時(shí)間：2023-05-30 10:17:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇雙曲線的定義，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
【關(guān)鍵詞】新課改；雙曲線；焦點(diǎn)弦；第二定義
新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在以學(xué)生發(fā)展為本的理念下，要求學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，教師積極探索，轉(zhuǎn)變教與學(xué)觀念，加深對(duì)課本內(nèi)容的拓展理解和應(yīng)用。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本的一些重要問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索與研究，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試能力。雙曲線的定義和焦點(diǎn)弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時(shí)也是各類考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，角度常變，常考不衰。但在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡(jiǎn)單的應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學(xué)過程中，也往往局限于新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)和要求，沒有對(duì)這些知識(shí)做出進(jìn)一步的拓展補(bǔ)充。因此，學(xué)生往往不能對(duì)該類知識(shí)點(diǎn)做到透徹理解，巧妙應(yīng)用。為此，針對(duì)雙曲線的兩個(gè)定義及焦點(diǎn)弦問題，結(jié)合具體事例，做一些簡(jiǎn)單探討。
1 雙曲線的兩個(gè)定義
定義1：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。
定義2：平面上與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)F）的距離和一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0
例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本題是圓錐曲線中的計(jì)算問題，設(shè)雙曲線的右支上一點(diǎn)為P(x1,y1)，x1≥a，則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，由雙曲線的第二定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦點(diǎn)弦問題
2.1 焦點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)
設(shè)雙曲線方程為，離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)， 傾斜角為α，則有
當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B在雙曲線的同支上時(shí)，|cosα|
當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B在雙曲線的異支上時(shí)， |cosα|>1-e （2）
當(dāng)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，|cosα|=1-e （3）
證明：由對(duì)稱性，不妨設(shè)F為有焦點(diǎn)(c,0)
（1）由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在雙曲異支上時(shí)，由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，
，
。
2.2 弦長(zhǎng)公式
設(shè)雙曲線離心率為e，直線l經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)， 傾斜角為θ，焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，則有
當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長(zhǎng)。
當(dāng)雙曲線方程為，弦AB的長(zhǎng)。
證明：當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，焦點(diǎn)F(c,0)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為。
先推導(dǎo)弦AB所在直線的參數(shù)方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ?x按向量(c,0)平移得到的，而對(duì)直線y=tanθ?x，設(shè)x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數(shù)方程為
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t為參數(shù)），
事實(shí)上，令
=|t1-t2|。
可發(fā)現(xiàn)參數(shù)t的幾何意義為直線AB上的某段弦長(zhǎng)。
將弦AB所在直線的參數(shù)方程與雙曲線方程聯(lián)立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的幾何意義，
。
如果直線l斜率為k， 。
2.3 應(yīng)用舉例
例2已知雙曲線的左焦點(diǎn)是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在y軸的不同側(cè)，求橢圓離心率e的取值范圍。
解：由題意及上述性質(zhì)1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
參考文獻(xiàn)：
[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（實(shí)驗(yàn)）[M].北京師范大學(xué)出版社，2002
[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
雙曲線不在必修系列中的，是高中的選修2-1里的內(nèi)容。
在數(shù)學(xué)中，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個(gè)固定的點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離差是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這個(gè)固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點(diǎn)的距離。a還叫做雙曲線的半實(shí)軸。焦點(diǎn)位于貫穿軸上它們的中間點(diǎn)叫做中心。從代數(shù)上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線使得，這里的所有系數(shù)都是實(shí)數(shù)，并存在定義在雙曲線上的點(diǎn)對(duì)（x,y）的多于一個(gè)的解。注意在笛卡爾坐標(biāo)平面上兩個(gè)互為倒數(shù)的變量的圖像是雙曲線。，雙曲線的圖像無限接近漸近線，但永不相交。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
注意到橢圓與雙曲線在定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的差別僅在“和”與“差”上，因此表現(xiàn)在性質(zhì)的差異上可能就是矛盾的兩個(gè)方面。抓住這一點(diǎn)，可以先研究橢圓的幾何性質(zhì)，然后再類比到雙曲線上。為便于討論，只以焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論。
一、內(nèi)外之分
1.設(shè)橢圓 （a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Q為橢圓上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作∠F1QF2的一個(gè)外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡是圓的一部分。
證明：如圖1，QP為∠F1QF2的一個(gè)外角平分線，過F2作QP的垂線，垂足為P。延長(zhǎng)F2P與F1Q的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP為F1F2N的中位線,所以O(shè)P∥F1N且OP=a，所以P在以O(shè)為圓心，半徑為a的圓上。
上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：
設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡是圓的一部分。
本題結(jié)論本身也許并不重要，但解題依據(jù)卻是最基本的定義，題目條件中的外角平分線與內(nèi)角平分線的差別恰好就是橢圓與雙曲線在定義上區(qū)別的體現(xiàn)。
二、正余有別
1.設(shè)橢圓a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Q為雙曲線上
除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積 證明：如圖2，由橢圓定義得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|?|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|?|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：
設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積
本題結(jié)論中，兩個(gè)面積公式的不同之處僅在正切與余切的區(qū)別上，這種形式的類似既是曲線性質(zhì)規(guī)律性的反映，也是運(yùn)用類比方法的典型案例。
三、對(duì)立統(tǒng)一
1.直線y=kx+b與橢圓（a，b＞0）交于A，B兩點(diǎn)（圖3），設(shè)AB中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有
（其中e為離心率）。
證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），中點(diǎn)M（x0，y0），則有：
整理得， ，所以有上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：直線y=kx+b與雙曲線
交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（其中e為離心率）。
在學(xué)習(xí)圓錐曲線中，首先要抓住定義，只有真正理解和掌握了定義，才能找到解題思路，避免走入死胡同.
一、選擇題中定義的利用
例1 橢圓x26+y22=1和雙曲線x23-y2=1的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.
解 由條件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨設(shè)|PF1|>|PF2|），
|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接計(jì)算|PF1|，|PF2|，思路混亂，而且計(jì)算量較大.如果用橢圓和雙曲線的定義，解題過程會(huì)大大簡(jiǎn)化.
例2 F1，F(xiàn)2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為（ ）.
A圓
B橢圓
C雙曲線
D拋物線
解 延長(zhǎng)F2P交F1Q的延長(zhǎng)線于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，則點(diǎn)M（x0，y0）的軌跡方程為
（x0+c）2+y20=4a2.①
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），P為F2M中點(diǎn)，
x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.
代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.
分析 仔細(xì)作圖觀察，利用橢圓定義及角平分線，難題就不難了.
二、填空題中定義的利用
例3 拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo).
解 設(shè)待求點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），由拋物線的定義，得x0+3=9，解得x0=6.代入拋物線方程得y0=±62，所以滿足條件的點(diǎn)為（6，-62），（6，62）.
答案 （6，-62），（6，62）.
分析 利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化條件，可以減少運(yùn)算量.
例4 雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e=62，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|=.
解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，
2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，
|AB|=82.
分析 此題兩次應(yīng)用雙曲線的定義，步驟清楚簡(jiǎn)單，何樂而不為.
三、解答題中定義的利用
例5 設(shè)點(diǎn)F（2，0），動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，求滿足條件|PF|-d=2的點(diǎn)P的軌跡方程.
解 由題意，得|PF|=2+d.
當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，為|PF|=x+2，
點(diǎn)P在拋物線y2=8x上.
當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，|PF|=2-x，
有y=0（x
所求軌跡方程為y2=8x（x≥0）和y=0（x
變式 一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)過點(diǎn)（3，0），求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.
解 由已知，得（x+3）2+y2=4.
設(shè)圓心為A，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B（3，0），動(dòng)圓半徑為R，
得|MB|=R，|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2
故M點(diǎn)軌跡為雙曲線的右支，且2a=2，2c=6，
即a=1，c=3，b=22.
因此其方程為x2-y28=1（x≥1）.
例5和變式題都是用定義得出軌跡方程的，從這兩道題可以深深體會(huì)到定義的重要性.
例6 設(shè)橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），并且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓與雙曲線交點(diǎn)的軌跡.
解 設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)P（x，y），得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
將點(diǎn)P（x，y）代入，得
（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.
故所求軌跡為圓心在（5，0），半徑為3的圓，除去（2，0）和（8，0）兩點(diǎn)；或圓心在（-5，0），半徑為3的圓，除去（-2，0）和（-8，0）兩點(diǎn).
[HTH]一、加強(qiáng)定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的對(duì)比[HT]
圓錐曲線的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是全面深入理解圓錐曲線的基礎(chǔ).對(duì)其進(jìn)行全面的探討，對(duì)易混淆的概念加以對(duì)比、甄別，對(duì)帶有共性的概念加以概括，可以為解題打下堅(jiān)實(shí)的根基.
1.全面理解橢圓與雙曲線的定義
對(duì)于橢圓與雙曲線的定義、方程，教材已給出了明確的說明與推導(dǎo)，但是有一些“隱言”，我們還需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知兩定點(diǎn)F1,F2和一動(dòng)點(diǎn)M,則“|MF1|+|MF2|=2a(2a為正常數(shù))”是“點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓”的( ).
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)非充分非必要條件
[HTH]解[HT]：當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為橢圓;當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，[JP3]點(diǎn)M的軌跡不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]點(diǎn)M的軌跡為橢圓.由橢圓定義可知，反之可行.故選B.[JP]
[HTH]評(píng)注[HT]：本題易錯(cuò)選C，這不是粗心大意的問題，而是對(duì)基本概念認(rèn)識(shí)不全面、不到位.對(duì)于雙曲線的定義也需作類似的深入理解.
2.局部甄別橢圓與雙曲線的異同
高考中，與橢圓、雙曲線有關(guān)的三個(gè)常考點(diǎn)為：離心率，a,b,c的關(guān)系，雙曲線的漸近線.前者在橢圓與雙曲線中的表達(dá)形式同為e=ca，而后兩者卻相異，在橢圓中有c2=a2－b2，在雙曲線中有c2=a2+b2，且只有雙曲線有漸近線，橢圓沒有.
[HTH]例2[HT] 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)與雙曲線x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且一個(gè)交點(diǎn)為P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求橢圓的離心率的取值范圍；
(Ⅱ)若橢圓的離心率為32，求雙曲線的離心率與漸近線方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距均為c，由題意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)當(dāng)e1=32時(shí)，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是雙曲線的漸近線為y=±m(xù)nx，即y=±2x.
[HTH]評(píng)注[HT]：解決本題需要對(duì)橢圓與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及雙曲線的漸近線等概念非常清晰，否則解題思路易混亂.
3.高度概括拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形的關(guān)系
相對(duì)于橢圓與雙曲線，拋物線的形式更為多樣化，而且易引起圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線之間的混淆.其實(shí)經(jīng)對(duì)比分析，可概括為如下兩點(diǎn)：
(1)對(duì)稱軸由一次項(xiàng)決定，開口方向由一次項(xiàng)的系數(shù)決定；
(2)焦點(diǎn)與p2相關(guān)，準(zhǔn)線與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)，結(jié)合圖形可確定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]圖1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知拋物線y=－x2上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為54，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
[HTH]解[HT]：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=－y，故其對(duì)稱軸為y軸，且開口方向向下，其圖象如圖1所示，又2p=1，p2=14，由圖1知，F(xiàn)(0,－14)，拋物線的準(zhǔn)線方程為y=14.
設(shè)P(x0,y0)，則14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]評(píng)注[HT]：本題從方程回歸到圖形，借助圖形直觀快捷地解決了問題.這得益于從整體上對(duì)拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的高度概括與把握.
[HTH]二、關(guān)注與圓錐曲線相關(guān)典型結(jié)論的收集[HT]
過程繁雜，結(jié)果簡(jiǎn)潔，是解幾問題的特色.長(zhǎng)期以來吸引著眾多數(shù)學(xué)愛好者投身其中，使得一些新結(jié)果層出不窮，不少高考題就是以這些結(jié)果為背景編擬的，所以我們平時(shí)多收集一些典型的結(jié)論，對(duì)提高解題效率大有裨益.
1.與橢圓相關(guān)的一些典型結(jié)論
(1)形狀：離心率e1，橢圓越扁.
(2)同焦點(diǎn)：與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距離：①過焦點(diǎn)F2的弦長(zhǎng)中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點(diǎn)F1,與橢圓交于兩點(diǎn)A,B,則ABF2的周長(zhǎng)為定長(zhǎng)4a(兩次用定義可得)；
[JP3]③弦長(zhǎng)公式:斜率為k的直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面積：①點(diǎn)M在橢圓上,則焦點(diǎn)三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定義及余弦定理推導(dǎo))；
②直線l過橢圓的左焦點(diǎn)F1,與橢圓交于兩點(diǎn)A,B,則當(dāng)lF1F2時(shí)，ABF2的面積的最大值為2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推導(dǎo)).
(5)直線的方程：①直線l過橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)內(nèi)一點(diǎn)P(x0,y0)(非中心),與橢圓交于A，B兩點(diǎn),且點(diǎn)P平分弦AB,則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(設(shè)出A，B的坐標(biāo),代入橢圓方程后,兩式相減,代入P的坐標(biāo),可求斜率,進(jìn)而可求)；
②直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于點(diǎn)P(x0,y0),則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=1(由方程組法可得).
以上結(jié)論請(qǐng)讀者根據(jù)提示自行推導(dǎo)，這里不再詳述，對(duì)于雙曲線、拋物線的結(jié)論亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全國(guó)卷Ⅰ)[HT]橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，離心率為[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為.
[HTH]解[HT]：由結(jié)論(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，則c=2[]2，得b2=8，
故C的方程為x216+y28=1.
評(píng)注：熟悉一些典型結(jié)論便于直截了當(dāng)?shù)靥幚韱栴}.
2.與雙曲線相關(guān)的一些典型結(jié)論
(1)形狀：離心率e1，雙曲線越扁.
(2)同焦點(diǎn):與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距離：①過右焦點(diǎn)F2的弦長(zhǎng)中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點(diǎn)F1,與雙曲線左(下)支交于兩點(diǎn)A,B,則|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面積：①點(diǎn)M在雙曲線上,則焦點(diǎn)三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直線l過雙曲線的左焦點(diǎn)F1,與雙曲線交于兩點(diǎn)A,B,則當(dāng)lF1F2時(shí)，ABF2的面積的最小值為2b2e.
(5)漸近線：①兩條漸近線互相垂直兩條漸近線為y=±x等軸雙曲線e=2；
②以直線y=±kx為漸近線的雙曲線方程為y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同漸近線的雙曲線方程為x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線互相垂直,則直線l1:ax+by+a=0與直線l2:x+y+k=0(k＞1)的位置關(guān)系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的結(jié)論①知，該雙曲線為等軸雙曲線，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
評(píng)注：本題省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推導(dǎo)過程，直接得到了答案.
3.與拋物線相關(guān)的一些典型結(jié)論
(1)形狀：p(p＞0)的值越小，拋物線越扁.
(2)距離：過焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)中,以垂直對(duì)稱軸的弦(通徑)最短.
(3)焦點(diǎn)弦：直線l過焦點(diǎn)F,與拋物線y2=2px(p＞0)交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則
①|(zhì)AB|=x1+x2+p;
②以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB為鈍角；
⑤設(shè)F′(－p2,0)，則當(dāng)lF′F時(shí)，ABF′的面積的最小值為p2.
[HTH]例6[HT] 直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),O為原點(diǎn)，則OAB的面積的最小值為.
[HTH]解[HT]：由結(jié)論（3）中的⑤知，設(shè)F′(－1,0)，則SABF′=2SOAB，當(dāng)ABx軸時(shí)，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？
作答：______________________
（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？
作答：______________________
（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓；與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線；與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.
（2）已知點(diǎn)F是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，l是平面上不過點(diǎn)F的一條定直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e． 當(dāng)0
橢圓的幾何性質(zhì)
（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點(diǎn)弦公式還記得嗎？
作答：______________________
（2）如何計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積？
作答：______________________
（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？
作答：______________________
雙曲線的幾何性質(zhì)
（1）雙曲線的焦半徑公式還會(huì)用嗎？
作答：______________________
（2）如何計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積？
作答：______________________
（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？
作答：______________________
（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？
作答：______________________
拋物線的幾何性質(zhì)
（1）與拋物線的焦點(diǎn)弦相關(guān)的四條性質(zhì)，你還記得嗎？
作答：______________________
（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）為例．
（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點(diǎn)P（x0，y0）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y0y=p（x+x0）．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)？
作答：______________________
（2）圓錐曲線與直線的弦長(zhǎng)公式你還記得嗎？
作答：______________________
（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？
作答：______________________
從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO－MT與b－a的關(guān)系為（ ）
A． MO-MT＞b－a
B． MO－MT=b－a
C． MO－MT＜b－a
D． 不確定
圖1
錯(cuò)解 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，連結(jié)OM和PF2，由M為線段FP的中點(diǎn)和O為兩焦點(diǎn)FF2的中點(diǎn)得MO=PF2 ． 由FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)得MT=MF-FT=PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT． 由雙曲線的定義和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，F(xiàn)T===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此題選B．
剖析 上面的思路是：由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義求解，這樣做確實(shí)很簡(jiǎn)單，幾乎沒有計(jì)算量． 這可能是許多高中數(shù)學(xué)教師的想法，也可能是命題人的意圖． 但是我們注意到這個(gè)選擇題中有答案D：不確定，所以我們自然會(huì)提出問題：由給出的圖知線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)，那么一定在右側(cè)嗎？可不可以在左側(cè)？可不可以重合？結(jié)果又會(huì)怎樣呢？
①當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：上面已求得MO-MT=b-a.
②當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：
MO=PF2不變，F(xiàn)T=b不變，發(fā)現(xiàn)MT=FT-MF=FT-PF變了，此時(shí)MO- MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF=PF2+2a，此時(shí)MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，無法確定和b-a的大小關(guān)系． 好像進(jìn)入了死胡同，但是當(dāng)我們回過來看一下此種情形時(shí)，MO=PF2，MT=b-PF，我們感覺要想利用雙曲線的定義，計(jì)算MO-MT肯定不好，最好計(jì)算MO+MT，此時(shí)MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此結(jié)果水落石處，顯然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．
③當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合時(shí)，如圖3所示：結(jié)果如何呢？
我們可能會(huì)犯習(xí)慣性思維的錯(cuò)誤，認(rèn)為MO-MT＞b-a，果真如此嗎？我們來看一下，MO=OT=a，MT=0，此時(shí)MO-MT=a． 由M為線段FP的中點(diǎn)和O為FF2的中點(diǎn)得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此時(shí)MO-MT=b-a．
綜上，此題選D．
點(diǎn)評(píng) 1. 由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義求解，這確實(shí)是一個(gè)好的解題思路，但容易漏掉后面兩種情形，特別是處理第2種情形時(shí)其思維跨度比較大．
2. 因?yàn)檫@是一個(gè)選擇題，所以有另一種解法：
看到MO-MT，易想到三角形MTO中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊，從而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（當(dāng)且僅當(dāng)M和T重合時(shí)取“=”）． 我們可以先看M和T重合時(shí)，易得b=2a，MO-MT=b-a；因?yàn)榇鸢窪為不確定，所以還得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而當(dāng)b＞2a時(shí)，b-a＞a，因?yàn)镸O－MT＜a，所以此時(shí)MO-MT＜b-a． 到此顯然選D．
拓展1 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO－MT的值是____．
分析一 由中點(diǎn)M想到O是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形中位線這一平面幾何性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解．
解法一 ①當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜邊MO＞直角邊MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此時(shí)a＜b＜2a）
②當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合時(shí)，上面已求得MO-MT=b-a.（b=2a）
③當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)時(shí)，由上面得到MO+MT=b-a，發(fā)現(xiàn)在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，從而MO-MT==． （由直角三角形中斜邊MO＞直角邊MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此時(shí)b＞2a）
綜上：當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的左側(cè)，即b＞2a時(shí)，MO-MT=；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)，即a＜b＜2a時(shí)，MO-MT=b-a；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合，即b=2a時(shí)，MO-MT=b-a．
分析二 在直角三角形MTO中，已知一直角邊TO=a，要求的是斜邊MO減去另一直角邊MT，只要求出其中一個(gè)，另一個(gè)由勾股定理求之． 求MO，就是求PF2，可在PF2F中由余弦定理求解．
解法二 在RtFTO中，cos∠TFO==． 在PF2F中，設(shè)PF2=x，則PF=x+2a，F(xiàn)F2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化簡(jiǎn)得（b-a）x=a2+c2－2ab，將c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（顯然b-a>0，若b-a≤0，上述方程無解），故x==b－a+． MO=PF2=x=b－a+，在RtMTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b－a）－（b>2a），－（b－a）（a
綜上，當(dāng)b＞2a時(shí)，MO-MT=；當(dāng)a＜b≤2a時(shí)，MO-MT=b-a．
點(diǎn)評(píng) 解法一雖然簡(jiǎn)單，但容易漏掉其他情形且點(diǎn)M在左側(cè)時(shí)的處理方法很難想到；解法二雖然計(jì)算量相對(duì)大一點(diǎn)，但比較保險(xiǎn)、全面．另外由上面的兩種解法容易得到以下兩個(gè)命題．
拓展2 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO+MT與b－a的關(guān)系為（ ）
A． MO+MT＞b－a
B． MO+MT=b－a
C． MO+MT＜b－a
D． 不確定
提示 參考上面測(cè)試題的兩種解法均可得答案D． 具體大小關(guān)系如下：當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M和切點(diǎn)T重合或在左側(cè)時(shí)：MO+MT=b-a；當(dāng)線段FP的中點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè)時(shí)：MO+MT＞b-a．
拓展3 從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO+MT的值是____．
求與離心率e有關(guān)的問題是近幾年江蘇高考解析幾何題常常考查的一類題，它涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，所以難度也較大，且能很好地考查學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但是學(xué)生往往因?yàn)榻⒉涣瞬坏仁疥P(guān)系，或理不清思路感到無從下手.由離心率e=c[]a，則要求離心率e,就要求a,b,c的關(guān)系.所以要在題目條件中尋找a,b,c的關(guān)系.
本文通過幾個(gè)例題談?wù)剮最惓Ｒ姷那箅x心率e的解題策略.
一、利用圓錐曲線的定義求離心率
例1 （2009年全國(guó)卷Ⅱ理）已知雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F且斜率為3的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若AF=4FB,則雙曲線的離心率為( ).
A.6[]5 B.7[]5 C.5[]8 D.9[]5
解 設(shè)雙曲線C:x2[]a2-y2[]b2=1的右準(zhǔn)線為l,過A,B分別作AMl于M,BNl于N,BDAM于D,由直線AB的斜率為3,知直線AB的傾斜角為60°,∠BAD=60°,|AD|=1[]2|AB|.
由雙曲線的第二定義有
|AM|-|BN|=|AD|=1[]e(|AF|-|FB|)=1[]2|AB|=1[]2（|AF|+|FB|）.
又 AF=4FB,1[]e?3|FB|=5[]2|FB|,e=6[]5.故選A.
二、利用圓錐曲線的范圍
例2 （2009年重慶卷理）已知雙曲線x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使sinPF1F2[]sinPF2F1=a[]c，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．
解 因?yàn)樵赑F1F2中，由正弦定理得
PF2[]sinPF1F2=PF1[]sinPF2F1.
則由已知，得a[]P1F2=c[]P1F1，即aPF1=cPF2，且知點(diǎn)P在雙曲線的右支上.
設(shè)點(diǎn)(x0,y0)，由焦點(diǎn)半徑公式，得PF1=a+ex0,PF2=ex0-a，則a(a+ex0)=c(ex0-a).
解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由雙曲線的幾何性質(zhì)知x0>a,則a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1
三、利用三角函數(shù)的有界性
例3 橢圓x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)與x軸正方向交于點(diǎn)A，如果在這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P使OPOA，O為原點(diǎn)，求橢圓離心率e的范圍.
解 設(shè)P（acosθ,bsinθ）θ≠kπ[]2,k∈Z.
OPOA,bsinθ[]acosθ?bsinθ[]acosθ-a=-1.化簡(jiǎn)，得
a2[]b2=cosθ(1-cosθ)[]1-cos2θ=cosθ[]1+cosθ=a2-c2[]a2=1-e2.
e2=1[]1+cosθ.e2∈1[]2,1,e∈2[]2,1.
點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵在于建立e和三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角函數(shù)的取值范圍求出e的范圍，是一種常見的求e的方法.
一、 考綱要求
1. 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程；
2. 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；
3. 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。
二、 難點(diǎn)疑點(diǎn)
1. 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；
2. 圓錐曲線的離心率；
3. 與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題；
4. 與圓錐曲線有關(guān)的最值、定值問題；
5. 與平面向量、數(shù)列及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的交匯試題。
三、 經(jīng)典練習(xí)回顧
1. 已知橢圓的離心率為12，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為.
2. 設(shè)雙曲線x2-y2=1的兩條漸近線與直線x=22圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為E，P（x，y）為該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的取值范圍為.
3. 短軸長(zhǎng)為2，離心率e=3的雙曲線兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=8，則ABF2的周長(zhǎng)為.
4. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是.
5. 已知拋物線x=2my2（m
6. 已知F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F且斜率為3的直線交C于A，B兩點(diǎn).設(shè)|FA|>|FB|，則|FA||FB|的值等于.
四、 例題精析
題型一利用定義解題
涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義。對(duì)于后者，需要注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線要同側(cè)，不能弄錯(cuò)。
【例1】方程（x-2）2+（y-2）2=|x-y+3|表示的曲線是.
分析方程的兩邊直接平方展開比較麻煩，聯(lián)想方程左邊到定點(diǎn)的距離，而如果將右邊轉(zhuǎn)化為到定直線的距離，那問題就迎刃而解了。
解已知方程就是（x-2）2+（y-2）2=2·|x-y+3|2，由雙曲線的第二定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)（2，2）的距離與到定直線x-y+3=0的距離比為2，因?yàn)?>1，所以方程所表示的曲線是雙曲線.
點(diǎn)撥從已知方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式與點(diǎn)線距離公式，發(fā)現(xiàn)方程表示的曲線是到定點(diǎn)（2，2）的距離與到定直線x-y+3=0的距離之比為2的動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡，根據(jù)雙曲線定義得方程所表示的曲線是雙曲線。顯然通過對(duì)方程的發(fā)現(xiàn)與聯(lián)想利用定義來解簡(jiǎn)潔明了。
【例2】橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)且F分向量BA的比為2/3，求橢圓的離心率e。
分析本題通法是設(shè)直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的比。思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算繁瑣。下面介紹兩種簡(jiǎn)單解法。
解法一：設(shè)點(diǎn)A（xA，yA），B（xB，yB），由焦半徑公式可得a+exAa+exB=32，
則2（a+exA）=3（a+exB），
變形2（a+exA-a-exB）=a+exB，
所以2e（xA-xB）=a+exB.
因?yàn)橹本€傾斜角為45°，
所以有2e·22|AB|=25|AB|，所以e=25.
提示本解法主要運(yùn)用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運(yùn)用它解題，可以化繁為簡(jiǎn)，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點(diǎn)弦，應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。
解法二：|BE|=1e|BF|=1e·25|AB|，|AD|=1e|AF|=1e·35|AB|，
|AC|=22|AB|，|AD|-|BE|=|AC|，
1e·35|AB|-1e·25|AB|=22|AB|
e=25.
點(diǎn)撥本解法巧妙運(yùn)用了幾何性質(zhì)，運(yùn)算簡(jiǎn)潔直觀。需要注意的是解析幾何和平面幾何都是研究圖形性質(zhì)的，只不過平面幾何只限于研究直線和圓。因此，在題設(shè)條件中有關(guān)圓、直線的問題，或題目中構(gòu)造出直線與圓，可以利用平面幾何的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。
題型二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查三種題型：一是判斷已知直線與已知曲線的位置關(guān)系；二是根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線或曲線方程的參數(shù)問題；三是求直線與圓錐曲線相交時(shí)所得弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)及軌跡問題等。解答此類題型的一般方法化為二次方程，利用判別式與韋達(dá)定理來求解。
【例2】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)為23.（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與雙曲線C左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍.
分析第（Ⅰ）小題利用直接法求解；第（Ⅱ）小題將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，然后利用判別式及韋達(dá)定理求解；第（Ⅲ）小題需利用“垂直”與“平分”聯(lián)系兩條直線斜率間的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立b關(guān)于斜率k的表達(dá)式，結(jié)合第（Ⅱ）小題k的范圍求解。
解（Ⅰ） 設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知，得a=3，c=2，b2=c2-a2=1，故雙曲線方程為x23-y2=1.
（Ⅱ） 設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB ），將y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0.
由題意知1-3k2≠0
Δ=36（1-k2）>0
xA+xB=62k1-3k2
xAxB=-91-3k2>0，
解得，33
當(dāng)33
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得：xA+xB =62k1-3k2，yA+yB=kxA+2+（kxB+2）=k（xA+xB）+22=221-3k2.
AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為32k1-3k2，21-3k2.
設(shè)l0方程為：y=-1kx+b，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入l0方程，得b=421-3k2.
33
b
b的取值范圍為：（-∞，-22）.
點(diǎn)撥本題主要考查利用直接法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系不等式的解法等知識(shí)，以及考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查邏輯思維能力及運(yùn)算能力。直線與圓錐曲線位置關(guān)系主要涉及交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、中點(diǎn)問題、弦長(zhǎng)問題、最值與定值問題等，解答時(shí)往往通過消元最終歸結(jié)為一元二次方程來進(jìn)行解決。特別地：（1）如果遇到弦的中點(diǎn)與斜率問題則考慮利用“點(diǎn)差法”較為簡(jiǎn)單，但須注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）求最值與參數(shù)的范圍時(shí)注意確定自變量的范圍；（3）過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題一般利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化可大大減少運(yùn)算量。
題型三定值問題
定值問題是近幾年我們江蘇高考的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)，從08年到現(xiàn)在年年考。而求解這類問題的方法有兩種，其一是特值探路，方向明確根據(jù)特殊性與普遍性（個(gè)性與共性）的辨證關(guān)系，以特例探路，從特例中求出幾何量的定值，得到啟示，從而將問題化歸為解幾何證明問題，再利用定義、焦半徑公式等對(duì)一般情形進(jìn)行證明；其二是轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式恒為零，對(duì)應(yīng)的系數(shù)都為零來解。【例3】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，過點(diǎn)A（a，0）與B（0，-b）的直線與原點(diǎn)的距離為 2105.又有直線y=12x與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，過D點(diǎn)作斜率為k的直線l1.直線l1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，與直線x=4的交點(diǎn)為Q，過Q點(diǎn)作直線EP的垂線l2.
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線l2恒過一定點(diǎn).
分析第（1）小題利用解方程來求解；第（2）小題將直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，然后利用韋達(dá)定理求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式得到EP的斜率，然后再求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一次多項(xiàng)式恒為零來解。
解（1） 因?yàn)闄E圓C的離心率e=32，
故設(shè)a=2m，c=3m，則b=m.
直線AB的方程為bx-ay-ab=0，
代入得mx-2my-2m2=0，
即x-2y-2m=0.
所以2m1+4=2105，解得m=2.
所以a=22，b=2，
從而橢圓方程為x28+y22=1.
（2） 由題意可得D（-2，-1），E（2，1），則直線l1的方程為y+1=k（x+2）.
聯(lián)立y+1=k（x+2），
x28+y22=1，得（1+4k2）x2+8k（2k-1）x+4（2k-1）2-8=0.
設(shè)P（x1，y1），則x1=-8k（2k-1）1+4k2+2.
直線EP的斜率為k1=y1-1x1-2=k（x1+2）-2x1-2=4k-21+4k2-8k（2k-1）1+4k2=-14k.
因?yàn)閘2EP，所以直線l2的斜率k2=4k.
又由y+1=k（x+2），
x=4得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，6k-1）.
所以直線l2的方程為y-6k+1=4k（x-4），整理得（4x-10）k=y+1.
所以直線l2恒過定點(diǎn)52，-1.
點(diǎn)撥本題主要考查圓的性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系。本題綜合性較強(qiáng)，是求定值問題較好的典范。
題型四圓錐曲線與向量的綜合
圓錐曲線與向量知識(shí)的綜合題，常以復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活，知識(shí)覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用能力。在解題中需要把握住知識(shí)間的聯(lián)系，注意借助轉(zhuǎn)化的思想、方程思想等。
【例4】在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足下列條件：①GA+GB+GC=0；②|MA|=|MB|=|MC|；③GM∥AB.（Ⅰ） 求ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ） 過點(diǎn)P（3，0）的直線l與（Ⅰ）中軌跡交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求PE·PF的取值范圍.
分析由于涉及的動(dòng)點(diǎn)有三個(gè)，因此采用設(shè)而不求思想先設(shè)C、G、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將坐標(biāo)代入①②中的兩個(gè)等式，同時(shí)利用向量平行的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，第（Ⅰ）小題就可求解。第（Ⅱ）小題則需利用判別式確定直線與所求軌跡相交的條件，即直線斜率k的范圍，然后利用向量的數(shù)量積公式及韋達(dá)定理建立PE·PF關(guān)于k的函數(shù)式，最后根據(jù)求函數(shù)值域的方法即可求得結(jié)果。
解（Ⅰ） 設(shè)C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM），
|MA|=|MB|，M點(diǎn)在線段AB的中垂線上.
由已知A（-1，0），B（1，0），xM=0，
又GM∥AB，yM=y0，
又GA+GB+GC=0，（-1-x0，y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，x-y0）=（0，0），
x0=x3，y0=y3，yM=y3，
|MB|=|MC|，（0-1）2+y3-02
=（0-x）2+y3-y2，
x2+y23=1（y≠0），頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y23=1（y≠0）.
（Ⅱ） 設(shè)直線l方程為：y=k（x-3），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），
由y=k（x-3）
x2+y23=1，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0①，
x1+x2=6k2k2+3，x1x2=9k2-3k2+3，
而PE·PF=|PE|·|PF|·cos0°=|PE|·|PF|=1+k2|3-x1|·1+k2|3-x2|=（1+k2）|9-3（x1+x2）+x1x2|=（1+k2）9k2+27-18k2+9k2-3k2+3=24（k2+1）k2+3=24-48k2+3，
由方程①知Δ=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）>0，k2
點(diǎn)撥本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及幾何意義、軌跡的直接求法、不等式的解法，考查“設(shè)而不求法”結(jié)合二次方程的判別式及韋達(dá)定理在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的應(yīng)用，同時(shí)考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及邏輯推理能力、解題實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用能力。本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：（1）對(duì)條件中的向量關(guān)系的轉(zhuǎn)化；（2）建立PE·PF關(guān)于直線斜率k的函數(shù)。解答本題還有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：忽視直線與圓錐曲線相交的條件限制，造成所求范圍擴(kuò)大。
牛刀小試
1. 已知橢圓E的離心率為e，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1||PF2|=e，則e的值為.
2. 如圖一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則點(diǎn)P形成的圖形是.
2. 如圖，P是橢圓x225+y29=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，且OQ=12（OP+OF），|OQ|=4，則點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為.
3. 在平面直線坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A（-4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓x225+y29=1上，則sinA+sinCsinB=.
4. 在直角坐標(biāo)系中，過雙曲線x2-y29=1的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=1的一條切線（切點(diǎn)為T）交雙曲線右支于P，若M為線段FP的中點(diǎn)，求OM-MT的值.
5. 已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).（1） 求這三條曲線的方程；（2） 已知?jiǎng)又本€l過點(diǎn)P（3，0），交拋物線于A、B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，說明理由.
6. 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，短軸兩端點(diǎn)B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為52.（Ⅰ） 求此時(shí)橢圓C的方程；（Ⅱ） 設(shè)斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P0，33、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由.
7. 設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1（a，b>0）過M（2，2），N（6，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1） 求橢圓E的方程；
（2） 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OAOB？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.
8. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x24+y23=1上一點(diǎn)P1，32，過點(diǎn)P的直線l1，l2與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（不同于P），且它們的斜率k1，k2滿足k1k2=-34.
（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；
雙曲線：你是誰(shuí)呀，走路不長(zhǎng)眼！把我撞疼了。
橢圓：哦，對(duì)不起！怎么你長(zhǎng)得這么古怪，簡(jiǎn)直是怪物！我們橢圓可不是你這幅怪模樣！
雙曲線：我可不是怪物，我叫雙曲線！我覺得你才是怪物呢！大熱的天把自己包得密不透風(fēng)的。
橢圓：這可是我們橢圓的特別之處！我們家族的成員都是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。
雙曲線：我們雙曲線的定義是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。記住了，以后別再班門弄斧了！
橢圓：我有標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1或y2a2+x2b2=1，其中a>b>0，你有嗎？
雙曲線：誰(shuí)稀罕你那破方程，我又不是沒有，x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）就是我的標(biāo)準(zhǔn)方程！ 我還有焦距，實(shí)軸、虛軸呢！方程中的a就表示實(shí)半軸，b表示虛半軸，半焦距用c表示并且c2=a2+b2。你有嗎？
橢圓：?jiǎn)眩亲永餂]貨了就拿虛軸來充數(shù)呀！沒有就是沒有，干嘛還取那么好的一個(gè)名字，還“虛軸”呢，真是糟踏字！張大耳朵聽著吧！我不但有焦距，還有長(zhǎng)軸、短軸呢！標(biāo)準(zhǔn)方程中的a表示長(zhǎng)半軸，b表示短半軸，半焦距也用c來表示，但是它們?nèi)咧g的關(guān)系是a2=b2+c2。這些軸可都是實(shí)實(shí)在在的軸！我還有離心率e呢！e=ca，并且e∈（0，1）。虛偽的家伙，你有嗎？
雙曲線：唉喲，你的離心率才那么點(diǎn)范圍呀？我可比你大方多了，我的離心率e可屬于（1，+∞）！
橢圓：我還有準(zhǔn)線呢！焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±a2c，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的準(zhǔn)線方程為y=±a2c.
雙曲線：老兄，那不值得你驕傲！我也有準(zhǔn)線，并且和你的一模一樣！
橢圓：我有四個(gè)頂點(diǎn)，你有嗎？我看你那樣子也弄不出四個(gè)頂點(diǎn)來.
雙曲線：要那么多頂點(diǎn)把自己框得死死的干嘛！你瞧我，只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而我的范圍卻是x≤-a或x≥a，多輕松。再瞧瞧你，嘖嘖，我真同情你，到死了你上面的點(diǎn)也只能在x=±a與y=±b圍成的矩形內(nèi)活動(dòng)。我差點(diǎn)忘了十分重要的一點(diǎn)，我還有兩條漸近線，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±bax，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±abx。漸近線的特點(diǎn)是它十分靠近雙曲線卻又永遠(yuǎn)不與雙曲線相交，它們就像我們雙曲線的保鏢。你有嗎？
橢圓：哦，老弟，我不跟你比了，我總覺得咱倆有好多地方相似甚至相同，你家住何處？
有人說，這不是明擺著的嘛，“雙”曲線當(dāng)然是指“兩條曲線”了，錯(cuò)！雙曲線的兩支合并為一個(gè)整體，構(gòu)成的應(yīng)認(rèn)為是“一條曲線”.那么為什么要叫“雙”曲線呢？因?yàn)樗袃芍О。爆嵉慕蟹▌t應(yīng)是“由兩支曲線合成的一條曲線”.數(shù)學(xué)中這種“名不副實(shí)”的稱謂很多哩！上次我們說到“橢圓非圓”，明明是橢“圓”，但它根本就不是圓.再如，直線方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y軸上的截距”，它可為正，可為負(fù)，也可為0，所以它是直線y=kx+b與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而決不是距離，所以有“截距非距”之說.這下該明白了吧？還不服！再看，什么叫做函數(shù)y=f（x）的“零點(diǎn)”？原來“零點(diǎn)”是“使函數(shù)f（x）的值為零的x的值”，呵呵，“零點(diǎn)非點(diǎn)”啊！學(xué)過復(fù)數(shù)的都知道，虛數(shù)單位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被稱為“虛數(shù)”，但它是“虛無縹緲”的嗎？不是，它是實(shí)實(shí)在在存在著的.想當(dāng)初，有數(shù)學(xué)家首先提出虛數(shù)單位和復(fù)數(shù)的理論，卻受到許多人的質(zhì)疑，都認(rèn)為虛數(shù)太“虛”了.后來雖發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)理論有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有重要的推動(dòng)作用，但“虛數(shù)”這個(gè)稱謂卻延續(xù)下來了，也好，留著這個(gè)“歷史的足跡”，也會(huì)讓后人感到回味無窮.但還有人想不通，筆者在你們的“逼迫”下，思維不禁變得十分亢奮，請(qǐng)看函數(shù)y=|tanx|的圖象（如圖1），它是由無數(shù)條曲線組成的，你叫它“幾曲線”好？從整體上講，它仍是“一條曲線”.“雙”曲線非“兩條曲線”啊！
圖1
數(shù)學(xué)中的這些所謂“歪理悖論”表明的恰恰是數(shù)學(xué)家的智慧，給與我們深深的啟迪，那就是視野開闊、思維活躍.
二、 由雙曲線的漸近線想到的
提起雙曲線，人們立即想到的是雙曲線“獨(dú)具”的漸近線.雙曲線有漸近線，說是它的“特色”，可以；但說“獨(dú)具”，不恰當(dāng)，圖1中的曲線竟有無數(shù)條漸近線：x=nπ+π2（n∈Z），所以說漸近線不是雙曲線的“專利”.初中研究過的反比例函數(shù)y=xk（k≠0），其圖象也是雙曲線，它有兩條漸近線，即x軸和y軸.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）的圖象只有一條漸近線，即x軸.對(duì)于指數(shù)函數(shù)圖象的漸近線，當(dāng)時(shí)只有通過直觀來理解，不可能作嚴(yán)格的邏輯證明.但對(duì)于雙曲線的漸近線，我們還是可以有作為的.如雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其漸近線l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在雙曲線第一象限內(nèi)的半支上任取一點(diǎn)P（x0，y0），作PQl于Q（如圖2），則P點(diǎn)到直線l的距離PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.請(qǐng)觀察其中的1x0+x20－a2，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿詘0值的變化趨勢(shì)是無限增大，那么此式的變化趨勢(shì)就是無限接近于0. 在教材后面一章《導(dǎo)數(shù)》中，我們會(huì)學(xué)到，由于a2ba2+b2是一個(gè)固定的值，而1x0+x20－a2無限接近于0，那么P到直線l的距離PQ也無限接近于0，將直線l稱為雙曲線的漸近線，當(dāng)之無愧吧！由于圖形的對(duì)稱性，用哪個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)都可以.這里反映了數(shù)學(xué)的一種極其重要的思想方法，今后還要多次研究和應(yīng)用.
圖2
還有個(gè)有趣的事實(shí)，不管是雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），還是雙曲線x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），將等號(hào)右邊的“1”換成“0”，就得到它們的漸近線方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你說這個(gè)方程是幾次的？表面上看來是二次的，但它們是兩個(gè)一次方程的“合成”，即分別為y=±bax，y=±abx.
三、 雙曲線的“個(gè)性”
橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線，當(dāng)然它們有一些共性，但在這里我們最感興趣的當(dāng)然是雙曲線的“個(gè)性”.前面已述，它有漸近線，另外它的離心率屬于區(qū)間（1，∞），還有別的嗎？有哇！
（1） 包圍橢圓的是一個(gè)矩形，此矩形被稱為橢圓的輔助矩形.雙曲線也有輔助矩形，但夾在兩支曲線的內(nèi)部；橢圓的輔助矩形永遠(yuǎn)不會(huì)是正方形，但雙曲線的輔助矩形有可能是正方形，下面還要說到.輔助矩形的兩條對(duì)角線就是雙曲線的漸近線.
（2） 請(qǐng)看著圖3，將思緒放開，用一種浪漫情懷展開遐想，成語(yǔ)“亭亭玉立”不禁闖入心懷，那么偉岸，那么挺拔，那么俊秀，讓人心醉，讓人動(dòng)容！但不是所有雙曲線都能取得如此優(yōu)美的視覺效果，這大概與矩形鄰邊之比的取值有關(guān)吧？不錯(cuò)，后面將進(jìn)一步來研究.
圖3
（3） 在x軸右半軸上取點(diǎn)F2，使OF2=OC，則F2是雙曲線的右焦點(diǎn).太簡(jiǎn)單了，OA2=a，A2C=b，則OF2=OC=c.這是用幾何方法找焦點(diǎn)的好方法.現(xiàn)在過F2作垂直于漸近線的直線，垂足為E，RtOEF2是一個(gè)很奇特、很有趣的三角形.漸近線的方程為y=bax，直線EF2的方程為y=－ab（x－c），兩個(gè)方程聯(lián)立，解得x=a2c.此值可不是一般的數(shù)值哦，此直線正是我們接觸不久的準(zhǔn)線.
其實(shí)不解方程組也可以得解，易知RtOEF2≌RtOA2C，則OE=a，EF2=b.過E作x軸的垂線，垂足為G，則由平面幾何知識(shí)，得OG=a2c.有人可能不熟悉這個(gè)知識(shí)，不要緊，換一個(gè)“武器”，設(shè)∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，則OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函數(shù)與平面幾何同源同根，只是表現(xiàn)形式不同，熟練掌握兩種武器，屆時(shí)用哪個(gè)方便就用哪個(gè).這就叫做四通八達(dá)、左右逢源.這八個(gè)字對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用就太大了，請(qǐng)大家在積極鉆研的過程中逐步揣摩吧.
（4） 當(dāng)a=b時(shí)，得雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它們的實(shí)軸和虛軸相等，這樣的雙曲線被稱為等軸雙曲線.那么有沒有等軸橢圓呢？別引誘人上當(dāng)了，等軸橢圓是不存在的.將圓稱為等軸橢圓不行嗎？不行，我們說了都不算，數(shù)學(xué)的理性精神不允許這樣說.
等軸雙曲線又有一些奇妙的特性，“等軸”，雖是廢話，但這些特性卻都是由“等軸”衍生出來的.圖4中有個(gè)正方形，是雙曲線的輔助矩形.反比例函數(shù)y=xk（k≠0）的圖象也是等軸雙曲線.
圖4
等軸雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的漸近線，即輔助正方形的對(duì)角線y=±x；
（5） 等軸雙曲線的半焦距為2a，所以等軸雙曲線的離心率為2.數(shù)學(xué)中有個(gè)最優(yōu)美的數(shù)，那就是“黃金數(shù)”5－12≈0.618，與黃金分割有關(guān)，本文不可能作詳細(xì)討論，只是“斗膽”提出2這個(gè)數(shù)也是非常優(yōu)美的，可以說僅次于“黃金數(shù)”，聯(lián)系太廣泛了，這里不作討論.
圖4與圖3中的雙曲線，哪個(gè)更優(yōu)美？圖4中的雙曲線“不胖不瘦”，雖不算“丑陋”，但比不上圖3中的雙曲線那么挺拔.前面問到什么樣雙曲線最漂亮？現(xiàn)在可以告訴大家的是，筆者認(rèn)為，當(dāng)圖3中的矩形短邊與長(zhǎng)邊之比為“黃金數(shù)”時(shí)，這樣的雙曲線最漂亮.
四、 雙曲線趣題賞析
趣在何處？在上期《“玩”心太重的橢圓》中有過闡述，這里只重復(fù)八個(gè)字：風(fēng)光無限，還是“好玩”！
例1 設(shè)雙曲線C與雙曲線E：x29－y216=1.
（1） 若雙曲線C和E有共同的漸進(jìn)線，且C過點(diǎn)A（－3，23），則雙曲線C的方程為 ；
（2） 若雙曲線C和E有共同的漸進(jìn)線，則雙曲線C的離心率為 .
解 析 （1） 的最佳解法為，設(shè)C：x29－y216=k，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，解得k=14，則雙曲線C的方程為4x29－y24=1.
（2） 由（1），知雙曲線C的離心率為53.
作為填空題，（1）可得滿分，可是（2）卻只能得0分.這可奇了怪了！滿足（1）的條件的雙曲線只有一個(gè)，可是滿足（2）的條件的雙曲線卻有無數(shù)個(gè)，可分為兩組，一組的焦點(diǎn)在x軸上，一組的焦點(diǎn)在y軸上，前者的離心率當(dāng)然是53，后者的離心率為54.
點(diǎn) 睛 方程x29－y216=k對(duì)于簡(jiǎn)化題解的作用不可忽視；只因題（2）“過于”簡(jiǎn)單，就迅速輕率地導(dǎo)致“全軍覆沒”.這里的兩組雙曲線過去曾被稱為“共軛雙曲線”，若它們的離心率分別為e1，e2，則不難得1e21+1e22=1，道理很簡(jiǎn)單，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.沒想到，一道簡(jiǎn)單的題目涉及的幾個(gè)字母，做起“游戲”來還這么有趣，發(fā)人深省.
例2 若方程x22－|m|+y2m－3=1表示雙曲線，則m的取值范圍是 .
解 析 俗話說得好，“吃一塹，長(zhǎng)一智”，這里可要小心了.由題意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，則（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，則（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.
綜上，m的取值范圍是（-2，2）∪（3，+∞）.
點(diǎn) 睛 題目雖小，卻飽含知識(shí)和思維的豐富營(yíng)養(yǎng)哩！
例3 設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)O的雙曲線C的漸近線與以點(diǎn)A（0，2）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱. （1） 求雙曲線C的方程；
（2） 若P是雙曲線C上不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)N，試求點(diǎn)N的軌跡方程，并指出點(diǎn)N的軌跡是何曲線.
解 析 （1） 如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)A（0，2）與F2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以雙曲線的半焦距c=2，則雙曲線的方程可設(shè)為x2a2－y22－a2=1.
圖5
由已知，點(diǎn)A（0，2）到漸近線xa－y2－a2=0的距離為1，則2a2－a2+a2=1，解得a=1.
故雙曲線的方程為x2－y2=1.
（2） 設(shè)F1N與PF2的延長(zhǎng)線交于Q點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)，知PF1=PQ.
則由雙曲線的定義，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.
圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0
從以上定義可知，只要給出一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線和離心率e的值，就可以確定相應(yīng)的圓錐曲線.那么，怎么由一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線和離心率e的值畫出圓錐曲線并能方便地演示給學(xué)生看呢？利用《幾何畫板》這個(gè)工具就能很好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，現(xiàn)介紹如下.
打開幾何畫板5.03迷你增強(qiáng)版，點(diǎn)擊編輯按鈕點(diǎn)參數(shù)選項(xiàng)選擇角度為弧度，精確度調(diào)為十萬(wàn)分之一；畫一直線標(biāo)簽為“定直線（準(zhǔn)線）”，在直線右方取一點(diǎn)F并標(biāo)簽為“定點(diǎn)（焦點(diǎn)）”.
取點(diǎn)A、B，標(biāo)記B為中心，讓點(diǎn)A關(guān)于B旋轉(zhuǎn)180°得A′，構(gòu)造線段AA′，在線段AA′上取點(diǎn)C；度量點(diǎn)C、A間的距離及點(diǎn)C、A′間的距離，計(jì)算|CA|與|CA′|的比值，標(biāo)簽為離心率e，左右滑動(dòng)點(diǎn)C可以調(diào)節(jié)離心率e的大小，將點(diǎn)C的標(biāo)簽改為“左右滑動(dòng)此點(diǎn)調(diào)節(jié)離心率”，隱藏點(diǎn)A、B、A′，隱藏距離|CA|與|CA′|的度量值，度量點(diǎn)F到直線l的距離并標(biāo)簽為p（拋物線的焦半徑，對(duì)于橢圓和雙曲線，它的值等于|a21c-c|）.
調(diào)節(jié)離心率小于1（將會(huì)畫出橢圓），計(jì)算pe1|1-e2|并標(biāo)簽為a（橢圓和雙曲線通用），計(jì)算a與e的積并標(biāo)簽為c（半焦距，橢圓和雙曲線通用），計(jì)算a2-c2標(biāo)簽為b（橢圓專用）.
因?yàn)槎c(diǎn)F在定直線l的右方，所以定點(diǎn)F和定直線l分別為橢圓的左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線.將點(diǎn)F向右平移c個(gè)單位得一點(diǎn)標(biāo)簽為O，并將此點(diǎn)定義為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，以點(diǎn)O為圓心作單位圓，在該圓上取點(diǎn)P，單位圓與x軸的交點(diǎn)標(biāo)簽為Z，度量∠ZOP的值，因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為x=acosα
y=bsinα，所以，計(jì)算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分別以這兩個(gè)值為橫、縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，以點(diǎn)M、P構(gòu)造軌跡便可以得到橢圓；生成點(diǎn)P的動(dòng)畫并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽為“橢圓動(dòng)畫”.隱藏坐標(biāo)系等.
將離心率調(diào)節(jié)為1，使橢圓的畫面消失.計(jì)算-|1-e|+p12并標(biāo)簽為“拋物線調(diào)節(jié)量”，設(shè)計(jì)這個(gè)調(diào)節(jié)量是本文的獨(dú)到之處，目的是當(dāng)調(diào)節(jié)離心率小于或大于1時(shí)拋物線不會(huì)出現(xiàn).在定直線l任取一點(diǎn)G，度量點(diǎn)G的橫坐標(biāo)XG，計(jì)算“拋物線調(diào)節(jié)量”與XG的和，并以這個(gè)值為橫坐標(biāo)、0為縱坐標(biāo)繪制一點(diǎn)H，過H作一直線與過點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線垂直，設(shè)垂足為N，將點(diǎn)N定義為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系.在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)J，度量點(diǎn)J的縱坐標(biāo)yJ，計(jì)算y2j12p的值，以y2j12p的值為橫坐標(biāo)，yJ為縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，選擇點(diǎn)M、J構(gòu)造軌跡便可得到拋物線.生成點(diǎn)J的動(dòng)畫并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽該按鈕為“拋物線動(dòng)畫”.度量點(diǎn)M、F間的距離及點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離，計(jì)算這兩個(gè)距離的比值，該比值即為拋物線的離心率（值正好為1），按下“拋物線動(dòng)畫”按鈕時(shí)，盡管點(diǎn)M、F間的距離及點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離在不斷變化，但是它們始終相等，即離心率的值始終為1.隱藏坐標(biāo)系、點(diǎn)G、J、H等.
調(diào)節(jié)離心率大于1（小于1時(shí)只出現(xiàn)橢圓，等于1時(shí)只出現(xiàn)拋物線）時(shí)拋物線消失，此時(shí)c>a，計(jì)算c2-a2的值記為b雙，計(jì)算a21c的值，過點(diǎn)F作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為L(zhǎng)，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，所以要將點(diǎn)L向左平移a21c個(gè)單位得到點(diǎn)O，將O標(biāo)記為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系，以O(shè)和K構(gòu)造圓，在該圓上取一點(diǎn)P，度量∠KOP的值.因?yàn)殡p曲線的參數(shù)方程為x=asecα
y=btanα，所以，計(jì)算a1cos∠KOP、b雙?tan∠KOP的值，分別以這兩個(gè)值作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)繪制點(diǎn)M，以點(diǎn)M、P構(gòu)造軌跡便可得到雙曲線.生成點(diǎn)P的動(dòng)畫，并設(shè)置按鈕，標(biāo)簽為“雙曲線動(dòng)畫”，度量MF及M到準(zhǔn)線l的距離，計(jì)算它們的比值（等于離心率的值），隱藏以上過程中的坐標(biāo)系和輔助點(diǎn)等.
至此，整個(gè)課件制作完成.演示時(shí)，拖動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)調(diào)節(jié)離心率小于1時(shí)得到橢圓，按下動(dòng)畫按鈕，讓學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的比有何變化.調(diào)節(jié)離心率等于1時(shí)得到拋物線，調(diào)節(jié)離心率大于1時(shí)得到雙曲線.通過以上的演示，加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解.
