時間：2023-06-02 09:21:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇單項式乘以單項式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
撰寫人：___________
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期：___________
2021年初一下冊數學知識點總結北師大版【一】
多項式除以單項式
一、單項式
1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。
2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。
3、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。
4、單獨一個數或一個字母也是單項式。
5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。
6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。
7、單獨的一個非零常數的次數是0。
8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。
9、單項式的系數包括它前面的符號。
10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。
11、單項式的系數是1或―___時，通常省略數字“___”。
12、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。
二、多項式
1、幾個單項式的和叫做多項式。
2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。
3、多項式中不含字母的項叫做常數項。
4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。
5、多項式的每一項都包括項前面的符號。
6、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。
7、多項式中次數的項的次數，叫做這個多項式的次數。
三、整式
1、單項式和多項式統稱為整式。
2、單項式或多項式都是整式。
3、整式不一定是單項式。
4、整式不一定是多項式。
5、分母中含有字母的代數式不是整式；而是今后將要學習的分式。
四、整式的加減
1、整式加減的理論根據是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。
2、幾個整式相加減，關鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。
3、幾個整式相加減的一般步驟：
（1）列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。
（2）按去括號法則去括號。
（3）合并同類項。
4、代數式求值的一般步驟：
（1）代數式化簡。
（2）代入計算
（3）對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算。
五、同底數冪的乘法
1、n個相同因式（或因數）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數，n為指數，an的結果叫做冪。
2、底數相同的冪叫做同底數冪。
3、同底數冪乘法的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。
5、開始底數不相同的冪的乘法，如果可以化成底數相同的冪的乘法，先化成同底數冪再運用法則。
六、冪的乘方
1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。
2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。（am）n=amn。
3、此法則也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。
七、積的乘方
1、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。
2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）n。
八、三種“冪的運算法則”異同點
1、共同點：
（1）法則中的底數不變，只對指數做運算。
（2）法則中的底數（不為零）和指數具有普遍性，即可以是數，也可以是式（單項式或多項式）。
（3）對于含有___個或___個以上的運算，法則仍然成立。
2、不同點：
（1）同底數冪相乘是指數相加。
（2）冪的乘方是指數相乘。
（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結果相乘。
九、同底數冪的除法
1、同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。
十、零指數冪
1、零指數冪的意義：任何不等于0的數的___次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。
十一、負指數冪
1、任何不等于零的數的―p次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即：
注：在同底數冪的除法、零指數冪、負指數冪中底數不為0。
十二、整式的乘法
（一）單項式與單項式相乘
1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。
2、系數相乘時，注意符號。
3、相同字母的冪相乘時，底數不變，指數相加。
4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數一起寫在積里，作為積的因式。
6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。
（二）單項式與多項式相乘
1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。
3、積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。
4、混合運算中，注意運算順序，結果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結果。
（三）多項式與多項式相乘
1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數等于兩個多項式項數的積。
3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同號得正，異號得負”。
4、運算結果中有同類項的要合并同類項。
5、對于含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(__+a)(__+b)=__2+(a+b)__+ab。
十三、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a___-b2，即：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。
3、平方差公式可以逆用，即：a___-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式還能簡化兩數之積的運算，解這類題，首先看兩個數能否轉化成
（a+b）(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。
二項式中所有項系數之和是根據題目定的，如（2+X）乘以2的n次方所有項系數之和是每一項的二項系數乘以2的n次方的和，運用逐項求積法可以求得。
系數（coefficient），是指代數式的單項式中的數字因數。單項式中所有字母的指數的和叫做它的次數。通常系數不為0，應為有理數。
（來源：文章屋網 ）
在數學教學中，根據教材特點運用類比的方法，既可以提高課堂教學的效果，又有助于培養學生類比的能力。
一、分式與分數的類比
首先，要用與分數類比的方法導出分式概念、分式基本性質與分式的四則運算法則。一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零。為什么分母不能為零呢？因為零不能做除數，如果分子等于零，只要分母不是零，這個分數的值就是零。再把分數的概念引申到代數式來，發現分式由分子、分母與分數線構成，分母中含有字母，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在講分式的基本性質時，先通過復習分數的基本性質來進行推想。我們回憶如何做不同分母分數的加法，是先將異分母化為同分母，這是根據什么呢？根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，分式應該有 ，這里A、B、M是整式，根據分式的概念要求，由分數的基本性質應該想到。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。此外，當一個分數的分子分母有公因數時，我們就可以利用分數的基本性質，將分數中分子分母中的公因數約去，從而成為最簡分數。同理，由于分式也具有與分數相似的基本性質，所以我們也可以根據分式的基本性質將分式中分子分母中的公因式約去，化成最簡分式。（這個概念可由學生總結出）
第三，兩個分數相乘時，分子乘分子，分母乘分母；兩個分式相乘時，也應該分子乘分子，分母乘分母，除去一個分數等于乘以這個分數的倒數。同理，除以一個分式時，也應乘以這個分式的倒數。兩個同分母分數相加減時，分母不變，分子相加減；同分母分式相加減時，分母不變，分子相加減。異分母分數相加減時，要先進行通分，化成同分母分數后再加減；異分母分式相加減時，也要先進行通分，化成同分母分式，然后再加減。分數通分時，要先找各分母的最小公倍數，分式通分時，也要先找分母的最簡公分母。在解整式方程式時（特別是含有分母時），一般要先經過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化1的過程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。
二、實數和代數式的類比
首先是分類的類比，實數分成有理數和無理數，有理數分成整數和分數，整數分成正整數、零和負整數；代數式分成有理式和無理式，有理式分成整式和分式，整式分成單項式和多項式。其次是實數與整式在各自的運算律以及添括號、去括號法則等都是可以類比的，特別是在有理數乘法分配律中。當a(b+c)=ab+ac，a、b、c都換成單項式時，即可得出單項式乘以多項式的法則；當(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都換成單項式時，即可以得出多項式除以單項式的法則；當(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表單項式或多項式，即可以表示多項式乘以多項式的法則。
三、等式和不等式的類比
在講解等式和不等式時，可以根據天平的功能類比出等式和不等式的性質。
天平的杠桿相當于等號和不等號，天平的左盤和右盤相當于等式和不等式的左邊和右邊。當天平的兩邊分別增加和減少相同的質量時，天平仍然平衡，即給等式兩邊同時加上或減去一個相同的數或代數式時，等式仍然成立。當給天平的兩端同時擴大或縮小相同的量時，天平兩端仍然平衡，即給等式的兩邊同時乘以或除以一個相同的數時，等式仍然成立。
當天平傾斜時，給天平的兩端同時加上或減去一個相同的量時，天平的傾斜方向不變，即不等式具有性質1。當天平的兩端同時擴大或縮小相同的數時，天平的傾斜方向仍不變，即不等式具有性質2（對于負數另外考慮）。
四、一元一次方程和一元一次不等式的類比
首先，我們可以根據一元一次方程的概念類比推出一元一次不等式的概念，明確它們之間的相同點和不同點。其次，由于等式具有基本性質1，所以我們解方程時可以移項。同理，由于不等式也具有與等式一樣的基本性質1，所以在解不等式時，也可以移項。解法的一般步驟中前幾步都是一樣的，去分母、去括號、移項、合并同類項，包括最后一步的名稱都是一樣的：系數化為1 ，只不過由于等式和不等式在性質上的一個差別：兩邊除以同一個負數時，等式不變，而不等式的符號就要改變方向，才導致方程和不等式在最后一步上的不同。我們在教學中牢牢抓住這個不同，對學生進行強化，就會幫助學生正確掌握一元一次不等式的解法。同樣，在解方程組時，是求方程組中幾個方程的公共解，在解不等式組時，也是求不等式組內幾個不等式的公共解，這也是可以進行類比的地方。
五、相似三角形與全等三角形的類比
相似三角形與全等三角形判斷方法有聯系。在相似與全等三角形的判定中，有關角的條件都是對應角相等，有關邊的條件，全等三角形中是對應邊相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應邊相等改為對應邊成比例，就相應得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應邊相等，而判定相似三角形時，可舍去此條件。
本節課的重點是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質為基礎，同時又緊密地聯系著整式、分式的運算，也可以說它是運算問題在初中階段一次總結性，提高性綜合學習;二次根式的運算和有理化的方法與技巧，能夠進一步開拓學生的解題思路，提高學生的解題能力。
本節課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運算的綜合運用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據分式的基本性質把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學者來說，這一過程容易出現找錯有理化因式和計算出錯的問題。
教法建議
1.在知識的引入上，可采取復習引入方式，比如復習有理數的混合運算或整式的運算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應用，逐漸從數過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學中，要多出幾組題目從不同角度要求學生辨別，并及時總結。
學生特點：實驗班的A層學生(數學實施分層教學),主動學習積極性高，基礎扎實，思維活躍,,并具有一定的獨立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質疑的習慣。
教材特點：本節課是在學習了二次根式的三個重要概念(最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化)和二次根式的有關運算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法)基礎上，將加、減、乘、除、乘方、開方運算綜合在一起的混合運算的學習。
鑒于學生的特點及教材的特點，本節課主要采用“互動式”的課堂教學模式及“談話式”的教學方法，以此實現生生互動、師生互動、學生與教材之間的互動。具體說明如下：
(一)在師生互動方面，教師注重問題設計，注重引導、點撥及提高性總結。使學生學中有思、思中有獲。如本節課開始，出示書中例題1：
讓學生先進行思考，解答。然后同學說出怎樣進行二次根式的混合運算。
強調：運算順序及運算律和有理數相同。
(二)在學生與學生的互動上，教師注重活動設計，使學生學中有樂，樂中悟道。教師設計一組題目，讓學生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學說出優點(簡便方法及靈活之處)與錯誤。由于本節課主要以計算為主，對運算法則及規律性的基礎知識，學生很容易掌握而且從意識上認為本節課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學生的學習興趣及更好的抓好基礎，提高學生的運算能力，如此這般設計。
(三)在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設計，使學生學中有辯，辯中求同。如本節課中對重點問題：“分母有理化”的教學，出示一個題目，讓學生思考，找個別學生說出自己的想法，然后其它同學補充完成。
學生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導，才能達到彼此互動。正是在這一教育思想的指導下，追求學生的認知活動與情感活動的協調發展，有效地喚起學生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達到師生互動，生生互動?；邮浇虒W模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學生樂學、會學、善學，從而優化課堂教學、提高教學質量，在和諧、愉快的情景中實現教與學的共振。
對二次根式混合運算新課引入的建議
復習：
1.計算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么?多項式與多項式的乘法法則是什么?什么是完全平方式?分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項式。
完全平方式是
;。
在實數范圍內，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運用乘法法則及乘法公式可以進行二次根式的混合運算。引入新課。
對二次根式混合運算學法的建議
在進行二次根式的混合運算時，也有一個與分式運算相比較的問題，有的時候，加上團式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運用的.因此，在本節學習時，可以適當結合11.1節的內容，復習一下在實數范圍內分解因式的問題，如
這里再順便提一下，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進行到底了.可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出，等等.
一、教學目標
1.掌握二次根式的混合運算.
2.掌握乘法公式在混合運算的應用.
3.通過二次根式的混合運算，培養學生的運算能力.
4.通過例題由淺入深，層層深入，激發學生求知的欲望
二、教學設計
小結、歸納、提高
三、重點、難點解決辦法
1.教學重點：二次根式的混合運算.
2.教學難點：混合運算的應用.
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設計
1.復習，運算律及乘法分式，引導學生口答，并強調數的運算律在根式運算中的適用，引入例題.
2.通過例題由淺入深，層層深入，既提高學生學習的興趣又激發學生求知的欲望;從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規律及注意點.
3.通過大量的練習，以期形成自己所掌握的知識.
七、教學步驟
(-)明確目標
前面學過二次根式的加減法的簡單運算，但二次根式未必全是加減混合運算，它同樣會出現二次根式的加、減、乘、除方等混合運算那么二次根式的混合運算的法則是什么?又將怎樣運用它進行化簡計算，這就是本節課所要研究的問題—二次根式的混合運算.
(二)整體感知
二次根式的混合運算中，應注意運算的次序.這是進行二次根式混合運算的前提條件;通過適當地復習乘法分式，分母有理化知識，然后再進行二次根式的混合運算的教學工作，將有助于更好地學習它;同樣為了更好地理解二次根式的混合運算還可以將它與數的運算律和運算方法進行對比，以幫助學生更好地理解并準確地掌握好該知識，達到事半功倍的作用.
第一課時
(-)教學過程
【復習】
運算律在二次根式混合運算中仍適用.
各種整式乘法的法則.
乘法公式：.
.
提問：加法的交換律、結合律各是怎樣的?乘法的交換律、結合律、分配津各是什么?
強調數的運算律在根式運算中仍適用后，可引入例題.
【例題】
例1計算：
(1);
(2).
解：略.
注：①加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于學生理解和掌握.②在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，而是先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如，沒有對先進行化
重難點分析
本節課的重點是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質為基礎，同時又緊密地聯系著整式、分式的運算，也可以說它是運算問題在初中階段一次總結性，提高性綜合學習;二次根式的運算和有理化的方法與技巧，能夠進一步開拓學生的解題思路，提高學生的解題能力。
本節課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運算的綜合運用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據分式的基本性質把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學者來說，這一過程容易出現找錯有理化因式和計算出錯的問題。
教法建議
1.在知識的引入上，可采取復習引入方式，比如復習有理數的混合運算或整式的運算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應用，逐漸從數過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學中，要多出幾組題目從不同角度要求學生辨別，并及時總結。
學生特點：實驗班的A層學生(數學實施分層教學),主動學習積極性高，基礎扎實，思維活躍,,并具有一定的獨立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質疑的習慣。
教材特點：本節課是在學習了二次根式的三個重要概念(最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化)和二次根式的有關運算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法)基礎上，將加、減、乘、除、乘方、開方運算綜合在一起的混合運算的學習。
鑒于學生的特點及教材的特點，本節課主要采用“互動式”的課堂教學模式及“談話式”的教學方法，以此實現生生互動、師生互動、學生與教材之間的互動。具體說明如下：
(一)在師生互動方面，教師注重問題設計，注重引導、點撥及提高性總結。使學生學中有思、思中有獲。如本節課開始，出示書中例題1：
讓學生先進行思考，解答。然后同學說出怎樣進行二次根式的混合運算。
強調：運算順序及運算律和有理數相同。
(二)在學生與學生的互動上，教師注重活動設計，使學生學中有樂，樂中悟道。教師設計一組題目，讓學生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學說出優點(簡便方法及靈活之處)與錯誤。由于本節課主要以計算為主，對運算法則及規律性的基礎知識，學生很容易掌握而且從意識上認為本節課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學生的學習興趣及更好的抓好基礎，提高學生的運算能力，如此這般設計。
(三)在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設計，使學生學中有辯，辯中求同。如本節課中對重點問題：“分母有理化”的教學，出示一個題目，讓學生思考，找個別學生說出自己的想法，然后其它同學補充完成。
學生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導，才能達到彼此互動。正是在這一教育思想的指導下，追求學生的認知活動與情感活動的協調發展，有效地喚起學生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達到師生互動，生生互動?；邮浇虒W模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學生樂學、會學、善學，從而優化課堂教學、提高教學質量，在和諧、愉快的情景中實現教與學的共振。
對二次根式混合運算新課引入的建議
復習：
1.計算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么?多項式與多項式的乘法法則是什么?什么是完全平方式?分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項式。
完全平方式是
;。
在實數范圍內，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運用乘法法則及乘法公式可以進行二次根式的混合運算。引入新課。
對二次根式混合運算學法的建議
在進行二次根式的混合運算時，也有一個與分式運算相比較的問題，有的時候，加上團式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運用的.因此，在本節學習時，可以適當結合11.1節的內容，復習一下在實數范圍內分解因式的問題，如
這里再順便提一下，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進行到底了.可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出，等等.
一、教學目標
1.掌握二次根式的混合運算.
2.掌握乘法公式在混合運算的應用.
3.通過二次根式的混合運算，培養學生的運算能力.
4.通過例題由淺入深，層層深入，激發學生求知的欲望
二、教學設計
小結、歸納、提高
三、重點、難點解決辦法
1.教學重點：二次根式的混合運算.
2.教學難點：混合運算的應用.
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設計
1.復習，運算律及乘法分式，引導學生口答，并強調數的運算律在根式運算中的適用，引入例題.
2.通過例題由淺入深，層層深入，既提高學生學習的興趣又激發學生求知的欲望;從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規律及注意點.
3.通過大量的練習，以期形成自己所掌握的知識.
七、教學步驟
(-)明確目標
前面學過二次根式的加減法的簡單運算，但二次根式未必全是加減混合運算，它同樣會出現二次根式的加、減、乘、除方等混合運算那么二次根式的混合運算的法則是什么?又將怎樣運用它進行化簡計算，這就是本節課所要研究的問題—二次根式的混合運算.
(二)整體感知
二次根式的混合運算中，應注意運算的次序.這是進行二次根式混合運算的前提條件;通過適當地復習乘法分式，分母有理化知識，然后再進行二次根式的混合運算的教學工作，將有助于更好地學習它;同樣為了更好地理解二次根式的混合運算還可以將它與數的運算律和運算方法進行對比，以幫助學生更好地理解并準確地掌握好該知識，達到事半功倍的作用.
第一課時
(-)教學過程
【復習】
運算律在二次根式混合運算中仍適用.
各種整式乘法的法則.
乘法公式：.
.
提問：加法的交換律、結合律各是怎樣的?乘法的交換律、結合律、分配津各是什么?
強調數的運算律在根式運算中仍適用后，可引入例題.
【例題】
例1計算：
(1);
(2).
現實生活中，我們經常會遇到“似曾相識”的情境，如果把“似曾相識”的東西作比較，再加以聯想總結，可能會獲得許多意想不到的收獲. 這種“把類似問題進行比較、聯想，由一個數學對象已知的性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”的思維方法就是類比. 我們現在學習的“二次根式”，可與整式的相關知識進行類比. 我們通過下面幾例的分析，來共同感受“類比思想”的應用.
一、 “同類二次根式”與“同類項”
【解析】（1）（2）組中的二次根式被開方數相同，稱為同類二次根式；而第（3）組中二次根式，經過化簡后被開方數也相同，所以也是同類二次根式.
【感悟】七年級時確定同類項的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指數分別相同，三不看系數. 現在判斷同類二次根式的方法：一化為最簡，二看被開方數，三不看根號外的系數.
二、 “合并同類二次根式”與“合并同類項”
【感悟】整式的加減的實質就是合并同類項，而二次根式加減的實質就是合并同類二次根式；利用類比的思想可歸納二次根式加減的步驟：一化簡，二尋找，三合并.
三、 “二次根式的乘除運算”與“整式的乘除運算”
【解析】二次根式的乘除運算中，出現了類似多項式乘以單項式、多項式除以單項式，多項式乘以多項式的運算，因此整式的乘法法則和乘法公式仍然適用. 同學們自己嘗試計算.
【感悟】整式的乘除法法則類似地應用于二次根式的乘除法運算，所不同的是二次根式運算的結果不僅要不含同類二次根式，還要化為最簡. 利用乘法公式可以使二次根式運算簡單便捷.
我們“結識新朋友，不忘老朋友”，要展開聯想的翅膀，將新舊知識聯系歸類，積累數學經驗，提升學習能力. “類比思想”方法是解決陌生問題的一種常用策略，它讓我們充分開拓思路，運用已有知識、經驗，將陌生的、不熟悉的問題與已有知識和經驗類比，從而創造性地解決問題. 通過“類比”，可以使一些復雜問題簡單化；有了“類比”，我們的思維將更加開闊，今后我們還期待著會用“類比”來解決其他復雜的新問題.
數學探究性教學，是教師通過創設情境，提出課題，引導學生以探究的學習方式進行數學活動，通過質疑、探究、討論、交流問題，主動地獲取知識并應用知識解決實際問題，從而在過程與方法、情感態度等方面得到充分發展。
一、創設情境，提出課題
創設情境旨在讓學生體驗數學與自然、生活和社會有密切聯系，使數學發生在真實的世界和背景中，提高學生學習數學的興趣與參與程度。
1.以游戲創設情境
如在學習“整式的加減”時先讓學生任意寫一個兩位數，然后交換這個兩位數的十位數字與個位數字，得到新的兩位數，然后又求新的兩個兩位數和，再除以原兩位數的十位數字與個位數之和，由老師猜其結果，學生覺得很奇怪。通過游戲激發學生的求知欲望，主動參與學習。
2.以數學故事創設情境
如，在講解“有理數的乘方”運算時，結合課后閱讀材料，講述了古印度國王獎賞國際象棋發明者的故事。同學們都被故事迷住了，此時我問：象棋發明者要求國王獎給他多少顆麥粒？學生列出式子，欲得出結果時，我又告訴他們，這些麥粒能從地球到太陽鋪設一條寬10cm，厚8cm的大道，這時學生更加急不可待了。這種新異情境，刺激學生的好奇心，引起學生認知上的沖突，從而產生解決問題沖動。
3.以實際問題創設情境
在學習八年級上冊第四章的“平面圖形的密鋪”時，引導學生觀察及思考城市建設中的地板圖案，然后提出相關的平面鑲嵌問題。
4.以學生動手操作，探求規律的活動創設情境
如在學習“整式的加減”時，先讓學生用棋子擺成如圖的“小屋”，然后提問第n個圖需要多少枚棋子？以激發學生的探究熱情。
二、探究交流，深化認知
孔子曰：“不憤不啟，不悱不發?！敝挥挟攲W生的心理進入“憤”“悱”狀態時，才能激起學生濃厚的認知興趣與強烈的學習動機，把學生的學習情緒、注意力和思維活動調節到最佳效果。
在新的課堂教學中，作為教師一定讓學生體會到人類知識是如何獲得的，人類的智慧是如何發展的，而在數學教學中要做到這一點，就要豐富的情境中，讓學生思考探索，獲取知識。
如在負數的引入、同類項的合并、代數式的加減、視圖的畫法、平行線的性質等知識的獲取上，經過觀察、類比、歸納、猜想等活動自己“發現數學結論，獲得數學活動經驗”。這不但使學生獲得了應該學習的知識，而且更重要的是讓學生體會到前人是如何獲得這些知識的，這樣堅持下去必能培養學生的創新能力，而只有培養出學生創新能力時，教育才有活力，才具有發展性，才稱得上是成功的教育。
三、交流、反思與評價，深化認知
經過自主探究活動后，學生有了活動的經驗，充分利用教材上的部題，讓學生進行交流，并對獲得的數學思想方法進行反思與評價，學生主要闡述知識是如何發現的，有什么經驗教訓，教師及時給予肯定與鼓勵，并對相關活動進行評價，對已有知識進一步認知。例如在學生發現“多項式與多項式相乘法則”后，讓學生進行交流，由他們說出是怎樣“發現”的，并用自己的語言表述法則，再與“單項式乘以單項式”、“單項式乘以多項式”法則進行類比，形成知識體系。
四、知識的拓展與延伸
充分利用教材上的“試一試”、“讀一讀”、“課題學習”等材料對相關的知識進行引伸與拓展，并讓學生應用知識解決一些實際問題，培養學生的科學精神及創新與實踐能力；同時，還可以利用一些歷史名題，如：“三等分角問題”、“七巧板問題”，介紹相關知識，激發學生研究數學的熱情，豐富學生的數學文化視野及培養追求真理的科學信念。例如在學完“完全平方公式”后，先讓學生動手試一試（a+b+c）2、（a+b）3、
（a+b）4等的結果，再讓學生閱讀“楊輝三角”，教師再作適當補充。
關鍵詞： 知識結構 教學程序 優化方法
每當看到辦公室課間成群等待輔導的學生，課下老師們埋怨的聲音和無奈的表情，我常常思索如何在規定的時間內做到既不增加學生的學習負擔，又能讓學生愉快而主動地學好數學，也經常與同行探討這個問題。近兩年我和備課組同事一起在實踐中逐步摸索出一種適合我校學生的“整體―部分―整體”模式，優化課堂結構，提高課堂教學效率；優化教學程序，提高教學效率，兩者結合取得了一定的效果。
一、優化知識結構，提高教學效率
優化知識結構，主要是實行單元整體教學，備課組集體備課。按照“整體―部分―整體”的模式，把教材分成不同的知識單元，找出知識單元之間的內在聯系，靈活使用教材，通常在每章教學前按照本章教學目的和要求，設置預習學案，讓學生按照學案的知識條理粗讀全章學習內容，本章開始教師簡單介紹本章教材在初中數學教學中的地位和作用及本章的學習方法，學習每單元前，先和學生一起排出本單元的知識點，而后逐一研究，每節課把要解決的問題提前告知學生，有目的地學習，在單元小結時幫助學生由厚到薄地歸納總結，在全章的總結中再幫助學生由薄再到厚地歸納總結，從整體上把握知識。這種教學打破了完全按部就班的一節一節的學習，引導學生從總體上把握知識，高屋建瓴，通觀全局，再深入學習每一小結，最后把部分知識結構綜合為知識整體，增強學習活動的自由度和獨立性，高效地利用了學生學習的時間和空間，優化了知識結構，提高了教學效率。
案例1：蘇科版七年級下冊冪的運算雖然課時不多，本身并無多大難度，但由于學生在理解運算性質、運用運算法則方面不到位，致使在平時的做題過程中出現這樣那樣令人啼笑皆非的錯誤。冪的運算是后面學習整式乘除的基礎，無論是單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式最后都轉化為單項式于單項式的運算，而此種運算必包含冪的基本運算。相關冪的運算性質掌握得不清楚，勢必給后面的學習帶來一定的影響，冪的運算的重要性不言而喻。在教學冪的運算性質時，為了讓學生對冪的四條運算性質有十分清楚的認識，第一節課上，我首先給出四組計算題，但不要求計算，只要學生通過觀察，能說出這四組題分別是同底數冪相乘、同底數冪相除、冪的乘方還是積的乘方即可。學生通過觀察，體會這四組題就是這一知識單元要研究的四個知識要點，并感知它們的不同。教完同底數冪乘法后，把同底數冪除法提前，用對比的方法一起研究，教師講出本質，余下的由學生用類比、對比等方法獨立思考，相互討論解決。
案例2：在學習乘法公式時，平方差公式和完全平方公式一起出現，一開始就讓學生仔細觀察、辨別公式的特征。先從整體上認識乘法公式，避免學生每學一個公式時很輕松，一綜合就混淆的弊病。
通過優化教材既可以提高學生的學習興趣，又可以節省教學時間。整體教學可以把零散的知識有機結合，學生容易把握教學結構，還可以激活思維，養成良好的思維習慣，加深對知識的掌握和理解。隨著學習的深入，學生逐漸養成了良好的學習習慣和思維習慣。
二、優化教學程序，提高教學效率
課堂教學效率的高低取決于教師的課堂教學能否做到優化教學程序，激發學生的求知欲，調動學生的積極主動性。課堂教學程序為：本節課堂檢測（上節課的重點內容）―反饋預習案中的難點―利用講學稿講解本節課的重點―講練結合―反饋前節課的課堂檢測。
1.預習學案的批改與反饋是打造數學高效課堂的保障。
預習學案必須基于教師認真備課的基礎上，并要與實際教學過程相匹配，讓學生感到預習的是有價值的。老師必然辛苦，每天要準備一份預習學案和一份講學稿，而且都要認真批改，這就要求老師一定要持之以恒，我每天早晨堅持早到，在學生預習學案上交后，都會根據學生的預習質量，課前對學生的學案進行批改，給學生一個評價，一個等次，如A、B、C、D等，真正體現以學生為主體的思想，讓學生體驗、感受到自己的勞動成果，真正做到及時有效，及時概括學生中有哪些錯誤，并及時分類。在課堂上用大約5～8分鐘讓中等生尤其后進生以板演或口答的形式對所預習知識進行概括，這樣能最大限度地暴露學生預習中存在的疑難問題。在課堂上教師有重點地講解，學生有針對性地學習，效率自然提高了。這樣做老師是辛苦的，但看到學生有進步，老師再苦也值得。
2.有針對性地復習既鞏固了舊知又為新知識的汲取做好了鋪墊。
雖然部分學生當堂反饋情況不理想，但考試成績較好，因為這部分學生接受新知的能力不強，但他們經過復習和作業練習能很好地掌握當天的知識。有的學生自認為課堂上掌握得很好，作業不認真寫，回家根本不復習，成績不理想。為了調動更多學生的學習積極性，我把當堂反饋改為第二天的課前檢測，在課堂上先留5～10分鐘對前一天的知識進行當堂檢測，這就促使學生上課必須認真聽講，回家好好復習。如果多數學生內容掌握不夠好，教師下節課就要抽幾分鐘時間再次重點講解，這樣循環反復，總課時并沒有增加，但教學內容多重復了一次，這樣學生對知識的掌握更深刻，提高了課堂教學效率。
3.有效的課堂練習設計是實施數學高效課堂的保證
很多有經驗的教師在教學過程中，總是能以精心設計的問題，竭力點燃學生思維的火花，激發他們的求知欲望，并有意識地為他們發現疑難問題、解決疑難問題搭建橋梁或階梯，順利引導他們一步步登上知識的殿堂。我認為課堂問題設計應具有一定的代表性、深刻性，問題設計的深刻性是指學生解決問題時所產生的思維的深刻性，是指思維的抽象程度、邏輯水平和思維活動的深度，它集中表現為能深刻理解要領，深入思考問題，使用抽象概括，抓住事物的本質，善于總結規律，并能遷移應用。題目是做不完的，解題的方法和技巧是相通的，通過典型題目的練習，不斷提高學生歸納總結的能力。
如八年級一堂幾何練習課。
例：求證等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等.
已知：如圖，ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F.求證：DE=DF.
證明：連接AD
AB=AC，BD=CD（已知）
AD平分∠BAC（等腰三角形“三線合一”）
DEAB于E，DFAC于F（已知）
DE=DF（角平分線上的點到角兩邊距離相等）
因SDAB=AB?ED/2，SPAC=AC?DF/2，又SDAB=SDAC，易知ED=DF.用面積法證完后，然后激發學生思考，若改變D點的位置或三角形的形狀，又能得到哪些新的結論呢？學生人人動手，積極思考，終于得到了一系列新的結論。
結論一：等腰三角形底邊上的任一點到兩腰的距離之和等于腰上的高。
結論二：等腰三角形底邊延長線上的任一點到兩腰的距離之差等于腰上的高。
結論三：等邊三角形內的任一點到三邊的距離之和等于該三角形的高。
變式練習，激發了學生的求知欲，調動了學生的積極性，從而鞏固并深化了知識系統，增強了學生思維的深刻性。
總之，優化數學教學結構是實施素質教育的核心，教師在教學過程中需要不斷研究和探索。通過實踐，學生學習數學的情緒高漲，課堂學習的參與度比以前有很大的提高，學習的主動性明顯增強，學習能力大幅提高，在幾次全區統考中數學由進校時全區倒數第一成為全區前列。在今后的教學中，我將繼續摸索，不斷完善，努力做到更好。
參考文獻：
本節復習課，學生對多項式乘以多項式可轉化為單項式乘以多項式，再轉化為單項式乘法等算理重視不夠，在運算和思想方法的運用上欠缺較多，失誤不斷。雖經過復習后一般能掌握，但在應用解解題時普遍缺少應用意識，如通過因式分解后對分式約分或通過因式分解后用整體思想去解題等。
二、設計思想
1.數學課程標準（2011年版）對該知識的目標要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不得超過兩次）進行因式分解（指數是正整數）。
2.教學價值分析
因式分解的學習為分式的學習做準備，因為因式分解是分式運算和化簡、代數式的變形與轉化即恒等變形等的基礎，也是解高次方程的知識基礎；學習因式分解滲透化歸思想、培養逆向思維能力的良好素材。
3.教法分析
利用對比教學，讓學生體驗因式分解的“必要性”；利用類比教學促進學生對因式分解相關概念和公式的理解；讓學生主動暴露思維過程，及時發現思路的“故障”，深究錯誤的根源。嚴格遵循學生的認知規律，在學生的“最近發展區”設置問題，創設“認知沖突”，最大限度地激發學生的探究興趣，促進學生不斷發現、實現知識的內化，完善學生的認知結構。
4.教學預設
（1）“挖井設陷”，引發錯誤
設計與操作說明：暴露學困生知識類缺陷，暴露部分優等生不能發現同學的錯因和相應的解題規律，從而使學生的錯誤成為有價值的教學資源。題目都很簡單，以時間來定題，而不在于數量。教學時應視易錯的程度有針對性地讓不同層次的學生從錯誤中有所感悟，實現思維“進階”之目的。
①若9x2+mxy+16y2是一個完全平方式，那么m的值是 。
錯解：24。
錯解剖析：只考慮了一種情況，而完全平方式有兩個：a2+2ab+b2，a2-2ab+b2。
正確答案：24或-24。
②已知a、b、c是ABC的三邊長，且滿足a2+2b2+c2=2b（a+c），你能判斷ABC的形狀嗎？請說明理由。
錯解：能，理由如下：
a2+2b2+c2=2b（a+c）
a2+2b2+c2=2ab+2bc。
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0。
（a-b）2+（b-c）2=0
a=b，b=c
ABC是等腰三角形。
錯解剖析：在得到等式（a-b）2+（b-c）2=0后，應該是a=b且b=c，所以ABC是等邊三角形。
正確答案：能，ABC是等邊三角形。
選題說明：第1題屬于兩解問題，做題時應全面考慮。第2題是一道綜合應用題，其結果的表達易錯率較高。
（2）例題設計
設計說明與課堂操作：例題設計只有具有層次性，才能照顧到不同層次的學生，盡可能保證相關知識點的全覆蓋，盡可能做到相應知識點與題型組合的全面兼顧，保證基本題型的全面呈現；例題可視難易程度，確定讓學生講，或有目的地找準做錯且能“產生”典型錯誤的學生，充分利用這些學生的錯誤資源“刺激”學生的探究欲望，激發學生良好的復習情緒。
例1.將下列各式分解因式：
（1）24a2+54ab-36；（2）3x3y3-x2y3+2x4y；（3）-axy-ax2y2+2axz；（4）2（x+y）2-（y+x）3；（5）5a（x-y）2+10a（y-x）3。
選題意圖：本例是為了復習因式分解的提公因式法，其中例題涉及的5個小問題代表著不同的公因式類型，教師可通過本例復習“怎樣找公因式”以及“如何應用提公因式法進行因式分解”。
例2.因式分解：
（1）（x2+4y2）2-16x2y2；
（2）（a2+1）2-4（a2+1）+4。
選題意圖：通過前面例題的教學，本課時的基本知識點都已顯現，學生可能會出現思維疲勞。此時變化題型，用閱讀辨析的方式引導學生理性審視解題過程，和自己的數學理解自覺對話，探究問題的數學本質，及時糾正認知偏差。本例可先讓學生嘗試獨立完成，然后請幾個優生上臺示范，再引導學生一起討論糾錯，讓學生對“分解要徹底”留下深刻的印象。
（3）反饋矯正
設計與課堂操作說明：從課堂反饋的情況看很多學生對基礎知識重視不夠，而反饋矯正是又一次“刺激”激發好奇心的重要教學環節，同時也是對例題的一個補充與完善。課堂操作上，一般選擇學困生到黑板做，讓優等生評講，優生或教師可適當點撥，從而達到全體鞏固與反饋的目的，并及時訂正。
（4）自主小結
一．選擇題（共12小題，每題4分，共48分）
1．（2014•吉州區二模）我國許多城市的“灰霾”天氣嚴重，影響身體健康．“灰霾”天氣的最主要成因是直徑小于或等于2.5微米的細顆粒物（即PM2.5），也稱為可入肺顆粒物，已知2.5微米=0.0000025米，此數據用科學記數法表示為（）米．
A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6
2．代數式中，分式的個數是（）
A．1B．2C．3D．4
3．下列方程中分式方程有（）個．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3=a+4；（3）；（4）=1．
A．1B．2C．3D．以上都不對
4．三角形的下列四種線段中一定能將三角形分成面積相等的兩部分的是（）
A．角平分線B．中位線C．高D．中線
5．用五根木棒釘成如下四個圖形，具有穩定性的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．（2011•宜賓）分式方程的解是（）
A．3B．4C．5D．無解
7．（2013•貴港）關于x的分式方程的解是負數，則m的取值范圍是（）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0
8．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）
A．m（x+y）=mx+myB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．15x2﹣3x=3x（5x﹣1）D．x2﹣9+3x=（x+3）（x﹣3）+3x
9．（2004•聊城）方程的解是（）
A．﹣2，B．3，C．﹣2，D．1，
10．（2006•日照）已知在正方形網格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A，B兩點在小方格的頂點上，位置如圖所示，點C也在小方格的頂點上，且以A，B，C為頂點的三角形面積為1，則點C的個數為（）
A．3個B．4個C．5個D．6個
11．（2010•荊門）給出以下判斷：（1）線段的中點是線段的重心
（2）三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心
（3）平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點
（4）三角形的重心是它的中線的一個三等分點
那么以上判斷中正確的有（）
A．一個B．兩個C．三個D．四個
12．（2007•玉溪）如圖，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（）
A．50B．62C．65D．68
二．填空題（共6小題，每題4分，共24分）
13．在代數式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有_________個；單項式有_________個，次數為2的單項式是_________；系數為1的單項式是_________．
14．要使關于x的方程有的解，那么m≠_________．
15.如圖，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則∠CHD=_________．
16.（2014•鹽都區二模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科學記數法表示為_________．
17．若關于x的分式方程無解，則m=_________．
18．（2014•句容市一模）如圖，在等邊ABC中，AC=3，點O在AC上，且AO=1．點P是AB上一點，連接OP，以線段OP為一邊作正OPD，且O、P、D三點依次呈逆時針方向，當點D恰好落在邊BC上時，則AP的長是_________．
三．解答題（共8小題，19-20每題7分，21-24每題10分，25-26每題12分。共78分）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
20．（2014•崇明縣二模）解方程：+=4．
21．（2008•安順）若關于x的分式方程的解是正數，求a的取值范圍．
22．（2012•珠海）如圖，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設DN與AM交于點F，判斷ADF的形狀．（只寫結果）
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC=x°．
（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數是_________；
②當∠BAD=∠ABD時，x=_________；當∠BAD=∠BDA時，x=_________．
（2）如圖2，若ABOM，則是否存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
24．（2008•西城區一模）已知：如圖，ABC是等腰直角三角形，D為AB邊上的一點，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求證：∠B=∠EAC．
25．（2014•內江）某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．
（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？
（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？
（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？
26．（2014•濮陽二模）在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF．
思考驗證：
（1）求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明；
歸納結論：
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？（只寫結果不要證明）
探究應用：
（4）運用（1）（2）（3）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長．
參考答案
一．選擇題（共12小題）
1．解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故選：D．
2．解：分式共有2個，故選B．
3.解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3=a+4是分式方程；
（3）是無理方程，不是分式方程；
（4）=1是分式方程．
故選B．
4．解：
（1）
三角形的角平分線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（2）
三角形的中位線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積經計算得：
三角形面積為梯形面積的；
（3）
三角形的高把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（4）
三角形的中線AD把三角形分成兩部分，ABD的面積為•BD•AE，ACD面積為•CD•AE；
因為AD為中線，所以D為BC中點，所以BD=CD，
所以ABD的面積等于ACD的面積．
三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分
5．解：第一個圖形分成兩個三角形，具有穩定性，
第二個圖形根據三角形具有穩定性，左邊與上邊的木棒穩定，所以，另兩根也穩定；
第三個圖形，根據三角形具有穩定性，左邊與上邊的木棒穩定，所以，另兩根也穩定；
第四個圖形，根據三角形具有穩定性，右邊與下邊的木棒穩定，所以，另兩根也穩定，
所以具有穩定性的有4個．
故選D．
6．解：
方程兩邊乘以最簡公分母2（x﹣1）得：
x﹣1=4，
解得：x=5，
檢驗：把x=5代入2（x﹣1）=8≠0，
原分式方程的解為x=5．
故選C．
7．解：方程兩邊同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
x＜0，
﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
﹣1﹣m+1≠0，
m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故選：B．
8．解：A、不是因式分解，是整式乘法，故本選項錯誤；
B、等式的右邊不是整式的積的形式，即不是因式分解，故本選項錯誤；
C、根據因式分解的定義，此式是因式分解，故本選項正確；
D、等式的右邊不是整式的積的形式，即不是因式分解，故本選項錯誤；
故選C．
9．解：設y=，原方程可化為y2﹣y﹣2=0，
分解得（y﹣2）（y+1）=0，
解得y=2或﹣1．=2，=﹣1，
解得x=或1．
經檢驗，都x=或1是原方程的解．
故選D．
10解：C點所有的情況如圖所示：
故選D．
11．解：（1）線段的中點到線段兩個端點的距離相等，為線段的重心，正確；
（2）三角形的中線平分三角形的三條邊，所以三條中線的交點為三角形的重心，正確；
（3）平行四邊形對角線的交點到平行四邊形對角頂點的距離相等，為平行四邊形的中心，正確；
（4）利用平行可得三角形的重心把中線分為1：2兩部分，所以是它的中線的一個三等分點，正確；
故選D．
12．解：AEAB且AE=AB，EFFH，BGFH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒EFA≌ABG
AF=BG，AG=EF．
同理證得BGC≌DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故選A．
二．填空題（共6小題）
13．在代數式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有8個；單項式有5個，次數為2的單項式是ab；系數為1的單項式是a．
14．要使關于x的方程有的解，那么m≠3．
15．如圖，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則∠CHD=45°．
解：在ABC中，三邊的高交于一點，所以CFAB，
∠BAC=75°，且CFAB，∠ACF=15°，
∠ACB=60°，∠BCF=45°
在CDH中，三內角之和為180°，
∠CHD=45°，
故答案為∠CHD=45°．
16．（2014•鹽都區二模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科學記數法表示為2.5×10﹣6．
17.解：（1）x=﹣2為原方程的增根，
此時有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2），
解得m=6．
（2）x=2為原方程的增根，
此時有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（2+2）+2m=3×（2﹣2），
解得m=﹣4．
（3）方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx=3（x﹣2），
化簡得：（m﹣1）x=﹣10．
當m=1時，整式方程無解．
綜上所述，當m=﹣4或m=6或m=1時，原方程無解7．若關于x的分式方程無解，則m=﹣4或6或1．
18．（2014•句容市一模）如圖，在等邊ABC中，AC=3，點O在AC上，且AO=1．點P是AB上一點，連接OP，以線段OP為一邊作正OPD，且O、P、D三點依次呈逆時針方向，當點D恰好落在邊BC上時，則AP的長是2．
解：∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∠CDO=∠AOP．
ODC≌POA．
AP=OC．
AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案為2．
三．解答題（共8小題）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2
=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]
=2y（x+y）（x﹣y）
20．（2014•崇明縣二模）解方程：+=4．
解：設y=，
得：+y=4，
y2﹣4y+3=0，
解得y1=1，y2=3．
當y1=3時，=1，x2﹣x+1=0，此方程沒有數解．
當y2=3時，=3，x2﹣3x+1=0，解得x=．
經檢驗x=都是原方程的根，
所以原方程的根是x=．
21．（2008•安順）若關于x的分式方程的解是正數，求a的取值范圍．
解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，＞0
2﹣a＞0，
a＜2，且x≠2，
a≠﹣4
a＜2且a≠﹣4．
22．（2012•珠海）如圖，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設DN與AM交于點F，判斷ADF的形狀．（只寫結果）
：（1）如圖所示：
（2）ADF的形狀是等腰直角三角形，
理由是：AB=AC，ADBC，
∠BAD=∠CAD，
AF平分∠EAC，
∠EAF=∠FAC，
∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即ADF是直角三角形，
AB=AC，
∠B=∠ACB，
∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∠EAF=∠B，
AF∥BC，
∠AFD=∠FDC，
DF平分∠ADC，
∠ADF=∠FDC=∠AFD，
AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC=x°．
（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數是20°；
②當∠BAD=∠ABD時，x=120°；當∠BAD=∠BDA時，x=60°．
（2）如圖2，若ABOM，則是否存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
解：（1）①∠MON=40°，OE平分∠MON∠AOB=∠BON=20°
AB∥ON∠ABO=20°
②∠BAD=∠ABD∠BAD=20°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=120°
∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∠BAD=80°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=60°
故答案為：①20②120，60
（2）①當點D在線段OB上時，
若∠BAD=∠ABD，則x=20
若∠BAD=∠BDA，則x=35
若∠ADB=∠ABD，則x=50
②當點D在射線BE上時，因為∠ABE=110°，且三角形的內角和為180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此時x=125．
綜上可知，存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角，
且x=20、35、50、125．
24．（2008•西城區一模）已知：如圖，ABC是等腰直角三角形，D為AB邊上的一點，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求證：∠B=∠EAC．
證明：ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
AC=CB．
∠ACB=∠DCE=90°，
∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．
在ACE和BCD中，
，
ACE≌BCD（SAS）．
∠B=∠EAC（全等三角形的對應角相等）
25．（2014•內江）某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．
（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？
（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？
（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？
解：（1）設今年5月份A款汽車每輛售價m萬元．則：
，
解得：m=9．
經檢驗，m=9是原方程的根且符合題意．
答：今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；
（2）設購進A款汽車x輛．則：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
x的正整數解為6，7，8，9，10，
共有5種進貨方案；
（3）設總獲利為W元，購進A款汽車x輛，則：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
當a=0.5時，（2）中所有方案獲利相同．
此時，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛時對公司更有利．
26．（2014•濮陽二模）在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF．
思考驗證：
（1）求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明；
歸納結論：
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？（只寫結果不要證明）
探究應用：
（4）運用（1）（2）（3）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長．
1）證明：∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∠C+∠ABD=180°，
∠ABD+∠DBF=180°，
∠C=∠DBF，
在DEC和DFB中，
DEC≌DFB，
DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
證明：連接DA，
在ACD和ABD中
，
ACD≌ABD，
∠CDA=∠BDA=60°，
∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∠BDF=∠CDE，
∠GDB+∠BDF=60°，
在DGF和DEG中
，
DGF≌DEG，
FG=EG，
CE=BF，
CE+BG=EG．
（3）解：∠EDG=（180°﹣α），
（4）解：過C作CMAD交AD的延長線于M，
在AMC和ABC中
，
AMC≌ABC，
AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
AD=6，
由勾股定理得：DE=3，
DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3，
“探究性教學”的課堂教學，就是要在高中教育教學中創造一種符合學生認識規律的、輕松和諧的研究氣氛與環境，讓學生通過自己的活動與探究去“發現”知識，通過群體間的交流與反思去領悟數學思想方法，使教師在活動方案的設計和教學過程中得到教育體驗。國內外眾多的教育理論都強調要實現學生潛力的最大開發，提出以學生為中心，發展為本，注重激發師生的創造性，在日常教學中總結了探究性教學的新課堂教學模式，包括活動、探究、交流、反思四個環節。
上述的“活動、探究、交流、反思”只是教學模式的主線，操作中并非四個環節逐個進行，就算一節課完成了。而是可以經歷多次循環上升的過程，而且這四個環節在順序上也并非是一成不變的，操作中應注意其精神實質而非固定的程序。
我們認為，以“活動、探究、交流、反思”為主線的教學充分體現了“在實踐中探索，在探索中反思，在反思中創造”的教學理念。那么，如何在教學中引導學生進行探究式學習呢？
一、以問題作為教學的出發點
教師在設計教學方案時，不應只直接以感知教材為出發點，而應把教材上例題、習題和公式、定理等知識點改編成需要學生探究的問題，喚起學生解決問題的欲望，激發學生探究興趣，進而培養學生的問題意識和解決問題的能力。
如講“同底數冪”的乘法這節課時，若從感知教材出發，則通常是像教材那樣，先給出一些具體的材料，然后給出以字母為底數的例子，最后歸納出同底數冪的乘法法則，這樣的歸納實質上就法則論法則，缺乏啟發性，難以引起學生的探究興趣，而且法則背后的豐富思想內涵沒有充分體現。如果先提出探究問題，即讓學生思考如何計算，學生中易出現兩種答案。誰是誰非？學生的探究欲望被喚醒，紛紛計算、猜測、討論，從不同角度尋求解決辦法。這樣，由計算這一問題，激發了學生已有認知結構中的有關觀點（多項式乘法、有理數乘法、有理數乘方等）與當前的課題（單項式乘法）之間的沖突，不但吊起了學生的“胃口”，還為學生的探究性活動指明了方向，并與以后的單項式乘法聯系在一起，構成了整節教材的探究脈絡。
二、把教師教的過程設計成學生對數學問題進行探究、解決的過程
教師應向學生提供許多現實的、有趣的、富有挑戰性的數學學習內容，這些內容取材于學生的生活經驗，符合學
生的身心發展規律，成為學生主動從事觀察、猜測、實驗、合作交流等數學活動的主要素材。這些內容的呈現方式豐富多彩，構成了“問題情境――建立模型――解釋、運用與拓展”的基本教學模式。因此，教師要創造性地使用教材，設計適合學生發展的教學過程，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，鼓勵學生自主探索與合作交流。這就意味著教學要體現探究式學習的教學理念，改變傳統教學中“教師講，學生聽”，教師先操作示范，學生再模仿練習的做法。例如，教學“分母有理化”時，教師先創設問題情境，讓學生計算近似值。有的學生通過查表得出答案，這時學生已感到了多位數除數帶來的麻煩。教師乘機啟發學生能否避免這種麻煩？學生的探究欲望被這個開放性問題喚醒，紛紛進行嘗試。此時教師再引導學生觀察、操作、交流和概括。學生討論后知道，要避免麻煩的計算，應設法使分母不帶根號，如何去根號呢？學生有的想到平方，但此時分式的值變了；有的想到利用分式的性質，把分子和分母都乘以相同的根式，則可使分配中的根號轉移到分子上；有的則先優化分母，再計算，也作了類似的討論。這時教師要進一步強化學生積極的學習體驗，引導學生自我構建，即找規律，找模式，形成表達式，使學生享受成功的喜悅。在獲得了簡便計算后，教師要啟發學生找這類問題的共性，即這時引入分母有理化和有理化因式這兩個概念就水到渠成了。進一步啟發則可讓學生再探究如何計算。這樣通過不斷的探究，學生逐步建立了分母有理化的模型，思維得到了深化。最后，教師還要讓學生交流總結，在小組或全班展示自己的思維、過程和成果，增進合作意識，引導學生反思自己的數學學習過程的情況和成長的歷程，使學生認識自我，建立信心。
三、從不同材料的實際出發構建探究性學習的基本教學模式
學生的學習是接受與建構并存的，在實踐中，我們感到學生學習既不是單純累積的，也不是純粹建構的，而是接受與建構并存的。它是一個在教師啟發引導下的主動建構的過程。知識的真正理解與有效應用不僅需要學生觀念上的認同和理解，而且需要經過一定強度的訓練，使之達到系統化、結構化、策略化和自動化的目的。
(一)知識教學點
1.掌握：什么樣的項是同類項.
2.了解：了解同類項可以合并.
3.應用：會合并同類項，會利用合并同類項的知識解決一些實際問題.
(二)能力訓練點
通過例題的講解與訓練，使學生熟練進行同類項的合并.
(三)德育滲透點
通過由數的加減推廣到同類項的合并，可以培養學生由特殊到一般的思維規律.
(四)美育滲透點
通過合并同類項，學生們能明顯地感覺出數學的簡潔美.
二、學法引導
1.教學方法：采用引導發現法，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題與學生共同探索，以調動學生求知的積極性.
2.學生學法：練習同類項練習鞏固
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點：同類項的概念;合并同類項的法則.
2.難點：理解同類項的概念中所含字母相同，且相同字母的次數相同的含義.
3.疑點：同類項與同次項的區別.
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀(電腦)、自制膠片.
六、師生互動活動設計
教師出示探索性練習，學生從練習中尋找簡潔方法，得出同類項概念，教師出示鞏固性練習，學生以多種形式完成.
七、教學步驟
(一)提出問題，創設情境
師：提出問題，(出示投影1)
求多項式的值，其中，.
學生活動：學生在練習本上完成，教師巡視，然后指定一個直接代入求值的學生在黑板上板演.
解：當，時，
.
師提出問題：在上述的運算過程中，你發現了什么?怎樣做簡單些?
學生活動：根據學生板演，可發現，在上述解題的運算過程中，幾次計算的值，因此可把看成一個整體，先計算的值后，再做整體代入，根據學生敘述的教師做相應板書：
解：當，時，
.
當時，.
師：通過上面的計算，根據乘法對加法分配律，你又發現了什么?怎樣計算簡單些?
學生活動：根據定律的提出，學生很快發現如下解法
.
師：根據你的發現，能否找到解上述題目更簡單的方法.
學生活動：小組討論，找出簡單方法的小組可推選代表發言.學生能發現，在中，是的值，-3，2，-3是原多項式各項的系數，所以原式，再代入、的值，計算更簡單.
教師根據學生的回答，加以歸納并指出：這三項可以合并成一項.
【教法說明】教師先提出問題，因前面學習了求代數式的值，學生可直接代入求得，接著教師提出，你通過求值發現了什么?怎樣更簡捷的求值呢?引導學生做一步步的深入探索，使學生能積極地、主動地參與教學活動.
(二)探索新知，講授新課
師再提出問題：為什么可合并成一項，可合并成一項嗎?
學生活動：同桌同學進行討論，看哪桌首先得出結論，然后找首先得出結論的一個學生回答，另一個學生可以做補充.
教師歸納：可合并成一項，因為它們三項中都含、兩個字母，并且的指數都是2，的指數都是1.因為只有這樣，才能保證字母部分代表同一個數;而則不能合并，因它們兩項中，雖都含一個字母，但第一項的指數是2，而第二項的指數是1，兩項中同一個字母的指數不相同，字母部分不能代表同一個數，所以不能合并.能合并處理，我們把，，是同類項，小組討論，什么是同類項?選學生代表發言，再相互進行更正補充.
教師歸納：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項是同類項，而-3，2不含字母，但也能合并成一項-1，因為它們也是同類項.
[板書]
【教法說明】引導學生通過做練習，先發現了同類項的特點，然后歸納得到同類項的概念，這種認識規律符合從具體到抽象的一般認識規律.
鞏固練習：(出示投影2)
1.(口答)下列各題中的兩項是不是同類項?為什么?
(1)與;(2)與;(3)與;
(4)-12與120;(5)與;(6)與;
(7)與;(8)與;(9)與;
(10)與;
2.能不能說：“兩個單項式的次數相同，所含字母也相同，它們就是同類項”?舉例說明.
學生活動：由學生搶答，對回答不準確或不全面的，同組同學給予補充.
【教法說明】同類項的概念是重點，對同類項的兩個條件缺一不可的理解又是一個難點.為此在得出同類項的概念之后，安排學生做此組練習題，可以更深刻地理解概念的內涵，并使學生有一個清楚的認識，下面讓學生說出是與不是同類項的原因，對培養學生分析能力，大有好處.
師：通過上述實例及對練習的解答，我們可以得到這樣一個結論，只要多項式中有同類項，就可以把它合并成一項，這種運算過程，叫做合并同類項.
[板書]合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項.
師提出問題：是怎樣合并同類項的?
學生活動：小組討論，然后找學生回答.說的不全面、不嚴密時可再找其他的同學做補充.
師歸納：當學生回答全面后強調，合并同類項的過程實質上就是同類項的系數相加的過程，在系數相加時，不要遺漏符號，字母和字母的指數都不變.
[板書]合并同類項法則：同類項系數相加，所得結果作為系數，字母和字母指數不變.
【教法說明】通過讓學生做上面的實例，學生對怎樣合并同類項的問題已有較深刻的印象，但還不能用完整的數學語言將其敘述出來，這時教師就積極引導，讓學生動腦思考，總結發現法則，培養學生的語言敘述能力和邏輯思維能力.
例1(出示投影3)
合并下列各式的同類項
(1);(2);
學生活動：教師不給任何提示，學生在練習本上完成，然后同桌同學互相交換評判.
變式訓練：把例1的兩個式子分別加上兩項為(出示投影4)
(1);(2).
學生活動：在練習本上獨立完成，然后小組互相交換打分，學生回答正確答案，并評出優勝小組.
【教法說明】根據前面所學的知識，學生完成例1是沒什么困難的，而在完成例1的變式訓練題時，也就是輕而易舉之事了，學生獨立完成后交換評判打分，可以及時反饋學生對該部分知識的掌握情況，以便做好調節回授工作.
例2(出示投影5)
合并下列多項式的同類項
(1);(2).
學
生活動：此多項式項數較多，先讓學生觀察，找出同類項，指定學生回答.
師：在屬于同類項的下面標上記號.
學生活動：在練習本模仿教師的做法標出(2)題的同類項，一名學生在黑板上板演，其余的同學在練習本上完成，做完后，同桌同學互相檢查評定，然后教師邊引導邊板演出(1)題較規范的解題格式，說出每一步變形的依據，待板演完畢，讓學生模仿(1)題教師板書的格式，一個學生在前面板演(2)題的解題過程，其他學生在練習本上做，隨后師生共同訂正.
師提出：在上述例題中，已合并同類項的多項式，還有沒有同類項?(2)題中的沒有同類項，在合并同類項過程中該怎么辦?
學生活動：小組討論后選代表回答：經過合并同類項后的多項式不存在同類項，在合并同類項時某項沒有同類項要把它照抄下來.
【教法說明】通過學生對例2的解答，教師讓學生自我探索求知，促使學生在實際解題過程中，發現規律，掌握解題方法.
例3(出示投影6)
合并多項式的同類項
學生活動：學生有了解例2的基礎，教師不做任何提示，學生在練習本上完成，看誰做的又快又準確，同時讓兩個學生在黑板上完成此題.
然后，師生一起給兩個學生的解答給予肯定或更正.
師提出問題：通過例3的完成，我們發現合并同類項后的式子是單項式，為什么?若把上面多項式變式為，合并同類項后得什么?
學生活動：同桌的同學先進行討論，然后找學生回答教師提出的問題.
【教法說明】例3的解答完成可以放后讓學生做，學生一般能正確完成，但學生不注意每一步運算的依據，學生完成后，教師提出為什么?學生可能回答困難，這時教師要引導觀察總結.其實是因為，系數相加后為，，而零乘以任何數等于0，而0加上一個數仍得這個數，因此0可不寫，只寫出單項式.而變式后的多項式，合并后就為0;讓學生體會為什么這個要寫0.
(三)嘗試反饋，鞏固練習
(出示投影7)
1.(口答)合并下列各式的同類項
(1);(2);
(3);(4).
2.下列各題合并同類項的結果對不對，指出錯在哪里?
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
3.合并下列各式的同類項
(1);(2);
(3);(4).
學生活動：1、2題，學生口答，可按座位順序解答，也可搶答，3題學生在練習本上完成，不許同桌商量，完成后互相打分.
【教法說明】1、2題學生口答，特別是第2題，不但要回答對與否，還要指出錯在哪里，可訓練學生嚴密的數學思維，然后2題中錯的再改正，既調動了學生的積極性，也培養了學生的逆向思維和發散思維.3題讓學生自己完成打分評判，可以及時發現問題，及時反饋，以便做好回授調節.
(四)變式訓練，培養能力
(出示投影8)
1.把，各當作一個因式，合并各式中的同類項：
(1);(2);
(3).
2.合并同類項(，是正整數)
(1);(2);
(3).
3.若與是同類項，則，.
學生活動：學生按要求在練習本上完成，指定二、三個學生在黑板上完成解題過程，然后再讓別的學生到前面給黑板上完成的情況打分，并把錯誤的改正確，教師做簡捷的評判.
【教法說明】1題是把上面題目中一個字母變式為兩個字母的代數和;2題各項的指數由數字指數變式為字母指數.這樣訓練可使學生對同類項概念的理解更進一步;3題是在學生能判斷幾項是否是同類項的基礎上變式為已知兩項是同類項，則指數滿足的條件，通過本題訓練，可培養學生的逆向思維能力.
(五)歸納小結
師：今天我們學習了同類項的概念及合并同類項的法則，現在我們一起歸納一下本節的內容.
1.合并同類項法則：
(1)同類項：所含字母相同，且相同字母的指數也相同的項.
(2)怎樣合并同類項：同類項的系數相加后的結果作為系數，字母和字母指數不變.
2.合并同類項后的結果仍是整式，但不能再有同類項.
3.同類項及合并同類項的知識在以后的學習中有著重要的應用.我們可以逐步體會到.
八、隨堂練習
1.判斷題
(1)和是同類項()
(2)和不是同類項()
(3)和是同類項()
(4)()
(5)()
(6)()
(7)()
(8)()
2.合并同類項
(1);
(2);
(3).
3.如果和是同類項，求多項式的值.
九、布置作業
關鍵詞：新課標；引導；掌握；平方差公式
中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）26-0172-03
公式的掌握是歷年來老師們頭疼的問題，公式看似簡單，但是要想真正掌握并運用自如對學生們來說卻是個難點，而新課程標準強調數學課程的教學中，應注重培養學生的符號意識。首先，新課標（2012年版）指出學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。同時強調在數學課程中，應當注重發展學生的符號意識。其次，符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。另外，作為教育工作者，更應該在日常的教育教學中培養學生的符號意識，并正確引導其牢固掌握數學公式。本文將通過筆者的一堂公開課《平方差公式》的教學案例的展示，介紹如何引導學生牢固掌握公式。
教學目標
（一）知識與技能目標
1.經歷探索平方差公式的過程。
2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算。
（二）過程與方法目標
1.從猜想平方差公式到推倒公式的過程中，發展學生的符號感和邏輯推理能力。
2.培養學生觀察、概括、運算能力。
（三）情感與價值觀要求
從公式的猜想到推倒，及對公式結構特征的概括，感受數學嚴謹的推理和結構美。
教學重點
平方差公式的推導和應用。
教學難點
利用平方差公式的特征解決一類能使用平方差公式的問題。
教學方法
探究與講練相結合。
使學生在計算的過程中猜想公式證明公式用符號表示公式（探索公式的特征）應用公式運算
教學過程
一、創設情境，引入新課
[師]某一期的開心辭典有這樣一道速算題目，請聽題：請問21×19的結果是多少？看看哪位同學能以最快的速度得出答案。（10秒后有一位學生舉手）
[生]答案是399。利用多項式乘法法則可以得出結果21×19=（20+1）（20-1）=202-20+20-1×1=202-12=400-1=399
[師]很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將21×19中的21，19化成為有關于20和1的運算，其實還能更加簡單地得出答案，這就是本節所學習的初中數學的一個重要公式——平方差公式。
首先來回憶，多項式乘法的法則是怎樣敘述的？
[生]多項式與多項式相乘，用一個多項式的每一項去乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
給出三個計算，使學生在計算過程中，通過觀察、歸納發現規律，并用自己的語言和符號表示其規律。
利用多項式乘法計算下列各題：（1）（x+2）（x-2）；（2）（1+5a）（1-5a）；（3）（x+4y）（x-4y）。
[生]解：（1）（x+2）（x-2）
=x2-2x+2x-4=x2-4；
（2）（1+5a）（1-5a）
=1-5a+5a-25a2=1-25a2；
（3）（x+4y）（x-4y）
=x2-4xy+4xy-16y2
=x2-16y2。
觀察以上算式及運算結果，你發現什么規律？
學生基本能根據算式猜想出規律，即算式的結構特征，兩個數的和與兩個數的差相乘，等于它們的平方差，同時可用公式表示即（a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b可以表示任意的數，也可以表示單項式、多項式。
印象深刻的導入，使學生能夠以更加積極的態度投入學習，同時用多項式乘法作為鋪墊，學生能感受到知識的相互聯系，而并非無根無據，引導學生根據計算的結果得出公式的一般式。
二、公式的證明及公式特征的探索
[師]請同學們以小組為單位，討論怎樣去證明這個公式？
[生]利用多項式與多項式相乘的運算法則可以對規律進行證明，即
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
[師]因此根據公式的結果特征，由于是先求平方再求差，故稱為平方差公式。平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式。用它直接運算會很簡單，但要注意必須符合公式的結構特點才能利用它進行運算。那么為了很好地應用這個公式，我們需要了解其結構特點。
[生]公式的左邊的數a，b，數a的符號相同，數b的符號相反，公式的結果是：（符號相同的數）2-（符號相反的數）2。
這一過程是帶著學生去體驗符號表示的意義，以及感受公式的推理能力。
說明：這部分很關鍵，通過公式推導的探索，讓學生不僅知其然，還知其所以然，所以，在日常的教學中，教師應在課堂上留足夠的時間在公式的推導以加深印象。當然，學生對公式特征的觀察和歸納概括也是必不可少的，這樣相當于在課堂上給了學生一把尚方寶劍，讓學生有規律可循，同時真正使學生感受到了數學美！
三、公式的應用
使學生體會平方差公式的應用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來的方便，進一步熟悉平方差公式。
1.判斷下列式子是否可用平方差公式。
（1）（-a+b）（a+b）；（2）（-a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-c）；（4）（2+a）（a-2）；（5）（1-x）（-x-1）。
[生]只有（1）、（4）、（5）能用平方差公式。因為（1）符合平方差公式的標準形式；（4）利用加法交換律可得（a+2）（a-2），表示a與2這兩個數的和與差的積，符合平方差公式的特點；（5）同樣可利用加法交換律得（-x+1）（-x-1），表示-x與1這兩個數和與差的積，也符合平方差公式的特點。
[師]為什么（2）、（3）不能用平方差公式呢？
[生]因為在式子中，沒有符號相同的項和符號相反的項。
例1.利用平方差公式計算：
（5+6x）（5-6x）；
（x-2y）（x+2y）；
（-m+n）（-m-n）。
[師]下面我們就來做題，首先分析它們分別是哪兩個數的和與差的積的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）是5與6x這兩個數的和與差的形式；（x-2y）（x+2y）是x與2y這兩個數的和與差的形式；（-m+n）（-m-n）是-m與n這兩個數的和與差的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）=52-（6x）2=25-36x2；
（x-2y）（x+2y）=x2-（2y）2=x2-4y2；
（-m+n）（-m-n）=（-m）2-n2=m2-n2。
例2.利用平方差公式計算：
（1）（-x-y）（-x+y）；
（2）（ab+8）（ab-8）；
（3）（m+n）（m-n）+3n2。
[師]請同學們總結一下，利用平方差公式計算時應該注意哪些問題？
[生]我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點：
（1）公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式。
（2）要符合公式的結構特征才能運用平方差公式。
（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質上能應用公式。
[生]還需注意最后的結果必須最簡。
[師]同學們總結得很好！下面我們再來練習一組題。
1.利用平方差公式計算：
（1）（a+2）（a-2）；
（2）（3a+2b）（3a-2b）；
（3）（-x+1）（-x-1）；
（4）（-4k+3）（-4k-3）。
說明：螺旋式上升的例題以及緊扣例題的練習題，將公式的基本要領體現得很清楚，教師在引導學生做練習和思考的同時，要注意反復強調符號相同數的平方減去符號相反數的平方，使學生加深印象。
接著出一組題目讓學生先判斷能否利用平方差公式計算，如果能，算出結果。
說明：以上是對基本規律掌握后的提高和區別，圖示更能幫助學生理解公式的精髓。
