時間：2023-05-30 10:18:24
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一元一次方程組，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》七年級第二章“一元一次方程”和第八章“二元一次方程組”在編排上體現創新理念，改變傳統的先集中安排代數式作為預備知識、再安排方程的解法、最后安排應用問題的模式，代之以問題為線索，以方程為重點，將列方程(組)、解方程(組)及有關預備知識等有機地融入在分析、解決實際問題的過程中. 這樣的編寫充分體現了從具體的問題情境出發，使用各種數學語言表達問題，建立數學關系式，獲得合理的解答、理解并掌握相應的數學知識與技能的有意義的學習過程；凸現了將實際問題抽象為數學問題，并利用數學問題解決實際問題的模型化思想；更突出了知識的形成與應用過程，有助于教師進行創造性教學. 很明顯,課本的編寫者是頗費了一番心血和汗水的，這為新課程的教與學指明了較好的方向. 對于編者的意圖，我們教師是心領神會的. 筆者在此提出一個問題：這兩章教材編寫方式基本相同，但為什么我們在實際使用過程中收到的卻是大相徑庭的效果？下面就具體談談這個問題.
1 關于“一元一次方程”
本章把對實際問題的討論作為貫穿于全章前后的一條主線. 對一元一次方程解法的討論始終是結合解決實際問題進行的，即先列出方程，然后討論如何解方程，圍繞合并、移項、去括號、去分母幾大步驟依次展開，最后歸納出解一元一次方程的一般步驟，以此引導學生提高對一元一次方程解法的認識. 編者認為這樣的處理既符合人們對方程的認識過程，可以加強該章內容與實際的聯系，突出“列方程”在本章的地位，并且有助于消除部分學生對列方程的畏難情緒；也符合新課標的要求――“學生學習的內容是現實的，有意義的，富有挑戰性的”. 可是，這一問題的本身就需要學生具有比較扎實的數學基礎，這樣才能在較短的時間內列出方程，然后進入一元一次方程的學習. 編者明明知道“列方程”是本章的重點和難點，而這樣的編寫明擺著學生必須具有一定的列方程的能力，才能學習并掌握一元一次方程的解法. 如此，學生一上來就面臨著本章的難點. 由于上一學段只要求學生“會用方程表示簡單情境中的等量關系”，因此大部分學生列方程的能力都比較弱，故教師就得用較多的時間來進行問題情境的引入，這樣用于解方程教學的時間自然就少了. 而學生既要學“列方程”，又要學“解方程”，一心兩用，結果是一樣都學不好.
以往的經驗告訴我們，對于一元一次方程的解法，學生掌握起來其實并不感覺有特別困難. 除了在移項或去括號時造成符號錯誤、去分母中漏乘等問題，學生在學習中并沒有遇到多大的阻力. 就連一些原來基礎比較薄弱的學生也能很快學會解一元一次方程. 而對于用一元一次方程去解決實際問題倒是學生最感頭疼的. 如何理解問題情境，理清問題中的基本數量，找出相等關系列出方程，每一步都令學生不知從何下手. 這樣，教師在教學中必須首先解決這些學生感到最困難的問題后，方能進入方程的學習. 但這就違背了先易后難、循序漸進的認知規律，到頭來學生就連基本的一元一次方程的解法都難以掌握. 可能編者認為現在這種編排是突出重點，分散難點，使學生有較多機會接觸列方程，有助于解決列方程難的問題. 而教學實際的結果表明,本屆學生對一元一次方程解法的掌握程度雖不如往屆，但差距還不是很大；而碰到用一元一次方程解決實際問題時，大多數學生都表示難以理解和把握，解題時思路不夠清晰，對不同問題不知道如何區別對待. 由于學生剛邁入初中，各方面都在適應之中，而本章又安排在上半學期，因而出現這種現象是必然的. 這種編排把學生的頭都搞昏了，還談什么課堂效果？這肯定有悖于編者的初衷. 調查統計表明,學生能正確解一元一次方程的占65%，會列方程解應用題的占50%，對2.4節探究題只有30%的人會做. 面對這樣的實際，教師只能安排課余時間補習舊教材中的有關內容，讓學生慢慢地適應并逐步達到本章的教學要求，這才是真正加重了學生和老師的負擔.
2 關于“二元一次方程組”
本章同第二章“一元一次方程”一樣，在各個階段都選擇了一些比較典型的實際問題作為知識發生、發展的背景材料，可以說實際問題始終貫穿于全章. 對二元一次方程組及其相關概念的引入和對二元一次方程組解法的討論，是在建立和運用方程組這種數學模型的過程中進行的. 雖然本章也是在“列方程組”基礎上進行教學的，但由于列一元一次方程時要綜合考慮問題中的各等量關系，對剛進入七年級的學生來說，的確有一定的難度. 而列二元一次方程組時可以分別考慮兩個等量關系，分別列出兩個方程. 很明顯，這比將同一個問題列成一個一元一次方程容易. 而且，學生已有前面“列方程”的經歷這一基礎，因此我們在教學中既可以通過問題情境復習“列方程”這一重點，又可以引導學生對所列方程組的解法進行研討，起到一箭雙雕的作用. 又因為前面已學過一元一次方程的內容，學生對方程有一定的感性認識，基本上會解一元一次方程，這就為進一步學元一次方程組奠定了基礎. 8.2節的標題“消元”已點出了解方程組的核心. 因此在有關方程組解法的討論中，學生只要理解了消元的基本思想和方法，方程組就迎刃而解了.
數學學習不應僅僅是單純的知識傳授，更應注重對其中所蘊涵的數學思想方法的提煉和總結，使之逐步為學生所掌握并對他們的學習發揮指導作用. 本章教材將實際問題情境貫穿于全章，對方程組解法的討論也是在解決實際問題的過程中進行的. 這樣的編寫充分體現了解方程組的化歸思想和將實際問題抽象為數學問題，反過來又利用數學問題解決實際問題的模型化思想. 列方程組中蘊涵的數學建模思想和解方程組中蘊涵的化歸思想，是本章始終滲透的主要數學思想. 教學中不能僅著眼于具體題目、具體解題過程，更應加深對上述思想方法的領會，從整體上認識問題的本質. 筆者在本章教學后的反思中曾作過調查，95%的學生學會了解二元一次方程組，出現錯誤的地方主要是方程組化簡中的去括號或去分母，83%的學生會列方程組解應用題. 不過，對8.3節中的探究題只有42%的學生能夠完成. 究其原因，主要是對題意理解不清，有些問題情境學生也的確難以理解. 但不管怎樣，教學效果明顯優于第二章，這是不容置疑的.
綜上所述，一樣的編寫模式，不一樣的教學效果. 我們每一個問題情境的創建，每一個教學模式的設計，是否具有科學性和有效性，是否符合學生的認知規律，是否適于學生的心理特征，這些都只能在實踐中作進一步的檢驗、探索與研究. 數學教師在使用一本新的教材之時，要了解和摸清教材的特點和不足，要針對不同環境、不同基礎、不同素質學生的實際，對教材的編排和所提供的材料重新組織加工，使之符合學生的認知規律和心理特征，這樣才能提高教學效率和教學質量. 同時也希望教材編寫者多多征求第一線數學教師的意見，不斷對教材進行改進和完善. 沒有最好，但可以更好！
本課通過摸球游戲，使學生經歷二元一次方程模型的形成過程。學生在探究的過程中相互交流討論，在游戲與活動中主動探索，體驗發現帶來的快樂，同時將模型進行了內化，通過展示、交流成果，在提高了口頭表達能力，強化了自我展示的欲望，增強了運用方程模型的應用意識與能力。
二元一次方程的學習是一元一次方程的延伸與深化，也是一次函數學習的基礎。本節課是研究二元一次方程組的導入，它對進一步學元一次方程組的有關知識起到了鋪墊作用。學生已學習了一元一次方程及解法，能初步了解方程這種解決的實際問題的數學模型，并能運用一元一次方程這一模型解決簡單的實際問題。學生對于用設二元未知數解決問題的數學模型還不曾接觸，這是本節課的重點，對如何處理兩個及兩個以上變量的變化即二元一次方程的解的不確定性無法感知，這是本節課的一個難點。
教學流程如下：創建情境（體驗一元方程無法解決，必須學元方程的必要性） 活動 1：嘗試采用二元一次方程的模型解決問題（實際問題數學模型化表達） 活動2：歸納得出二元一次方程的概念及解的意義（初步歸納出二元一次方程這一數學模型的特征） 活動3：二元一次方程知識的深化與鞏固 （加深對模型的認識，體驗不確定性解及特殊解含義） 活動4 ：（主動用數學模型去解釋實際問題，作出決策）。
教學片段一：創設情景，導入新課
摸球游戲：盒子里面有若干個紅球和藍球，得分規則：摸出一個紅球得2分，摸出一個藍球得1分。（1）老師摸出2個紅球3個藍球，請同學們算算得了多少分？ （2）一同學任意摸出若干個球，同小組同學算出得分多少？ （3）如果共摸出5個球，思考共得了多少分？
提問：怎么思考的？
生：分類討論。
用表格可以表示為：
提問：最多和最少可得多少分？
（4）如果共得了20分，一共摸出多少紅球與藍球？
提問：怎么思考的？
生甲：枚舉法：全是紅球，共10個……用表格表示為：
師：有沒有其它的方法呢？可不可以用一元一次方程解呢 ？
生討論：設x個紅球，無法列方程解決。
師：如果設兩個未知數呢？設x個紅球，y個藍球，怎樣列方程呢？
討論：找相等關系：紅球得分+藍球得分=20分。方程為2x+y=20.
師：你能列出所有可能的情況嗎？
學生填表完成后思考。
師：如果得分是350分，問分別摸出了多少個紅球和藍球？
生：列表太多了，可以列方程： 2x+y=350.
師：若規則改為摸出紅球得2分，摸出藍球得3分，共得了350分，又應該怎樣解答呢？ 生：2x+3y=350.
設計說明：經歷變化過程，感受解的不確定性，體驗多個變量問題，一元方程無法求解，運用二元一次方程求解的必要性及簡便性。
教學片段二：自主探索，歸納新知
師：觀察2x+y=20與2x+3y=350這兩個方程，它們有哪些共同的特點？與一元一次方程有何不同？ 學生討論得出結論：（1）含有兩個未知數； （2）未知數的次數都是1.
師：像這樣，含有兩個未知數，并且所含有未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。適合二元一次方程的一對未知數的值稱為這個二元一次方程的一個解。
師：思考兩個未知數值的關系？與一元一次方程有何不同？
生：同時成立，缺一不可；一元一次方程只有一個未知數，而二元一次方程有兩個未知數。
一、學情分析
1、 學生初學到方程解應用題時，往往弄不清解題步驟，不設未知數就直接進行列方程或直接進行列方程或在設未知數時又單位卻又忘記寫等。
2 、學生在用一元一次方程解應用題時，可能存在分析問題時思路不同，列出方程也不同，這樣部分學生可能會懷疑自己的解法存在錯誤。實際不是，作為老師應該鼓勵學生開拓思路，在將例題時就貫穿其中，讓學生明白只要思路正確，所列方程合理，都是正確的。這樣學生在做題時就會選擇合理的思路，使得方程盡可能簡單明了。
3 、學生在用一元一次方程組解應用題時，抓不準相等關系或找出相等關系后不會列方程，甚至部分學生列出方程后不會解方程。
4 、學生在學習中可能習慣于用算術方法分析問題對于用代數方法分析應用題不適應，以至于較為復雜的應用題無法找到等量關系，隨便列式解答。
5 、學生在學習中習慣于套題型，找解題模式，而不重視分析等量關系。
二、簡單分析解一元一次方程應用題
至于解一元一次方程應用題呢？關鍵是找出代表題目全部含義的等量關系。每到應用題都包含事物的情節和數量兩個方面。都由已知條件和問題兩部分構成。同學們只有對情節和數量關系理解和掌握了，才能將數量關系概括為抽象為數學問題，正確列出方程，這就需要同學們抓住關鍵語句理清解題思路，另外，把應用題的條件和問題通過線段圖表示出來，可以使抽象的數量關系具體化，直觀化，便于理解題意，找出已知數更好的列出一元一次方程解應用題。
在一個應用題中，有時可以找出兩個或兩個以上的等式，而我們列一元一次方程能以以個代數式為依據來列方程組。這時就需要我們確定出一個既包含題目的已知數量又要能直接或間接的包含未知量的代式。確定好等式后，再分析等式左右兩邊的已知量和未知量與所求問題關系，若能通過此未知量求出所求問題，則確定此未知量為X。若出現兩個或兩個以上未知量，這時需要根據題目中其它等式找出這些未知量的關系，結合所求問題確定其中一個為X然后再用含未知數的代數式表示其它未知量。最后再根據等量關系列出方程組。
綜上所述，列方程解應用題的一般步驟為：
（1）弄清題意，找出已知條件和所述問題；
（2）根據題意確定等量關系，設未知數X
（3）根據等量關系列出方程；
（4）列方程
（5）檢驗，寫出答案
下面來看幾道例題：
例1 已知又甲，乙、丙、丁 四個數，甲比乙多3，丙比甲的2倍多7，丁比乙的2倍多5，四個數的總和為45，求這四個數各為多少?
分析：題目中已知的有: 甲=乙+3
丁=乙*2+5 丙=甲*2+7 甲+乙+丙+丁=45
未知：甲乙丙丁四個數
通過分析我們可以看出能夠包含全部題意的等式是甲+乙+丙+丁=45
右邊為45，左邊四個數均為未知數，因為只能設其中一個為x，所以分析四個數之間的關系，
故設乙為x，則甲= x+3，丁=2x+5，丙=2（x+3）+7，代入甲+乙+丙+丁=45，
可得方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]=45
解出x后，便可求出甲乙丙丁四個數.
解：設乙數為X則：（略）
當然，我們平時遇到列方程組解應用題時，還可通過畫圖，列表等幫助分析，但不管用什么形式分析，都離不開尋找等量關系。
例2 天平的兩個盤內分別盛有51g和45g的鹽，問應該從盤A內拿出多少鹽放到盤B內；才能使兩者所盛鹽的質量相等？
分析：（圖略）設應從盤A內拿出Xg鹽，列出下表
解：設應從盤A內拿出鹽Xg放到B盤內，則根據題意得，51-x=45+X
解之得：X=3
符合題意。
答：應從A盤中拿出3g鹽放到B內。
同學們在掌握了用一元一次方程解應用題的方法后，應多做一些不同層次，不同形式的列席，如模仿性的練習，發展性的練習……逐漸學會觀察比較，分析綜合的學習方法，聯系實際學會抽象，概括學會思考的方法，促進思維的提高，提高自主學習能力。
三、一元一次方程應用題的歸納。
用一元一次方程解答實際問題，關鍵在抓住問題中有關數量的相等關系，列出方程，求的方程的解后，經過檢驗，就可得到實際問題的解答。
這一過程可以簡單的表述為：
其中分析和抽象的過程通常包括：
（1） 弄清題意和其中的數量關系，用字母表示適當的未知數。
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點：本小節的重點是使學生學會用加減法解二元一次方程組.這也是一種全新的知識，與在一元一次方程兩邊都加上、減去同一個數或同一個整式，或者都乘以、除以同一個非零數的情況是不一樣的，但運用這項知識(這里也表現為一種方法)，有時可以簡捷地求出二元一次方程組的解，因此學生同樣會表現出一種極大的興趣.必須充分利用學生學會這種方法的積極性.加減(消元)法是解二元一次方程組的基本方法之一，因此要讓學生學會，并能靈活運用.這種方法同樣是解三元一次方程組和某些二元二次方程組的基本方法，在教學中必須引起足夠重視.
難點：靈活運用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計算比較簡便，這也要通過一定數量的練習來解決.
2.教法建議
(1)本節是通過一個引例，介紹了加減法解方程組的基本思想和解題過程.教學時，要引導學生觀察這個方程組中未知數系數的特點.通過觀察讓學生說出，在兩個方程中y的系數互為相反數或在兩個方程中x的系數相等，讓學生自己動腦想一想，怎么消元比較簡便，然后引出加減消元法.
(2)講完加減法后，課本通過三個例題加以鞏固，這三個例題是由淺入深的，講解時也要先讓學生觀察每個方程組未知數系數的特點，然后讓學生說出每個方程組的解法，例題1老師自己板書，剩下的兩個例題讓學生上黑板板書，然后老師點評.
(3)講解完本節后，教師應引導學生比較代入法與加減法這兩種方法，這兩種方法雖有不同，但實質都是消元，即通過消去一個未知數，把“二元”轉化為“一元”.也就是說：
這時學生對解題方法比較熟悉，但還沒有上升到理論的高度，這時教師應及時點撥、滲透化歸轉化的思想，并指出這是具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.
教學設計示例
(第一課時)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
1.使學生掌握用加減法解二元一次方程組的步驟.
2.能運用加減法解二元一次方程組.
(二)能力訓練點
1.培養學生分析問題、解決問題的能力.
2.訓練學生的運算技巧.
(三)德育滲透點
消元，化未知為已知的轉化思想.
(四)美育滲透點
滲透化歸的數學美.
二、學法引導
1.教學方法：談話法、討論法.
2.學生學法：觀察各未知量前面系數的特征，只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值后即可利用加減法進行消元，同時在運算中注意歸納解題的技巧和解題的方法.
三、重點、難點、疑點及解決辦法
(-)重點
使學生學會用加減法解二元一次方程組.
(二)難點
靈活運用加減消元法的技巧.
(三)疑點
如何“消元”，把“二元”轉化為“一元”.
(四)解決辦法
只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值即可利用加減法進行消元.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設計
1.教師通過復習上節課代入法解二元一次方程組的方法及其解題思想，引入除了消元法還有其他方法嗎?從而導入新課即加減法解二元一次方程組.
2.通過引例進一步讓學生探究是用代入法還是用加減法解方程組更簡單，讓學生進一步明確用加減法解題的優越性.
3.通過反復的訓練、歸納、再訓練、再歸納，從而積累用加減法解方程組的經驗，進而上升到理論.
七、教學步驟
(-)明確目標
本節課通過復習代入法從而引入另一種消元的辦法，即加減法解二元一次方程組.
(二)整體感知
加減法解二元一次方程組的關鍵在于將相同字母的系數化為絕對值相等的值，即可使用加減法消元.故在教學中應反復教會學生觀察并抓住解題的特征及辦法從而方便解題.
(三)教學過程
1.創設情境，復習導入
(1)用代入法解二元一次方程組的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程組，并檢驗所得結果是否正確.
學生活動：口答第(1)題，在練習本上完成第(2)題，一個同學說出結果.
上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數，將“二元”轉化為“一元”，從而得到了方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其他方法，也可以消去一個未知數，達到化“二元”為“一元”的目的呢?這就是我們這節課將要學習的內容.
【教法說明】由練習導入新課，既復習了舊知識，又引出了新課題，教學過程中還可以進行代入法和加減法的對比，訓練學生根據題目的特點選取適當的方法解題.
2.探索新知，講授新課
第(2)題的兩個方程中，未知數的系數有什么特點?(互為相反數)根據等式的性質，如果把這兩個方程的左邊與左邊相加，右邊與右邊相加，就可以消掉，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.
解：①+②，得
把代入①，得
學生活動：比較用這種方法得到的、值是否與用代入法得到的相同.(相同)
上面方程組的兩個方程中，因為的系數互為相反數，所以我們把兩個方程相加，就消去了.觀察一下，的系數有何特點?(相等)方程①和方程②經過怎樣的變化可以消去?(相減)
學生活動：觀察、思考，嘗試用①-②消元，解方程組，比較結果是否與用①+②得到的結果相同.(相同)
我們將原方程組的兩個方程相加或相減，把“二元”化成了“一元”，從而得到了方程組的解.像這種解二元一次方程組的方法叫加減消元法，簡稱“加減法”.
提問：①比較上面解二元一次方程組的方法，是用代入法簡單，還是用加減法簡單?(加減法)
②在什么條件下可以用加減法進行消元?(某一個未知數的系數相等或互為相反數)
③什么條件下用加法、什么條件下用減法?(某個未知數的系數互為相反數時用加法，系數相等時用減法)
【教法說明】這幾個問題，可使學生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優越性.
例1解方程組
哪個未知數的系數有特點?(的系數相等)把這兩個方程怎樣變化可以消去?(相減)
學生活動：回答問題后，獨立完成例1，一個學生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)檢驗一下，所得結果是否正確?
(2)用②-①可以消掉嗎?(可以)是用①-②，還是用②-①計算比較簡單?(①-②簡單)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①計算簡單還是代入②計算簡單?(代入系數較簡單的方程)
練習：P23l.(l)(2)(3)，分組練習，并把學生的解題過程在投影儀上顯示.
小結：用加減法解二元一次方程組的條件是某個未知數的系數絕對值相等.
例2解方程組
(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?(不符合)
(2)如何轉化可使某個未知數
系數的絕對值相等?(①×2或②×3)
歸納：如果兩個方程中，未知數系數的絕對值都不相等，可以在方程兩邊部乘以同一個適當的數，使兩個方程中有一個未知數的系數絕對值相等，然后再加減消元.
學生活動：獨立解題，并把一名學生解題過程在投影儀上顯示.
學生活動：總結用加減法解二元一次方程組的步驟.
①變形，使某個未知數的系數絕對值相等.
②加減消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一個未知數的值，從而得方程組的解.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習：P231.(4)(5).
【教法說明】通過練習，使學生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習中摸索運算技巧，培養能力.
4.變式訓練，培養能力
(1)選擇：二元一次方程組的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
學生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習本上完成.
【教法說明】第(1)題可以用解方程組的方法得解，也可以把四組值分別代入原方程組中，利用檢驗的方法解，這道題能訓練學生思維的靈活性;第(2)題通過分析，學生可得方程組從而求得、的值.此題可以培養學生分析問題，解決問題的綜合能力.
(四)總結、擴展
1.用加減法解二元一次方程組的思想：
2.用加減法解二元一次方程組的條件：某一未知數系數絕對值相等.
3.用加減法解二元一次方程組的步驟：
八、布置作業
(一)必做題：P241.
(二)選做題：P25B組1.
(三)預習：下節課內容.
參考答案
摘 要： 方程作為初中數學中的重要內容，以一元一次方程作為基礎，能正確求解一元一次方程顯得尤為關鍵。本文以例指出學生解方程時常見錯誤，并進行成因分析，以幫助學生提高成績。
關鍵詞： 一元一次方程 常見錯誤 成因分析
在初中數學教學中，教師一般喜歡贊美成功，不喜歡學生的錯誤。教師往往對學生出現的錯誤缺乏深入的分析與研究，對學生常見的錯誤沒有從新舊知識的銜接、學生的心理狀況等方面進行細致的成因分析，導致學生在數學學習中存在困擾。德國哲學家黑格爾曾說：錯誤本身是達到真理的一個必然的環節，由于錯誤，真理才會被發現。數學教師在教學過程中對學生的錯誤進行成因探析，可以了解學生原有認知結構上的缺陷，及時了解學生對新知識的理解、掌握情況，真正了解學生內心的想法，使新舊知識有效銜接，學生可以在教師的幫助下完善自己的原有認知，以此提高學生的數學學習效率。
1.解一元一次方程常見錯因分析
方程是表示現實世界中一類具有等量關系問題的重要數學模型，是解決實際問題的重要工具之一，也是數學學習中的最基本運算工具。它作為初中數學中的重要內容，分為一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程。一元一次方程更是最基礎的方程，是求解其他方程的必備條件，一元一次方程的解法是有理數與整式運算的綜合運用，也是今后學元一次方程組、一元一次不等式（組）及一元二次方程的基礎。而且許多方程最終都要化為一元一次方程求解，因此熟練地求解一元一次方程就顯得特別重要。但是學生學習解一元一次方程時由于粗心或對一些運算法則、概念理解不透徹，時常會出現許多錯誤，如移項忘變號、去括號出錯、去分母出錯、解含有絕對值的一元一次方程漏解。以下筆者就列舉幾個學生在作業中最容易出錯的例子，與同仁們共享，以求減少學生的錯誤。
1.1去括號錯誤。
括號前是“-”，學生去括號時沒變號導致出錯。去括號錯誤是初中學生經常出錯的地方，由于七年級學生剛從小學升入初中，數學教學中引入負數，對學生來說是一個難點，讓初學者一下子接受很困難。根據最近發展區理論，學生的原認知還停留在正數（比零大的數）上，此時新舊知識發生激烈碰撞，學生就疑惑，負數的引入自然成了學生數學學習的難點，而且馬上要進行負數的運算，符號的變換使得學生產生困惑，因此去括號時就會出錯。教師在教學時要深入挖掘學生原有認知水平，在此基礎上啟發、引導學生獲得新知識。教學要走在學生發展的前面，教學要依托學生的原有認知及心理發展水平，如果教師不進行學情分析，盲目講授新知識的，學生就會產生困惑。如教師講授去括號時可以先講授括號外面是“+”號的情況，同時強調、復習乘法分配律，復習鞏固整式的運算（合并同類項，去括號、添括號），在此基礎上將括號前的“+”變成“-”，說明負負得正，教師黑板演示，學生觀察、對比符號的變化。在此基礎上提高學生的原有認知水平，很自然過渡到括號前面是“-”的情況，教學效果可能會更好。
另外出錯原因在于學生由于看到大量括號，心里首先產生畏懼，對乘法分配律的運用不熟練而導致出錯。根據最近發展區理論，教學要走在發展的前面，因此教師教學時首先要分析學生可能出錯的地方及出錯的原因，大膽揣測學生的心理活動。對于此種題目，由于括號多形式看上去復雜，學生往往不知如何入手，運用分配律求解時容易出錯。鑒于此，教師在教學中要幫助學生渡過這個難關，鼓勵學生解題時認真、仔細，對于這種題目，求解時往往有兩種思路：一種是從里面到外面去括號；另一種是從外面到里面去括號。采取“層層剝”的方式，直到去掉所有括號，化為最簡形式，這樣學生求解化簡時才會得心應手，減少錯誤。
成因分析：例3的錯誤在于混淆等式的基本性質2（給一個等式每一項都乘以或除以同一個不為零的數，結果仍然是等式）和分數的基本性質（給分數的分子分母同時乘以同一個數，結果和原分數相等）。學生解題時由于記著去分母要給每一項都乘同一個數，但這不是去分母，僅僅是將分母的小數化為整數，沒有弄明白這兩者從而導致出錯。鑒于此種錯誤的原認知，教師教學時應該幫助學生首先回顧分數的基本性質及等式基本性質，使學生的原認知水平得到糾正，在此基礎上幫助學生建立新知識，幫助學生解決疑惑，避免此種錯誤再現。
（作者系天水師范學院數學與統計學院15級研究生）
1、第一章有理數：正數和負數、數軸、有理數的大小、有理數的加減、有理數的乘除、有理數的乘方、近似數。
2、第二章整式加減：用字母表示數、代數式、整式加減。
3、第三章一次方程與方程組：一元一次方程及其解法、二元一次方程組、消元解方程組、用一次方程（組）解決問題。
4、第四章直線與角：多彩的幾何圖形、線段、射線、直線、線段的比較、角的度量、作線段與角。
5、第五章數據的收集與整理：數據的收集、數據的整理、統計圖的選擇、從圖表中獲取信息。
（來源：文章屋網 ）
關鍵詞：自主性學習；數學教學；實踐
轉變他主性、被動性的學習狀態，把學習變成人的主體性、能動性、獨立性，不斷生成張揚、發展、提高的過程，是自主性學習的基本學習觀。凸顯學習過程中的發現、探索、研究，使學習過程成為學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程。
一、自主性學習在教學中的實踐
自主性學習的基本程序是：確定學習目標學生自學自學檢查集體討論教師講解練習鞏固課堂小結。教無定法，此模式流程可以根據不同的教學內容、教學要求及教育對象進行適當的調整和組合。
1.導讀――發現問題、提出問題、確定學習目標
在知識的導入階段，有時通過對舊知識的復習和鞏固可以讓學生自己發現學習中存在的問題，或者關聯的知識從而引出新
知；有時需要創設問題情境，有趣故事的引入，生活問題的介入，使學生感到好奇，激發學生對探求新知的欲望。
例如，在《解一元一次方程》教學中，設置兩道練習題來復習去括號和求解不含括號的一元一次方程：
（1）去括號3（x-2）+1= ；
x-（2x-1）= ；
（2）解方程3x-5=x-2x+1
再提問：3（x-2）+1=x-（2x-1）這類方程如何求解？
2.自讀、自查、集體討論――分析問題、解決問題
在確定學習目標之后，通過學生的自讀、分析、弄清知識的內在關系，充分發揮學生在學習中的主動性、創造性和獨立性。自讀之后，教師通過設問質疑以及問題的呈現，讓學生自己檢查自學的效果，檢查對新知識的認識是否全面、深刻。教學過程中鼓勵學生互相交流意見和看法、互相質疑、互相補充回答，從而在對教材內容的理解分析中優化產生共識。
例如，在《二元一次方程組的解法》的教學中，通過學生自讀，分析弄清知識的內在聯系。之后通過設計問題，讓學生解決問題。
解方程組：x=3y+2――①
x+3y=8――②
讓學生求解，解完方程組后互相探討、交流意見，之后請同學來講解。
學生1：因為方程①中x=3y+2，可用3y+2代方程②中的x，從而把二元一次方程組化為已學過的一元一次方程組，可求出y值，代入方程①便可求出x的值。
學生2：可由方程②變形為x=8-3y，再與方程①結合便可得3y+2=8-3y，從而求出y值。
學生3：可以由方程①變形為y=（x-2）/3，再把它代入方程②，轉化為關于y的一元一次方程。
學生4：可以由方程①變形為3y=x-2，再由x-2代入方程②中的3y，轉化為關于x的一元一次方程。
3.知識總結，鞏固和深化
學生在前面環節中獲得的知識是一種點型知識或線型知識，必須把這種點型知識或線型知識上升到面型知識，或者說認識要經過從個別到一般的過程，這就要求進行必要的小結。學生進行自我總結是自主性學習的重要環節。知識的深化是知識的轉化、遷移過程，可以進一步促進學生思維的發散，能力的提高。
就以上《二元一次方程組的解法》的教學案例，可以根據學生的討論結果進行設問：以上哪幾種解法是正確的，哪幾種解法是錯誤的？解二元一次方程組的一般步驟是什么？
二、自主性學習課堂教學應處理兩個關系
1.各種教學方式之間的關系
教學方式的選擇要適應教學目標。或是講授知識、或是組織引導學生自主探究發現問題，都應根據教學目標和教學內容來確定，由于教學目標和教學內容是多層和多樣化的，課堂教學中不同的教學方式是相互交織的，這就有利于不同教學方式的優勢互補。對于那些獨立而簡單的問題，教學的基本目的是知識的理解，可以采用講授式教學。此外，學生的心理準備不足，或學生缺乏一定的認知水平和技能技巧，教學方式的選擇也應以講授為主。對于那些精妙的概念原理、知識的聯系、抽象的空間以及與數的關系、觀察與實驗等教學內容，由于這些內容學生易于誤解或需要探究和檢驗，教學中可以采用教師指導下的自主性學習進行，這
有利于學生對學習內容的理解，更有利于讓學生經歷學習過程，
掌握數學的學習方法，提高學生的學習能力。
2.學生自主性學習與教師指導的關系
所謂“系統思維”就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系、相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。
初中數學中，數、式及其運算，方程與不等式，一次函數、二次函數，三角形、四邊形等等，都是一個系統。但考慮到學生發展的水平層次需要，教材也是將各部分錯落安排在了三年的不同階段中。也只有當教師進行中考總復習時，才會將各個板塊整合在一個系統下來看待，以強調其中的關聯性。那我們能否可以在平常的教學活動中就讓學生不斷地體會感悟數學知識之間的聯系系呢，比如概念課。結合區里開展的“預學先行，小組合作”教學模式，我作了以下嘗試。
二、教材內容分析
浙教版數學八下2.1《一元二次方程》是一節概念課，又是這一章的起始課，教材的處理方式是用兩個來源于生活和生產實際中的問題作為情境，由學生列出兩個一元二次方程，感受一元二次方程的產生過程，并從而得出一元二次方程的定義。
如果只從教材教的角度分析本節課的教學內容，就容易忽視各種類型方程之間的關系。對于學生來說，一元二次方程已經不是一個獨立的新的知識，只是一元一次方程向多元高次方程的一個延續。所以，應該順著方程學習的經驗，在系統的思維下審視這堂概念課，對課程資源進行有效整合，改變教學內容的呈現方式和順序，讓學生感受到數學的整體性。這種基于系統思維下的數學概念課教學，我把它理解為：舊經驗，類比遷，其義見，新知建，整體聯，橫縱延。
三、課前自學預案設計說明
1.你能任意寫一個一元一次方程嗎？你還記得一元一次方程是如何定義的嗎？
設計說明：這樣設計，由簡入手，并讓學生回憶所學，為類比一元二次方程的定義做鋪墊。
2.請你在下列五個代數式中選取兩個，用等號連接，構建盡可能多的方程。
2x+1，4，x2，y，x3
（1）請指出你所寫的方程中哪些是我們學過的，哪些是我們沒學過的？
（2）你所寫的方程中哪些是一元一次方程？
（3）你能類比一元一次方程的概念給一元二次方程下個定義嗎？
（4）你所寫的方程中哪些是一元二次方程？
（5）為了方便學習一元二次方程，預習書本后你能寫出它的一般形式嗎？
（6）你能給其他方程命名嗎？
設計說明：第2題的一連串問題是基于以下的考慮，在學生構建方程（這里針對的是整式方程）的過程中，勢必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便會心生疑惑，而我們正是要解學生這一惑，在學生已有的方程知識基礎上（一元一次方程）類比遷移出一元二次方程的概念，而同時對“元”――未知數的個數和“次”――未知數的最高次數這兩個概念更進一步深入了解，以達到可以對高次多元方程進行命名而不陌生的目的，在系統內對方程這個大家族有一個更深刻的認識。
3.學習一元一次方程時我們從哪幾方面入手？你覺得我們可以學習一元二次方程的哪些方面？
設計說明：這一問題的設置，也是建立在學生已有的方程學習經驗上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的應用等等，也是可以遷移到一元二次方程身上來的。讓學生明白方程的學習可以建立在系統的思維下，也更能深刻地理解知識都是有聯系和傳承的，學習是有經驗的。結合之前所提到的高次多元方程，雖然我們暫時不接觸類似方程，但如果學到也可以類比基礎方程的學習經驗。
四、課中研學學案設計說明
1.概念認知。同桌合作，寫出兩個方程，使方程①不是一元二次方程，并寫出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次項系數，一次項系數和常數項。
設計說明：活動的目的是為了更好得辨識一元二次方程一般形式。同桌對學，學生自主編題，教師挑選優秀自編方程板演到黑板，由其他小組同學回答相關問題。這一過程可發揮學生的自主能動性和創造力，讓學生站在命題者的高度去思考問題。恰恰也就是這些出自于學生之手的方程，是很多老師上課舉例講解的例題或是習題，而且形式各樣，并且具有代表性，學生的想象力，創造力和模仿能力超過預期。
2.解法探究。獨學完成：①已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值。
②已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根為x1=3和x2=-1，求這個方程。
設計說明：學生之前提及了一元一次方程和二元一次方程組的解的概念，再次熟悉方程學習的思維架構。設置一元二次方程的解（或根）的應用，習題難度設置具有梯度性。學生投影展示講解，增強語言組織能力，表達分析能力。
3.顆粒歸倉。設計說明：學生自主小結，回味系統思維下的方程觀，以及所學的一元二次方程。讓學生明白一元二次方程從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，并感悟數學知識是有機并相互聯系的。
五、系統思維教學感悟
一、轉化思想
二元一次方程組的解法的實質就是借助“消元”（加減消元和代入消元是兩種最常見的消元方法）的方法將“二元”轉化為“一元”.“轉化”思想就是將復雜的、陌生的問題遷移為簡單的、熟悉的問題進行求解，這是學習新知識、研究新問題的一種基本方法.
例1 已知2a2m-nb3與[-12ab12m+n]是同類項，求m、n的值.
【分析】同類項要求相同字母的指數相同，故有[2m-n=1，12m+n=3.]解得[m=85，n=115.]
【點評】本題運用了轉化的思想.第一，根據同類項的定義，將求解m、n的問題轉化為解關于m、n的二元一次方程組的問題；第二，運用“消元”的方法，將解二元一次方程組問題轉化為解一元一次方程問題.當然本題還運用了方程的思想.
二、整體思想
整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養同學們思維的靈活性、敏捷性.
例2 解方程M[2x+3y-2=0， ①2x+3y+57-2y=9. ②]
【分析】方程①②中均含有2x+3y，可用整體思想求解.
由①得2x+3y=2，③
把③代入②得[2+57]-2y=9，解得y=-4，
再把y=-4代入①，得x=7，
所以方程組的解為[x=7，y=-4.]
【點評】我們在解題過程中經常使用整體思想，整體思想使用得恰當，能提高解題效率和能力，減少不必要的計算，少走彎路.
三、換元思想
換元法在初中代數中的應用非常廣泛，它通過用一個字母表示一個整體進行變量替換，將形式簡化，從而達到化繁為簡，化隱為顯，化難為易的目的.
例3 解方程組[4x+y-3x-y=14，x+y2+x-y3=6.]
【分析】把方程組中的x+y與x-y進行整體換元，簡化方程組.
設[x+y2]=u，[x-y3]=v，則原方程組變為[8u-9v=14， ①u+v=6. ②]
由①+②×9得17u=68，u=4. 將u=4代入②中得v=2.[x+y=8，x-y=6.]解得[x=7，y=1.]
關鍵詞：數學類比思想 有效課堂教學 探析
回顧基礎教育改革所走過的十個年頭，期間出現過許多標新立異的教學模式。其中，有不少因為只注重課堂熱鬧形式，而輕視教學實質的教學模式，現已成為過去。正如教無定法，貴在得法。如何把初中數學的課堂教學上得扎扎實實，真正實現有效課堂教學呢？筆者在二十多年的教學實踐中，堅持對不同的學生和不同的教學內容選擇不同的教學模式。其中，在數學概念、法則和性質等新授課的課堂教學中，經常采用的是數學類比模式開展課堂教學。對此，筆者做了一些探究與嘗試。
一、對數學類比思想的認識
正如著名的數學教育家波利亞所說：“類比就是一種相似。”數學類比就是將兩類相似的數學對象進行比較，根據兩者相似的本質屬性，把已知的數學對象的性質遷移到另一種未知的數學對象之中。類比思想是聯系新舊知識的紐帶，有利于幫助學生開拓數學思路，找到解決問題的途徑和方法。在初中數學的教材中，有很多的概念、性質、判定和解題方法都可以采用類比模式進行教學。恰當運用類比方法，甚至還能解決一些復雜的數學問題。在運用類比時，應找準被類比的數學對象。被類比的數學對象，應該是學生最熟識、最常見和最具體的。
二、數學概念的類比
數學概念是數學之魂，是建構數學知識體系的奠基石。數學概念非常多，如果靠死記硬背去記憶概念，學生必然難以應付，自然會產生厭學情緒。其實，有很多數學概念是非常相似的，如果將它們進行類比，從中找出它們的共同點，辨別出它們的差異。這樣，學生既強化了對原有概念的認識，掌握了新知識，又建構了全面和牢固的概念體系。
案例分析1.在講授二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等數學概念，都可以一元一次方程概念作為已知對象進行類比獲取新的認知。如將一元一次方程中前面的“一”改為“二”， 就可以得出二元一次方程概念；將其后面的“一”改為“二”， 就可以得出一元二次方程概念；再將“等式”改為“不等式”就可以分別得出一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等四個概念。
這樣，以一元一次方程概念為對象，通過橫向與縱向的類比，就建構出方程與不等式的概念體系。
三、數學性質、判定和法則的類比
數學的性質、判定和法則是解決同類數學問題的一般規律，是學好數學的關鍵。學習一個新的數學性質、判定或法則時，應找到一個與它相似的數學對象進行類比，通過觀察、比較、分析和聯想，甚至猜想，從而推導出新的數學對象所具有的本質屬性。
案例分析2.異分母的分式加減法則既是分式的重點，也是難點。筆者在教學中是通過以下的類比模式來完成教學的：
教師：請同學們回顧——異分母的分數加減法則。
學生：算一算：■+■=？ ■-■=？
師生：一般地，異分母的分數相加減，先通分，化為同分母的分數，再進行加減運算。
教師：猜一猜——異分母的分式如何加減運算呢？
學生：試一試：■+■=？ ■+■=？
師生：通過運算、類比和猜想，得到異分母的分式加減法則：
文字語言：一般地，異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，再進行加減運算。
數學符合：■±■=■±■=■
這樣，以分數加減法則為類比對象，通過訓練、分析、觀察、類比和猜想，從而推導出異分母的分式加減法則。這樣，學生不但鞏固了分數的加減運算法則，掌握了新的異分母的分式加減法則，而且學生的思維能力、觀察能力和創新意識都能得到培養與提高。
四、解題方法的類比
在解決數學問題時，經常會遇到一題多解和多題一解的情況。運用類比的數學思想，很多同類的數學問題，甚至是復雜的、尚未學到的數學問題，都可以得到解決。
案例分析3. 解決可化為一元二次方程的分式方程，可以類比用可化為一元一次方程的分式方程的方法和步驟。通過去分母和化簡，將分式方程轉化為整式方程來解決。同樣，解決二元二次方程組，可以類比用解二元一次方程組的方法，通過消元、降次，把二元二次方程轉化為一元二次方程或一元一次方程。
例：解分式方程■+■+■=1
解：去分母，得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）
移項合并整理，得x2-3x+2=0
解 得x1=1 x2=2
檢 驗：把x1=1代入（x+2）（x-2）≠0
把x2=2代入（x+2）（x-2）=0
所以x=2是原方程的增根，x=1是原方程的根
將解可化為一元一次方程的分式方程的方法，可以類比到解可化為一元二次方程的分式方程；將解二元一次方程組的方法，可以類比到解二元二次方程組，確實有觸類旁通、異曲同工之效。
案例分析4.運用直接開平方法解方程x2=4（解為x=±2）的方法，可以拓展運用到解以下四個類型的方程①x2-4=0②2x2-8=0③（x+2）2=4④2（x+2）2-8=0。解將一元二次方程進行配方，實質上轉化為是直接開平方法。
案例分析5.應用因式分解法（十字相乘法）解方程x2-5x+6=0。
（（x-2）（x-3）=0？圯x-2=0 x-3=0？圯x=2 x=3）的方法，可以運用到解以下比較復雜的四個方程：①（x-2）2-5（x-2）+6=0②x4-5x2+6=0③■2-■+6=0 ④x-5■+8=0。
上述兩個案例都是以一道題目作為切入點，將它的解題思路和方法，通過舉一反三引用到解決同類型的題目。
五、類比在中考中的應用
閱讀理解題和觀察分析題是近幾年中考數學命題的熱點題型。要解決這類題型，關鍵是根據題目所提供的信息，發掘其隱含的條件，通過分析、推理、聯想與猜想，從而找到解題的思路和方法。
案例分析6.（2012年廣東省中考題）觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×1-■；
第2個等式：a2=■=■×■-■：
第3個等式：a3=■=■×■-■；
第4個等式：a4=■=■×■-■；
………………………………
請解答下列問題：
①按以上規律列出第5個等式：a5 =____
=_____；
②用含n的代數式表示第個n等式：an =___
=_____；（n為正整數）
③求a1+a2+a3+a4…+a100的值。
通過對四個等式橫向和縱向的比較，不難發現它們的相同點都含有數字■和一樣的結構特征，相關的數字都跟第n個等式的值有關，其他分母都是含有與有關的兩個連續奇數2n-1和2n+1。
其實，在初中數學教學中，還有很多教學內容可以運用類比模式。例如，二次函數圖象之間的類比，n邊形內角和=（n-2）×180與三角形內角和180的類比，矩形、正方形和菱形與平行四邊形的類比，梯形中位線與三角形中位線的類比，相似三角形與全等三角形的類比……當然，選擇類比的數學對象應恰當，要防止生搬硬套的類比。
正如波利亞所說：“類比是一個偉大的引路人。”在初中數學教學中恰當運用類比，具有承前啟后和事半功倍之效，使學生學習數學的思維和解決問題的思路能豁然開朗。為此，我們確實要用數學類比思想建構數學有效課堂教學，確實做好學生學好數學的“引路人”。
參考文獻：
[1]義務教育課程標準實驗教科書.數學七、八、九年級.人民教育出版社，2001（2）.
[2]何小亞.數學-學與教的心理學.廣州：華南理工大學出版社，2011（8）.
關鍵詞：數學；懸念；欲望
提倡素質教育、創新教育的今天，傳統教材的內容與設計思路已越來越不能適應。新課程的出現，像一場及時的春雨，煥發出勃勃的生機與活力，為廣大教師提供了學習、改革和發展的機會，同時也提出了挑戰。課堂教學依然是數學教學的主渠道，以講授法為主的傳統數學教學方法已經不能完全滿足新課程的需要。
一、從問題出發，引導學生探索新知
教師在精心研究教材的基礎上設計一系列問題，讓學生在思考、解決這些問題中獲取新的知識，使學生既能體驗探索新知的過程，又能體會成功的喜悅。如，在《多邊形的內角和》的教學中，多邊形的定義及其相關概念學生很快就能接受。但是多邊形的內角和=（n-2）180°，需要引導學生發現、總結。實踐中我是這樣做的：
請同學們先畫圖，再觀察，回答下列問題，并記入下表。
1.四邊形、五邊形、六邊形分別從一個頂點出發能引幾條對角線？這些對角線分別把四邊形、五邊形、六邊形分成多少個三角形？四邊形、五邊形、六邊形的內角和分別是多少度？
2.從1中的結果中你能分析、總結出n邊形從一個頂點出發能引幾條對角線？這些對角線把n邊形分成多少個三角形？n邊形的內角和是多少度嗎？
第1問學生很快可以解決，第2問讓學生先自己考慮5分鐘，然后讓學生分組討論，再派代表發言。教師最后總結。這樣整個公式的得出都是學生自己的勞動成果，從中還體會到多邊形的問題往往要轉化三角形來解決數學思想方法。比老師一味的講解后，再讓學生記住效果自然好得多。
二、從實驗出發，引導學生探索新知
讓學生先通過實驗得到結論，獲得感性認識，再引導學生解釋得到的結論。讓學生體會數學知識也是來源于實踐，最終還運用到實踐中去的道理。
如，在《用相同的正多邊形拼地板》的教學中，讓學生拿出預先準備好的若干張正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形。先用正三角形拼圖，你能拼出既不留空隙，又不重復的平面圖形？再依次用正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形試一試，哪些可以，哪些不可以，通過學生實驗很容易找到答案。然后引導學生思考為什么正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形能拼出既不留空隙，又不重復的平面圖形？而正八邊形不能？再讓學生分組討論，最后派代表發言。教師最后總結。這樣學到的知識學生就掌握得很牢固，讓學生思考任意相同的三角形、四邊形能拼出既不留空隙，又不重復的平面圖形嗎？為什么？對這個問題的回答也可以培養學生運用知識的能力。
三、設計懸念，激發學生的自學欲望
有些內容，教師可以通過創設情境，設計懸念，激發學生的自學欲望。既讓學生“學會”，又要培養學生“會學”的能力。
如，在《二元一次方程組的解法》的教學中，告訴學生解二元一次方程組的方法是：把二元一次方程組轉化成一元一次方程來解的。轉化的過程就是消元的過程，即把二元一次方程組中的兩個未知數消去一個未知數轉化成一元一次方程的過程。而一元一次方程我們已經掌握了，那么怎樣來消元呢？請學生看書自學。10分鐘后讓學生做練習，教師在下面巡視，把發現的錯誤都寫在黑板上，讓學生找錯誤并改正。教師最后總結，這樣學生不僅題會做了，而且做題中容易犯的錯誤也得到了解決。
四、寓學習方法于教學之中
教學生學會知識的同時，如果能滲透學習方法于教學中，使學生做一題，通一類，既能拓寬學生的解題思路，還能起到事半功倍的作用。
如，在講解習題：已知，如圖，在ABC中∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度數。
此題學生很容易解決，如能引導學生將條件∠ABC=80°，∠ACB=50°，做如下變化：
（1）∠ABC+∠ACB=130°
（2）∠BAC=50°
這樣將此題進一步變式，就深化了通過做此題學生還會總結出∠BPC與∠BAC的關系：∠BPC=■∠BAC+90°，已知∠BPC與∠BAC中的一個，可以求另一個。這樣講解例題，既能提高學生的學習興趣，也能教會學生怎樣學習，還能更深層次地掌握此題。
一、轉化思想
轉化正是在數學解題過程中經常用到的一種重要思維方法，通過轉化將那些生疏的問題轉化為自己熟悉的，把復雜的問題轉化為簡單的，把那些抽象的問題轉化為具體的。比如，在二元一次方程組解題過程當中我們常常用到的消元法，其核心的思想就是把學生們剛剛接觸到的二元一次方程組這樣的新知識轉化為他們以前較為熟悉的一元一次方程來解決問題。這就體現了在轉化過程中把未知的問題轉化為已知的問題，把較難的問題轉化為相對容易的問題來解決。如何運用轉化思想，就需要老師在課堂中通過一個個教學案例來傳授給學生這種數學思想，最終實現舉一反三，從而實現教學目標，提高他們解決實際問題的能力。
例1： 解方程組6x-3y=15 ①3x-y=13 ②
解：②×2-①得，y=11
把y=11代入①，得x=8
方程組解為x=8y=11
例1的二元一次方程式的解題過程中所利用加減消元法，把剛剛接觸到的二元一次方程組轉化成同學們以前較為熟知的一元一次方程來求解。當然，例1實際也可以通過代入消元法來最終求得x、y值，其實，這種代入消元法所體現的思想也是一種轉化思想，即將二元一次轉化為一元一次來求解。
二、整體思想
整體思想也是一種重要的數學思想，它是指把問題看成是一個個完整的整體，注重對這些問題的整體結構以及結構改造最終實現問題解決的一種思維過程，運用整體思想來解決二元一次方程組題解往往會起到改進和優化整個解題的過程，使許多常規思維下難以解決或者繁瑣的解題過程變得異常得簡單、便捷。
例2：若方程組x+y=6 ①3x-5y=-2②，則3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？
其實，這就是一道考察二元一次方程組的題解問題。可以將x+y看成一個整體A；3x-5y看成是一個整體B，那么3（x+y）-（3x-5y），實際就變成為了3A-B的求解過程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，讓整個解題過程變得簡化。
三、數形結合思想
數學家華羅庚先生說過：數形結合百般好，割裂分家萬事休。數形結合思想在中學數學教學中始終都能體現出來，這種思想的本質其實就是運用好數與形的各自特點，把需要解決的問題通過數量關系和圖形結合起來進行分析的一種解決問題的思想。具體在整個初中數學教學來看，數形結合思想主要體現在：一是建立適當的代數模型來解決有關方程；二是與函數相關的代數、幾何綜合性問題；三是以圖形的方式呈現出來的一種實際應用性問題。巧妙地運用好數形結合來解決問題的關鍵是要找準數與形的契合點，往往讓實際中難以解決的問題剎那間迎刃而解，取得事半功倍的效果。這一點，在二元一次方程的解題中表現得尤為突出。
例3：a、b、c三位學生來解120道數學題，其中，a、b、c每人都正確地解出了其中的90道題，如果把只有一學生解出的題叫做“難題”，把三個學生都解出的題目叫“容易題”。那么，是“難題”多？還是“容易題”多？多多少？
乍一看，這是一道比較難解的題，但轉念一想，我們是不是可以運用圖形結合的思想來解這道題呢。假設a、b、c三位同學都解出的“容易題”為x道，只有一位學生解出題目為“難題”，分別為y1、y2、y3個，那么難題總數為y=y1+y2+y3.由上圖我們可以很容易得出下列方程式：
x+y1+a+b=90 ①
x+y2+a+c=90 ②
x+y3+b+c=90 ③
x+y+（a+b+c）=120 ④
①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤
由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥
⑤-⑥得x-y=30。
答：“容易題”要比“難題”多，多30道。
本題并不要求解出a、b、c三位同學具體求解了多少道題，通過題目所給出的材料來看，一味地去追求具體有多少道“難題”、“容易題”也不是簡單就能求解出結果的。這時，引入圖形結合思想，既一目了然，也使整個解題思路豁然開朗起來，整個解題過程也就需要短短的幾分鐘就可以解決。
四、分類討論思想
二元一次方程組中使用到的分類討論思想，其本質就是按一定的標準將題目中的素材分成若干類，然后對每一類再進行逐一解決，從而實現最終解決整個問題的效果。不過在引入分類討論思想時需要秉持三個基本原則，即同標準、不重復、無遺漏。分類討論的步驟一般是：一明確整個對象全體；二是合理分類；三是逐類討論；四是歸納、得出結論。
例4：某彩票銷售商計劃用45000元購進20捆彩票，每捆有1000張彩票。彩票共有a、b、c三種不同的面值，其中a款是每張1.5元，b款是每張2元，c款是每張2.5元。現在若該銷售商購進2種不同面額的彩票20捆，用去45000元，請問共有幾種方案？
分析：本題主要考查的是要從a、b、c三種不同面值的彩票中選出2款，因此，共有三種組合，即a，b；a，c或者b，c。
因此，可以設購a款彩票有x張，b款彩票的有y張。那么：
x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的結果是x
設購進a款彩票有x張，c款彩票的有z張。那么：
x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的結果是x=10000①z=15000②，
設購進b款彩票有y張，c款彩票的有z張。那么：
