shù)三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).
函數(shù)定義域的求法
由整體到局部，列出使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式（組）并求解.常見依據(jù)為：
①分式中分母不為0；
②偶次根式（n為偶數(shù)）中被開方數(shù)x≥0；
③對(duì)數(shù)logax的真數(shù)x>0，底數(shù)a>0且a≠1；
④零指數(shù)冪x0的底數(shù)x≠0；
⑤求抽象函數(shù)定義域要認(rèn)準(zhǔn)自變量，如： f（x-1）的定義域?yàn)椋簒∈[2，3），則f（t）的定義域?yàn)椋簍∈[1，2）；
⑥應(yīng)用題要考慮實(shí)際意義等.
【提醒】
①對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)數(shù)x，在值域中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng).
②解定義域不等式組時(shí)注意利用圖象和數(shù)軸等幾何工具，確保不疏不漏，且定義域和值域都應(yīng)寫成集合或區(qū)間的形式.
③定義域是一個(gè)基本且重要的概念，不能只機(jī)械地掌握以上所列定義域的求解方法，要深刻理解定義域在函數(shù)問題中的作用，把對(duì)函數(shù)定義域的認(rèn)識(shí)深化到任何與字母范圍有關(guān)的問題中去，形成求定義域的意識(shí).
易錯(cuò)情景有：解方程忽略方程本身要有意義；求函數(shù)解析式、函數(shù)值域、函數(shù)最值時(shí)忽視定義域；判斷函數(shù)單調(diào)性、奇偶性時(shí)忽視定義域的影響；代數(shù)變形中擴(kuò)大或縮小了定義域；換元過程忽視換元變量與原變量之間的關(guān)系，導(dǎo)致擴(kuò)大或縮小變量取值范圍；忽視新引入變量的取值范圍等.
【自查題組】
（1） 已知函數(shù)f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè).
（2） 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”. 那么函數(shù)解析式為y=2x2+1、值域?yàn)閧5，19}的“孿生函數(shù)”共有 .
（A） 10個(gè) （B） 9個(gè) （C） 8個(gè) （D） 7個(gè)
（3） 下列四組中，函數(shù)f（x），g（x）表示同一函數(shù)的是 .
（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x
（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1
（4） 若函數(shù)y= f（x）的定義域是[0，2]，則函數(shù)g（x）=的定義域是 .
知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)值域的求法
單調(diào)函數(shù)直接法：直接判斷函數(shù)在給定區(qū)間范圍內(nèi)的單調(diào)性，常用于求定義在閉區(qū)間上函數(shù)的值域. 如：函數(shù)f（x）=2x-，x∈[1，3]在給定區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)閇f（1），f（3）]，即1，.
復(fù)合函數(shù)換元法： 將函數(shù)中的變量單元看作整體，轉(zhuǎn)化為求常用基本函數(shù)的值域.這個(gè)過程重在對(duì)基本初等函數(shù)的模式識(shí)別以及換元后變量取值范圍的求解和使用.
常見基本函數(shù)類型有：二次函數(shù)型、冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對(duì)數(shù)函數(shù)型、三角函數(shù)型、雙勾函數(shù)型.要結(jié)合各自的函數(shù)圖象來幫助記憶函數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn).
其他常用方法：
①利用導(dǎo)數(shù)求高次多項(xiàng)式等非基本函數(shù)類型的最值（極值）.（必修不作要求）
②利用函數(shù)與方程的思想，把函數(shù)轉(zhuǎn)換為方程求解. 如二次函數(shù)型可利用一元二次方程求解、三角函數(shù)可利用其有界性求值域等.
③利用基本不等式或聯(lián)系幾何意義求解. 如利用均值不等式或根據(jù)題意聯(lián)想斜率、距離等幾何意義，含二元變量的問題也可作為線性規(guī)劃問題來解決.
【提醒】
①求基本函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的值域是很重要的考查類型，采用換元法求值域時(shí)注意通過換元所設(shè)變量與原變量之間的函數(shù)關(guān)系，應(yīng)求出所設(shè)變量的取值范圍，在此范圍內(nèi)求解.
②求特定范圍內(nèi)的函數(shù)值域問題，在不清楚所求范圍內(nèi)的函數(shù)單調(diào)性情況時(shí)，切不可盲目代值求解，應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖象，找出圖象的最低點(diǎn)（最小值）和最高點(diǎn)（最大值）.
③形如y=（分式型函數(shù)）的最值是高考解析幾何等綜合問題常考的類型，求解時(shí)常常先轉(zhuǎn)化為雙勾型函數(shù)、反比例型函數(shù)或二次函數(shù)的形式，再求最值.
【自查題組】
（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域?yàn)?.
（6） y=2x+1-的值域是 .
（7） 若函數(shù)f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），則函數(shù)y=[f（x）]2+f（x2）的最大值為 .
（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），則f（x）的最大值為 .
（9） 函數(shù)y=+的值域是 .
（10） 函數(shù)y=的值域是 .
知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)圖象
兩類易混淆的函數(shù)圖象
①對(duì)稱函數(shù)：若對(duì)于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x==對(duì)稱，稱為“自身對(duì)稱”；
函數(shù)y=f（a-x）與y=f（b+x）的圖象關(guān)于直線x=（由a-x=b+x求得）對(duì)稱，稱為“相互對(duì)稱”.
②周期函數(shù)：若函數(shù)y=f（x）對(duì)于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，a-b是它的一個(gè)周期.
常用圖象變換方法
①平移：函數(shù)y=f（x+a）的圖象可由y=f（x）的圖象沿x軸向左（a>0時(shí)）或向右（a
函數(shù)y=f（x）+a的圖象可由y=f（x）的圖象沿y軸向上（a>0時(shí)）或向下（a
②伸縮：函數(shù)y=f（ax）（a>0）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象的橫坐標(biāo)長(zhǎng)度伸長(zhǎng)或縮短為原來的得到；
函數(shù)y=af（x）（a>0）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象的縱坐標(biāo)長(zhǎng)度伸長(zhǎng)或縮短為原來的a倍得到.
③翻折：y=f（x）的圖象可以看作y=f（x）的圖象在x軸上方部分不變，把x軸下方部分沿x軸向上翻折后所得；
y=f（x）的圖象可以看作y=f（x）的圖象在y軸右側(cè)部分沿y軸向左翻折覆蓋y軸左側(cè)圖象，并保留y軸右側(cè)圖象所得.
④對(duì)稱：函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱；
函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）的圖象關(guān)于直線y=0對(duì)稱；
函數(shù)y=f（x）與y=-f（-x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.
【提醒】
①識(shí)圖、辨圖類題目，應(yīng)先找出選項(xiàng)的差異，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)和特征，如單調(diào)、對(duì)稱、特殊點(diǎn)、函數(shù)值的正負(fù)等來解決.
②在進(jìn)行函數(shù)圖象變換時(shí)，一定要準(zhǔn)確確認(rèn)變換過程和步驟，尤其是針對(duì)自變量多重變換的問題，切記“要變只變自變量”. 如函數(shù)y=sin（2x+1）的圖象右移1個(gè)單位的過程是：y=sin[2（x-1）+1].
③數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要思想方法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)要注意把握所畫函數(shù)圖象的特征點(diǎn)、對(duì)稱軸（點(diǎn)）、漸近線等關(guān)鍵特征，必要時(shí)需要通過運(yùn)算比較，提高準(zhǔn)確性.
【自查題組】
（11） 函數(shù)y=的圖象大致為 .
（12） 已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，則函數(shù)y=f（x）的圖象為
（13） 已知函數(shù)f（x）的圖象如圖2所示，那么f（x）的解析式可以是 .
（A） f（x）=x2-1
（B） f（x）=x2-2x
（C） f（x）=x2-2x
（D） f（x）=
（14） 為了得到函數(shù)y=sin（x+1）的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn) .
（A） 向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度
（B） 向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度
（C） 向左平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度
（D） 向右平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度
（15） 如圖3所示，函數(shù)y=f（x）的圖象由兩條射線和三條線段組成.若對(duì)于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【參考答案】
（1） 0或1
（2） B 【x的取值必須滿足從{-，}中至少選擇一個(gè)元素，且從{-3，3}中也至少選擇一個(gè)元素，組合方法共9種】
（3） C 【關(guān)鍵是分析各函數(shù)的定義域】
（4） （0，1）
（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均為增函數(shù)】
（6） ，+∞ 【令t=，則t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】
（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定義域?yàn)?≤x≤9，則在y中應(yīng)有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因?yàn)閘og3x為增函數(shù)，故當(dāng)x=3時(shí)，y的最大值為13】
（8） 6 【在同一坐標(biāo)系中分別畫出當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)y=2x，y=x+2，y=10-x的圖象，如圖4所示.相關(guān)區(qū)域內(nèi)不滿足題意的部分函數(shù)圖象，在圖中用虛線表示】
（9） [10，+∞）
（10） -， 【原式等價(jià)于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.當(dāng)y=0時(shí)，得x=0；當(dāng)y≠0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程有解，則Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.綜上可得，y∈-，】
（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x∞時(shí)函數(shù)值趨近于1】
（12） B
（13） B 【由圖象知f（0）=0，排除選項(xiàng)A； f（1）>0，排除選項(xiàng)C、D】
一、追問
例如，在高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，將必修5第91頁(yè)習(xí)題3（2）改編為求函數(shù)y=x2+3x 2+2的值域.
學(xué)生1：由基本不等式知，y=x2+3x 2+2=x2+2+1x 2+2≥2.所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,+∞).
問：解法正確嗎？
學(xué)生2：解法不對(duì).因?yàn)閤2+2=1x 2+2不成立，所以不等式不能取等號(hào).
追問:這里不能使用基本不等式，如何求其值域呢？誰(shuí)能試一試？
學(xué)生3：先證這個(gè)函數(shù)在［2,+∞)上為增函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性求值域.于是得出正確結(jié)果：函數(shù)y=x2+3x 2+2的值域?yàn)?22,+∞.
點(diǎn)評(píng)：學(xué)生3善于觀察，聯(lián)想合理，能把問題化歸到函數(shù)的單調(diào)性這一基本性質(zhì)中去求解.
追問：還有其他解法嗎？
學(xué)生4：令t=x2+2，可得t≥2.y=x2+3x 2+2=x2+22+1x2+2-0=t2+1t-0.
這可看成定點(diǎn)A﹙0，-1﹚到動(dòng)點(diǎn)P﹙t，t2﹚的斜率k，而點(diǎn)P在拋物線s=t2上，注意到這里,t∈［2，+∞).由圖可知，k≥322,從而函數(shù)y=x2+3x2+2的值域?yàn)?22，+∞.
點(diǎn)評(píng)：學(xué)生4想象豐富，巧變斜率；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答此題，更加直觀明了.
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，探究一題多解，就是引導(dǎo)學(xué)生從多角度去認(rèn)識(shí)這個(gè)問題，全面考慮這個(gè)問題，比較各種方法的作用與優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)解題的核心問題與共同本質(zhì)，從而達(dá)到培養(yǎng)思維的深刻性與廣闊性的目的.
二、反問
例如，已知：α，β是銳角，且sinα=55,sinβ=1010，求α+β.
學(xué)生1：α+β=π4.
學(xué)生2：α+β=π4或α+β=3π4.
反問：為什么兩人所得答案不同？
學(xué)生3：得到這兩種不同的答案，是因?yàn)閷?duì)相同的范圍(0,π)，余弦是單調(diào)函數(shù),滿足條件的解只有一個(gè)，而正弦函數(shù)則不然.
追問：正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與自變量的取值范圍緊密相關(guān).誰(shuí)能進(jìn)一步考查α+β的范圍？
學(xué)生4：事實(shí)上，α，β為銳角，由sinα=55
追問：?jiǎn)栴}得到解決，我們有何啟發(fā)？
學(xué)生4：①要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確確定函數(shù)定義域非常重要.②若角的范圍在(0,π)，取余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好.
反問：若角的范圍在(-π,π)，取余弦函數(shù)與正弦函數(shù)哪個(gè)好？
學(xué)生4：正弦函數(shù)好.
追問:選擇的根本原因是什么？
學(xué)生4:是函數(shù)的單調(diào)性.更準(zhǔn)確地說是在所給區(qū)間內(nèi)函數(shù)是否是一一對(duì)應(yīng)的.
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；解析幾何；求線段最值；曲化直
中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）07-0241-01
解析幾何中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，既有選擇題又有填空題、解答題，難度中等偏高.考查上述問題時(shí)，通?？疾楹瘮?shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及分類討論等思想方法.這就要求同學(xué)們對(duì)最值問題要做到心中有數(shù)，運(yùn)算準(zhǔn)確，爭(zhēng)取在此類問題上能夠脫穎而出.下面，就常常出現(xiàn)的幾類題型介紹一下自己的看法.
例1 已知點(diǎn)A（-3，8），B（2，2），點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，求當(dāng)|AP|+|PB|最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解析】設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1，連AB1交x軸于點(diǎn)P，則易知點(diǎn)P滿足|AP|+|PB|最小.可求得直線AB1的方程2x+y-2=0.令y=0，則x=1.故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）.
點(diǎn)評(píng)：此題考查直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)距離和的最小值，往往轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，用直線方程的方法求解.很好地把直線問題與幾何問題結(jié)合到了一起，難度不大，屬于易得分題.
例2 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+8x-6y+16=0，則x+y+1的最大值為________.
【解析】解法一：令x+y+1=t，則依題設(shè)圓C：（x+4）2+（y-3）2=9與直線l：x+y+1-t=0有公共點(diǎn)，從而■≤r=3？圯-3■≤t≤3■.故所求最大值為3■.
解法二：因?yàn)閤，y滿足C：（x+4）2+（y-3）2=9，所以可設(shè)x=-4+3cosθy=3+3sinθ（θ為參數(shù)）.所以x+y+1=3cosθ+3sinθ=3■sin（θ+■）.故所求最大值為3■.
點(diǎn)評(píng)：此題考查直線與圓位置關(guān)系問題.解法一考慮用圓心到直線距離與半徑比較大小，同學(xué)們?nèi)菀紫氲降⒁庥?jì)算準(zhǔn)確.解法二則巧妙地運(yùn)用了三角代換方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟，是較好的選擇.
例3 如圖，已知B，C為橢圓■+■=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A（-2，■）為定點(diǎn)，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+|MC|的最小值.
【解析】根據(jù)橢圓定義，有|MA|+|MC|=|MA|+（8-|MB|） =8-（|MB|-|MA|）.為使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，A、B、M三點(diǎn)共線時(shí)才可以取得，此時(shí)|MB|-|MA|≤|AB|=■，故所求最小值為8-■.
點(diǎn)評(píng)：此題考查橢圓第一定義的靈活運(yùn)用，要熟練掌握轉(zhuǎn)化變形，同時(shí)應(yīng)用了三點(diǎn)共線原理，難度稍大，屬于拉分題.
例4 P為雙曲線■-■=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=4上的點(diǎn)，求|PM|-|PN|的最大值.
【解析】根據(jù)題意，作出右圖.顯然，O1，O2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).要使|PM|-|PN|最大，即要使|PM|最大，|PN|最小，以此作出M，N具置如右圖，則容易得出|PM|-|PN|最大值為：|PM|-|PN|=（|PO1|+2）-（|PO2|-1）=3+|PO1|-|PO2=3+6=9.
點(diǎn)評(píng)：此題屬于綜合性較強(qiáng)的題型，既考查了圓的方程，又考查了雙曲線的性質(zhì).但最終還是回歸到雙曲線的定義上，充分體現(xiàn)了回歸課本的指導(dǎo)思想.
例5 點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，則當(dāng)|PA|+|PF|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
【解析】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d.要使|PA|+|PF|取得最小值，由右圖可知過A點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）.
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;
3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零;
4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;
5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法：
1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;5、參數(shù)法;6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法：
1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法：
1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：
1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)
2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)
3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。
3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。
