時間：2023-05-30 08:55:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇求和公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1、首先打開需要求和的數據文件
2、然后選中需要求和的數據
3、再然后選擇菜單欄的“公式”,點擊“自動求和”選項
4、然后再點擊“求和”
5、最后就進行了求和，就可以了
（來源：文章屋網 ）
1.掌握等比數列前項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.
（1）理解公式的推導過程，體會轉化的思想；
（2）用方程的思想認識等比數列前項和公式，利用公式知三求一；與通項公式結合知三求二；
2.通過公式的靈活運用，進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想.
3.通過公式推導的教學，對學生進行思維的嚴謹性的訓練，培養他們實事求是的科學態度.
教學建議
教材分析
（1）知識結構
先用錯位相減法推出等比數列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數列的前項和.
（2）重點、難點分析
教學重點、難點是等比數列前項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數學思想、方法（如分類討論思想，錯位相減法等），這些思想方法在其他數列求和問題中多有涉及，所以對等比數列前項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數列前項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意和兩種情況.
教學建議
（1）本節內容分為兩課時，一節為等比數列前項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問題.
（2）等比數列前項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發現規律，歸納總結，證明結論.
（3）等比數列前項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的興趣.
（4）編擬例題時要全面，不要忽略的情況.
（5）通項公式與前項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數方程難度大.
（6）補充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問題.
教學設計示例
課題：等比數列前項和的公式
教學目標
（1）通過教學使學生掌握等比數列前項和公式的推導過程，并能初步運用這一方法求一些數列的前項和.
（2）通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質.
（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養學生嚴謹的學習態度.
教學重點，難點
教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路.
教學用具
幻燈片，課件，電腦.
教學方法
引導發現法.
教學過程
一、新課引入：
（問題見教材第129頁）提出問題：（幻燈片）
二、新課講解：
記，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當每一項都乘以2后，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消.
（板書）即，①
，②
②－①得即.
由此對于一般的等比數列，其前項和，如何化簡？
（板書）等比數列前項和公式
仿照公比為2的等比數列求和方法，等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即
（板書）③兩端同乘以，得
④，
③－④得⑤，（提問學生如何處理，適時提醒學生注意的取值）
當時，由③可得（不必導出④，但當時設想不到）
當時，由⑤得.
于是
反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如的數列的和，其中為等差數列，為等比數列.
（板書）例題：求和：.
設，其中為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相減法求和.
解：，
兩端同乘以，得
，
兩式相減得
于是.
說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.
公式其它應用問題注意對公比的分類討論即可.
三、小結：
1.等比數列前項和公式推導中蘊含的思想方法以及公式的應用；
2.用錯位相減法求一些數列的前項和.
關鍵詞：取數代入 公式 倒序 錯位 分組 分段 合并
在文科數學中，數列的求和問題不僅僅是高考中數學試題的一個重點，還是一個難點。很多學生都在這里遭遇挫折。但是，如果教師教授的解題方法得當，讓學生加以練習，要想掌握也不太困難。下面通過幾個具體的實例來介紹文科數學中幾種常用的數列求和的方法，希望能夠幫助學生提高得分率。
一、取數代入法求和
在選擇題中，若數列已知，要求和，可取n=1或n=2代入，即可得出答案。
例1.已知an=n2，則前n項和Sn等于（ ）
A.■ B.■
C.■ D.■
分析：本題可直接取n=1代入可得，A=1，B=2，C=1，D=1，排除B，再取n=2代入可得，A=3，C=4，D=5，排除A，C，所以正確答案為D。
注：在解決此類選擇題時，此法通用，但是要注意s■=a■，s■=a■+a■，千萬不要直接用s■=a■來解題。
二、利用常用公式法求和
利用等差數列或等比數列的求和公式求和是數列求和的最基本也是最重要的方法，而且也是學習其他求和方法的前提。
1.等差數列求和公式：
S■=■=na■+■d
2.等比數列求和公式：
S■=na■ （q=1）■=■ （q≠1）
例2.求S■=a+a2+a3+...+an-1+an
分析：這個數列，與參數a有關，但是題目中沒有具體說明參數a的取值范圍，因此，在計算的時候，我們要具體考慮參數a。當a=0時，S■=0，當a=1時，S■=n，當a≠0，a≠1時，S■=■
注：在用等差數列的求和公式時，要注意項數，不一定每個數列的項數都是n項。在用等比數列的求和公式時，以例1為例，要注意參數a的取值范圍，它會直接影響到計算的結果。
三、倒序相加法求和
這是課本中推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（倒序），把它與原數列相加，再利用等差數列的性質即可。
例3.求數列1+2+3+4+5+…+（n-1）+n的前n項和S■。
分析：S■=1+2+3+4+5+…+（n-1）+n，倒序，可得S■=n+（n-1）+（n-2） +…+3+2+1， 利用等差數列的性質，m+n=p+q？圯a■+a■=a■+a■，所以1+n=2+（n-1）=3+（n-2）= …=（n-1）+2=n+1，因此，
2S■=（1+n）*n，所以S■=■。
注：倒序相加的方法，其本質就是利用了等差數列的性質。
四、錯位相減法求和
用錯位相減法來求數列的前n項和，在高考試題中占有相當重要的位置，因此需要學生認真掌握。此法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列a■·b■的前n項和，其中a■■、b■分別是等差數列和等比數列。求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列b■的公比q，然后再將得到的新的和式和原來的和式相減，轉化為同倍數的等比數列來求和。
例4.已知c■=n·3■，求數列c■■的前n項和S■。
分析：通過觀察，c■=n·3■，由兩個部分組成，其中a■=n，b■=3■，a■、b■，分別為等差數列和等比數列。因此，
S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■①
其中等比數列b■公比是3，將式①兩邊都乘上3，得到
3S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■②
①-②得：
-2S■=1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■-n·3■
其中1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■（可用等比數列的求和公式），等于■=-■+■（3■），所以-2S■=-■+■（3■）-n·3■，S■=■-■（3n+1）+■·（3■）。
注：在用錯位相減法求和的過程中，式①，式②易得，但在用式①-②的過程中，最后一項“-n·3■”經常被漏掉，因此學生在解題書寫的過程中，一定要注意。
五、分組法求和
有這么一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，但若將這個數列適當拆開，可分為等差或等比數列，此時，若要求它的前n項和，就可以采用分組法。
例5.求數列1■，2■，3■，4■，...，n■的前n項和S■。
分析：數列的通項公式為c■=n+■，其中a■=n，b■=■，數列a■，b■分別為等差數列，等比數列，所以
S■=（1+■）+（2+■）+（3+■）+...+（n+■）
=（1+2+3+...+n）+（■+■+■+...+■）
（分組）
分別利用等差數列和等比數列的求和公式，可得S■=■+■=■-■+1
注：本解法的關鍵在于，通過觀察，將原數列分組，然后分別利用已知的數列求和公式。
六、分段法求和
分段法求和，顧名思義，就是要分段，當一個數列中，出現了兩段具有不同特點的項時，就采用此法。
例6.已知數列a■=9-n，求數列的前n項和T■。
分析：通過觀察，易得數列a■，是首項為8，公差為-1的等差數列，設其前n項和為S■，而數列a■其前n項和設為T■，T■=8+7+...+1+0+-1+-2+...+8-n+9-n。我們知道，正數和0的絕對值是它本身，但負數的絕對值是正數。因此當項數n≤9時，前n項和T■=S■。但是當項數大于9時，前n項和T■就要分成兩段，前面9項其和為S■，后面n-9項，每一項加了絕對值以后，都變成了正數，其和為S■-S■=S■-S■。綜上，當n≤9時，T■=S■；當n>9時，T■=2S■-S■。
注：以此例題為例，易錯的地方就是當項數n>9時，數列的和應該如何來求，怎么與原數列的聯系起來，如何利用S■，來求T■。
七、合并法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求前n項和時，可將具有共同特性的這些項放在一起先求和，然后再求總的和。
例7.已知Sn=2-4+6-8+10-12+...+（-1）■2n，則S■+S■-S■=
分析：通過觀察，
a■+a■=a■+a■=...=-2
S■=2-4+6-8+10-12+...+26-28+30
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（26-28）+30
=（-2）×7+30
=16 同理
S■=2-4+6-8+10-12+...+38-40
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（38-40）
=-20
S■=（-2）×25=-50
S■+S■-S■=16+（-20）+（-50）=-54
因：循；勢：趨勢；利導：引導。因勢利導即順著事情發展的趨勢，加以引導。
一次全市的等比數列公開課上，我從等差數列與等比數列的定義出發，對兩者的有關概念（公差與公比、等差中項與等比中項）、通項公式等進行類比，學生積極思考，意猶未盡。順勢引導學生推導出等比數列的前n項求和公式，公開課氣氛熱烈而又緊張。
順理成章地，我準備執行下一步教學計劃。但學生凱舉手問：“等差中項與等比中項字面上聯系一致，但表達式相差太遠，能否有一個統一的解釋？”凱平時成績一般，但思維活躍，也敢于提問。我略一停頓，把探究的目光投向學生，并作提示：“注意所得結果?！睂W生的討論有了答案。虹答：“等差中項C是A、B的算術平均，而等比中項G是A、B的幾何平均，對了，應該是G的絕對值?！焙绲幕卮鸬玫搅舜蠹业目隙?。
隨著知識聯系的進一步拓展，課堂求知氣氛更加濃烈，但考慮到時間問題，我想趕緊回到預計軌道上來。誰知，學生銘漲紅了臉但很堅決地舉手問：“既然等差中項與等比中項有那么多的類似之處，我猜想這兩者的求和公式也有一個合理的統一解釋。因為等差數列的前n項求和公式是S=，能否把等比數列的前n項求和公式寫為“S=±？”顯然，他受了剛才討論的啟發和影響。銘是一個好思考的學生，既敢于猜想，又善于發現。他這一問問得突然，不僅我備課時沒有考慮到，而且教參中也沒有提到過此類猜想，就是今天，該問題還折磨著我而一直沒有一個令人信服的解答。此問一出，聽課的老師和同學頓時炸了鍋，不一會又齊刷刷地靜下來，50多雙學生的眼睛在盯著我，還有20多雙同行的眼睛在等著我的裁決。這可不是一堂平常的課，我心想：不好，課要上砸了。不過我也知道我完全可以用“此問題與高考無關，同學們可以在課后討論完成”來搪塞過去。但是學生的猜想難能可貴。如果這樣說不與我一貫鼓勵學生要大膽探究相矛盾嗎？是我去驗證還是讓全班學生一起做？是在課堂上還是在課后進行？課上進行，我心中無底；課后進行呢，會打擊學生探究問題的熱情，盡管同學們可以理解我上公開課的成敗之重，但我從此留給學生的就是一個對待困難缺乏勇氣的形象，從而影響他們探求真理的毅力，以后他們還會去大膽猜想、大膽設問嗎？畢竟學生思維的火花一閃而過，稍縱即逝。
該是打破沉默的時候了，我主意已定：“銘的猜想是有些道理的，從等差數列的通項公式a=a+（n-1）d到等比數列的通項公式a=aq，由等差中項到等比中項±，由等差數列的前n項求和公式S=到等比數列的前n項求和公式S=±，銘的猜想是合情推理，但到底對不對呢？我們該怎樣判斷呢？”
學生們聽后開始思考，并相互討論起來。后面聽課的老師也竊竊私語，一方面是考慮問題的結果，另一方面是為我捏一把汗。但整個課堂沉浸在濃郁的探究氛圍中，大多數人把銘的猜想公式與等比數列的前n項求和公式先相等，然后嘗試證明，不過，演算很復雜。這時，有一個學生建議說：“不如我們找一個實例分別代入計算一下。”這個建議得到大家的一致認同，約定：a=1，q=2，n=4，答案應該是15，而銘的猜想公式算出來卻是±64。大家都笑銘：“你真是的，自己沒搞清楚，弄個錯誤的命題來浪費我們的時間?！便懙哪樢幌伦訚q得通紅。
看到這些，我心里不禁一愣，這樣的話，以后誰還敢在課堂上提猜想，更不用說去猜想了。我口氣稍強硬地說：“哥德巴赫猜想至今無人給出證明而只是一個猜想，但無人否定它的偉大，因為提出猜想的意義超越猜想本身，有了猜想才會有創新。”我略一停頓，接著說：“我們今天首先感謝銘，是他的猜想引起了我們的思考，鍛煉了我們的思維?！蔽沂婢徚丝跉猓骸斑@節課我們又一次靈活應用了舉反例來判斷命題的真假，也體驗了研究問題的一個基本方法：猜想證實猜想或證偽猜想改進猜想。那么，我們是否還能改進銘的猜想呢？讓我們結合等差數列的前n項求和公式和等比數列的特點再來探究。由等差數列的求和公式中出現(a+a)的形式類推到等比數列的求和公式中會有（aa）是合情推理。大家看看會有什么發現？”
一學生：“我發現，兩數列的定義決定了等差數列有(a+a)=(a+a)=…=定值，而有等比數列aa=aa=…=定值?！?/p>
另一學生：“那=（aa）=（aa）（aa）…（aa）=（a•a…a)（a•a…a），不就是說（aa）=S′，這里S′是指項的積而不是項的和?！蓖瑢W們和我不約而同地釋懷，盡管還沒能解決銘提出的猜想，但改進了他提出的猜想公式，也算是一種發現。
下課鈴聲響了，我和所有的老師和同學帶著多個疑問結束了這節公開課。
大半節課都在被銘提出的猜想牽著鼻子走，教學計劃被徹底打亂了，預定的教學任務沒有完成，花一節課讓學生討論一個不屬于高考范圍的問題是否有價值？下一節課又該怎么上？大家又會如何評價這節課？結果，大家對課的評價出乎我的預料：“教師應變自然，對學生猜想的肯定引出了學生積極探索真理的欲望……值得提倡。”
關鍵詞：數列；求和；公式求和法；顛倒相加法；裂項相消法；錯位相減法；分項求和法；并項求和法；歸納求和法；遞推求和法
中圖分類號：G638 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）08-0253-02
隨著素質教育的不斷深入，高考數學試題越來越重視學生數學能力的考查，其中數列的求和就是高考必考的知識點之一，在這個問題上，僅僅掌握等差、等比數列的前n項和公式是遠遠不夠的，為了能夠求出較為復雜的數列的前有限項之和，還需要掌握一些其它較為常見的方法?，F簡介如下，供參考。
1 公式求和法
1.1 方法的來源
等差數列、等比數列的前n項和公式以及一些常見的恒等式：
等差數列的前n項和公式：Sn==na1+
等比數列的前n項和公式：q=1時，Sn=na1
q≠1時，Sn==
常用恒等式：1+2+3+……+n=
1+3+5+……+（2n-1）=n2
2+4+6+……+2n=n（n+1）
12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）
13+23+33+……+n3=n2（n+1）2
1.2 適用的范圍
主要適用于由特殊數列尤其是等差數列、等比數列的和、差構成的數列以及可直接利用上述公式的數列的求和問題。
1.3 注意的問題
分組后數列的項數和等比數列中公比是否為1的討論。
例1：是否存在常數a、b、c，使得等式1?22+2?32+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）對一切正整數n都成立？并證明你的結論！
分析：這是一道全國高考的壓軸題。事實上，等式的左邊即為數列{n（n+1）2}的前n項和，由n（n+1）2=n3+2n2+n容易看出它實際上是數列{n3}，{2n2}，{n}的和數列，從而可得：
左邊=（3n2+11n+10）。
所以使原等式對一切正整數n均成立的常數a、b、c是存在的。a=3，b=11，c=10。
2 首尾相加法（也稱顛倒相加法）
2.1 方法的來源
等差數列前n項和公式的推導方法，它是根據數列前n項和的定義，將和式首尾顛倒，并與原和相加，通過求其二倍而求前n項和的方法。
2.2 適用的范圍
與首末兩項“等距離”的兩項之和相等的數列的求和。
2.3 注意的問題：項數的確定
例2：求Sn=C+3C+5C+……+（2n-1）C
分析：由組合數公式C=C（r=0，1，2……n）知，C=C，C=C……同時Sn=（2n-1）C+（2n-3） C+……+3C+C與原式相加得2Sn=2nC+2nC+2nC+……+2nC=2n（C+C+C+C）=2n2nSn=n2n
3 裂項相消法（或拆項相消法）
3.1 適用的范圍
主要適用于通項公式為分式或三角形式特別是等差數列相鄰或相間項積的倒數列以及算術根和的倒數列的求和。
3.2 注意的問題
一是恰當地拆項（或裂項）。
二是拆項后的消去規律，也就是f是鄰項相消還是間項相消。
三是剩余項一般具有對稱性。
3.3 常見的裂項
（1）一般地：如果{an}是公差為d的等差數列，那么
（2）常用地：
（3）三角函數的積化差公式。
例3.已知數列{ }的各項如下：1，，，……，，求它的前n項和。
分析：an
所以Sn=a1+a2+a3+……+an=2[（1-）+（-）+（-）+ ……+（）]=2（1-）=
例4.sinα，sin（α+β）， sin（α+2β）， sin（α+3β）， ……sin[α+（n-1）β]的和。
分析：解決這一問題的關鍵是把各項分別拆成兩項使這兩項所含角度之差為β。由此，可設法利用三角函數的積化和差公式，為此用2sin乘數列的各項，得
2sin?an=cos（α+β）-cos（α+β）；因此，2sin?Sn=2sin（α+β）sin
Sn=sin（α+β）
誠然，裂項相消法的應用還不只題中所述，只要可以將通項拆成兩項的差之后，可以相互抵消，都可以使用這種方法，但一定要牢記：拆項是手段，相消是目的。拆項之后抵消不了的話，這種拆項是沒有任何作用的。比如=就是一種無效的裂項方式。
4 錯位相減法
4.1 方法的來源
等比數列前n項和公式的推導方法。
4.2 適用的范圍
它主要適用于由一個等差數列與一個等比數列各對應項的積構成的數列的求和。
4.3 注意的問題
一是其中的等比數列中公比q是否為1的討論，二是相減后成等比數列的項數。
例5.設{an}是等差數列，{bn}是各項均為正數的等比數列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。
（1）求{an}，{bn}的通項公式。
（2）求數列{}的前n項和Sn。
分析：（1）設出{an}的公差d和{bn}的公比q（q>0），則由題設可得d和q的方程組，通過解方程組即得d=2，q=2，于是an=2n-1，bn=2n-1
（2）由（1）可知：，
于是Sn=，
這顯然符合錯位相減法求和的條件，因此在上述等式的兩邊同乘以，再兩個等式相減即可求出Sn。
例6.設實數a≠0，數列{an}是首項為a，公比為-a的等比數列，記bn=anlg│an│（n∈N*），Sn=b1+b2+……+bn，求證當a≠-1時，對任意n∈N*均有Sn=[1+（-1）n+1（1+n+na）an]
分析：由題設an=a（-a）n-1=（-1）n-1an，
bn=（-1）n-1 nan lg│a│O
Sn=alg│a│[1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1]
@將問題轉化為如何求和S'=1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1，這是由等差數列{n}與等比數列{（-1）n-1an-1}各對應項之積構成的數列的求和問題，為此，兩邊同乘以-a得：
（-a）S'n=-a+2a2-3a3+……+（-1）n-1（n-1）an-1+（-1）nnan兩式相減即可得證。
5 分項求和法
5.1 適用的范圍
主要適用于通項公式為分段函數的數列的求和。
5.2 注意的問題
對項數奇偶性的討論。
例7.一個數列{an}，當n為奇數時，an=5n+1，當n為偶數時an=，求這個數列的前n項之和。
分析：其中{an}的通項公式顯然是分段式的，而且不難發現數列{a2m-1}是以6為首項，公差為10的等差數列，數列{a2m}是以2為首項，公比為2的等比數列，這種發現就決定了此題的解法：
當n為偶數的時候，令n=2m，那么m=n/2，于是
Sn=S2m=（a1+a3+……+a2m-1）+（a2+a4+……+a2m）
=[6m+?10]+=5m2+m+2m+1-2=n2++2n/2+1-2
當n為奇數的時候，可以類似求出，或者利用n為偶數的結論，即n為奇數時，n-1為偶數，Sn=Sn-1+an。
6 并項求和法
6.1 適用的范圍
主要適用于正、負項相間的數列的求和問題。
6.2 注意的問題
項數奇偶性的討論
例8.求數列{（-1）nn}的前n項和Sn。
分析：顯然Sn=-1+2-3+4-……+（-1）nn，不難發現，若將相鄰兩項并作一項再進行計算，可使問題大大簡化。當然，n取正奇數和正偶數應分別計算；
當n取正奇數時，Sn=-1+（2-3）+（4-5）+……+（n-1-n）
=-1-1-1-……-1=；
當n取正偶數時，Sn=（-1+2）+（-3+4）+……+（n-1+n）
=1+1+……+1=；當然，最后的結論中Sn要寫成分段函數的形式。
7 歸納求和法
當Sn不易直接求出時，亦可先計算出S1，S2，S3……，通過觀察，用不完全歸納法歸納出Sn的表達式，再用數學歸納法加以證明。
例9.已知數列：，Sn為其前n相和，計算S1，S2，S3，S4，觀察計算結果，推測出計算Sn 的公式，再用數學歸納法加以證明。
分析：不難算出：，觀察這四個結果發現，分母分別32，52，72，92，分子比分母少1，故而猜測：Sn=，再用數學歸納法證明上述猜測是正確的。
當然，觀察變形能力較強的同學也不難看出：
，然后可以用裂項相消法求和。
8 遞推求和法
8.1 適用的范圍
這種方法比較特殊，它主要適用于前n個正整數的一定次冪的求和問題。
8.2 注意的問題
熟記前n個正整數的若干次冪之和。
例10.求和Sn=13+23+33+……+n3
分析：由（R+1）4=R4+4R3+6R2+4R+1得
24=14+4×13+6×12+4×1+1
34=24+4×23+6×22+4×2+1
……
（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1
將以上各式相加得
（n+1）4=1+4Sn+6（12+22+32+……+n2）+4（1+2+3+……+n）+n=1+4Sn+n（n+1）（2n+1）+2n（n+1）+n
進而求得Sn=n2（n+1）2
以上簡要介紹了數列求和的八種常見方法，它們既是相互區別的，又是相互聯系的；一個復雜的數列求和問題可能會用到其中的一種或幾種方法。在解題實踐中，只要做到以下口訣，即可確保準確無誤。
觀察通項特征，判定數列類型；
若非特殊數列，分析怎樣構成；
一、把握教學的尺度
尺度泛指“五度”，即高度、量度、難度、深度、密度，分述如下。
（一）高度，是指教學的目的與要求。必須條款清楚，把握分寸，切忌“唱高調，收低效”。如“了解”、“熟悉”、“掌握”、“熟練掌握”等，務必措詞準確，立足實際。如在等比數列求和公式與應用的教學中，可擬定為：（1）掌握公式推導方法——錯位相減法；（2）熟練掌握公式及其使用條件；（3）直接應用公式熟練求和；（4）了解相關雜級數求和問題。如此以表示程度的不同。
（二）量度，是指授課與作業的份量。必須多少適量，負荷適宜，超飽和與低運行都會導致效益的低下。其措施為：（1）細化授課時間，形成教學環節與教學時間的一一對應；（2）教師下“深水”，對設置的作業題先行試做或理清思路，以摸清份量與深淺。有此兩條，量度必趨合理，臻于完善。
（三）難度，即教學內容難易的程度。它決定于課堂教學的五個要點，即重點、難點、銜接點、適中點和拔高點。在“五點”設置中，須注意其科學性、合理性、準確性、實踐性和可操作性，力求知識內容與學生實際的和諧統一。
（四）深度，指對知識點發掘的程度。于此，須體現深刻性、拓展性和預見性。深刻性，須挖掘知識點的隱含內容。例如，等比數列的定義中隱含著首項與公比不為零，宜用反證法證之。拓展性，須弄清知識點的遷移規律，以培養學生觸類旁通，舉一反三，以一馭萬，以不變應萬變的能力。例如，一題多解、一題多變與一題多用的靈巧設置；“通法”、“巧法”與“誤法”的兼容并蓄，相映成趣，等等。預見性，須注重學生靈感思維，逆轉思維與發散思維的訓練，以培養學生的創造能力。例如，在求和Sn（x）=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1（n∈N）一題的解答中，利用錯位相減法，一舉奏效。不難看出，式中各項是一個等差數列與等比數列前n項對應項的乘積。那么，錯位相減法是否對一切等差數列與等比數列的情形都適用呢？嚴密的推導，證明了這種預見與推測的正確性?？梢姡写恕叭浴保谡n堂教學中，必能務本求實，走出照本宣科、花拳繡腿、做表面文章的誤區。
（五）密度，是指課堂教學疏密的程度。哪些該密，哪些該疏，說到底，是一個詳略得當的問題。重點問題，須緊鑼密鼓，集中解決；非重點問題，須穿針引線，順其自然。力求張弛適度，節奏有致。以不斷調節學生心態，激發其興奮點，置他們于欲取欲求的憤悱狀態。
二、設置教學的坡度
要使課堂教學環環相扣，層層深入，步步拔高，就必須設置適宜的教學坡度。這就需要教者在全面考查與分析中，找準教學的銜接點、適中點與拔高點。所謂銜接點，即是新舊知識的接軌點，它是新課的奠基石；所謂適中點，則是教學的基本要求，須面向大多數；所謂拔高點，乃是當堂新知識拓展與延伸的終止點，須面向優生，擴大非優生的知識視野，激發其積極向上的熱情。例如，等比數列前n項求和公式與應用一節，宜確立銜接點為等比數列通項公式；適中點為運用求和公式，熟練求和；拔高點為相關雜級數求和。
三、提煉教學的精度
“少而精”雖然是老調常彈，耳熟能詳，但卻是我們必須堅持的重要教學原則。精則須純，純則須煉。因此，須注重教學內容、方法與教師課堂語言的提煉。例如，我在等比數列求和公式與應用的教學中，用鋪墊法引出了錯位相減法；用三道例題訓練解題的通法、巧法與誤法，顯示了一題多變，一題多解，循序漸進，誘發推測與預見的特點；用教學詳案促進了課堂語言的凈化與規范。這些，都是精于推敲，刻意提煉的結果。臺上一分鐘，臺下千日功。教師須認真備課，深鉆細究。像春蠶那樣細食綠桑而結成晶繭；像蜜蜂那樣，廣采芳粉而釀成甜蜜。
四、增大教學的力度
吸引力，感染力，激發力與凝聚力是課堂教學的驅動力。那么如何加大其力度呢？其重點有二。
（一）激發學習興趣。程頤曰：“教人未見意趣，必不樂學?！币馊な侨松恼{料，生活的味精。教者應注意教學的趣味性，以激發學生的學習興趣，特別是激發學生對知識本身的興趣。這是調動學生積極思維、提高教學效益的重要前提。常用的方法有多種。于此，重點說明幾法。
其一，激疑法。設置適當的問題與矛盾，使學生急于解決而又不得其法，從而激發他們對新課的濃厚興趣。這種方法，多用于新課的導入。例如，在教學等比數列求和公式時，首先宜要求學生計算諸如3+32+33+…+310之類的問題，以促使他們產生探求公式的強烈愿望。
其二，激趣法?；菰餅樯鷦?，化抽象為形象，化干癟為豐滿，是此法的基本特征。反實創虛是其有效方法之一。所謂反實創虛，是依客體創設形象，翻新激趣，以幫助學生記憶與鞏固。例如，馬克思生于1818年5月5日，可記為“馬克思一巴掌又一巴掌打得資本家嗚嗚直哭”，諧音即得。
其三，調味法。課堂教學的運籌，恰如美味佳肴的烹調，須注意添以精料，調以美味，把握火候。課堂教學的“三劑”，運用恰當得體，則具奇效，可使師生樂不知疲。其為：搞好開場白，注入興奮劑；增強幽默感，添加劑；運用過渡語，巧施催化劑。
（二）強化自身手段。要增大教學力度，教師須從自身著眼，最大限度地強化自身教學手段，力求做到如下幾點。一要潛心，進入角色，物我兩忘，全力以赴；二要旺神，氣宇軒昂，熱情飽滿，精力充沛；三要熟記，倒背如流，胸有成竹，熟練駕馭；四要善辭，清晰悅耳，抑揚頓挫，神情并茂；五要巧導，深入淺出，因勢利導，循循善誘。其中，“善辭”是指教師須善于言辭表達。要在語音、語氣、語調、語勢和語速上潤色，提高語感系數。激昂時，如萬馬奔騰；舒緩時，似閑云飄逸；低婉時，若夜琴輕扣。言難言之理，表難達之情，開啟智慧的門窗，撥動學生的心弦?！扒蓪А笔侵附處燀氉⒁獍l揮主導作用中的技巧，做到引導，指明方向；啟導，觸動靈感；誘導，誘發行為，如同施以誘餌，引魚上鉤。如在等比數列求和公式教學中，引導，在于觀察相鄰項間的關系；啟導，在于推廣試探，等式兩邊同乘q；誘導，在于誘使施用錯位相減法。
五、調整教學的跨度
為了培養學生的知識遷移能力與應變能力，我們必須調整教學的跨度。即在課堂教學中，須適當地跨出章節，跨出教材，跨出年段，實施重新組合與兼融滲透的策略。
求數列通項公式和數列前[n]項的求和是高考重點考查的內容，也是考綱明確提出的知識點，年年在考，年年有變，但變的是試題的外殼，即在題設條件上有變化、有變革、有創新，但在這些變中更有不變的主題，即各種問題的解答方法大致可以歸納為平平常常的幾種.因此，考生有效地進行化歸是正確、準確、迅速解題的前提，而合理地構建方法是成功解題的關鍵，正確的處理過程是制勝的法寶.這部分內容在高考中既有以選擇題、填空題形式的簡單考查，也有以解答題重點考查的情況.求通項公式時，往往是把非等差等比類數列通過方法（待定系數法、特征方程法、不動點法等）轉化成等差等比數列，有時需要反復轉化最終才能達到求解的目的，分值在6分左右；數列求和方法也是常規的幾種（錯位相減、交叉相消、分組求和等），更多的考題在求和完成后要利用結果完成方程或不等式等類型的運算或證明，分值在8分左右.各地文、理科試卷在選擇部分出現時的差別不大，往往文理科試卷題完全一樣，而若在填空題或大題中出現時文理通常以姊妹題的方式出現.
命題特點
數列這講內容的考點主要包括三個方面：一是要求求非等差等比數列的通項公式，更多試題是借助整體換元的方式把普通數列轉化成特殊數列；二是求數列前[n]項，數列求和主要是分析通項，然后根據通項選擇相應的求和方法.掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法.通過數列求和考查學生的觀察能力、分析問題與解決問題的能力以及計算能力；三是數列求和常與其它知識點的交互考查，尤其與函數、方程、不等式、等內容有機地結合在一起，既重視對數列的基礎知識的考查，又突出對數學思想方法和數學能力的考查.其類型如下：
1. 利用含[an，Sn]的等式求數列通項公式，并對求和公式加以考查
例1 設[Sn=（-1）nan-12n]為數列的前[n]項和，則
（1）[a3]=_____；
（2）[S1+S2+???+S100=]___________.
解析 （1）由[Sn=（-1）nan-12n]得：
[Sn+1=（-1）n+1an+1-12n+1]，[a1=（-1）1a1-121?a1=-14].
兩式相減得：[an+1=（-1）n+1（an+1+an）+12n+1]，
①當[n]為奇數時，[an+1=an+1+an+12n+1]，
即[an=-12n+1].
②當[n]為偶數時，
[an+1=-（an+1+an）+12n+1?an=-2an+1+12n+1]，
而此時[an+1=-12n+2]，
[an=-2?（-12n+2）+12n+1=12n].
[a3=-116].
（2）由（1）[an=-12n+1（n為奇數），12n（n為偶數），]結合題給條件
[Sn=（-1）nan-12n]可得，[Sn=-12n+1（n為奇數），0（n為偶數）.]
于是[S1+S2+???+S100=S1+S3+S5+???+S99]，
即[S1+S2+???+S100=-14[1-（14）50]1-14=13?（12）100-13].
點撥 本例題給條件是含[an，Sn]的混合恒等式，通過衍生含[an+1，Sn+1]的等式后作差，使恒等式中的[Sn]消失，變換為該數列[an]相鄰兩項的遞推關系式，從而使混合式變成單一的我們熟悉的式子.考慮到有[（-1）n]出現，通過對[n]的奇偶性討論來發現觀察問題，最終解決了第一個問題；在第二問中盡管[Sn]是數列[an]前[n]項的和，但實際上又構成了新數列[Sn]，并要求求新數列[Sn]前100項的和，于是先須求[Sn]的通項公式，再根據需要求解.
例2 已知等差數列[an]的前[n]項和為[Sn=（a+1）n2+a]，一個三角形三邊之比為[a2：a3：a4]，則該三角形最大角的正切值為 （ ）
A. [33] B. [1]
C. [3] D. [-3]
解析 因為數列[an]是等差數列， [a=0，Sn=n2].[a2=3，a3=5，a4=7]，設三角形最大角為[θ]，由余弦定理得，[cosθ=-12，θ=2π3，tanθ=-3]，故選D.
點撥 本題運用等差數列的前[n]項和公式的結構特點：[Sn=An2+Bn]，公式中缺常數項，得到[a=0].因此，在解題時要善于捕捉題給條件中所涉及的相關信息，形成最好的解題方案.
2. 利用特殊數列基本量去求解通項公式，并對求和公式加以考查
例3 已知等比數列[an]滿足：[|a2-a3| =10]，[a1a2a3=125].
（1）求數列[an]的通項公式；
（2）是否存在正整數[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]？若存在，求[m]的最小值；若不存在，說明理由.
解析 （1） 設等比數列[an]的公比為q，
則由已知可得[a13q3=125，|a1q-a1q2|=10，]
解得[a1=53，q=3，]或[a1=-5，q=-1.]
故所求通項公式為[an=53?3n-1]，或[an=-5?（-1）n-1]. （2）若[an=53?3n-1]，則[1an=35?（13）n-1].
故[1an]是首項為[35]，公比為[13]的等比數列.
從而[n=1m1an=35?[1-（13）m]1-13=910?[1-（13）m]
若[an=（-5）?（-1）n-1]，則[1an=-15（-1）n-1]，
故[1an]是首項為[-15]，公比為[-1]的等比數列.
從而[n=1m1an=-15， m=2k-1 （k∈N+），0， m=2k （k∈N+）.]故[n=1m1an
綜上，對任何正整數[m]，總有[n=1m1an
故不存在正整數[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]成立.
點撥 本題主要考查等比數列的通項公式、數列求和及不等式運算.考查靈活運用基本知識解決問題的能力、運算求解能力和創新思維能力.對于通項公式，可以利用基本量求出首項和公比；對于數列求和，是通過對等比數列求和運算來展開的，重視基礎，然后與不等式知識簡單交叉.
例4 等差數列[an]中，[a1+a2+a3=-24，][a18+a19][+a20=78]，則數列前20項和等于_________.
解析 由已知可得，
[（a1+a2+a3）+（a18+a19+a20）][=-24+78=54].
[（a1+a20）+（a2+a19）+（a3+a18）=54?a1+a20=18.]
[S20=20（a1+a20）2=20×182=180].
點撥 本題主要運用等差數列的性質，當[p+q=s+r（p，q，s，r∈N*）]時，[ap+aq=as+ar]，同時也考查了等差數列求和公式的運用.
3. 利用化歸思想對數列通項、求和公式的考查
例5 已知數列[an]中，[a1=1，an+1=anan+3].
（1）求數列[an]的通項分式；
（2）若數列[bn]滿足[bn=（3n-1）n2n?an]，數列[bn]的前[n]項和為[Tn]，若不等式[（-1）nλ
解析 （1）由題知[1an+1=an+3an=3an+1]，
變形為[1an+1+12=3（1an+12）]. [1an+12=（1a1+12）?3n-1=3n2，an=23n-1].
（2）由（1）可得，[bn=（3n-1）?n2n?23n-1=n?（12）n-1]，
[Tn=1×1+2×12+3×（12）2+…+n×（12）n-1]，
[12Tn=1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n×（12）n].
兩式相減得，
[12Tn=1+12+（12）2+（12）3+…+（12）n-1-n×（12）n]
[=1-（12）n1-12-n2n=2-n2n]，
[Tn=4-n+22n-1].
[Tn+1-Tn=（4-n+32n）-（4-n+22n-1）=n+12n>0]，
所以[Tn]為遞增數列.
①當[n]為奇數時，不等式變形為[-λ
②當[n]為偶數時，不等式變形為[λ
綜合①②得，[-1
點撥 通過對題給遞推公式兩次有目的的變形，把原數列[an]問題轉化成等比數列[{1an+12}]的問題，通過求數列[{1an+12}]的通項公式達到求原數列[an]通項公式的目的.在對數列[bn]求前[n]項和時運用了錯位相減的方法，運算的過程相對固定，但運算中很容易因失誤出錯，為了避免這個失誤，除了嚴謹認真外，還應該對最后的結果用[n=1，2]等進行檢查.本題與恒成立不等式問題交叉，先利用判斷數列單調性的方法求得數列最大（小）項的值，然后達到最終要求.
備考指南
（1）要熟練掌握基礎知識與基本操作解題技能， 復習時首先要在充分掌握等差、等比數列的通項公式及前[n]項和的公式基礎上，利用轉化與化歸思想方法解決那些非等差、等比的問題，要學會模式化的轉換策略，針對相關模式掌握好及時應對方法.
（2）重點掌握數列求和的多種策略與方法，達到準確熟練運用的能力.
（3）善于抓住非等差（比）數列結構特征，通過適當變形與處理，使它轉化為特殊的模式，如交叉相消、錯位相減等，從而達到我們能從容應對的目的.
（4）數列終歸是特殊函數，在與其它知識交叉時多多利用數列的函數特性.
限時訓練
1. 設[Sn]為等差數列[an]的前[n]項和，[S8=4a3，][a7=-2]，則[a9]= （ ）
A.[-6] B.[-4]
C.[-2] D.2
2. 設差數列[an]前[n]項和為[Sn，Sm-1=-2，Sm=0，][Sm+1=3]，則[m=] （ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
3. 若等比數列[an]的前[n]項和為[Sn]，且[S4S2=5]，則[S8S4=] （ ）
A.35 B.17
C.4 D.25
4. 在等差數列[an]中，[a2=6，a5=15，bn=a2n]，則數列[bn]的前5項和[S5=] （ ）
A.45 B.78
C.90 D.105
5. 已知[an]的通項公式為[an=][1（n+1）n+nn+1][（n∈N*）]，其前[n]項和為[Sn]，則在數列[S1，S2，…，S2014]中，有理數項的項數為 （ ）
A. 42 B. 43
C. 44 D. 45
6. 若等差數列前3項和為3，最后3項和為30，且數列所有項的和為99，則這個數列有 （ ）
A. 9項 B. 12項
C. 15項 D. 18項
7. 設[Sn]為等比數列[an]的前[n]項和，若[8a2-a5=0]，則[S4S2=] （ ）
A. [-8] B. [5]
C. [8] D. [15]
8. 已知數列[an]的前[n]項和為[Sn]，且[Sn=2an-2]，數列[bn]滿足[b1=1]，且點[P（bn，bn+1） ]在直線[y=x+2]上，則[anbn=] （ ）
A. [（2n-1）2n] B. [（2n+1）2n]
C. [2n（2n-1）] D. [2n（2n+1）]
9. 已知等比數列前20項和是21，前30項和為49，則前10項和是 （ ）
A. [7] B. [9]
C. [63] D. [7]或[63]
10.若等差數列[an]的第5項是二項式[（x-13x）6]展開式的常數項，則該數列前9項的和[S9=] （ ）
A. [259] B. [15]
C. [53] D. [-53]
11. 已知等比數列[an]是遞增數列，[Sn]是[an]的前[n]項和，若[a1，a3]是方程[x2-5x+4=0]的兩個根，則[S6=]________.
12. 已知[an]是等差數列，[a1=1]，公差[d≠0]，[Sn]為其前[n]項和，若[a1，a2，a5]成等比數列，則[S8]=_______.
13. 數列[an]是公差為[d（d>0）]的等差數列，且[a1=2，a3=a22-10]，設[bn]是以函數[y=4sin2πx]的最小正周期為首項[b1]，以3為公比的等比數列，則數列[{an-bn}]的前[n]項和[Sn=]__________.
14. 設[An=12，34，58，…，2n-12n][n≥2]，[An]的所有非空子集中的最小元素的和為[S]，則[S]=__________.
15. 已知在正整數數列[an]中，前[n]項的和[Sn]滿足：[Sn=18（an+2）2].
（1）求證：[an]為等差數列；
（2）若[bn=12an-30]，求數列[bn]的前[n]項和的最小值.
16. 已知[Sn]是等比數列[{an}]的前[n]項和，[S4]，[S2]，[S3]成等差數列，且[a2+a3+a4=-18].
（1）求數列[{an}]的通項公式；
（2）是否存在正整數[n]，使得[Sn≥2013]？若存在，求出符合條件的所有[n]的集合；若不存在，說明理由.
17. 設[Sn]為數列[{an}]的前項和，已知[a1≠0]，[2an-a1][=S1?Sn]，[n∈N*]
（1）求[a1]，[a2]，并求數列{[an]}的通項公式；
（2）求數列{[nan]}的前[n]項和.
18.已知數列[an]滿足[a1=1]，且對任意非負整數[m，n（m≥n）]均有：[am+n+am-n+m-n-1=12（a2m+a2n）].
（1）求[a0]及[a2]；
一、教學設計和背景
（1）知識與技能目標：掌握等比數列項前n項求和公式，能較熟練應用等比數列前n項求和公式。
（2）過程與方法目標：經歷公式的探索性推導過程，體會數學的邏輯性和嚴謹性，以及分類討論的數學思想，學會觀察思考。
（3）情感態度與價值觀目標：通過學習，讓學生體會到數學的應用性，激發學生學習數學的興趣。
重點：等比數列前n項求和公式的推導及簡單應用。
難點：等比數列前n項求和公式的推導過程。
數列是刻畫離散現象的函數，是一種重要的數學模型。其等比數列前n項求和公式的推導過程學生接受起來感覺比較困難，為了突破這個難點，本節課設計采用“多媒體優化組合――激勵――發現式教學”，以問題創設情境，激活學生原有的知識，激發學生“想知道”的欲望，形成學生學習數學的興趣，讓學生真正成為學習的主體。
二、教學片斷
“老師，今天的課太有意思了！我都聽懂了！”班里一位平時上課經常睡覺的學生下課時對我說，我稱贊并鼓勵他以后也要認真聽講，心思又回到了今天這節課：
“同學們，我們知道就在前天，我國自行研制的神州六號載人航天飛船發射成功，舉國上下一片歡騰，每個中華兒女都倍感自豪，下面我們先來回顧一下那個劃時代的歷史鏡頭！”
首先是給出關于神六發射的視頻，激發同學們學習興趣。
教師：阿基米德說過：“給我一個支點，我能橇起整個地球?！比绻覀冇幸粋€理想的平臺，是否可以登上月球呢？今天我們就要來建造一個理想的平臺，看看是否可以登上月球呢？
第一位同學造一層1米高（五級）的臺階，第二們同學在第一位同學的基礎上造一層2米高的臺階，第三位同學再在第二位同學的基礎上造一層4米高的臺階，假定往后每位同學所造的臺階高度都是前一位同學所造高度的2倍，依次類推，直到我們班里最后一位同學，那么大家共同建造的這個臺階能否從地球到達月球？（月球距離地球大約是40萬公理）
我把學生分成四人小組，讓學生輪流開始“建造”臺階了……
老師：這是一個什么樣的數學問題？很快就有多數學生舉手，一學生答：“現在我們班里有47同學，那么臺階能達到的高度是1+2+22+……+247米，所以現在把這個問題就是和式的值與4×108的大小比較?！痹捯魟偮?，另一學生又補充說：“這實際上是求以1為首項、2為公比的等比數列的前47項和的問題?！?/p>
老師：“如何算出這個和式的值呢？”。同學分別動手，有的用計算器、有的在用小高斯的求和方法等進行試探。從而進一步引導學生去分析項的特點，從探究過程中得到啟發，發現“錯位相減法”。
老師：把2改q，則Sn=1+q+q2+……+qn-1（等比數列前n項和的實質），如何化簡？（體現從特殊到一般的思想）。學生仿照上面的方法，不難得到。這樣，最后一問就是一般的等比數列的前n項的求和。這對學生來說，也就能得到等比數列的求和公式，這樣就解決了本節課的教學難點?！?/p>
在最后我還設置了開放性的課堂小結方式：通過這節課的學習你得到了哪些知識，有什么啟發？學習了哪些數學思想方法？同時把同學們的知識小結，用卡通畫表示出來，如下（圖1）。最后，教師：“最后希望同學們在今后的學習當中，像這條魚兒一樣在知識的海洋里暢游，早日到達成功的彼岸！”
并給出了兩道情境式的習題，如下：
作業1：中國有首古詩：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍自增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？
作業2：“神舟六號”發射成功，某移動公司立即發出短信：“請你把中國神六發射成功的消息轉發給10位朋友，并且注明您是第x位接收此消息的……”
假定這家公司發出的10條短信中的x值均為1，以后每一位收到短信后將x值都增加1，再將短信發出。據統計，所發短信中x的最大值為10，試問通過這家公司最多發了多少條短信？
三、教學反思
這堂課的課堂氣氛熱烈，學生興趣高漲，參與積極，效果出乎意料的好，而那個平常經常睡覺的學生對我說的話更使我有了很多的思考：我類學校，那些上課不聽的學生未必是對學習毫無興趣，只要教師立足于學生的興趣與基礎，創設好情境，就能使學生不知不覺地滋生出學習動力與學習熱情。所以，對于學習興趣的培養應當做為我類學校的重點來抓，并把激發學生興趣滲透到每個教學環節，貫穿于數學教學的全過程。激發學生興趣，我認為可以從以下方面著手：
1.創設情境，激發學習興趣
從近年來高考試題中分析得知，考查數列的比重越來越大，其價值越來越得到重視。尤其是相關數列的題型不僅能夠鍛煉學生的探究能力，培養學生嚴謹的思維能力，而且對學生分析能力、歸納能力的培養也起著不可替代的作用。同時，等差數列的前n項和也是上節課等差數列的后繼內容。本節課的主要內容是：等差數列前n項和公式的推導及運用。
二、教學目標
1.知識與技能目標：
（1）掌握等差數列前n項和的公式以及推導過程；
（2）會用等差數列的前n項和解決相關的一些問題。
2.能力目標：
通過讓學生自主推導前n項和公式來鍛煉學生的自主學習能力
通過相關問題情境的創設來培養學生的獨立思考能力和探究能力。
3.過程與方法：
自主探究模式、數學思想的滲透。
三、教學重點與難點
重點：等差數列前n項和公式的推導。
難點：等差數列前n項和公式的靈活運用。
四、學生分析
“以學生為中心”的教學思想是新課程改革下的基本教學理念，也是學生健全發展的保障。所以，對于高中階段的學生來說，他們已經具備了自主學習的能力，而且多年的學習也促使學生有了特有的學習方法，因此，我們可以借助自主探究式教學模式來給學生搭建自主學習的平臺，進而為學生獲得更大的發展空間打下堅實的基礎。
五、教學過程
導入環節：回顧等差數列的通項公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果將某個等差數列各個項相加，會得到怎樣的結果？
（設計意圖：一是讓學生回顧和復習上節課的內容；二是提出問題，調動學生的求知欲，使學生帶著問題走進課堂。）
情境創設：德國偉大數學家高斯在九歲那年，用很短的時間完成了教師布置的一道數學題：對自然數從1到100的數進行求和。老師非常驚訝高斯為什么能在這么短的時間里計算出對這個年齡來說相當困難、相當耗費時間的題目。思考：高斯用了什么方法？
（設計意圖：創設該環境只是為了要將本節課的正題引出，因為對于這樣的題，學生很容易回答出答案為5050；對50對構造成和101的數列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我們通常所說的首尾相加。）
接著，讓學生簡述解題過程。接著，引導學生思考：如果這道試題改為“對自然數從1到n的數進行求和？”會得到怎樣的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n
學生1：延續高斯的首尾相加。
第一項和倒數第一項相加：1+n
第二項和倒數第二項相加：2+（n-1）=n+1
第三項和倒數第三項相加：3+（n-2）=n+1
……
第n項和倒數第n項相加：n+[n-（n-1）]=n+1
于是所有的前n項和為■
學生2：借助等差數列的通項公式。
設y=1+2+3+4+…+n
觀察可以看出，該式子各項之間是等差為1的等差數列。
即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）
y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）
將（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y
（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y
y=■
所以，1+2+3+…+n=■
……
（設計意圖：引導學生發揮自己的主觀能動性，積極動手、動腦尋找解答的過程，這樣一來不僅能夠加深學生對相關知識的印象，提高學生的理解能力，而且對學生綜合能力的提高也起著非常重要的作用。同時，該環節的設計是等差數列前n項和公式推導出來的前提。）
在學生給出不同的解答過程之后，我接著引導學生思考：如果對于一個等差數列，第一項未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推導出該等差數列的前n項和公式。（學生思考，并在上述解答的思路中給予證明。）
證明：先求出等差數列的通項：an=a■+（n-1）d
設前n項和為Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]
=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d
=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]
=na■+■d
當然方法不止這一種，在此不再進行詳細的介紹?？傊?，在對學生的解題過程給予肯定之后，我明確了等差數列前n項和公式，并板書該公式，而且導入環節的問題也隨之得到了解決。
（設計意圖：該過程的設計就是為了讓學生自主動手推導出等差數列的求和公式，這樣不僅能夠加深學生的印象，而且對提高學生數學知識的應用能力也起著非常重要的作用。）
思考問題：（1）在等差數列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，則S13等于 ； ；。
（2）設等差數列{a■}的前n項和為S■，若a■=S■=12，則{a■}的通項a■= ； ；。
（3）已知等差數列前m項和為30，前2m項和為100，求前3m項和為多少？
（4）設等差數列an的前n項和為S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？
……
（設計意圖：這幾道試題從難度上來說，由簡至難，既符合學生的認知規律，而且對學生知識應用能力的培養也起著非常重要的作用。）
關鍵詞：創造思維；思想；學生主動參與
那么在中學數學教學中如何培養學生的創造思維呢？結合本人教學實踐，談幾點體會。
一、創設問題情景，引入創造思維境界
創新教育家蘇霍姆林斯基說過：“如果學生們沒有學習愿望的話，我們所有的想法、方案和設想都會化為灰燼，變成木乃伊?！币虼?，在導入新課時要力求新穎、有趣，使學生在上課伊始就被要學的內容所吸引，思維處于積極的興奮狀態。創設問題情景就其內容形式來說，有故事法、生活事例法、實驗操作法、聯系舊知法、伴隨解決實際問題法等；就其意圖來說，有調動學習積極性引起興趣的趣味性問題，有以回顧所學知識強化練習的類比性問題，有與實際相結合的應用性問題等。例如：在上“等比數列前n項求和公式”時，引用了國際象棋的例子，從而激發了學生思維的火花和求知的欲望。
二、采用啟發式教學，培養學生創造才能
一堂課效率的高低，不光要看教師能傳授給學生多少知識，還要看能否教給學生主動學習的方法，即不僅要使學生“學會”還要使學生“會學”，成為獲取知識的主人和新知識的“發現者”。因此，教師必須用啟發式教學方法，引導學生自己去探索新規律，提出新問題，并給出解決問題的方法。例如：在等差數列、等比數列前幾項和公式的教學中，由于過多地受應試教育的影響，一般都把求和公式的推導的思想方法看得較輕，而把如何利用求和公式解答習題的技能技巧的訓練看得較重。而創造性思維教學的觀點不只是要求學生能掌握和利用求和公式，而且要求學生首先要深刻理解推導求和公式的思想方法。也就是要求學生在已掌握“加法”“乘法”“等差數列的性質”等舊知識的基礎上，轉化出推導等差數列前幾項和的公式的新的思想方法。即在等差數列{an}中，當d=0時，Sn=na1，當d≠0時，讓學生較獨立地想到：（1）為了求n個不相同的數的和，應轉化為求n個相同數的和；（2）為完成上述轉化，怎樣去根據等差數列的性質去構造一個輔助數列，進而得到Sn=n（a1+an）/2，這里還應把推導公式的思想引入深入，即利用合并同類項化簡多項式的思維方法，有了這種思想基礎，我們在學習等比數列{an}前幾項和公式時，當q≠1時，雖然這里不能夠根據等比數列的性質把n個不同數的和轉化為n個相同數的和，但學生是能夠獨立想到根據等比數列的性質構造等比數列{qan}，利用錯位相消法（實質上仍是合并同類項）求得Sn=a1-anq/1-q。實踐證明，教師準確地把握好教學時機，有利于在思維的最佳突破口點撥學生，啟迪學生智慧的火花。所謂“不憤不啟，不悱不發”，即是要求教師當學生心憤求通、口悱難達，急需教師啟示開導的時候，適時而教，便如“時雨化之”，可收到良好效果。同時，教師啟發思維的問題的難易要適中，速度的快慢要得宜，廣度的大小要恰當，量度的多少要相應，恰到好處地引發學生積極思維。另外，教師啟發思維還應注意遵循學生的認識規律，循序漸進。學生的思維發展總是從具體到抽象、從個別到一般、從簡單到復雜的，教師循其“序”而導引，可以使學生課堂思維活動富有節奏感和邏輯性。
三、讓學生主動參與，開發創造思維
要培養學生創造思維能力，就要讓學生主動地學習數學，主動地參與教學活動。例如：在教學“棱柱的性質”時，教師把事先準備好的材料（塑料棒，502膠水等）要求學生分組制作四棱柱然后對照模型，進行思考和討論，最后教師從中挑出幾個特殊的四棱柱，全班進行交流。我們深深體會到：讓學生主動參與教學活動，不僅能激發不同層次知識水平學生的學習興趣，而且還能有效開發他們創造思維的潛能。另外，在教學過程中，教師要鼓勵學生質疑問難。愛因斯坦說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要，因為解決問題也許是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，都需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步?！比魏慰茖W的發現無不是從提出問題開始的，因此，教師在教學中，要有意識地設置一些問題，使學生形成認知沖突，從而激發他們的創造思維?？傊?，學生能提出問題，說明有創新思維的意向；能分析：解決問題，說明有創新思維能力。
四、誘發學生的靈感，激發學生的創造思維
靈感是一種突發性的創造勞動。它一經觸發，就會被突然催化，使感性材料突然升華為理性認識；靈感能沖破人的常規思路，為人類創造性思維活動開啟一個新的境界。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺和靈感，從而建立歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了判別王冠真假的方法。凱庫勒發現了苯分子環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。因此在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定。同時，還應當應用數形結合、變換角度、類比形式等方法去誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口。
總之，要在中學數學中能真正做到培養學生的創造性思維，教師應在教學中，創設一種民主、寬松、和諧的教學環境和教學氣氛。同時教師還要注意自身的知識和能力儲備，要用自己創造性的勞動去組織教材，特別是要挖掘教材內容中所隱含的數學思想與方法。只有當教師自己能夠打破傳統定勢，提高自身的認知水平，才能更加靈活地去引導學生的發展，更好地促進學生的發展，實現教書育人的目的。
參考文獻：
[關鍵詞]Excel 辦公自動化 應用 技巧
[中圖分類號]TP391.13 [文獻標識碼]A [文章編號]1009-5349（2014）02-0032-01
胡振猛（1983-），男，河北衡水人，衡水市人力資源和社會保障局助理電子工程師。研究方向：電子計算機。
隨著計算機和網絡技術的廣泛應用，計算機已經成為人們辦公的必備工具之一。用的較多的就是對大量信息的處理，而這些文件總是以Excel文件的形式存儲。這對于不熟悉Excel操作技巧的人來說是一個挑戰，下面對常用Excel的應用技巧作以介紹，供相關用戶參考。
一、自動填充數據
自動填充數據是快速輸入數據的有效方法。而Excel具有“自動填充”作用，可以快速地復制原來數據以及輸入等差、等比、日期序列預設序列和自定義序列。
（一）用“序列”對話框填充數據
對于步長任意的等差、等比序列以及日期序列，可使用“填充”菜單中的“序列”菜單項，來完成數據的自動填充，具體操作步驟如下：1.要在第一個單元格中輸入初值，選定要填充的單元格區域。2.從菜單中選擇“編輯”“填充”“序列”菜單項，打開“序列”對話框。3.在對話框的“序列產生在”中選擇“行”或“列”；在“類型”框中選擇需要的序列類型；在“步長值”輸入框中輸入步長值，日期序列要選擇日期單位，最后單擊“確定”按鈕即可。
（二）通過拖動填充柄來填充數據
將鼠標指向選定區域右下角單元格的填充柄，當指針變成黑十字光標后，沿著要填充的方向拖動填充柄直到目標單元格，松開鼠標數據就自動填入拖過的區域。
自動填充數據時，初值決定以后的填充項，分為以下幾種情況：1.初值為字符型數字時，直接拖動生成步長為1的等差序列。原數據復制時應按Ctrl的同時拖動填充。2.初值為字符與數字混合體時，數字作字符型處理，直接拖動字符復制，數字生成步長為1的等差序列。原混合體數據復制，按Ctrl的同時拖動填充。3.初值為漢字、字母、數值型數字時，直接拖動為數據復制填充。4.初值為日期和時間時，直接拖動填充按日或小時生成步長為1的等差序列。5.初值為Excel預設填充序列、自定義序列的一員時，拖動填充按預設填充序列或自定義序列填充即可。
二、輸入公式
使用公式可以方便地進行計算、統計和分析。Excel中公式總是以英文的等號“=”打頭，等號后面是一個表達式，由常量、單元格引用值、名字、函數、運算符等組成。
單元格中直接輸入公式的具體步驟為：單擊將要輸入公式的單元格；在單元格或編輯欄的輸入框中輸入等號“=”；輸入由數值、單元格地址、函數組成的表達式；按“Enter”鍵或單擊編輯欄上的“√”按鈕。如取消，可按“Esc”鍵或單擊編輯欄中的“取消”按鈕。
三、函數的使用
輸入函數有以下幾種方法：
（一）直接輸入函數
先輸入一個等號，然后，輸入函數本身及參數。常用的函數有兩個：1.SUM：對指定的區域中的值進行求和。如：公式“=SUM（B3：C9）”表示對B3至C9的矩形區域內所有單元格中的數據求和。2.AVERAGE：求指定的區域各單元格數據的平均值。如：公式“=AVERAGE（B1：B10，D1：D10）”表示求B1：B10和D1：D10兩個區域中所有單元格中數據的平均值。
（二）使用“粘貼函數”
粘貼函數是常用的輸入方法。具體操作步驟為：1.選定要輸入函數的單元格。選擇插入菜單中的函數菜單項，或單擊工具欄中的“粘貼函數”按鈕，即出現粘貼函數對話框。2.單擊對話框左邊函數分類列表框中的函數類別，右邊的列表框中就會列出該類別的所有函數，單擊其中要使用的函數，單擊“確定”按鈕，彈出函數選項面板，在Value1、Value2框中輸入參數，單擊“確定”按鈕即可。
（三）使用自動求和
使用工具欄中“自動求和”按鈕，可將工作表中選定區域的求和公式自動填寫到目標單元格中。具體操作步驟如下：1.單擊存放求和結果的單元格。2.單擊工具欄中的“自動求和”按鈕∑。3.核對自動生成的求和公式的參數是否正確，然后確認即可。
（四）公式的復制和單元格地址的引用
公式的復制指在一個單元格輸入公式后，如相鄰的單元格中需進行同一的計算，可利用自動填充功能，來復制公式。操作步驟為：1.將鼠標指針指向已輸入公式的單元格填充柄，當指針變成黑十字光標后，沿著要填充的方向拖動填充柄至目標單元格。2.松開鼠標，公式就會自動復制到拖過區域的單元格中，自動計算出結果。
Excel在辦公自動化系統中的應用越來越普及，只要熟悉這些技術要領，多做多練習，人們就會應用得得心應手，增強工作技能，提高我們的工作效率。
【參考文獻】
■ 專項模擬
A. ［4，+∞）
B. （－∞，－4］∪［4，+∞）
C. （－∞，0］∪［4，+∞）
D. 不能確定
3. 數列｛an｝中，an=n2+λn（n∈N+），若｛an｝為遞增數列，則λ的取值范圍為____________.
4. 數列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1（n∈N+）.
（Ⅰ）證明｛an－n｝是等比數列；
（Ⅱ）求｛an｝的前n項和Sn；
（Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn對任意n∈N+恒成立.
（Ⅰ）證明｛an｝是等差數列；
6. 設｛an｝的前n項和Sn=n2－4n+4.
（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式.
（Ⅱ）設各項均不為0的數列｛bn｝中，所有滿足bi?bi+1
8. 數列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測｛an｝，｛bn｝的通項，并證明你的結論；
在x=bn處的切線斜率.
（Ⅰ）求數列｛an｝，｛bn｝的通項公式；
（Ⅱ）若Tn是數列｛bn｝的前n項和，證明：當n≥2時，2Sn>Tn+3n.
10. 數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）.
（Ⅰ）求數列｛an｝的通項；
11. 已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x0，使得對于任意實數x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.
（Ⅰ）求x0的值.
12. 設an是關于x的方程xn+nx－1=0（n∈N+，x∈R+）的根，試證：
（Ⅰ）an∈（0，1）；
（Ⅱ）an+1
14. 函數f（x）=x2－4，曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））?搖處的切線與x軸的交點為（xn+1，0）.
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn－2，Tn是數列｛bn｝的前n項和，證明：Tn
（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式.
（Ⅲ）正數數列｛cn｝中，an+1=（cn）n+1（n∈N+），求數列｛cn｝中的最大項.
（Ⅰ）求a2，a3，并猜想數列｛an｝的通項公式，再用數學歸納法加以證明；
17. 已知函數f（x）=x3+x2，數列｛xn｝（xn>0）的第一項x1=1，以后各項按如下方式取定：曲線y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））處的切線與經過（0，0）和（xn，f（xn））兩點的直線平行. 求證：當n∈N+時，
18. 已知函數f（x）是在（0，+∞）上每一點都可導的函數，且xf ′（x）>f（x）在x>0上恒成立.
（Ⅱ）當x1>0，x2>0時，求證：f（x1）+f（x2）
N+）.
（Ⅰ）證明：an≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）0成立，證明：an
（Ⅰ）求數列｛an｝的通項公式；
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍；
■ 解題反思
1. 研究數列單調性時，既可利用定義，通過比較前項與后項的大小關系得知數列單調性，又可借助與數列對應的函數的單調性得知該數列的單調性. 由于數列是特殊的函數，所以在利用函數的單調性來研究數列的單調性時，還要注意區別. 因為數列定義域中的取值是不連續的，所以數列的圖象是一些離散的點，這樣就能理解即使數列不在其對應函數的單調區間上，也可能具備單調遞增（或減）的性質. 也正因為這點，同學們解題時不能直接對2. 數列與不等式的內容經整合可形成證明不等式、求參量取值范圍等問題. 數列不等式的證明方法相當豐富，常見策略有：
（1）根據數列通項的特點直接求和，將式子化簡可證得不等式. 直接求和的方法有求和公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等，如第7、8題中的第（Ⅱ）問就是利用裂項相消法求和.
（2）通過放縮，將不便于求和的式子變形為易求和的式子，即將通項化為可裂項相消或可等比求和的結構，縮，將通項化為可裂項求和的結構.
（3）由于數列不等式是關于正整數的不等式，所以可以利用數學歸納法證明，如第9題中的第（Ⅱ）問和第13題.
（4）可利用函數的相關性質證明以數列為載體的不等式問題，如第15題中的第（Ⅲ）問，先構造函數f（x）
1. C
2. C
3. λ>－3
4. （Ⅰ）證明略，提示：an=4n－1+n
5. （Ⅰ）證明略
6. （Ⅰ）an=1，n=1，2n－5，n≥2
7. （Ⅰ）an=6n－5
（Ⅱ）m的最小值為10，提示：利用裂項求和將式子化簡
8. （Ⅰ）a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25，猜測an=n（n+1），bn=（n+1）2，證明略，提示：用數學歸納法證明
9. （Ⅰ）an=2n，bn=2n－1
（Ⅱ）證明略，提示：其實質是證2n+2>n2+3n+4，可用數學歸納法，也可用二項展開式進行放縮
10. （Ⅰ）an=2n－1
11. （Ⅰ）x0=1
3n+1>2n+1
12. （Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略
15. （Ⅰ）an=n
（17. （Ⅰ）證明略18. （Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略，提示：利用（Ⅰ）中證得的單調性
（Ⅲ）證明略，提示：先用數學歸納法證明當xi>0時，f（x1）+f（x2）+…+ f（xn）
19. （Ⅰ）證明略，提示：用數學歸納法證明
